İSTANBUL TEKNİK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
KÜRESEL OLMAYAN MALZEMELERİN AKIŞKANLAŞMA SIRASINDAKİ DAVRANIŞLARININ İNCELENMESİ
DOKTORA TEZİ Y. Müh. Elif SOYER
AĞUSTOS 2008
Anabilim Dalı : ÇEVRE MÜHENDİSLİĞİ
İSTANBUL TEKNİK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
KÜRESEL OLMAYAN MALZEMELERİN AKIŞKANLAŞMA SIRASINDAKİ DAVRANIŞLARININ
İNCELENMESİ
DOKTORA TEZİ Y. Müh. Elif SOYER
(501022367)
AĞUSTOS 2008
Tezin Enstitüye Verildiği Tarih : 27 Mayıs 2008 Tezin Savunulduğu Tarih : 01 Ağustos 2008
Tez Danışmanı : Prof. Dr. Hasan Z. SARIKAYA İkinci Danışman : Prof. Dr. Ömer AKGİRAY (M.Ü.) Diğer Jüri Üyeleri Prof. Dr. Cumali KINACI (İ.T.Ü.) Prof. Dr. Mustafa TURAN (İ.T.Ü.) Prof. Dr. Ahmet M. SAATÇI (M.Ü.) Doç. Dr. Atilla AKKOYUNLU (B.Ü.) Dr. Ayşe Ç. ERBİL (İ.T.Ü.)
ii ÖNSÖZ
Tez danışmanlarım Prof.Dr. Hasan Z. Sarıkaya ve Prof.Dr. Ömer Akgiray’a çalışmamın bütün kademelerindeki destekleri ve emekleri için sonsuz teşekkürlerimi sunarım.
Çalışmamda gösterdikleri ilgi ve desteklerinden dolayı değerli hocalarım Prof.Dr. Ahmet Mete Saatçı, Prof.Dr. Mustafa Turan, Dr. Ayşe Çeçen Erbil, Prof.Dr. Cumali Kınacı ve Doç.Dr. Atilla Akkoyunlu’ya,
Manevi destekleri ile sürekli yanımda olan arkadaşlarım Nur Fındık Hecan, Araş.Gör. Esra Erdim, Dr. Nursen Öz Eldem ve Yard.Doç.Dr. Mehmet Çakmakcı’ya,
Özveri, destek ve sabırlarından ötürü sevgili aileme teşekkür ederim.
iii İÇİNDEKİLER TABLO LİSTESİ v ŞEKİL LİSTESİ vi SEMBOL LİSTESİ xi ÖZET xii SUMMARY xiv 1. GİRİŞ 1
1.1 Konunun Anlam ve Önemi 1
1.2 Çalışmanın Amacı ve Kapsamı 2
2. SABİT VE AKIŞKAN YATAKLI SİSTEMLER 4
2.1 Taneciklerin Karakterizasyonu 4
2.1.1 Tanecik büyüklüğü 4
2.1.2 Tanecik Şekli 6
2.1.2.1 Küresellik 6
2.1.2.2 Yuvarlaklık 7
2.1.2.3 Heywood şekil faktörü 8
2.1.3 Tanecik yoğunluğu 8
2.1.4 Tanecik boyut ve şeklinin doğrudan karakterizasyonu 9
2.1.4.1 Elek analizi 9
2.2 Tanecik Direnç Katsayısı 11
2.3 Ampirik Direnç Katsayısı İfadeleri 13
2.4 Tekil Bir Taneciğin Nihai Çökelme Hızı 15
2.5 Sabit Yataklar 20
2.5.1 Tek boyutlu kürelerin dolgu karakteristikleri 20 2.5.1.1 Üniform tek boyutlu kürelerin düzenli yerleşmesi 21 2.5.1.2 Üniform tek boyutlu kürelerin rasgele yerleşimi 21
2.5.2 Yatağın spesifik yüzey alanı 22
2.5.3 Küresel olmayan malzemelerin dolgu karakteristikleri 22 2.5.4 Sabit yatak boşluk oranı için korelasyonlar 24 2.5.5 Sabit yatak içinden akış üzerine yapılmış çalışmalar 27
2.5.5.1 Darcy kanunu 27
2.5.5.2 Blake korelasyonu 28
2.5.5.3 Brownell ve Kats korelasyonu 29
iv
2.5.5.5 Ergun korelasyonu 30
2.5.5.6 Genel sürtünme faktörü korelasyonları 34 2.5.5.7 Bir dizi içindeki tanecik için direnç katsayısı 35
2.5.5.8 Barnea ve Mednick korelasyonu 35
2.5.5.9 Durgun gözeneklilik kavramı 36
2.5.5.10 Sabit yatakların permeabilitesi 37
2.6 Filtre Geri Yıkama ve Akışkanlaşma Prensipleri 37
2.6.1 Akışkan yataklar 38
2.6.1.1 Kaldırma kuvveti ve direnç kuvveti 41
2.6.1.2 Hidrodinamik gösterim 43
2.6.1.3 Minimum akışkanlaşma 47
2.6.2 Akışkan yatak genişlemesi 54
2.6.2.1 Teorik modeller 59 2.6.2.2 Ampirik modeller 60 3. MATERYAL VE METOT 83 3.1 Permeabilite Düzeneği 83 3.2 Akışkanlaşma Düzeneği 87 3.3 Kullanılan Malzemeler 93 3.3.1 Küresel malzemeler 93
3.3.2 Küresel olmayan malzemeler 93
3.4 Ortalama Tane Çapının Belirlenmesi 98
3.4.1 Eleme işlemi 98
3.4.2 Eşdeğer çap 100
3.4.3 Mikrometre kullanımı ile tanecik çapının belirlenmesi 101
3.5 Yoğunluk 102
3.6 Küresellik Katsayısı 102
4. DENEYSEL ÇALIŞMA VERİLERİ 106
4.1 Kullanılan Malzemeler 106
4.2 Yoğunluk 107
4.3 Eşdeğer Çap 109
4.4 Küresellik Katsayısı 109
4.5 Akışkanlaşma Deneyleri 111
5. DENEYSEL ÇALIŞMA SONUÇLARININ YORUMLANMASI 114
6. YENİ MODEL ÇALIŞMALARI 133
7. SONUÇLAR VE ÖNERİLER 142
KAYNAKLAR 147
EKLER 159
v TABLO LİSTESİ
Sayfa No Tablo 2.1 : Düzgün olmayan şekilli malzemelerin karakterizasyonunda
kullanılan çap tanımlamaları………..…… 5
Tablo 2.2 : Genelde rastlanan küresel olmayan malzemelerin küresellik değerleri……… 7
Tablo 2.3 : Standart elekler ve elek açıklıkları………... 11
Tablo 2.4 : Akış rejimleri ve direnç katsayısı ifadeleri………... 12
Tablo 2.5 : Direnç katsayısı ifadeleri……….. 14
Tablo 2.6 : Heywood Tablolarına uyarlanan polinom denklemlerin katsayıları………... 19
Tablo 2.7 : Küresel olmayan malzemeler için yatak gözenekliliğinin kabaca tahmini……….. 23
Tablo 2.8 : Üniform çaplı taneciklerden (>500µm) oluşan rasgele yerleşmiş dolgulu yatakların boşluk oranı……… 24
Tablo 2.9 : Tanecikli filtre yatakları için iki geri yıkama alternatifinin karşılaştırılması……… 39
Tablo 2.10 : Denk. 2.72’deki C1 ve C2 parametreleri………... 49
Tablo 2.11 : Küreler için verilen akışkanlaşmada hız-boşluk oranı ilişkileri… 63 Tablo 3.1 : Eşdeğer çap ölçümüne ait örnek hesaplamalar………. 101
Tablo 3.2 : Yoğunluk ölçümüne ait örnek hesaplamalar……… 104
Tablo 4.1 : Deneysel çalışmalarda kullanılan küresel malzemeler…………. 106
Tablo 4.2 : Deneysel çalışmalarda kullanılan elenerek hazırlanmış küresel olmayan malzemeler………. 107
Tablo 4.3 : Küresel malzemelerin yoğunlukları………. 108
Tablo 4.4 : Küresel olmayan malzemelerin yoğunlukları………... 108
Tablo 4.5 : Küresel malzemelerin eşdeğer çapları……….. 109
Tablo 4.6 : Küresel olmayan malzemelerin eşdeğer çapları………... 110
Tablo 4.7 : Küresel olmayan malzemelerin küresellik katsayıları………….. 111
Tablo 5.1 : Literatürden alınan küresel malzemelere ait akışkanlaşma verilerinin farklı modellere uygulanması sonucu hesaplanan gözeneklilik değerlerindeki hatalar……….. 122
Tablo 5.2 : Denk. 5.1 ve Denk. 5.4 kullanılarak yapılan hata hesaplamaları 130 Tablo 6.1 : Literatürde mevcut denklemler ve Denk. 5.2 ile Denk. 6.1……. 134
Tablo 6.2 : Literatürden alınan verilerin farklı modellere uygulanması sonucu hesaplanan gözeneklilik değerlerindeki hatalar………... 136
Tablo 6.3 : Bu çalışmada elde edilen verilerin farklı modellere uygulanması sonucu hesaplanan gözeneklilik değerlerindeki hatalar………... 138
vi ŞEKİL LİSTESİ
Sayfa no Şekil 2.1 : Projeksiyon alanı çapı, Feret çapı ve Martin çapının şematik
gösterimi…...……….…. 6
Şekil 2.2 : Tanecik iskelet yoğunluğu ……….… 9
Şekil 2.3 : Elek analizi sonuçlarının değerlendirilmesi ……….….. 10
Şekil 2.4 : Tek boyutlu kürelerin iki temel yerleşme biçimi ……….….. 21
Şekil 2.5 : Yarı kesikli sıvı akışkanlaşma sistemi ………... 40
Şekil 2.6 : Homojen tek boyutlu tanecikler için lineer hızın bir fonksiyonu olarak sürtünme nedenli yük kaybı grafiği ………... 44
Şekil 2.7 : Lineer hızın bir fonksiyonu olarak yatak derinliğinin değişimi …. 46 Şekil 2.8 : Lineer hızın bir fonksiyonu olarak yatak gözenekliliğinin değişimi ……….. 46
Şekil 2.9 : Lineer hızın bir fonksiyonu olarak sıvı-katı toplam yoğunluk değişimi ……….. 47
Şekil 2.10 : Karışık boyutlu, şekilli ve/veya yoğunluklu tanecikler için lineer hızın bir fonksiyonu olarak sürtünme nedenli yük kaybı değişimi. 51 Şekil 3.1 : Armfield W3 Permeabilite/Akışkanlaşma düzeneği…………... 84
Şekil 3.2a : Sıcaklığa bağlı olarak boş yatak yük kayıpları değişimi……….… 86
Şekil 3.2b : 1,19-1,41 kum fraksiyonuna ait permeabilite deney sonuçları….... 86
Şekil 3.3 : 5,05 cm iç çaplı akışkanlaşma kolonu………... 88
Şekil 3.4 : Deney düzeneği şematik gösterimi……….… 89
Şekil 3.5 : Deneylerde kullanılan elektromanyetik debimetreler………….… 90
Şekil 3.6a : 1,00-1,19 kum fraksiyonuna ait akışkanlaşma deney sonuçları (hıza bağlı olarak yatağın genişleme yüzdesindeki değişim)….…. 90 Şekil 3.6b : 1,00-1,19 kum fraksiyonuna ait akışkanlaşma deney sonuçları (hıza bağlı olarak yatak gözenekliliğindeki değişim)………….…. 91
Şekil 3.7 : Hazırlanan kum fraksiyonlarından örnekler………..….. 93
Şekil 3.8 : Hazırlanan perlit fraksiyonlarından örnekler ve malzemeden ayrılan safsızlıklar……….………….. 95
Şekil 3.9 : Farklı yoğunluklara sahip garnet fraksiyonlarından örnekler….… 95 Şekil 3.10 : Şişecam, Anadolu Cam Sanayi A.Ş.’den temin edilen cam numunesi ……… 97
Şekil 3.11 : Ayıklanarak temizlenen cam numuneleri……..……….. 97
Şekil 3.12 : Kırma makinası……….…….. 97
Şekil 3.13 : Hazırlanan kırık cam fraksiyonlarından örnekler ve küresellik değişimi……….……….. 98
Şekil 3.14 : Elek sarsıcı ve standart elekler……….…... 99
Şekil 3.15 : Malzeme özelliklerinin belirlenmesi öncesinde çeyreklere bölme metodu ile homojen temsil edici numune alınması………….…… 100
Şekil 3.16 : Eşdeğer çapın belirlenmesi…………...……….……. 100
Şekil 3.17 : Mikroskop ile tanecik boyutları ölçümü denemeleri………….….. 101
Şekil 3.18 : Mikrometre ile küresel taneciklerin çap ölçümü……….…… 102
Şekil 3.19 : Yoğunluk ölçümlerinde kullanılan cam piknometre……….…….. 102 Şekil 3.20 : 1,11 mm cam küreler için ölçülen sabit yatak yük kayıpları….…. 105
vii
Şekil 4.1 : Kum fraksiyonları…………..……….. 112 Şekil 4.2 : Perlit fraksiyonları……….…………. 112 Şekil 4.3 : Tek seferde kırma ile oluşturulmuş kırık cam fraksiyonları….….. 113 Şekil 4.4 : Birden çok kez tekrarlı kırma ile oluşturulmuş kırık cam
fraksiyonları ……… 113 Şekil 5.1 : Literatürde yayınlanmış kürelere ait akışkanlaşma datası……...… 114 Şekil 5.2 : Analiz için kullanılan literatürden alınmış veriler ve modifiye
edilmiş Ergun denklemi ile Fair-Hatch denklemi………..…. 116 Şekil 5.3 : Deneysel çalışmalardan elde edilen küresel akışkanlaşma verileri 116 Şekil 5.4a : 10 farklı kum fraksiyonuna ait akışkanlaşma datası ve
Dharmarajah-Cleasby denklemi sonuçları………..…… 118 Şekil 5.4b : 7 farklı perlit fraksiyonuna ait akışkanlaşma datası ve
Dharmarajah-Cleasby denklemi sonuçları………..…… 118 Şekil 5.5a : Tek seferde kırma ile oluşturulmuş 4 farklı kırık cam
fraksiyonuna ait akışkanlaşma datası ve Dharmarajah-Cleasby
denklemi sonuçları…... 119 Şekil 5.5b : Birden çok kez kırma ile oluşturulmuş 7 farklı kırık cam
fraksiyonuna ait akışkanlaşma datası ve Dharmarajah-Cleasby
denklemi sonuçları……….. 119 Şekil 5.6 : Literatürde yayınlanmış kürelere ait akışkanlaşma datası ve
Denk. 5.2 ……… 121 Şekil 5.7a : 10 farklı kum fraksiyonuna ait akışkanlaşma datası ve Denk. 5.4
ile uyumu……… 123 Şekil 5.7b : 7 farklı perlit fraksiyonuna ait akışkanlaşma datası ve Denk. 5.4
ile uyumu……… 123 Şekil 5.8a : Tek seferde kırma ile oluşturulmuş 4 farklı kırık cam
fraksiyonuna ait akışkanlaşma datası ve Denk. 5.4 ile uyumu….... 124 Şekil 5.8b : Birden çok kez kırma ile oluşturulmuş 7 farklı kırık cam
fraksiyonuna ait akışkanlaşma datası ve Denk. 5.4 ile uyumu…… 124 Şekil 5.9 : 0,84x1,00 mm perlit fraksiyonu (ψ=0,645) için hıza karşı yatak
genişlemesi değişimi………... 125 Şekil 5.10 : 1,18x1,41 mm yeniden kırılmış cam fraksiyonu (ψ=0,515) için
hıza karşı yatak genişlemesi değişimi……….… 126 Şekil 5.11 : 1,19x1,41 mm silika kumu fraksiyonu (ψ=0,714) için hıza karşı
yatak genişlemesi değişimi……….. 126 Şekil 5.12a : Kum fraksiyonları ile yürütülen akışkanlaşma deneyleri sonucu
bulunan gözeneklilik değerlerinin korelasyonlarla hesaplanan
sonuçlarıyla karşılaştırılması……….……….. 128 Şekil 5.12b : Perlit fraksiyonları ile yürütülen akışkanlaşma deneyleri sonucu
bulunan gözeneklilik değerlerinin korelasyonlarla hesaplanan
sonuçlarıyla karşılaştırılması…..………. 128 Şekil 5.12c : Tek seferde kırma ile oluşturulmuş kırık cam fraksiyonları ile
yürütülen akışkanlaşma deneyleri sonucu bulunan gözneklilik değerlerinin korelasyonlarla hesaplanan sonuçlarıyla
karşılaştırılması ……….. 129 Şekil 5.12d : Tekrarlı kırma ile oluşturulmuş kırık cam fraksiyonları ile
yürütülen akışkanlaşma deneyleri sonucu bulunan
gözenekliliklerin değerlerinin korelasyonlarla hesaplanan
sonuçlarıyla karşılaştırılması………..…. 129
viii
Şekil 3.13a : Kum fraksiyonları ile yürütülen akışkanlaşma deneyleri sonucu bulunan L/L0 parametresinin korelasyonlarla hesaplanan
sonuçlarıyla karşılaştırılması……….…………....….. 131
Şekil 3.13b : Perlit fraksiyonları ile yürütülen akışkanlaşma deneyleri sonucu bulunan L/L0 parametresinin korelasyonlarla hesaplanan sonuçlarıyla karşılaştırılması………... 131
Şekil 3.13c : Tek seferde kırma ile oluşturulmuş kırık cam fraksiyonları ile yürütülen akışkanlaşma deneyleri sonucu bulunan L/L0 parametresinin korelasyonlarla hesaplanan sonuçlarıyla karşılaştırılması………... 132
Şekil 3.13d : Tekrarlı kırma ile oluşturulmuş kırık cam fraksiyonları ile yürütülen akışkanlaşma deneyleri sonucu bulunan L/L0 parametresinin korelasyonlarla hesaplanan sonuçlarıyla karşılaştırılması………...……….... 132
Şekil 6.1 : Literatürden alınan küresel tanecik datası ve Denk. 6.1………….. 134
Şekil 6.2 : Gözeneklilikteki hatanın bir fonksiyonu olarak tahmin edilen yatak yüksekliklerindeki % hata değişimi………... 137
Şekil 6.3 : 1,19 mm cam küreler için akışkanlaşma deneyi datası ve farklı modeller………….……….. 138
Şekil 6.4a : Farklı denklemler kullanılarak hesaplanan hata değerlerinin yatak genişlemelerine bağlı değişimi……….... 139
Şekil 6.4b : Farklı denklemler kullanılarak hesaplanan hata değerlerinin yatak gözenekliliklerine bağlı değişimi……….... 140
Şekil 6.5a : Yatak genişlemelerinin deneysel ve hesaplanan değerlerinin değişimi ……….. 140
Şekil 6.5b : Yatak gözenekliliklerinin deneysel ve hesaplanan değerlerinin değişimi………... 141
Şekil A.1 : Debimetre kullanılarak ve kullanılmadan yürütülen akışkanlaşma deneyi sonuçlarının karşılaştırılması………... 160
Şekil A.2 : 1 mm cam kürelere ait mikrometre ölçüm sonuçları……...……… 160
Şekil A.3 : Farklı bir üreticiden temin edilen 1 mm cam kürelere ait mikrometre ölçüm sonuçları……… 161
Şekil A.4 : 2 mm cam kürelere ait mikrometre ölçüm sonuçları………... 161
Şekil A.5 : 3 mm cam kürelere ait mikrometre ölçüm sonuçları………... 161
Şekil A.6 : Farklı bir üreticiden temin edilen 3 mm cam kürelere ait mikrometre ölçüm sonuçları……… 162
Şekil A.7 : 4 mm cam kürelere ait mikrometre ölçüm sonuçları………...…… 162
Şekil A.8 : 5 mm cam kürelere ait mikrometre ölçüm sonuçları……...……… 162
Şekil A.9 : 2 mm plastik kürelere ait mikrometre ölçüm sonuçları………... 163
Şekil A.10 : 2,5 mm plastik kürelere ait mikrometre ölçüm sonuçları……... 163
Şekil A.11 : 3 mm plastik kürelere ait mikrometre ölçüm sonuçları………... 163
Şekil B.1 : Kum 0,701-0,84 mm (D=3,8 cm)………..………... 164 Şekil B.2 : Kum 0,701-0,84 mm (D=4,01 cm)……….. 164 Şekil B.3 : Kum 0,701-0,84 mm (D=5,05 cm)……….. 164 Şekil B.4 : Kum 0,84-1,00 mm (D=3,8 cm)……….. 164 Şekil B.5 : Kum 0,84-1,00 mm (D=5,05 cm)……… 164 Şekil B.6 : Kum 1,00-1,19 mm (D=3,8 cm)………...………... 164 Şekil B.7 : Kum 1,00-1,19 mm (D=5,05 cm)………...………..……... 165 Şekil B.8 : Kum 1,19-1,41 mm (D=3,8 cm)………...……..…………. 165
ix Şekil B.9 : Kum 1,19-1,41 mm (D=5,05 cm)………..……..……….... 165 Şekil B.10 : Kum 1,41-1,68 mm (D=3,8 cm)………..…..……….. 165 Şekil B.11 : Kum 1,41-1,68 mm (D=5,05 cm)………...…………..……... 165 Şekil B.12 : Kum 0,590-0,701 mm (D=4,03 cm)…………..………..….... 165 Şekil B.13 : Kum 0,590-0,701 mm (D=5,05 cm)…………..……….. 166 Şekil B.14 : Kum 0,590-0,600 mm (D=4,03 cm)…………..……….. 166 Şekil B.15 : Kum 0,590-0,600 mm (D=5,05 cm)……….………... 166 Şekil B.16 : Kum 0,500-0,600 mm (D=4,03 cm)……….………... 166 Şekil B.17 : Kum 0,500-0,600 mm (D=5,05 cm)……….………... 166 Şekil B.18 : Kum 0,500-0,590 mm (D=4,03 cm)………..……….. 166 Şekil B.19 : Kum 0,500-0,590 mm (D=5,05 cm)……..……….. 167 Şekil B.20 : Kum 0,355-0,500 mm (D=4,03 cm)………..……….. 167 Şekil B.21 : Kum 0,355-0,500 mm (D=5,05 cm)……….... 167 Şekil B.22 : Perlit 0,701-0,84 mm (D=3,8 cm)………...… 167 Şekil B.23 : Perlit 0,701-0,84 mm (D=5,05 cm)……….…… 167 Şekil B.24 : Perlit 0,84-1,00 mm (D=3,8 cm)……….…… 167 Şekil B.25 : Perlit 0,84-1,00 mm (D=5,05 cm)……….…….. 168 Şekil B.26 : Perlit 1,00-1,18 mm (D=3,8 cm)……….……… 168 Şekil B.27 : Perlit 1,00-1,18 mm (D=5,05 cm)………... 168 Şekil B.28 : Perlit 1,18-1,41 mm (D=3,8 cm)………. 168 Şekil B.29 : Perlit 1,18-1,41 mm (D=5,05 cm)………... 168 Şekil B.30 : Perlit 1,41-1,68 mm (D=3,8 cm)……….…… 168 Şekil B.31 : Perlit 1,41-1,68 mm (D=5,05 cm)……….……….. 169 Şekil B.32 : Perlit 0,590-0,701 mm (D=4,03 cm)……….….. 169 Şekil B.33 : Perlit 0,590-0,701 (D=5,05 cm)……….………. 169 Şekil B.34 : Perlit 0,590-0,701 (D=4,01 cm)……….………. 169 Şekil B.35 : Kırık cam 0,84-1,00 mm (D=3,8 cm)…………..……… 169 Şekil B.36 : Kırık cam 1,18-1,41 mm (D=3,8cm)…………..………. 169 Şekil B.37 : Kırık cam 1,41-1,68 mm (D=3,8 cm)…………..……… 170 Şekil B.38 : Kırık cam 2,00-2,38 mm (D=3,8 cm)…………..……… 170 Şekil B.39 : Kırık cam** 0,701-0,84 mm (D=3,8 cm)………….……… 170 Şekil B.40 : Kırık cam** 0,701-0,84 mm (D=5,05cm)…………..……….. 170 Şekil B.41 : Kırık cam** 0,84-1,00 mm (D=3,8 cm)………..………. 170 Şekil B.42 : Kırık cam** 0,84-1,00 mm (D=5,05 cm)……….……… 170 Şekil B.43 : Kırık cam** 1,00-1,18 mm (D=3,8 cm)……….……….. 171 Şekil B.44 : Kırık cam** 1,00-1,18 mm (D=5,05cm)…….………. 171 Şekil B.45 : Kırık cam** 1,18-1,41 mm (D=3,8 cm)……….……….. 171 Şekil B.46 : Kırık cam** 1,18-1,41 mm (D=5,05cm)……….………. 171 Şekil B.47 : Kırık cam** 1,41-1,68 mm (D=3,8 cm)……….……….. 171 Şekil B.48 : Kırık cam** 1,41-1,68 mm (D=5,05 cm)……….……… 171 Şekil B.49 : Kırık cam** 1,68-2,00 mm (D=3,8 cm)……….……….. 172 Şekil B.50 : Kırık cam** 1,68-2,00 mm (D=5,05cm)……….…. 172 Şekil B.51 : Kırık cam** 2,00-2,38 mm (D=3,8 cm)……….….. 172 Şekil B.52 : Kırık cam** 2,00-2,38 mm (D=5,05cm)……….…………. 172
Şekil C.1 : Kum fraksiyonlarının log Re1 – log φ grafiği ve farklı modellerle uyumu (ψort = 0,74)………..………… 173
Şekil C.2 : Perlit fraksiyonlarının log Re1 – log φ grafiği ve farklı modellerle uyumu (ψort = 0,66)………..……… 174
Şekil C.3 : Tek seferde kırma ile oluşturulmuş kırık cam fraksiyonlarının log Re1 – log φ grafiği ve farklı modellerle uyumu (ψort = 0,42)…….. 175
x
Şekil C.4 : Tekrarlı kırma metodu ile oluşturulmuş kırık cam
fraksiyonlarının log Re1 – log φ grafiği ve farklı modellerle
xi SEMBOL LİSTESİ
Ap : Bir taneciğin projeksiyon alanı
Ar : Archimedes sayısı (Gallileo sayısı) ap : Bir taneciğin yüzey alanı
CD : Sınırsız bir akışkan içerisindeki taneciğin direnç katsayısı
CD1 : Bir dizi içerisinde bulunan taneciğin direnç katsayısı
D : Kolon çapı
dA : Elek çapı
dp : Tanecik çapı
deş : Eşdeğer tanecik çapı
f : Sürtünme faktörü g : Yerçekimi ivmesi K : Permeabilite katsayısı L : Yatak yüksekliği m, n : Üs katsayıları
Np : Birim hacimdeki yatakta bulunan tanecik sayısı
P1, P2 : 1 ve 2 noktalarındaki basınçlar
∆P : Yük kaybı, basınç farkı
Q : Debi
Re : Reynolds sayısı
Re1 : Blake tarafından tanımlanmış Reynolds sayısı
Rep : Tanecik çapı esas alınarak bulunan Reynolds sayısı
Ret : Taneciğin nihai çökelme hızı esas alınarak bulunan Reynolds sayısı
Sp : Tanecik yüzey alanı
T : Sıcaklık
U : Akışkan hızı, lineer hız Ut : Taneciğin nihai çökelme hızı
Umf : Minimum akışkanlaşma hızı
Vp : Tanecik hacmi
ε : Boşluk oranı, gözeneklilik µ : Akışkanın dinamik viskozitesi ρ : Akışkanın yoğunluğu
ρp : Tanecik yoğunluğu
ψ : Küresellik katsayısı
φ : Richardson ve Meikle tarafından tanımlanmış sürtünme faktörü
xii
KÜRESEL OLMAYAN MALZEMELERİN AKIŞKANLAŞMA SIRASINDAKİ DAVRANIŞLARININ İNCELENMESİ
ÖZET
İçme suyu ve atıksu ileri arıtımında kullanılan en önemli temel işlemlerden biri olan filtrasyonun başarılı işletimi, etkili bir geri yıkama yapılmasına bağlıdır. Küresel olmayan malzemeleri içeren filtre yataklarının geri yıkama sırasındaki yatak yükseklikleri ve gözeneklilik tahmini bu sistemlerin tasarımı açısından büyük önem taşımaktadır. Küresel taneciklerden oluşan akışkan yatakların genişlemesi üzerine önerilen pek çok denklem mevcuttur. Bununla birlikte küresel olmayan malzemeler için ise literatürde önerilen denklemlerin sayısı oldukça azdır. Ayrıca küresel olmayan tanecikler için geçerli genişleme modellerinin doğrulukları sistematik bir şekilde değerlendirilmemiş ve karşılaştırılmamıştır.
Bu çalışmada, küresel olmayan malzemelerden oluşan yatakların tanecikli akışkanlaşması incelenmiştir. Küresel ve küresel olmayan malzemelere ait yeni deneysel veriler sunulmuştur. Deneyler, sekiz değişik çapta cam küreler (1,11; 1,19; 2,03; 2,99; 3,18; 4,03; 4,98 ve 6,01 mm), üç değişik çapta plastik küreler (1,97; 2,48 ve 2,87 mm), elenerek hazırlanmış on farklı kum fraksiyonu, onbir farklı kırık cam fraksiyonu ve yedi farklı perlit fraksiyonu kullanılarak yürütülmüştür. Perlit ve kırık cam malzemeleri, özelliklerinin (yoğunluk ve küresellik) silika kumundan farklı olması nedeniyle ilave akışkanlaşma verileri sağlayacağından bu çalışmaya dahil edilmiştir. Ayrıca son yıllarda yapılan çalışmalarda bu malzemelerin hızlı kum filtrelerinde kum yerine kullanılması araştırılmaktadır. Kırık cam malzemesinin ilave fraksiyonlarının oluşturulması için kullanılan en büyük elek açıklığına sahip elek üzerinde kalan malzeme tekrar kırılarak boyutu azaltılmış ve ardından eleme işlemi devam ettirilmiştir. Bu şekilde ilave kırık cam fraksiyonlarının yeterli miktarlarının elde edilmesine çalışılmıştır. Tekrarlı kırma ve eleme işlemi sonunda elde edilen kırık cam tanelerinin küreselliklerinin yüksek olduğu anlaşılmıştır. Bu prosedür kullanılarak yaklaşık olarak aynı boyut ve yoğunlukta fakat küresellikleri farklı olan malzeme elde edilmiştir. Böylece yatak genişlemesi davranışı üzerinde tanecik şeklinin etkisinin araştırılması için ilave akışkanlaşma verilerinin temini söz konusu olmuştur.
Kullanılan malzemelerin küresellikleri, sabit yatak yük kayıplarının Ergun denklemi kullanılarak değerlendirilmesi ile hesaplanmıştır. Bu çalışmada kullanılan bütün malzemeler için bu şekilde hesaplanan küresellikler, tanecik şeklinin akışkanlaşmaya olan etkisinin tahmininde başarılı neticeler vermiştir.
Hız-gözeneklilik arasındaki ilişkinin tahmininde kullanılabilecek yüksek doğruluklu neticeler veren basit bir denklem önerilmiştir (Denklem 1). Korelasyon metodu, sabit yataklarda kullanılana benzer olarak sürtünme faktörü kavramına dayanmaktadır. Çalışılan malzemeler için tanecik şekli etkisinin Reynolds sayısına bağlı olduğu ve bu bağlılığın literatürde sunulandan daha kuvvetli olduğu sonucuna ulaşılmıştır.
xiii
(
)
(
)(
)
1,262 1 766 , 1 1 1 0,673Re 0,930 0,274logRe log Re 137 , 3 log logϕ= + + − − − ψ (1)Önerilen yeni denklem, sonuçları oldukça iyi bir şekilde temsil etmekte ve küreler yanında küresel olmayan malzemelere de uygulanabilir nitelik taşımaktadır. Bu yeni modelin kullanımının iki önemli teşvik edici yanı söz konusudur: Mevcut korelasyonlar her ne kadar yeterli olarak görülse de sonuçlarının doğruluğunda elde edilecek her türlü ilerleme önemlidir. Çünkü gözenelilik tahminlerinde yapılacak ufak hatalar, genellikle kullanılan akışkan yatak yüksekliği tahminlerinde önemli hatalara neden olmaktadır. İkinci olarak, küresel olmayan malzemeler için uygulanabilir nitelikteki korelasyonlar uygulaması nispeten zor denklemlerdir. Bu çalışma ile önerilen model oldukça basit ve kullanımı kolay niteliktedir.
xiv
AN INVESTIGATION ON THE EXPANSION OF NON-SPHERICAL MEDIA DURING FLUIDIZATION
SUMMARY
Long term successful operation of filters which is one of the most important unit operations in both water and advanced wastewater treatment is strongly dependent on performing an effective backwashing step. More often than not, the media involved are not spherical thus, the prediction of expansion and fluidized bed porosity as a function of liquid velocity is very important to design such systems properly. Numerous equations have been proposed to predict the expansion of liquid fluidized beds of spherical particles. Very few general equations exist, however, for spherical media. Furthermore, the accuracies of the expansion models for non-spherical media have not been evaluated or compared in a conclusive manner to this date.
This study considers the expansion of beds of possibly non-spherical particles during particulate fluidization. New experimental data with both spherical and non-spherical media are presented. Experiments have been carried out with glass balls of eight different sizes (1.11, 1.19, 2.03, 2.99, 3.18, 4.03, 4.98 and 6.01 mm), plastic balls of three different sizes (1.97, 2.48 and 2.87 mm), ten sieved fractions of silica sand, eleven sieved fractions of crushed glass, and seven sieved fractions of perlite. Perlite and crushed glass were included in this study because their properties (densities and sphericities) are different than those of silica sand, and as such they can provide additional fluidization data. It may also be noted that both materials have been considered as substitutes for silica sand in rapid filters. To obtain additional fractions of crushed glass material, particles retained in the topmost sieve tray was crushed again and sieved. In this manner sufficient quantities of additional fractions of crushed glass were obtained. Glass fractions obtained by repeated crushing and sieving were observed to have higher sphericity values. Using this procedure, crushed glass fractions with approximately the same size and density but different sphericities were produced. This allowed the collection of additional fluidization data to investigate the effect of shape on expansion behaviour.
Sphericity of each material was determined using fixed-bed head loss data in conjunction with the Ergun equation. For all the materials studied in this work, sphericity values calculated using fixed-bed head loss measurements and the Ergun equation allowed successful prediction of the effect of particle shape on bed expansion during fluidization.
An alternative simple equation for the prediction of the velocity-voidage relationship is presented (Equation 1). The correlation method is based on the use of a friction factor concept similar to that used for fixed-beds. For the materials studied, it has been observed that this shape effect depends on the Reynolds number and is considerably stronger than documented previously in the literature.
xv
(
)
(
)(
)
1.262 1 766 . 1 1 1 0.673Re 0.930 0.274logRe log Re 137 . 3 log logϕ= + + − − − ψ (1)The proposed equation represents the data very accurately and can be used to predict the expansion of both spherical and non-spherical media. There are two important motivations for the new correlation. First, although some of the existing correlations seem to be accurate enough, further improvement in accuracy will not be superfluous. This is because relatively small errors in porosity may lead to large errors in fluidized bed height, which is frequently the quantity of practical interest. Second, the only practically useful correlations that can be applied to non-spherical media are equations which present quite cumbersome curve-fitting relations. The equation proposed in this study is considerably simpler and more elegant than the other correlations.
1. GİRİŞ
1.1 Konunun Anlam ve Önemi
Akışkanlaşma, taneli malzemenin sabit statik halden dinamik akışkan hale dönüştürüldüğü bir işlemdir. Bu işlem, sıvı yahut gaz akışkanın taneli malzeme içinden yukarı yöndeki hareketi ile gerçekleştirilir. Akışkan, katı taneciklerden oluşan bir yatağın tabanından verildiğinde tanecikler arası boşluklardan geçerek yukarı doğru hareket eder. Düşük hızlarda her bir tane üzerindeki direnç de düşüktür ve yatak sabit halde kalmaya devam eder. Hız arttırıldığında direnç kuvvetleri yerçekimi kuvveti ile yarışır hale gelir ve tanecikler birbirlerinden uzaklaşarak yatağın genişlemesine sebep olurlar. Akışkan hızı arttırılmaya devam edilip bir kritik değere ulaşıldığında, yukarı yönlü direnç kuvvetleri yerçekimi kuvvetine eşitlenir ve tanecikler akışkan yatak içerisinde asılı halde kalırlar. Bu kritik değerde yatağın “akışkan” olduğu ve akışkan özellikleri gösterdiği söylenir. Hız arttırılmaya devam edildiğinde yatağın toplam yoğunluğu düşmeye devam eder ve nihai olarak katı tanecikler akışkan yataktan taşınırlar.
Gözenekli ortamdan filtrasyon, su arıtımı ve ileri atıksu arıtımında kullanılan temel işlemlerin en önemlilerinden biridir. Hızlı kum filtrelerinin uzun süreli ve başarılı işletilmeleri için etkili bir şekilde geri yıkanması önem taşımaktadır. Geri yıkama metotları genel olarak aşağıdaki şekilde sınıflandırılabilir (AWWA, 1999):
(i) Sadece su ile geri yıkama
(ii) Yüzey yıkaması ile birlikte akışkan yatak haline getirerek geri yıkama (iii) Hava ile geri yıkamayı takiben filtre yatağının tam akışkan hale
getirilerek geri yıkaması
(iv) Akışkan hale getirmeden hava ve su ile geri yıkamanın birlikte yapılması Akışkanlaşma prensipleri ve akışkan hale gelmiş yatağın gözenekliliğinin tahmini, yukarıdaki ilk üç tip geri yıkama metodunun anlaşılması ve iyi bir şekilde tasarımının yapılması açısından önemlidir. Ayrıca, çift tabakalı ve üç tabakalı filtrelerde temizleme işlemi, sadece suyun kullanıldığı son bir akışkanlaşma adımını
2
içerir ki bu adım farklı filtre malzemelerinin tekrar tabakalaşmasının sağlanması için gereklidir.
Katı-sıvı sistemlerde akışkanlaşma birçok mühendislik uygulamasında kullanılmaktadır. Tanecikli filtre yataklarının geri yıkaması açısından da akışkanlaşma önem taşır. Günümüzde önem kazanmaya devam eden bir diğer kullanım alanı da atıksu arıtımında kullanılmakta olan akışkan yataklı reaktörlerdir. Akışkan yataklı reaktörler,
(i) Birim reaktör hacmi başına büyüme için daha fazla yüzey alanına sahip olmaları
(ii) Daha düşük yük kaybı vermeleri
(iii) Akışa müsaade etmeyecek ya da azaltacak tıkanma tehlikesi taşımamaları avantajları nedeniyle atıksu arıtımında da tercih edilmektedirler.
Bu sistemlerin etkili bir şekilde tasarımının yapılabilmesi, akışkanlaşma prensiplerinin anlaşılması ve akışkan hızının bir fonksiyonu olarak yatak genişlemesinin tahmininin yapılabilmesine bağlıdır. Bu işlemlerde kullanılan malzemeler genellikle küresel olmayan malzemelerdir ve bu tip malzemelerden oluşan yataklara uygulanabilecek bir akışkanlaşma modeline ihtiyaç vardır.
Literatürde tanecikli akışkanlaşma sırasında filtre malzemesinin genişlemesi üzerine birçok denklem öne sürülmüştür (Garside ve Al-Dibouni, 1977; Couderc, 1985; Hartman ve diğ., 1989; Di Felice, 1995; Epstein, 2003). Bununla birlikte, bu denklemlerin tamamına yakını sadece küresel malzemelere uygulanabilir nitelikte olup küresel olmayan malzemeler için önerilen az sayıda modelin büyük çoğunluğu da ampiriktir ve şekil faktörü etkisini açık bir şekilde ortaya koymamaktadırlar. Bu nedenle bu modeller söz konusu araştırmacılar tarafından çalışılan malzemelere özgü karaktere sahip, genel uygulanabilirlik taşımayan modellerdir.
1.2 Çalışmanın Amacı ve Kapsamı
Tanecikli akışkanlaşma hidroliği üzerine yapılmış olan bu çalışma, akışkan bir filtre yatağına ait hız-gözeneklilik ilişkisinin tahmini için geliştirilen bir metodu içermektedir. Çalışmada, küresel olmayan malzemelerin elenmiş fraksiyonlarını içeren filtre yatakları yanı sıra tek tip üniform kürelerden oluşan yataklarla da çalışılmıştır. Üniform bir filtre yatağı için geliştirilen doğru bir genişleme modelinin
3
var olması durumunda, üniform olmayan filtre yatakları için genişlemenin tahmininin yapılabileceği de unutulmamalıdır. Bu hesaplama metodu, çok tabakalı filtrelerin toplam genleşmesinin tahmini için genişletilebilir. Ayrıca, akışkanlaşma sırasında farklı filtre malzemelerinin tabakalaşma, tabakalar arası karışma ve yer değişimi, bir ön koşul olarak üniform tanelerin akışkanlaşmasına ait iyi bir genleşme modelinin varlığını gerektirmektedir.
Bu çalışma, akışkan yataklı reaktörlerin arıtma verimlerini araştırmak üzerine olmamakla birlikte bu sistemlerde maksimum verimin sağlanabilmesi için akışkan hızı-gözeneklilik ilişkilerinin de önem taşıdığı gözden kaçırılmamalıdır. Bu nedenle proses verimi açısından oldukça önemli bir parametre niteliğindeki yatak gözenekliliğinin, doğru bir tahmininin yapılması önem taşımaktadır.
Bu tez kapsamında akışkanlaşma temelleri ve teorisi üzerinde durulmuş ve deneysel çalışmalar gerçekleştirilmiştir. Sabit ve akışkan yataklı sistemlerde taneciklerin karakterizasyonu, dolgu karakteristikleri hakkında temel bilgiler sunulmuş, bu sistemlerde akış hidroliği ve özellikleri ile ilgili yapılan çalışmalar özetlenmiştir. 10 farklı kum, 7 farklı perlit ve 11 farklı kırılarak oluşturulmuş cam fraksiyonu üzerinde permeabilite ve akışkanlaşma çalışmaları yürütülmüştür. Ayrıca 11 farklı küresel malzeme üzerinde de deneysel çalışmalar gerçekleştirilmiştir. Küresel ve küresel olmayan malzemelerin genişlemiş yatak yükseklikleri ve gözenekliliklerinin tahmininde kullanılacak yeni denklemler önerilmiş ve elde edilen sonuçlar, literatürde sunulan modeller ve önerilen bu yeni denklemler kullanılarak değerlendirilmiştir.
2. SABİT VE AKIŞKAN YATAKLI SİSTEMLER
Bu bölümde, sabit ve akışkan yataklı sistemlerin içerdiği taneciklerin özellikleri ve bunların davranışları ile ilgili bilgiler sunularak, bu sistemleri karakterize eden bileşenler ayrıntılı olarak ele alınmış ve konu ile ilgili geçmişte yapılmış çalışmaların sonuçları değerlendirilmiştir.
2.1 Taneciklerin Karakterizasyonu
Taneciklerin karakterizasyonu, üretim, proses ve her tür uygulama açısından büyük önem taşır. Katı taneleri içeren bir proseste birincil öncelikle yapılması gereken işlem bu malzemelerin karakterizasyonudur. Karakterizasyon sadece kendilerine özgü, gerçek, statik parametreleri (boyut, yoğunluk ve morfoloji gibi) değil aynı zamanda bunların akışkan hızı ile dinamik davranışlarını (direnç katsayısı, nihai çökelme hızı gibi) da ele almalıdır.
Tekil bir taneciğin tam bir karakterizasyonu, tane boyutu, yoğunluğu, şekli ve yüzey morfolojisi gibi ölçümlerin yapılmasını gerektirir. Çalışmalarda incelenen malzemeler genellikle düzgün şekilli olmadıkları ve farklı yüzey şekillerine sahip oldukları için karakterizasyonlarında pek çok farklı yol ve teknik kullanılmaktadır. Kullanılan metoda bağlı olarak da sonuçlar tam olarak uyuşmaz. Farklı uygulamalar için bazı metotlar diğerlerine göre daha uygundur.
2.1.1 Tanecik büyüklüğü
Tanecik büyüklüğü, tekil bir taneyi karakterize etmek için kullanılan bir ya da daha çok lineer uzunluktur. Örneğin küre gibi ideal bir tanecik, sadece çapı ile karakterize edilir. Küre dışında düzgün şekilli diğer malzemeler iki ya da üç boyut kullanılarak tanımlanır. Pratikte alakadar olunan düzgün olmayan şekilli malzemeler ise genellikle tek bir boyutla tanımlanamazlar. Uygulama alanına bağlı olarak, karakterizasyonları için kullanılacak tane büyüklüğü tanımı değişiklik gösterebilir. Düzgün olmayan şekilli bu malzemeleri karakterize etmek için pek çok çap tanımı yapılmıştır (Tablo 2.1). Ancak bu tariflerden sadece dördü, sabit ve akışkan yatak
5
uygulamalarında kullanılmaktadır. Bunlar; elek çapı, hacim çapı, yüzey çapı, ve yüzey-hacim çapıdır. Akışkan yatak uygulamalarında en sık olarak kullanılan çap, yüzey-hacim çapıdır. Rase (1990) farklı şekillerde izometrik katalistlerin kullanıldığı katalitik reaktörlere ait uygulamalarda kullanılacak eşdeğer çapları tablolaştırmıştır. Araştırmacı küreselliği 0,5-0,7 arasında olan, düzgün olmayan şekilli malzemelerin tane çapı için dp =ψ.dv; dv ≈dA formüllerini önermiştir.
Tablo 2.1 : Düzgün olmayan şekilli malzemelerin karakterizasyonunda kullanılan çap tanımlamaları (Yang, 2003)
Adı Tanımı Formülü
Hacim çapı, dv
Eşdeğer çap, deş
tanecik ile aynı hacme sahip kürenin çapı (hacimsel çap ya da eşdeğer çap olarak da isimlendirilir) 3 / 1 6 = π p v V d
Yüzey çapı, ds tanecik ile aynı yüzey alanına sahip kürenin çapı 2 / 1 = π p s S d Yüzey-Hacim çapı, dsv
tanecik ile aynı yüzey alanı / hacim oranına sahip kürenin çapı
(Sauter çapı olarak da isimlendirilir)
2 3 6 s v p p sv d d S V d = =
Elek çapı, dA taneciğin geçtiği minimum elek açıklığı Stokes çapı, dst Stokes bölgesinde serbest çökelen taneciğin
çapı (bkz. Denk. 2.9c) g U d p t st ) ( 18 ρ ρ µ − = Serbest çökelme çapı, df
aynı yoğunluk ve viskozitede akışkan içerisinde tanecik ile aynı serbest çökelme hızına (ya da nihai çökelme hızına) ve aynı yoğunluğa sahip küre çapı
Direnç çapı, dD aynı yoğunluk ve viskoziteye sahip ve aynı hızda hareket eden
akışkan içerisinde harekete karşı tanecik ile aynı direnci gösteren kürenin çapı
Çevre çapı, dc tanecik dış sınırlarının projeksiyonu ile aynı çevreye sahip daire
çapı Projeksiyon alanı çapı, da
taneciğin en yüksek stabilitesinde düzleme dik yönde
bakıldığında projeksiyon alanı ile aynı projeksiyon alanına sahip kürenin çapı (Şekil 2.1)
Feret çapı, dF taneciğin projeksiyon çevresinden alınan paralel tanjantlar arasındaki mesafenin ortalamasını temsil eden istatistiksel bir çap (Şekil 2.1)
Martin çapı, dM aynı şekilde istatistiksel bir çap. Taneciğin projeksiyon sınırlarında ortalama kiriş uzunluğudur ve Şekil 2.1’de görüldüğü gibi bu uzunluk projeksiyon profilini düzgün bir şekilde ikiye böler
p
V : tane hacmi; Sp: tane yüzey alanı; Ut: taneciğin nihai çökelme hızı, dp: tane çapı
6
Şekil 2.1 : Projeksiyon alanı çapı, Feret çapı ve Martin çapının şematik gösterimi 2.1.2 Tanecik şekli
Doğal veya sentetik katı tanecikler herhangi bir şekilde olabilirler ve bunların çoğu genellikle düzgün olmayan şekillerdedir. Küresel olmayan taneciklerin tanımında pek çok ampirik faktör önerilmiştir. Tanecik şeklinin bu ampirik tanımlamaları genellikle dört karakteristik parametreden ikisinin kullanılması ile elde edilir. Bunlar: tane hacmi, yüzey alanı, projeksiyon alanı ve projeksiyon çevresidir. Projeksiyon alanı ve çevresi spesifik bir eksene normal alınarak belirlenmelidir. Asimetrik tanecikler için, referans yönü genellikle simetri eksenine normal ya da paralel olarak alınır.
Önerilen tüm şekil faktörleri yoruma açıktır çünkü bazı farklı şekiller aynı şekil faktörüne ya da birden fazla şekil sahip olabilir. Karmaşık şekiller sadece tek bir parametre ile tanımlanıyorsa bu durum kaçınılmazdır. Bu nedenle uygulamada kullanılacak şekil faktörü seçilirken anlamlı olup olmadığına dikkat edilmelidir. 2.1.2.1 Küresellik
Wadell (1933) “gerçek küreselliğin derecesi”ni aşağıdaki şekilde tanımlamıştır: ψ = Hacim eşdeğeri kürenin yüzey alanı / taneciğin yüzey alanı
v sv s v d d d d = = 2 ψ (2.1)
Bu nedenle gerçek bir küre için küresellik 1’e eşittir. Küresel olmayan malzemeler için küresellik daima 1’den küçük olacaktır. Küresellik parametresinin dezavantajı düzgün olmayan şekilli bir tanenin yüzey alanının belirlenmesinin, dolayısıyla ψ ’nin
7
bulunmasının güç olmasıdır. Oran 1’den saptıkça küresellik azalır. Küresellik ilk olarak tanecik şeklinin bir ölçüsü olarak öne sürülmüş ve sonraları direnç katsayısı korelasyonlarında kullanışlı olacağı iddia edilmiştir (Wadell, 1934). Geometrik oranlarının küreyi andırdığı malzemeler için sızma akımında küreselliğin bir korelasyon parametresi olarak kullanılabileceğine dair bazı teorik doğrulamalar mevcuttur. Fakat diğer durumlarda kullanımı tamamen ampiriktir (Clift ve diğ., 1978). Leva (1959) ile Subramanian ve Arunachalam (1980) küresellik değerlendirmeleri için Ergun denklemini kullanan deneysel metotlar önermişlerdir. Düzgün şekilli malzemeler için küresellikler Denk. 2.1 kullanılarak hesaplanabilir. Genel olarak rastlanan küresel olmayan malzemelerin küresellik değerleri ise Tablo 2.2’de verilmiştir (Geldart, 1986).
Tablo 2.2 : Genelde rastlanan küresel olmayan malzemelerin küresellik değerleri
Malzeme Küresellik
Kum
Yuvarlak kum 0,86
Keskin kenarlı kum 0,66
Kırılmış taş 0,8-0,9 Kömür Pulverize kömür 0,73 Kırılmış kömür 0,63-0,75 Aktif karbon 0,70-0,90 Mika tabakaları 0,28 Fisher-Tropsch katalizörleri 0,58 Kaba tuz 0,84 Kırık cam 0,65 Silika jel 0,70-0,90 Tungsten tozu 0,89 Silimanit 0,75 Buğday 0,85 2.1.2.2 Yuvarlaklık
Wadell (1933) “yuvarlaklık derecesi”ni aşağıdaki gibi tanımlamıştır:
⊄ = tanecik ile aynı enkesit alanına sahip dairenin çevresi / enkesitin gerçek çevresi Küresellikten farklı olarak yuvarlaklık, mikroskop veya fotoğraflı gözlem teknikleri ile deneysel olarak daha kolaylıkla belirlenebilir. Eksenine paralel projeksiyondaki asimetrik bir tanecik için ⊄ 1’e eşittir. ⊄ ’nin kullanımı sadece ampirik ifadelerde anlamlı olmakla birlikte, taneciğin yönlenmesine akımın etkisini korele etmede potansiyel avantaja sahiptir (Clift ve diğ., 1978).
8
Düzgün olmayan şekilli tanecikler için küresellik ve yuvarlaklığın belirlenmesi güç olduğundan Wadell (1933) ψ ve ⊄ ’nin “işlevsel küresellik ve yuvarlaklık”la yaklaşık olarak bulunabileceğinden bahsetmiştir:
op
ψ = (Tanecik hacmi / çevreleyen en küçük küre hacmi)1/3 (2.2)
op
⊄ = (Tanecik projeksiyon alanı / çevreleyen en küçük daire alanı)1/2 (2.3) Wadell (1935), tanenin iki boyutlu projeksiyonu temel alınarak hesaplanan ⊄op’nin, ψ ’nin tahmininde iyi bir araç olabileceğini öne sürmüştür.
2.1.2.3 Heywood şekil faktörü
Heywood şekil faktörü aynı zamanda “hacimsel şekil faktörü” olarak da isimlendirilmektedir. Heywood (1962) taneciğin projeksiyon profilini temel alan ve oldukça sık kullanılan aşağıdaki ampirik parametreyi öne sürmüştür:
3 a p d V k = da = 4Ap /π (2.4)
Projeksiyon alanı çapı da, tanecik ile aynı projeksiyon alanına sahip kürenin çapıdır. a
d ’nın tahmini için birçok metot önerilmiştir. da bulunabilir olsa dahi Heywood şekil faktörü, sadece Vp biliniyor ise değerlendirilebilir. Doğal olarak bulunan
tanecikler için veya aralarında boyut veya şekil dağılımı içeren tanecikler için Vp’nin
kolaylıkla tahmini mümkün değildir. 2.1.3 Tanecik yoğunluğu
Literatürde farklı yoğunluk tanımlamaları mevcuttur ve uygulama alanlarına bağlı olarak biri diğerine oranla daha uygun olabilmektedir. Gözenekli olmayan tanecikler için yoğunluk tanımı açıktır (Denk. 2.5):
p p p V M = ρ (2.5)
Burada Mp, tane ağırlığı, Vp ise yüzeyi gözeneksiz olan tanenin su ile yer
değiştireceği hacimdir.
Küçük gözenekleri olan tanecikler için Denk. 2.5’de yer alan hacim, zarf hacmi ile değiştirilmelidir (malzeme Şekil 2.2’de gösterildiği gibi gözeneksizmiş gibi düşünülerek). Akım içerisinde tanenin davranışı inceleniyorsa veya tanelerin toplam yoğunlukları belirlenecekse bu yaklaşım hidrodinamik açıdan daha yüksek doğruluğa
9
sahiptir. Toplam ağırlığın tahmini için ise iskelet yoğunluğu bilinmelidir. İskelet yoğunluğu, taneciklerin ağırlığının iskelet hacimlerine oranı olarak tanımlanır. Uygulamada, gaz adsorpsiyonu, gaz veya su ile yer değiştirme ve civa porozimetresi ile iskelet hacminden ziyade gözenek hacmi belirlenir. Bunun yanında, açık ve kapalı gözeneklere sahip malzemeler de mevcuttur. Kapalı porlara gaz, su veya civa ile ulaşılamaz, dolayısıyla hacimleri ölçülemez. Bu durumda, hesaplanan iskelet yoğunluğu, Şekil 2.2’de görüldüğü gibi kapalı porların hacimlerinden de etkilenecektir. Gözeneksiz malzemeler için, tane yoğunluğu tam olarak iskelet yoğunluğuna eşittir. Gözenekli malzemeler için ise, iskelet yoğunluğu tane yoğunluğundan büyük olacaktır.
Gözenekli bir malzeme küçük parçalara ayrıldığında, bazı porların elimine edilmesi dolayısıyla küçük parçaların yoğunluğu, parçalara ayrılmamış haldeki yoğunluktan büyük olmaktadır. Tane boyutu küçüldükçe tüm porlar elimine edildiğinden tane yoğunluğu gözeneksiz tanecik yoğunluğuna yaklaşacaktır. Gözenekli malzemelerle yürütülen çalışmalarda bu eğilim mutlaka dikkate alınmalı ve tane yoğunluğu özenle değerlendirilmelidir.
Şekil 2.2 : Tanecik iskelet yoğunluğu 2.1.4 Tanecik boyut ve şeklinin doğrudan karakterizasyonu
Tanecik boyut ve şeklinin doğrudan belirlenmesi için, elek analizi, imaj teknikleri, yerçekimi ve santrifüj çökelme, yıkama ile karakterizasyon (elutrasyon), kaskat sıkıştırma tekniği, özdirenç ve optik algılama teknikleri, tane yüzey karakterizasyonu teknikleri kullanılabilir (Yang, 2003). Bu yöntemlerden en sıklıkla kullanılan elek analizi metodu aşağıda anlatılmıştır.
2.1.4.1 Elek analizi
Taneciklerin sınıflandırılması için en sıklıkla kullanılan metottur. ABD’de genellikle iki standart mesh (ağ gözü) boyutu, U.S. elek çapı ve Tyler standart elek çapı kullanılmaktadır. Avrupa’da ise bunların yanında İngiliz standartları ve Alman DIN
10
standartları da kullanılmaktadır. Bir eleğin mesh sayısı, elek örgüsünde bir inçteki paralel tellerin sayısıdır. ASTM (American Society of Testing Materials) tarafından yapılan farklı sistemlere ait standart mesh boyutları sınıflandırması Tablo 2.3’de verilmiştir. Mesh boyutu, seride birbirini izleyen eleklerdeki açıklığın faktörü 21/2 olacak şekilde dizayn edilir. Örneğin 1,68 mm açıklığa sahip U.S. 12 mesh eleği, 1,19 mm açıklığa sahip U.S. 16 mesh eleğinin 21/2 katıdır. Elek analizi sonuçları, apsiste malzemenin geçtiği elek çapı, ordinatta ise geçen malzeme yüzdesi olacak şekilde yarı logaritmik kağıda işlenir (Şekil 2.3). Elek analizi kullanılarak karışık bir malzemenin efektif çapı ve üniformluk katsayısı belirlenir. Elek analizi, karışık malzeme içerisinde bulunan en kaba ve en ince malzeme boyutu hakkında bilgi vermez. Aynı zamanda elek analizi ile tane şeklinin ayırt edilmesi de mümkün değildir. İğne şekilli bir malzeme elek aralığından geçebilir ya da farklı bir duruş şekli ile elek üzerinde kalabilir. Elek analizi sonuçları ayrıca, eleme işleminin süresine, eleğe yüklenen malzeme miktarına ve eleğin körleşmesi, perdelenmesine de (ya da başka bir deyişle tıkanması) bağlıdır. Tel erozyonuna bağlı olarak elek açıklığının genişlemesi de tutarsızlıklara sebep olabilir. Küçük tanecikler için statik elektrik ile aglomerasyon veya nem oluşumuna dikkat edilmelidir.
1 10 100 0,00 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50 3,00 3,50 Tane boyutu, mm E le k te n g e ç e n m a lz e m e y ü z d e s i, % d10 d60
d10, elekten geçen malzemenin %10’una karşılık gelen tane boyutu efektif çap olarak adlandırılır.
d60/d10 çap oranı ise üniformluk (ya da yeknesaklık) katsayısını verir.
11
Tablo 2.3 : Standart elekler ve elek açıklıkları
ABD mesh No. Standart açıklık, mm Tyler mesh No. İngiliz mesh No. Standart açıklık, mm Alman DIN No. Standart açıklık, mm 3 ½ 5,66 3 ½ – – 1 6,000 4 4,76 4 – – – – 5 4,00 5 – – – – 6 3,36 6 5 3,353 2 3,000 7 2,83 7 6 2,812 – – – – – – – – – 8 2,38 8 7 2,411 2 ½ 2,400 10 2,00 9 8 2,057 3 2,000 12 1,68 10 10 1,676 4 1,500 – – – – – – – 14 1,41 12 12 1,405 – – – – – – – – – 16 1,19 14 14 1,204 5 1,200 – – – – – – – 18 1,00 16 16 1,003 6 1,020 20 0,84 20 18 0,853 – – – – – – – 8 0,750 25 0,71 24 22 0,699 – – – – – – – – – 30 0,59 28 25 0,599 10 0,600 – – – – – 11 0,540 35 0,50 32 30 0,500 12 0,490 40 0,42 35 36 0,422 14 0,430 45 0,35 42 44 0,353 16 0,385 – – – – – – – 50 0,297 48 52 0,295 20 0,300 60 0,250 60 60 0,251 24 0,250 70 0,210 65 72 0,211 30 0,200 80 0,177 80 85 0,178 – – 100 0,149 100 100 0,152 40 0,150 – – – – – – – 120 0,125 115 120 0,124 50 0,120 140 0,105 150 150 0,104 60 0,102 170 0,088 170 170 0,089 70 0,088 – – – – – – – 200 0,074 200 200 0,076 80 0,075 230 0,062 250 240 0,066 100 0,060 270 0,053 270 300 0,053 – – 325 0,044 325 – – – – 400 0,038 400 – – – – 635 0,020 – – – – –
2.2 Tanecik Direnç Katsayısı
Direnç katsayısı (CD), taneciğe etki eden kuvvetin (F), akışkanın yarattığı dinamik basınç ile tane projeksiyon alanı (Ap) çarpımına oranı olarak tanımlanır (Denk. 2.6) ve sadece tanecik Reynolds sayısının (Rep=Urdp ρ/µ) bir fonksiyonudur.
12
(
)
r p D A U F C 2 2 / 1 ρ = F CD Ur2Ap 2 1 ρ = (2.6)Burada Ur tanenin akışkana göre rölatif hızıdır.
Tanecik Reynolds sayısının (Rep) büyüklüğüne göre ayrılan üç farklı rejim söz konusudur. Bu rejimler Tablo 2.4’de verilmiştir.
Tablo 2.4 : Akış rejimleri ve direnç katsayısı ifadeleri
Rejim Re sayısı aralığı Direnç katsayısı
“Stokes Rejimi” aynı zamanda sızma akımı olarak da bilinir. Bu rejimde akışkanın viskozitesi hakimdir.
( )
Re p <0,2( )
p D C Re 24 = “Geçiş Rejimi” direnç katsayısı tanecikReynolds sayısının bir fonksiyonudur 0,2<
( )
Re p <500 CD = f[
( )
Re p]
“Newton Rejimi” CD sabittir ve F kuvveti,akışkanın viskozitesinden çok ataletine bağlıdır
( )
Re p >500 CD =0,44Sadece Stokes rejimi bölgesinde, CD’nin değerlendirilmesinde kullanılan teorik modeller başarılı olmuştur. Teorik analizler, rijid bir kürenin etrafındaki viskoz akım ile başlatılır (Fs küreye etki eden kuvvettir):
r p
s d U
F =3πµ (2.7)
Direnç kuvvetinin üçte ikisi tanecik yüzeyine etki eden viskoz kayma gerilmesi nedeniyledir. Kalan üçte biri ise yüzeyindeki basınç farkı (sürtünme) nedeniyledir. Denk. 2.6 ve 2.7’nin eşitlenmesi ile aşağıdaki denklem elde edilir:
2 2 4 1 2 1 3 p r D r p s d U C U d F = πµ = ρ π
( )
p r p D U d C Re 24 24 = = ρ µ (2.8) sF ve Ur arasındaki lineer ilişki Stokes yasasının önemli bir özelliğidir ve bu özellik
birçok problem için önemli sadeleştirmelerin yapılmasını mümkün kılar.
Tekil bir küresel tanecik için direnç kuvvetinin yerçekimi kuvvetine eşitlenmesi ile Stokes serbest çökelme hızı ifadesine ulaşılır.
(
)
g d d U C F p p p r D s ρ ρ π ρ π − = = 6 8 3 2 2 (2.9a)13
(
)
2 3 4 r p p D U g d C ρ ρ ρ − = (2.9b)(
)
µ ρ ρ 18 2 g d U Ur t p p − = = (2.9c)Tablo 2.1’de verilen Stokes çapı, Denk. 2.9 kullanılarak türetilebilmektedir (Burada Ut taneciğin nihai çökelme hızıdır).
Akışkan sonlu bir alanda iken iki etki söz konusudur. Tanecik etrafındaki akım çizgileri kolon duvarlarına çarparak tane üzerine geri yansır bu ise sürtünmeyi arttırır. Ayrıca, tanecikten sonlu uzaklıktaki akışkan durağan olduğundan bu durum akışı bozar ve sürtünmeyi arttırır. Bu duvar etkisine dair düzeltme, aşağıdaki şekilde ifade edilebilir (Yang, 2003):
+ = w p c r p s L d k U d F 3π µ 1 (2.10) w
L : tanecik merkezinden duvara olan mesafe
c
k : 0,563 (bir duvar için)
c
k : 1,004 (iki duvar için) ve
c
k : 2,104 (silindirik bir hazne için)
2.3 Ampirik Direnç Katsayısı İfadeleri
Clift ve diğ. (1978) tarafından Rep’nin farklı aralıklarında küreler için kullanılması tavsiye edilen korelasyonlar Tablo 2.5’de verilmiştir. Literatürde küresel olmayan tanecikler için direnç katsayısı ifadeleri verilmeye çalışılsa da araştırmacıların yaklaşım biçimi genellikle küreye benzer şekiller ve silindirler gibi eksensimetrik tanecikler ve dikdörtgensel paralelyüzlü gibi ortotropik malzemeler için olmuştur. Düzensiz şekilli tanecikler için ise direnç katsayısı korelasyonunda kullanılacak tam anlamıyla yeterli bir metot bulunmamaktadır.
1986’da Turton ve Levenspiel, Reynolds sayısının tüm aralıkları boyunca kullanılabilecek tekil bir korelasyon önermişlerdir ve bu korelasyon tekil taneciğin direnç katsayısının hesabında kullanılabilecek oldukça basitleştirilmiş hesaplamaya imkan tanımaktadır.
14
( )
[
( )
]
( )
1,09 657 , 0 Re 3 , 16 1 413 , 0 Re 173 , 0 1 Re 24 − + + + = p p p D C (2.11)Haider ve Levenspiel (1989) denklemi ilerleterek küresel olmayan tanecikleri kapsayacak hale dönüştürmüşlerdir:
( )
[
(
)
( )
]
(
)
( )
( )
ψ ψ ψ ψ 2122 , 6 0748 , 5 5565 , 0 0964 , 0 0655 , 4 378 , 5 Re Re 69 , 73 Re 1716 , 8 1 Re 24 e e e C p p p p D + + + = − + − (2.12)Küresel taneler için Denk. 2.12 aşağıdaki forma dönüşür:
( )
( )
( )
( )
Re 2682,5 Re 4607 , 0 Re 3643 , 3 Re 24 0,3471 + + + = p p p p D C (2.13)Tablo 2.5 : Direnç katsayısı ifadeleri (w=log
( )
Re p)Tanecik Re sayısı aralığı Direnç Katsayısı ifadesi
( )
Re p <0,01( )
p D C Re 24 16 3 + =( )
Re 20 01 , 0 < p ≤( )
2 10 1 0,881 0,82 0,05 24 Re log CD p =− + w− w −( )
( )
( )[
w]
p p D C 1 0,1315Re 0,82 0,05 Re 24 − + =( )
Re 260 20≤ p ≤( )
w CD p 6305 , 0 7133 , 0 1 24 Re log10 =− + −( )
[
( )
]
6305 , 0 Re 1935 , 0 1 Re 24 p p D C = +( )
Re 1500 260≤ p ≤ 2 10 1,6435 1,1242 0,1558 log CD = − w+ w( )
4 3 Re 1,2 10 10 5 , 1 x ≤ p ≤ x log10CD =−2,4571+2,5558w−0,9295w2+0,1049w3( )
4 4 Re 4,4 10 10 2 , 1 x ≤ p ≤ x log10CD =−1,9181+0,6370w−0,0636w2( )
5 4 Re 3,38 10 10 4 , 4 x ≤ p ≤ x log10CD =−4,3390+1,5809w−0,1546w2( )
5 5 Re 4 10 10 38 , 3 x ≤ p ≤ x CD =29,78−5,3w( )
6 5 Re 10 10 4x ≤ p ≤ CD =0,1w−0,49( )
Re p 106 <( )
p D x C Re 10 8 19 , 0 4 − =Pettyjohn ve Christiansen (1948) izometrik şekillerin serbest çökelme hızlarını belirlemişlerdir. Bu şekiller ve küresellikleri şöyledir: küre (ψ =1), küp oktahedron
15
(ψ =0,906), oktahedron (ψ =0,846), küp (ψ =0,806) ve tetrahedron (ψ =0,670). Araştırmacılar, çalışmaları sonucunda düzeltme faktörünün aşağıdaki gibi olması gerektiğini savunmuşlardır: = 065 , 0 log 8431 , 0 ψ K
( )
Re <t 0,05; 0,67<ψ <1 (2.14)K: hacim eşdeğer kürenin çökelme hızının taneciğin çökelme hızına oranı.
Diğer başka izometrik malzemelerle yapılan deneysel çalışmalar da yayınlanmıştır. Bunlar arasında Heiss ve Coull (1952) tarafından boşluksuz silindirler ve dikdörtgensel paralelyüzlülerle yapılan çalışma, prizma ve silindirlerle Becker (1959) tarafından yapılan çalışma, Christiansen ve Barker (1965) tarafından silindir, prizma ve disklerle yapılan çalışma, Isaacs ve Thodos (1967) tarafından silindirlerle yapılan çalışma, Hottovy ve Sylvester (1979) tarafından küreye benzer düzgün olmayan şekilli malzemelerle yapılan çalışma sayılabilir.
2.4 Tekil Bir Taneciğin Nihai Çökelme Hızı
Tekil bir taneciğin nihai çökelme hızı kendine özgü, içsel özelliğidir ve hesabı ya da ölçülmesi, diğer içsel tane özellikleri (tanecik büyüklüğü ya da yoğunluğu gibi) kadar önemlidir. Tekil bir taneciğin nihai çökelme hızının hesabı iteratif bir proses ile hesaplana gelmiştir. Daha yeni uygulamalar, deneme yanılma metodu kullanılmadan doğrudan hesabı mümkün kılmaktadır. Bu metotlardan bazıları aşağıda verilmiştir.
Barnea ve Mizrahi (1973) 12 farklı kaynaktan aldıkları deneysel datayı kullanarak Reynolds sayısı ve direnç katsayısı arasında ilişkiyi ifade eden tekil bir denklem önermişlerdir. Araştırmacıların kullandıkları veriler, boyut dağılımı çok dar olan homojen küresel malzemelerdir. Tane şekil faktörünün de dahil edilmesiyle denklemlerinin küresel olmayan malzemelere genişletilebileceğini savunmuşlardır. Tanecikler arasında, akışkanla etkileşim dışında herhangi bir etkileşim olmadığı kabul edilmiş, duvar etkisi ihmal edilmiştir.
Turton ve Levenspiel (1986) ve Flemmer ve Banks (1986) sürtünme katsayısının belirlenmesi için korelasyonlar önermişlerdir. Her iki denklem de tanecik nihai çökelme hızının hızlı bir şekilde belirlenmesinde kullanışlı değildir. Haider ve
16
Levenspiel (1989), Zigrang ve Sylvester (1981), Barnea ve Mizrahi (1973) ile Barnea ve Mednick’in (1975) çalışmalarını esas alarak katı-sıvı sistemler için tanecik çökelme hızlarını verecek bir denklem önermişlerdir. Bu denklem, limitinde sıvı içerisindeki tekil bir küresel taneciğin nihai çökelme hızını vermektedir. Bu denklemler, boyutsuz nihai çökelme hızı ve tane çapı parametrelerini içermektedir. Turton ve Levenspiel (1986) yaptıkları çalışmada, Zigrang ve Sylvester’in (1981) öne sürdüğü denklemden daha iyi bir şekilde deneysel datayı temsil eden yeni bir denklem geliştirmiştir (Zigrang ve Sylvester metoduna göre hata 0,680 iken bu çalışmada 0,244 olarak bulunmuştur).
Denk. 2.9 ve Tablo 2.4’de verilen “tavsiye edilen direnç katsayısı korelasyonları” veya Turton ve Levenspiel (1986) tarafından önerilen Denk. 2.11 ve Haider Levenspiel (1989) tarafından önerilen Denk. 2.12 birleştirildiğinde nihai çökelme hızı hesaplanabilmektedir. Haider ve Levenspiel, ayrıca, boyutsuz “tane çapı”, (dp*) ve boyutsuz “nihai çökelme hızı” (U*) tanımlayarak, parçacığın nihai çökelme hızının doğrudan tahmini için bir metot önermişlerdir (Archimedes ya da Gallileo sayısı Ar=dp3ρ(ρp-ρ)/µ2).
(
)
( )
3 / 1 2 3 / 1 3 / 1 2 * Re 4 3 = = − = p p D p p Ar C g d d µ ρ ρ ρ (2.15)(
)
( )
( )
1/3 3 / 1 3 / 1 2 * Re 3 4 Re = = − = D p p p g Ar C U U ρ ρ µ ρ (2.16)Bu denklemler kullanılarak düzgün olmayan şekilli taneciklerin nihai çökelme hızı aşağıdaki denklemle hesaplanabilir:
( )
( )
1 5 , 0 * 2 * * 18 2,335 1,744 − − + = p p t d d U ψ 0,5<ψ <1 (2.17)Küresel malzemeler için aşağıdaki şekle dönüşür:
( ) ( )
1 5 , 0 * 2 * * 18 0,591 − + = p p t d d U ψ =1 (2.18)17
Arsenijevic ve diğ. (1999) küresel olmayan tanecikler için nihai çökelme hızının belirlenmesinde kullanılacak yeni bir metot önererek deneysel sonuçlar ile karşılaştırılmışlardır. Metoda göre sıvı ve gaz ortamda hesaplanan çökelme hızları ile deneysel verilerin iyi uyum gösterdiği belirtilmiştir. Araştırmacılar, tanecik şekil faktörünün dolaylı yoldan belirlenmesi için sabit yataktaki yük kaybı verilerini kullanmışlar ve şekil faktörünün, Ergun denklemindeki katsayıların güvenilir olup olmamasına bağlı olduğunu ifade etmişlerdir. Çalışmada yük kaybı ve Ergun denklemine bağlı olarak tablolaştırılmış şekilde verilen kürelere ait küresellik değerlerinin 1’in oldukça üzerinde rapor edilmiş olması (1,18-1,54) sonuçların güvenilirliğini tartışmaya açık hale getirmektedir. Ayrıca metodun uygulanması için gerekli olan nihai çökelme hızlarının yatağın boşluk oranına karşı çizilen hız grafiğinde birim gözenekliliğe karşılık gelen hıza ekstrapole edilerek tespiti, ilerleyen bölümlerde bahsedilen mahsurları içermektedir.
Kehlenbeck ve Di Felice (1999) 0,1 < d/D (λ) < 0,9 şartlarında silindirik kolonlarda kürelerin nihai çökelme hızlarını deneysel olarak belirlemişlerdir (2 ≤ Ret∞ ≤ 185). Nihai çökelme hızı (Ut) ile çap oranı (λ) arasında ilişki kuran mevcut denklemlerin hiçbirinin tam anlamıyla yeterli olmadığını ifade etmişlerdir. Bu nedenle Ret∞ ve λ’nın tüm aralıkları boyunca Ut’yi tahmin edebilen iki yeni ampirik hesap metodu önermişlerdir. Araştırmacılar çalışmalarında 7 farklı çapta (2,2; 4,4; 6,3; 8; 15,5; 24; 40 ve 300 mm) yükseklikleri 150 ile 400 mm arasında değişen kolonlarda 12 farklı küresel tanecik ile (boyutları 0,57 ile 5 mm arasında değişen asetat, cam, zirkonyum oksit, teflon, bronz, delrin küreler) çalışmışlardır. Akışkan olarak % 41 ve % 50’lik şeker konsantrasyonları kullanılmıştır. Taneciklerin yükseklik boyunca çökelme süreleri ölçülerek Ut değerleri tespit edilmiştir. 0 ≤ d/D (λ) ≤ 1,0 için sabit bir Reynolds sayısında duvar etkisi faktörünün her zaman bir S eğrisi takip ettiği görülmüştür. Kehlenbeck ve Di Felice bu eğrinin Denk. 2.19 ile temsil edilebileceğini ifade etmişlerdir.
(
)
2 0 2 1 / 1 a a a U U P t t + + − = ∞ λ λ (2.19)Burada a1 ve a2 korelasyon parametreleridir. λ=0 (Ut=Ut∞) ve λ=1 (Ut=0) sınır koşulları için Denk. 2.19, Denk. 2.20’ye dönüşür:
