T.C.
NEVŞEHİR HACI BEKTAŞ VELİ ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
İKİNCİ MERTEBEDEN ÇARPILABİLİR FARK
DENKLEM SİSTEMLERİNİN ÇÖZÜLEBİLİRLİĞİ
Tezi Hazırlayan
Fatih PİŞKİN
Tez Danışmanı
Doç. Dr. Yasin YAZLIK
Matematik Anabilim Dalı
Yüksek Lisans Tezi
Nisan 2019
NEVŞEHİR
T.C.
NEVŞEHİR HACI BEKTAŞ VELİ ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
İKİNCİ MERTEBEDEN ÇARPILABİLİR FARK
DENKLEM SİSTEMLERİNİN ÇÖZÜLEBİLİRLİĞİ
Tezi Hazırlayan
Fatih PİŞKİN
Tez Danışmanı
Doç. Dr. Yasin YAZLIK
Matematik Anabilim Dalı
Yüksek Lisans Tezi
Nisan 2019
NEVŞEHİR
TEŞEKKÜR
Yüksek lisans öğrenimim ve tez çalışmam süresince tüm bilgilerini benimle paylaşan, bana yön veren, destekleyen, düşünceleriyle yolumu açan, kıymetli zamanını bana harcayan ve tezimde büyük emeği olan sayın hocam Doç. Dr. Yasin YAZLIK’a,
Maddi ve manevi desteklerini esirgemeyen değerli eşim Rabia PİŞKİN ve çok kıymetli çocuklarım Enes ve Elif’e,
Teknik ve idari yardımlarından dolayı Nevşehir Hacı Bektaş Veli Üniversitesi Matematik Bölümünün değerli hocalarına teşekkür ederim.
İKİNCİ MERTEBEDEN ÇARPILABİLİR FARK DENKLEM SİSTEMLERİNİN ÇÖZÜLEBİLİRLİĞİ
(YÜKSEK LİSANS TEZİ) Fatih PİŞKİN
NEVŞEHİR HACI BEKTAŞ VELİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
Nisan 2019 ÖZET
Bu tez dört bölümden oluşmaktadır.
Birinci bölüm kendi içinde giriş ve literatür taraması olarak iki kısma ayrılmıştır.
İkinci bölümde, ön bilgiler ve üçüncü bölümde kullanılacak olan bazı tanımlar, lemmalar ve teoremler verilmiştir.
Üçüncü bölümde ise , , ,a b c d ve başlangıç şartları z 111, ,z wz w000000000 1111111,ww000 kompleks sayılar
olmak üzere 1 1 0 1 1 , , , a c n n n b n d n n w z z w n z w 1 b n 1 d 11 z 111 wwn 1 n n wn z w n n n , d 11 n , w 1 n , 1 ,,
b ,, 1 000, şeklindeki lineer olmayan çarpılabilir
tipteki fark denklem sisteminin çözümleri elde edilmiştir. Ayrıca elde edilen çözümler kullanılarak çözümlerin asimptotik davranışı incelenmiştir.
Son bölüm olan dördüncü bölümde ise sonuç ve öneriler bulunmaktadır.
Anahtar kelimeler: Fark denklem sistemi, Periyodiklik, Çözümlerin asimptotik davranışı, Çarpılabilir tipteki sistemler
Tez Danışmanları: Doç. Dr. Yasin YAZLIK Sayfa sayısı:
SOLVABLE PRODUCT-TYPE SISTEM OF DIFFERENCE EQUATIONS OF SECOND ORDER
(MS THESIS) Fatih PİŞKİN
NEVŞEHIR HACI BEKTAŞ VELI UNIVERSITY
GRADUATE SCHOOL OF NATURAL AND APPLIED SCIENCES April 2019
ABSTRACT
This thesis consists of four chapters.
The first chapter is divided into two parts as an introduction and a literature review. In the second chapter, preliminary information and some definitions, lemmas and theorems which will be used in the third chapter are given.
In the third chapter, , , ,a b c d and on the condition which z 111, ,z wz w000000000 1111111,ww000 are the complex numbers, the solutions of the non-lineary multiplicable type of difference
equations system in the form of 1 1 0
1 1 , , , a c n n n b n d n n w z z w n z w 1 b n 1 d 11 z 111 wwn 1 n n wn z w n n n , d 11 n , w 1 n , 1 ,, b ,, 1 000, are obtained. In
addition, by using the obtained solutions the asymptotic behavior of the solutions are analyzed
In the last chapter, there are conclusions and recommendations.
Keywords: Difference equations system, Periodicity, Asymptotic behavior of the solutions, Prudct-type system
Thesis Supervisors: Assoc. Prof. Dr. Yasin YAZLIK Pages: 5
İÇİNDEKİLER
KABUL VE ONAY SAYFASI...………...İ TEZ BİLDİRİM SAYFASI.………...İİ TEŞEKKÜR.………...İİİ ÖZET.………..…İV ABSTRACT.………....V İÇİNDEKİLER.………...…Vİ SİMGELER VE KISALTMALAR LİSTESİ………...………Vİİİ
1. BÖLÜM.……….…...1 GİRİŞ...………..………....1 1.1. Amaç ve Kapsam.…..………..…...3 1.2. Kaynak Araştırması.………..……….…3 2. BÖLÜM:……….…...8 TEMEL KAVRAMLAR…….………...………...8
2.1. Lineer Fark Denklemleri...………...8
2.2. Lineer Fark Denlem Sistemleri.……...……….12
3. BÖLÜM:……….…….15
İKİNCİ MERTEBEDEN ÇARPILABİLİR FARK DENKLEM SİSTEMLERİNİN ÇÖZÜMLERİ……….…...……..15 3.1 1 1 0 1 1 , , , a c n n n b n d n n w z z w n z w 1 b 1 d 11 z w 1 n 1 w 11 n n wn z w n n n 11 w 111111 n 000, Denklem Sisteminin Çözümleri ve Çözümlerinin Davranışı………15
4. BÖLÜM:……….…….50
SONUÇLAR VE ÖNERİLER…..…...……….….…..50
KAYNAKLAR.……….……..51
SİMGELER ve KISALTMALAR LİSTESİ
: Doğal sayılar kümesi : Reel sayılar kümesi : Kompleks sayılar kümesi
n
F : n. Fibonacci sayısı
E : Öteleme operatörü
: Fark operatörü
1. BÖLÜM GİRİŞ
Kainat’ın bir düzen üzerine yaratıldığı şüphesizdir. Gözle görünür ya da görünmez olan bu düzenin varlığını ispatlamada bizim en temel aracımız matematiktir. Matematik, ayrıca tüm bilimlerin yardımcı bir bilimi olarak karşımıza çıkmaktadır. Yardımcı bilim olarak matematik ilk başta fen bilimlerinde sıkça karşımıza çıksa da, sosyal bilimlerin de temel araçlarından biridir. Bu nedenledir ki matematik canlı cansız her varlığın hizmetindedir. İnsanoğlu yaratılışından günümüze kadar; tarım, hayvancılık, savaş, astronomi, fizik, tıp, mühendislik, resim, müzik vb her işinde matematikten yararlanmıştır.
Son zamanlarda diferansiyel denklemlerle yakından ilgili olan fark denklemler matematikçiler tarafından sıkça işlenen bir konu olmuştur. Fark denklemler, diferansiyel denklemlerin geliştirilmesiyle günümüzde ki haline getirilmiştir. Fark denklemleri ve diferansiyel denklemler bir biri ile büyük benzerlikler göstermektedir. Ancak bu iki denklem arasında bazı farklar da bulunmaktadır.
Fark denklem; insanoğlunun gündelik yaşamında karşılaştığı olayları ve sorunları matematiksel olarak çözüme ulaştırmaya yarayan bir denklemdir. Bu sebepten matematikçilerin ve bilimcilerin çok ilgi gören bir alanı olmuştur. Bu denklemler; fizik, kuantum, kimya, biyoloji, tıp, genetik, ilaç, mühendislik, teknik bilimler, ekonomi, olasılık teorisi ve sosyal bilimler gibi birçok bilim alanında kullanılmaktadır. Fark denklemlerin kullanıldığı bazı problemler aşağıda verilmiştir.
Tavşan Problemi: Daha çok Fibonacci olarak bilinen ünlü İtalyan matematikçisi
Leonardo di Pisa 1202 yılında yazdığı Liber Abaci adlı kitabında ilk defa tavşan probleminden söz etmiştir. Bu problem “bir çift olgun tavşan her ayın sonunda bir çift yavrulamakta ve bu yavrular iki ayda olgunlaşmaktadır. Bu varsayım altında bir çift olgun tavşanla işe başlanırsa, bir yıl sonra kaç çift tavşan elde edilir?” şeklindedir. Bu problemin çözümü, birinci ayın sonunda ilk olgun çift bir çift yavru doğuracağından, iki çift tavşan bulunur. İkinci ayın sonunda, sadece ilk olgun çift doğurmaya devam edeceğinden, üç çift tavşan elde edilir. Üçüncü ayın sonunda, hem ilk hem de ikinci çift
çifti sayısı 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377 olarak bulunur. Öte yandan, tavşan probleminin matematiksel modeli (x n 2)2)2) x n(((( 1)1)1)1) x n(( ) 0(( ) 0, x(0) 11,
(1) 2
x 2 , 0 n 1212, dir. Burada ( )x n n. ayın sonundaki tavşan çiftlerinin sayısıdır. Bu
model ikinci basamaktan bir lineer fark denklemidir [19].
Bir Ulusal Gelir Modeli: Üç parametreden oluşan bir M ulusal geliri üçer aylık n
(çeyrek yıl) dönemler sonunda hesaplanmaktadır. Bu parametreler müşteri harcamaları
n
C , özel yatırımlar I ve hükümet harcamaları n G şeklinde olup n Mn CCnnn IInnn GGnnn dir.
Böyle bir ulusal geliri modellmek için ekonomist Paul A. Samuelson bu faktörlere dair aşağıdaki kabullenmeleri yapmıştır. “(i) Herhangi bir çeyrek yıldaki müşteri harcaması bir önceki çeyrek yıldaki ulusal gelir ile orantılıdır, (ii) Herhangi bir çeyrek yılda oluşan özel yatırım, o çeyrek ve bir önceki çeyrek yıl üzerinden yapılan müşteri harcamalarındaki artış ile orantılıdır (ivmelenme prensibi), (iii) Hükümet harcamaları her çeyrek yılda aynıdır”. Bu kabullere göre (i) den Cn MMnnn 111, 0 11, yazılabilir.
Burada orantı sabiti marjinal tüketim sabitidir. Buna göre bireyler gelirlerinin sabit bir oranını harcama eğiliminde olurlar. (ii) den In (((((Cnnn Cnnn 1111))), 0 11, bulunur.
Burada orantı sabitidir. Bu ifadeden, tüketim azalırken, yani Cn CCnnn 111 000 halinde
üreticilerin yatırım amaçlı sermayelerini aşağı çekme eğiliminde olacakları ve buna mukabil tüketim artarken, Cn CCnnn 111 000 durumunda üreticilerin yatırım harcamalarını
artırmak isteyecekleri düşünülebilir. C , n I de yerine yazılırsa n In (((((Mnnn 1111111 Mnn 2222)))
dir. (iii) kabulüne göre hükümet harcamaları her çeyrek yılda aynı kaldığından, Gn gg
yazılabilir. Burada g sabiti hükümetin sabit harcama değerini göstermektedir. Böylece
n
C , I ve n G ifadeleri n M de yerine yazılırsa, ulusal gelir için n
1 ( 1 2)
n n n n
M MMnnn 11111 (((Mn 111111111 Mn 2222))) ggg veya Mn 2222 (1(1(1(1 ))))MMMnn 11111 MMMnnnn gg, n 000
denklemi elde edilir. Burada M ve 0 M verilen başlangıç değerleridir. Bu denklem 1
ikinci basamaktan bir lineer sabit katsayılı fark denklemi olup çözümü ulusal geliri niteler. Bu denkleme göre herhengi bir periyottaki ulusal gelir önceki iki periyottaki gelirle ilişkilidir [19].
Richardson Silahlanma Yarışı Modeli: X ve Y rekabet halinde olan iki ülkeyi göstersin
askeri bütçelerdeki yıllık değişimin xxnnn KyKynnn xxnnnn gg, yynnn LxLxnnn yynnnn hh lineer
denklemleriyle ilişkili olduğunu belirtmiştir. Burada K, L, α, β, g, h katsayıları negatif olmayan sabitlerdir. K ve L savunma katsayıları olup bir ülkenin mevcut askeri bütçesine diğer ülkenin verdiği tepki göstergeleridir. α ve β yorgunluk katsayıları olup eylemsizlik ve askeri bütçelerdeki artışın olası negatif ekonomik bedel ölçütleridir. g ve
h sabitleri askeri olmayan siyasi ve ekonomik kaygıları gösteren düşmanlık hisleridir
[19].
1.1. Amaç ve Kapsam
Bu çalışmanın temel amacı, Stević ve arkadaşlarının [1] makalesini detaylı olarak incelemektir.
1.2. Kaynak Araştırması
Çalışmanın bu kısmında, çarpılabilir tipteki fark denklem sistemlerinin çözülebilirliği ve onların uygulamaları ile ilgili literatürde yapılmış olan çalışmalardan bahsedilecektir.
Stević ve arkadaşları (2014) “On positive solutions of a system of max-type difference equaiıons” isimli çalışmalarında 1
1 max , p n n p n y x c z 11 p y max max m , yynn p n zpp1 z , , 1 1 max , p n n p n z y c x 11 p z max max m , znn p n xpp1 x , , 1 1 max , p n n p n x z c y 11 p x max max m , xnn p n ypp1 y
, , n 000, ,p c (0, )(0, ), maksimum fark denklem sisteminin pozitif
çözümlerinin sınırlılık karakterini ve global kararlılığını incelemişlerdir.
Stević ve arkadaşları (2014) “Long-term behavior of positive solutions of a system of max-type difference equations” isimli çalışmalarında
1 2 max , j p n n k q n j j y x a x yp yp max max ,, kyn 1 jj 2 k j q x j k n j n xn jj 2 j , 1 2 max , j p n n k q n j j x y a y xp xp max max ,, kxn 1 jj 2 k j q y j k n yn j yn j y j 2 j , ,a p 00 ve jj 2,..., ,2,..., ,,k qk qjjj 0,0,
fark denklemlem sisteminin bütün pozitif çözümlerinin çekimliliğini garanti eden bazı yeterli şartlar verilmişlerdir. Aynı zamanda sistemin pozitif çözümlerinin sınırlık karakterini de incelemişlerdir.
Stević ve arkadaşları (2014) “Boundedness character of a max-type system of difference equations of second order” isimli çalışmada 1
1 max , p n n q n y x A x 11 p y max m AA,, yynn q n xq1 , q x , , 1 1 max , p n n q n x y A y 11 p x max m AA,, xnn q n yq1 , q y
, , n 000, min{ , , } 0A p q 0 , maksimum tip fark denklem sisteminin
pozitif çözümlerininin sınırlılığını incelemişlerdir.
Stević ve arkadaşları (2015) “On a product-type system of difference equations of second order solvable in closed form” isimli çalışmalarında 1
1 a n n b n z z w 1 w 1 n b z , 1 1 c n n d n w w z 1 zd 1 n d wn d , 0
n 00, a b c d, , , , z z w w111, ,z w w000000000 1111111, 000 , fark denklem sisteminin kapalı formda
çözülebilir olduğunu göstermişlerdir.
Stević (2015) “Product-type system of difference equations of second-order solvable in closed form” isimli çalışmasında 1
1 a n n b n y x z 1 zb 1 n b y b , 1 1 c n n d n z y x 1 xd 1 n d z d , 1 1 f n n g n x z y 1 y 1 g f n g x , n 000, , , , , ,
a b c d f g , , ,x y zi i i {0}{0}, i {0,1}{0,1} ikinci dereceden fark denklem sisteminin kapalı formda çözümlerini vermiştir.
Stević ve arkadaşları (2016) “Solvability of a close to symmetric system of difference equations” isimli çalışmalarında ikinci mertebeden çarpılabilir tipteki
1 1, 1 1, , , , , , , a b c d n n n n n n z 111 z wz wnaa bbbn 11 wwn 11 w zw zn nc dc d1 a b c da b c d,, 1, , , , 1 1 1 1 11 z w 111 w 1111111 w z 11, a b c, , ,, , , , , z z w w111, ,z w w000000000 11111111, 00000 ,, simetrik
fark denklem sisteminin çözülebilirliğini incelemişlerdir. Bu çalışma ile literatürdeki bazı yeni sonuçları genişletmişlerdir.
Stević ve arkadaşları (2016) “Two-dimensional product-type system of difference equations solvable in closed form” isimli çalışmasında iki boyutlu çarpılabilir tipteki
çözülebilir 1 1, 1 1 1, , , , , , , 1, ,0 1, 0 , a b c d n n n n n n z 111 z wn n 11 w 11 w z1 1 a b c d z z w w a b c d z wa bb w w zc d a b c d 11 1 1 1 1 11 1 z w 111 w 11111111 w z111111 11111 a b c d z z wz z w1111111111 0000000000 111111 ww00000 ,
fark denklem sisteminin genel çözümünü kapalı formda vermişlerdir.
Stević (2016) “Solvability of a class of product-type systems of difference equations”
çarpılabilir tipteki fark denklem sisiteminin 1 2, 2 1, , , , , , , a b c d n n n n n n z z wa1 nb 22 wn w znc 22 nd1 a b c d, n z wa bb w w zc d a b c d,, n 111w 22222 w w z2222222222 1111,, a b, ,, ,, , , , z w w111,w w222222222, 111 ,,
çözülebilirliği üzerine çalışmıştır. Bulduğu sonuçlar literatürdeki bazı yeni sonuçları tamamlamıştır. Sistemin genel çözümleri için kapalı formüller ya da bunların nasıl elde edileceğine ilişkin metodlar verimiştir.
Stević (2016) “New solvable class of product-type systems of difference equations on the complex domain and a new method for proving the solvability” isimli çalışmasında
çarpılabilir tipteki 1 2 a b n n n z z wz wnaa1 nb 22 n 111w , 3 2 c d n n n w w zw znncc 3 d 22 n 333z , n 000, a b c d, , , , , {0}
, {{0}, w w w zw333, 2222222, 11111, 2222,z 111 {0}{0} iki değişkenli fark denklem sisteminin
çözülebilirliğini önceki yöntemlerden farklı bir yöntemle incelemiştir.
Stević ve Ranković (2016) “On a practically solvable product-type system of difference equations of second order” isimli çalışmalarında 1
a b n n n z 111 z w a b n n z wa n n, 1 1 c d n n n w 111 w zn n 1 c d w zc 1 w z n 000, , , ,
a b c d , ,, {0}{0}{ , z z111, 0000000,w0000 {0}{0}, ikinci mertebeden fark denklem
sistemlerinin çözülebilirliğini detaylı bir şekilde incelemişlerdir.
Stević (2017) “Product-type system of difference equations with a complex structure of solutions” isimli çalışmasında çarpılabilir tipteki 1
a b n n n z 111 z wa b n n z wa n n 1 2 2, c d n n n w 111 w zw zncc 22 nd22, 222 w z2222 0,
n 00, , , ,a b c d , ,, ,w w w z22222,, 1111, 00000, 2222,z 1111111,z000 {0}{0}, fark denklem sisteminin
çözülebilirliğini incelemiştir. Bu konuda yapılan çalışmaların aksine çözümlerin daha karmaşık yapıya sahip olduğunu göstermiştir.
Stević (2017) “Solution to the solvability problem for a class of product-type systems of difference equations” isimli çalışmada iki boyutlu çarpılabilir tipteki
1 1, 2 2, , , , , , , 2, 1, 2, 1 , a b c d n n n n n n z z wa1 bn11 wn w znc 22 nd 2 a b c d z z w w n z wa bb w w zc d a b c d n111w 11111 w w z2222222222 2222222 a b c d zz 2222222222 z wz w111111111 222222222 ww111 , fark
denklem sisteminin açık çözümlerini vermiştir. Temel / en karmaşık durumlarda problemi çoğunlukla iki farklı yöntem kullanılarak çözmüştür. Çözümlerin yapısını belirleyen üçüncü dereceden polinomlardan sonuncusunun çözüm olduğunu göstermiştir.
Stević (2017) “Solvable product-type system of difference equations with two dependent variables” isimli çalışmada iki bağımlı değişkenli çarpılabilir tipteki
1 , 1 2 1, , , , , , , 1, ,0 2, 1, 0 , a b c d n n n n n n z 111 z w wz w waa bbb 11 w zw zcc 2 dd1 a b c da b c d z z w w w 1 2 11 1 2 1 2 1 2 1 2 z w w 11111111 w z22222222 11111 a b c d z z wz z w1111111111 0000000000 222222222 w ww w111111111 00000 , fark denklem sisteminin çözülebilirliği, yeni bir sınıfı vermiştir. Çözümlerinin ayrıntılı bir analizini yapmıştır. Bulduğu sonuçlar önceki çözümleri tamamlamıştır.
Stević (2017) “Solvable product-type system of difference equations whose associated polynomial is of the fourth order” isimli çalışmasında iki boyutlu çarpılabilir tipteki
1 a b n n n z 111 z wa b n n z wa n n n , 1 1 2 c d n n n w 111 w zw zncc11 nd 22 11 w z1111 , n 000, a b c d, , , , ,, {0}{0}{ 2, 1, ,0 1, 0 {0}
z 22 z 111111 z w w0000 1111 000 {0} , fark denklem sisteminin bd 00 olduğunda dördüncü
dereceden bir polinom sistemle ilişkilendirmiştir. Çözümlerini tüm olası durumlarda polinomun kökleri aracılığıyla , , ,a b c d parametreleri ile temsil etmiştir.
Stević ve arkadaşları (2017) “On a solvable class of product-type systems of difference equations” isimli çalışmalarında çarpılabilir tipteki 1
a b n n n z 111 z wa b n n z wa n n, 1 2 c d n n n w 111 w zw zn nc dc 2 2 w z 0
n 00, , , ,a b c d , ,, {0}{0}{ , z 222,z z w1111111, ,0000000 0 {0}{0} , fark denklem sisteminin
bütün olası durumlarda kapalı formdaki çözümlerini elde etmiştir. bd 00 temel
durumunda, çözümleri sistemin parametrelerinin bazılarına bağlı olan bir polinomun kökleri yardımıyla ayrıntılı bir şekilde incelemişlerdir.
Stević (2017) “Solvable three-dimensional product-type system of difference equations with multipliers” isimli çalışmasında çarpılabilir tipteki üç boyutlu fark denklem
sisteminin 1 1 a b n n n x 111 y zy zn na ba 1 1 y z , 1 1 c d n n n y 111 z xz xn nc dc 1 1 z x , 1 1 f g n n n z 111 x yxnff ng1 1 g x yf , 0 n 00, , , , , ,a b c d f g , , , {0} , , {0}{ , , ,x y zi i i {0}{0}, i {0,1}{0,1}, çözülebilirliğini göstermiştir.
Stević (2017) “Solvability of the class of two-dimensional product-type systems of difference equations of delay-type (1, 3, 1, 1)” isimli çalışmasında iki boyutlu
çarpılabilir tipteki a b n n k n l z z wk n ll a b n z wa n kkwnn , c d n n m n s w w zd m n ss c d n wc z n m nmz , n 000, , , ,k l m s , , , ,a b c d ,
ve ,, ,, fark denklem sistemlerinin (pratik) çözülebilirliği çalışmasındaki son ve önemli adımları sunmuştur. Şimdiye kadar düşünülmemiş en karmaşık durumu incelemiştir (k l s 1l s 1 ve m 33). Tüm olası durumlarda, sistemin çözümleri için
kapalı formüller bulmuştur. Durumlardan bazıları literatürde ilk kez ortaya çıkmaktadır. (1) b 00; (2) c 00; (3) d 00; (4) ac 00; (5) a 00, beş durumda çözümlerin yapısını ayrıntılı olarak ele almıştır.
2. BÖLÜM
TEMEL KAVRAMLAR
Bu bölümde, tezin temel sonuçları ile ilgili üçüncü bölümde yararlanılacak temel kavramlar verilecektir.
2.1. Lineer Fark Denklemleri
Tanım 2.1.1: Bir x: fonksiyonu için fark operatörü veya x in birinci basamaktan farkı x nx( )( )( )) x n(((( 1)1)1)1) x n( şeklinde tanımlanır; burada ( )(( ) {0,1, 2,...}{0,1, 22,.. doğal sayılar cümlesi ve reel sayılar cümlesidir. Buna göre x in ikinci basamaktan farkı ( 222x)), 2
( ) ( ( ))= ( 2) 2 ( 1) ( )
x n x n x n x n x n
2
( ) ( ( ))= ( 2) 2 ( 1) ( )
x( )) (( ( ))= (( ))= ( 2) 2 (2) 2 ( 1)1) (( ve böyle devam ederek x in
k yıncı basamaktan farkı ( kkx)),
0 ( ) k ( 1) ( ) k j j k x n x n k j j 0 k ) j kx n( )( ) j k 0 k j ( 1) ( 1) kk (((( jj ( j şeklinde hesaplanır;
burada k jj olmak üzere ( 1)...( 1)
! k k k k j j j k k(k( 1)...(1)...(1). j 1) k k(( jj dir.
Bazen fark operatörü iki ya da daha çok değişkenli fonksiyonlara uygulanabilir. Böyle bir durumda operatörünün sağ alt köşesine konulan bir indis yardımıyla hangi değişkenin bir birim ötelendiği gösterilmiş olur. Örneğin
( 1) t t t t nne (n )e ne e t ( 1) t t t nne (n 1)e ne e t ( 1) tt tt , t t 1 t t( 1) tne ne ne ne e( 1) t t t t tne ne ne ne ( t tt 11 nett t [19].
Tanım 2.1.2: E öteleme operatörü Ex n( ) x n(((( 1)1) şeklinde tanımlanır. Bu tanıma göre
( ) ( )
k
E x n x n k((( ) dır. Ayrıca a ve b sabitleri için
( ( ) ( )) ( ) ( )
E ax n by ny( ))( ))( )) aEx n( )( )( ) bEy ny( )(( dir; yani
E
operatörü lineerlik özelliğine sahiptir. veE
operatörleri arasındaE I
E I
ilişkisi vardır; burada I özdeşlik operatörüdür; yani Ix n( ) x n( )( )(( BuradanE E
E E
değişme özelliği ortaya çıkar. Binom formülünden, k yıncı basamaktan fark ve öteleme operatörleri, sırasıyla,0 ( ) k ( 1) k k j k j j k E I E j 0 k j ( ) k ( )))k j 0 k k j k k E ( 1)j ( 1)j k ( 1)j ( 1) jjj ( 1) E( 1) j ve 0 ( ) k k k k j j k E I j 0 k ( )k ( ) (( j 0 k k k k k jjj jjjj dir [19].
( , ( ), ( 1),..., ( )) 0
F n x n x n 1),..., (1),..., ((x n k)) 0 (2.1) eşitliğine bir fark denklemi denir. E II operatörü göz önüne alınırsa (2.1) fark denklemi
( , ( ), ( ),..., k ( )) 0
G n x n x n( ),...,( ),...,... kx n( )) 0( formunda yazılabilir. (2.1) denklemi
( ) ( , ( ), ( 1),..., ( 1)) x n k))) f n x n x nf( , ( ), (( , ( ), (( , ( ), ( 1),..., (1),..., (1),..., (x n k 1)) ya da 1 ( ) ( , ( ), ( ),..., ( )) kx n g n x n x n k x n( )) kx n( )( )( )) g n x n(( , ( ),( , ( ),( ( )( ) x n( ),...,( )( ),...,( ) k 11x(((( ))( ya da ( ) ( , ( ), ( 1),..., ( 1)) k x n( ) g n x n x n( , ( ), ( 1),..., (x n k 1)) k
x n( )) g n x n x n( , ( ), (( , ( ), ( 1),..., (1),..., (x n k formunda ise normal fark denklem adını alır [19].
Tanım 2.1.4: Bir fark denkleminde bilinmeyen fonksiyonun mevcut en büyük ve en
küçük argümentinin farkına o denklemin basamağı denir [19].
Tanım 2.1.5: k yıncı basamaktan bir fark denkleminin bir özel çözümünü bulmak için o
çözüme ilişkin 0 ( ) i, 0 1, x n i))) i, 0, 0, 0, 0, 0 i k 1, (2.2) 0 ( ) , 0 1 i i x n( )00 i k 1 ix( ) 0 i, 0, 0 (2.3)
biçiminde ilk k tane ardışık değerin belirtilmesi gereklidir. Burada n0 ve
0, ,...,1 k 1
0 111 k 11 reel sabitlerdir. (2.2) ya da (2.3) koşullarına başlangıç koşulları adı
verilir. k yıncı basamaktan bir fark denklemi ve (2.2) ya da (2.3) başlangıç koşullarından meydana gelen probleme bir başlangıç değer problemi denir [19].
Teorem 2.1.6: k yıncı basamaktan lineer olmayan skaler normal 0 ( ) ( , ( ), ( 1),..., ( 1)), x n kk)) f n x n x nf n x n x n( , ( ), (( , ( ), ( 1),..., (1),..., (x n kx n k 1)), nn 00 (2.4) fark denklemi ve 0 1 1 (0) , (1) ,..., ( 1) k x 000, (1), (1)x(1) 111111,..., (,..., (x k( 1) k 11 (2.5)
başlangıç koşulları verilsin. f fonksiyonu bağlı olduğu değişkenlere göre tanımlı ise, o zaman (2.4)-(2.5) başlangıç değer probleminin bir tek çözümü vardır [19].
Tanım 2.1.7: a n a n1( ), ( ),..., ( )2 a n katsayıları ile k g n n n( ), n00 için tanımlı reel değerli
fonksiyonlar ve [ , ) { ,n0 ) {) {n n0000000 0000000 111,1 n000 2,...}2,...} üzerinde ( ) 0a nk 0 olmak üzere
1
( ) ( ) ( 1) ... k( ) ( ) ( )
x n k)) a n x n k111( ) (( ) ( 1) ...1) ...1 ... a n x nkk( ) ( )( ) ( ) gg n(( ) (2.6)
biçimindeki bir denkleme k yıncı basamaktan lineer fark denklemi denir. Bu denklem, ( ) 0
g n 0 olduğu zaman homojen denklem, aksi durumda homojen olmayan denklem
olarak adlandırılır. Buna göre k yıncı basamaktan bir lineer homojen fark denklemi
1
( ) ( ) ( 1) ... k( ) ( ) 0
x n k))) a n x n k111( ) (( ) (( ) ( 1) ...1) ...1) ... a n x nk( ) (( ) ( ) 0( ) ( (2.7)
şeklinde ifade edilir. Ayrıca bütün ( )a n katsayıları ( )i a ni aa şeklinde sabitse, (2.6) ii
denklemine sabit katsayılı, aksi halde değişken katsayılı fark denklemi denir [19].
Tanım 2.1.8: { }an n 00, { }bn n 00 ve { }cn n 00, gerçel sayı dizileri ve nn 00 için
0
n
b 0 olsun. Aşağıda verilen
2 1 0, 0 n n n n n x 222 a xa xa xn n 111111111 b xb xb xn n 0 nn 00 (2.8) 2 1 , 0 n n n n n n x 222 a xa xa xn n 111111111 b xb xb xn n cc nn 00 (2.9)
(2.8) denklemine ikinci mertebeden lineer homojen fark denklemi, (2.9) denklemine de
ikinci mertebeden lineer homojen olmayan fark denklemi denir [20].
Tanım 2.1.9: x { }{{ }xn nn n} 000 ve y { }{{ }yn nn n} 000, (2.9)’un iki çözümü olsun. { ( , ; )}C x y n n 00
Casoratyanı 1 1 0 1 1 ( , ; ) n n , n n n n n n x y C x y n x y x y n x y 1 n 11 n 1 n 1 y 11 n n n xn y x yn n 1111 x y111111111 , , n 00 şeklindedir [20].
Teorem 2.1.10: x { }{ }{xn nn n} 000 ve y { }{ }{yn nn n} 000, (2.8)’in iki çözümü olsun. Bu durumda
aşağıdaki ifadeler sağlanır.
(i) Casoratyan { }Cn n 00 birinci mertebeden lineer bir homojen fark denklemini sağlar.
Yani; Cn1111 b Cb Cb Cn n 0, 0 n 0000,, ve sonuç olarak
1 0 0 n n k k C n 1b C k 0 n 1 0 C0 C bk b k 0 0 k C0 kk dır.
(ii) Eğer ( , ; ) 0C x y n 0, n 000,, ise x {{ }{ }xn nn n} 000 ve y { }{{ }yyn nn n} 000, (2.8)’in lineer bağımsız
Teorem 2.1.11: x {{ }{ }xn nn n} 000 ve y {{ }{ }yyn nn n} 000, (2.8)’in iki lineer bağımsız çözümü ve
( ) 0
{ p }
n n
x 0, (2.9)’un bir özel çözümü olsun. Bu durumda
(i) (2.8)’in genel çözümü x nh( ) c x1111 n c y22222222 n, n 0000,,dir. Burada c1 ve c2 keyfi
sabitlerdir.
(ii) (2.9)’un genel çözümü ( ) 1 2 p, 0,
g n n n
x n c x c y xp n
1 22 , ,
1 22 1 22
1 222 000,dir. Burada c ve 1 c keyfi 2
sabitlerdir.
Sabit katsayılı lineer fark denklemlerinde
2 1 0, , , 0, 0,
n n n
x 222pxpxn 1111 qxqxqxn 00 p q , q 0, 00 n 000, (2.10)
(2.8)’in çözümü için basit bir formül vardır. (2.10) için bir çözüm ararsak. n
n
x n,
0
n 00, 00 ise o zaman (2.10) ikinci dereceden denklem oluşturur. 2 0 p q 2 0 p q (2.11)
(2.11) denklemi (2.10)’un karakteristik denklemi olarak adlandırılır ve kökleri (2.10)’un karakteristik kökleri olarak adlandırılır. (2.11)’in köklerini veren formül
2 1,2 4 2 p p q 1,2 2 4 p p 4q 2 p p
dir. Eğer (2.11) denkleminin diskriminatı pp22 444 pozitif ise qq
farklı iki reel kökü vardır. Bu durumda { ,1 2}
n n
1, 2} 1 2
n n cümlesi (2.8) denkleminin bir temel
cümlesidir. Buradan (2.8)’in genel çözümü c ve 1 c keyfi sabit olmak üzere 2
1 1 2 2
n n
n
x cc11 1n cc2 2n
1
n şeklindedir. Eğer (2.11) denkleminin diskriminantı 00 ise
1 2 2 p 1 2 2 p
olup çift katlı kökü vardır. Bu durumda (2.8) denkleminin bir temel cümlesi { ,nn,n nn}} olup genel çözüm
1 2
( ) n
n
x ((c111 nc22) n dir. Eğer (2.11) denkleminin
diskriminantı 00 ise karakteristik kökler birbirinin eşleniği olan 11 a iba ib ve 2 a ib
2 a ib karmaşık köklerdir. Bu durumda (2.8) denkleminin bir temel cümlesi b
{ cos ,rn ,,rnnsin }sin } dır. Burada r aa222 bb22, a ibib karmaşık sayısının modülü ve ,
a ibib karmaşık sayısının argümentidir. açısı için cos a
r a , sin b r b ve
dir. Bu durumda (2.8)’in genel çözümü ( cos1 2sin )
n n
x r cr ( cosn(( cos11cosn c2 n 1 n 2sin ) 2sinsin 2 şeklindedir [20].
Teorem 2.1.12: 11 ve 22 (2.11) karakteristik denkleminin kökleri olsun. Bu durumda
(2.10) denkleminin genel çözümünü için aşağıdaki durumlardan biri geçerlidir. (i) Eğer 11 ve 22 kökleri reel ve farklı ise 1 1 2 2
n n n x cc11 1n cc2 2n 1 n , 0 n 00 dır. Burada c ve 1 c 2 keyfi sabitlerdir.
(ii) Eğer 11 22 ise 1 1 2 2
n n
n
x cc1 11 1n cc2 22 2n
1
n
, n 000 dır. Burada c ve 1 c keyfi sabitlerdir. 2
(iii) Eğer 1,2 a ib re i 1,2 a ib re ii ise 1 cos 2 sin n n n x c rc r1 ncosn c r2 n 1 cos ncos 2 sin 2 nsinn 2 , n 000 dır. Burada 2 2 r aa22 bb2, cos a r a , sin b r b , (( , ], ], c ve 1 c keyfi sabitlerdir [20]. 2
Teorem 2.1.13: { }an n 00, { }bn n 00 ve { }cn n 00, gerçel sayıların dizisileri, nn 00 için
0 n b 0 ve 2 1 , 0, n n n n n n x 222 a xa xa xn n 111111111 b xb xb xn n cc nn 000, (2.12) fark denklemi verilsin. { }xn n 00 ve { }yn n 00
2 1 0, 0,
n n n n n
y 222 a ya ya yn n 111111111 b yb yb y 0 n 000, (2.13)
homojen fark denkleminin lineer bağımsız iki çözümü ise, Denklem (2.12)’nin özel çözümü 1 1 1 0 0 1 1 2 2 ( ) , k k n n n p k k k k k k x y x y x n c n x y x y 1 k 1 y 1 1 0 x 11 yk 1 2 k 2 y 2 , n , n k k 0 xx yy x y n 1 n k xn y 00 (2.14) dir [20].
2.2. Lineer Fark Denlem Sistemleri
Tanım 2.2.1: İki boyutlu lineer homojen fark denklem sistemleri 1 1 n n n n n n x ax by y cx dy 111 111 n n axnn by ax n n cxnn dy cx (2.15)
şeklinde tanımlanır. Sistem (2.15) matris formunda ise
1 1 n n n n x x A y y xn 1 xx xn 111 A A xn A A n n yn 111 y y y (2.16)
şeklinde yazılır. Burada A a b c d a b a b a b c d c dd dir. Eğer n n n x Z y xxn x n yy alınırsa Sistem (2.15), 1 n n
Z 111 AZAZA şeklinde matris formunda yazılabilir. Açıktır ki Sistem (2.15)’ in bir çözümü n
0,
n 00, tüm değerleri için bu sistemi sağlayan değerlerin kümesidir. Genel çözüm,
sistemin tüm çözümlerini içeren bir çözümdür. Sistem (2.15)’ in özel çözümü
0 , 0
x cc yy00 dd (2.17)
başlangıç koşullarını sağlayan çözümüdür. Burada c ve d reel sayıdır. (2.17) de belirtilen koşullarla birlikte Sistem (2.15)’in özel çözümünü bulma problemine başlangıç değer problemi denir. Sistem (2.15)’ in çözümü ise
0
n n
Z A ZA Znn 0
(2.18)
şeklinde olduğu kolayca görülür. Lineer fark denklem sistemlerinin çözümünü elde ederken temel problem An nin hesaplanmasıdır. Sistem (2.15)’in iki çözümü z1 ve z2
ise bunların lineer bağımsız olması için çözümlerden birinin diğerinin skaler bir katı olamayacağı açıktır. Yani, nn 00 için
1 2
1 n 2 n 0
c z c z2 0
n
2
c z22 eşitliği ancak ve ancak
1 2 0
c cc2 0 olması durumunda sağlanacaktır. Dolayısyla Sistem (2.15)’in lineer
bağımsız çözümlerinin kümesine de temel küme, sütunları Sistem (2.15)’in lineer bağımsız çözümlerinden oluşan matrise de temel matris denir[20].
Teorem 2.2.2: Zn 1111 AZAZA denklem sistemi verilsin. Bu durumda aşağıdaki ifadeler nn
doğrudur.
(i) Sistem (2.15) için çözümlerin bir temel kümesi vardır.
(ii) Sistem (2.15)’in çözümlerinin bir temel kümesi { , }z z ise, o zaman Sistem (2.15)1 2
’in genel çözümü 1 2 1 1 2 2 c z c z c z F c c 1 2 1 2 c z1 c z2 F 1 2 1 c1 c 2 cc , c c1, 2 dir. Burada 1 2 ( , ) F ( , )( ,z z111 22 Sistem
(2.15)’in temel matrisidir[20].
Tanım 2.2.3: İki boyutlu lineer homojen olmayan fark denklem sistemleri
1 , 0 , 0,
n n n
Z 111 AZAZAZ BB ZZ00000000 dd nn 000, (2.19)
şeklinde tanımlanır. Burada ( ( ), ( ))1 2
T n
B (( ( ),b n b n111( ), 222 ve ( , )0 1
T
d ( , )( ,,d dd d00 11 T
0 1 dir. Başlangıç değer
0 0 , n n i n i i Z Ad A B n 0 Ad i n 0 , i n A Bn , n i iB i 00 (2.20)
şeklinde tek bir çözüme sahiptir [20].
Teorem 2.2.4. Her 2x2 reel matris, aşağıdaki durumlardan biri tarafından verilen J matrisine benzerdir.
(i) Eğer A reel ve farklı özdeğerlere sahipse 11 22,
1 2 0 0 J 111 000 2 0 2 00 ,
(ii) Eğer A reel ve eşit özdeğerlere sahipse 11 22 ,
1 0
J 111
000 ,
(iii) Eğer A'nın karmaşık özdeğerleri varsa ii , J ...
Teorem 2.2.4, An' in hesaplanmasında etkili bir araçtır. Yani,
1 1
( )
n n n
A (PJP(((PJP 1111))))n PJ PPJ PPJ Pn 1’nin hesaplanması için kullanılır. Burada J yukarıdaki
3. BÖLÜM
İKİNCİ MERTEBEDEN ÇARPILABİLİR FARK DENKLEM SİSTEMLERİNİN ÇÖZÜLEBİLİRLİĞİ
Bu bölümde, Stević ve arkadaşlarının [1] makalesi detaylı olarak incelenmiştir. , , ,
a b c d ve başlangıç şartları z 111, ,z wz w000000000 11111111,ww000 kompleks sayılar olmak üzere
1 1 0 1 1 , , , a c n n n b n d n n w z z w n z w 1 b 1 d 11 z w 1 n 1 w 11 n n wn z w n n n 11 w 111111 n 000, (3.1)
şeklindeki fark denklem sistemi ele alınacaktır.
3.1 (3.1) Denklem Sisteminin Çözümleri ve Çözümlerinin Davranışı
Sistem (3.1)’in iyi tanımlı çözümlerini elde etmek için, öncelikle sistem (3.1)’ in iyi tanımlı olmadığı noktaların kümesinin
4
1 0 1 0 1 0 1 0
{( , , , ) : 0 0 0 0}
U {({(zz 111, ,, ,, ,z w w00000 11111,,, 0000))) 444:z 1 0 0 0 0}0000veya z00000 0000veya w11111 0000veya w0000 1
: 11 0
olduğu denklem sisteminin yapısından kolaylıkla görülür. Dolayısıyla bundan sonra sistem (3.1)’ in iyi tanımlı çözümleri için başlangıç koşullarının \{0}\{0} kümesinden seçileceği açıktır.
Teorem 3.1. , , ,a b c d ve başlangıç değerleri z 111 , , z0000000 w1111111 , w0000 \{0}\{0} olsun. Bu
durumda, sistem (3.1) kapalı formda çözülebilir.
İspat:
1 , 1 , 1 , 1
a a ba b11111111 b cb c111111 c dc d11 dd (3.2)
olsun. Sistem (3.1)’deki ilk denklemde w yerine n 1
2 c n d n z w 1 2 yazılırsa 1 1 1 1 2 1 1 1 2 1 2 1 1 1 1 1 2 2 a c n d a ca b a n n n n n b b da b n n n n z w w z z z z z w w 1 zb 2 2 n n n 1 z 11 w 22 w 1 11 11 1 11 22 1 111 22 1 a c zn d ca d 1 b n z 1 1 1 1 ca1 d 1 b111 2 n b1 b11 da11 b2 w1 n zn221 b n n z 1 1 n n n wn 222 1111 11 (3.3)
elde edilir. Burada a2: caca1111 bb111 ve b2: dada dir. Benzer şekilde, Sistem (3.1)’ deki 11
ikinci denklemde ise z yerine n 1 a n b w z 1 yazılırsa
1 1 1 1 2 1 1 1 2 1 2 1 1 1 1 1 2 2 c a n b c ac d c n n n n n d d bc d n n n n w z z w w w w w z z 111 1 w 2 2 n n n 1 w 11 z 22 z 1 11 11 1 11 22 1 11 2 1 c a wn b ac b 1 d n wn 1 11 ac1 b 1 d 2 2 n d1 d11 bc11 d2 z1 1 1 n znnn 222 wnn11111 111 wn21 (3.4)
elde edilir. Burada c2: acac1111 dd111, d2: bcbc dir. Öte yandan, Sistem (3.1)’ deki 11
denklemlerde, (3.3) ve (3.4) denklemleri kullanılırsa
2 3 2 2 3 2 2 2 3 2 2 1 2 3 3 a a n b aa b a n n n n b ba b n n n w z w w z w z z 2 b2 w 2 1 3 3 n n 2 z 33 z 2 2 2 33 2 3 2 a a wn b 2 b n wn 2 w 2 zb aa22 z w 2 b 3 3 2 b3 b2 ba w 2 w 2 3 2 n w 2 n n z w 2 n 3 2222 , (3.5) 2 3 2 2 2 3 2 2 2 2 3 1 2 2 1 2 2 3 3 c c n d c c cc d n n n n n d d dc d n n n n z w w z z w z z w w 2 z 2 1 d z 3 3 n n 2 z 22 w 33 w 2 22 2 2 22 33 2 22 333 2 c c zn d cc d 2 d n z 2 2 2 2 cc2 d 2 d222 3 2 n d3 d2 d22 dc 3 w2 n2111 222 zzzn32 d 2 22 n 2 z 2 2 22 w 3333 (3.6)
elde edilir. Burada a3: aaaa2222 bb222, b3: ba , ba22 c3: cccc2222 dd222, d3: dcdc dir. Varsayalım ki, 22
k ve n 22k 2k 2 için, 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 1 1 2 1 2 1 , , k k k k a c n k n k n b n d n k n k w z z w z w 1 k 1 c2 11 1 2 1 2 1 b222 11 z2 11111 22 1 1 k n k 2 11 w 22 2k k n 2 11 w 2k1 n w2 nn2k222kkk11 2222 w zzn22k22k11 2 1 , 11 22 1 ww 111 d22k1 , (3.7) 2k1: 2k 2 2k 2 a 11: aa: aaaa2222kkk 222222 bbb22222kk 22, b2 1k11::: bababa222kkk 222, c2k111: cc:: cccc22222kkkk 2222 ddd2222kkk 222, d2k 111::: dcdcdc222kkk 222, ve 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 2 2 , , k k k k a c n k n k n b n d n k n k z w z w w2 z 2k 1 b222 2 11 w2 2k k n k 2 z 2 2k k 2 k 2 n z 2 nn2k2 12 112 1kkk 1 w wnn2k22k 1 1 , 1 d2k 11 2 1 22 ww (3.8) 2k: 2 1k 2 1k a caca22k111 bbb222kk 11, b2k: dada22kk 111, c2k: acac222kk1111 ddd2222kkk 111, d2k: bcbc22kk111 olsun. Sistem (3.1)’
deki denklemlerde, (3.7) ve (3.8) denklemleri kullanırsa,
2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 2 2 1 2 1 , k k k k k k k k k a a n k b a aa b a n k n k n k n k n b b ba b n k n k n k n k w z z w w z w w z z 1 1 2 b22k 1 w2 k22kk wnn222kk22222kkk znn 22222 12 122 1kkkkk zn2k22k1 1 2 k a a wn b aa b k 2 n wn 2k 22 aa2k b 2 , k 2 n b2 k b222kk ba222kk b z 2 n 2 2 1 1 , 2 2k n 2k w k 2 k 2 1 2 k k 2 1 z 222 112 1k 1 wn 222222kkk 1 (3.9) 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 2 2 1 2 1 , k k k k k k k k k c c n k d c cc d c n k n k n k n k n d d dc d n k n k n k n k z w w z z w z z w w 1 1 2 k 22 1 z 2k 1 k n k n k n k 2 z 22 w 2 1 w 22 2 k 222kk 222kk k n kk n kk n 2 222 2 1 1 2 k c c zn d cc d k 2 d n z 2k 2 2 2 cc2k d 2 d222 , k 2 n d2 k d222kk dc222kk d2 w2 n 2 2 1 1 , 2 2k n 2k z k 2 k 2 1 2 k k 2 1 w 2 112 122k 1 zn222222kkk 222 1 (3.10)
elde edilir. Burada a2k111::: aaaaa 2222kkk bb222kk, b2k 111::: babab 22kk, c2k 111::: ccccc2222kkk dd222kk, d2k 111::: dcdcd 22kk dır.
2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 2 2 2 , k k k k k k k k k a c n k d a ca b a n k n k n k n k n b b da b n k n k n k n k z w w z z z z z w w 2 k 2 a 111 111 2 1 2 11 22 11 22 1 2 1 22 11 2 1 22 111 222 11 b2 1 b22k11 1 b z 2 k2 12 1k1k11 zznn22kk2 12 1kk11k1 wwnn 2222222kkkkk1122 wwnn2k2k2 2 2 k a c z 1 n dd 1 k 2 n z 2k1 2 1 d ca22k11 d 2 1 , n b2 k b da b w 2 n 1 1 2 1 2 2 2 , k 2 bkk dakk b 1 22 1 22 11 22 2 1 1 n k 1 z 2 1 k 2 2 k k 21 1 2k1 z 2k 2 b 2 1 n 22k z 22k w z 2k1 w 2222k 2222 (3.11) 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 2 2 2 k k k k k k k k k c a n k b c ac d c n k n k n k n k n d d bc d n k n k n k n k w z z w w w w w z z 2 k 2 c 11 111 2 1 2 1 2 1 2 11 22 11 22 1 22 111 222 11 2 1 22 111 2 1 d2 1 d22k11 1 w 2 k2 12 1kk111 wwnn22k2 12 12 12 1k2 1kkk111 zznn222222kkkkk12222 zzn22kk2 2 2 k c a w 1 n bb 1 k 2 n wn 2k1 2 b ac22k b 2 n d2 k d bc d z 2 n 1 2 1 2 1 2 2 2 k 2 dkk bckk d 1 22 111 222 11 2 2 1 1 k n k n k 2 2 12 1k 1 w 2 2 k k 21 zz 2222k 2222 wwn 222222kkk1 2k1 w2k 2 (3.12)
elde edililir. Burada a2k 222:: ca: caca22222kkkk1111111 bbb222222kkk111, b2k 222: da:: dada222kkk111, c2k 222: ac:: acac22222kkkk1111111 ddd222222kkk 111, 2k 2: 2k 1
d 22:: bcbcbc22kk 11 dir. Böylece, yukarıdaki tümevarım (3.7) ve (3.8) denklemlerinin kk ve n 22k 1k 1 için sağlandığı ve ( )an n ve ( )bn nn dizilerinin aşağıdaki eşitlikleri kk için sağladığı görülür.
2k 2k1 2k 1, a caca22k111 bbb222kk 11, (3.13) 2k 2k1, b dada2k11, (3.14) 2k 1 2k 2k, a 11 aaaaaa22kk bb22k, (3.15) 2k 1 2k, b 11 bababa 2k, (3.16) 2k 2k 1 2k1, c acac22k 111 ddd222kk11, (3.17) 2k 2k 1, d bcbc2k 11, (3.18) 2k 1 2k 2k, c 11 cccccc222k dd22k, (3.19) 2k 1 2k. d 11 dcdcdc 2k. (3.20) (3.9)-(3.12) denklemlerinden, n 000 için, 2 1 2 2 2 1 2 2 0 0 2 1 2 2 1 1 , , n n n n a a n b n b w z z z z w 2 2 1 a2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 11 b222 1 z2 111111 2222 2 1 1 z2 w 1n1 w2n2 0 0 w 2 z 0 n z 0 1 z 2n2 2 2 , 2 2 2 2 22 1 z222 22 b222 2, (3.21) 2 1 2 2 2 1 2 2 0 0 2 1 2 2 1 1 , , n n n n c c n d n d z w w w w z 2 2 1 c2 111 2 2 1 2 1 d222 11 w 2 111111 2222 2 1 1 w 2 z 1n1 z 2n2 0 0 z2 w 0n w 0 0 1 w2n2 2 2 , 2 2 2 2 2 1 w2222222 22 d22 2 , (3.22)
eşitlikleri elde edilir. (3.13)-(3.16) denklemlerinden
2k1 2k 2 1k , 2k 2 2k 1 2k 1, , a 11 aaaaaa222kkk dadada2 12 12 12 12 12 1kkk aaa22222222kkk 222222222 cacaca222222222kkk 111111111 bbb22222222kk 11111,,kkk , yazılabilir ki buradan 2k 3 ( ) 2k 1 2k 1 0, , a 33 (((ac b d aac b d a)))))) 2222 111111 bdabda222222 1111 0,0000, kk ,, (3.23) 2k 2 ( ) 2k 2k 2 0, 2, a 22 (((ac b d ab d)))))) 22222k bdabd 2222222k 2222 0,0,0,00 kk 2,2 (3.24)
2k 1 2k 2 1k , 2k 2 2k 1 2k, , c 11 cccccc222kkk bcbcbc2 12 12 12 12 12 1kkk ccc22222222kkk 222222222 acacac222222222kkk 111111 dcdcdc22222kkk,,kkk , yazılabilir ki buradan 2k 3 ( ) 2k 1 2k1 0, , c 33 (((ac b d cb d)))))) 22222 1111111 bdbdc222222 1111 0,0,0,00 kk , (3.25) 2k 2 ( ) 2k 2k 2 0, 2, c 22 (((ac b d cac b d c)))))) 2222k bdcbdc2222222k 2222 0,0,000 kk 2,2 (3.26)
elde edilir. Şimdi, (3.23)-(3.26) denkelmleri b 00, d 00 ve bd 00 durumları için ayrı ayrı ele alınacaktır.
0
b 0 Durumu: Bu durumda, (3.23)-(3.26) denklemlerinden aşağıdaki 2k 3 ( ) 2k 1, a 33 (((ac d aac d aac d a)))))) 2222 1111,,kkk (3.27) 2k 2 ( ) 2k, a 22 (((ac d ad)))) 222k,,kk (3.28) 2k 3 ( ) 2k 1, c 33 (((ac d cac d cac d c))))) 2222 1111,,kkk (3.29) 2k 2 ( ) 2k, c 22 (((ac d cac d c)))) 222k,,kk (3.30) eşitlikler yazılabilir. (3.27)-(3.30) denklemleri ikinci mertebeden sabit katsayılı lineer denklemeler olduğundan ve Denklem (3.2) dikkate alındığında, indirgeme yöntemi ile
( )an n ve ( )cn nn '' nin çözümleri 2 2 1 ( ) 2 1 ( ) 2 3 ... 1( ) ( ) , 0, k k k k k a 11 (ac d aa ))a2 11 ((ac d aa ))222a22 3 a ac da ac1(( ))kk a ac d((((ac )))kk k 3 1 3 1 2 1 2 2 1 2 2 11 2 ( ) ( ) 3 111( ( )) 222 1111 ((( ))) 22 000, (3.31) 2 2 2 ( ) 2 ( ) 2 2 ... 2( ) ( ) , 0, k k k k k a 22 (ac d aac d a)) 2 ((ac d aac d a))222 2 2 a ac da ac d2(( ))kk ac ac dac ac d((( )))kk k 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) 2 222( ) ( )) 222 ((( ))) 22 000, (3.32) 2 2 1 ( ) 2 1 ( ) 2 3 ... 1( ) ( ) , 0, k k k k k c 11 (ac d cac d c)) 2 1 ((ac d cac d c))222 2 3 c ac dc ac d1(( ))kk c ac dc ac d((((( ))))kk kk 3 1 3 1 2 1 2 2 1 2 2 11 2 ( )) (( )) 3 11(( ( )) 222 1111 ((( ))) 22 000, (3.33) 2 1 2 2 ( ) 2 ( ) 2 2 2( ) ( ) , 0, k k k k k c 22 (ac d ca d c)) 2 ((ac d ca d))222 22 2 c ac d2(( ))k ((((ac d))))k 111 k 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 ( )) (( )) 2 2(( )) (( ( )) 2 ((( ))) 2 000, (3.34)
elde edilir. (3.31)-(3.34) denklemleri, (3.13)-(3.20) denklemlerinde yerine yazılır ve
0
b 0 olduğu dikkate alınırsa
2k 1 0, 0, b 11 00 kk 000, (3.35) 2 2 2 1 ( ( ) ) ( ) , 0, k k k k b 22 dada2 1 d a ac dd a ac d( (( ) )) )kk)) ad ac dad ac d((((( ))))kk kk 1 2 da2k 1 d( ( 000, (3.36) 2 1 2 (( ) ) ( ) , 0, k k k k d 11 dc d ac d d ac d k k k 2 dc d(( d) )) )k (( ))k k ) ( ) ) (( ) k 2 dc 000, (3.37) 2k 2 0, 0, d 22 00 kk 000, (3.38)
elde edilir. (3.31)-(3.38) denklemlerinde n kk alınıp, (3.21)-(3.22) denklemlerinde yerine yazılırsa, Sistem (3.1)’ in çözümü
