Split kuaterniyonlar ve hiperbolik spinorlar

T.C.

SAKARYA ÜNİVERSİTESİ

FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

SPLİT KUATERNİYONLAR VE HİPERBOLİK SPİNORLAR

YÜKSEK LİSANS TEZİ

Mustafa TARAKÇIOĞLU

Enstitü Anabilim Dalı : MATEMATİK Enstitü Bilim Dalı : GEOMETRİ

Tez Danışmanı : Prof. Dr. Mehmet Ali GÜNGÖR

Kasım 2018

i

TEŞEKKÜR

Tez çalışmamın planlanmasında, araştırılmasında, yürütülmesinde ve oluşumunda ilgi ve desteğini esirgemeyen, engin bilgi ve tecrübelerinden yararlandığım, yönlendirme ve bilgilendirmeleriyle çalışmamı bilimsel temeller ışığında şekillendiren çok değerli hocam Prof. Dr. Mehmet Ali GÜNGÖR’e en içten saygı ve teşekkürlerimi sunarım.

Tez çalışmam sırasında bana yardımcı olan Dr. Öğr. Üyesi Tülay ERİŞİR’e teşekkürü borç bilirim.

Desteğini her zaman yanımda hissettiğim, hayatım boyunca maddi ve manevi desteklerini esirgemeyen, sevgileriyle ayakta durmamı sağlayan annem Mahmure TARAKÇIOĞLU, babam İbrahim TARAKÇIOĞLU ve ablalarım Derya KOKAL ve Dilek YILDIZ’a tez yazımındaki yardımlarından dolayı teşekkürlerimi sunarım.

ii

İÇİNDEKİLER

TEŞEKKÜR ... i

İÇİNDEKİLER ... ii

SİMGE VE KISALTMALAR LİSTESİ ... iv

ŞEKİLLER LİSTESİ ... v

TABLOLAR LİSTESİ ... vi

ÖZET... vii

SUMMARY ... viii

BÖLÜM 1. GİRİŞ ... 1

BÖLÜM 2. TANIMLAR ... 4

2.1. Lie Grupları ... 4

2.2. Hiperbolik Sayı Sistemi ... 16

BÖLÜM 3. REEL KUATERNİYON VE SPİNORLAR ... 23

3.1. Vektör Kinematiği ... 25

3.2. Kuaterniyon Kinematiği ... 28

3.3. Spinor Kinematiği ... 31

BÖLÜM 4. SPLİT KUATERNİYONLAR ... 40

4.1. Vektör Kinematiği ... 42

4.2. Split Kuaterniyon Kinematiği ... 50

iii BÖLÜM 5.

HİPERBOLİK SPİNOR KİNEMATİĞİ ... 57 5.1. Hiperbolik Spinor ... 57 5.2. Hiperbolik Spinor Kinematiği ... 63

BÖLÜM 6.

SONUÇLAR VE ÖNERİLER ... 78 KAYNAKLAR ... 80 ÖZGEÇMİŞ ... 82

iv

SİMGELER VE KISALTMALAR LİSTESİ

3 : 3-boyutlu reel vektör uzayı

3 : 3-boyutlu Öklid uzayı

3

1 : 3-boyutlu Minkowski uzayı

V : Vektör uzayı

 ,,Q : Spinorlar

 :  spinorunun eşleniği

† :  spinorunun eşlenik transpozu

ˆ :  spinorunun eşi

 ,  : Öklid iç çarpım , _L

  : Lorentz iç çarpım

L : Lorentz anlamda norm

L : Lorentz vektörel çarpım ( )

O n : Ortogonal grup ( )

SO n : Özel ortogonal grup ( )

U n : Üniter grup ( )

SU n : Özel üniter grup (2, H)

SU : Özel üniter grup

(1,3)

SO : ³₁ de özel ortogonal grup

2

H0 : Hiperbolik birim küre

2

S 1 : Lorentz birim küre

 : Null koni

H : Reel kuaterniyon uzayı H : Split kuaterniyon uzayı

:

Hiperbolik sayı cümlesi

v

ŞEKİLLER LİSTESİ

Şekil 2.1. Minkowski uzayında vektörler ... 13 Şekil 2.2. Minkowski uzayında birim küreler ... 13 Şekil 3.1. Bir hiperbolik sayının hiperbolik düzlemde gösterimi ... 21

vi

TABLOLAR LİSTESİ

Tablo 3.1. Reel kuaterniyonların birimlerinin çarpımı ... 23

Tablo 3.2. Vektör Kinematiği ... 27

Tablo 3.3. Kuaterniyon Kinematiği ... 30

Tablo 3.4. Spinor Kinematiği ... 39

Tablo 4.1. Split kuaterniyonların birimlerinin çarpımı ... 40

Tablo 4.2. Vektör Kinematiği ... 49

Tablo 4.3. Split Kuaterniyon Kinematiği ... 56

Tablo 5.1. Hiperbolik Spinor Kinematiği ... 76

Tablo 5.2. Karşılaştırma ... 77

vii

ÖZET

Anahtar kelimeler: Hiperbolik Spinor, Lie Grupları, Split Kuaterniyon, Kinematik Bu tez altı bölümden oluşmaktadır. Birinci bölüm giriş kısmına ayrılmıştır. İkinci bölümde Minkowski uzayında temel tanımlar ve gerekli teoremler verilmiştir. Ayrıca Hiperbolik sayı sistemi tanıtılmıştır. Üçüncü bölümde 3-boyutlu Öklid uzayında yeni bir yaklaşım olan reel kuaterniyon ve bir indeksli spinorlar arasındaki ilişkiler verildi. Dördüncü bölümde vektör kinematiği ve split kuaterniyon kinamatiği tanıtılmıştır.

Beşinci bölüm tezin orijinal kısmını oluşturmaktadır. Tezin orijinal kısmı iki alt bölüm halinde düzenlenmiştir. Birinci alt bölümde hiperbolik spinor ile ilgili bilgiler verilmiştir. İkinci alt bölümde split kuaterniyonlar ve hiperbolik spinorlar, Euler teoreminin vektör formülasyonundan türetilmiştir. Bu teori Minkowski uzayında sabit bir cismin genel bir yer değiştirmesiyle ilgilidir. Hiperbolik spinorlar ile split kuaterniyonlar arasındaki ilişki bu vektör formülasyonu ile verilir. Dahası, split kuaterniyonların bir uzantısı olan bir hiperbolik spinor formülasyon elde edildi.

Altıncı bölümde bu tezin bir değerlendirilmesi yapılmış ve bundan sonra yapılacak araştırmalara yönelik önerilerde bulunulmuştur.

viii

SPLIT QUATERNIONS AND HYPERBOLIC SPINORS

SUMMARY

Keywords: Hyperbolic spinors, Lie groups, Split quaternions, Kinematics

This thesis consists of six chapters. The first chapter is for preface. In the second chapter basic definitions and neccessary theorems at Minkowski space have been given. Also hyperbolic number system is intoroduced. In the third chapter, relations between the real quaternion and the indexed spinors were given as a new approach in the 3-dimensional Euclidean space. In the fourth section vector kinematics and split quaternion kinematics are introduced.

The fifth section comprises the original part of thesis. This section is organized as two subsections. In the first subsection information about hyperbolic spinor is given.

In the second subsection, the split quaternions and the hyperbolic spinors are derived from the vector formulation of the Euler’s teorem. This theory is on the general displacement of a rigid body with a fixed point in the Minkowski space ³₁. Then, the relationship between the hyperbolic spinors and the split quaternions is given by this vector formulation. Moreover, a hyperbolic spinor formulation of rotations which is an extension of the split quaternions is obtained.

In the sixth chapter the general evaluation of thesis and recommendations for new researches are given.

BÖLÜM 1. GİRİŞ

Kinematik, kuvvet ve kütle kavramını içermeyen mekaniğin bir dalı olarak Müller tarafından 1963 yılında ortaya çıkmıştır. Yani kinematik, sadece bir nokta veya nokta sisteminin zamana bağlı olarak yer değiştirmesini inceler [1]. Kuaterniyonlar Hamilton tarafından 1843 yıllarında tanımlanmış ve kinematikte hareketlerin incelenmesinde önemli bir rol oynadığı birçok araştırmada ifade edilmiştir.

1979 yılında reel kuaterniyonların uzay Kinematiğine uygulamaları Bottema ve Roth tarafından ifade edilmiştir. Ayrıca hareket matrislerinin formlarını vermişlerdir [2].

Hacısalihoğlu tarafından 1983 yılında reel kuaterniyonları ve sağladıkları özelliklleri teoremlerle ifade etmiştir [3]. Karger ve Novak tarafından 1985 yılında reel kuaterniyonlar yardımıyla ³ Öklid uzayında bir eksen etrafında dönmeyi adjoint gösterimiyle ifade etmişlerdir [4]. Ward tarafından 1997 yılında 3 ve 4 boyutlu Öklid uzaylarında reel kuaterniyonlar kullanılarak dönme matrisleri kuaterniyonik anlamda verilmiştir [5].

Inoguchi tarafından 1998 yılında split (bölünmüş) kuaterniyonları tanımlamış ve Minkowski 3-uzayında sabit ortalama eğrilikli timelike (zamansı) yüzeylerin temel denklemleri split (bölünmüş) kuaterniyonlar yardımıyla yeniden formüle edilmiştir [6]. Kula tarafından 2003 yılında timelike (zamansı) birim split (bölünmüş) kuaterniyonların Lie grubu ve onun Lie cebirini elde etmiştir.  split (bölünmüş) kuaterniyonlar uzayının ⁴₂ yarı Öklidyen uzayına ve Lie grubunu Lie cebirinin₁³ Minkowski 3-uzayına özdeşlenmesi, bu iki uzayda çalışma imkanı oluşturmuştur.

Kula, bu özdeşleşme ile Minkowski 3-uzayında dönme matrislerini, dönme ekseninin spacelike (uzaysı) ve timelike (zamansı) olmasına göre elde etmiştir [7].

Rooney 1977 yılında sabit bir nokta etrafında bir cismin dönme hareketini metodlar halinde ifade etmiş, yani 3 x 3 reel ortogonal matrisler, 2 x 2 üniter matrisler, Pauli spin matrisleri ve 3 x 3 özel üniter matrisler yardımıyla bir eksen etrafında dönme matrislerini sınıflandırmıştır [8].

Spinorlar fizikte Quantum mekaniğinde de kullanılmaktadır. Spinorlar Quantum mekaniğinde, bir spinorun bileşenlerinden başka bir şey olmayan dört dalga fonksiyonları ve elektron için ünlü Dirac denklemlerini oluşturur. Brauer ve Weyl tarafından yapılan çalışma temel olmak üzere bu alanda bir çok çalışma yayınlanmıştır [9]. Fakat bu çalışmaların çoğunda spinorlar, sezgisel bir geometrik görüş olmadan tanıtıldığı için spinorlarla ilgili mevcut literatürün anlaşılması bir hayli güçtür. Fakat son yıllarda geometrik anlamda konu üzerine daha anlaşılır birkaç çalışma yapılmıştır. Spinorlar hakkında, ilk kez modern bir çalışmayı Fransız matematikçi Cartan yapmıştır. Cartan’ın çalışmasındaki temel amaçlardan biri Lie gruplarının sadece geometrik tanımını vererek sistematik olarak spinor teorisini geliştirmektir ve bununla birlikte diferensiyel geometri, grup teorisi ve matematiksel fiziğe önemli katkılarda bulunmaktır [10].

3-boyutlu Öklid uzayında orthogonal birim vektörlerden oluşan üçlüyü, iki kompleks bileşenden oluşan tek bir spinor vektörüne karşılık getiren çalışmayı Castillo ve Barrales yapmıştır [11]. Ayrıca diğer bir çalışmada ise yönlendirilmiş bir yüzey üzerinde verilen Darboux çatısının spinor formülasyonu ve Frenet ile Darboux çatılarının spinor gösterimleri arasındaki ilişki Kişi ve Tosun tarafından verilmiştir [12]. Benzer olarak ³, Öklid uzayında eğrilerin spinor Bishop denklemleri ve Bishop ile Frenet çatısı arasındaki ilişkiler [13]’deki çalışmada verilmiştir. Ek olarak Ketenci ve ark. Minkowski uzayında null olmayan regüler bir eğrinin hiperbolik spinor formülünü vermiştir. Erişir ve ark. Frenet çatısına alternatif bir çatıya karşılık gelen hiperbolik spinorların geometrisini incelemiştir [14].

Diğer yandan, üç boyutlu Öklid uzayında katı bir cismin yer değiştirmesiyle ilgili Euler teoreminin vektör formülasyonundan türetilen bir-indeksli spinorlara ve

kuaterniyonlara yeni bir yaklaşımda bulunan Vivarelli, kuaterniyonlar ve bir-indeksli spinorlar arasında lineer ve birebir bir bağıntı tanıtmıştır [15].

Bu çalışmanın amacı ³₁ Minkowski uzayında dönme hareketlerinin hiperbolik spinor temsilini vermektir. Bunun için öncelikle H split (bölünmüş) kuaterniyonlar tanıtılmıştır. Daha sonra split kuaterniyonlar ve hiperbolik spinorlar arasında lineer ve birebir benzerlikler sunulmuştur. Diğer taraftan Minkowski 3- boyutlu uzayda bir eksen etrafında dönme hareketi split kuaterniyon matrisleri tarafından ifade edilmiştir. Böylece split kuaterniyonlar ile hiperbolik spinorlar arasında ilişki kurularak ³₁ Minkowski uzayındaki dönme denklemlerinin yeni ve kısa bir ifadesi elde edilmiştir.

BÖLÜM 2. TANIMLAR

2.1. Lie Grupları

Bu bölümde bize gerekli olan bazı tanımlar ve teoremler verilecektir.

Tanım 2.1.1. Bir Lie grubu, diferensiyellenebilir grup operatörlerine sahip olan diferensiyellenebilir bir manifolddur; yani G deki grup operatörü olan

:G G G, ( , )a b ab

    

ve G deki inversiyon operatörü olan

:G G, ( )a a1

    ^

dönüşümlerinin ikisi de diferensiyellenebilirdir. G Lie grubunun bir otomorfizmi hem diffeomorfizim hem de grup izomorfizimi olan

:

( )

G G

a a









dönüşümüdür. Otomorfizimler Lie grubunun üzerindeki özellikleri korur [16].

Tanım 2.1.2. G Lie grubunun bir elemanı a olsun. Her g G için l g_a( )ag olarak tanımlanan l G_a: G dönüşümüne G Lie grubunun sol çarpımı denir. l_a sol çarpımı bir diffeomorfizimdir. Her g G için r g_a( )ga olarak tanımlanan

a:

r GG dönüşümüne G Lie grubunun sağ çarpımı denir. r_a sağ çarpımı bir diffeomorfizimdir [17].

Tanım 2.1.3. V bir vektör uzayı olsun.

[ , ] :

( ) [ , ]( ) [ ]

V V V

u ,v u ,v u ,v

 

 

biçimindeki bir dönüşüm u,v w V,  için aşağıdaki üç önermeyi doğruluyorsa bu dönüşüme Bracket operatörü, ( ,[ , ])V ikilisine de bir Lie cebiri denir.

)

i [ , ]ikilineer, )

ii [u,v] [v,u] (antisimetrik), )

iii [[u,v w], ] [[ , ], ] [[ , ], ] 0 v w u  w u v  , [17].

Tanım 2.1.4. Eğer a g, G için dl_a(X )_g  X_ag ise G Lie grubu üzerindeki X vektör alanı sol invaryanttır. Dolayısıyla

:

( )

a

a

l G G

g l g ag



 

sol çarpımının

: ( ) ( )

( )

a G G

a

dl T g T ag

X dl X X



 

g g ag

türev dönüşümü X vektör alanının oluşturduğu tanjant vektörleri yer değiştirir. Sol invaryant vektör alanı diferensiyellenebilirdir.

G Lie grubundaki sol invaryant vektör alanlarının cümlesi X G_l olsun. Vektör alanlarının alışılmış toplama ve skalar ile çarpma işlemleri X G_l cümlesini bir vektör uzayı yapar. X G_l ’de [ , ] Bracket operatörü de tanımlanarak X G_l bir Lie cebiri olur.

X Gl Lie cebiri nboyG (sonlu) boyutuna sahiptir [18].

Lemma 2.1.5. XX G_l elemanını X_eT_G

 

e elemanına dönüştüren

 

: _{l G}

f X GT e fonksiyonu bir lineer izomorfizimdir. Burada e, G Lie grubunun grup işlemine göre birim elemanıdır.

: G G

  bir otomorfizim olsun. X X G_l ise d

 

X X Gl dir ve

: _{l l}

d X GX G Lie cebiri izomorfizimine ’nin diferensiyeli denir. d diferensiyeli de^:TG

 

e TG

 

e dönüşümü ile ifade edilir [18].

Tanım 2.1.6. a G olmak üzere g elemanını aga^1 elemanına dönüştüren

 

¹

:

a

a

C G G

g C g aga^



 

fonksiyonunu göz önüne alalım. Bu durumda C_a bir diffeomorfizim olup onun diferensiyeli Ad_a ile gösterilir. O halde dC_a Ad_a dir. a b G,  olduğunda

   

¹



¹



¹

Cab g abg ab ^ a bgb^ a^ dir. Böylece C_ab C_a C_b olur. Diferensiyel alındığında ise

ab a b

Ad Ad Ad

elde edilir. aAd_a grup homomorfizmine G ’nin adjoint gösterimi denir [18].

Tanım 2.1.7. V bir reel vektör uzayı üstünde, , :V V  fonksiyonuna ikilineer form, eğer bu ikilineer form simetrik ise , formuna simetrik ikilineer form denir [17].

Tanım 2.1.8. , _L, V üstünde ikilineer form olsun.

)

i , 0 , 0

v V v v v L

     önermesi doğru ise , _Lformuna pozitif tanımlı, )

ii  v V v,  0 v v, _L0 önermesi doğru ise , _Lformuna negatif tanımlı, )

iii  v V , , 0

v v L  ise , _L formuna yarı pozitif tanımlı, )

iv  v V, v v, _L 0ise , _L formuna yarı negatif tanımlı, )

v  w V, v w, _L  0 v 0 oluyor ise , _Lformuna non-dejenere bir form denir. , _L, V vektör uzayının alt uzayına indirgenebilir. Bu indirgenen simetrik ikilineer form dejenere veya non-dejeneredir [18].

Tanım 2.1.9. V vektör uzayı olmak üzere,

 

:

,

L

q V

v q v v v



 

fonksiyonuna , _L formundan elde edilen kuadratik form denir. q kuadratik formu verildiğinde, , _L simetrik ikilineer formu verilmiş demektir. Gerçekten,

     

, 1

L 2

v w  q vw q v q w 

dir. V nin bir bazı



^{e e1, 2, ,}e olmak üzere, ⁿ



g_ij  e e_i, _j diyelim.   g_ij matrisine, gnin



^{e e1, 2, ,}e bazına göre bileşenlerinin matrisi denir. ⁿ



g simetrik olduğundan

gij

   matrisi de simetriktir [18].

Teorem 2.1.10. , _L simetrik ikilineer formu non-dejeneredir gerek ve yeter şart V vektör uzayının bir bazına göre , _L formuna karşılık gelen matrisin determinantı sıfırdan farklıdır [18].

Tanım 2.1.11. V vektör uzayı üstünde simetrik, non-dejenere bir , _Likilineer formuna V üstünde bir skalar çarpım denir. , _L, V üstünde bir pozitif tanımlı skalar çarpım ise , _L formuna V vektör uzayı üstünde bir iç çarpım denir [17].

Tanım 2.1.12. V sonlu boyutlu reel vektör uzayı olmak üzere V üstünde bir skalar çarpım varsa V vektör uzayına skalar çarpımlı vektör uzayı denir [17].

Tanım 2.1.13. V skalar çarpımlı bir vektör uzay ve v V olsun.

L , L

v  v v

eşitliğiyle belirli v _L sayısına v vektörünün normu denir. Normu 1 olan vektöre de birim vektör adı verilir [18].

Teorem 2.1.14. ^{V }

 

⁰ olmak üzere, V skalar çarpımlı bir vektör uzayı ise V vektör uzayının ortonormal bazı vardır [18].

V skalar çarpımlı vektör uzayının ortonormal bir



^{e e1, 2, ,en}



bazına göre   g_ij matrisi köşegensel bir matristir. Çünkü _i, _{j ij j}

e e L   dir. Burada _{j j}, _j e e L

  , 1 veya 1dir. V vektör uzayının ortonormal bir bazı sıralı olarak göz önüne alındığında,

j sayıları negatif olan vektörlerin ilk sırada yazıldığını varsayacağız.

Teorem 2.1.15.



^{e e1, 2, ,}e , V nin ortonormal bir bazı olsun. V nin her v ⁿ



elemanı

1

,

n

i i L i

i

v  v e e







biçiminde bir ve yalnız bir türlü yazılabilir [18].

Teorem 2.1.16. V nin ortonormal



^{e e1, 2, ,}e bazı için ⁿ

 

 1, 2, ,_n



cümlesindeki negatif sayıların sayısı, , _L formunun indeksine eşittir. , _L formunun indeksine v indeksi denir [18].

Teorem 2.1.17. M diferensiyellenebilir bir manifold olsun. M üstündeki non- dejenere, sabit indeksli ve (0, 2) tipindeki , _L tensör alanına bir metrik tensör denir [18].

Teorem 2.1.18. M diferensiyellenebilir manifoldu üstünde bir , _L metrik tensörü varsa M manifolduna bir yarı-Riemann manifoldu denir. , _L metrik tensörününv indeksine (M, , _L) yarı-Riemann manifoldunun indeksi denir. M manifoldunun boyutu n olmak üzere, M yarı-Riemann manifolduM ile gösterilir [18]. _vⁿ

Tanım 2.1.19. ( , ,M _L) bir yarı-Riemann manifoldu olsun. Eğer n2 ve v1 ise

n

M yarı-Riemann manifolduna Lorentz manifoldu denir [18]. v

Tanım 2.1.20.M yarı-Riemann manifoldu ve , _L formu da M üstünde bir metrik tensör olsun. Bu durumda M de bir v tanjant vektörü için,

)

i v v, _L 0 veya v 0 ise v vektörüne spacelike vektör, )

ii , 0

v v L  ise v vektörüne timelike vektör, )

iii v v, _L 0 ve v 0 ise v vektörüne null vektör denir [18].

Tanım 2.1.21. İndeksi 1 ve boyV 2 olan V skalar çarpım uzayına Lorentz vektör uzayı denir. W, V Lorentz vektör uzayının bir alt vektör uzayı ve , _L, V üstündeki skalar çarpım olsun. Bu durumda, ,

L W pozitif tanımlı (yani W iç çarpım uzayı) ise W alt vektör uzayına spacelike alt uzayı, ,

L W 1 indeksine sahip non-dejenere ise W alt vektör uzayına timelike alt uzayı, ,

L W dejenere ise W alt vektör uzayına null alt uzayı denir [18].

Lemma 2.1.22. v , V Lorentz vektör uzayında spacelike bir vektör ise ^{Sp v}

 

^{ alt}

uzayı timelike ve ^{V Sp v}

 

^{Sp v}

 

^{ dir.}

W alt uzayının timelike olması için gerek ve yeter koşul W^ uzayının spacelike olmasıdır.

W nin lightlike olması için gerek ve yeter koşul W^ lightlike olmasıdır.

W spacelike alt uzayının her alt uzayı da spacelike ve Schwarz eşitsizliği

, _{L L}

v w L  v w olarak elde edilir. Bu eşitsizliğin eşit olması için gerek ve yeter koşul v ve w vektörlerinin lineer bağımlı olmasıdır [18].

Tanım 2.1.23. W, V Lorentz vektör uzayının bir alt vektör uzayı olsun. Bu durumda aşağıdaki önermeler denktir.

)

i W spacelike’tır. Böylece W nın kendisi de Lorentz vektör uzayıdır, )

ii W lineer bağımsız iki null vektör içerir, )

iii W timelike vektör içerir [18].

Lemma 2.1.24. W, V Lorentz vektör uzayının bir alt vektör uzayı olsun. Bu durumda aşağıdaki önermeler denktir.

)

i W lightlike’tır. Yani dejenere olur, )

ii W null vektör içerir fakat timelike vektör içermez, )

iii ^{W    L}

 

⁰ dir. Burada L bir boyutlu alt uzaydır ve , V Lorentz uzayının null konisidir [18].

Tanım 2.1.25. ,F V Lorentz vektör uzayındaki spacelike vektörlerin cümlesi olsun.

uFiçin

  

^, L ⁰



C u  uF u v 

cümlesi u vektörünü içeren V Lorentz uzayının time konisidir. Karşıt time konisi

    

^, L ⁰



C   u C u  uF u v 

dir.

 

^{u } spacelike olduğundan, F bu iki time konisinin bileşimidir [18].

Lemma 2.1.26. Lorentz vektör uzayında v ve w timelike vektörlerinin aynı time konide olmaları için gerek ve yeter koşul v w, 0 olmasıdır [18].

Teorem 2.1.27: u, v ve w Minkowski 3-uzayında üç vektör olsun. Bu durumda

) _L , _L det( , , )

i  u v w  u v w

) ( _L ) _L , _L , _L

ii u v  w u w v  v w u

) _L( _L ) , _L , _L

iii u v w  u w v  u v w

) _L , _L 0 _L , _L 0

iv  u v u  ve  u v v 

) _{L L L L L L}2

v u v ,u v   u,u v,v  u,v

eşitlikleri mevcuttur.

Burada u( ,u u u_{1 2}, ₃) ve v( , , )v v v_{1 2 3} olmak üzere

1 2 3

1 2 3 3 2 2 3 3 1 1 3 1 2 2 1

1 2 3

( , , )

L

e e e

u v u u u u v u v u v u v u v u v

v v v



     

ve

1 1 2 2 3 3

, _L

u v u v u v u v

     

dir [18].

Tanım 2.1.28. ³₁ uzayında



u ^31: u u^, L ^0,u ⁰



    

ile verilen cümleye null koni adı verilir [18].

Aşağıdaki şekilde görüldüğü gibi ³₁ uzayındaki timelike vektörler  konisinin içinde, lightlike (null) vektörler  konisinin üzerinde ve spacelike vektörlerde ^ konisinin dışında bulunurlar. (Şekil 2.1)

Şekil 2.1. Minkowski uzayında vektörler

Tanım 2.1.29. ³₁ de Lorentz ve Hiperbolik birim küreler, sırasıyla,

 

2 3

1 1 , _L 1

S  u u u 

ve

 

2 3

0 1 , _L 1

H  u u u  

ile verilir [18]. (Şekil 2.2.)

Şekil 2.2. Minkowski uzayında birim küreler

Tanım 2.1.30. u ³₁ de bir timelike vektör ve e3 



0, 0,1



olsun. Eğer )

i u e, _{3 L}0 ise u vektörüne future-pointing timelike vektör, )

ii , ₃ 0

u e L ise u vektörüne past-pointing timelike vektör denir [12].

Tanım 2.1.31. u v,  ³₁ vektörlerinin Lorentz skaler çarpımı aşağıdaki gibi yorumlanabilir.

u ve vfuture-pointing (past-pointing) timelike vektörler olsun. Bu durumda,

, _{L L L}cosh

u v   u v 

olacak şekilde bir tek  0 reel sayısı vardır. Bu sayıya u ve v vektörleri arasındaki hiperbolik açı denir [12].

u ve vspacelike vektörler olsun. Bu vektörlerin gerdiği alt vektör uzayının timelike olduğunu varsayalım. Bu durumda,

, _{L L L}cosh

u v  u v 

olacak şekilde bir tek 0 reel sayısı vardır. Bu sayıya u ve v vektörleri arasındaki merkez açı denir [12].

u vev spacelike vektörler olsun. Bu vektörlerin gerdiği alt vektör uzayının spacelike olduğunu kabul edelim. Bu durumda,

, cos

L L L

u v ^ u v 

olacak şekilde bir tek (0   ) reel sayısı vardır. Bu sayıya u ve v vektörleri arasındaki spacelike açı denir [12].

u bir spacelike vektör ve v bir timelike vektör olsun. Bu durumda,

, sinh

L L L

u v  u v 

olacak şekilde bir tek  0 reel sayısı vardır. Bu  sayısına u ve v vektörleri arasındaki timelike açı denir [12].

Tanım 2.1.32. I  olmak üzere

3

: 1

( ) I

s s









diferensiyellenebilir fonksiyonuna ³₁, Minkowski uzayında eğri adı verilir. Eğer ( )s

^ hız vektör alanı için )

i    , _L 1 ise  ya birim hızlı spacelike eğri, )

ii , 1

    L ise  ya birim hızlı timelike eğri, )

iii    , _L 0 ise  ya null (lightlike) eğri

adı verilir [11].

Teorem 2.1.33. n n tipindeki bir ^A matrisi için aşağıdaki önermeler denktir.

)

i AO n_v( ), )

ii A^T A^1 eşitliğini sağlayan matrise Lorentz anlamda ortogonal matris denir, )

iii A nın sütunlarının cümlesi (satırlarının cümlesi) ⁿ_v uzayı için ortonormal bir bazdır,

)

iv A, ⁿ_v nin ortonormal bir bazını yine ortonormal bir baza dönüştürür.

Burada işaret matrisi

1 0 0

0 1 0

0 0 1

 

 

  

 

 

 dir [11,18].

Teorem 2.1.34. O n_v( ) in Lie cebiri, C^T   C eşitliğini sağlayan C matrislerinin cümlesidir. Böyle C matrisleri

T

A B

C B D

 

  

 

biçimindedir. Burada A^T  A, D^T  D, A_{v v} , D_{(n v  ) (n v)} ve B_{v (n v)} biçiminde matrislerdir. O n_v( )’nin Lie cebiriO n_v( ) ile gösterilir. ( ) ^{( 1)}

v 2

boy O n n n dir [18].

2.2. Hiperbolik Sayı Sistemi

İngiliz geometrici ve matematikçi Clifford, j² 1 eşitliğini kullanarak split karmaşık sayılar veya double karmaşık sayılar olarak da adlandırılan hiperbolik sayıları tanıttı [19]. Clifford’un yaptığı hiperbolik sayıların mekaniğe uygulamaları, non-Öklid geometriye uygulamalar tarafından desteklenmektedir.

Tanım 2.2.1. reel sayılar cümlesi,

 

^ toplama ve

 

. çarpma işlemlerine göre bir cisimdir. O halde x y,  olmak üzere ^{Z }

 

^{x y,} ikilisine sıralı ikili denir. Bu şekilde tanımlanan  cümlesi ile gösterilsin.

 



^{x y, :x jy x y, , , j2 1, j 1}



    

üzerinde iki iç işlem ve bir eşitlik aşağıdaki şekilde tanımlanır [20].

Tanım 2.2.2. Z 

 

x y,  hiperbolik sayı olmak üzere x reel sayısına Z sayısının reel kısmı y reel sayısına da Z sayısının hiperbolik kısmı denir [20].

Tanım 2.2.3. Z1 



x y1, 1



, Z2 



x y2, 2



 olmak üzere Z₁ ile Z₂ eşittir denir ve

1 2

Z Z şeklinde gösterilir [20].

Tanım 2.2.4. Z1 



x y1, 1



, Z2 



x y2, 2



 olmak üzere

:  

iç işlemi

         

1 2 1, 1 2, 2 1 2, 1 2 1 2 1 2

Z Z  x y  x y  x x y y  x x  j y y

şeklinde tanımlanır ve deki toplama olarak adlandırılır [20].

Tanım 2.2.5. ^{Z }

 

^{x y, } olmak üzere

Z X Z

denkleminin çözümü olarak tanımlanan X hiperbolik sayısına de  işleminin birim elemanı (etkisiz elemanı) denir ve ^0

 

^{0, 0} ile gösterilir [20].

Tanım 2.2.6. ^{Z }

 

^{x y, } olmak üzere 0 Z W

denkleminde W ile gösterilen hiperbolik sayıya de  işleminin ters elemanı denir ve ^{W   }



^{x, y}



ile gösterilir [20].

Önerme 2.2.7. hiperbolik sayı sisteminde toplama işlemi için aşağıdaki özellikler geçerlidir.

)

i Z₁Z₂ Z₂Z₁ (Değişme özelliği), )

ii Z1



Z2Z3

 

 Z1Z2



Z3 (Birleşme Özelliği)

[20].

O halde aşağıdaki teorem verilebilir.

Teorem 2.2.8.



^,



ikilisi bir abel grubudur [20].

Tanım 2.2.9. Z1 



x y1, 1



, Z2 



x y2, 2



 olmak üzere

:  

iç işlemi

       

1 2 1, 1 2, 2 1 2 1 2 1 2 2 1

Z Z  x y x y  x x y y  j x y x y

şeklinde tanımlanır ve ’de çarpma olarak adlandırılır [20].

Tanım 2.2.10. Z 

 

x y,  olmak üzere Z Y Z

denkleminin çözümü olarak tanımlanan Y hiperbolik sayısına ’de işleminin birim elemanı (etkisiz elemanı) denir ve ^1

 

^{1, 0} ile gösterilir [20].

Tanım 2.2.11. Z 

 

x y,  olmak üzere

1 1

Z Z^ 

denkleminde Z^1 ile gösterilen hiperbolik sayıya ’de işleminin ters elemanı denir [20].

Tanım 2.2.12.

 

0,1 hiperbolik sayısı j ile gösterilecektir yani

 

^{0,1  j} alınacak ve hiperbolik birim olarak adlandırılacaktır [20].

Sonuç 2.2.13. j² 1 dir [20].

Önerme 2.2.14. hiperbolik sayı sisteminde çarpma işlemi için aşağıdaki özellikler geçerlidir.

)

i Z₁ Z₂ Z₂ Z₁ (Değişme Özelliği), )

ii Z1



Z2 Z3

 

 Z1 Z2



Z3 (Birleşme Özelliği), )

iii Z₁



Z₂Z₃

 

 Z₁ Z₂

 

 Z₁ Z₃



(Dağılma Özelliği) [20].

O halde aşağıdaki teoremler verilebilir.

Teorem 2.2.15.



^{, ,}



üçlüsü birimli ve değişmeli bir halkadır [20].

Teorem 2.2.16.



^{, ,}



üçlüsü bir cisim değildir [20].

Tanım 2.2.17. reel sayılar cümlesi olmak üzere

 

cümlesi üzerinde toplama, çarpma ve eşitlik işlemleri yukarıdaki gibi tanımlanmış ise cümlesine hiperbolik sayı sistemi ve 

 

x y,  elemanına da bir hiperbolik sayı denir [20].

Tanım 2.2.18. x ve y reel sayı olmak üzere Z x jy olsun. Bu takdirde x jy hiperbolik sayısına Z hiperbolik sayısının eşleniği denir ve Z ile gösterilir [20].

Teorem 2.2.19. Z₁ ve Z₂ iki hiperbolik sayı olmak üzere aşağıdaki özellikler sağlanır.

)

i Z₁Z₂ Z₁Z₂, )

ii Z₁ Z₁, )

iii Z₁ Z₂ Z₁ Z₂, )

iv Z₂0 olmak üzere ^{1 1}

2 2

Z Z

Z Z

 

 

  

 

   , )

v Z1Z12 Re

 

Z1 , Z1Z12 Imj

 

Z1

[20].

Teorem 2.2.20. ^{Z }

 

^{x y,} hiperbolik sayıların bütününe hiperbolik düzlem denir ve ile gösterilir. Her bir

 

x y ikilisine de hiperbolik düzlemin bir noktası denir , [20].

Tanım 2.2.21. Z x jy hiperbolik sayı olmak üzere

2 2

Z  Z Z  x y

reel sayısına Z hiperbolik sayısının modülü denir [20].

Tanım 2.2.22. Z₁ x₁ jy₁ ve Z₂x₂ jy₂ iki hiperbolik sayı olmak üzere aşağıdaki özellikler sağlanır.

i) Z₁² Z₁ Z₁, Z₁  Z₁ Z₁ ,

ii) Z₁ Z₂  Z Z_{1 2} ,

iii) Z₂0 olmak üzere ^{1 1}

2 2

Z Z Z  Z

[20].

Tanım 2.2.23. Z₁ x₁ jy₁ ve Z₂x₂ jy₂ iki hiperbolik sayı olmak üzere hiperbolik düzlemde bu iki hiperbolik sayı arasındaki uzaklık Z₁Z₂ ile gösterilir ve

  

²



²

1 2 1 2 1 2

Z Z  x x  y y

olarak hesaplanır [20].

Tanım 2.2.24. hiperbolik düzlemde açı

arctanh y

  x

şeklinde tanımlanır [20]. (Şekil 3.1.)

Şekil 3.1. Bir hiperbolik sayının hiperbolik düzlemde gösterimi [20]

Tanım 2.2.25. hiperbolik düzlemde Maclaurin serisi yardımıyla Euler formülü

cosh sinh

ej^   j 

şeklindedir [20].

Tanım 2.2.26. Z hiperbolik sayısının kutupsal ve üstel formu



cosh sinh



^j

Z r   j  re^

şeklinde elde edilir. Burada r Z ve  ifadeleri, sırasıyla, Z hiperbolik sayısının büyüklüğü ve argümenti denir [20].

Tanım 2.2.27. hiperbolik düzlemde e^j tarafından tanımlanan dönme matrisi

cosh sinh sinh cosh

 

 

 

 

 

şeklindedir [20].

BÖLÜM 3. REEL KUATERNİYON VE SPİNORLAR

Bu bölümde, normu 1 olan kuaterniyonların Lie grubu ve onun Lie cebiri yardımıyla reel uzayda dönme matrisleri elde edilmiştir. Şimdi



01 1 1 2 2 3 3 : 0, ,1 2, 3



H  qa a e a e a e a a a a 

cümlesini ele alalım. Burada



1, , ,e e e birimlerinin çarpımı aşağıdaki tabloda _{1 2 3}



verilmiştir.

1 2 3

1 e e e

1

2

3

1 e e e

1 2 3

1 3 2

2 3 1

3 2 1

1 1

1 1

e e e

e e e

e e e

e e e

 

  



Tablo 3.1. Reel kuaterniyonların birimlerinin çarpımı

H nin her bir elemanına bir kuaterniyon adı verilir. Burada a a a a reel ₀, ₁, ₂, ₃ sayılarına q reel kuaterniyonunun bileşenleri denir. Bundan sonraki bölümlerde, bir kuaterniyon için qa₀a e_{1 1}a e_{2 2}a e_{3 3} gösterimi kullanılacaktır. e e e ₁, ₂, ₃ birimleri 3-boyutlu reel vektör uzayının bir dik koordinat sisteminin baz vektörleri olarak alınabilir. Dolayısıyla bir qa₀a e_{1 1}a e_{2 2}a e_{3 3} kuaterniyonu S skaler _q kısım ve V_q vektörel kısım olmak üzere iki kısıma ayrılır ve

q q

qS V

biçiminde yazılır. Burada

0, 1 1 2 2 3 3

q q

S a V a e a e a e dır.

0 1 1 2 2 3 3

qa a e a e a e , p b₀ b e_{1 1}b e_{2 2}b e_{3 3} kuaterniyonların toplamı

( _{q p}) ( _{q p}) q p S S  V V

(a₀b₀) ( a₁b e₁) ₁(a₂b e₂) ₂(a₃b e₃) ₃

olarak tanımlanır.

 ve qa₀a e_{1 1}a e_{2 2}a e_{3 3} olmak üzere q dış işlemi

0 1 1 2 2 3 3

( ) ( ) ( ) ( )

q a a e a e a e

        

şeklinde tanımlanır.

Bu iki işlemle birlikte H cümlesi reel sayılar cismi üzerinde 4-boyutlu bir vektör uzayıdır.

Ayrıca qa₀a e_{1 1}a e_{2 2}a e_{3 3} , p b₀ b e_{1 1}b e_{2 2}b e_{3 3} kuaterniyonlarının çarpımı:

: H H H

  

( , )q p   q p qp biçiminde bir işlem olup

q p q, p q p p q q p

qpS S  V V  S V S V V V

olarak tanımlanır.

3.1. Vektör Kinematiği

3-boyutlu Öklid uzayında katı bir cismin yer değiştirmesi, vektör cebiri tarafından kolayca kurulabilir. Euler’in teoremine göre dönme, sabit bir nokta O, birim bir vektör n ve sağa doğru dönen bir açı  ile karakterize edilir. O halde x vektöre dönme uygulanırsa,

cos . (1 cos ) , sin ( )

x  x   n x n  nx (3.1)

elde edilir.  dönme açısıyla birlikte bu dönme x vektörünü x vektörüne dönüştürür. Bu ifadeye gerekli işlemler yapılarak aşağıdaki denklem ifade edilmiştir.

2

0 0

(2 1) 2 , 2 ( )

x    x  x   x (3.2)

Sabit bir çatı (0, ,e e e_{1 2}, ₃) referansa göre (3.2) denklemi aşağıdaki şekilde yazılır.

x Bx

2 2 2 2

1 0 1 2 3 1 2 0 3 1 3 0 2 1

2 2 2 2

2 1 2 0 3 0 1 2 3 2 3 0 1 2

2 2 2 2

1 3 0 2 2 3 0 1 0 1 2 3

3 3

2( ) 2( )

2( ) 2( )

2( ) 2( )

x x

x x

x x

           

           

           

       

   

 

         

   

         

    

(3.3)

Burada B dönüşüm matrisi BB( ₀, ) ile gösterilir. Ayrıca 3x3 tipinde reel, semi- ortogonal bir matristir. B matrisindeki_i (0 i 3) parametreleri

2 2 2 2

0 1 2 3 1

     (3.4)

şartını sağlar. B matrisi

2 2 2 2

0 1 2 3 1 2 0 3 1 3 0 2

2 2 2 2

1 2 0 3 0 1 2 3 2 3 0 1

2 2 2 2

1 3 0 2 2 3 0 1 0 1 2 3

2( ) 2( )

2( ) 2( )

2( ) 2( )

B

           

           

           

      

 

      

      

 

(3.5)

şeklindedir. Burada B matrisi cismin pozisyonunu verir ve GSO(3) Lie grubunun bir elemanıdır. Ayrıca 0, ₀1 ve _h0 ,(h1, 2,3) olduğunda birim matrisi veren B matrisi, bu durumda (0; )e_h ortonormal çatısını oluşturur.

Şimdi bir eğriye SO(3) üretici uzayında katı cismin hareketi tB t( ) karşılık gelsin. O halde eğrinin tanjantı olan dB

B dt , B matrisinin birinci sütunu T teğet vektörünü verirse dönme hız vektörü ( )B t noktasında TSO(3)_B tanjant uzayının bir elemanıdır. B semi-ortogonal bir matris olduğundan

( ) ^T( )

B t B t I (3.6)

denklemi yazılabilir.

W açısal hız matrisi için

(t) ^T( ) (t) 1( )

WB B t B B^ t (3.7)

olarak tanımlanır.

3 vektör uzayı ve antisimetrik matrisler uzayı arasındaki izomorfizm sayesinde  ani açısal hız vektörü ile W birim matrisini aşağıdaki gibi yazabiliriz.

3 2 1

3 1 2

2 1 3

0 0

0 W

  

   

  

    

   

    

   

   

üstelik

x Wx  x (3.8)

1 3 2 1

2 3 1 2

2 1

3 3

0 0

0

x x

x x

x x

 

 

 

 

    

     

    

 

    

   

yazılabilir. Böylece 3-boyutlu Öklid uzayında bir cismin yer değiştirmesiyle ilgili üretilen denklemler aşağıdaki gibi verilebilir.

2 2 2 2

1 0 1 2 3 1 2 0 3 1 3 0 2 1

2 2 2 2

2 1 2 0 3 0 1 2 3 2 3 0 1 2

2 2 2 2

1 3 0 2 2 3 0 1 0 1 2 3

3 3

2( ) 2( )

2( ) 2( )

2( ) 2( )

x x

x Bx x x

x x

           

           

           

       

   

 

   

          

         

    

1 3 2 1

2 3 1 2

2 1

3 3

0 0

0

x x

x Wx x x

x x

 

 

 

 

     

     

           

3 2

1

3 1

2 1

0 0

0

W BB W

 

 

 



  

 

   

 

 

1

0 0

0

r q

W B B W r p

q p



  

 

   

 

 

Tablo 3.2. Vektör Kinematiği

3.2. Kuaterniyon Kinematiği

Şimdi kuaterniyonlara yeni bir yaklaşım vereceğiz. Bu yaklaşımı Euler teoreminin vektör formülasyonundan türeteceğiz. O halde (3.2) denklemini göz önüne alalım.

(3.2) denkleminde gerekli işlemler yapılırsa aşağıdaki şekilde yazılabilir.

0 0 0 0

0

, , ( ) { ( )} ,

{ ( ( ))}

x x x x x x x

x x

         

  

              

    (3.9)

burada

1 0, 1 ; 2 , , 2 0 ( )

s  v  s  x v  x  x

olarak alalım. O halde son denklem

1 2 1, v2 1 2 2 1 1 2

x s s  v  s v s v  v v (3.10)

olarak yazılabilir.

Böylece (3.9) denklemi iki kuaterniyon çarpımına karşılık gelir. Yani

1 1 1 0 2 2 2 , ( 0 ( ))

q   s v   ve q  s v  x   x x

olarak alındığında

xq q1 2 (3.11) olarak yazılabilir.

Hatta q₂ q q_{3 4}  (0 x)( ₀ ) olduğu göz önüne alınırsa,