T.C.
KASTAMONU ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
SPLIT DUAL FIBONACCI VE SPLIT DUAL LUCAS
OKTONYONLAR
Yakup DÜNDAR
Danışman Dr. Öğr. Üyesi Ümit TOKEŞER Jüri Üyesi Dr. Öğr. Üyesi Tuğba MERT Jüri Üyesi Dr. Öğr. Üyesi Zafer ÜNAL
YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK ANA BİLİM DALI
iv ÖZET
Yüksek Lisans Tezi
SPLIT DUAL FIBONACCI VE SPLIT DUAL LUCAS OKTONYONLAR Yakup DÜNDAR
Kastamonu Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Ana Bilim Dalı
Danışman: Dr. Öğr. Üyesi Ümit TOKEŞER
Bu tezde Split Dual Fibonacci ve Split Dual Lucas Oktonyonlar tanımlanıp, bunların; Binet formülleri, Catalan, Cassini, d’Ocagne özdeşlikleri ve bunlarla ilgili bazı sonuçlar elde edilmiştir.
Anahtar Kelimeler: Oktonyonlar, Dual Fibonacci ve Dual Lucas sayıları, Split Dual Fibonacci ve Split Dual Lucas Oktonyonlar
2018, 45 sayfa Bilim Kodu: 204
v ABSTRACT
MSc. Thesis
SPLIT DUAL FIBONACCI AND SPLIT DUAL LUCAS OCTONIONS Yakup DÜNDAR
Kastamonu University
Graduate School of Natural and Applied Sciences Department of Mathemathics
Supervisor: Assist. Prof. Dr. Ümit TOKEŞER
In this thesis, Split Dual Fibonacci and Lucas Octonions are defined, Binet formulas, Catalan’s, Cassini’s and d'Ocagne’s identities and some results are obtained.
Keywords: Octonions, Dual Fibonacci and Dual Lucas numbers, Split Dual Fibonacci and Split Dual Lucas Octonions
2018, 45 pages Science Code: 204
vi TEŞEKKÜR
Değerli fikir, yardım ve yol göstericiliği ile tezin sonuca ulaşmasında büyük katkıları olan Sayın Dr. Öğr. Üyesi Ümit TOKEŞER (Kastamonu Üniversitesi Fen-Edebiyat Fakültesi, Matematik Bölümü)’e teşekkürlerimi sunarım.
Her zaman yanımda olan Eşim Berrin DÜNDAR’a destek ve teşviklerinden dolayı sonsuz teşekkürler.
Yakup DÜNDAR
vii İÇİNDEKİLER Sayfa ÖZET... iv ABSTRACT ... v TEŞEKKÜR ... vi İÇİNDEKİLER ... vii
SİMGELER VE KISALTMALAR DİZİNİ ... viii
TABLOLAR DİZİNİ ... ix
1. GİRİŞ ... 1
2. TEMEL TANIM VE ÖZELLİKLER... 2
2.1 Reel Kuaterniyonlar ... 2
2.2 Fibonacci ve Lucas Sayıları ... 3
2.3 Oktonyonlar ... 6
3. SPLIT DUAL FIBONACCI VE SPLIT DUAL LUCAS OKTONYONLAR 14 3.1 Split Fibonacci ve Split Lucas Oktonyonlar ... 14
3.2 Split Dual Fibonacci ve Split Dual Lucas Oktonyonlar ... 15
4. SPLIT DUAL FIBONACCI VE SPLIT DUAL LUCAS OKTONYONLAR İÇİN BAZI SONUÇLAR ... 26
KAYNAKLAR ... 43
viii
SİMGELER ve KISALTMALAR DİZİNİ
H Reel kuaterniyonlar kümesi
n
F n. Fibonacci sayısı n
L n. Lucas sayısı D Dual sayı sistemi
Dual birim
n
F
~
n. dual Fibonacci sayısın
L
~
n. dual Lucas sayısı
O
Reel sayılar üzerindeki oktonyonlar cebirip p oktonyonunun eşleniği p N p oktonyonunun normu 1
p
p oktonyonunun tersiO Split Dual Oktonyon cebiri n
P n. Lucas oktonyonu
n
Q n. Fibonacci oktonyonu
n
P~ n. Split Lucas oktonyonu
n
Q~ n. Split Fibonacci oktonyonu
n
Q
~
~
n. Split Dual Fibonacci oktonyonun
P
~
~
n. Split Dual Lucas oktonyonun
P
n. Dual Lucas oktonyonu nix
TABLOLAR DİZİNİ
Sayfa
Tablo 2.1 Kuaterniyon çarpım tablosu ... 2
Tablo 2.2 Genelleştirilmiş oktonyon çarpım tablosu ... 7
Tablo 2.3 Oktonyon çarpım tablosu ... 8
Tablo 3.1 Split Oktonyon çarpım tablosu ... 14
1 1. GİRİŞ
Kuaterniyonlar ilk olarak 1843 te Sir William R. Hamilton tarafından tanımlanmış ve bu tarihten sonra uygulamalı matematik, fizik ve bilgisayar bilimleri gibi çeşitli alanlarda yaygın olarak kullanılmaya başlamıştır. İlerleyen zamanlarda, split kuaterniyon, para kuaterniyon gibi alt katagorilere ayrılmıştır. Fibonacci kuaterniyonları üzerine uzun yıllar çalışmalar yapıldı. A.F. Horadam tarafından ilk olarak yapılan çalışmalar bazı yazarların da ilgisini çekmiştir. 1845 yılında Cayley oktonyonları tanımlamıştır. Fibonacci kuaterniyonlarından ilham alarak, Keçilioğlu ve Akkuş ([9] ve [16]) sırasıyla Fibonacci ve Lucas oktonyonlar ile Split Fibonacci ve Split Lucas Oktonyonları tanımlayıp onlarla ilgili bazı sonuçlar çıkarmıştır. Halıcı da [4] dual Fibonacci oktonyonları üzerine çalışmış ve bunun üreteç fonksiyonu ile Binet formülünü elde etmiştir. Bundan sonra Bilgici, Ünal, Tokeşer ve Mert [15] Genelleştirilmiş Fibonacci ve Lucas Oktonyonları elde edip, bunlarla ilgili önemli sonuçlar bulmuşlardır.
Bu tezde Split Dual Fibonacci ve Split Dual Lucas Oktonyonları tanımlayıp, bunlar arasında ortaya çıkan Binet formülleri, Catalan, Cassini , d’Ocagne özdeşliklerini ve bazı eşitlikleri elde edeceğiz.
2 2. TEMEL TANIM VE ÖZELLİKLER
2.1. Reel Kuaterniyonlar
2.1.1. Tanım
Reel kuaterniyonlar kümesi;
0 0 1 1 2 2 3 3: , 0,1,2,3
a a e ae a e a e a Ri
H i
R üzerinde
e0 1,e1,e2,e3
bazıyla 4 boyutlu bir vektör uzayıdır. Burada baz elemanları için çarpım tablosu aşağıdaki gibi verilir:Tablo 2.1. Kuaterniyonlar için çarpım tablosu
Bir
a
H
reel kuaterniyonunu
3 0 s s se H a a olmak üzere;
3 1 0 0 s s s a a V a e a e S a şeklinde de gösterebiliriz [5]. . e0 e1 e2 e3 e0 e0 e1 e2 e3 e1 e1 -1 e3 -e2 e2 e2 -e3 -1 e1 e3 e3 e2 -e1 -13 2.1.2. Tanım
H b
a, olmak üzere
a
veb
nin çarpımı skaler ve vektörel kısımlar yardımıylab a b a a b b a b a b b a a V V V V V S V S S S V S V S ab . ) )( (
şeklindedir. Burada bahsi geçen
V
a.
V
b veV
aV
b
sırasıyla R3 deki iç çarpım ve vektörel çarpımdır [3].2.1.3. Tanım
Bir aa0e0a1e1a2e2a3e3 kuaterniyonunun eşleniği ve normu aşağıdaki eşitliklerle ifade edilir:
2 3 2 2 2 1 2 0 3 3 2 2 1 1 0 0
e
a
e
a
e
a
e
S
V
,
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
[3].2.2. Fibonacci ve Lucas sayıları
2.2.1. Tanım
0
n
için F0 0, F11 başlangıç koşulları ile verilen Fibonacci sayıları1 1 n n n F F F şeklindedir.
4
Aynı rekürans bağıntısı ile verilen fakat başlangıç koşulları L0 2 veL1 1 olan Lucas sayıları 1 1 n n n L L L şeklinde tanımlanır [10].
Bu rekürans bağıntısı yerine kullanılan Binet formülü olarak anılan bağıntı aşağıdaki gibi tanımlanır.
2.2.2. Tanım
Fibonacci ve Lucas sayıları için Binet formülleri aşağıdaki gibi verilir:
. n n n n n n L F
Burada 2 5 1
ve ; 1 0 2 5 1 2 x x
kuadratik denkleminin çözümleridir [2]. 2.2.3. Tanım1873 yılında Clifford reel sayıları dual sayılara genişletmiştir.
R reel sayılar kümesi olmak üzere;
R R
5
kümesi üzerinde eşitlik, toplama, çarpma işlemleri aşağıdaki gibi tanımlanmış ise D
kümesine dual sayılar sistemi,
(0,1) dual birim a,a*R ve
2 0,
0olmak üzere * *
) ,
(a a a a
d
elemanına da dual sayı denir. D a a a a A( , *)
* ve B(b,b*)b
b*D olmak üzere: Eşitlik: * * ,a b ba ise A ile B eşittir yani AB şeklindedir. Toplama: DDD ) ( ) , ( ) , ( ) , (a a* bb* a b a* b* a b a* b* B A
şeklindedir. Çarpma: DDD ) ( ) , ( ) , ).( , ( .B a a* bb* ab ab* a*b ab ab* a*b A
şeklindedir [17]. 2.2.4. Tanım
dual birim olmak üzere sırasıyla dual Fibonacci ve dual Lucas sayıları;1
~
n n nF
F
F
ve6 1
~
n n nL
L
L
şeklinde tanımlanır [2]. 2.3. Oktonyonlar 2.3.1. TanımReel sayılar üzerindeki oktonyonlar cebirini
O
şeklinde gösterelim. qı,qııHolmak üzere Cayley-Dickson metodu kullanılarak p oktonyonu aşağıdaki gibi verilir:
.
e q q p ı ıı
Reel sayılar üzerindeki oktonyonlar cebiri için doğal baz
ke e je e ie e e e k e j e i e e0 1, 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 şeklinde ve herhangi bir p oktonyonu
R a e a p s s s s
, 7 0 şeklindedir [9]. 0 ) Re(p a ve
7 1 ) Im( s s se ap olmak üzere herhangi bir pO için
) Im( ) Re( 7 1 0 a e p p a p s s s
7
Reel sayılar üzerindeki genelleştirilmiş oktonyonlar cebirini O(a,b,c) şeklinde gösterelim. Reel sayılar üzerindeki genelleştirilmiş oktonyonlar cebiri için doğal baz
e0,e1,e2,e3,e4,e5,e6,e7
olmak üzere O(a,b,c) için çarpım tablosu aşağıdaki gibi verilir.
Tablo 2.2. Genelleştirilmiş oktonyonlar için çarpım tablosu
Bu çarpım tablosunda a=1, b=1 ve c=1 alındığında O(1,1,1) oktonyon çarpım tablosu
aşağıdaki gibi oluşur.
. e0 e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7
e0 e0 e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7
e1 e1 -a e3 -ae2 e5 -ae4 -e7 ae6
e2 e2 -e3 -b be1 e6 e7 -be4 -be5
e3 e3 ae2 -be1 -ab e7 -ae6 be5 -abe4
e4 e4 -e5 -e6 -e7 -c ce1 ce2 ce3
e5 e5 ae4 -e7 ae6 -ce1 -ac -ce3 ace2 e6 e6 e7 be4 -be5 -ce2 ce3 -bc -bce1 e7 e7 -ae6 be5 abe4 -ce3 -ace2 bce1 -abc
8 Tablo 2.3. Oktonyonlar için çarpım tablosu
2.3.2. Tanım
p oktonyonunun normu ve eşleniği aşağıdaki gibi tanımlanır:
. ) Im( ) Re( 7 0 2
s s p pp pp a N p p pSıfırdan farklı herhangi bir oktonyonun inversi (tersi)
p N p p1 şeklindedir [9]. . 1 e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 1 1 e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e1 e1 -1 e3 -e2 e5 -e4 -e7 e6 e2 e2 -e3 -1 e1 e6 e7 -e4 -e5 e3 e3 e2 -e1 -1 e7 -e6 e5 -e4 e4 e4 -e5 -e6 -e7 -1 e1 e2 e3 e5 e5 e4 -e7 e6 -e1 -1 -e3 e2 e6 e6 e7 e4 -e5 -e2 e3 -1 -e1 e7 e7 -e6 e5 e4 -e3 -e2 e1 -1
9 2.3.3. Tanım ı ı
q
q
1,
2 sırasıyla ı q ve qıı kuaterniyonlarının eşlenikleri p1q1ı q1ııe ve e q qp2 2ı 2ıı olsun. Oktonyonlar cebirine göre iki oktonyonun toplam ve çarpımı
e q q q q q q q q e q q e q q p p e q q q q e q q e q q p p ı ıı ı ıı ıı ıı ı ı ıı ı ıı ı ıı ıı ı ı ıı ı ıı ı ) ( ) ( ) )( ( ) ( ) ( ) ( 2 1 1 2 1 2 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 şeklindedir [9].
Reel sayılar üzerinde 8 boyutlu oktonyonlar tanımlanan cebire göre değişme ve birleşme özelliklerine sahip değillerdir.
2.3.4. Tanım
n
F
veL
n n. Fibonacci ve Lucas sayıları ve
e0,e1,e2,e3,e4,e5,e6,e7
oktonyonların standart bazı olmak üzere n0 için n. Fibonacci ve Lucas oktonyonları;
7 0 7 0,
s s s n n s s s n nF
e
P
L
e
Q
şeklindedir [9].Biz de n. split Fibonacci ve n. split Lucas oktonyonları sırasıyla;
7 0 7 0~
~
,
~
~
s s s n n s s s n nF
e
P
L
e
Q
şeklinde gösterelim.10 2.3.1. Teorem (Binet Formülü)
2 5 1
, 2 5 1
ayrıca
7 0 * s s s e
ve
7 0 * s s s e
olmak üzere n0için n. split Fibonacci oktonyon ve n. split Lucas oktonyonun Binet formülleri aşağıdaki gibidir:
)
1
.
2
(
~
* *
n n nQ
)
2
.
2
(
~
* n * n nP
[15]. İspat Eş. 2.1 için
7 0 1 1 ( ) ~ ~ s s s n s n n n Q F F e Q
eşitliğine ve ) 3 . 2 ( 1 n n n F F
) 4 . 2 ( 1 n n n F F
eşitliklerine ihtiyacımız olacak. Eş. 2.3 yardımıyla
)
5
.
2
(
~
~
* 1
n n nQ
Q
11
)
6
.
2
(
~
~
* 1
n n nQ
Q
eşitliğine ulaşabiliriz [10]. Eş. 2.5 ve Eş. 2.6 taraf tarafa çıkarılırsa;
n n nQ
* *~
elde edilir. Eş. 2.5 ve Eş. 2.6 taraf tarafa toplanırsa;
n n
n
n
Q
Q
~
2
~
1
*
*
eşitliğine ulaşılır. Ln Fn 2Fn1 olduğu dikkate alınırsa; n n n
P
~
*
*
elde edilir. 2.3.5. TanımKeçilioğlu ve Akkuş Fibonacci ve Lucas octonyonları ve bunların Binet formüllerini vermiştir. Serpil Halıcı da dual Fibonacci octonyonları üzerine çalışmış ve bunun üreteç fonksiyonu ile Binet formülünü elde etmiştir.
Keçilioğlu ve Akkuş’un çalışmasına göre bizde bu çalışmamızda dual Fibonacci ve dual Lucas octonyonları sırasıyla;
7 0 7 0~
,
~
s s s n n s s s n nF
e
P
L
e
Q
şeklinde gösterelim.12
Bütün dual Fibonacci ve dual Lucas octonyonların kümesi;
olsun.
Dual Fibonacci octonyon ve dual Lucas octonyonların eşleniği, normu ve negatif indisli ifadeleri sırasıyla aşağıdaki gibidir:
.
)
1
(
)
1
(
)
1
(
)
1
(
)
(
)
(
~
~
~
~
8 1 1 7 0 8 1 1 1 7 0 1 7 1 7 1
s s s n s n s s s n s n n s s s n s n s s s n s n n n n n n n n n n n s s s n n n s s s n n ne
L
e
L
P
e
F
e
F
Q
P
P
P
P
P
N
Q
Q
Q
Q
Q
N
e
L
L
P
e
F
F
Q
2.3.2. Teorem (Binet Formülü)
2 5 1
, 2 5 1
ayrıca
7 0 * ) 1 ( s s s e
ve
7 0 * ) 1 ( s s s e
olmak üzere n0 için n. dual Fibonacci oktonyon ve n. dual Lucas oktonyonun Binet formülleri aşağıdaki gibidir:
:
,
,
0
0
,
,
:
2 1 1 2 1 1
L n n n n n L F n n n n n FO
P
P
P
P
P
O
O
Q
Q
Q
Q
Q
O
13
)
1
.
2
(
* *
n n nQ
)
2
.
2
(
* * n n nP
[14].14
3. SPLIT DUAL FIBONACCI VE SPLIT DUAL LUCAS OKTONYONLAR
3.1. Split Fibonacci ve Split Lucas Oktonyonlar
Split oktonyonlar, Cayley-Dickson tarafından iki kuaterniyonun çarpılması ile oluşturulmuştur. Akkuş ve Keçilioğlu [6], yeni bir sanal birim olan l ile
a b, şeklinde gösterilen bir çift kuaterniyonun a lb formunu alıp, çarpım kuralını;)
(
)
(
)
)(
(
a
lb
c
ld
ac
d
b
l
a
d
cb
şeklinde tanımlamıştır. Burada 21
dir. 1 olduğunda oktonyonlar, 1 olduğunda split oktonyonlar elde edilir. Split oktonyonlar reel sayılar üzerinde 8 boyutlu bir cebir oluşturur. Standart oktonyondan farkı, sıfırdan farklı elemanlar içermesidir. Buna göre reel sayılar üzerinde Split dual oktonyon cebirini O ile gösterelim. Genelleştirilmiş oktonyonlar çarpım tablosunda a=1, b=1 ve c=-1 alındığında O(1,1,1) split oktonyon çarpım tablosu oluşur. Bu cebirin bazları reel sayılar uzayında formu aşağıdaki gibidir:
lk
e
lj
e
li
e
l
e
k
e
j
e
i
e
e
0
1
,
1
,
2
,
3
,
4
,
5
,
6
,
7
. Tablo 3.1.Split Oktonyon Çarpım Tablosu. 1 e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 1 1 e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 1 e e1 -1 e3 e2 e5 e4 e7 e6 2 e e2 e3 -1 e1 e6 e7 e4 e5 3 e e3 e2 e1 -1 e7 e6 e5 e4 4 e e4 e5 e6 e7 1 e1 e2 e3 e5 e5 e4 e7 e6 e1 1 e3 e2 6 e e6 e7 e4 e5 e2 e3 1 e1 7 e e7 e6 e5 e4 e3 e2 e1 1
15
3.2. Split Dual Fibonacci ve Split Dual Lucas Oktonyonlar
Split dual Fibonacci ve split dual Lucas oktonyonları
1 1 ~ ~ ~ ~ ) 1 . 3 ( ~ ~ ~ ~ n n n n n n P P P Q Q Q
ve 1 1 ~ ~ ~ ~ ) 2 . 3 ( ~ ~ ~ ~ n n n n n n L L L F F F
olmak üzere 7 7 0 0 , n n s s n n s s s s Q F e P L e
şeklinde gösterelim. Buna göre sırasıyla split dual Fibonacci ve split dual Lucas oktonyonların eşleniği; 7 7 1 0 , n n n s s n n n s s s s Q F F e P L L e
, normu;
n n n n n,
n n n n n N Q Q Q Q Q N P P P P P , ve negatif indislileri;16
7 8 1 1 1 0 1 7 8 1 0 1 1 1 1 1 n s n s n n s s n s s s s n s n s n n s s n s s s s Q F e F e P L e L e
şeklindedir.Şimdi split dual Fibonacci ve split dual Lucas oktonyonlar için Binet formülünü aşağıdaki teorem ile verelim.
3.2.1. Teorem (Binet Formülü)
7 * 0 (1 ) s s s e
ve * 7 0 (1 ) s s s e
olmak üzere n0 için n. split dual Fibonacci oktonyon ve n. split dual Lucas oktonyonun Binet formülleri sırasıyla aşağıdaki gibidir:)
3
.
3
(
~
~
* *
n n nQ
) 4 . 3 ( . ~ ~ * n * n n P
3.2.1. Lemma R c b a, , için; 1 6 ) 1 7 ( ) 2 7 ( ) 3 3 3 ( ) 1 3 ( ) ( ) ( , 2 21 2 3 2 2 55 72 4 2 337 , 2 47 2 7 2 3 161 2 123 9 2 843 1 7 6 5 4 3 2 1 2 1 c b a bc ac ab abc e e a e b e b a ab e c e c a ac e c b bc c b a ac bc ab abc c b a bc ac ab abc
17 olmak üzere;
5 5 ), ( 5 ) ( ), ( 5 ) ( 0 * * 0 * * 0 2 0 1 2 * 0 2 0 1 2 * P P Q P Q P dır [15]. İspat ) , , (ab cO için çarpım tablosunu kullanarak aşağıdaki eşitlikleri yazabiliriz.
) ( 5 13 8 5 3 2 ) 2 21 2 3 2 2 55 72 4 2 337 ( 5 29 18 11 7 4 3 2 47 2 7 2 3 161 2 123 9 2 843 1 ) )( ( ) ( ) ( 5 13 8 5 3 2 ) 2 21 2 3 2 2 55 72 4 2 337 ( 5 29 18 11 7 4 3 2 47 2 7 2 3 161 2 123 9 2 843 1 ) )( ( ) ( 0 2 0 1 7 6 5 4 3 2 1 7 6 5 4 3 2 1 7 0 7 0 2 * 0 2 0 1 7 6 5 4 3 2 1 7 6 5 4 3 2 1 7 0 7 0 2 * Q P e e e e e e e c b a ac bc ab abc e e e e e e e c b a bc ac ab abc e e Q P e e e e e e e c b a ac bc ab abc e e e e e e e c b a bc ac ab abc e e s s s s s s s s s s s s
18
Burada a=1, b=1 ve c=-1 alarak
1,
2,
,
yü bulduktan sonra Split oktonyonlar için * 2 ) (
yi ve (
*)2 yi hesaplayalım. 0 1 1 1 1 1 1 1 1 6 6 9 3 4 2 545 2 21 2 3 2 1 2 55 72 4 2 337 2 1305 2 47 2 7 2 3 161 2 123 9 2 843 1 7 6 5 4 3 2 1 2 1
e e e e e e eşeklindedir. Bu değerlere göre Split oktonyonlar için * 2
) (
ve (
*)2 aşağıdaki gibidir. ) 2 545 ( 5 2 1305 ) ( ) 2 545 ( 5 2 1305 ) ( 0 0 2 * 0 0 2 * Q P Q P
Benzer şekilde
*
*
P
0
5
ve
*
*
P
0
5
eşitliklerini de gösterebiliriz.
5 ] 6 ) 1 7 ( ) 2 7 ( ) 3 3 3 ( ) 1 3 ( ) ( ) [( 5 29 18 11 7 4 3 1 ) )( ( 0 7 6 5 4 3 2 1 7 6 5 4 3 2 1 7 0 7 0 * *
P e e a e b e b a ab e c e c a ac e c b bc e e e e e e e c b a bc ac ab abc e e s s s s s s19
5 ] 6 ) 1 7 ( ) 2 7 ( ) 3 3 3 ( ) 1 3 ( ) ( ) [( 5 29 18 11 7 4 3 1 ) )( ( 0 7 6 5 4 3 2 1 7 6 5 4 3 2 1 7 0 7 0 * *
P e e a e b e b a ab e c e c a ac e c b bc e e e e e e e c b a bc ac ab abc e e s s s s s sBurada a=1, b=1 ve c=-1 alındığında 0 olduğundan ** ve ** aşağıdaki gibi olur.
5 5 5 5 0 0 * * 0 0 * * P P P PYukarıdaki lemmaya göre aşağıdaki teoremi Split dual Fibonacci ve Split dual Lucas oktonyonlar için verebiliriz.
3.2.2. Lemma 7 6 5 4 3 2 1 2 1 6 6 9 3 4 2 545 2 1305 e e e e e e e
olmak üzere;20
5 5 ), 2 545 ( 5 2 1305 ) ( ), 2 545 ( 5 2 1305 ) ( 0 * * 0 * * 0 0 2 * 0 0 2 * P P Q P Q P dır. İspatLemma 3.2.1 de a=1, b=1 ve c=-1 alındığında sonuçlar açıkça görülür.
3.2.2. Teorem (Catalan Özdeşliği)
Her n ve r tamsayıları için ve e1 e2 4e33e49e56e66e7 olmak üzere split dual Fibonacci ve split dual Lucas oktonyonların Catalan özdeşliği sırası ile aşağıdaki gibidir: ) 1 ]( [ ) 1 ( ~ ~ ~ ~ ~ ~ 2 2 0 2
r r r n r n r n n Q Q PF F Q (3.5) ) 1 ]( [ ) 1 ( 5 ~ ~ ~ ~ ~ ~ 2 0 2 1 2
r r r n r n r n n P P F P F P . (3.6) . İspat21 )] ( ) ( [ ) ( 1 ) ( ) ( 1 ] ) ( ) ( ) ( ) [( ) ( 1 ) )( ( ) ( ~ ~ ~ 2 * * 2 * * * * * * 2 * * * * * * * * 2 2 2 * * * * * 2 2 * * * * * 2 2 * 2 2 * 2 * * * * 2 * * 2 r r r n r n n n r n r n r n r n n n n n n r n r n r n r n n n n n n n n r n r n r n r n n n r n r n n Q Q Q
elde edilir. Burada Lemma 3.2.2 deki ** ve ** ifadeleri yerine yazılır
5
ve
1 olduğu dikkate alınırsa;) ( ) 1 ( } 5 ) 1 ( 2 5 ) 1 ( 2 ) 1 {( 5 1 )} 5 ( 5 ) ) 1 ( 2 5 ( ) 1 ( 2 ) 1 {( 5 1 )]} ( 5 ) ( [ ) 1 ( 2 ) 1 {( 5 1 ]} ) 5 ( ) 5 [( ) 1 ( 2 ) 1 {( 5 1 ~ ~ ~ 2 2 0 2 0 2 0 0 1 2 2 2 0 0 1 2 2 2 2 0 0 1 2 0 2 0 0 1 2 r r r n r n r r n n r r r r r n n r r r r r n n r r r n n r n r n n F F P F P F P P F P P P P P P P Q Q Q
elde edilir. Eş. 3.1 den;
1 1 1 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ r n r n r n r n r n r n n n n Q Q Q Q Q Q Q Q Q
olduğundan ve22 ) 1 )( ~ ~ ~ ( ) ~ ~ ~ ( ~ ~ ~ ) ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ( ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ) ~ ~ )( ~ ~ ( ) ~ ~ )( ~ ~ ( ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ 2 2 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1
r n r n n r n r n n r n r n n r n r n r n r n n n n n r n r n n r n r n r n r n r n r n n n n n n r n r n r n r n n n n n r n r n n n Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Qolup gerekli düzenlemeler yapıldığında;
2 2 0 2 1 n r 1 n n r n r r r Q Q Q F P F bulunur.Benzer hesaplamalarla Eş. 3.6 elde edilir.
Teorem 3.2.2 de r 1 için, split dual Fibonacci ve split dual Lucas oktonyonlar için Cassini özdeşliği aşağıdaki sonuçta verilmiştir.
3.2.1. Sonuç (Cassini Özdeşliği)
Her n tamsayısı için ve e1 e2 4e33e49e56e66e7 olmak üzere;
) 1 )( ( ) 1 ( ~ ~ ~ ~ ~ ~ 0 1 1 2
Q P Q Qn n n n ve ) 1 )( ( ) 1 ( 5 ~ ~ ~ ~ ~ ~ 0 1 1 1 2
P P P Pn n n n dir.23 3.2.3. Teorem (d’Ocagne Özdeşliği)
Her m ve n tamsayıları için ve e1 e2 4e33e4 9e56e66e7 olmak üzere
split dual Fibonacci ve split dual Lucas oktonyonların d’Ocagne özdeşliği sırası ile aşağıdaki gibidir:
1 1 1 0 1 m m n m n n m n m Q Q Q Q F P L (3.7)
1
1 1 5 1 0 1 m m n m n n m n m P P P P F P L . (3.8) İspat24 ] [ ) 1 ( )] ( ) [( ) 1 ( ] [ ) 1 ( ] ) 5 ( ) 5 ( [ ) 1 ( ) ( 1 ] [ ) ( 1 ] [ ) ( 1 )] ( ) ( [ ) ( 1 )] ) ( ) (( ) ) ( ) [(( ) ( 1 ) )( ( ) )( ( ~ ~ ~ ~ 0 0 0 0 0 0 * * * * * * * * * * * * 2 1 2 * 1 * * 1 * * 1 2 * 1 2 * 1 * * 1 * * 1 2 * 2 1 * 1 * * * * * 1 * 1 * 1 1 m n m n m m n m n m n m n m m n m n m n m n m m n m n m m n m n m m n m n m n m n m n m n m n m n m n m n m n m n m n n m m n n m m n m n m L P F P P P P P Q Q Q Q
split oktonyonlar için elde edilir. Eş 3.1 den;
) 1 ( ~ ~ ~ ~ ) ~ ~ ~ ~ ( ~ ~ ~ ~ ) ~ ~ )( ~ ~ ( ) ~ ~ )( ~ ~ ( ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1
n m n m n m n m n m n m n n m m n n m m n m n m Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Qolup benzer işlemler yapıldıktan sonra
) 1 ]( [ ) 1 ( ] [ ) 1 ( ] [ ) 1 ( ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ 0 0 0 1 1
m n m n m m n m n m m n m n m n m n m L P F L P F L P F Q Q Q Q25
elde edilir.
26
4. SPLIT DUAL FIBONACCI VE SPLIT DUAL LUCAS OKTONYONLAR İÇİN BAZI SONUÇLAR
Keçilioğlu ve Akkuş [16], Split Fibonacci ve Split Lucas Oktonyonları tanımlayıp onlarla ilgili bazı sonuçlar çıkarmıştır. Bu bölümde, Split Fibonacci ve Split Lucas Oktonyonlar için bulunan sonuçları Split Dual Fibonacci ve Split Dual Lucas Oktonyonlar için elde edeceğiz.
4.1. Teorem 7 6 5 4 3 2 1 2 1 6 6 9 3 4 2 545 2 1305 e e e e e e e
olmak üzere; ) 6 . 4 ( ) 1 ]( [ ) 1 ( 2 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ) 5 . 4 ( ), 1 ( ) 1 ( 2 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ) 4 . 4 ( ), 1 ( ~ ~ ~ ~ ) 1 ( ~ ~ ) 3 . 4 ( ), 1 ( ) 1 ( 2 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ) 2 . 4 ( ), 1 }( ) 1 ( 5 12 ] ) ( 5 ) [( 5 4 { ~ ~ ~ ~ ) 1 . 4 ( ), 1 }( ) 1 ( 5 8 ] ) ( 5 ) [( 5 6 { ~ ~ ~ ~ 0 1 0 1 0 0 2 0 2 2 0 1 2 2 0 2 0 2 2 0 1 2 2
m n m n m n m n m m n m m n n m n m n m n n m r s r n r n s n s n r n n n n n n n n n n n L F P Q P P Q F P P Q P Q L Q Q Q F P Q P Q P P F Q L P Q P P F Q L P P Q dır.27
İspat
Split Fibonacci ve Lucas oktonyonlar için verilen Binet formüllerini kullanarak ispatlayacağız. Eş. 4.1 için; ) ) ( ) (( ) ) ( ) (( 5 1 ) ( ) ( 5 1 ~ ~ * * * * 2 2 * 2 2 * * * * * 2 2 * 2 2 * 2 * * 2 * * 2 2 n n n n n n n n n n n n n n n n n n P Q
olur. Lemma 3.2.1 deki
,
1,
2,
,(
*)2,(
*)2,
*
* ve ** ifadelerinin eşitlikleri kullanıldığında; ) ( ) 1 ( 5 8 ] ) ( 5 ) [( 5 6 ~ ~ 0 2 0 2 2 0 1 2 2 P F Q L P P Qn n
n
n n
split oktonyonlar için elde edilir. Eş 3.1 den; ) 1 )( ~ ~ ( ) ~ ~ ( ~ ~ ) ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ( ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ) ~ ~ )( ~ ~ ( ) ~ ~ )( ~ ~ ( ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 2 1 1 2 1 1 1 1 2 2
n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n P Q P Q P Q P P P P Q Q Q Q P Q P P P P P Q Q Q Q Q P P P P Q Q Q Q P P Q Q P Qolup benzer işlemler yapıldıktan sonrave Lemma 3.2.2 deki tanımlamalar da kullanılarak;
28 ) 1 }( ) 1 ( 5 8 ] ) ( 5 ) [( 5 6 { ~ ~ ~ ~ 0 2 0 2 2 0 1 2 2
P F Q L P P Qn n n n n bulunur. Eş. 4.2 için; ) ) ( ) (( 5 1 ) ) ( ) (( ) ( 5 1 ) ( ~ ~ * * * * 2 2 * 2 2 * * * * * 2 2 * 2 2 * 2 * * 2 * * 2 2 n n n n n n n n n n n n n n n n n n Q P
olur. Lemma 3.2.1 deki
,
1,
2,
,(
*)2,(
*)2,
*
* ve ** ifadelerinin eşitlikleri kullanıldığında; 0 2 2 * 2 2 * 2 2 ) 1 ( 5 12 ) ) (( 5 4 ~ ~ P Q Pn n
n
n nsplit oktonyonlar için elde edilir. Eş 3.1 den;
) 1 )( ~ ~ ( ) ~ ~ ( ~ ~ ) ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ( ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ) ~ ~ )( ~ ~ ( ) ~ ~ )( ~ ~ ( ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 2 1 1 2 1 1 1 1 2 2
n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n Q P Q P Q P Q Q Q Q P P P P Q P Q Q Q Q Q P P P P P Q Q Q Q P P P P Q Q P P Q Polup benzer işlemler yapıldıktan sonrave Lemma 3.2.2 deki tanımlamalar da kullanılarak;
29 ) 1 }( ) 1 ( 5 12 ] ) ( 5 ) [( 5 4 { ~ ~ ~ ~ 0 2 0 2 2 0 1 2 2
P F Q L P Q Pn n n n n bulunur.Eş 4.3 için Lemma 3.2.1 deki * 2 * 2 * * 2 1, , ,( ) ,( ) , ,
ve ** ifadelerinin eşitlikleri kullanıldığında; r s r n r s r s r n r s r s r n r s r s r s r s r n r n s n r n s n r n r n s n r n s n s n r n s n r n s n r n s n r n s n r n r n s n r n s n s n r n r n r n s n s n s n s n r n r n r n s n s n r n F P Q P Q P ) 1 )( ( 2 ) ( ) 1 ( )] ( ) ( [ ) 1 ( 1 ] [ 1 ] [ 1 ] ) ( ) ( ) ( ) [( 1 )] )( ( ) )( [( 1 ~ ~ ~ ~ 0 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 2 * * * * * 2 * 2 * * * * * 2 * * * * * * * * *
30 ) 1 )( ~ ~ ~ ~ ( ) ~ ~ ~ ~ ( ~ ~ ~ ~ ) ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ( ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ) ~ ~ )( ~ ~ ( ) ~ ~ )( ~ ~ ( ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
r n s n s n r n r n s n s n r n r n s n s n r n r n s n r n s n s n r n s n r n r n s n s n r n r n s n r n s n r n s n s n r n s n r n s n r n r n r n s n s n s n s n r n r n r n s n s n r n Q P Q P Q P Q P Q P Q P Q P Q P Q P Q P Q P Q P Q P Q P Q P Q P Q P Q P Q Q P P Q Q P P Q P Q Polup benzer işlemler yapıldıktan sonra ve Lemma 3.2.2 deki tanımlamalar da kullanılarak; ) 1 ( ) 1 ( 2 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ 0
s r r n r n s n s n r n Q P Q PF P elde edilir.Eş 4.4 için Lemma 3.2.1 deki * 2 * 2 * * 2 1, , ,( ) ,( ) , ,
ve ** ifadelerinin eşitlikleri kullanıldığında; n m n m m n m m m m n m m n n m n m n m n m n m n m n n m n m n m n n m L Q Q Q ~ ) ( ) ( ) )( ( ) ( ) ( ) ( ~ ) 1 ( ~ * * * * * * * * * * * * * * * * * *
31 ) 1 )( ~ ) 1 ( ~ ( ) ~ ) 1 ( ~ ( ) ~ ) 1 ( ~ ( ) ~ ) 1 ( ~ ~ ) 1 ( ~ ) ~ ~ ( ) 1 ( ) ~ ~ ( ~ ~ ) 1 ( ~ ~ 1 1 1 1 1 1
n m n n m n m n n m n m n n m n m n n m n m n n m n m n m n n m n m n m n n m Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Qolup benzer işlemler yapıldıktan sonra
) 1 ( ~ ~ ~ ~ ) 1 ( ~ ~
m n m n n n m Q Q L Q elde edilir.Eş 4.5 için Lemma 3.2.1 deki * 2 * 2 * * 2 1, , ,( ) ,( ) , ,
ve ** ifadelerinin eşitlikleri kullanıldığında; m n m m n m n m m n m n m m m n n m m n n m m n n m m n m n n m n m m n m n m n n m n m n m n m n m m m n n n n m m m n n m F P P P P Q P Q ) ( ) 1 ( 2 ) ( ) 1 )( ( 2 ) ( 2 ) ( )] )( [( 1 )] ( ) ( [ 1 ] [ 1 ] ) ( ) ( ) ( ) [( 1 )] )( ( ) )( [( 1 ~ ~ ~ ~ 0 1 0 0 * * * * * * * * * * * * * * * * 2 * * * * * 2 * 2 * * * * * 2 * * * * * * * * *
32 split oktonyonlar için elde edilir. Eş 3.1 den;
) 1 )( ~ ~ ~ ~ ( ) ~ ~ ~ ~ ( ) ~ ~ ~ ~ ( ) ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ( ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ) ~ ~ )( ~ ~ ( ) ~ ~ )( ~ ~ ( ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
m n n m m n n m m n n m m n m n n m n m m n n m m n m n m n n m n m n m m m n n n n m m m n n m P Q P Q P Q P Q P Q P Q P Q P Q P Q P Q P Q P Q P Q P Q P Q P Q P Q P Q P P Q Q P P Q Q P Q P Qolup benzer işlemler yapıldıktan sonra ve Lemma 3.2.2 deki tanımlamalar da kullanılarak; ) 1 ( ) 1 ( 2 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ 0 1
m n m m n n mP Q P PF Q elde edilir.Eş. 4.6 için Lemma 3.2.1 deki * 2 * 2 * * 2
1, , ,( ) ,( ) ,
,
ve ** ifadelerinin33 ] ) [( ) 1 ( 2 )] ( 5 ) [( ) 1 ( 2 )] ( 5 ) )( [( ) 1 ( 2 )] 5 5 ) ( ) [( ) 1 ( 2 ) ( 2 ] [ 2 )] ( ) ( [ 1 ] [ 1 ] ) ( ) ( ) ( ) [( 1 )] )( ( ) )( [( 1 ~ ~ ~ ~ 0 1 0 1 0 0 0 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 2 * * * * * 2 * 2 * * * * * 2 * * * * * * * * * m n m n m m n m n m n m n m m n m n m n m n m m n m n m n m n m m n m n m m n m n m n m n m n m n m n m n m n m n m m n n m n m n m n m n m n m n m n n m m n n m m n m n m L F P P P P P Q P P Q
split oktonyonlar için elde edilir. Eş 3.1 den;
) 1 )( ~ ~ ~ ~ ( ) ~ ~ ~ ~ ( ) ~ ~ ~ ~ ( ) ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ( ) ~ ~ ~ ~ ( ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ) ~ ~ )( ~ ~ ( ) ~ ~ )( ~ ~ ( ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
n m n m n m n m n m n m n m n m n m n m n m n m n m n m n m n m n m n m n n m m n n m m n m n m Q P P Q Q P P Q Q P P Q Q P Q P P Q P Q Q P P Q Q P Q P Q P P Q P Q P Q Q Q P P P P Q Q Q P P Qolup benzer işlemler yapıldıktan sonra ve Lemma 3.2.2 deki tanımlamalar da kullanılarak;
