K'nci mertebeden rekürans bağıntısının özellikleri ve bazı uygulamaları

(1)

T.C.

SELÇUK ÜNĠVERSĠTESĠ FEN BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ

k’NCI MERTEBEDEN REKÜRANS BAĞINTISININ ÖZELLĠKLERĠ VE BAZI

UYGULAMALARI Tuğba PARPAR YÜKSEK LĠSANS Matematik Anabilim Dalı

(2)

TEZ KABUL VE ONAYI

Tuğba PARPAR tarafından hazırlanan “k‟ncı Mertebeden Rekürans Bağıntısının Özellikleri ve Bazı Uygulamaları” adlı tez çalışması 07/07/2011 tarihinde aşağıdaki jüri tarafından oy birliği ile Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı‟nda YÜKSEK LİSANS TEZİ olarak kabul edilmiştir.

Yukarıdaki sonucu onaylarım.

Prof. Dr. Bayram SADE FBE Müdürü

(3)

TEZ BĠLDĠRĠMĠ

Bu tezdeki bütün bilgilerin etik davranış ve akademik kurallar çerçevesinde elde edildiğini ve tez yazım kurallarına uygun olarak hazırlanan bu çalışmada bana ait olmayan her türlü ifade ve bilginin kaynağına eksiksiz atıf yapıldığını bildiririm.

DECLARATION PAGE

I hereby declare that all information in this document has been obtained and presented in accordance with academic rules and ethical conduct. I also declare that, as required by these rules and conduct, I have fully cited and referenced all material and results that are not original to this work.

Tuğba PARPAR Tarih: 22.06.2011

(4)

iv

ÖZET YÜKSEK LĠSANS

k’NCI MERTEBEDEN REKÜRANS BAĞINTISININ ÖZELLĠKLERĠ VE BAZI UYGULAMALARI

Tuğba PARPAR

Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı

DanıĢman: Yrd. Doç. Dr. AyĢe NALLI 2011, 70 Sayfa

Jüri

Yrd. Doç. Dr. AyĢe NALLI Prof. Dr. Ahmet Sinan ÇEVĠK

Doç. Dr. ÇoĢkun KUġ

Bu çalışmada, Tribonacci‟nin üreteç matrisi kullanılarak özellikler incelendi ve bu özellikler mertebeden rekürans dizisine taşındı. Tribonacci serileriyle ilgili formüller elde edildi. Elemanları Tribonacci dizisi olan matris yardımıyla permanent ve determinant özellikleri verildi.

Anahtar Kelimeler: k. Mertebeden Rekürans Dizisi, Tribonacci Dizisi, Tribonacci Serileri,

(5)

v

ABSTRACT MS THESIS

PROPERTIES OF THE RECURSIVE SEQUENCE ORDER k AND ITS SOME APPLICATIONS

Tuğba PARPAR

THE GRADUATE SCHOOL OF NATURAL AND APPLIED SCIENCE OF SELÇUK UNIVERSITY

DEPARTMENT OF MATHEMATICS Advisor: Asistant Prof. Dr. AyĢe NALLI

2011, 70 Pages Jury

Asst. Prof. Dr. AyĢe NALLI Prof. Dr. Ahmet Sinan ÇEVĠK

Assoc. Prof. Dr. ÇoĢkun KUġ

In this study, we investigate properties of Tribonacci sequence by using generating matrix of Tribonacci sequence and this properties are adopted to recursive sequence order- . It is obtained formullas related with Tribonacci series. It is investigated values of permanent and determinant of Tridiagonal matrix whose elements is Tribonacci sequence.

Keywords: Generating Matrix, Recursive Sequence Order k, Sums, Tribonacci Sequence,

(6)

vi

ÖNSÖZ

Bu çalışma, Selçuk Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü Cebir ve Sayılar Teorisi Anabilim dalı Öğretim Üyesi Yrd. Doç. Dr. Ayşe NALLI yönetiminde hazırlanarak Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü‟ne Yüksek Lisans Tezi olarak sunulmuştur.

Yüksek Lisans Tezimin hazırlanmasında yardımlarını esirgemeyen danışman hocam Sayın Yrd. Doç. Dr. Ayşe Nallı‟ ya teşekkür ederim.

Tuğba PARPAR KONYA-2011

(7)

vii ĠÇĠNDEKĠLER ÖZET ... iv ABSTRACT ... v ÖNSÖZ ... vi ĠÇĠNDEKĠLER ... vii SĠMGELER ... viii 1. GĠRĠġ ... 1 2. KAYNAK ARAġTIRMASI ... 2 3. TEMEL KAVRAMLAR ... 3

3.1 Genelleştirilmiş Fibonacci Dizisi ... 3

3.2 Fibonacci-Lucas Serileri ... 9

3.3 Fibonacci Dizisinin Elemanlarıyla Oluşturulan Üç Bantlı Matris ve Rekürans Özellikleri ... 14

3.4 Tribonacci Dizisinin ve Toplamlarının Matris Gösterimi ... 19

3.5. Bazı Üç Bantlı Matrislerin Permanentle İlişkisi ... 25

4. TRIBONACCI DĠZĠSĠ ... 28

4.1 Tribonacci Dizisi ve Bazı Özellikleri ... 28

4.2 Negatif İndisli Tribonacci Dizisi ve Bazı Özellikleri ... 36

4.3 Genelleştirilmiş Tribonacci Dizisi için Lineer Toplam Formülleri ... 45

4.4 Tribonacci Serileri ... 47

4.5 Tribonacci Dizisinin Elemanlarıyla Oluşturulan Matris ve Rekürans Özellikleri 53 5. k. MERTEBEDEN REKÜRANS BAĞINTISI ... 58

5.1 k. Mertebeden Rekürans Bağıntısı ile Elde Edilen Dizinin ve Toplamlarının Matris Gösterimi ... 58

5.2 k. Mertebeden Rekürans Dizisinin Elemanlarıyla Oluşturulan Matris ve Rekürans Özellikleri ... 65 6. SONUÇLAR VE ÖNERĠLER ... 68 6.1 Sonuçlar ... 68 6.2 Öneriler ... 68 KAYNAKLAR ... 69 ÖZGEÇMĠġ ... 70

(8)

viii

SĠMGELER

, Fibonacci dizisi

, mertebeden genelleştirilmiş Fibonacci dizisi , Lucas dizisi

, Tribonacci dizisi

, Genelleştirilmiş Tribonacci dizisi , Tribonacci dizisi için üreteç matrisi

(9)

1. GĠRĠġ

Leonardo Fibonacci; 13. yüzyılda yaşamış İtalyan bir matematikçidir. Yaşamı hakkında yazdığı matematik yazıları dışında pek az şey bilinmektedir. İlk ve en iyi bilinen kitabı Liber Abaci‟yi 1202 tarihinde yazmış olduğunda, 1170 yılı dolaylarında doğmuş olduğu tahmin edilmektedir. Bu yönde pek kanıt olmamakla birlikte İtalya‟nın Pisa kentinde doğmuş olma olasılığı yüksektir.

Günümüz matematikçileri Fibonacci‟nin adını Liber Abaci kitabından dolayı değil Liber Abaci‟de yer alan basit bir problemden dolayı bilmektedirler. Bu problem Liber Abaci‟de ki pek çok problemden biri olup diğerlerinden çok daha fazla ilgilenilen ve tavşan üretmek gibi ilk başta matematikle pek ilgisi olmadığı düşünülen bir konuyla ilgilidir.

Fibonacci sayıları üç nedenden dolayı insanlığın ilgisini çekmiştir. Bunlardan birincisi dizinin küçük terimlerinin doğada beklenmedik şekillerde ve yerlerde karşımıza çıkması, ikincisi ardışık iki Fibonacci sayısının birbirine oranın altın oran adı verilen 1,61803399… sayısına limit olarak ulaşması ve üçüncüsü ise Fibonacci dizisini sayılar teorisinde ilginç uygulamalarının bulunmasıdır.

Tribonacci sayıları ise Fibonacci sayıları gibidir. Sadece iki başlangıç terimi yerine üç başlangıç terimiyle başlar ve her bir terim arakasındaki üç terimin toplamı olacak şekilde devam eder.

Bu çalışmada Fibonacci, Tribonacci,… gibi dizilerin özelliklerinin daha genel halleri elde edilmeye çalışılmıştır. Çalışma altı bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde; Fibonacci, Tribonacci,… gibi dizilerin günlük yaşamda kullanım yerlerinden bahsedilmiştir. İkinci bölümde; konuyla ilgili literatür özeti verilmiştir. Üçüncü bölümde; konuyla ilgili temel kavramlar verilmiştir. Dördüncü bölümde; üçüncü bölümde verilen bazı temel kavramlar pozitif ve negatif indisli Tribonacci dizisine taşınmıştır. Beşinci bölümde; üçüncü bölümde verilen bazı temel kavramlar mertebeden rekürans bağıntısına taşınmıştır. Altıncı bölümde ise sonuç ve önerilere yer verilmiştir.

(10)

2. KAYNAK ARAġTIRMASI

Waddil M.E. (1992); Bu çalışmada, Tetranacci dizisiyle bu dizi ile

aynı rekürans bağıntısına sahip olan ve dizileri tanım ile birlikte dizilerin genelleştirişmiş halleri tanımlanmıştır. Ayrıca bu diziler arasındaki ilişkiler tanımlanarak bazı özellikler incelemiştir.

Lin P. (1988); Bu çalışmada, Tribonacci dizisiyle aynı rekürans bağıntısına

sahip fakat başlangıç değerleri farklı olan , ve dizileri tanımlanmıştır. Ayrıca bu dizilerin birbirleri ile arasındaki bağıntılar verilmiştir.

Kılıç E. (2008); Bu çalışmada, , , ve dizileri için üreteç matrisleri elde edilmiş ve bu matrislerle ilgili özellikler verilmiştir. Ayrıca bu dizilerin bazı matrislerin permanentleri ile aralarındaki ilişki incelenmiştir.

Er M.C. (1984); Bu çalışmada, mertebeden genelleştirilmiş Fibonacci dizinin

tanımı yapılmıştır. Bu dizinin matris gösteriminin ifade edilmiştir. Ayrıca genelleştirilmiş mertebeden Fibonacci dizisinin bu matris ile birlikte matris metotlarını kullanarak özellikleri incelenmiştir.

Brousseau A. (1969); Bu çalışmada, kısmi toplamların limit durumundan

faydalanarak sonsuz seri toplam formülleri elde edilmiştir. Ayrıca bu formülleri elde ederken Fibonacci ve Lucas dizileri arasındaki bağıntılardan faydalanılmıştır.

Kılıç E., TaĢçı D. (2007); Bu çalışmada, üç bantlı matrislerin permanentleriyle

pozitif ve negatif indisli Fibonacci ve Lucas sayıları arasında bağıntılar elde edilmiştir. Aynı zamanda mertebeden genelleştirilmiş Lucas sayıları ile permanent arasındaki ilişki ele alınmıştır.

Feng J. (Basımda); Bu çalışmada, keyfi indisli Fibonacci ve Lucas sayıları

ailesi elde edilmiştir. Üstelik determinantları Fibonacci ve Lucas sayıları olan üç bantlı ve simetrik üç bantlı matrisler oluşturulmuştur.

(11)

3. TEMEL KAVRAMLAR

3.1 GenelleĢtirilmiĢ Fibonacci Dizisi

Bu bölümde, M.C. Er‟in Fibonacci Quarterly‟de 1984‟de yayımlanan “Sums of Fibonacci Numbers by Matrix Methods” adlı makalesi verilmiştir.(Er, 1984)

Tanım 3.1.1: , için sabit katsayılar ve

olmak üzere;

bağıntısı ile verilen sayı dizisine mertebeden genelleştirilmiş Fibonacci dizisi denir. alındığı zaman mertebeden genelleştirilmiş Fibonacci dizisi, Fibonacci dizisine indirgenir.

kare matris olan ve matrisleri aşağıdaki gibi tanımlansın.

1 2 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 k n n n k n n n n k n k n k n k g g g g g g G g g g                         1 2 3 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 k k c c c c c A                        

(12)

Teorem 3.1.1: için;

(3.1.2)

dir.

Ġspat: Matris çarpımı özelliğinden kolaylıkla görülür. Teorem 3.1.2:

(3.1.3)

eşitliği vardır.

Ġspat: Tanım 3.1.1‟den kolaylıkla görülür. Teorem 3.1.3: için;

(3.1.4)

dir.

Ġspat: Teorem 3.1.1‟de için;

(13)

dir. için;

_(3.1.5)

doğru olsun. için doğru olduğunu gösterelim. (3.1.5) denklemini sol taraftan matrisi ile çarpalım.

(3.1.2) denkleminden ve matris çarpımının birleşme özelliğinden

elde edilir.

Sonuç 3.1.1: için;

(3.1.6)

vardır.

Ġspat: (3.1.3) ve (3.1.4) eşitlikleri birlikte düşünüldüğü zaman açıkça görülür. Sonuç 3.1.2: matrisi, matris çarpımı altında değişmelidir.

(14)

Ġspat: (3.1.2), (3.1.3),(3.1.4) ve (3.1.6) denklemlerinden

şeklinde yazabiliriz. Bu ise, matrisinin, matris çarpımı altında değişmeli olduğunu gösterir.

Lemma 3.1.1: , genelleştirilmiş Fibonacci dizisinde . dizinin birinci terimi ve

olmak üzere; olsun. Bu taktirde; (3.1.7) eşitliği vardır.

kare matris olan ve matrisleri aşağıdaki şekilde tanımlansın. 1 0 0 0 1 0 0 B A                 

(15)

1 2 1 0 0 0 n n n n n k S E S G S                     Teorem 3.1.4: için; (3.1.8) dır.

(3.1.9)

dir.

Ġspat: matrisinin tanımında, alınarak elde edilir.

(3.1.10)

eşitliği vardır.

(16)

dir. için;

(3.1.11)

doğru olsun. için doğru olduğunu gösterelim. (3.1.11) denklemini sağdan matrisi ile çarpalım.

(3.1.8) eşitliğinden ve matris çarpımının birleşme özelliğinden

elde edilir.

(17)

dir.

Ġspat: (3.1.9) ve (3.1.10) eşitlikleri birlikte düşünüldüğü zaman elde edilir. Sonuç 4.1.3: matrisi, matris çarpımı altında değişmelidir.

Ġspat: (3.1.8), (3.1.9) ve (3.1.12) denklemlerinden

şeklinde yazabiliriz. Buradan da matrisinin matris çarpımı altında değişmeli olduğu görülür.

3.2 Fibonacci-Lucas Serileri

Bu bölümde, temel olarak A. Broussaeu‟nun Fibonacci Quarterly‟de 1969‟da yayımlanan “Fibonacci-Lucas Infinite Series-Research Topic” adlı makalesi verilmiştir. (Broussaeu, 1969)

Tanım 3.2.1: ve olmak üzere;

(3.2.1)

lineer rekürans bağıntısıyla verilen sayı dizisine Fibonacci dizisi denir.

(3.2.2)

(18)

Tanım 3.2.3: şeklinde bir dizi verilmiş olsun. Bu diziden hareketle oluşturulan,

toplamına sonsuz seri veya kısaca seri denir.

olmak üzere, dizisine, serisinin kısmi toplamlar dizisi denir. kısmi toplamlar dizisi yakınsak ve ise serisine yakınsak seri denir. değerine serinin toplamı veya limiti denir ve

(19)

Seri formüllerini elde ederken aşağıdaki eşitliklerden yararlanmıştır. (Nguyen, 2005)

Fibonacci-Lucas serileri formüllerinin elde edilişinde yukarıda bahsedilen yöntem kullanılmıştır.

toplamı alternatif olarak

(20)

şeklindedir. Sonsuz serilerinin toplamı kısmi toplamların limit durumundan elde edilir. Buna göre;

olur.

Aşağıdaki diğer formüllerde aynı metot ile elde edilmiştir.

toplamından elde edilir. toplamından elde edilir.

(21)

toplamından elde edilir. toplamından elde edilir. toplamından

(22)

3.3 Fibonacci Dizisinin Elemanlarıyla OluĢturulan Üç Bantlı Matris ve Rekürans Özellikleri

Bu bölümde, J. Feng‟in Ars Combinatoria‟da yayımlanacak olan “ More Identities and Tridiagonal Matrices About Fibonacci and Lucas Numbers” adlı makalesi verilmiştir. (Feng, Basımda)

Tanım 3.3.1: , , , ; 1‟den büyük keyfi tam sayılar olmak üzere;

(3.3.1)

lineer rekürans bağıntısıyla verilen diziye genelleştirilmiş Fibonacci dizisi denir.

(3.3.1) ile verilen genelleştirilmiş Fibonacci dizisinde uygun , , , değerleri için , katsayılarını bulmak istiyoruz. Bunun için, , eklemeli matrisi,

şeklinde yazarız. Uygun değerleri aldıktan sonra, eklemeli matrisinde elementer sütun işlemleri yaparak , katsayıları hesaplanır. Örneğin; , , ve için;

olup dir. Buna göre;

bağıntısı elde edilir.

Aşağıdaki formüllerde benzer şekilde elde edilmiştir.

(23)

Bu formüller tümevarım prensibini kullanarak genel halleri elde edilmiştir. Teorem 3.3.1: ve _{, tipinde kare} matris, olmak üzere;

( 1) 2 (1) 1 2 1 2 1 1 1 ( ) 1 1 tw k t w k tw k F F m F x F x x M n x x x        _ _   _ _ _   _ _               _       

olsun. Buna göre;

(24)

dir.

Ġspat: ‟de için,

olup olur. için;

olup

elde edilir. için;

( 1) 2 (1) 1 2 1 2 1 1 1 ( ) 1 1 tw k t w k tw k F F m F x F x x M i x x x        _ _   _ _ _   _ _               _       

olup buna göre;

doğru olsun. için doğru olduğunu gösterelim.

( 1) 2 (1) 1 2 1 2 1 1 1 ( 1) 1 1 tw k t w k tw k F F m F x F x x M i x x x        _ _   _ _ _   _ _                _       

(25)

hesaplarken sütuna göre açarsak ( 1) 2 (1) 1 1 2 1 2 1 2 ( ) 1 ( 1) ( ) 1 1 1 tw k t w k tw k F F i i F m F x F M i x M i x x x x x                _ 

elde ederiz. ‟nin katsayısı olan determinantı satıra göre açarsak,

( 1) 2 (1) 1 ( 1) 2 1 2 1 2 1 ( 1) ( 1) 1 ( 1) 1 1 1 tw k t w k tw k F w i t k i i F m F x F M i x F x x x x x x                     _ 

elde ederiz. Buradan da

(1)

1 ( 1) 2 ( 2) ( )

( 1)

F w i t k w i t w i t k

M i x F _{  } x F _{ } F _{ }

olup ispat tamamlanır.

Teorem 3.3.2:

ve

_{, tipinde} kare matris, , , ise ve ise olmak üzere;

(26)

( 1) 2 2 1 2 (2) 2 1 2 2 1 ( ) tw k t w k tw k F F m F m x F x x x M n x x x x x            _           _ _             _     _   

olsun. Buna göre;

dir.

Ġspat: Teorem 3.3.1‟in ispatına benzer şekilde yapılır. Örnek 3.3.1: Eğer (3.3.1)‟de , alınırsa,

olur. , eklemeli matrisini yazarsak

olup , elde edilir. Yerine yazılırsa,

(27)

34 13 1 3 1 1 3 1 1 3 1 1 3                       , 34 13 13 3 1 1 3 1 1 3 1 1 3                        

determinantları Fibonacci sayılarını verir.

3.4 Tribonacci Dizisinin ve Toplamlarının Matris Gösterimi

Bu bölümde, E. Kılıç‟ın 2008‟de Ars Combinatoria‟da yayımlanan “Tribonacci Sequence with Certain Indices and Their Sums” adlı makalesi verilmiştir.(Kılıç, 2008)

(3.4.1)

lineer rekürans bağıntısıyla verilen sayı dizisine Tribonacci dizisi denir.

Buna göre Tribonacci dizisinin ilk birkaç terimi şeklindedir.

, Tribonacci dizisi olmak üzere;

olsun.

(28)

1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 C              1 1 1 1 2 1 2 1 2 3 2 1 0 0 0 n n n n n n n n n n n n n n n n S T T T T D S T T T T S T T T T               _         _    Lemma 3.4.1: için; (3.4.2) dir. Teorem 3.4.1: için; dir.

Ġspat: Matris çarpımından ve (3.4.2)‟den için

(3.4.3)

olduğu görülür. Buradan da

_(3.4.4)

(29)

dir. için; olur. için; _(3.4.5)

eşitliğinin doğru olduğunu varsayalım. +1 için doğruluğunu gösterelim. (3.4.3) denklemini soldan matrisi ile çarpalım.

(3.4.3) denkleminden ve matrislerde ki çarpma işleminin birleşme özelliğinden;

elde edilir. matrisinin tanımda; alındığında,

(3.4.6)

olduğu açıktır. (3.4.4) ve (3.4.46) denklemleri birlikte düşünüldüğü zaman teoremin ispatı açıkça görülür.

matrisinin tanımından, için olduğu görülür. Matris çarpımından aşağıdaki sonuç elde edilir.

(30)

Sonuç 3.4.1: , için;

dir.

Tribonacci dizisinin karakteristik denkleminin kökleri, , olmak üzere;

dir.

boyutunda köşegenleştirilmiş matrisi ve matrisi aşağıdaki gibi tanımlansın. 1 2 3 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 E                 2 2 2 1 2 3 1 2 3 1 0 0 0 1 / 2 1 / 2 1 / 2 1 1 1 V         _       _   

olduğu kolaylıkla görülebilir. , , farklı olduğu için dır.

(31)

Teorem 3.4.2: için,

dir.

Ġspat: ve olduğu için _{yazılabilir. Buna göre matrisi} matrisine benzerdir. O zaman dir. Buna göre yazılabilir. Denklemin (2,1). elemanından ve olduğu için teorem ispatlanır.

ve , matrisini aşağıdaki gibi tanımlansın.

2 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 R               1 2 1 3 2 1 1 4 3 2 2 5 4 3 n n n n n n n n n n n n n n n n n S S S S S S S S K S S S S S S S S                     _ _ _           _ _ _    Teorem 3.4.3: için; dir.

Ġspat: olduğundan ve matris çarpımından yazılır. Tümevarım metodundan elde edilir. ve matrisinin tanımından olduğu görülür. Böylece teorem ispatlanmış olur.

matrisinin ve dizisinin karakteristik denklemleri dır. Denklemin kökleri hesaplanırsa , , ,1 elde edilir.

(32)

Sonuç 3.4.2: dizisi; için, , , 2, olmak üzere;

bağıntısını sağlar.

Burada aşağıdaki teoremde kullanılacak olan bir homojen olmayan lineer denklem sistemi çözümünü hatırlayalım.

Denklem sayısı bilinmeyen sayısına eşit ve katsayılar matrisinin determinantı sıfırdan farklı olan bir lineer denklem sistemine Cramer sistemi denir.(Taşçı, 1999)

lineer denklem sistemi bir Cramer sistemi olsun. Cramer sistemi daima bir tek çözümü vardır ve bu çözüm

şeklinde verilir. Burada matrisi; matrisinin sütunu yerine ‟nin yazılmasıyla elde edilen matristir.(Taşçı,1999)

, Vandermonde matrisi ve köşegenleştirilmiş matrisi aşağıdaki gibi tanımlansın. 1 2 1 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 E                 3 3 3 1 2 3 2 2 2 1 2 3 1 1 2 3 1 1 1 1 1 1 1 V                _ _    

_{olmak üzere,} _, _{matris ve} _, ‟nin nci sütunu ile yer değiştirilerek elde edilen matris olsun.

(33)

Teorem 3.4.4: için, olmak üzere, dir.

Ġspat: olduğu kolaylıkla görülür. , , ,1 farklı olduğu için ve , Vandermonde matris olduğu için ‟in ters matrisi vardır. Bu yüzden yazılabilir ve böylece dir. Teorem 3.4.3‟den dir. Buradan,

denklem sisteminin çözümünden teoremin iddiası açıkça görülür.

3.5. Bazı Üç Bantlı Matrislerin Permanentle ĠliĢkisi

Bu bölümde, E. Kılıç ve D. Taşçı‟nın 2007‟de Rocky Mountain Journal of Mathematics dergisinde yayımlanan “On The Permanents of Some Tridiagonal Matrices with Applications to the Fibonacci and Lucas Numbers” adlı makalesinin bir kısmı verilmiştir. (Kılıç, Taşçı, 2007)

olmak üzere, boyutundaki ve matrislerini aşağıdaki gibi tanımlansın.

1,1 1,2 2,1 2,2 1 2, 1 1, 2 1, 1 1, , 1 , ( ) n n n n n n n n n n n n c c c c C n c c c c c c                              (3.5.1) 1,1 1,2 2,1 2,2 2 2, 1 1, 2 1, 1 1, , 1 , ( ) n n n n n n n n n n n n c c c c C n c c c c c c             _            _         (3.5.2)

(34)

olsun.

Lemma 3.5.1: , (3.5.1)‟de tanımlanan şekilde dizi olsun. Buna göre;

‟nin peş peşe permanentleri aşağıdaki formülle verilmektedir.

Ġspat: Tümevarım metoduyla ispatı yapabiliriz.

için olmak üzere;

1,1 1,2 2,1 2,2 1 1, , 1 , , 1 1, 1, 1 1,1 1,2 2,1 2,2 2, 1 1, 1 1 , 1 1, 1 1, 1, ( 1) 0 0 ( ) 0 k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k c c c c C k per c c c c c c c c c c c c perC k c c c c                          _ _                            

(35)

(36)

4. TRIBONACCI DĠZĠSĠ

4.1 Tribonacci Dizisi ve Bazı Özellikleri

Bu bölümde, Emrah Kılıç‟ın Ars Combinatoria‟da 2008‟de yayımlanan “Tribonacci Sequences with Certain Indices and Their Sums” adlı makalesi verilmiştir. (Kılıç, 2008)

Tanım 4.1.1: , , keyfi tam sayılar olmak üzere;

(4.1.1)

lineer rekürans bağıntısıyla verilen sayı dizisine genelleştirilmiş Tribonacci dizisi denir. (Waddill, 1992)

olmak üzere; , Tribonacci dizisinin üreteç matrisi olan matrisini ve matrisini aşağıdaki şekilde tanımlansın.

Teorem 4.1.1: için; (4.1.2) dir.

(37)

(4.1.3)

eşitliği vardır.

Ġspat: matrisinin tanımında alınarak kolaylıkla görülür.

(4.1.4)

dir.

Ġspat: Teorem 4.1.1 de için;

dir. için;

(38)

elde edilir.

Sonuç 4.1.1: için;

(4.1.6)

vardır.

Ġspat: (4.1.3) ve (4.1.4) eşitlikleri birlikte düşünüldüğü zaman açıkça görülür. Sonuç 4.1.2: matrisi; matris çarpımı altında değişmelidir.

Ġspat: (4.1.2), (4.1.3), (4.1.4) ve (4.1.6) denklemlerinden

yazabiliriz. Bu ise, matrisinin; matris çarpımı altında değişmeli olduğunu gösterir.

(39)

(4.1.7) eşitliği vardır. Ġspat: için; dir. için; dir. için; (4.1.8)

(40)

Matris çarpımının birleşme özelliğinden ve Tanım 3.4.1 den

elde edilir.

Lemma 4.1.1: , Tribonacci sayısı ve olmak üzere;

olsun. Bu taktirde için;

(4.1.9)

eşitliği vardır. (Kılıç, 2008)

Ġspat: için;

(41)

dir. için;

(4.1.10)

doğru olsun. için doğru olduğunu gösterelim. (4.1.10) eşitliğinin her iki tarafına ‟i ekleyelim.

elde edilir.

boyutundaki G ve matrislerini aşağıda verilen şekilde tanımlansın.

1 0 0 0 1 = 0 0 G Q

(42)

n 1 n n 2 n n 3 1 0 0 0 S = S S M A Teorem 4.1.5: için; (4.1.11) dır.

(4.1.12)

dir.

Ġspat: matrisinin tanımda alınarak kolaylıkla elde edilir.

_(4.1.13)

eşitliği vardır.

(43)

dir. için;

(4.1.14)

elde edilir.

(44)

dir.

Ġspat: (4.1.12), (4.1.13) ve (4.1.15) denklemlerinden

4.2 Negatif Ġndisli Tribonacci Dizisi ve Bazı Özellikleri

Bu bölümde, 3.1‟de genelleştirilmiş Fibonacci dizisi ve 4.1‟de pozitif indisli Tribonacci dizisi için verilen özellikler negatif indisli Tribonacci dizisine taşınmıştır.(Parpar T., Nallı A., 2011)

(4.2.1)

lineer rekürans bağıntısıyla verilen sayı dizisine negatif indisli Tribonacci dizisi denir. Örneğin;

(45)

eşitliklerinden hesaplanır. Buna göre negatif indisli Tribonacci dizisinin ilk birkaç terimi şeklindedir.

olmak üzere; negatif indisli Tribonacci dizisinin üreteç matrisi olan matrisini ve matrisini aşağıdaki şekilde tanımlayalım.

(4.2.2) (4.2.3) Teorem 4.2.1: için; (4.2.4) dir.

(4.2.5)

dir.

Ġspat: (4.2.3) eşitliğinde alınarak elde edilir.

(46)

(4.2.6)

dir.

Ġspat: Teorem 4.2.1‟de için;

dir. için; dir. için; _(4.2.7)

(4.2.4) eşitliliğinden ve matris çarpımının birleşme özelliğinden

(47)

elde edilir.

Sonuç 4.2.1: için

(4.2.8)

vardır.

Ġspat: (4.2.5) ve (4.2.6) eşitlikleri birlikte düşünüldüğü zaman açıkça görülür. Sonuç 4.2.2: matrisi; matris çarpımı altında değişmelidir.

şeklinde yazabiliriz. Bu ise; matrisinin, matris çarpımı altında değişmeli olduğunu gösterir.

Teorem 4.2.4: olmak üzere Tribonacci dizisi için

(4.2.9) eşitliği vardır. Ġspat: için;

(48)

dir. için; dir. için; (4.2.10)

Matris çarpımının birleşme özelliğinden ve Tanım 4.2.1‟den

(49)

elde edilir.

Lemma 4.2.1: , Tribonacci dizisi ve olmak üzere;

olsun. Bu taktirde için;

(4.2.11) eşitliği vardır. Ġspat: için; dir. için; dir. için; (4.2.12)

(50)

doğru olsun. için doğru olduğunu gösterelim. (4.2.12) eşitliğinin her iki tarafına ekleyelim. elde edilir.

boyutundaki D ve matrislerini aşağıda verilen şekilde tanımlayalım.

1 0 0 0 1 D = 0 F 0 n 1 n n 2 n n 3 1 0 0 0 S H = S B S Teorem 4.2.5: için; (4.2.13) dır.

(51)

Teorem 4.2.6:

(4.2.14)

dir.

Ġspat: matrisinin tanımda alınarak kolaylıkla görülür.

(4.2.15)

eşitliği vardır.

Ġspat: Teorem 4.2.5‟de için;

dir. için;

(52)

(4.2.13) eşitliğinden ve matrislerde çarpıma işleminin birleşme özelliğinden

elde edilir.

(4.2.17)

dir.

(53)

4.3 GenelleĢtirilmiĢ Tribonacci Dizisi için Lineer Toplam Formülleri

Bu bölümde genelleştirilmiş Tribonacci dizisi için elde edilen lineer toplam formülleri ispatsız olarak verilecektir. İspatları tümevarım metoduyla yapmak mümkündür. Ancak bu metot ile formüllerin elde edilişleri hakkında bilgi edinilememektedir. Bu yüzden elde ediliş yöntemi hakkında fikir edinilebilmesi için birinin ispatı verilecektir.(Parpar T., Nallı A., Submited)

Tribonacci dizisi için elde edilen lineer toplam formülleri aşağıdaki şekildedir.

(54)

(4.4.1)‟in ispatı; (4.1.2) denklemini düzenleyerek

şeklinde yazabiliriz ve bu denklemleri taraf tarafa toplarsak

(55)

elde edilir.

4.4 Tribonacci Serileri

Bu bölümde, 3.2‟de Fibonacci-Lucas serileri için verilen formüller Tribonacci dizisine uyarlanmıştır. (Parpar T., Nallı A., Submited)

Tanım 4.4.1: , ve olmak üzere;

(4.4.1)

lineer rekürans bağıntısıyla verilen sayı dizisine tam sayı dizisi denir.(Lin, 1988) Buna göre dizisinin ilk birkaç terimi şeklindedir.

dizi ile Tribonacci dizisi arasındaki bağıntı aşağıdaki Lemma ile verilmiştir.

Lemma 4.4.1: , Tribonacci dizisi ve , (4.4.1) denklemiyle verilen dizi olmak

üzere;

(4.4.2)

eşitliği geçerlidir. (Lin, 1988)

Bu bölümde kullanılan metot aşağıdaki gibidir.

iki yada daha fazla terim içeriyor ve serinin geri kalan terimleri sonsuza giderken sıfıra gidiyor. Buna göre;

(56)

toplamını düşünelim. İlk parantezin toplamı

dir. Ayrıca olup elde edilir.

Aşağıda verilen diğer formüllerde bu metot ile elde edilmiştir.

(57)

(58)

elde edilir. toplamından elde edilir. toplamından elde edilir.

(59)

(60)

elde edilir. toplamından elde edilir. toplamından elde edilir.

(61)

toplamından elde edilir. toplamından elde edilir.

4.5 Tribonacci Dizisinin Elemanlarıyla OluĢturulan Matris ve Rekürans Özellikleri

Bu bölümde, 3.3‟de Fibonacci dizisi için verilen kavramlar Tribonacci dizisine taşınmıştır.

Tanım 4.5.1: , 1‟den büyük tam sayı ve keyfi tamsayılar olmak üzere olmak üzere;

(62)

(4.5.1)

lineer rekürans bağıntısıyla verilen diziye genelleştirilmiş Tribonacci dizisi denir.

(4.5.1) ile verilen genelleştirilmiş Tribonacci dizisinde uygun , , , değerleri için , , katsayılarını bulmak istiyoruz. Bunun için, , eklemeli matrisini

şeklinde yazarız. Uygun , , , değerleri aldıktan sonra eklemeli matrisinde elementer sutun işlemleri yaparak , , katsayıları hesaplanır. Örneğin; , , ve için; 1 0 1 2 1 2 1 0 3 3 2 1 4 1 0 0 1 1 1 0 2 2 1 1 4 T T T T A T T T T T T T T           _ _{ } _         1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1          

olup dir. Buna göre;

bağıntısı elde edilir.

Aşağıdaki formüllerde benzer şekilde elde edilmiştir.

( 1) ( 2) ( ) ( 1) ( 1) ( 1) ( 2) ( 1) ( 2) wn w n w n w n h k n w n wn w n w n h k w n w n wn w n h k T T T T A T T T T T T T T                          

(63)

Bu formüller tümevarım prensibini kullanarak genel halleri elde edilmiştir.

Teorem 4.5.1: ve , tipinde kare matris olmak üzere; ( 2) ( 1) 3 2 (1) 1 3 2 1 1 1 ( ) 1 1 1 tw k t w k tw k t w k tw k T T m T T T x T x M n x x x x                                

olsun. Buna göre;

dir.

(64)

olup olur. için; olup

elde edilir. için doğru olsun. için doğru olduğunu gösterelim.

( 2) ( 1) 3 2 (1) 1 3 2 1 1 1 ( 1) 1 1 1 tw k t w k tw k t w k tw k T T m T T T x T x M i x x x x                                 

hesaplarken sütuna göre açarsak,

( 2) ( 1) 3 2 (1) 1 1 2 1 3 2 3 1 2 ( ) ( 2) ( 1) 3 2 3 1 3 2 1 ( ) 1 1 ( 1) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 tw k t w k tw k t w k tw k T T i i tw k t w k tw k t w k tw k i i T m T T T x T x M i x M i x x x x x x x T m T T T x T x x x x x x                         

(65)

olur, buna göre eşitlikte ‟nin katsayısı olan determinantı bu sefer satıra göre, ‟nin katsayısı olan determinantı ise satıra göre açtıktan sonra tekrar satıra göre açarsak, (1) 1 1 1 ( 1) 2 3 ( 1) ( 1) ( 2) T w i t k T T M i x T _{  } x M i x M i (1) 1 ( 1) 2 ( 2) 3 ( 3) ( ) ( 1) T w i t k w i t w i t k w i t k M i x T _{  } x T _{ } x T _{  } T _{ }

olup ispat tamamlanır.

Teorem 4.5.2: ve , tipinde kare matris olmak üzere; ( 2) ( 1) 3 2 (2) 1 3 2 1 1 1 ( ) 1 1 1 tw k t w k tw k t w k tw k T T m T T T x T x M n x x x x                                

olsun. Buna göre;

dir.

(66)

5. k. MERTEBEDEN REKÜRANS BAĞINTISI

5.1 k. Mertebeden Rekürans Bağıntısı ile Elde Edilen Dizinin ve Toplamlarının Matris Gösterimi

(3.4) bölümünde verilen bilgiler k. mertebeden rekürans bağıntısına genelleştirilmiştir.

Tanım 5.1.1: , , , , ,..., olmak üzere;

bağıntısına k. mertebeden rekürans bağıntısı denir ve bu bağıntıyla üretilen dizi dizisidir.

Tanım 5.1.1‟de tanımlanan { } dizisinde, alındığı zaman Fibonacci dizisi, alındığı zaman Tribonacci dizi elde edilir.

{ } dizisinin negatif indisli terimlerini,

şeklinde geri rekürans bağıntısıyla hesaplayabiliriz.

{ } dizisinin üreteç matrisi olan boyutundaki matrisini ve boyutundaki matrisini aşağıdaki gibi tanımlayalım.

1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 U                 

(67)

2 1 1 0 0 1 2 1 1 1 3 1 2 2 2 2 3 2 1 1 1 k n n i n i n i i k n n i n i n i i k n n n i n i n i i k k n k n i n i n k i k i k L L L L L L L L V L L L L L L L L                                                          



Teorem 5.1.1: için; dir.

, mertebeden rekürans dizisinin terimi olmak üzere,

olsun.

boyutunda ve matrisini aşağıdaki şekilde tanımlayalım.

1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 Y                   

(68)

1 2 1 1 0 0 0 0 n n n n n n k S S V Z S S                          Lemma 5.1.1: için; dir. Teorem 5.1.2: için; dir.

Ġspat: Matris çarpımından ve Lemma 5.1.1‟den

(5.1.1)

olduğu görülür. Buradan da

_(5.1.2)

yazabiliriz. İspatını tümevarım metoduyla yapabiliriz. Bunun için (5.1.2)‟de alırsak,

(69)

dir. için;

olur. için;

_(5.1.3)

eşitliğinin doğru olduğunu varsayalım. +1 için doğruluğunu gösterelim. (5.1.3) denklemini soldan matrisi ile çarpalım.

(5.1.1) denkleminden ve matrislerde ki çarpma işleminin birleşme özelliğinden;

elde edilir. matrisinin tanımda alındığında,

(5.1.4)

olduğu açıktır. (5.1.3) ve (5.1.4) denklemleri birlikte düşünüldüğü zaman teoremin ispatı açıkça görülür.

matrisinin tanımından, için olduğu görülür. Matris çarpımından aşağıdaki sonuç elde edilir.

(70)

dir. dizisinin, karakteristik denkleminin , ,…, şeklinde tane kökü vardır.

boyutundaki köşegenleştirilmiş matrisini ve matrisini aşağıdaki gibi tanımlayalım.

1 1 1 1 2 1 2 1 0 0 0 1 / ( 1) 1 / ( 1) 1 / ( 1) 1 1 1 k k k k k k W k k            _ _       _ _    _ _   

olduğu kolaylıkla görülebilir. , ,…, farklı olduğu için dır. Teorem 5.1.3: için, dir.

Ġspat: ve olduğu için _{yazılabilir. Buna göre} matrisi matrisine benzerdir. O zaman dir. Buna göre yazılabilir. Denklemin (2,1) nci elemanından teorem ispatlanır.

1 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 _k K                    

(71)

ve , matrisini aşağıdaki gibi tanımlayalım. 2 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 N                   1 1 1 2 1 1 1 3 2 1 2 1 1 n n k n n n n k n n n n n k n n n k n k n k n k S S S S S S S S P S S S S S S S S                          _ _ _               _ _ _    Teorem 5.1.4: için; dir.

Ġspat: olduğundan ve matris çarpımından yazılır. Tümevarım metodundan elde edilir. ve matrisinin tanımından olduğu görülür. Böylece teorem ispatlanmış olur.

matrisinin ve dizisinin karakteristik denklemleri dır. Denklemin kökleri hesaplanırsa , ,…, ,1 elde edilir.

Sonuç: dizisi; için, , , 2, ,…, olmak üzere;

bağıntısını sağlar.

boyutundaki , Vandermonde matrisini ve köşegenleştirilmiş matrisi aşağıdaki gibi tanımlayalım.

(72)

1 2 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 k k k k k k k k k W                              _{olmak üzere,} _, matris ve , ‟nin nci sütunu ile yer değiştirilerek elde edilen matris olsun.

Teorem 5.1.5: için, olmak üzere,

dir.

Ġspat: olduğu kolaylıkla görülür. , ,…, farklı olduğu için ve , Vandermonde matris olduğu için ‟in ters matrisi vardır. Bu yüzden yazılabilir ve böylece dir. Teorem 5.1.4‟den dan dir. Buradan;

denklem sisteminin çözümünden ispat görülür.

1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 k k K                     

(73)

5.2 k. Mertebeden Rekürans Dizisinin Elemanlarıyla OluĢturulan Matris ve Rekürans Özellikleri

Bu bölümde, 3.3‟de Fibonacci dizisi için verilen kavramlar mertebeden rekürans dizisine taşınmıştır.

Tanım 5.2.1: , 1‟den büyük tam sayılar ve keyfi tamsayılar olmak üzere;

(5.2.1)

lineer rekürans bağıntısıyla verilen diziye genelleştirilmiş mertebeden rekürans dizisi denir.

(5.2.1) ile verilen genelleştirilmiş mertebeden rekürans dizisinde uygun , , , değerleri için , , ,…, katsayılarını bulmak istiyoruz. Bunun için, , eklemeli matrisini ( 1) ( 1 ) ( ) ( 1) ( 2 ) ( 1) ( 1) ( 2) ( 1) wn w n w n k w n h s w n wn w n k w n h s n w n k w n k wn w n h k s L L L L L L L L A L L L L                           _ _      

şeklinde yazarız. Uygun , , , değerleri aldıktan sonra eklemeli matrisinde elementer sutun işlemleri yaparak , , ,…, katsayıları hesaplanır. Örneğin; için; 0 (2 ) (1 ) 2 (3 ) (2 ) 1 ( 1) ( ) w w k w h s w w w k w h s kw w k w w h k s L L L L L L L L A L L L L                         

olur. Burada alırsak 4.5 bölümde verilen özellikler elde edilir. alınarak Tetranacci, Pentanacci dizisi gibi diziler için rekürans bağıntısı türetilebilir.

(74)

diğer durumlarda olmak üzere; , tipinde kare matris olsun. Buna göre;

dir.

Ġspat: ‟de için,

olup

olur. için;

_olup

elde edilir. için;

( 1) ( 2) ( 3) ( 2) ( 1) ( 2) ( 3) ( 4) (1) ( 5) 1 0 1 0 ( ) 1 1 1 tw s t w s t w s t w s t i w s t w s t w s t i w s tw s t i w s L tw s t i w s tw s L L L L L L L L L L M i L L L                                     _  _  _       _   

(75)

olup buna göre;

( 1) ( 2) ( 3) ( 1) ( 1) ( 2) ( 2) ( 3) (1) ( 4) 1 0 1 0 ( 1) 1 1 1 tw s t w s t w s t w s t i w s t w s t w s t i w s tw s t i w s L tw s t i w s tw s L L L L L L L L L L M i L L L                                      _  _  _       _   

hesaplarken determinant kalana kadar son sütuna göre açarak devam edilir. Sadeleştirilmeler yapıldığında ise teorem ispatı açıkça görülür.

(76)

6. SONUÇLAR VE ÖNERĠLER

6.1 Sonuçlar

Bu çalışma altı bölümden oluşmaktadır. Birinci bölüm giriş bölümü olup ikinci bölümde ise kaynak araştırması yapılmıştır. Üçüncü bölümde Fibonacci dizisiyle ilgili yapılan bazı çalışmalardan bahsedilmiştir. Dördüncü ve beşinci bölüm tezin esas kısmı olup, dördüncü bölümde üçüncü bölümde verilen çalışmalar Tribonacci dizisine taşınmıştır. Beşinci bölümde ise bu çalışmalar Fibonacci, Tribonacci,… gibi dizilerin genellemesi olan mertebeden lineer rekürans dizisine taşınarak bazı özellikleri ele alınmıştır.

6.2 Öneriler

Altıncı bölümde tanımlanan mertebeden lineer rekürans bağıntısının başlangıç şartları değiştirilerek yeni bir dizi oluşturacak şekilde tanımlanıp özellikler tekrar incelenebilir.

(77)

KAYNAKLAR

Brousseau A., 1969, Fibonacci-Lucas Infinite Series-Research Topic, Fibonacci

Quarterly, 7(2), 211-217

Cerit C. ve Canoğlu A., 1991, Matematik Analiz, 1, İTÜ Fen Fakültesi, İstanbul, 85-144

Er M.C. , 1984, Sums of Fibonacci Numbers by Matrix Methods, Fibonacci Quarterly, 22(3), 204-207

Feng J., Basımda, More Identities and Tridiagonal Matrices About Fibonacci and Lucas Numbers, Ars Combinatoria

Kılıç E., 2008, Tribonacci Sequences with Certain Indices and Their Sums, Ars

Combinatoria, 86, 13-22

Kılıç E., Taşçı D., 2007, On The Permanents of Some Tridiagonal Matrices with Applications to the Fibonacci and Lucas Numbers, Roky Mountain Journal of

Mathematics, 37(6), 1953-1968

Lin P., 1988, De Moivre-type İdentities for the Tribonacci Numbers, Fibonacci

Quarterly, 26(2), 131-134

Miles E.P., 1960, Generalized Fibonacci Numbers and Associated Matrices, Amer.

Math. Monthly, 67, 745-752

Nyugen T.G., 2005, Fibonacci and Lucas Series with Elliptic Functions, In Partial

Fulfilment of the Requirements for the Degree Master of Arts, The Faculty of the Department of Mathematics, San Jose State University, 3-35

Parpar T., Nallı A., 2011, Negatif İndisli Tribonacci Dizisinin Bazı Özellikleri, 3. Ulusal Ereğli Kemal Akman Meslek Yüksek Okulu Tebliğ Günleri

Parpar T., Nallı A., Submited, The Tribonacci Infinite Series, Miskolc Mathematical Notes

Taşçı D., 1999, Lineer Cebir, S.Ü.Yaşayma ve Geliştirme Vakfı Yayınları, Konya

Yosma Z., 2008, Fibonacci ve Lucas Sayıları, Yüksek Lisans Tezi, Sakarya Üniversitesi

Fen Bilimleri Enstitüsü, Sakarya, 51-64

Waddil M.E., 1992, The Tetranacci Sequence and Generalizations, Fibonacci

(78)

ÖZGEÇMĠġ KĠġĠSEL BĠLGĠLER

Adı Soyadı : Tuğba PARPAR

Uyruğu : TC

Doğum Yeri ve Tarihi : Akşehir – 1988 Telefon : 506 719 37 47

e-mail : parpar.tugba@gmail.com

EĞĠTĠM

Derece Adı, Ġlçe, Ġl Bitirme Yılı

Lise : Selçuklu Atatürk Lisesi 2005

Üniversite : Selçuk Üniversitesi 2009

Yüksek Lisans : Selçuk Üniversitesi -

Ġġ DENEYĠMLERĠ

Yıl Kurum Görevi

2011 Ereğli Eğitim Fakültesi Araştırma Görevlisi

UZMANLIK ALANI YABANCI DĠLLER