T.C
FIRAT ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
GÖZENEKLİ ORTAMDAKİ ISI TRANSFERİNİN FRAKTAL YAPILARLA MODELLENMESİ
Kimya Mühendisi Ercan AYDOĞMUŞ
Yüksek Lisans Tezi
Kimya Mühendisliği Anabilim Dalı Danışman: Prof. Dr. Fethi KAMIŞLI
II
ÖNSÖZ
“Gözenekli ortamdaki ısı transferinin fraktal yapılarla modellenmesi” başlıklı bu çalışma, Fırat Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Kimya Mühendisliği Anabilim Dalı, Temel İşler ve Termodinamik bilim dalında yüksek lisans tezi olarak hazırlanmıştır.
Bu çalışmanın hazırlanmasında, fraktal model oluşturmada, yönlendirici ve bilgilendirici katkıda bulunarak yardımlarını esirgemeyen danışmanım Prof. Dr. Fethi KAMIŞLI’ya teşekkürlerimi sunarım.
Ercan AYDOĞMUŞ ELAZIĞ-2012
III İÇİNDEKİLER Sayfa No ÖNSÖZ ... II İÇİNDEKİLER ... III ÖZET ... V SUMMARY ... VI ŞEKİLLER LİSTESİ ... VII TABLOLAR LİSTESİ ... X
1. GİRİŞ ... 1
1.1. Amaç ve Önceki Çalışmalar ... 1
1.2. Gözenekli Ortam ile İlgili Genel Bilgiler ... 2
1.2.1. Gözenekli Ortamlarda Isı İletim Katsayısı ... 3
2. FRAKTAL GEOMETRİ ... 5
2.1.Geometri ve Boyut ... 9
2.1.1. Euclidien Boyut ... 10
2.1.2. Topolojik Boyut ... 10
2.1.3. Fraktal Boyut ... 11
2.1.3.1. Fraktal Boyut Hesaplama Yöntemleri ... 12
2.1.3.2. Hausdorff-Besicovitch Boyutu ... 13
2.1.3.4. Kutu Sayım Yöntemi ... 13
2.1.3.5. Benzerlik Boyutu... 13
2.2. Kaos ve Fraktallar ... 13
2.3. Fraktal Türleri ve Üretim Yöntemleri ... 15
2.3.1. Doğal Fraktallar ... 15
2.3.2. Yapay Fraktallar ... 16
2.3.2.1. Düzenli Fraktallar ve Üretim Yöntemleri ... 17
2.3.2.2. Gerçek Matematiksel Fraktallar ... 17
2.3.2.2.1. Cantor Seti... 18
2.3.2.2.2. Koch Eğrisi ... 18
IV
2.3.2.2.4. Sierpinski Halısı ... 19
2.3.2.3. Kaotik Fraktalları Oluşturma Yöntemi. ... 19
2.3.2.3.1. Mandelbrot Kümesi ... 19
3. TEORİK MODEL VE DENKLEMLER... 20
3.1. Laplace Denkleminin Sabit Koşullarda Analitik Çözümü ... 21
3.2. Laplace Denkleminin Analitik Çözümü ... 23
3.3. Laplace Denkleminin Sonlu Farklar Yöntemine Göre Çözümü ... 24
3.4. Laplace Denkleminin Tam Çözümü ... 26
3.5. Fraktal Modellerin Teorik Olarak Üretimi ve Gözeneklilik ... 29
3.5.1. L Fraktalının Gözenekliliği ... 29
3.5.2. T Fraktalının Gözenekliliği ... 31
3.5.3. H Fraktalının Gözenekliliği ... 32
3.5.4. K Fraktalının Gözenekliliği ... 33
3.5.5. D Fraktalının Gözenekliliği ... 34
3.5.6. Sierpinski Halısının Gözenekliliği ... 35
3.6. Fraktal Modellerde İki Boyutlu Isı İletimi ... 37
3.6.1. L Fraktalı İçin Sıcaklık Dağılımı ve Etkin Isı İletim Katsayısı ... 37
3.6.2. T Fraktalının Sıcaklık Dağılımı ... 41
3.6.3. H Fraktalının Sıcaklık Dağılımı ... 42
3.6.4. K Fraktalının Sıcaklık Dağılımı ... 43
3.6.5. D Fraktalının Sıcaklık Dağılımı ... 44
3.6.6. Sierpinski Halısı İçin Sıcaklık Dağılımı ... 45
3.7. Sonlu Elemanlar Yöntemini Kullanılarak Modellerin Karşılaştırılması ... 52
4. SONUÇLAR ... 56
KAYNAKLAR ... 59
ÖZGEÇMİŞ ... 60
V
ÖZET
Gözenekli Ortamda Isı Transferinin Fraktal Yapılarla Modellenmesi
Isı geçiş problemlerinde ısı iletim katsayısı önemli rol oynamaktadır. Heterojen veya kompozit malzemelerin etkin ısı iletim katsayısının modellenmesi, ısı transfer uygulamalarında ilgi duyulan bir alandır. Literatürde etkin ısı iletim katsayısının modellenmesi için geliştirilen çok sayıda eşitlik bulunmaktadır. Gözenekli ortamda birçok fraktal model için sonlu farklar ve sonlu elemanlar yöntemiyle ısı iletimi simülasyonu yapıldı. Katının ısı iletim katsayısı, akışkanının ısı iletim katsayısı, gözeneklilik, gözeneklerin boyutu ve dağılımının gözenekli ortamlarda etkin ısı iletim katsayısına etkisi detaylı bir şekilde analiz edildi. Hesaplanan sonuçlar etkin ısı iletim katsayısının; katının ve akışkanın ısı iletim katsayılarına gözenekliliğe bağlı üstel bir fonksiyon olduğu görüldü. Fraktal gözenekli ortamların etkin ısı iletim katsayısı belirlemede gözeneklilik çok önemli bir faktördür ama gözeneklerin büyüklüğü ve dağılımı özellikle daha büyük gözenekler önemli etki yapmaktadır. Etkin ısı iletim katsayısının değerleri sonlu farklar ve sonlu elemanlar yöntemlerinde elde edildi. Literatürdeki deneysel formüller ile sayısal sonuçlar karşılaştırılarak sonuçlar doğrulandı.
VI
SUMMARY
Modeling of Heat Transfer by Fractal Structures in Porous Media
Thermal conductivity plays a significant role in the heat transfer problems. Modeling of effective thermal conductivity of heterogeneous or composite materials is areas of interest. There are a lot of developed expressions for modeling of thermal conductivity in the literature. Several types of fractals are generated to model the structures of porous media, and heat conduction in these structures is simulated by the finite difference and finite volume methods. The influences of the thermal conductivity of solid, the thermal conductivity of fluid, the porosity, the size and spatial distribution of pores on the effective thermal conductivity of these structures are analyzed in detail. The calculated results indicate that the relation of effective thermal conductivity with thermal conductivity of solid and thermal conductivity of fluid conforms to a power function, and the relation of effective thermal conductivity with porosity conforms to an exponential function. The porosity is the most important factor that determines the effective thermal conductivity of fractal porous media, but the size and spatial distribution of pores, especially the spatial distribution of the bigger pores, do have substantive influence. Effective thermal conductivity values are obtained from finite difference and finite volume methods. The numerical results are compared with the available empirical formulas, and are verified by these empirical formulas.
VII
ŞEKİLLER LİSTESİ
Sayfa No
Şekil 1.1. Sıcaklık değişim hızına bağlı olarak ısı enerjisi geçiş yönleri ... 4
Şekil 2.1. Yıldırımın düşerken izlediği yol ... 5
Şekil 2.2. Karmaşık dallar ... 6
Şekil 2.3. Dal ve yapraklar ... 6
Şekil 2.4. Helge Von Koch Kar Tanesi ... 7
Şekil 2.5. Menger Süngeri ... 7
Şekil 2.6. Mandelbrot Kümesi ... 8
Şekil 2.7. Kendine benzerlik ve Koch Eğrisi ... 9
Şekil 2.8. Peano Eğrisi ... 11
Şekil 2.9. Eğrelti otu ... 12
Şekil 2.10. Sierpinski Üçgeni ... 18
Şekil 2.12. Mandelbrot Kümesi ... 19
Şekil 3.1. Sabit koşullarda analitik çözüme göre sıcaklık profilindeki değişim ... 22
Şekil 3.2. Analitik çözüm için model sınır şartları ... 23
Şekil 3.3. Analitik çözüme göre sıcaklık profilindeki değişim ... 24
Şekil 3.4. Laplace denkleminin sonlu farklar yöntemine göre yazılan algoritması ... 25
Şekil 3.5. Laplace eşitliğindeki ısı iletim katsayılarının sabit olduğu durumda sıcaklık profili ... 26
Şekil 3.6. Laplace eşitliğindeki ısı iletim katsayılarının sabit olmadığı durumda sıcaklık profili ... 26
Şekil 3.7. Su için tam çözümde bulunan sıcaklık dağılımı ... 27
Şekil 3.8. Kum taşı için tam çözümde bulunan sıcaklık dağılımı ... 28
Şekil 3.9. Kum taşı için bulunan sıcaklık değerleri ile etkin ısı iletim katsayısının değişimi ... 29
Şekil 3.10. L Fraktalı ... 29
Şekil 3.11. L Fraktalının gözenekliliğe göre model denklemlerdeki etkin ısı iletim katsayısı ile karşılaştırılması... 30
VIII
ŞEKİLLER LİSTESİ (Devamı)
Sayfa No
Şekil 3.13. T Fraktalının gözenekliliğe göre model denklemlerdeki etkin ısı iletim
katsayısı ile karşılaştırılması... 31
Şekil 3.14. H Fraktalı ... 32 Şekil 3.15. H Fraktalının gözenekliliğe göre model denklemlerdeki etkin ısı
iletim katsayısı ile karşılaştırılması ... 32
Şekil 3.16. K Fraktalı. ... 33 Şekil 3.17. H Fraktalının gözenekliliğe göre model denklemlerdeki etkin ısı
iletim katsayısı ile karşılaştırılması ... 33
Şekil 3.18. D Fraktalı ... 34 Şekil 3.19. D Fraktalının gözenekliliğe göre model denklemlerdeki etkin ısı
iletim katsayısı ile karşılaştırılması ... 34
Şekil 3.20. Sierpinski Halısı ... 35 Şekil 3.21. Sierpinski Halısı’nın gözenekliliğe göre model denklemlerdeki etkin ısı
iletim katsayısı ile karşılaştırılması ... 35
Şekil 3.22. Fraktal modellerin gözeneklilikle etkin ısı iletim katsayılarının değişimi .. 36 Şekil 3.23. Sierpinski Halısı için akışkanın ısı iletim katsayısı ile etkin ısı
iletim katsayılarının değişimi ... 46
Şekil 3.24. K Fraktalı için akışkanın ısı iletim katsayısı ile etkin ısı iletim
katsayılarının değişimi ... 46
Şekil 3.25. D Fraktalı için akışkanın ısı iletim katsayısı ile etkin ısı iletim
katsayılarının değişimi ... 47
Şekil 3.26. H Fraktalı için akışkanın ısı iletim katsayısı ile etkin ısı iletim
katsayılarının değişimi ... 47
Şekil 3.27. T Fraktalı için akışkanın ısı iletim katsayısı ile etkin ısı iletim
katsayılarının değişimi ... 48
Şekil 3.28. L Fraktalı için akışkanın ısı iletim katsayısı ile etkin ısı iletim
IX
ŞEKİLLER LİSTESİ (Devamı)
Sayfa No
Şekil 3.29. Sierpinski Halısı için katının ısı iletim katsayısı ile etkin ısı
iletim katsayılarının değişimi ... 49
Şekil 3.30. K Fraktalı için katının ısı iletim katsayısı ile etkin ısı iletim
katsayılarının değişimi ... 49
Şekil 3.31. D Fraktalı için katının ısı iletim katsayısı ile etkin ısı iletim
katsayılarının değişimi ... 50
Şekil 3.32. H Fraktalı için katının ısı iletim katsayısı ile etkin ısı iletim
katsayılarının değişimi ... 50
Şekil 3.33. T Fraktalı için katının ısı iletim katsayısı ile etkin ısı iletim
katsayılarının değişimi ... 51
Şekil 3.34. L Fraktalı için katının ısı iletim katsayısı ile etkin ısı iletim
katsayılarının değişimi ... 51
Şekil 3.35. L Fraktalı için sonlu elemanlar yöntemi yardımıyla sıcaklık
dağılımı ... 52
Şekil 3.36. L Fraktalı için sonlu elemanlar yöntemi yardımıyla sıcaklık
dağılımının son basamağı ... 52
Şekil 3.37. T Fraktalı için sonlu elemanlar yöntemi yardımıyla sıcaklık
dağılımı ... 53
Şekil 3.38. T Fraktalı için sonlu elemanlar yöntemi yardımıyla sıcaklık
dağılımının son basamağı ... 53
Şekil 3.39. H Fraktalı için sonlu elemanlar yöntemi yardımıyla sıcaklık
dağılımı ... 54
Şekil 3.40. H Fraktalı için sonlu elemanlar yöntemi yardımıyla sıcaklık
dağılımının son basamağı ... 54
Şekil 3.41. K Fraktalı için sonlu elemanlar yöntemi yardımıyla sıcaklık
dağılımı ... 55
Şekil 3.42. K Fraktal için sonlu elemanlar yöntemi yardımıyla sıcaklık
X
TABLOLAR LİSTESİ
Sayfa No
Tablo 3.1. L Fraktalının sonlu farklar yöntemine göre matris içinde yazılması ve
sıcaklık dağılımı ... 38
Tablo 3.2. T Fraktalının sonlu farklar yöntemine göre sıcaklık dağılımının
matris içinde yazılması ... 41
Tablo 3.3. H Fraktalının sonlu farklar yöntemine göre sıcaklık dağılımının
matris içinde yazılması ... 42
Tablo 3.4. K Fraktalının sonlu farklar yöntemine göre sıcaklık dağılımının
matris içinde yazılması ... 43
Tablo 3.5. D Fraktalının sonlu farklar yöntemine göre sıcaklık dağılımının
matris içinde yazılması ... 44
Tablo 3.6. Sierpinski Halısı’nın sonlu farklar yöntemine göre sıcaklık dağılımının
1
1.GİRİŞ
1.1. Amaç ve Önceki Çalışmalar
Bu çalışmanın amacı; gözenekli ortamlara uygun fraktal yapılar ile gerçek modeller oluşturmak, doğal şartlarda ısı iletimini etkileyen faktörleri belirlemek ve bu faktörlerin etkilerini kontrollü olarak incelemektir. Aşağıda gözenekli ortamda ısı iletimi ile ilgili yapılan çalışmalara bazı örnekler verilmiştir.
Bir gözenekli katı, katı matris ve hava tarafından meydana gelen iki-fazlı sistem gibi düşünülmüştür. Etkin ısı iletim katsayısı, bu karmaşık sistem boyunca ısı enerjisinin akışı ile incelenmiştir. Gözenekli bir malzemenin etkin ısı iletim katsayısını hesaplamak için katı malzemenin ve akışkanın ısı iletim katsayısına, gözeneklilik oranına ve gözenek geometrisine bağlı çalışmalar yapılmıştır[1].
Gözenekli bir katının etkin ısı iletim katsayısını hesaplamak için bazı teoriler geliştirilmiştir. Katı matris içindeki gözenek fazlarının dağılımı ve mikro yapının geometrik yapısı araştırılmıştır. Mikro yapı için geliştirilen modeller doğal şartlardaki gerçek modeller ile tutarlı sonuçlar vermiştir[2].
Farklı modeller için geliştirilen eşitlikler ile etkin ısı iletim katsayısı hesaplanmıştır. Akışkanla doldurulmuş gözenekli bir ortamdaki iletimle ısı transferi incelenmiş olup söz konusu ortamda etkin ısı iletim katsayısı ortamdaki gözenek oranın fonksiyonu olarak belirlenmiştir[3].
İki fazlı sistemde etkin ısı iletim katsayısı düzenli üç boyutlu basit kübik bir geometri için incelenmiştir. Yapılan analizlerde, birinci durumda tüm gözeneklerin kübik şekilli olduğu, ikinci durumda ise tüm gözeneklerin küresel olduğu kabul edilmiştir. Küresel şekilli gözenek sistemi için elde edilen çözümler kübik şekilli gözenek sistemine göre daha iyi sonuç verdiği tespit edilmiştir[4].
İki fazlı malzemelerin etkin ısı iletim katsayılarını hesaplamak için türetilmiş ifadeler incelenmiştir. İki fazlı sistemlerin boyutsuz ısı iletim katsayısı, gözenekli katı matriste ısı iletim katsayıları oranı ile malzeme içerisindeki gözeneklerin hacimsel yoğunluğuna bağlı olduğu saptanmıştır. Etkin ısı iletim katsayısı literatürde bulunan ifadelerden yararlanılarak elde edilmiştir. Bulgular literatürde verilen deneysel sonuçlar ile kıyaslanmıştır[5].
Etkin ısı iletim katsayısı; katı matrisin özelliklerine, boyutuna, dağılımına ve boşluklardaki akışkanın hali gibi birçok parametreden etkilenmektedir.
2
Euclid geometrisinde ise gözenekli yapıların tanımlanması sınırlı olduğundan, gözenekli ortamların geleneksel muamelesi sürekli ortam ve hacimsel ortalama yaklaşımın kullanılmasını gerektirmektedir. Bu ise gözeneklerin mikro yapılarının etkisinin düşünülmesini zorlaştırır ve bu nedenle de mevcut gözenekli ortamda uygulamalar belirli sınırlamalar içerir. Fraktal boyut hesaplamada kullanılan yöntemler, genellikle parçaların bütüne oranı ve parça sayısına dayalı matematiksel denklemlere dayanmaktadır.
Yapılan çalışmada gözenekli ortamın yapısını temsil eden her bir fraktal modelin iki boyutlu iletimle ısı iletimi incelenmiştir. Söz konusu modellerin çözümünde katı ve durgun akışkanın ısı iletim katsayılarının etkisi, gözeneklilik, gözenek büyüklüğü, gözeneklerin dağılımı ve sıcaklık gibi parametreler göz önüne alınmıştır. Gözenekli ortamın yapısını temsil eden her bir fraktal model programlama dilinde yazılarak algoritmaları oluşturulmuştur. Her bir fraktal yapı için kısmi diferansiyel denklemlerde sonlu farklar ve sonlu elemanlar yöntemi kullanılarak; eşitlikler gerek sınırda gerekse de iç noktalarda yazılmıştır. Teorik olarak elde edilen sonuçlar, literatürdeki deneysel sonuçlarla ve bu çalışmada geliştirilen eşitliklerle karşılaştırılmıştır.
1.2. Gözenekli Ortam İle İlgili Genel Bilgiler
Genel anlamda, içinde boşluk bulunan katıya gözenekli madde denir. Gözenekli ortam içinde düzgün bir dağılım gösteren delikleri ve boşlukları olan bu yapılara gözenek denir. Gözenekler katı matris içerirler. Katı matris sert ya da küçük çapta deformasyona uğramış olabilir. Boşlukların birbiriyle bağlantılı olması bir ya da daha fazla akışkanın malzemenin içine akışını sağlar. İki fazlı akışta ise bir sıvı bir gaz boşluğu paylaşır. Doğal gözenekli ortamlarda gözeneklerin dağılımı düzensizdir. Kil, kum, kireçtaşı, ağaçlar, sünger, insan akciğeri, doğal gözenekli ortamlara örnek olarak verilebilir.
İçerisinde boşluklar bulunan katı maddeye gözenekli yapı denir. Boşlukların katı içerisindeki dağılımı ve büyüklüğü önemlidir. Gözenekli ortamların incelenmesi için gözeneklerin birbiriyle ilişkisine bakılır. Akışkan gözenekli ortamda kendi kendine madde içerisinde akabiliyorsa boşluklar birbiriyle ilişkilidir ve etkin gözenek boşluğu olarak tanımlanır. Eğer akışkanın akması için boşluklar arasında bir bağlantı yoksa gözenekler birbiriyle bağlantılı olmayıp bu tip yapılara etkin olmayan gözenekli yapılar denir. Bu tür ortamlardaki gözenek boşluklarına toplam boşluk denir.
3
Gözenekli madde içindeki boşluklar büyüklüklerine göre de sınıflandırılabilir. Akışkanın boşluk içinde yer almasına dayanan üç temel sınıflandırma yapılmıştır. En küçük boşluklarda madde ile akışkan arasında moleküler kuvvet önemlidir ve boşluklara moleküler boşluk denir. Çok büyük boşluklarda akışkan hareketi boşluk iç yüzeyinden kısmen etkilenir; bu en geniş boşluklara makro gözenek denir. Bu iki büyüklük arasındaki boşluklar ise genel anlamda gözenek olarak değerlendirilir.
Küçük boyuttaki çözelti boşluklarına açılımlar, bunların meydana getirdiği boşluğa da açılımlı gözenek boşluğu adı verilir. Ek bir sınıflandırma da gözenekli maddelerin düzenli ve düzensiz olma durumlarına göre yapılır. Bu yüzden bu tür malzemelerin etkin ısıl iletkenliği üzerine yaygın teorik ve deneysel çalışmalar yapılmaktadır[6].
Hem deneysel hem de sayısal yöntemler gözenekli ortamların fraktal yapıda olduğunu ortaya çıkarmıştır. Fraktal teorisi gözenekli ortamlardaki iletim olaylarını incelemede araştırmacılara yeni bir yol açmıştır. Geliştirilen teorik ve deneysel yöntemler gözenekli ortamdaki iletim olaylarının daha iyi anlaşılmasını mümkün kılmaktadır. Bu nedenle gözenekli katı matrislerde deneysel olarak yapılması mümkün olmayan mikro ve nano boyuttaki araştırmalar fraktal modeller kullanılarak yapılmıştır.
1.2.1. Gözenekli Ortamlarda Isı İletim Katsayısı
Bir maddenin sıcaklığı bu maddeyi meydana getiren moleküllerin ortalama kinetik enerjileri ile orantılıdır. Ortam içerisinde bir bölgede sıcaklığın yüksek olması o bölgedeki moleküllerin ortalama kinetik enerjilerinin yüksek olduğunu gösterir. Moleküller arası enerji iletimi, sıvılarda moleküllerin birbirini takip eden çarpışmaları ile olur. Katılarda ise moleküllerin ve maddenin yapısını oluşturan kafeslerin titreşimleri ve/veya yüksek sıcaklıktan düşük sıcaklığa serbest elektron sürüklenmesi ile olur. Genelde titreşimle iletilen enerji miktarı, elektron sürüklenmesi ile iletilen enerji miktarına kıyasla ihmal edilebilecek kadar az olduğundan, katılarda enerji iletiminin elektron sürüklenmesiyle olduğu varsayılabilir[7].
Bir katı cisim içinde sıcaklık farkları varsa, yüksek sıcaklık bölgesinden düşük sıcaklık bölgesine elektronların hareketiyle taşınan ısı geçiş şekline ısı iletimi denir. Isı iletimi yasası deneysel gözlemlere dayanan bir yasa olup Fourier Yasası olarak adlandırılır. Fourier yasasına göre herhangi bir yönde geçen ısı enerjisi miktarı, dT/dx, x yönündeki sıcaklık değişim hızı, A, ısı geçiş yönüne dik alan olmak üzere;
4
Qx = kA (1.1) şeklinde ifade edilir. Burada; Qx, pozitif x yönünde ve bu x yönüne dik A alanı üzerinden geçen ısı akısıdır. Orantı sabiti k, ısı iletkenlik katsayısı olarak adlandırılır ve maddenin ısı iletme kabiliyetini gösterir. Sıcaklık gradyanı;
x T lim dx dT 0 x (1.2)
şeklinde tanımlanır. Şekil 1.1.(a)’da görüldüğü gibi ısı geçişinde sıcaklık pozitif x yönünde azalıyorsa dT/dx negatif olur ve (1.1) bağıntısındaki (-) işareti nedeniyle Qx pozitif olarak belirlenir. Bu durum ısı geçişinin pozitif x yönünde olduğunu gösterir. Şekil 1.1.(b)’de gösterilen dT/dx oranı pozitif ise Qx negatif olur ve bu durumda da ısı akışı negatif x yönünde olduğu sonucuna varılır[8].
(a)
(a) (b) Şekil 1.1. Sıcaklık değişim hızına bağlı olarak ısı enerjisi geçiş yönleri
Gözenekli yapılar farklı bileşimdeki katılar ve akışkanlarda oluşabilir. Yapılarındaki düzensizlikler ısı iletimini de daha karmaşık hale getirmektedir. Bu tür problemlerin çözümü birçok faktörden etkilendiği için oldukça zordur. Ama bilgisayarlar bu problemlerin çözümünü hızlı ve güvenilir bir şekilde sunmaktadır. Gözenekli ortamlardaki iletimle ısı transferi yalıtım malzemelerinin kullanımında, nükleer santralların güvenliğinin sağlanmasında, jeotermal enerji üretiminde ve kurutma gibi birçok mühendislik uygulamalarında karşımıza çıkmaktadır. Doğal gözenekli ortamlar oldukça karmaşık yapıda olduklarından, bu ortamlardaki ısı transferi de oldukça karmaşıktır.
dT dx T x Isı Akışı T x Isı Akışı
5
2. FRAKTAL GEOMETRİ
Fraktal türleri ve doğanın bize sunmuş olduğu gizem fraktal geometrilerle kuşatılmıştır. Doğanın özgün bir dili fraktalları karşımıza çıkarmıştır. Karmaşıklığın ya da karmaşanın içindeki düzen olarak bilinen kaosun doğal geometriye yansıttığı şekiller fraktal olarak tanımlanmıştır. Fraktal geometri; matematik, fizik, astronomi, kimya, biyoloji, akışkanlar mekaniği gibi çok değişik alanlarda son dönemlerde popüler olmaya başlamıştır. Örneğin; bir ırmağın akışında izlediği yol, mikroorganizmaların çoğalmaları, borsadaki dalgalanmalar, iklimsel değişimler, yıldırımın düşerken atmosferde yayılımı ancak fraktal geometri ile açıklanabilir (Şekil 2.1). Bu tür problemlerin çözülmesinde fraktal benzetimlerden yararlanılmaktadır.
Örneğin bir ağacın büyümesi tohumdaki genetik programın ve alabildiği güneş ışığı, hava durumu, hastalık, toprağın koşulları, diğer ağaçların konumu da dâhil olmak üzere birçok faktörden etkilenmekte ve birçok faktörü etkilemektedir. Ağacın şekline bakıldığında gövde dallara, dallar da daha küçük olan ince dallara ayrılır. İnce dallar, damarlarında ağ yapılı örüntüler ile tekrar eden yapraklar içerir. Büyük ölçekli şeklinde ve küçük ayrıntılarında, bu ağaç kendisini oluşturan benzer yapıları yansıtır.
Şekil 2.1 Yıldırımın düşerken izlediği yol
Fraktallar, DNA yapısının analizi, kalp atışları gibi tıbbi alanların yanında müzik, resim ve sanat alanlarında da yararlı olmaktadır. Yerküreyi 6 - 7 kez dolaşabilecek kan damarlarını ve bir kaç tenis kortu kadar alan kaplayan akciğer hava keseciklerini bu
6
küçücük vücudumuza; açıldığında 2 metreyi aşkın bir uzunluğa erişen DNA molekülümüzü, 100 trilyon hücremizin her birindeki bir kaç mikrometrelik çekirdeğin içine paketlenmesinin ardında, işte bu fraktal kuralları yatmaktadır[9]. Ağaçların dal ve yapraklarındaki fraktal yapıya örnek aşağıda verilmiştir (Şekil 2.2 ve 2.3).
Şekil 2.2. Karmaşık dallar
Şekil 2.3. Dal ve yapraklar
Kendine benzerlik ve tamsayı olmayan boyutlu kavramlarıyla birlikte fraktal geometri, istatistiksel mekanikte, özellikle görünürde rastgele özelliklerden oluşan fiziksel sistemlerin incelenmesinde giderek daha yaygın olarak kullanılmaya başlanmıştır. Örneğin, gökada kümelerinin evrendeki dağılımının saptanmasında ve akışkan hareketlerine ilişkin
7
problemlerin çözülmesinde fraktal benzetimlerden yararlanılmaktadır. Fraktal geometri bilgisayar grafiklerinde de yararlı olmaktadır. Fraktal algoritma ise, engebeli dağlık araziler ya da ağaçların karışık dal sistemleri gibi karmaşık, çok düzensiz doğal cisimlerin gerçektekine benzer görüntülerinin oluşturulabilmesini olanaklı kılmıştır.
Şekil 2.4. Helge Von Koch Kar Tanesi
Koch Kar Tanesi, eş kenar bir üçgenin sürekli olarak uç kısımlarının, simetrik şekilde katlanmasıyla elde edilir[9]. Şekli kar tanesini andırdığından bu adı almıştır (Şekil 2.4).
Şekil 2.5. Menger Süngeri
Menger Süngeri’nin özelliği belirli bir hacmi olmasına rağmen sonsuz yüzeye sahip olmasıdır (Şekil 2.5). Küpün yüzeyini üçe üç bölüp, kalan kısımları da sürekli olarak üçe üç bölerek ortalarından, kalan kısımlarının çıkarılmasıyla elde edilir[10].
8
Şekil 2.6. Mandelbrot Kümesi
Mandelbrot Kümesi bilinen en meşhur fraktaldır (Şekil 2.6). Fraktal denilince ilk akla gelen fraktallardan olan Mandelbrot Kümesi kompleks düzlemde bilgisayar desteği ile çizilmiş bir grafiktir. Bununla birlikte denklemi şekli kadar karmaşık değildir. Denklem (z = z + c ) şeklindedir. Resmi ne kadar büyütürseniz büyütün içerisinde büyük şeklin bir kopyasını görmek fonksiyonun bilgisayar yardımıyla sonsuz kez tekrarlanıp renklendirilmesi ile olur[11].
Fraktal geometrinin Euclid geometrisinden genel olarak farkı; modern, doğadaki formlara uygulanabilir, algoritmik, rastgele dağılım, istatistiksel ölçeklenme ve kesirli boyutlar ile ifade edilmesidir. Fraktalların uzamsal açıdan düzensiz olmaları ve çevresi ile alanının değişiminin orantısız olması da Euclid geometrisi ile farklı yapıda olmalarını göstermektedir. Bu tanımlar aşağıdaki şekil ile canlandırılarak fraktal geometri tasarımı somut olarak örneklendirilmiştir.
9
Şekil 2.7. Kendine benzerlik ve Koch Eğrisi
Bir cisim ne kadar büyütülürse büyütülsün ya da bakış açısı ne kadar değiştirilirse değiştirilsin, hep aynı kalması fraktalların bir özelliğidir. Koch Eğrisinde görüldüğü gibi kendine benzerlik sürekli tekrarlanmaktadır (Şekil 2.7). Oluşturulmasının her aşamasında bu tip bir eğrinin çevre uzunluğu 4/3 oranında büyür. Fraktal boyut (d) 4'e eşit olabilmesi için alınması gereken kuvvetini gösterir, yani; 3d = 4 bu bakımdan fraktal eğriyi niteleyen boyut log4/log3 ya da kabaca 1,26'dır. Fraktal boyut, Euclidien boyutunda olmayan belirli bir biçimin karmaşıklığını ve şekil detaylarını açığa çıkarır. Burada denklemlerin sonsuz kez tekrarlanması ve bunların belirli oranlardaki halinin renklendirilmesi ile bilgisayar şekilleri oluşturulur[12].
2.1. Geometri ve Boyut
Yunanca yer anlamına gelen “geo” ve ölçüm anlamına gelen “metria” kelimelerinden oluşan geometri, sözlük tanımına göre matematiğin uzamsal ilişkileriyle ilgilenen alt
10
dalıdır. Boyut; nesnelerin uzaydaki yerinin belirtilebilmesi için gereken parametre sayısıdır. Matematikçiler tarih boyunca çeşitli boyut kavramları geliştirmişlerdir. Bunlardan bazıları günümüzde de kullanılmaktadır.
2.1.1. Euclidien Boyut
Euclidien boyut nesnenin yerleştiği uzayın boyutudur. Nesneler Euclid uzayındaki noktalar kümesi olarak tanımlanırlar. Uzay nokta adı verilen varlıklar topluluğudur. Her iki terim de belirsizdir. Ancak aralarındaki ilişki önemlidir: uzay üst, nokta asttır. Basit anlamda nokta; tüm olası konumları kapsayan uzaydaki bir pozisyon ya da konumdur. Yani bir nesne de nokta olabilir. Diğer geometrik nesneler (çizgi, düzlem, daire, elips konik kesitler), cebirsel kavramlar (fonksiyon, değişken, parametre, sabitler) ya da fiziksel ölçüler (zaman, hız, sıcaklık) de uzayda bir nokta olarak kabul edilebilirler. Örneğin; Türkiye’nin nüfusunu düşünecek olursak insanlar birer noktadır.
Boyut uzaydaki tüm noktaları tanımlamak için gereken parametrelerin sayısı olarak belirtilmiştir. Yani düzlem için dikdörtgensel koordinatlarda (x,y), polar koordinatlar (r,θ) parametrelerine ihtiyaç duyulmuştur.
Bir noktayı tanımlamak için parametreye gerek duyulmadığı için noktanın boyutu sıfırdır. Dikdörtgensel koordinatlar iki parametre ile tanımlandığı için iki boyutludur. Uzayda iki noktanın ayırt edilebilmesi için bir parametreye ihtiyaç duyulur. Bu parametre noktanın gerçel sayılar doğrusu üzerinde temsil ettiği değerdir.
2.1.2. Topolojik Boyut
Topoloji, kök olarak yüzey veya uzay anlamına gelen topos ve bilim anlamına gelen logos kelimelerinden türetilmiştir. Dolayısıyla, topoloji, uzaylar veya yüzeyler bilimidir. Bir başka tanıma göre de topoloji; şekiller bükülme, gerilip uzatılma ya da sıkıştırma sonucunda deforme olduğunda değişmeden kalan özellikleri inceleyen bir bilim dalıdır.
Topolojinin temeli Hemomorfizm kavramından gelmiştir. Homeomorfizm bir uzayın diğer bir uzaya düzgün deformasyonlar yoluyla, kesilme ya da birleştirme olmaksızın dönüşmesidir. Bu süreç içinde topolojik boyut değişmez. Bir küre topolojik olarak bir küp ile eşdeğerdir. Bir çizgi herhangi bir noktasından düz olma özelliğini yitirecek şekilde çekilebilir ancak bu dönüşüm onun bir olan topolojik boyutunu değiştirmez.
11
Topolojik boyut bir nesnenin nasıl bölünebileceği ile ilgilidir. Örneğin bir çizgi tek boyutludur. Çünkü sadece noktalara bölünebilir. Bir yüzey iki boyutludur. Çünkü bir yüzey eğrilere ve noktalara bölünebilir.
Basit değişimler ile topolojik boyutun değişmemesi gerekirken Peano eğrisi gibi bazı nesnelerde dönüşümlerin tekrar tekrar uygulanması ile başlangıçta topolojik boyutu bir olan bir nesneden topolojik boyutu 2 olan başka bir nesne oluşturulabilir (Şekil 2.8). Bu tür fraktal nesnelerin boyutları tanımlanan farklı yöntemlerle hesaplanır ve genellikle tamsayı olmayan bir değere sahiptir[13].
Şekil 2.8. Peano Eğrisi
2.1.3. Fraktal Boyut
Fraktal boyut, fraktal bir cismin karmaşıklık derecesinin ifade edilmesinde kullanılan matematiksel bir parametredir. Karmaşıklık derecesi, boyut, alan ve hacmin ne hızda arttığının belirlenmesi ile ölçülebilmektedir. Örneğin çizgi parçalarından oluşan Peano Eğrisi örneğinde, eğrinin uzunluğu her çevrimde artmaktadır. Belirli bir derecedeki çevrimden sonra bu uzunluk değeri sonsuza gitmektedir. Dolayısıyla bu noktadan sonra uzunluk gibi Euclid geometresine ait kavramlar fraktalların tanımlanmasında kullanılan karakteristik özellikler değildirler. Fraktalların ayırt edici özellikleri; uzunluk, alan gibi çeşitli parametrelerin sonsuz değere ne hızda gittiğini gösteren fraktal boyuttur. Fraktal boyut, fraktal nesne ne kadar büyütülürse büyütülsün ya da bakış açısı ne kadar değiştirilirse değiştirilsin, hep aynı kalan bir özelliktir. Aşağıda fraktal yapıya örnek olarak eğrelti otu verilmiştir (Şekil 2.9).
12
Şekil 2.9. Eğrelti otu
2.1.3.1. Fraktal Boyut Hesaplama Yöntemleri
Matematikte problem alanına göre çeşitli boyut hesaplama yöntemleri kullanılmaktadır. En basit yöntem, herhangi bir eğrinin ölçüsünün yaklaşık olarak hesaplanabildiği etkisiz ölçüm yöntemidir. Eğri üzerinde noktalar alınır ve bu noktalar birleştirilir. Noktaların birleştirilmesiyle oluşan düz çizgilerin uzunluğu ölçülerek eğrinin yaklaşık uzunluğu hesaplanır. Seçilen eğrilerin boyutu küçüldükçe hesaplanan değer artmaktadır. Dolayısıyla bu yöntem uzunluğu sonsuza giden fraktallar için etkili bir yöntem değildir.
Fraktal boyut hesaplamada kullanılan yöntemler, genellikle parçaların bütüne oranı ve parça sayısına dayalı matematiksel denklemlere dayanmaktadır ve hesaplanmasında farklı yöntemler kullanılabilmektedir. Bu yöntemlerin bazıları matematiksel verilere dayalı analitik yöntemler, bazıları da çeşitli grafiksel ifadelere dayalı deneysel yöntemlerdir.
Mandelbrot, 20. yüzyılın başında Felix Haousdorf tarafından geliştirilen bir yöntemden yararlanmıştır. Ona göre fraktal nesneler Hausdorff-Besicovitch boyutu topolojik boyutundan büyük olan nesnelerdir. Bir başka yöntemde hesaplama, fraktalların temel özelliklerinden biri olan kendine benzerlik kavramı doğrultusunda yapılmaktadır. Koch eğrisi, Sierpinski üçgeni ve halısında kesin kendine benzerlik özelliği bulunmaktadır[14].
13
2.1.3.2. Hausdorff-Besicovitch Boyutu
Bu boyut metrik uzayda tanımlanan diskler yardımıyla nesnelerin boyutunun hesaplanması fikrine dayanır. Mesafeye dayanan ilişkiler metrik ve onların yer aldığı uzaylar ise metrik uzay olarak adlandırılmaktadır. Metrik uzaylar tanımlanan diskler ile nesneler arası mesafenin üniteler cinsinden hesaplanmasında kullanılmaktadır.
Diskler, nesnenin üzerini kapatmak için kullanılan nesnelerdir. En bilinen Euclidean olmayan metrik uzay Manhattan metriğidir. Blokların ve meydanların, tanımlanan diskler ile koordinat sisteminde gösterilmesidir. Böylece blokların ve meydanların oluşturduğu mesafeler tanımlanabilir. Metrikler ayrıca komşuluklar oluşturmakta da kullanılırlar. Hausdorff-Besicovitch boyutunun hesaplanması için bir nesnenin üzerini kaplayacak disklerin sayısı ve büyüklüğünün bilinmesi gerekmektedir. Büyüklük küçüldükçe nesnenin üzerini kaplayacak disk sayısı da artar.
2.1.3.4. Kutu Sayım Yöntemi
İki boyutlu imajlar üzerinden fraktal boyutun ölçülmesinde kullanılan yöntemdir. Fraktal boyutu hesaplanacak nesne üzerine karelerden oluşan bir ızgara sistem oturtulur. Her çevrimde karelerin boyutları yarı yarıya küçültülür. Bu çevrimlerde içerisinde veri bulunan kutular sayılır. Bu kutuların boş kutulara oranı matematiksel eşitliğe göre hesaplanarak fraktal boyut bulunur.
2.1.3.5. Benzerlik Boyutu
Benzerlik boyutu, fraktalların kendine benzerlik ve ölçekten bağımsız olma özelliklerine dayanmaktadır. Fraktal nesneyi oluşturan parça sayısı ve şeklin bütünü ile parçaları arasındaki küçültme faktöründen yararlanılarak oluşturulan matematiksel bir denklem yardımıyla hesaplanmaktadır. Bütünü oluşturan parçaların özdeş olup olmamasına bağlı olarak benzerlik boyutu tanımlanır.
2.2. Kaos ve Fraktallar
Kaosun sözlük anlamı telaş, türbülans, boşluk ve istenmeyen durumdur. Ancak bilim adamları kaosu başlangıç durumuna duyarlı şey olarak tanımlarlar. Kaos kök olarak uçurum, boşluk, derinlik kelimesinden türemiştir.
14
Kaos ayrıca bir sistemin nasıl davranacağı ile ilgili uzun süreli tahminler yapılıp yapılamaması sorusuyla da ilgilidir. Kaotik bir sistem düzenli ve sakin bir yolla da oluşabilir. Kaosun ifade ettiği karmaşıklık, doğal ve insan yapısı sistemlerde hatta sosyal yapılarda ve insanların kendilerinde bile görülebilir. Karmaşık sistemler çok büyük ya da çok küçük olabilir. Genellikle karmaşık bir sistemde büyük ve küçük parçalar bir arada bulunurlar. Karmaşık bir sistem ya tamamen düzenli ya da tamamen düzensiz değildir, her iki karakteri de gösterebilir. Günlük hayatta trafik akışı, hava durumu, nüfus değişiklikleri, kentsel gelişme karmaşıklığın görüldüğü yerlerdir. Kaosu tanımlamada kullanılan temel kavramlar belirlenimcilik, başlangıç durumu ve değişkenliktir. Bu kavramlar fraktalların oluşumunda da etkilidir.
Doğa olaylarında ve diğer sistemlerdeki karmaşıklığın ve dengelerin anlaşılmasında kaosun büyük önemi vardır. Kaos, karmaşık sistemlerin özelliklerini analiz etmek ve anlamak için kullanılan çizgisel olmayan yaklaşımları bize sunar.
Karmaşıklığın ve karmaşanın içerisindeki düzen olarak bilinen kaosun doğal geometriye yansıttığı şekiller fraktal olarak adlandırılmıştı. Bu iki kavramın birçok ortak noktası vardır. Bu alanlarda yapılan öncü keşifler bilgisayarlar yardımıyla kolaylıkla anlaşılabilmektedir. Bu alanlarda kullanılan yeni yöntemler; terminolojiye, ekolojiye, iklimsel olaylara ve birçok evrensel problemlere daha etkin çözümler sunmaktadır.
Fraktal uzaydaki bir nesnedir. Bu nesne sonsuz sayıdaki sonsuz küçük parçadan oluşur. Kendine benzerdir yani küçük parçalar büyük parçanın küçültülmüş bir kopyasıdır. Bazı fraktallar için küçük parçalar büyük parçaların birebir kopyasıdır. Doğadaki birçok fraktal örneğinde küçük parçalar büyük parçaların benzeridir. Ağaç bir fraktal gibidir; birçok sayıda küçük dalı vardır. Ayrıca bir fraktal zaman içindeki bir işlem de olabilir. Olabildiğince küçük çoklukların kararsızlığı olabildiğince çok sayıdadır. Fraktal, deneysel verilerden oluşan sayılardan kurulmuş bir küme de olabilir.
Çizgisel olmayan sistemleri tanımlamak için seçilen bir başka kelime de kaos kelimesidir. Karmaşık sonuçların çok karmaşık sistemlerin sonucu olması gerektiği düşünülürdü. Kaos bazı çizgisel olmayan ancak çok basit olan sistemlerin de karmaşık sonuçlar doğurması anlamına gelir. Bu sistemlerin şaşırtıcı özelliği kısa süreler içinde sistemin değerlerinin tahmin edilebilir olmasına karşın uzun süreler içinde sistem değerlerinin tahmin edilemez olmasıdır.
15
2.3. Fraktal Türleri ve Üretim Yöntemleri
Fraktalların yapılarını oluşturan ve kaos teorisinin bir parçası olarak gündeme gelmesini sağlayan temel özelliklerinden olan kendine benzerlik, tekrarlar sonucu oluşma ve başlangıç durumuna duyarlılık, matematik, fizik, astronomi, biyoloji, mimarlık, resim, ekonomi ve doğa gibi kaotik özellik gösterebilen birçok bilim alanında görülen özelliklerdir. Bu alanlarda var olan dinamik sistemlerin, çizgisel olmayan sistemlerin, ölçekten bağımsız oluşumların ve karmaşık şekillerin yapısında çeşitli fraktal kurgular görülmektedir. Dolayısıyla bu bilim dallarına ait çeşitli problem alanlarına ait çözümlemelerde de fraktallardan ve fraktal geometriye ait temsil biçimlerinden yararlanılmıştır. Birçok bilim dalını kapsayan bu çeşitlilik içerisinde farklı sınıflara ait birçok fraktal türünden yararlanılmış ve bu türlerin oluşturulmasına yönelik fraktal üretim yöntemleri kullanılmış ve yeni yöntemler geliştirilmiştir.
Fraktal türlerine yönelik en temel sınıflandırma; Mandelbrot’a göre doğanın geometrisi olan fraktalların doğada göründükleri oluşumlara ve doğadaki oluşumlardaki kural ve diziliş özelliklerinden yararlanılarak insan eliyle yapılan fraktal grafiklere göre olan sınıflandırmadır. Bu sınıflandırmaya göre fraktallar, doğal fraktallar ve yapay fraktallar olarak iki ana gruba ayrılmaktadır. Belirtilen her iki sınıflandırmada da insan eliyle üretilen fraktalların oluşturulmasında çeşitli üretim yöntemleri kullanılmaktadır. Bu yöntemlerden bazıları matematiksel denklemlere dayanmaktadır. Bazı yöntemlerde ise geometrik şekillerden ve bu şekillere uygulanan dönüşüm kurallarından yararlanılmaktadır. Gerek matematiksel kurallar gerekse dönüşüm kuralları ile fraktalların üretilmesinde en önemli faktör tekrardır. Biçim yapılarının bir alt kümesi olarak da tanımlanan fraktallar, çevrimli algoritmalar yardımıyla günümüzde bilgisayar destekli modellerle de oluşturulabilmektedir[15].
2.3.1. Doğal Fraktallar
Doğadaki oluşumların ve nesnelerin gerek fiziksel, gerek kimyasal gerekse de biyolojik yapılarında tekrar ve tekrarlar sonucu oluşan kendine benzerlik özelliği dolayısıyla fraktal nitelik bulunmaktadır. Doğal fraktallar olarak adlandırılan bu oluşumlarda üç veya dört çevirime kadar kendine benzerlik özelliği görülmektedir. Yeryüzü şekillerinin düzensiz, girintili çıkıntılı ve Euclid geometrisi ile tam olarak tanımlanamayan formları doğal fraktalların en çok bilinen öneklerindendirler. Dağların, nehirlerin, kıyıların şekilleri incelendiğinde, tüm bu oluşumların geometrik yapılarının
16
tekrarlar sonucu oluşan karmaşık formlar olduğu görülmektedir. Bir sıradağ kütlesi incelendiğinde her bir dağ kütlesini oluşturan birbirine benzer girinti ve çıkıntılar görülmektedir. Ölçek küçültüldüğünde görülen dağ yüzeyindeki küçük bir çıkıntının geometrik biçiminin dağın geometrik biçimine benzer olduğu görülür.
Denizlerde ve göllerdeki dalgaların oluşturduğu yüzeyler de tıpkı dağlarda olduğu gibi girintili çıkıntılı bir görüntü oluşturmaktadır. Deniz yüzeyinin üzerindeki bu pürüzlü görüntü yüzeye daha yakından bakıldığında da görülmektedir. Aynı şekilde nehirlerin formlarına bakıldığında belli bir noktadan başlayan çatallanmalar ve bu çatallanmaların oluşturduğu karmaşık formlar görülmektedir. Bu çatallanmalar ile oluşan nehir kollarının nehrin kendisine benzeyen şekiller olduğu görülmektedir. Nehirler üzerindeki şelalelerde de aynı özellik görülmektedir. Suyun kayalara çarpması ile çatallanmalar oluşmakta ve su daha da küçük kayalara çarptıkça yüzeyde daha çok çatallanma oluşmakta ve bu çatallanmalar da şelalenin ana kurgusuna benzer kurgular oluşturmaktadır.
Ağaçlar, kendine benzerlik özelliğinin ve aynı formun tekrarının yoğun olarak görüldüğü doğal nesnelerdir. Bir ağacın toprak üstündeki kısmı olan dalları ve toprak altında kalan kısmı olan kökleri çatallanmalar sonucu oluşan karmaşık geometrik yapılara sahiptirler.
Yaprakların üzerindeki damarların kurgusunda da tekrar ve kendine benzerlik özelliği görülmektedir. Yaprağın ortasındaki ana damar kollara ayrılmaktadır. Daha sonra da bu kollar kendilerine benzer daha küçük kollara ayrılmaktadır.
2.3.2. Yapay Fraktallar
Kaos teorisiyle birlikte bilim adamlarının doğadaki dinamik sistemlerin oluşumlarını ve durumlarını tanımlamada çeşitli denklemler yardımıyla oluşturdukları şekiller ve doğadaki fraktal kurguların analiz edilmesiyle ortaya çıkan yapılanmalar yapay fraktallar olarak adlandırılmaktadırlar. Çeşitli matematiksel denklemler ve bir başlangıç biçimine uygulanan dönüşüm kuralları ile oluşturulmaktadırlar. Her iki oluşum yönteminde de sonsuz tekrar söz konusudur. Bu nedenle sonuç ürün kendine benzer bir yapıya sahiptir. Fraktal geometriyle, üretilen basit bir biçim tekrar eden algoritmik bir yapıyla sonuçta karmaşık bir yapıya dönüşmektedir.
Yapay fraktallar oluşumlarına ve sahip oldukları kendine benzerlik özelliğine göre çeşitli gruplara ayrılmaktadırlar. Oluşumlarına göre yapay fraktallar, düzenli ve düzensiz fraktallar olarak ikiye; kendine benzerlik özelliklerinin derecesine göre de kesin kendine
17
benzerlik, yarı kendine benzerlik ve istatiksel kendine benzerlik gösteren fraktallar olarak üçe ayrılmaktadırlar.
2.3.2.1. Düzenli Fraktallar ve Üretim Yöntemleri
Düzenli fraktallar, belirlenmiş bir kural algoritmasının tekrarlanması ya da belirlenen bir noktanın matematiksel bir denklemde kullanılması ve elde edilen sonucun tekrar bu denklem içinde kullanılması ile üretilen fraktallardır. Düzenli fraktallar genellikle belirgin bir kendine benzerlik özelliğine sahiptirler. Üretilmeleri sırasında belirli bir başlangıç biçimine yani üreticiye bir kural algoritmasının birden fazla tekrar ile uygulandığı düzenli fraktallar çizgisel fraktallar olarak adlandırılmaktadırlar. Çizgisel fraktalların üretilmeleri sırasında matematiksel yöntemler kullanılmaktadır. Belirlenen bir noktanın koordinatlarının bir formül içinde kullanılması ile oluşturulan düzenli fraktallara noktasal fraktallar adı verilir. Düzenli fraktallar:
(i) Gerçek Matematiksel fraktallar,
(ii) Yinelenen Fonksiyon Sistemi ile oluşturulan fraktallar, (iii) L-Sistemleri - Lindenmayer-Sistemi ile oluşturulan fraktallar, (iv) Kaotik Fraktallar,
(v) Garip Çekiciler olarak sınıflandırılırlar.
2.3.2.2. Gerçek Matematiksel Fraktallar
Her ne kadar fraktal terimi yirminci yüzyılın sonlarına doğru ortaya çıkmış ve birçok bilim dalında fraktal nitelik gösteren oluşumlara rastlanmış olsa da fraktallar, bu kavram ortaya atılmadan çok önce birçok matematikçinin çalışmalarında yer almıştır. İsveçli matematikçi Helge von Koch tarafından 1904 yılında tanımlanan Koch eğrisi, Georg Cantor tarafından 1872 yılında oluşturulan Cantor seti, Polonyalı matematikçi Waclaw Sierpinski tarafından 1915 yılında oluşturulan Sierpinski üçgeni ve Sierpinski halısı ve İtalyan Matematikçi Giuseppe Peano’un 1890 yılında oluşturduğu alan dolduran eğri olarak da tanımlanan Peano eğrisi bilim dünyasında “fraktal” kelimesi bilim dünyasına girmeden önce ortaya atılan fraktal nitelik gösteren oluşumlardan bazılarıdır[15].
Gerçek Matematiksel fraktallar olarak da adlandırılan bu fraktallar, bir başlangıç biçimi, üretici ve basit kurallar yardımıyla çizgisel şekillerde oluşturulurlar. Hiçbir zaman çok karmaşık değildirler. Kendine benzerlik özelliği gösterirler. Üretilen biçimin her parçası başlangıç biçiminin küçültülmüş bir kopyasıdır. Bir önceki aşamadaki sonuç ürün
18
bir başka deyişle çıktı, bir sonraki aşamadaki ürünün girdisidir. Dolayısıyla kesin bir başlangıç biçimine duyarlılık söz konusudur.
2.3.2.2.1. Cantor Seti
Başlangıç biçimi düz bir çizgidir. Bu çizginin üç eşit parçaya bölünüp, ortadaki çizginin çıkarılmasıyla üretici biçim oluşturulur. Daha sonraki çevrimde oluşan her iki çizgi üç eşit parçaya bölünür ve üretici biçimde olduğu gibi ortadaki çizgi çıkarılır. Kuralın birkaç çevrim daha uygulanması ile Cantor Seti oluşur. Çevrim sayısının sonsuza yaklaşmasıyla çizgilerin yerini noktalar kümesi alır.
2.3.2.2.2. Koch Eğrisi
Başlangıç biçimi düz bir çizgidir. Bu çizginin üç eşit parçaya bölünüp ortadakinin çıkarılarak yerine bir eşkenar üçgen koyulması ve bu eşkenar üçgenin taban kenarının kaldırılmasıyla üretici biçim oluşturulur. Sonraki aşamalarda her bir çizgi için aynı işlem yapıldığında Koch Eğrisi oluşturulur.
2.3.2.2.3 Sierpinski Üçgeni
Sierpinski Üçgeni kendine benzer matematiksel kümelerin en bilinen örneklerinden biridir (Şekil 2.10). Başlangıç biçimi bir eşkenar üçgendir. Bu üçgenin kenarlarının ortalarının işaretlenmesi ve bu noktaların birleştirilmesi ile dört benzer eşkenar üçgen oluşturulur. Ortadaki üçgenin çıkarılması ile üretici oluşturulur. Uygulanan bu kuralın yeni oluşan eşkenar üçgenlere uygulanması ile fraktal şekil oluşur[16].
19
2.3.2.2.4. Sierpinski Halısı
Sierpinski Üçgenin oluşturulmasında kullanılan kuralın algoritmasına benzeyen bir algoritmayla oluşturulur (Şekil 2.11). Başlangıç biçimi olan kare, bu kare içine yerleştirilen dokuz eşit kareden ortadakinin çıkarılmasıyla oluşan üretici ile yer değiştirir. Kural algoritması sonsuz çevrime kadar devam ettirilebilir[17].
Şekil 2.11. Sierpinski Halısı
2.3.2.3. Kaotik Fraktalları Oluşturma Yöntemi
Karmaşık sayılı fraktallar olarak da adlandırılırlar. Parçaları, çözümü karmaşık sayılar olan basit bir matematiksel denklem ile oluşturulur. Kaos teorisi ile ilişkilendirilirler. Grafik ifadelerinde bilgisayar ekranı üzerindeki her noktanın bir karmaşık sayıya denk geldiği düşünülür. Belirlenen bir başlangıç sayısı matematiksel bir denklem içinde kullanılır. Sonuç sayı tekrar bu denklemde yerine koyulur. Belirli bir tekrardan sonra iki farklı sonuç çıkar. İlki sonucun sonsuza gitmesidir. İkincisi ise sonucun belirli bir sayı değerine ulaşması ya da periyodik olarak belirli sayılar arasında gidip gelmesi ile tanımlanan sabit nokta durumuna ulaşmasıdır. Bu iki duruma göre başlangıç noktası belirlenen bir renk ile işaretlenir. Tüm bu işlemler sırasında ekran üzerinde bir grafik oluşur. En çok bilinen örnekleri Mandelbrot Kümesi ve Julia Kümesi’dir.
2.3.2.3.1. Mandelbrot Kümesi
Z(n+1)=Zn+c denklemi ile oluşturulur. Oluşturulması sırasında başlangıç sayısı sabit nokta durumuna gelirse Mandelbrot Kümesi’nin bir parçası olarak kabul edilir ve siyah renk ile işaretlenir (Şekil 2.12). Eğer başlangıç sayısı sonsuza yaklaşırsa kaç tekrar sonucu sonsuza yaklaştığı dikkate alınarak daha önceden belirlenen başka bir renk ile işaretlenir[18].
20
3. TEORİK MODEL VE DENKLEMLER
Bu çalışmada fraktal teorisine bağlı olarak birçok model gözenekli ortamda oluşturulmuştur. Gözenekli ortamın yapısını temsil eden fraktal modelde yatışkın durumda iletimle iki boyutlu ısı transferi incelenmiştir ve bunun sonucunda etkin ısı iletim katsayısı teorik olarak belirlenmiştir. Gözenekli ortamdaki etkin ısı iletim katsayısı katının ve akışkanın ısı iletim katsayılarına, gözenek oranına, gözenek büyüklüğüne ve dağılımına bağlı olarak incelenmiştir. Gözenekli ortamların fraktal simülasyonu yapılarak gerçeğe daha yakın bir model geliştirmek ve ayrıca iletim olaylarında geliştirilen matematiksel model kullanılarak literatürdeki deneysel olarak elde edilen formüllerle sonuçları karşılaştırmak ve daha verimli sonuçlar elde etmek amaçlanmıştır. Çalışmada gözenekli ortamın yapısını temsil eden her bir fraktal yapı bir programlama dilinde yazılarak oluşturulmuştur.
Laplace Denklemine göre etkin ısı aktarım katsayısı sabit kabul edilmektedir. Ancak fraktal yapılarda hem gözeneklilik hem de gözeneklilik boyutu değiştiğinden matematiksel model bu duruma göre geliştirilmiştir.
k + k = 0 (3.1)
Isı iletim katsayısı (k), eşitlik (3.1)’de verilen Laplace denkleminde kullanılmaktadır. Fraktal modellerde gözeneklilik (ε) teorik olarak belirtilen (3.2) denklemine göre yazılmıştır. Buradaki n doğal sayıları, a modeldeki katı oranını, b× b modelin birim alanını göstermektedir. Aşağıdaki verilen (3.3) denklemi literatürde kullanılan ampirik denklem, (3.4) ve (3.5) denklemleri ise teorik olarak geliştirilmiş paralel (kefp) ve seri (kefs) model denklemleridir. Burada kf durgun akışkanın ısı iletim katsayısını, ks katının ısı iletim katsayısını belirtmektedir.
(3.4) (3.2) (3.3) 1 a b2
n keff n( ) kf( )n ks(1( )n ) kefp n( ) kf( )n ks 1( ( )n )21
(3.5)
Fraktal modellerde hem seri hem de parallel modellerde elde edilen (3.4) ve (3.5) eşitlikleri
yardımıyla geliştirdiğimiz (3.6) eşitliği aşağıda verilmiştir.
3.1. Laplace Denkleminin Sabit Koşullarda Analitik Çözümü
Çözüm için sunulan başlangıç şartları aşağıda belirtilmiştir. Aşağıda belirtilen T herhangi bir konumdaki sıcaklığı, Th (30℃) sıcak yüzeyin sıcaklığını, Tc (10℃) ise soğuk yüzeyin sıcaklığını göstermektedir.
T(0,y) = Th ve Ф(0,y) = 1 T(a,y) = Tc ve Ф(a,y) = 0 T(x,0) = Th ve Ф(x,0) = 1 T(x,b) = Tc ve Ф(x,b) = 0
Ф(x,y) = (T-Tc)/(Th-Tc) (3.7) Laplace denkleminde (3.1) ısı iletim katsayısı sabit kabul edilmiştir. Gerekli
boyutsuzlaştırma (3.7) eşitliği ile yapılarak çözüme gidilmiştir. X(xx).Y(y) + X(x).Y(yy) = 0 (3.8)
X ve Y kendi aralarında düzenlenerek ʎ’ya eşitlenerek aşağıda (3.9) ve (3.10) çözüm denklemlerine ulaşılmıştır.
X(x) = c1.cos(ʎx) + c2.sin(ʎx) (3.9) Y(y) = c3. ʎ + c4. ( ʎ ) (3.10) Boyutsuz sıcaklık cinsinden Laplace denkleminin genel çözümü aşağıdaki (3.11)’ e göre düzenlenmiştir.
Ф(x,y) = (c1.cos(ʎx) + c2.sin(ʎx))( c3. ʎ + c4. ( ʎ )) (3.11) Ф(0,y) = 1 sınır şartı (3.11)’de genel denkleme uygulanırsa:
Ф(0,y) = c1.cos(ʎ.0) + c2.sin(ʎ.0) = 1 olmak şartıyla c1 = 1 bulunur.
Ф(x,0) = 1 sınır şartı yine (3.11) denklemine göre düzenlenirse (3.12) elde edilir.
1cos(ʎx) + c2.sin(ʎx))( c3.1 + c4.1) = 1 (3.12) (3.6) kefs n( ) 1 ( )n kf 1 ( )n ( ) ks k n( ) 2 ( )n kf 1 ( )n ( ) ks
1 ( ) kfn (1( )n ) ks 22
c3 + c4 = 1 olmak zorundadır. Bulunan sabitler genel denklem (3.11)’de yerine yazılırsa: Ф(x,y) = (cos(ʎx) + c2.sin(ʎx))( (1- c4) ʎ + c4. ( ʎ )) (3.13) Ф(x,b) = 0 sınır şartı elde edilen genel denklemde (3.11)’de yerine yazılırsa:
Ф(x,b) = 0 = ((1- c4) ʎ + c4. ( ʎ )) (3.14) c4 =
ʎ
ʎ
Son sınır şartı da genel denklem (3.11)’e yazılarak eşitlikler düzenlenirse:
Ф(a,y) = 0 = cos(ʎa) + c2.sin(ʎa) (3.15) c2 = 0 olmak zorundadır. cos(ʎa) = 0 için n = 0, 1, 2, 3, … ʎa = ( ) ve ʎ = ( ) Ф(x,y) = (cos(ʎx))( (1- ʎ ʎ ) ʎ + ( ʎ ʎ ) ( ʎ )) (3.16)
Bulunan sabitler (3.16) numaralı eşitlikte yerine yazılmıştır. Buradaki boyutsuz sıcaklık yerine (3.5) kullanılarak ve sabitler yerine yazılarak düzenlemeler yapılırsa aşağıdaki genel çözüm elde edilmiş olur.
T x y( n) Tc (Th Tc) cos 2 n 1 2 x 1 e 2 n 1 ( ) e(2 n 1) 1 e 2 n 1 2 y e 2 n 1 ( ) e(2 n 1) 1 e 2 n 1 2 (3.17) Aşağıdaki grafikte y = 0.01 ve n = 0 için x’e göre sıcaklık dağılımı verilmiştir (Şekil 3.1).
Şekil 3.1. Sabit koşullarda analitik çözüme göre sıcaklık profilindeki değişim
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
10
15
20
25
30
T x y
(
)
x
23
3.2. Laplace Denkleminin Analitik Çözümü
Laplace Denkleminde etkin ısı iletim katsayısı (k = aT + b) sıcaklığın bir fonksiyonu olarak verilmiştir. Buradaki çözümde farklı sınır şartları kullanılmıştır.
T(x,0) = sin(πx), T(0,y) = sin(πy)
T(a,y) = T(x,b) = yalıtılmış ise analitik çözüm aşağıdaki gibi bulunur Aşağıdaki şekilde sınır şartları belirtilmiştir (Şekil 3.2).
Şekil 3.2. Analitik çözüm için model sınır şartları
( , ) = (Sin[ ]) + [ ]( ( ) [ ]) + (2 (2 (−1 +
)Cos[2 ] + Sin[ ]) − Sin[ ]( (−1 + )(−12 + ) + (−1 + )(12 −
5 + 8 )Cos[2 ] + 4 (6 − + )Sin[ ])) + (2160 − 3240 − 1440 + 2160 − 1080 − 600 − 360 + 1350 − 750 + 31 + 28 − 173 − 32 + 254 − 112 + 4 ( (360 + 210 + (−31 + 32 ) ) + (−1 + )(720 − 42 + 40 − 120 (3 + 2 ) + 15 (24 + 30 + )))Cos[2 ] − (−1 + )(720 − 218 + 240 − 360 (1 + ) +
(360 + 1050 + 29 ))Cos[4 ] + 4320 Sin[ ] − 4320 Sin[ ] +
4320 Sin[ ] − 1920 Sin[ ] + 2220 Sin[ ] +
118 Sin[ ] + 8 Sin[ ] − 326 Sin[ ] +
208 Sin[ ] − 1440 Sin[3 ] + 1440 Sin[3 ] −
1440 Sin[3 ] + 1440 Sin[3 ] − 1860 Sin[3 ] −
24
Şekil 3.3. Analitik çözüme göre sıcaklık profilindeki değişim
Numerik çözümde elde edilen eşitliğe göre y = 0 değerinde sıcaklık dağılımı gösterilmiştir (Şekil 3.3).
(3.19)
Yukarıdaki (3.19) eşitliği sadeleştirilip düzenlenirse aşağıdaki (3.20) elde edilir.
(3.20)
2
0 1 2 1 , , 1 , , 1 , 1 , , 1 , 1 , 1 , 2 , 1 , , 1 , 1 , , 1 , 1 , 1 , , 2 i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j T k k k T k k T k k y T k k k T k k T k k x
1, , 1,
, 1 , , 1
, 1 , , 1 , 1 , 1 , 1 , , 1 , 1 , 1 , , , 2 2 i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j k k k k k k T k k T k k T k k T k k TLaplace denkleminde sonlu farklar yöntemi kullanılarak çözüm yapılmıştır. Aşağıdaki varsayımlara göre çözüme gidilmiştir.
∆x ve ∆y eşit uzunlukta alınmıştır.
Buradaki çözümde modelin yanları yalıtılmış, alt (Th = 30℃) ve üst (Th = 10℃) tarafına farklı sıcaklıklar uygulanmıştır.
Isı iletim katsayısı (kj,i) ilk çözümde sabit kabul edilmiştir (Şekil 3.5).
Isı iletim katsayısı (kj,i) ikinci çözümde ise sabit olmadığı durum için çözüm yapılmıştır (Şekil 3.6).
3.3. Laplace Denkleminin Sonlu Farklar Yöntemine Göre Çözümü
0.1
0.12 0.14 0.16 0.18
0.2
0
0.05
0.1
0.15
0.2
T x y( ) x25
Şekil 3.4. Laplace denkleminin sonlu farklar yöntemine göre yazılan algoritması
Sonlu farklar yöntemine göre etkin ısı iletim katsayısı sabit olduğu durum için (Şekil 3.5) ve sabit olmadığı durum için (Şekil 3.6) modelin her iki yanı yalıtılmış alt ve üst taraflarına farklı sıcaklıklar uygulanarak sıcaklık profilinin değişimi aşağıda görülmektedir.
Şekil 3.5. Laplace eşitliğindeki ısı iletim katsayılarının sabit olduğu durumda sıcaklık profili
T TTb ortj i kj 1 i kj i
Tj 1 i
kj i kj 1 i
Tj 1 i kj i kj i 1
Tj i 1
kj i kj i 1
Tj i 1 kj 1 ikj 1 i 4 k j i kj i 1 kj i 1 j1 jmax 1 for i1 imax 1 for T0 i T2 i Tjmax 2 i Tjmax i Tj i ortj i j1 jmax 1 for i1 imax 1 for i0 n for T T T26
Şekil 3.6. Laplace eşitliğindeki ısı iletim katsayılarının sabit olmadığı durumda sıcaklık profili
3.4. Laplace Denkleminin Tam Çözümü
Eğer etkin ısı iletim katsayısı sıcaklığın fonksiyonu ise (3.22) Laplace eşitliği (3.21) düzenlenerek (3.23) elde edilir. Buradaki a ve b deneysel sabitlerdir.
k + k = 0 (3.21)
k = aT +b (3.22) (aT + b) + (aT + b) = 0 (3.23)
(3.23) eşitliğinde kısmi türevler alınarak denklem düzenlenirse (3.24) elde edilir.
a + (aT + b) + a + (aT + b) = 0 (3.24)
(3.24) eşitliğinde benzer ifadeler paranteze alınıp düzenlemeler yapılırsa (3.25) ifadesi elde edilir. Burada denkleme uygun kısaltmalar yapılmıştır.
b(Txx + Tyy) + a(Tx2 +Ty2) + a( T.Txx + T.Tyy) = 0 (3.25) ε = x + wy değişken değişimi (3.25) eşitliğinde yapılarak sıcaklığa göre kısmi türevler düzenlenirse (3.26) elde edilir. Burada yine uygun parantez işlemleri alınarak (3.26), (3.27), (3.28) ve (3.29) eşitlikleri bulunur. b(Tεε + w2Tεε) + a(Tε2 +(wTε)2) + a( T.Tεε + w2T.Tεε) = 0 (3.26) bTεε(1+w2) + a Tε2(1+w2) + aT Tεε(1+w2) = 0 (3.27) bTεε(1+w2) + a(1+w2)( Tε2 + T Tεε) = 0 (3.28) bTεε(1+w2) + a(1+w2)(TTε)ε = 0 (3.29) T T
27
(3.29) denklemi düzenlenerek ε’ na göre integral alınırsa (3.30) eşitliği ve ikinci bir integral alınarak denklem düzenlenirse (3.31) ifadesi bulunur.
bTε(1+w2) + a(1+w2) (TTε)/2 + c1 = 0 (3.30) bT(1+w2) + a(1+w2) (T2)/2 + c1ε + c2 = 0 (3.31) (3.31) numaralı denklemde iki tam çözüm aşağıda (3.32) ve (3.33)’de elde edilmiştir.
(1 + ) + (1 + ) 2 + c1( + ) + c2 = 0
T =
( ) ( )( ) ( ) (3.32)T =
( ) ( )( ) ( ) (3.33)Su için a ve b deneysel sabitleri literatürden bulunarak tam çözümdeki (3.33) ile sıcaklık dağılımı (T℃) aşağıdaki grafikte ifade edilmiştir (Şekil 3.7).
Şekil 3.7. Su için tam çözümde bulunan sıcaklık dağılımı
0
0.5
1
1.5
2
0
1
2
3
T
x y
28
Kum taşı için a ve b deneysel sabitleri literatürden bulunarak tam çözüm (3.33) eşitliği yardımıyla sıcaklık dağılımı (Kelvin) aşağıdaki grafikte ifade edilmiştir (Şekil 3.8).
Şekil 3.8. Kum taşı için tam çözümde bulunan sıcaklık dağılımı
Şekil 3.9. Kum taşı için bulunan sıcaklık değerleri ile etkin ısı iletim katsayısının değişimi
0
0.5
1
1.5
2
273
273.5
274
274.5
275
275.5
T x y 273 273.5 274 274.5 275 275.5 2.236 2.237 2.238 2.239 2.24 2.241 2.242 keff T( ) T29
3.5. Fraktal Modellerin Teorik Olarak Üretimi ve Gözeneklilik 3.5.1. L Fraktalının Gözenekliliği
Şekil 3.10. L Fraktalı
i) Bölünme sayısı: n = 0…40
ii) Durgun akışkanın ısı iletim katsayısı: kf = 2W/m.K iii) Katının ısı iletim katsayısı: : ks = 10W/m.K
iv) Gözeneklilik:
Etkin ısı iletim katsayısı deneysel formül ile:
v) Paralel model kullanarak:
vi) Seri model kullanılarak: ( )n 1 20 25
n keff n( ) kf( )n ks(1( )n ) kefp n( ) kf( )n ks 1( ( )n ) kefs n( ) 1 ( )n kf 1 ( )n ( ) ks 30
vii) Fraktal modellerde geliştirdiğimiz teorik eşitlik:
Şekil 3.11. L Fraktalının gözenekliliğe göre model denklemlerdeki etkin ısı iletim katsayıları ile karşılaştırılması
L Fraktalı için gözeneklilik ile etkin ısı iletim katsayısının değişimi, paralel modele (kefp(n)) göre n bölünme sayısı arttıkça gözeneklilik de artmaktadır. Deneysel formül (keff(n)) ve teorik eşitlik (kL(n)) ile tutarlı sonuç vermektedir. Seri model (kefs(n)) ise gözenekliliğin en hızlı arttığı eşitliktir (Şekil 3.11).
k n( ) 2 ( )n kf 1 ( )n ( ) ks
1 ( ) kfn (1( )n ) ks 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 2 4 6 8 10 k eff n( ) k efs n( ) k efp n( ) k L n( ) ( )n31
3.5.2. T Fraktalının Gözenekliliği
Şekil 3.12. T Fraktalı
Şekil 3.13. T Fraktalının gözenekliliğe göre model denklemlerdeki etkin ısı iletim katsayıları ile karşılaştırılması
T Fraktalı için gözeneklilik ile etkin ısı iletim katsayısının değişimi, paralel modele (kefp(n)) göre n bölünme sayısı arttıkça gözeneklilik diğer modellerden daha yavaş artış göstermektedir. Deneysel formül (keff(n)) ile teorik eşitlik (kT(n)) tutarlı sonuç vermektedir. Seri model (kefs(n)) ise gözenekliliğin en hızlı değiştiği eşitliktir (Şekil 3.13).
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 2 4 6 8 10 k eff ( )n k efs n( ) k efp n( ) k T n( ) ( )n
32
3.5.3. H Fraktalının Gözenekliliği
Şekil 3.14. H Fraktalı
Şekil 3.15. H Fraktalının gözenekliliğe göre model denklemlerdeki etkin ısı iletim katsayıları ile karşılaştırılması
H Fraktalı için gözeneklilik ile etkin ısı iletim katsayısının değişimi, paralel modele (kefp(n)) göre n bölünme sayısı arttıkça gözeneklilik diğer modellerden daha yavaş artmaktadır. Deneysel formül (keff(n)) ile teorik eşitlik (kH(n)) tutarlı sonuç vermektedir. Seri model (kefs(n)) ise gözenekliliğin en hızlı değiştiği eşitliktir (Şekil 3.15).
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 2 4 6 8 10 k eff ( )n k efs n( ) k efp n( ) k H n( ) ( )n
33
3.5.4. K Fraktalının Gözenekliliği
Şekil 3.16. K Fraktalı
Şekil 3.17. K Fraktalının gözenekliliğe göre model denklemlerdeki etkin ısı iletim katsayıları ile karşılaştırılması
K Fraktalı için gözeneklilik ile etkin ısı iletim katsayısının değişimi, paralel modelde (kefp(n)) diğer modellere göre daha yavaş artmaktadır. Deneysel formül (keff(n)) ile teorik eşitlik (kK(n)) uyumlu sonuçlar vermektedir. Seri modelde (kefs(n)) ise gözenekliliğin diğer modellere göre en hızlı değiştiği görülmektedir (Şekil 3.17).
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 2 4 6 8 10 k eff ( )n k efs n( ) k efp n( ) k K n( ) ( )n
