Diferansiyel denklemlerin çözümlerinin asimptotik davranışı va kararlılığı / Asymptotic behaviour and stability of solutions of differential equations

1. TEMEL TANIM VE EŞİTSİZLİKLER

Fizik, mühendislik ve bir çok bilim dallarında karşılaşılan problemleri çözmek için önce problemler matematiksel ifadelerle formüle edilir. Matematiksel modelleri kurulan problemlerin daha sonra uygun teknik ve yöntemlerle çözümleri araştırılır. Bu kısımda, genel tanımını vereceğimiz diferensiyel denklemler teorik ve pratik açıdan oldukça önemli olup tüm bilim dallarında çok geniş uygulama alanlarına sahiptir [1-4]. Diferensiyel denklemler tanımını vermeden önce analiz derslerinden bildiğimiz adi ve kısmi türevleri kısaca verelim.

x

bağımsız değişken, y de bu bağımsız değişkene bağlı bir değişken yani bağımlı değişken olsun. Bu durum y = f(x) olarak yazılır. y ifadesinin bağımsız değişkenlere göre çeşitli mertebeden adi türevleri

dx dy y ≡′ , ₂ 2 dx y d y ≡′′ , … ile gösterilir.

x

ve ybağımsız değişkenler, z de bu bağımsız değişkenlere bağlı bir değişken olsun. Bu durum z = f(x,y) olarak yazılır. z ifadesinin bağımsız değişkenlere göre çeşitli mertebeden kısmi türevleri

x z z_x ∂ ∂ ≡ , y z z_y ∂ ∂ ≡ , 2 2 x z z_xx ∂ ∂ ≡ , …

şeklinde ifade edilir.

Tanım 1.1.

Bir bağımlı değişkenin, bir veya daha fazla bağımsız değişkene göre çeşitli mertebeden türevlerini ihtiva eden bir denkleme diferensiyel denklem adı verilir.

Tanım 1.2.

Bir bağımlı değişkenin, bir tek bağımsız değişkene göre çeşitli mertebeden (adi) türevlerini içeren diferensiyel denkleme adi türevli diferensiyel denklem denir. Bir diferensiyel denklemin mertebesi, denklemde görülen en yüksek mertebeden türevin mertebesidir. n. mertebeden adi diferensiyel bir denklem genel olarak,

F(x,y,y′,...,y(n))=0 (1.1) kapalı şekilde gösterilebilir [5]. Bir a<x<b aralığında tanımlı

φ

fonksiyonu a<x<b

_F(_x,

φ

(_x),

φ

′(_x),...,

φ

(n)(_x))₌0 _(1.2)

ise

φ

fonksiyonuna (1.1) denkleminin çözümüdür denir. Bir adi diferensiyel denklemin genel çözümü, diferensiyel denklemin mertebesi kadar sabit değeri parametre olarak kabul eden bir eğri ailesi olarak ortaya çıkar. Genel çözümdeki keyfi sabit veya sabitlerin belirli değerleri için elde edilen çözüme adi diferensiyel denklemin özel çözümü denir [6].

Tanım 1.3.

Bir bağımlı değişkenin, en az iki bağımsız değişkene göre kısmi türevlerini içeren denkleme kısmi türevli diferensiyel denklem denir.

) , , , (x y z t u

u = fonksiyonu x,y,z ve t bağımsız değişkenleriyle bir D bölgesinde

tanımlı bir fonksiyon olsun. u fonksiyonunun x,y,z ve t değişkenlerine göre kısmi türevlerini içeren .n mertebeden bir kısmi diferensiyel denklem genel olarak,

{

)

0

,...,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

(

tan ... , ,

=

− e n t ttt xy tt zz yy xx t z y x

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

t

z

y

x

F

(1.3) şeklinde gösterilir.

Bir kısmi diferensiyel denklemdeki değişkenler Γ sınırına sahip bir D bölgesinde tanımlanır. t zaman değişkeni olmak üzere

t

₁

<

t

<

t

₂ aralığında ve D bölgesinde (x,y,z)

noktasında

ϕ

fonksiyonu n mertebeye kadar türevleri sürekli ise .

ϕ

=

ϕ

(x,y,z,t)

fonksiyonuna n mertebeden kısmi diferensiyel denklemin çözümüdür denir [7]. Kısmi . diferensiyel denklemin genel çözümü, denklemin mertebesi kadar keyfi fonksiyon içerir ve çözümleri bir yüzey ailesi olarak ortaya çıkar. Bundan dolayı, adi türevli diferensiyel denklemlere kıyasla kısmi diferensiyel denklemlerin çözümlerini bulmak daha zordur. Bir kısmi diferensiyel denklemin özel çözümünün bulunması için bazı yardımcı şartlar gerekir. Bu şartlar genel olarak iki başlık altında toplanabilir.

)

(i Sınır şartları: Sınırlı bir D tanım bölgesinde, bir fiziksel olayın matematiksel durumunu kontrol eden bir kısmi diferensiyel denklemde u bağımlı değişkeni D tanım bölgesinin sınırında yazılır. Yani sınır şartları kısmi diferensiyel denklemin sağlandığı D bölgesinin Γ sınırı boyunca sağlanması gereken şartlardır. Sınır şartlarını aşağıda tanımlanan üç farklı şekil ile verebiliriz:

a) Dirichlet Sınır Şartları:

Bu durumda, u fonksiyonu D bölgesinin Γ sınırı üzerinde yazılır. 0< x <l olmak üzere l uzunluğundaki bir çubuk için sınır şartları

α

ve

β

olmak üzere u(0)=

α

, u(l)=

β

şeklinde tanımlanır.

1

0

<

x <

l

ve 0< y <l₂ olmak üzere bir dikdörtgensel tabak için sınır şartları

1

) , 0

( y =α

u , u(l₁,y)=α₂,

u

(

x

,

0

)

=

β

₁ ve u(x,l₂)=β₂ olarak yazılır. Eğer u bağımlı değişkeni sınırlar üzerindeki herhangi bir noktada sıfır ise sınır şartları homojen olarak adlandırılır. Aksi halde homojen değildir.

b) Neumann Sınır Şartları:

Bu durumda, sınır şartları u nun normalleri boyunca yani u nun türevinde yazılır. l

uzunluğundaki bir çubuk için Neumann sınır şartları; u_x( t0, )=

α

, u_x( tl, )=

β

şeklindedir.

c) Karışık (mixed) veya Robin Sınır Şartları:

Bu durumda, u fonksiyonu ve aynı zamanda u nun .n türevi de sınırlar üzerinde belirlenir. Ve genellikle 2-boyutlu Laplace denklemlerinde kullanılır.

)

(ii Başlangıç şartları: Başlangıç şartları sistemin başlangıcında D bölgesi boyunca sağlanması gereken şartlardır. Yani bağımlı değişkenin kendisi veya türevleri cinsinden bağımsız değişkenlerin bir tek değeri için verilmiş ise bu şartlara başlangıç şartları denir.

Başlangıç şartlarıyla birlikte verilmiş kısmi diferensiyel denkleme ‘Cauchy problemi’ denir. Örneğin, 0 2 ₌ − _xx tt c u u , t>0; ) ( ) 0 , (x f x u = , u_t(x,0)= g(x), ikinci mertebeden bir Cauchy problemidir.

İkinci mertebeden, iki bağımsız değişkenli bir kısmi diferensiyel denklem,

Au_xx +Bu_xy +Cu_yy +Du_x +Eu_y +Fu+G=0 (1.4) genel şekliyle verilebilir. Burada A,B,C,D,E,F katsayı fonksiyonları ve G fonksiyonu da sabit veya değişken içeren fonksiyondur. Diğer taraftan ∆=B2 −4AC diskriminantını tanımlayalım [8].

Diskriminant Denklem Tipi Örnek İsimlendirme

∆>0 Hiperbolik u_tt −c2u_xx =0 Dalga Denklemi

∆=0 Parabolik u_t −ku_xx =0 Isı Denklemi

<

Herhangi bir tipteki problemin çözümü, klasik Hadamard testi gereğince aşağıdaki üç şartı sağlarsa problem, “iyi durumlu”, en az bir şartı sağlamaz ise “kötü durumlu” olarak adlandırılır. Bu şartlar;

i. Varlık: En az bir çözüm vardır, ii. Teklik: En çok bir çözüm vardır,

iii. Kararlılık: Çözüm verilere sürekli bağlıdır.

Pratikte bir denklemin çözümünün varlığını tarif etmenin en iyi yolu problemdeki bütün şartları sağlayan ve problemde yerine konduğunda denklemi sağlayan bir çözüm yapılandırmaktır. Eğer çözümün tekliği gösterilirse denklemin çözümü bulunmuş demektir.

Birincisi açık bir mantıksal şart olup, ancak sadece fiziksel problemin bir çözüme sahip olması nedeniyle, matematiksel problemin bir çözüme sahip olacağını kolayca ifade edemeyeceğimiz akılda tutulmalıdır. Fiziksel problem bir tek çözüme sahip olabilir, ancak matematiksel problemin birden çok çözümü de olabilmektedir.

Son şart bir gerek şarttır. Uygulamada, ölçüm yönteminde küçük hatalar oluşabilir. Dolayısıyla, fiziksel olayı gösteren matematiksel problem için, verilerdeki küçük bir değişme, çözümde en fazla küçük bir değişikliğe yol açabilir.

Örnek olarak, 0 = + _yy xx u u (1.5)

Laplace denklemini n>0 olmak üzere,

u(0,y)=0, y

n y

u_x(0, )= 1sin (1.6) Cauchy verileriyle göz önüne alalım. Bu problemin değişkenlere ayrılma yöntemi ile elde edilen çözümü, nx y n y x u₁( , )= 1₂ sinh sin (1.7)

şeklindedir. Başlangıç verileri u(0,y)=0 ve u_x(0,y)=0 iken problemin çözümü

u

₂

=

0

aşikar çözümüdür. İki başlangıç verisi arasındaki fark

n

→

∞

iken

0 sin lim −1 = ∞ → n y n

olur. Yani, başlangıç verisinde küçük bir değişiklik olmuştur. Bu başlangıç verisine karşılık gelen çözümler farkının

2

π

=

y noktasında,

n

tek bir pozitif sayı olmak üzere

n

→

∞

iken limit değerine bakalım;

∞

=

−

=

=

−

− ∞ → ∞ → ∞ → 1 2 2 2

2

lim

sinh

1

lim

)

2

,

(

)

2

,

(

lim

n

e

e

nx

n

x

u

x

u

nx nx n n n

π

π

olur. Yani, başlangıç verilerinde yapılan küçük bir değişiklik çözümde büyük bir değişikliğe yol açmıştır. Böylece (1.5) ve (1.6) Cauchy problemi iyi durumlu olmadığı sonucuna varılır [10].

Tanım 1.4.

Ω, IRn de bir bölge ve ppozitif bir reel sayı olsun. Ω üzerinde tanımlı, ölçülebilen ve

∫

Ω ∞ < dx x u( ) p , x∈Ω (1.8)

özelliğini sağlayan tüm u(x) fonksiyonlarının uzayına Lp(Ω) uzayı denir. Lp(Ω) uzayı bir Banach uzayıdır ve bu uzayda norm,

p p L u x dx u p 1 ) ( ( )        =

∫

Ω Ω (1.9) şeklindedir. Tanım 1.5.

Ω bölgesinde ölçülebilen bir

u

fonksiyonunu göz önüne alalım. Hemen hemen her

Ω ∈

x için

u

(

x

)

≤

K

olacak şekilde bir K sabiti bulunabiliyorsa

u

fonksiyonuna hemen hemen her yerde sınırlı denir. Böyle K ların en büyük alt sınırlarına da

u

fonksiyonunun Ω bölgesindeki esas supremumu denir ve

ess

sup

_{x Ω∈}

u

(

x

)

ile gösterilir. Böylece L∞(Ω) ile Ω bölgesinde tanımlı bütün hemen hemen her yerde sınırlı fonksiyonların sınıfı gösterilebilir ve

⋅ normu aşağıdaki gibi tanımlanır:

sup ( ) ) ( ess u x u _x L∞ Ω = ∈Ω . (1.10) Tanım 1.6. n IR ⊂ Ω

Ω, ₁ iki bölge ve

Ω

₁

⊂

Ω

olsun. Eğer Ω₁ ⊂Ω ise

Ω

₁ bölgesine, Ω bölgesinin kesin alt bölgesi denir ve

Ω

₁

⊂⊂

Ω

şeklinde ifade edilir.

Tanım 1.7.

) (Ω p loc

L aşağıdaki gibi tanımlanır:

{

: ( ),

}

. ) (Ω = ∈ p Ω₁ ∀Ω₁⊂⊂Ω p loc u u L L

Tanım 1.8.

Ω, IRn de bir bölge ve

u

da Ω bölgesinde tanımlı bir fonksiyon olsun.

u

fonksiyonunun desteği aşağıdaki biçimde tanımlanır:

{

x : u(x) 0

}

u

supp = ∈Ω ≠ .

Eğer suppu⊂⊂Ω ise u fonksiyonuna Ω bölgesinde kompakt dayanaklı fonksiyon denir.

Tanım 1.9.

Ω, IRn de açık bir bölge ve m pozitif bir tamsayı olsun. Cm(Ω) ile Ω bölgesinde tanımlı ve

α

≤

m

mertebesinden sürekli kısmi türevleri olan fonksiyonların uzayı gösterilir.

) (Ω ∞

C ile Ω bölgesinde tanımlı olan ve her mertebeden sürekli kısmi türevleri olan

fonksiyonların sınıfı gösterilir.

) (

0 Ω

∞

C ile de, C∞(Ω) sınıfından olan kompakt destekli fonksiyonların sınıfı belirtilir.

Tanım 1.10.

i

α

, i=1,2,...,n pozitif tamsayılar olsun.

α

=(

α

₁,...,

α

_n) sıralı n-lisine çoklu indis denir.

α

ile

α

’nın boyu yani

∑

= = n i i 1

α

α

ile gösterilir. 1≤i≤n olmak üzere;

n n x x x D α α α α       ∂ ∂       ∂ ∂       ∂ ∂ = ... 2 1 2 1

α

mertebesinden diferansiyel operatörüdür ve u∈Cα(Ω) ise,

n n x x x u x u D _{α α} α α ∂ ∂ ∂ = ... ) ( ) ( 1 1

şeklinde ifade edilir.

Tanım 1.11.

) ( ,v∈L1_loc Ω

u olsun. Eğer ∀

φ

∈C₀∞(Ω) fonksiyonu için,

∫

∫

Ω Ω − = v x x dx dx x D x u( ) αφ( ) ( 1)α ( )φ( )

oluyorsa

v

fonksiyonuna

u

fonksiyonun Ω bölgesinde

α

mertebesinden Dαu tipinden genelleştirilmiş türevi denir.

Tanım 1.12.

Ω, IRn de bir bölge, m pozitif bir sayı ve 1≤ p<∞ olsun. Dαu,

u

fonksiyonunun genelleştirilmiş türevi olmak üzere,

{

u

L

D

u

L

m

}

W

m,p

(

Ω

)

=

∈

p

(

Ω

)

:

α

∈

p

(

Ω

),

∀

0

≤

α

≤

ile tanımlanan Wm,p(Ω) uzayına Sobolev uzayı denir. Bu uzayda norm,

p m p L Wmp D u p u 1 ) ( ) ( ,        =

∑

≤ Ω Ω α α , 1≤ p<∞

şeklindedir. Sobolev uzayı bir Banach uzayıdır. Eğer p=2 ise bir Hilbert uzaydır.

1.1. Bazı Önemli Eşitsizlikler

Tanım 1.13. (Cauchy Eşitsizliği):

) ( ,g∈ L2 Ω f ise, fg∈ L1(Ω) ’dır ve ) ( ) ( ) ( 2 2 1_Ω ≤ _{Ω Ω} L L L f g g f dır.

Tanım 1.14. (Hölder Eşitsizliği):

1 > p ve 1 +1 =1 q p olsun. ∈ (Ω), p L f g∈Lq(Ω) ise fg∈ L1(Ω)’dır ve ) ( ) ( ) ( 1_Ω ≤ _Lp_{Ω L}q_Ω L f g g f dır.

Tanım 1.15. (

ε

-Young Eşitsizliği):

0 >

q b p a ab q q p p ε ε + 1 ≤ eşitsizliği sağlanır.

Tanım 1.16. (Genelleştirilmiş Young Eşitsizliği):

0 > i p , i=1,2,...,n ve

∑

=

=

n i 1

p

i

1

1

olduğunu kabul edelim. Bu durumda verilen

, IR a_i∈ ∀ i=1,2,...,n sayıları için

∑

= ≤ n i i p i n p a a a a i 1 2 1 ... eşitsizliği sağlanır.

Tanım 1.17. (Poincare Eşitsizliği):

Ω kümesi IRn ’de sınırlı bir bölge ve ∂Ω da C1 sınıfından olsun. 1≤ p<∞ olduğunu kabul edelim. Bu durumda sadece

n

ve p sayıları ile Ω bölgesine bağlı bir C

sayısı vardır öyle ki, her u∈W1,p(Ω) fonksiyonu için

) (Ω Ω ≤ +

∫

p L Du C udx u eşitsizliği sağlanır.

Tanım 1.18. (Friedrichs Eşitsizliği):

Ω sınırlı bir bölge olsun. Öyle bir c(Ω)>0 sabiti vardır ki ∀u∈W₀1,2(Ω) için

) ( ) ( 2 2 _Ω ≤ (Ω) _Ω L L c Du u eşitsizliği sağlanır.

Tanım 1.19. (Wirtinger Eşitsizliği): ] , 0 [ 2 _l L

w∈ olsun. λ=l2 π2 olmak üzere

∫

≤

∫

l l x x dx w dx x w 0 0 2 2_{( ) λ ( )} eşitsizliği sağlanır.

2. Dördüncü Mertebeden Doğrusal Olmayan Bir Dalga Denkleminin Çözümlerinin Davranışı

Bu bölümde, sondaj borusu dinamiğini belirten dördüncü mertebeden doğrusal olmayan bir dalga denklemi ele alınmıştır. Sondaj borusu, bir gemi ya da platformdan deniz tabanına uzanıp delme operasyonlarında kullanılan ve matkap kordonu ile delme işleminde ortaya çıkan çamuru zapteden ince, uzun, dikey bir borudur. Amacımız aşağıdaki problemin sıfır çözümünün global asimptotik olarak kararlı olduğunu göstermektir.

[

]

    ∈ = = = = = + + − + + (2.2) . , 0 ) , ( ) , ( ) , 0 ( ) , 0 ( (2.1) , 0 ) ( IR t t l u t l u t u t u u bu u u x a ku mu xx xx p t t tx x x xxxx tt γ

Bu problemde m, k, b ve pverilen pozitif sayılardır.

γ

ise bir reel sayıdır. a(.) fonksiyonu ise alttan sınırlı ve C1

[ ]

0,l sınıfındandır [11-15].

2.1. Sıfır Çözümünün Global Asimptotik Kararlığı:

Eğer sıfır çözümü kararlı ve tüm çözümler t→∞ iken sıfıra gidiyor ise, sıfır çözümü global asimptotik kararlı olarak adlandırılır. (2.1) ve (2.2) probleminin tüm çözümleri klasik çözümlerdir. Esas sonucumuz aşağıdaki teoremdir [16].

Teorem 2.1.1

Aşağıdaki şartların sağlandığını varsayalım:

i. m, k, b ve pverilen pozitif sayılar ve

γ

ise bir reel sayıdır.

ii. a(.) fonksiyonu C1

[ ]

0,l _{sınıfındadır ve}

_∀

_x

_∈

[ ]

₀

_,

_l

_{için ( ) , 0} 0 0 ≥ − ≥ c c x a ve 0 0 2 2 0 _{= >} −c l d k

π

’dır.

Bu durumda (2.1) probleminin (2.2) sınır şartını sağlayan sıfır çözümü,

2 1 0 2 2 1 ( ) ) , ( _       + =

∫

l xx t t u u dx u u

normuna göre global asimptotik kararlıdır. Ayrıca, (2.1) denkleminin (2.2) sınır şartlarını sağlayan her çözümü aşağıdaki eşitsizliği sağlar:

( )

[ )

    ∞ ∈ ≥ ∈ ≤ + _{− +} + + −

∫

∫

( , ) _, , _1, 0,1_1,, _. 2 ) , ( 2 2( 2) ) 2 ( ) 1 ( 0 2 0 0 2 t p At p At dx t x u d dx t x u m p p p l xx l t (2.1.1) İspat: ) , (x t

u fonksiyonu (2.1) denkleminin (2.2) sınır şartını sağlayan klasik çözümü olsun.

(2.1) denklemini u_t ile çarparsak,

[

( )

]

+ + 2 =0 − + p+ t tx t x x t xxxx t tt tu kuu u a x u u u bu mu γ

eşitliğinielde ederiz. Bu eşitlikte,

), ( 2 2 t tt t u t m u mu ∂ ∂ = ( ), 2 2 t tx t u x u u ∂ ∂ =γ γ       ∂ ∂ + − ∂ ∂ = 2 2 1 ) ( _{t xxx tx xx xx} xxxx t u t k u u u u x k u ku ,

[

]

[

]

[

]

[

2

]

) ( 2 1 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( x x t xx t xx t x tx x t xx t x t x x t u x a t u u x a x u u x a u u x a u u x a u u x a x u u x a u u x a x u x a u ∂ ∂ + ∂ ∂ − = − + + ∂ ∂ − = − ∂ ∂ − = − olduğundan, eşitliğini

[

]

[

]

( ) 0 (2.1.2) 2 ) ( 2 1 ) ( 2 1 ) ( ) ( 2 2 2 2 2 2 = + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ −       ∂ ∂ + − ∂ ∂ + ∂ ∂ + p t t x x t xx xx tx xxx t t u b u x u x a t u u x a x u t k u u u u x k u t m γ

[

]

( ) 0 2 ) ( 2 1 ) ( 2 ) ( ) ( 2 0 2 0 2 0 2 0 0 2 0 0 0 2 = + + + − + − +

∫

∫

∫

∫

+ = = = = = = = = l p t l x x t l x l x x x t l xx l x x xx tx l x x xxx t l t dx u b u dx u x a dt d u u x a dx u k dt d u u k u u k dx u m dt d γ

eşitliğini elde ederiz. Burada (2.2) sınır şartını kullanırsak, ( ) 0 2 1 2 2 0 2 0 2 2 2 _{+ =}         + +

_∫

_∫

+ l p t l x xx t u a x u dx b u dx k u m dt d (2.1.3)

eşitliğini elde ederiz. (2.1) denklemini bu kez

u

ile çarparak,

[

( )

]

+ + =0 − + p t t tx x x xxxx tt kuu ua x u uu buu u muu

γ

eşitliğini elde ederiz. Bu eşitlikte,     ₋ ∂ ∂ = 2 ) ( _{t t} tt uu u t m muu ,     ₋ ∂ ∂ = _{t x t} tx uu u u x uu

γ

( )

γ

, 2 ) ( _{xxx x xx xx} xxxx uu u u ku x k kuu − + ∂ ∂ = ,

[

]

[

]

2 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( x x xx x x x u x a uu x a x uu x a x a x uu u x a u + ∂ ∂ − = − ∂ ∂ − = −

olup bunları yukarıdaki yerlerine yazarsak

[

]

(2.1.4) 0 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 2 2 = −     ₋ ∂ ∂ + + ∂ ∂ − − + − ∂ ∂ +     ₋ ∂ ∂ p t t t x t x x xx xx x xxx t t u buu u u uu x u x a uu x a x ku u u uu x k u uu t m γ

[

( )

]

( ) ( ) 0 ) ( ) ( m 0 0 0 0 2 0 0 2 0 0 0 2 0 = + − + + − + − + − + ∂ ∂

∫

∫

∫

∫

∫

∫

= = = = = = = = l p t t l t x l x x t l x l x x x l xx l x x xx x l x x xxx l t l t dx u uu b dx u u uu dx u x a uu x a dx u k u u k u ku dx u m dx uu t γ γ

eşitliğini buluruz. Bu eşitlikte (2.2) sınır şartı kullanılarak, (2.1.5) 0 ) , ( ) ( )] , ( [ 0 0 2 2 2 = + − + + −

∫

∫

l p t t t x l x xx t t dx u uu b u u dx u x a u k u m u u m dt d γ

eşitliği elde edilir.

Keyfi bir δ₁>0 sayısı seçerek (2.1.5) eşitliğini

δ

₁ ile çarpalım ve sonra da (2.1.3) eşitliği ile toplarsak,

(2.1.6) 0 ) , ( ) ( ) , ( ) ( 2 1 2 2 0 2 0 1 0 1 2 1 2 1 2 1 0 1 2 2 2 = + + − + + −         + + +

∫

∫

∫

∫

+ l p t l p t t l t x x xx t l t x xx t dx u b dx u uu b u u dx u x a u k u m u u m dx u x a u k u m dt d δ γ δ δ δ δ δ

eşitliğini elde ederiz. Diğer taraftan,

=

+

+

∫

+

l t x xx t

u

a

x

u

dx

m

u

u

k

u

m

t

E

0 1 2 2 2 1

(

)

(

,

)

2

1

2

2

)

(

δ

(2.1.7) olsun. (2.1.7) tanımı ve

∫

∫

+ − ≥ l p t l p t t u dx b u u dx uu b 0 1 1 0 1 δ δ

(2.1.8) 0 ) , ( ) ( ) ( 0 2 0 1 1 0 1 2 1 2 1 2 1 1 ≤ + − − + + −

∫

∫

∫

+ + l p t l p t l t x x xx t dx u b dx u u b u u dx u x a u k u m t E dt d δ γ δ δ δ δ

eşitsizliği elde edilir.

(2.1.8) eşitsizliğinde

δ

₁

γ

(u_x,u_t) terimi için bir kestirim elde etmeye çalışalım. Bunun için önce aşağıdaki eşitsizliğin sağlandığını gösterelim:

₂ 2. 2 2 xx x u l u π ≤ (2.1.9)

( )

uux x =ux +uuxx 2

eşitliğini göz önüne alalım. Bu eşitliği

x

değişkenine göre 0 ’dan

l ’ye integre eder ve (2.2) sınır şartını göz önüne alırsak,

∫

=−

∫

l l xx xdx uu dx u 0 0 2

eşitliğini buluruz. Yukarıdaki ifadeye Cauchy eşitsizliğini uygularsak,

2 1 0 2 0 2 1 0 2 0 2                 ≤ ≤

∫

∫

∫

∫

l xx l l l xx xdx u u dx u dx u dx u

eşitsizliğini elde ederiz. Eşitsizliğin sağ tarafındaki ilk terime Wirtinger eşitsizliğini uygulayarak, 2 1 0 2 1 0 2 1 0 2 2

























≤

_∫

∫

∫

l xx l x x

u

dx

u

dx

l

dx

u

π

eşitsizliğini buluruz. Son eşitsizlikte her iki tarafı

2 1 0 2        

∫

luxdx terimine bölersek, 2 1 0 2 2 1 0 2













≤













∫

∫

l xx l x

u

dx

l

dx

u

π

eşitsizliği elde edilir. Bu eşitsizlikte her iki tarafın karesi alınarak (2.1.9) eşitsizliğini elde ederiz.

Şimdi

δ

₁

γ

(u_x,u_t) terimi için bir kestirim elde etmeye çalışalım.

γ

’nın bir reel sayı olduğu ve Cauchy eşitsizliği göz önüne alınırsa,

t x l t x t x

u

u

u

dx

u

u

u

,

)

(

0 1 1 1

γ

≤

δ

γ

∫

≤

δ

γ

δ

eşitsizliğini yazabiliriz. Burada Young eşitsizliğini kullanarak ve sonra da (2.1.9) eşitsizliğini uygulayarak, (2.1.10) 2 2 1 2 2 1 ) , ( 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 1 xx t x t t x u l u u u u u π γ δ γ δ γ δ + ≤ + ≤

eşitsizliğini buluruz. Elde ettiğimiz bu kestirimi (2.1.8) eşitsizliğinde kullanarak,

(2.1.11) 0 ) ( ) 2 1 (-) 2 ( ) ( 0 2 0 1 1 0 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 1 1 ≤ + − + − + − +

∫

∫

∫

+ l p+ t l p t l x t xx dx u b dx u u b dx u x a u m u l k t E dt d δ δ δ π γ δ δ

eşitsizliğini yazabiliriz. Şimdi

δ

₁ sayısı için, 2 2 0 2 1 2 0 l d

γ

π

δ

< < (2.1.12)

şartını ekleyelim. Teoremin .ii şartındaki _{2 0} 0

2

0 _{= >}

−c l d

k

π

eşitsizliğini göz önüne alarak ve

(2.1.12) şartı kullanılırsa,

0

)

(

2

2

2 2 0 1 0 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1



≥

−

=

>











−

=

−

=

π

δ

δ

π

γ

δ

δ

π

γ

δ

δ

k

l

k

l

k

d

c

l

L

olduğunu görürüz. (2.1.11) eşitsizliğini göz önüne alalım.

(2.1.13) ) ( ) 2 1 ( ) ( 0 2 0 1 1 0 2 1 2 2 2 2 1 1

∫

∫

∫

+ + − + − − − + + ≤ l p t l p t l x xx t t t dx u b dx u u b dx u x a u L u m u m u m t E dt d δ δ δ

(2.1.13) eşitsizliğini kullanarak (2.1) denkleminin sıfır çözümünün kararlı olduğunu şöyle gösterebiliriz. Teoremin .ii şartını, yani; a(x)≥−c₀ şartını kullanarak

∫

∫

∫

+

∫

≥

−

l l x xx l l x xx

dx

a

x

u

dx

k

u

dx

c

u

dx

u

k

0 0 2 0 2 0 0 2 2

)

(

eşitsizliğini yazabiliriz. Burada (2.1.9) eşitsizliğini kullanarak,

(2.1.14) ) ( 0 2 0 2 2 2 0 2 2 2 0 2 2 0 2 0 0 2 2

∫

∫

∫

=         − ≥ − ≥ − ≥ + l xx xx xx xx x xx l l x xx dx u d u l c k u l c u k u c u k dx u x a dx u k π π olduğunu görürüz. E(t) fonksiyonunu

∫

+

+

=

l x xx t

u

a

x

u

dx

k

u

m

t

E

0 2 2 2

)

(

2

1

2

2

)

(

şeklinde tanımlayalım. (2.1.14) eşitsizliği ve E(t) fonksiyonu birlikte göz önüne alınırsa,

2 0 2 2 2 ) (t m u_t d u_xx E ≥ + eşitsizliğini buluruz.

E

t

u

u

_xx

dx

l t

)

(

)

(

2 0 2

0

=

∫

+

olduğu göz önüne alınırsa

min

{

,

}

( ) 2 1 ) (t m d₀ E₀ t E ≥ (2.1.15)

eşitsizliğini yazabiliriz. Diğer taraftan a(.)∈C1

[ ]

0,l sınıfından olduğu için

a

fonksiyonu

[ ]

0

,

l

aralığında bir

A

₁ maksimum değeri vardır. Bu özelliği, E(t) fonksiyonu tanımında kullanarak,

∫

∫

+ + ≤ + + ≤ l x xx t l x xx t dx u A u k u m dx u x a u k u m t E 0 2 1 2 2 0 2 2 2 2 2 2 ) ( 2 1 2 2 ) (

eşitsizliğini buluruz. Sağ tarafta (2.1.9) eşitsizliğini kullanarak ta

)

(

,

max

2

1

)

(

₂1 ₀ 2

t

E

k

A

l

m

t

E













+

≤

π

eşitsizliğini buluruz. Ayrıca (2.1.3) eşitsizliğinden ve E(t) fonksiyonun tanımından,

( ) 0 0 2 ≤ − =

∫

+ l p t dx u b t E dt d (2.1.16)

eşitsizliği sağlanır. Böylece (2.1) denkleminin (2.2) şartını sağlayan sıfır çözümünün kararlı olduğu neticesini çıkarırız.

Şimdi de (2.1) denkleminin (2.2) sınır şartını sağlayan sıfır çözümünün global asimptotik kararlı olduğunu gösterelim.

(2.1.16) eşitsizliğini 0 ’dan t ’ye integre edersek,

∫ ∫

= + − + t l p t dxds u b E t E 0 0 2 0 ) 0 ( ) (

eşitliğini buluruz. E(t)≥0 olduğu göz önüne alınırsa yukarıdaki eşitlikten,

∫∫

+ ≤ t l p t b E dxds u 0 0 2 (0) (2.1.17) eşitsizliği yazılır.

Şimdi (2.1.13) eşitsizliğine tekrar dönelim ve

∫

−

−

−

l x xx t

L

u

a

x

u

dx

u

m

0 2 1 2 2

)

(

δ

için bir kestirim elde etmeye çalışalım. Eğer

E

t

a

x

u

_x

dx

l

2 0

0

(

)

=

∫

(

)

terimi negatif değilse,

{

1

,

,

}

min

L

k

δ

(2.1.18) ) ( 2 ) ( , , 1 min ) ( 1 0 2 2 2 0 1 2 1 2 2 t E D dx u x a u k u m k L dx u x a u L u m l x xx t l x xx t ≥         + +       ≥ + + δ

∫

δ

∫

eşitsizliği sağlanır.               − = 1 2₂2 0 1 2 2 , 1 min

π

γ

δ

δ

l d k D olsun. Eğer

a

x

u

_x

dx

l 2 0

)

(

∫

negatif ise, her

x

için

0 ) (x c a ≥− olduğundan,

∫

∫

≥

+

−

+

+

l x xx t l x xx t

L

u

a

x

u

dx

m

u

L

u

c

u

dx

u

m

0 2 0 1 2 2 0 2 1 2 2

)

(

δ

δ

eşitsizliğini yazabiliriz. Son eşitsizliğin sağ tarafında (2.1.9) eşitsizliğini kullanarak,

2 2 2 0 1 2 2 0 2 1 2 2

)

(

_{t xx xx} l x xx t

u

l

c

u

L

u

m

dx

u

x

a

u

L

u

m

π

δ

δ

≥

+

−

+

+

_∫

eşitsizliğini yazabiliriz. Burada L sayısının tanımı ve c₀l2 π2 =k −d₀ olduğu göz önüne alınırsa u_xx 2 teriminin katsayısı,

      − = − − − = − 2 2 2 1 0 1 0 1 2 2 2 2 1 1 2 2 0 1 2 ) ( 2

π

γ

δ

δ

δ

π

γ

δ

δ

π

δ

l d d k l k l c L

olur. Bu eşitliği ve

D

₂ sayısının tanımı göz önüne alınarak,

(

)

        + + ≥ +                 − ≥         − + ≥ + +

∫

∫

l x xx t xx t xx t l x xx t dx u x a u k u m D u k u m l d k u l d u m dx u x a u L u m 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 0 1 2 2 2 2 1 0 1 2 0 2 1 2 2 ) ( 2 , 1 min 2 ) ( π γ δ δ π γ δ δ δ

( ) 2 ( ). 0 2 2 1 2 2

∫

≥ + + l x xx t Lu a x u dx D E t u m δ (2.1.19)

Şimdi D =₃ min

{

D₁,D₂

}

dersek, (2.1.18) ve (2.1.19) eşitsizliklerinden,

+

+

∫

≥

l x xx t

L

u

a

x

u

dx

D

E

t

u

m

0 3 2 1 2 2

)

(

2

)

(

δ

(2.1.20)

eşitsizliğini elde ederiz. Eğer (2.1.20) eşitsizliğini (2.1.13) eşitsizliğinde kullanılırsa,

m m B= + + 2 1 1

δ

olmak üzere, () 2 ( ) 0 2 0 1 1 3 2 1

∫

∫

+ + − + − ≤ l p t l p t t D E t b uu dx b u dx u B t E dt d

_δ

(2.1.21)

eşitsizliğini buluruz. (2.1.21) eşitsizliğini 0’dan t ’ye integre edersek,

[

]

ds dx u b dxds u u b dxds u B t E E ds s E D t p t l t t l t l p t t

∫∫

∫

∫ ∫

∫ ∫

+ + − + + − ≤ 0 2 0 0 0 0 0 0 1 1 2 1 1 3 ) ( ) 0 ( ) ( 2

δ

eşitsizliğini elde ederiz. (2.1.16) eşitsizliğine göre E(t) artmayan bir fonksiyon olduğundan

∫

≤

t

ds

s

E

D

t

tE

D

0 3 3

(

)

2

(

)

2

yazılabilir. Bunu yukarıdaki son eşitsizlikte kullanırsak,

[

]

(2.1.22) ) ( ) 0 ( ) ( 2 0 2 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 2 1 1 3 ds dx u b dxds u u b dxds u u b dxds u B t E E t tE D t p t l t l p t t l t l p t t

∫∫

∫∫

∫∫

∫ ∫

+ + + − + + + − ≤ δ δ

eşitsizliğini buluruz. Bu eşitsizlikte, sağ taraftaki son terim atılarak ifade daha da büyür:

2 ( )

[

(0) ( )

]

. 0 0 0 0 1 1 2 1 1 3

∫ ∫

∫ ∫

+ + + − ≤ t l t l p t tdxds b u u dxds u B t E E t tE D δ (2.1.23)

Şimdi (2.1.23) eşitsizliğinin sağ tarafındaki terimler için birer kestirim elde etmeye çalışacağız. Bunu önce E₁(t) fonksiyonunu alttan sınırlandırabileceğimizi göstermekle başlayalım. Poincare-Friedrichs eşitsizliğini ve (2.1.9) eşitsizliğini göz önüne alırsak,

2 4 4 2 2 2 2 xx x u l u l u π π ≤ ≤ (2.1.24) olduğunu görürüz. E₁(t)’nin tanımından, a(x)≥−c₀ şartını kullanılarak,

) , ( 2 2 2 ) ( ₁ 0 2 0 2 2 1 t l x xx t u dx m u u c u k u m t E ≥ + −

∫

−δ

olduğunu elde ederiz. Bu eşitsizlikte, (2.1.9) eşitsizliğini kullanırsak,

) , ( 2 2 ) , ( 2 2 2 ) ( 1 2 0 2 1 2 2 2 0 2 2 1 t xx t t xx xx t u u m u d u m u u m u l c u k u m t E δ δ π − + = − − + ≥

olduğunu görürüz. Bu eşitsizliğin sağ tarafındaki son terime p= q=2 eşlenik sayıları için Young eşitsizliği uygulanırsa,

2 1 2 1 2 0 2 1 2 2 2 2 ) (t m u_t d u_xx m u m u_t E ≥ + −δ −δ

ifadesini buluruz. Şimdi bu eşitsizlikte (2.1.24) eşitsizliğini kullanarak,

(

)

₄ 2 4 1 0 2 1 1 2 1 1 2 ) (t m u_t d ml u_xx E _       − + − ≥ π δ δ (2.1.25)

eşitsizliğini elde ederiz. δ ₁ sayısı üzerine,

        < 4 4 0 2 2 0 2 1 , 2 min ml d l d π γ π δ

şartını eklersek son eşitsizliğin sağ tarafındaki katsayılar negatif değer alamaz. Buna göre

(

)

      − = 4 4 1 1 1 min 1 , π δ δ ml m d olmak üzere E₁(t)≥d₁

(

u_t 2 + u_xx 2

)

≥0 (2.1.26) eşitsizliğini elde ederiz. Bu ifade E₁(t) fonksiyonun alttan pozitif bir fonksiyonla sınırlı olduğunu gösterir. Buna göre,

E₁(0)−E₁(t)≤E₁(0) (2.1.27) ifadesini yazabiliriz.

(2.1.23) eşitsizliğindeki diğer terimleri üstten sınırlandırmak için önce

∫

l q dx u 0 , q>1 integraline bir kestirim bulmaya çalışacağız. u(0,t)=0 olduğundan, Newton-Leibniz formülüne göre,

∫

= − x x s t ds u t u t x u 0 ) , ( ) , 0 ( ) , ( veya

∫

= x x s t ds u t x u 0 ) , ( ) , ( eşitliği bulunur. Bu eşitlikten,

∫

∫

≤ ≤ l x x x s t ds u x t dx u t x u 0 0 ) , ( 1 ) , ( ) , ( , ∀x∈

[ ]

0,l

olduğunu kolayca görebiliriz. Burada Cauchy eşitsizliğini kullanırsak,

2 1 0 2_{( , )} ) , ( _       ≤

∫

l x x t dx u l t x u , ∀x∈

[ ]

0,l

eşitsizliğini buluruz. Yukarıdaki eşitlik ∀x∈

[ ]

0,l için doğru olduğundan, [ ] 2 1 0 2 , 0 ( , ) ( , ) max _       ≤

∫

∈ l x l x u x t l u x t dx (2.1.28)

eşitsizliğini yazabiliriz. (2.1.28) eşitsizliğine göre, q≥1 olmak üzere

[ ] 2 1 0 2 ) 2 1 ( ) 1 ( , 0 1 1 0 ) , ( ) , ( max ) , ( _       ≤ ≤        

∫

∫

+ ∈ l x q l x q q l q dx t x u l t x u l dx t x u

eşitsizliği sağlanır. Son eşitsizliği aşağıdaki şekilde yazmak mümkündür:

2 0 2 2 ) 2 ( 0 ) , ( ) , ( q l x q l q dx t x u l dx t x u _       + ≤

∫

∫

+ . (2.1.29)

Şimdi (2.1.29) eşitsizliğini ve Hölder eşitsizliğini kullanarak, (2.1.23) eşitsizliğindeki

∫∫

t l utdxds B 0 0 2 ve

∫∫

+ t l p t dxds u u b 0 0 1 1

p p p′= +2 ve 2 2 + = ′ p

q eşlenik sayıları için Hölder eşitsizliğini iki defa kullanarak,

) 2 ( 2 0 0 2 ) 2 ( 0 0 ) 2 ( 2 0 2 ) 2 ( 0 0 0 0 2 1 1 1 + + + + + +                 ≤                 ≤ ≡

∫∫

∫∫

∫

∫ ∫

∫∫

p t l p t p p t l p l p t p p t l t l t dxds u dxds B ds dx u dx B dxds u B I

eşitsizliğini elde ederiz. Burada (2.1.17) eşitsizliğini göz önüne alırsak,

(0) , ) 2 ( 2 ) 2 ( 1 + +     = p p p b E Bl C I₁ ≤C₁tp(p+2) (2.1.30)

olduğunu görürüz. (2.1.23) eşitsizliğindeki son terimi ise şöyle kestirebiliriz:

1 2 + + = ′ p p p ve 2 + = ′ p

q eşlenik sayıları için iki defa Hölder eşitsizliğini kullanarak,

) 2 ( 1 0 0 2 ) 2 ( ) 1 ( 0 0 2 1 ) 2 ( 1 0 2 ) 2 ( ) 1 ( 0 0 2 1 0 0 1 1 2 + + + + + + + + + + +                 ≤                 ≤ ≡

∫∫

∫∫

∫

∫ ∫

∫∫

p t l p p p t l p t p l p p p t l p t t l p t dxds u dxds u b ds dx u dx u b dxds u u b I δ δ δ

eşitsizliğini bulabiliriz. (2.1.29) ve (2.1.9) eşitsizliklerini kullanarak yukarıdaki eşitsizliğin sağ tarafındaki son terim için

2 2 0 2 2 2 4 0 2 4 0 2 2 4 2 + + + + + +               ≤         ≤

∫

∫

∫

p l xx p p l p l x p p dx u l l dx u l dx u π

eşitsizliğini elde ederiz. Ayrıca (2.1.15) eşitsizliğinden,

∫

≥ l xxdx u t E d 0 2 0 ) ( 2

yazabiliriz. E(t) azalan fonksiyon olduğundan E(t)≤E(0), ∀t≥0 ve ₀

0 0 2 2 _E d dx u l xx ≤

∫

(2.1.31) ) 0 ( ) 2 ( 1 2 ) 2 ( 1 0 2 ) 2 ( 0 2 2 2 ) 4 ( ) 2 ( ) 1 ( 1 2 + + + + + + + ≤                             ≤

∫ ∫

p p t l p xx p p p p t C ds dx u l l b E b I π δ

eşitsizliği bulunur. Burada,

[

]

12 0 ) 2 ( 2 ) 8 3 ( ) 2 ( 2 ) 4 3 ( ) 2 ( 1 1 2 2 ) 0 ( _            = + + + + + d l E b C p p p p p π δ dir.

Şimdi, elde edilen (2.1.27), (2.1.30) ve (2.1.33) kestirimlerini, (2.1.23) eşitsizliğinde kullanırsak aşağıdaki eşitsizliği

) 2 ( 1 2 ) 2 ( 1 1 3 ( ) (0) 2D tE t ≤E +Ctp p+ +C t p+ buluruz. Bu eşitsizliği,

(

)

[

( 1)( 2)

]

2 ) 2 ( 2 1 1 1 1 3 (0) 2 ) (t ≤ D − E t− +C t− p+ +C t− p+ p+ E

biçiminde yazabiliriz. A=

(

2D₃

)

−1

[

E₁(0)+C₁ +C₂

]

dersek aşağıdaki ifade her t≥1 için doğrudur:

( )

[ )

    ∞ ∈ ≥ ∈ ≤ + − + + − . , 1 , 1 , , 1 , 0 , ) ( ) 2 ( 2 ) 2 ( ) 1 ( t p At p At t E p p p

Yukarıdaki eşitsizlikte, (2.1.15) eşitsizliğini göz önüne alırsak,

{

}

( )

[ )

    ∞ ∈ ≥ ∈ ≤ + − + + − , , 1 , 1 , , 1 , 0 , ) ( , min 2 1 ) 2 ( 2 ) 2 ( ) 1 ( 0 0 t p At p At t E d m p p p

elde edilir. Bu eşitsizlik bize (2.1) ve (2.2) probleminin sıfır çözümünün global asimptotik olarak kararlı olduğunu gösterir.

Teorem 2.1.2

IR

p=0, k>0, b>0, γ∈ ve a(x) fonksiyonu, Teoremin 2.1.1 ’in .ii şartını sağlıyorsa,

lineer denkleminin (2.2) sınır şartını sağlayan her çözümü için 2 2 2t, xx t u Ke u + ≤ −δ K,δ₂ >0 (2.1.33) eşitsizliği sağlanır [15]. İspat: ), , ( tx

u (2.1.33) denkleminin (2.2) sınır şartını sağlayan bir çözümü olduğunu kabul edelim. p=0 olduğu göz önüne alınırsa (2.1.8) eşitsizliğinden aşağıdaki ifadeyi

(2.1.34) 0 ) , ( ) ( ) ( 0 2 0 1 0 1 2 1 2 1 2 1 1 ≤ + − − + + −

∫

∫

∫

l t l p t l t x x xx t dx u b dx u u b u u dx u x a u k u m t E dt d δ γ δ δ δ δ

yazabiliriz. δ₂∈(0,δ₁) keyfi bir sayı olsun. (2.1.7) de E₁(t) ’nin tanımı göz önüne alınırsa ve (2.1.34) eşitsizliğine δ₂E₁(t) ’yi ekleyip çıkarırsak aşağıdaki ifadeyi

(2.1.35) 0 ) , ( ) ( ) , ( ) ( 2 2 2 ) ( ) ( 0 2 0 1 1 0 2 1 2 1 2 1 1 2 0 2 2 2 2 2 2 1 2 1 ≤ + − − + + − − − − − +

∫

∫

∫

∫

l t l t t x l x xx t t l x xx t dx u b dx u u b u u dx u x a u k u m u u m dx u x a u k u m t E t E dt d δ γ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ

elde ederiz. Burada bazı kestirimlere ihtiyaç duyacağız.

∫

l xdx u x a 0 2 )

( terimi için Teorem 2.1.1 ’in

.

ii şartı ve (2.1.9) eşitsizliği göz önüne alınırsa,

(2.1.36) 2 2 ) ( 2 0 2 2 1 2 2 0 0 2 2 1 0 0 2 2 1

∫

∫

∫

      ₋ − ≥       ₋ − ≥       ₋ l xx l x l x dx u l c dx u c dx u x a δ δ π δ δ δ δ

yukarıdaki eşitsizlik doğrudur. δ₁γ(u_x,u_t) ve

∫

l t dx u u b 0 1

δ terimleri için

ε

-Young ve (2.1.9)

eşitsizliklerini kullanarak, (2.1.37) 4 2 ) , ( 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 1 xx t x t t x u b l u b u b u b u u π γ δ γ δ γ δ + ≤ + ≤ (2.1.38) 4 4 2 4 4 2 1 2 2 2 1 2 0 1 xx t t l t u bl u b u b u b dx u u b π δ δ δ + ≤ + ≤

∫

eşitsizlikleri yazılabilir ve benzer şekilde δ₂δ₁m(u,u_t) terimi için de

ε

-Young ve (2.1.24) eşitsizliklerini kullanarak, (2.1.39) 2 2 2 2 ) , ( 2 4 4 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 xx t t t u ml u m u m u m u u m π δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ + ≤ + ≤

eşitsizliğini yazabiliriz. Elde ettiğimiz (2.1.36), (2.1.37), (2.1.38) ve (2.1.39) eşitsizliklerini (2.1.35) eşitsizliğinde göz önüne alırsak,

(2.1.40) 0 2 2 2 2 2 ) ( ) ( 2 4 4 2 1 2 2 2 2 1 4 4 1 2 0 2 0 1 2 2 1 2 1 1 2 1 ≤         − − − − +       _{− − −} + + xx t u bl b l ml d d u m m m b t E t E dt d π δ π γ δ π δ δ δ δ δ δ δ δ δ

eşitsizliği elde edilir. Burada (2.1.25) eşitsizliğini de sağlayan δ₁ sayısı ile δ₂ ≤δ₁ sayısını,

0 ) ( ) ( _{2 1} 1 t + E t ≤ E dt d δ (2.1.41)

eşitsizliğini doğrulayacak kadar küçük seçebiliriz. Bu eşitsizliğin her iki tarafını eδ2t _ile

çarparak,

[

_e 2_E1(_t)

]

≤0 dt

d δt

eşitsizliğini elde ederiz. Buradan

E ₍t₎ E ₍₀₎e 2t 1 1 δ − ≤ (2.1.42)

elde edilir. Buna göre (2.1.26) eşitsizliği de göz önüne alınırsa istenen

, 2 2 2 t xx t u Ke u + ≤ −δ K,δ₂ >0

eşitsizlik elde edilir.

3. Genel Boru Ve Dönen Mil Denklemlerinin Sıfır Çözümlerinin Asimptotik Davranışı

Bu bölümde amacımız, x ∈(0,L), t∈ IR+ için aşağıdaki problemin sıfır çözümünün global asimptotik kararlı olduğunu göstermektir. Bunun için aşağıdaki problemi alalım.

w_tt +aw_xxxx +bw_txxxx +cw_t +α(t)w_xx +l(x)β(t)w_xx +γ(t)w_xt =0 (3.1) w(0,t)=w(L,t)=w_x(0,t)=w_x(L,t)=0 (3.2) veya

w(0,t)=w(L,t)=w_xx(0,t)=w_xx(L,t)=0. (3.3)

Burada a, b, c verilen pozitif sayılar ve α(t), β(t), γ(t), l(x) pozitif sınırlı fonksiyonlar olsunlar. v_tt +α₁v_xxxx −a(t)w_t −b(t)v−c(t)w+β₁v_txxxx+γv_t −d(t)w=0 (3.4) w_tt +α₂w_xxxx −a(t)v_t −b(t)w+c(t)v+β₂w_txxxx +γw_t +d(t)v=0 (3.5) + ∈ = = = = = = = = IR t , 0 ) , ( ) , 0 ( ) , ( ) , 0 ( ) , ( ) , 0 ( ) , ( ) , 0 ( t L w t w t L v t v t L w t w t L v t v x x x x (3.6) veya + ∈ = = = = = = = = IR t , 0 ) , ( ) , 0 ( ) , ( ) , 0 ( ) , ( ) , 0 ( ) , ( ) , 0 ( t L w t w t L v t v t L w t w t L v t v xx xx xx xx (3.7)

sistemini göz önüne alalım. Burada verilen α₁, α₂, β₁, β₂, γ pozitif sayılar ve ) ( ), ( ), ( ), (t b t c t d t

a pozitif sınırlı fonksiyonlar olsunlar.

(3.2) veya (3.3) sınır şartları altında,

0=Elw_xxxx+d_iElw_txxxx+d_ew_t +MU2w_xx +(L−x)MUw_xx +2MUw_xt +(M +m)w_tt (3.8) denklemini ve (3.6) veya (3.7) sınır şartları altında,

El₁v_xxxx+mv_tt −2mΩw_t −mΩ2v−mΩw+d_iEl₁v_txxxx+d_em(v_t −Ωw)=0 (3.9) El₂w_xxxx +mw_tt −2mΩv_t −mΩ2w−mΩv+d_iEl₂w_txxxx +d_em(w_t −Ωv)=0 (3.10) sistemlerini düşünebiliriz [17].

(3.8) denklemi, L uzunluğundaki düzgün bir borunun dinamiğini belirtir. Burada m her birim uzunluktaki kütleyi, El eğilim katsayısını, M her birim uzunluktaki bir sıvı kütlesinin taşınmasını, U(t) pozitif x yönünde zaman değişim hızını, d ve _i d sırasıyla iç ve _e dış bükülme katsayılarını gösterir. (3.9) ve (3.10) eşitlikleri zaman değişim açısal hızı olan Ω(t) ile dönen bir milin dinamiğini tanımlar. L, m, d_i ve d_e (3.8) denkleminde olduğu gibi aynıdır.

1

El ve El eğilim katsayılarıdır. (3.8), (3.2) veya (3.8), (3.3) probleminin sıfır çözümü, ₂

(

)

12 0 2 2         +

∫

L wxx wt dx

normuna göre belirli sınır şartları altında kararlıdır [17]. Benzer şekilde, (3.9), (3.10), (3.6) veya (3.9), (3.10), (3.7) probleminin sıfır çözümü de

(

)

12 0 2 2 2 2         + + +

∫

L vxx wxx vt wt dx

normuna göre belirli sınır şartları altında kararlıdır [17].

Burada amaç; (3.1), (3.2) (veya (3.1), (3.3)) ve (3.4), (3.5), (3.6) (veya (3.4), (3.5), (3.7)) problemlerinin sıfır çözümlerinin global asimptotik kararlı olduğunu yeterli şartlar altında garanti etmektir. Sonuçlarımızı elde etmek için Lyapunov fonksiyon tekniğini kullanacağız. Bu bölümde kullanılan bu metot, lineer olmayan sistemlere de uygundur.

İfade edilen vektörü u ile gösterelim. Bu durumda denge ifadesi de u=0 olur. Sınır şartlarını sağlayan u elemanını içeren uzayı da U ile gösterelim. t=0 için u nun ilk ifadesi

0

u olsun ve t anında ise u(t,u₀) olur. Bir özel normda U uzayı üzerinde tanımlansın. Aşağıdaki özellikleri sağlayan U uzayında tanımlanan bir w fonksiyonunu elde ederek Lyapunov’un metodunu genişletebiliriz. w fonksiyonu için, aşağıdaki üç özellik u=0 denge ifadesinin kararlılığı için yeterli bir koşulu gösterir , bu koşullar;

i. ∀u ∈U için w(u)≤c₁ u 2 şartını sağlayan bir c₁>0 vardır, ii. ∀u ∈U için w(u)≥c₂ u 2 şartını sağlayan bir c₂ >0 vardır, iii. w

(

u(t,u₀)

)

≤0,

dt d

dır [18-20].

Eğer sıfır çözümü kararlı ve tüm çözümler t→∞ iken sıfıra yaklaşıyorsa, sıfır çözümü global asimptotik kararlı olarak adlandırılır.

Burada, 2 1 0 2_{( )}         =

∫

L dx x w w ve =

∫

L dx x v x w v w 0 ) ( ) ( ) , ( anlamındadır. 2 2 _π λ=L olmak üzere,

∫

≤

∫

L x L dx x w dx x w 0 2 0 2_{( ) λ ( ) (3.11)}

Wirtinger eşitsizliğini göz önüne alalım. Bu durumda aşağıdaki eşitsizliğin

∫

≤

∫

L xx L x x dx w x dx w 0 2 0 2_{( ) λ ( ) (3.12)}

sağlandığını gösterelim.

(

ww_x

)

_x =w_x2 +ww_xx eşitliğini göz önüne alalım. Bu eşitliği

x

değişkenine göre 0 ’dan L ’ye integre eder ve (3.2) sınır şartını göz önüne alarak,

(

)

(

)

dx ww dx w dx ww dx w t w t w t L w t L w dx ww w dx ww L xx L x L xx L x x x L xx x L x x

∫

∫

∫

∫

∫

∫

= − ⇒ + = − ⇒ + = 0 0 2 0 0 2 0 2 0 ) , 0 ( ) , 0 ( ) , ( ) , (

eşitliği elde edilir. Son eşitliğin sağ tarafına Cauchy eşitsizliğini uygulayıp gerekli düzenlemeler yapılarak                 ≤        

∫

∫

∫

L xx L L xdx w dx w dx w 0 2 0 2 2 0 2

eşitsizliği elde edilir. Burada (3.12) Wirtinger eşitsizliği göz önüne alınarak

                ≤        

∫

∫

∫

L xx L x L xdx w dx w dx w 0 2 0 2 2 0 2 _λ

eşitsizliği elde edilir. Eşitsizliğin her iki tarafını

∫

L xdx

w

0

2 _{terimine bölersek, (3.12) eşitsizliği elde}

edilir.

∫

≤

∫

L xx L dx x w dx x w 0 2 2 0 2 ) ( ) ( λ (3.13) eşitsizliği elde edilir.

3.1. Global Asimptotik Kararlılık:

Teorem 3.1.1

Aşağıdaki şartların sağlandığını kabul edelim:

i. a, b, c verilen pozitif sayılardır.

ii. α(.), β(.) aşağıdaki şartları sağlayan C1

[

0,∞

)

sınıfından pozitif fonksiyonlardır;

₀ 2 1 2 ) ( ) ( ) ( ) (t +β t L+β t L λ +γ t ≤a α , (3.1.1)       − ≤ + ′ + ′_{(t) (t)L} 2_{(t)L1 n0} a _a0 λ β β α , (3.1.2) burada a , ₀ λ a a <₀ ve             −       ₊ − − = 3 2 , , 1 min 1 2 2 0 0 L c b b a a n λ λ λ

yukarıdaki şartı sağlayan keyfi bir pozitif sayı olsun. iii. γ(.), C1

[

0,∞

)

sınıfından pozitif bir fonksiyondur. iv. l(.)∈C1

[ ]

0,L ve 0≤l(x)≤L, (3.1.3) l′(x) ≤L₁ , ∀x∈

[ ]

0,L (3.1.4) olup burada L , ₁       ₊ < b c L₁ 2 ₂ λ (3.1.5)

eşitsizliği sağlayan pozitif bir sayıdır. (3.1), (3.2) veya (3.1), (3.3) probleminin sıfır çözümü,

(

)

12 0 2 2         +

∫

L wxx wt dx

normuna göre global asimptotik olarak kararlıdır. Bununla birlikte (3.2) veya (3.3) sınır şartlarını sağlayan, (3.1) denkleminin her çözümü için

w_xx 2 + w_t 2≤K₁ e−δt; K₁,δ >0, (3.1.6) eşitsizliği sağlanır. İspat 3.1.1 ) , ( tx

w , (3.2) veya (3.3) sınır şartlarını sağlayan (3.1) denkleminin bir çözümü olduğunu kabul edelim ve n ise daha sonra tanımlanacak bir parametre olsun. (3.1) denklemini

t w ile çarparsak, 0 ) ( ) ( ) ( ) ( 2 _{+ + + =} + + + _{t xxxx t txxxx t t xx t xx t xt} tt tw aww bw w cw t ww l x t ww t w w w α β γ

eşitliğini elde ederiz. Bu eşitlikte,

( )

2 2 1 t tt t w t w w ∂ ∂ = ,

( )

2 2 ) ( ) ( _{t xt} w_t x t w w t ∂ ∂ =γ γ ,

(

)

( )

2 2 xx xx tx xxx t xxxx t w t a w w w w x a w aw ∂ ∂ + − ∂ ∂ = ,

(

)

(

)

2 txx txx tx txxx t txxxx t w w bw x b w w x b w bw + ∂ ∂ − ∂ ∂ = ,

(

2

)

(

)

_{( )} 2 2 1 ) ( ) ( 2 1 ) ( _{t xx x} t w_tw_x t w_x x w t t w w t α α α α + ′ ∂ ∂ + ∂ ∂ − = ,

(

)

(

t x

)

t x x x xx t w w x l t w w x l x t w x l t w x l t t w w t x l ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 1 ) ( ) ( 2 1 ) ( ) ( 2 2 ′ − ∂ ∂ + ′ + ∂ ∂ − = β β β β β

olduğundan, yukarıdaki eşitliği

( )

2

(

)

( )

2 2 2 1 xx xx tx xxx t t w t a w w w w x a w t ∂ ∂ + − ∂ ∂ + ∂ ∂

(

_{t txxx}

)

(

_{tx txx}

)

_{txx t}

(

_x

)

(

t w_tw_x

)

x w t t cw bw w w x b w w x b ( ) ( ) 2 1 2 2 2 _{α α} ∂ ∂ + ∂ ∂ − + + ∂ ∂ − ∂ ∂ +

(

)

( ) ( ) ( )

(

( )

)

( ) ( ) 0 2 1 ) ( ) ( 2 1 ) ( 2 1 2 2 2 _{− ′ =} ∂ ∂ + ′ + ∂ ∂ − ′ + _{x x x} l x w_tw_x t l x w_tw_x x t w x l t w x l t t w t β β β β α

biçiminde yazabiliriz. Bu eşitliği, x değişkenine göre integre edersek ve sonra da (3.2) veya (3.3) sınır şartlarını göz önüne alarak,

        − − +

∫

L x x xx t w t w t l x w dx a w dt d 0 2 2 2 2 ) ( ) ( 2 1 ) ( 2 1 2 2 1 β α ( ) ( ) ( ) ( ) 0 2 1 ) ( 2 1 0 0 2 2 2 2 = ′ − ′ + ′ + + +

∫

∫

L x t L x x t txx c w t w t l x w dx t l x ww dx w b α β β (3.1.7)

eşitliği elde edilir.

(3.1) denklemini bu kez nw ile çarparak,

0 ) ( ) ( ) ( ) ( + + = + + + + _{xxxx txxxx t xx xx xt} tt anww bnww cnww n t ww nl x t ww n t ww nww α β γ

eşitliğini elde ederiz. Bu eşitlikte,

(

)

2 t t tt ww nw t n nww − ∂ ∂ = ,

( )

2 2 t w cn cnww_t ∂ ∂ = ,

(

)

(

)

2 xx xx x xxx xxxx w w anw x an ww x an anww + ∂ ∂ − ∂ ∂ = ,

( )

xx

(

txxx xxt x

)

txxxx w w w w x bn w t bn bnww − ∂ ∂ + ∂ ∂ = 2 2 ,

(

)

_{( )} 2 ) ( ) ( _xx ww_x n t w_x x t n ww t nα α − α ∂ ∂ = ,

(

_x

)

_{x x} xx l x ww nl x t w nl x t ww x t n ww t x nl( )β( ) β( ) ( ) − ( )β( ) 2 − ′( )β( ) ∂ ∂ = ,

(

_t

)

_{x t} xt ww n t w w x t n ww t nγ( ) γ( ) − γ( ) ∂ ∂ =

olup bunları yukarıda elde ettiğimiz denklemde yerlerine yazarsak

(

)

2

(

)

(

)

2 xx xx x xxx t t w w anw x an ww x an nw ww t n + ∂ ∂ − ∂ ∂ + − ∂ ∂

( )

2

(

)

( )

2 _{( )}

(

)

_{( )} 2 2 2 xx txxx xxt x t w n t x wwx n t wx cn w w w w x bn w t bn α α − ∂ ∂ + ∂ ∂ + − ∂ ∂ + ∂ ∂ +

(

( )

)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

(

)

( ) 0 ) ( 2 − = ∂ ∂ + ′ − − ∂ ∂ + _{x x x} ww_t n t w_xw_t x t n ww t x l n w t x nl ww x l x t nβ β β γ γ

eşitliğini elde ederiz. Bu eşitliği, x değişkenine göre integre edersek ve sonra da (3.2) veya (3.3) sınır şartlarını göz önüne alarak,

2 2 2 2 2 2 ) , (w w_t bn w_xx cn w nw_t an w_xx n dt d + −     _{+ +} ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( , ) 0 0 0 2 2 = − ′ − − −

∫

∫

_{x t} L x L x x n t l x w dx n t l x ww dx n t w w w t nα β β γ (3.1.8)

eşitliğini elde ederiz.

(3.1.7) ve (3.1.8) eşitliklerini taraf tarafa toplarsak,

    − − +

∫

L x x xx t w t w t l x w dx a w dt d 0 2 2 2 2 ) ( ) ( 2 1 ) ( 2 1 2 2 1 β α 2 2 2 2 2 ) ( 2 1 2 2 ) , (w w_t bn w_xx cn w b w_txx c w_t t w_x n + + + α′   + + +

∫

∫

− ′ − + ′ + L xx t x t L xdx t l x ww dx n w anw w x l t 0 2 2 0 2 _{( ) ( )} ) ( ) ( 2 1 β β ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( , ) 0 0 0 2 2 _{− − ′ − =} −

_∫

_∫

_{x t} L x L x x n t l x w dx n t l x ww dx n t w w w t nα β β γ (3.1.9)

eşitliğini elde ederiz.

2 2 0 2 2 2 2 2 2 ) , ( ) ( ) ( 2 1 ) ( 2 1 2 2 1 ) , ( w cn w bn w w n dx w x l t w t w a w w w E xx t L x x xx t t n + + + − − + = α β

_∫

(3.1.10) ve ) , )( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 1 ) ( 2 1 ) , ( 0 0 2 2 0 2 2 0 2 2 2 2 t x L x L x x L xx t x t L x x t txx t n w w t n dx ww x l t n dx w x l t n w t n w an w n dx w w x l t dx w x l t w t w c w b w w H γ β β α β β α − ′ − − − + − ′ − ′ + ′ + + =

∫

∫

∫

∫

(3.1.11)

olsun. (3.1.9) eşitliğinde, (3.1.10) ve (3.1.11) eşitliklerini göz önüne alarak, 0 ) , ( ) , ( _t + _{n t} = n w w H w w E dt d (3.1.12) eşitliğini elde ederiz.

) , (w w_t

t t t w w n w w n w w n ≤ ≤ ) , ( ) , (

eşitsizliğini yazabiliriz. Burada Young eşitsizliğini kullanarak ve sonra da (3.13) eşitsizliğini uygulayarak, 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 ) , ( xx t t t w n w n w w n w w n λ + ≤       ₊ ≤ (3.1.13) eşitsizliğini buluruz. (3.1.10) da (3.11), (3.12) ve (3.1.13) eşitsizliklerini kullanarak,

[

2

]

2 (1 ) 2 2 1 ) ) ( ) ( ( ) ( 2 1 ) , ( _{t xx t} n w w a n b t t L w n w E ≥ − λ − −λ α +β + − (3.1.14)

eşitsizliğini elde ederiz.

Eğer λ2 − b<0 ise, n<1 olmak üzere uygun bir k sabiti için (3.1.1) eşitsizliğinden, ₀

E_n(w,w_t)≥k₀

(

w_xx 2 + w_t 2

)

(3.1.15) eşitsizliğini elde ederiz.

Eğer λ2 − b>0 ise,       − − > b a a n 2 0 , 1 min λ λ (3.1.16) olmak üzere uygun bir k sabiti için (14) eşitsizliğinden, ₁

E_n(w,w_t)≥k₁

(

w_xx 2 + w_t 2

)

(3.1.17) eşitsizliğini elde ederiz.

(3.1.8) de, (3.1.13) eşitsizliği kullanılarak,

(

2 2 ₀

)

2 2 2 1 2 1 ) , ( _{t xx t} n w w n nb nc a a w w E ≤ λ + + λ + + λ + (3.1.18)

eşitsizliği elde edilir.

{

n nb nc a a n

}

k₂ =max λ2 + + λ2 + + ₀λ,1+

olsun. Bu durumda, (3.1.18) eşitsizliğinden,

E_n(w,w_t)≤k₂

(

w_xx 2 + w_t 2

)

(3.1.19) eşitsizliği elde edilir.

Diğer taraftan γ(t)(w_x,w_t) terimi için bir kestirim elde etmek üzere Cauchy eşitsizliğini kullanarak, t x t t x w w t w w t w w t ) ( ) , ( ) ( ) , )( ( γ γ γ ≤ ≤

yukarıdaki eşitsizliği elde ederiz. Burada Young eşitsizliğini kullanarak,

2 2 2 2 1 2 ) ( ) , ( ) (t w_x w_t ≤γ t w_x + w_t γ (3.1.20)

eşitsizliği elde edilir.

Şimdi

∫

′ L xdx ww x l t 0 ) ( ) (

β terimi için bir kestirim elde edelim. Bunun için sırasıyla

Cauchy eşitsizliğini ve (3.1.4) eşitsizliğini kullanarak,

w w L t w w x l t w w x l t w w x l t dx ww x l t x x x x L x 1 0 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , ) ( ( ) ( ) ( ) ( β β β β β ≤ ′ ≤ ′ ≤ ′ ≤ ′

∫

eşitsizliğini elde ederiz. Son eşitsizlikte, (3.11) eşitsizliği göz önüne alınarak,

₁ 2 0 ) ( ) ( ) ( _x L xdx t L w ww x l t β λ β

_∫

′ ≤ (3.1.21)

eşitsizliği elde edilir.

(3.1.11) eşitliğindeki

∫

′ L t xwdx w x l t 0 ) ( ) (

β terimine sırasıyla Cauchy eşitsizliğini ve

(3.1.4) eşitsizliğini kullanarak, t x t x t x x L t x w w L t w w x l t w w x l t w w x l t dx w w x l t 1 0 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , ) ( ( ) ( ) ( ) ( β β β β β ≤ ′ ≤ ′ ≤ ′ ≤ ′

∫

2 1 2 1 2 0 2 2 ) ( ) ( ) ( _{x t} L t x w L w L t dx w w x l t

∫

′ ≤ β + β (3.1.22)

eşitsizliği elde edilir.

(3.1.11) de (3.12), (3.13), (3.1.3), (3.1.20), (3.1.21) ve (3.1.22) ifadeleri göz önüne alınarak,

(

)

2 1 2 2 1 2 2 1 2 3 2 ) ( ) ( ) ( 2 1 2 ) ( ) ( ) ( ) ( ) , ( t x t n w n L c b v L t L t t t L t L t t a n w w H       _{+ − −} +   + ′ + ′ −           − − − − ≥ λ β β α γ λ β β α λ (3.1.23)

eşitsizliği elde edilir. Eğer (3.1.1) ve (3.1.3) şartlarını (3.1.23) eşitsizliğinde kullanarak,

            −       ₊ − − = 3 2 , , 1 min 1 2 2 0 0 L c b b a a n λ λ λ olmak üzere 0 ₀ 2 n n n ≤ ≤ için H_n(w,w_t)≥0 ve E_n(w,w_t)≤0 dt d

elde edilir. Böylece, )

,

( _t

n w w

E ’nin (3.1), (3.2) veya (3.1), (3.3) problemi için Lyapunov fonksiyonu olduğunu elde

ederiz. Bu yüzden,(3.1), (3.2) veya (3.1), (3.3) probleminin sıfır çözümü

(

)

12 0 2 2         +

∫

L wxx wt dx

normuna göre kararlıdır. δ >0 olmak üzere (3.1.12) den,

) , )( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 1 ) ( 2 1 2 2 ) , ( ) ( ) ( 2 ) ( 2 2 2 ) , ( ) , ( 0 0 2 2 2 2 0 0 2 2 2 2 2 2 0 2 2 2 2 t x L x L x x xx t L x t L x x t txx xx t L x x xx t t n t n w w t n dx ww x l t n dx w x l t n w t n w an w n dx w w x l t dx w x l t w t w c w b w cn w bn w w n dx w x l t w t w a w w w E w w E dt d γ β β α β β α δ δ δ β δ α δ δ δ δ + ′ + + + − + ′ − ′ − ′ − − − + + + − − + = +

∫

∫

∫

∫

∫

(3.1.24)

eşitliği elde edilir. (3.1.24) de (3.11), (3.12), (3.13) ve (3.1.1) ifadelerini kullanarak,

(

)

2 2 1 2 1 2 2 1 2 2 0 2 2 3 2 2 n ) ( ) ( ) ( 2 na 2 ) ( ) ( ) ( ) ( 2 2 2 2 ) ( ) , ( ) , ( t xx t n t n w b c L n w L t L t t t L t L t t n nc b n n a a w w E w w E dt d       _{+ + + − −} +   + ′ + ′ +       + + + +    + + + + = + λ δ δ β β α λ γ λ β β α λ λ δ δ λ δ λ δ δ (3.1.25)

eşitliğini elde ederiz.

0 0

2 n n

n ≤

≤ olmak üzere (3.1.25) de (3.1.1) ve (3.1.2) eşitsizlikleri göz önüne alınarak,

(

)

2 2 1 2 0 0 2 2 0 2 2 3 2 2 n 2 2 2 2 2 ) ( ) , ( ) , ( t xx t n t n w b c L n w a a n n nc b n n a a w w E w w E dt d       _{+ + + − −} +    −       ₋    + + + + ≤ + λ δ δ λ λ δ δ λ δ λ δ δ (3.1.26)

eşitsizliği elde edilir.

(3.1.26) eşitsizliğinde δ >0 sayısını 0 ) , ( ) , ( _t + _{n t} ≤ n w w E w w E dt d δ (3.1.27) eşitsizliğini sağlayacak şekilde seçebiliriz.

Bu eşitsizliğin her iki tarafı eδt ile çarpılırsa,

[

]

(

)

(

( ,0), ( ,0)

)

(3.1.28) ) , ( 0 ) 0 , ( ), 0 , ( ) , ( 0 ) , ( 0 ) , ( ) , ( t x n t n x n t n t t n t t n t t n t e x w x w E w w E x w x w E w w E e w w E e dt d w w E e w w E dt d e δ δ δ δ δ _δ ≤ ⇒ ≤ − ⇒ ≤ ⇒ ≤ +

eşitsizliği elde edilir. (3.1.28) eşitsizliğinde (3.1.15) veya (3.1.17) eşitsizlikleri göz önüne alınarak,

t t

xx w K e

w 2 + 2 ≤ ₁ −δ