Üçüncü Mertebeden Bulanık Fark Denklemleri Üzerine Bir Çalışma

T.C.

NECMETTİN ERBAKAN NİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

ÜÇÜNCÜ MERTEBEDEN BULANIK FARK DENKLEMLERİ ÜZERİNE BİR ÇALIŞMA

Nur ATAK OVALI YÜKSEK LİSANS TEZİ Matematik Anabilim Dalı

Ocak-2021 KONYA Her Hakkı Saklıdır

TEZ KABUL VE ONAYI

Nur ATAK OVALI tarafından hazırlanan “ÜÇÜNCÜ MERTEBEDEN BULANIK FARK DENKLEMLERİ ÜZERİNE BİR ÇALIŞMA” adlı tez çalışması 27/01/2021 tarihinde aşağıdaki jüri tarafından oy birliği / oy çokluğu ile Necmettin Erbakan Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı’nda YÜKSEK LİSANS TEZİ olarak kabul edilmiştir.

Jüri Üyeleri İmza

Başkan

Prof. Dr. Abdullah Selçuk KURBANLI ……….. Danışman

Prof. Dr. İbrahim YALÇINKAYA ………..

Üye

Doç. Dr. Mehmet YAVUZ ………..

Fen Bilimleri Enstitüsü Yönetim Kurulu’nun …./…/20.. gün ve …….. sayılı kararıyla onaylanmıştır.

Prof. Dr. S. Savaş DURDURAN FBE Müdürü

TEZ BİLDİRİMİ

Bu tezdeki bütün bilgilerin etik davranış ve akademik kurallar çerçevesinde elde edildiğini ve tez yazım kurallarına uygun olarak hazırlanan bu çalışmada bana ait olmayan her türlü ifade ve bilginin kaynağına eksiksiz atıf yapıldığını bildiririm.

DECLARATION PAGE

I hereby declare that all information in this document has been obtained and presented in accordance with academic rules and ethical conduct. I also declare that, as required by these rules and conduct, I have fully cited and referenced all material and results that are not original to this work.

İmza

Nur ATAK OVALI Tarih: 27/01/2021

iv ÖZET

YÜKSEK LİSANS TEZİ

ÜÇÜNCÜ MERTEBEDEN BULANIK FARK DENKLEMLERİ ÜZERİNE BİR ÇALIŞMA

Nur ATAK OVALI

Necmettin Erbakan Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı

Danışman: Prof. Dr. İbrahim YALÇINKAYA 2021, 39 Sayfa

Jüri

Prof. Dr. Abdullah Selçuk KURBANLI Prof. Dr. İbrahim YALÇINKAYA

Doç. Dr. Mehmet YAVUZ

Bu çalışma beş bölümden oluşmaktadır.

Birinci bölümde; bulanık kümeler, bulanık sayılar ve fark denklemleri ile ilgili temel tanım ve teoremler verilmiştir.

İkinci bölümde; bulanık fark denklemleri ile ilgili yapılmış bazı çalışmalar hakkında bilgi verilmiştir.

Üçüncü bölümde; Zhang ve arkadaşları tarafından 2012 yılında yayımlanan “Dynamics of a

system of rational third-order difference equation” başlıklı makale ele alınmıştır.

Dördüncü bölümde; C parametresi ile başlangıç koşulları birer pozitif bulanık sayı ve ( )zn bir pozitif bulanık sayı dizisi olmak üzere,

2 1 0 2 1 , n n n n n z z n C z z z − + − − = ∈ + ℕ

bulanık fark denklemi tanımlanmış ve bu denklemin pozitif çözümlerinin varlığı, sınırlılığı ve asimptotik davranışı incelenmiştir. Ayrıca, elde edilen sonuçlar için bazı nümerik örnekler verilmiştir.

Beşinci bölümde ise; sonuç ve önerilere yer verilmiştir.

v ABSTRACT

MS THESIS

A STUDY ON THE THIRD-ORDER FUZZY DIFFERENCE EQUATIONS Nur ATAK OVALI

THE GRADUATE SCHOOL OF NATURAL AND APPLIED SCIENCE OF NECMETTİN ERBAKAN UNIVERSITY

THE DEGREE OF MASTER OF SCIENCE IN MATHEMATICS

Advisor: Prof. Dr. İbrahim YALÇINKAYA 2021, 39 Pages

Jury

Prof. Dr. Abdullah Selçuk KURBANLI Prof. Dr. İbrahim YALÇINKAYA

Assoc. Prof. Dr. Mehmet YAVUZ

This study consists of five sections.

In the first section; basic definitions and theorems related to fuzzy sets, fuzzy numbers and difference equations are given.

In the second section; informations about some of the studies regarding the fuzzy difference equations studied before are given.

In the third section; the article entitled “Dynamics of a system of rational third-order difference

equation” published by Zhang et al. in 2012 is discussed.

In the fourth section; we define the fuzzy difference equation

2 1 0 2 1 , n n n n n z z n C z z z − + − − = ∈ + ℕ

where the parameter C and the initial conditions are positive fuzzy numbers, ( )z_n is a sequence of positive fuzzy numbers. Also, the existence, the boundedness and the asymptotic behavior of the positive solutions of this equation are investigated and some numerical examples which verify our results are given.

In the fifth section, conclusions and suggestions are given.

vi ÖNSÖZ

Bu çalışma, Necmettin Erbakan Üniversitesi, Fen Fakültesi, Matematik ve Bilgisayar Bilimleri Bölümü, Uygulamalı Matematik Anabilim Dalı Öğretim Üyesi Prof. Dr. İbrahim YALÇINKAYA yönetiminde hazırlanarak Necmettin Erbakan Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü’ne Yüksek Lisans Tezi olarak sunulmuştur.

Yüksek lisans çalışmamın her aşamasında deneyimlerini ve yardımlarını esirgemeyen değerli danışmanım Prof. Dr. İbrahim YALÇINKAYA’ya, desteğini esirgemeyen Dr. Öğr. Üyesi Durhasan Turgut TOLLU’ya ve bu süre zarfında hep yanımda olan aileme teşekkürlerimi ve saygılarımı sunarım.

.

Nur ATAK OVALI KONYA-2021

vii İÇİNDEKİLER ÖZET ... iv ABSTRACT ...v ÖNSÖZ ... vi İÇİNDEKİLER ... vii 1. GİRİŞ ...1 1.1. Bulanık Kümeler...1 1.2. Bulanık Sayılar ...6

1.3. Fark Denklemleri ile İlgili Tanım ve Teoremler ...9

2. KAYNAK ARAŞTIRMASI ... 16 3. 2 2 1 1 2 1 2 1 , n n n n n n n n n n x y x y B y y y A x x x − − + + − − − − = = + + FARK DENKLEM SİSTEMİ ... 21

4. 2 1 2 1 n n n n n z z C z z z − + − − = + BULANIK FARK DENKLEMİ... 26

4.1. Nümerik Örnekler ... 32

5. SONUÇ VE ÖNERİLER ... 36

KAYNAKLAR ... 37

1. GİRİŞ

Bu bölümde; bulanık kümeler, bulanık sayılar ve fark denklemleri ile ilgili temel tanım ve teoremler verilmiştir.

1.1. Bulanık Kümeler

Bu kısımda; bulanık kümeler ile ilgili temel tanım ve teoremler verilmiştir.

Tanım 1.1.1. X ≠ ∅ herhangi bir küme ve A⊂Xolsun.

( )

1, 0, A x A X x x A ∈  =  _∉  (1.1.1)

şeklinde tanımlanan XA:X →{0,1} fonksiyonuna A kümesinin karakteristik (üyelik)

fonksiyonu denir (Zadeh, 1965).

Tanım 1.1.2. X ≠ ∅ _{herhangi bir küme ve} I =[0,1] _{olmak üzere,} µ_A:X →[0,1] fonksiyonu ile karakterize edilen

( )

(

)

{

, _A :

}

A= x µ x x∈X (1.1.2)

kümesine X _{de bir bulanık (fuzzy) küme denir. Burada} µ_A ya A bulanık kümesinin üyelik fonksiyonu ve her x∈X için µ_A

( )

x ∈I değerine x _in A _{ya ait olma derecesi adı verilir}

(Zadeh, 1965).

Tanım 1.1.3. X ≠ ∅ herhangi bir küme ve µ_A:X →[0,1], c∈[0,1] olmak üzere, her

x∈ X _için µ_A

( )

x = ile karakterize edilen c A bulanık kümesine sabit bulanık küme denir (Zadeh, 1965).

Tanım 1.1.4. X ≠ ∅ _{herhangi bir küme ve} A ile B kümeleri X _{de iki bulanık küme}

olsun. Her x∈X için µ_A

( )

x =µ_B

( )

x ise A ve B ye eşit bulanık kümeler denir (Zadeh, 1965).

Tanım 1.1.5. X ≠ ∅ herhangi bir küme ve A ile B kümeleri X _{de iki bulanık küme}

olsun. Her x∈X _için µ_A

( )

x ≤µ_B

( )

x ise B bulanık kümesi A _{bulanık kümesini kapsar}

denir ve A⊆ ile gösterilir (Zadeh, 1965). B

Şekil 1.1.1. B bulanık kümesinin A bulanık kümesini kapsaması

Tanım 1.1.6. X ≠ ∅ herhangi bir küme ve , , A B C kümeleri X _{de üç bulanık küme olsun.}

(

)

{

}

{

x,µ_C( ) : Her x x∈X için µ_C( )x =min µ_A( ),x µ_B( )x

}

(1.1.3) şeklinde tanımlanan kümeye A ve B bulanık kümelerinin kesişimi denir ve A∩B şeklinde gösterilir (Zadeh, 1965).

Tanım 1.1.7. X ≠ ∅ _{herhangi bir küme ve , ,} A B C kümeleri X de üç bulanık küme olsun.

(

)

{

}

{

x,µC( ) : Her x x∈X için µC( )x =max µA( ),x µB( )x

}

(1.1.4)

şeklinde tanımlanan kümeye A ve B bulanık kümelerinin birleşimi denir ve A∪B

şeklinde gösterilir (Zadeh, 1965).

Tanım 1.1.8. X ≠ ∅ herhangi bir küme ve A kümesi X _{de bir bulanık küme olsun.}

(

)

{

x,µA'( ) : Her x x∈X için µA'( )x = −1 µA( )x

}

(1.1.5)

Şekil 1.1.2. A bulanık kümesinin tümleyeni

Tanım 1.1.9. X ≠ ∅ herhangi bir küme ve A ile B kümeleri X de iki bulanık küme olsun.

(

)

{

}

{

x,µA B\ ( ) : Her x x∈X için µA B\ ( )x = min µA( ),x µB'( )x

}

(1.1.6)

şeklinde tanımlanan kümeye A ve B bulanık kümelerinin farkı denir ve A B\ ile gösterilir (Zadeh, 1965).

Tanım 1.1.10. A _kümesi X _{de bir bulanık küme ve} α∈(0,1] olmak üzere, A _kümesinin

α−kesimi [ ]A _α ile gösterilir ve

( )

{

}

[ ]A_α = x∈X :µ_A x ≥α (1.1.7) şeklinde tanımlanır (Bede, 2013).

Tanım 1.1.11. A kümesi X de bir bulanık küme olsun. Eğer en az bir x0∈X için

( )

0 1 A x

µ = ise A bulanık kümesi normaldir denir (Bede, 2013).

Şekil 1.1.4. A normal bulanık küme

Tanım 1.1.12. A kümesi X de bir bulanık küme olsun. A bulanık kümesinin destek (dayanak) kümesi

( )

{

( )

}

supp A = x∈X :µ_A x >0 (1.1.8)

şeklinde tanımlanır (Bede, 2013).

Tanım 1.1.13. A kümesi X de bir bulanık küme olsun. Eğer her λ∈[0,1] ve her

1, 2 x x ∈X için

(

)

(

1 1 2

)

min

{

( ),1

( )

2

}

A x x A x A x µ λ + −λ ≥ µ µ (1.1.9)

eşitsizliği sağlanıyorsa A _{bulanık kümesi bulanık dış bükeydir (bulanık konvekstir) denir}

(Zadeh, 1965).

Uyarı 1.1.1. Bir bulanık kümenin α -kesimlerine karşılık gelen aralıklar ayrık aralıkların birleşimi değil, yalnız bir aralığa eşit ise bu bulanık küme bulanık dış bükeydir.

Şekil 1.1.6. A bulanık dış bükey küme

Teorem 1.1.1. (a) A bulanık kümesinin bulanık dış bükey olması için gerek ve yeter şart her α∈(0,1] için [ ]A_α kümesinin klasik anlamda dış bükey olmasıdır.

(b) A ve B bulanık kümeleri bulanık dış bükey ise A∩B bulanık kümesi de bulanık dış bükeydir (Zadeh, 1965).

Tanım 1.1.14. A _kümesi X _{de bir bulanık küme olsun.}

Eğer her ε > ve 0 x−x₀ < şartını sağlayan her x Xδ ∈ için µA( )x <µA( )x0 + ε

olacak şekilde δ > sayısı varsa 0 µA ile karakterize edilen A bulanık kümesi x noktasında 0

üst-yarı süreklidir.

Eğer her ε > ve 0 x−x₀ < şartını sağlayan her x Xδ ∈ için µA( )x0 − <ε µA( )x olacak şekilde δ > sayısı varsa 0 µA ile karakterize edilen A bulanık kümesi x noktasında 0

alt-yarı süreklidir (Bede, 2013).

1.2. Bulanık Sayılar

Bu kısımda; bulanık sayılar ile ilgili temel tanım ve teoremler verilmiştir.

Tanım 1.2.1. µA:ℝ→[0,1] üyelik fonksiyonu ile karakterize edilen ℝ nin bir A bulanık kümesi;

(a) A _normaldir.

(b) A bulanık dış bükeydir. (c) A _{üst-yarı süreklidir.}

(d)

{

x∈X:µ_A

( )

x >0

}

kompakttır.

özelliklerini sağlıyorsa, A _{ya bulanık (fuzzy) sayı denir (Bede, 2013).}

ℝ _{deki tüm bulanık sayıların kümesi} ℝ_F ile gösterilir. Eğer supp( )A ⊂(0, )∞ ise A

bulanık sayısı pozitiftir ve ℝ _{deki tüm pozitif bulanık sayıların kümesi} ℝ+_{F ile gösterilir.}

Bulanık sayıların α-kesimleri, α∈(0,1] için [Al,α,Ar,α] şeklindeki kapalı aralıklardır.

Bulanık sayılar dış bükey bulanık kümeler olduğundan α-kesimlerine karşılık gelen aralıklar ayrık aralıkların birleşimi değil yalnız bir aralığa eşittir.

Örnek 1.2.1. 0, 1 1 , 1 4 3 ( ) 7 , 4 7 3 0, 7 A x x x x x x x µ <   −  _{≤ ≤}  =  ₋  _{≤ ≤}   _< 

şeklinde tanımlanan µ_A:ℝ→[0,1] fonksiyonu ile karakterize edilen A _{bulanık kümesi bir}

bulanık sayıdır ve grafiği

şeklindedir. 1 3 x α − = ise x=3α+ ve 1 7 3 x α −

= ise x= −7 3α olduğundan A _bulanık

kümesinin α -kesimi [ ]A _α =[A_l,α,A_r,α]=[3α +1, 7−3 ]α olarak bulunur.

Lemma 1.2.1. Eğer f :ℝ+×ℝ+× ×... ℝ+→ℝ+ _{sürekli bir fonksiyon ve B B0, 1,...,B bulanık k}

sayılar ise

[

f B B( 0, 1,...,Bk)

]

α = f([B0] ,[α B1] ,...,[α Bk] )α (1.2.1)

dır (Papaschinopoulos ve Stefanidou, 2003).

Tanım 1.2.2. A _ile B iki bulanık sayı ve α∈(0,1] için A _ile B nin α-kesimleri sırasıyla

, ,

[ ]A_α =[A_lα,A_rα] ve [ ]Bα =[Bl,α,Br,α] olmak üzere, her α∈(0,1] için A ve B bulanık

sayılarının toplamı

, , , ,

[ ] [ ] [ _{l l} , _{r r} ]

A+ =B A_α + B _α = A_α +B _α A _α +B _α (1.2.2) şeklinde tanımlanır.

Tanım 1.2.3. A _ile B iki bulanık sayı ve α∈(0,1] için A _ile B nin α-kesimleri sırasıyla,

, ,

[ ]A_α =[A_lα,A_rα] ve [ ]B_α =[B_l,α,B_r,α] olmak üzere, her α∈(0,1] için A ve B bulanık sayıları için çıkarma işlemi

, , , ,

[ ] [ ] [ _{l r} , _{r l} ]

A− =B A_α − B _α = A_α −B _α A _α −B _α (1.2.3)

şeklinde tanımlanır.

Tanım 1.2.4. A _ile B iki bulanık sayı ve α∈(0,1] için A _ile B nin α-kesimleri sırasıyla

, ,

[ ]Aα =[Alα,Arα] ve [ ]Bα =[Bl,α,Br,α] olmak üzere, her α∈(0,1] için A ve B bulanık

sayılarının çarpımı,

, , , , , , , ,

min{ _{l l} , _{l r} , _{r l} , _{r r} }

a= A B_{α α} A B_{α α} A B_{α α} A B_{α α} ve b=max{A Bl,α l,α,A Bl,α r,α,A Br,α l,α,A Br,α r,α}

[ ] [ ] [ , ]

A B× = Aα × Bα = a b (1.2.4)

şeklinde tanımlanır. Özel olarak A _ile B bulanık sayıları ℝ da tanımlı ise +

, , , ,

[ ] [ ] [ _{l l} , _{r r} ]

A B× = A_α × B_α = A B_{α α} A B_{α α} (1.2.5) şeklindedir.

Tanım 1.2.5. A _ile B iki bulanık sayı ve α∈(0,1] için A ile B nin α-kesimleri sırasıyla

, ,

[ ]A_α =[A_lα,A_rα] ve [ ]Bα =[Bl,α,Br,α] olmak üzere, A ile B bulanık sayıları +

ℝ da tanımlı ise A ve B bulanık sayıları için bölme işlemi

, , , , / [ ] / [ ] l , r r l A A A B A B B B α α α α α α   = _{=  }     (1.2.6) şeklinde tanımlanır.

Tanım 1.2.6. (a) A ile B iki bulanık sayı ve α∈(0,1] için A _ile B nin α-kesimleri sırasıyla [ ]Aα =[Al,α,Ar,α] ve [ ]B α =[Bl,α,Br,α] olmak üzere, her α∈(0,1] için A bulanık

sayısının boyu

{

}

{

, ,

}

sup max _l , _r

A = A_α A _α (1.2.7)

şeklinde ve A ile B bulanık sayıları arasındaki uzaklık

{

}

{

, , , ,

}

( , ) sup max _{l l} , _{r r}

D A B = A_α −B _α A _α −B _α (1.2.8)

şeklinde tanımlanır.

(b) (x_n) bir pozitif bulanık sayı dizisi ve x bir bulanık sayı olmak üzere, lim( _n)

n→∞ x =x olması için gerek ve yeter şart lim ( _n, ) 0

n→∞D x x = olmasıdır (Diamond ve Kloeden, 1994).

Tanım 1.2.7. A _ile B iki bulanık sayı ve α∈(0,1] için A _ile B nin α-kesimleri sırasıyla

, ,

{

, ,

}

{

, ,

}

( , ) min _l , _l , min _r , _r MIN A B =  A_α B _α A _α B _α _ (1.2.9) ve

{

, ,

}

{

, ,

}

( , ) max _l , _l , max _r , _r MAX A B =  A_α B_α A _α B _α _ (1.2.10)

şeklinde tanımlanır (Klir ve Yuan, 1995).

Tanım 1.2.8. Eğer her n≥ için n₀ MIN x C( , )_n = ve C MAX x D( , )_n =D olacak şekilde C ve

D bulanık sayıları varsa (x_n) bulanık sayı dizisi sınırlı ve dirençlidir (Papaschinopoulos ve

Papadopoulos, 2002a).

Tanım 1.2.9. (x_n) bir pozitif bulanık sayı dizisi ve x bir pozitif bulanık sayı olsun. Eğer her

0 n≥ için n ( _m, ) _m MIN x x =x ve MIN x x( , )_s = (1.2.11) x veya ( _m, ) MIN x x = ve x MIN x x( , )_s = (1.2.12) x_s

olacak şekilde s m, ≥ şartını sağlayan n₀ s m, doğal sayıları varsa (x_n) dizisi x civarında

salınımlıdır (Papaschinopoulos ve Papadopoulos, 2002a).

1.3. Fark Denklemleri ile İlgili Tanım ve Teoremler

Bu kısımda, fark denklemleri ile ilgili literatürde var olan temel tanım ve teoremler verilmiştir.

Tanım 1.3.1. n ∈ℕ bağımsız değişken ve x bilinmeyen bir fonksiyon olmak üzere, ₀

( , ( ), ( 1),..., ( )) 0

F n x n x n+ x n k+ = (1.3.1)

( ) ( , ( ), ( 1),..., ( 1))

x n+k = f n x n x n+ x n+ −k (1.3.2)

formunda ise normal fark denklemi adını alır. Bir fark denkleminde bilinmeyen fonksiyonun en büyük ve en küçük argümentlerinin farkına o denklemin mertebesi denir (Soykan ve ark., 2017).

Tanım 1.3.2. ℕ₀ üzerinde tanımlı bir x n( ) fonksiyonu her n ∈ℕ için (1.3.1) denklemini ₀

sağlıyorsa, bu durumda x n( ) fonksiyonuna ℕ₀ üzerinde (1.3.1) denkleminin bir çözümü denir. k ıncımertebedenbir fark denkleminin ϕ ve ψ fonksiyonlar olmak üzere,

1 2 ( , ( ), , ,..., ) 0n x n c c c_k ϕ = (1.3.3) veya 1 2 ( ) ( , , ,..., )_k x n =ψ n c c c (1.3.4)

şeklinde k tane c c₁, ,...,₂ c ∈ℝ keyfi sabit içeren çözümüne genel çözüm adı verilir. Genel _k

çözümden elde edilen çözümlere de özel çözüm denir (Soykan ve ark., 2017).

Teorem 1.3.1. I reel sayıların bir aralığı ve k∈ℤ+ olmak üzere, _f : _Ik+1_{→ sürekli I} türevlere sahip bir fonksiyon ise x_−k,x_{− +k1},...,x₀∈ başlangıç koşulları için I

(

)

1 , 1, , , 0

n n n n k

x ₊ = f x x ₋ … x ₋ n∈ℕ (1.3.5)

fark denkleminin bir tek

{ }

_n n k

x ∞₌₋ çözümü vardır (Camouzis ve Ladas, 2008).

Tanım 1.3.3. Eğer (1.3.5) denkleminde x = f x x

(

, ,…,x

)

ise x noktasına (1.3.5)

denkleminin denge noktası denir (Camouzis ve Ladas, 2008).

Tanım 1.3.4. Eğer her n >0 için x_−k,x_{− +k 1},...,x₀∈ iken J x_n∈ olacak şekilde bir J J ⊆ I

alt aralığı varsa, bu J aralığına (1.3.5) denkleminin değişmez aralığı denir (Camouzis ve Ladas, 2008).

Tanım 1.3.5. (1.3.5) denkleminin bir denge noktası x olmak üzere;

(a) Eğer x0,...,x−k∈ olmak üzere, her I ε >0 için x0− + +x ... x−k −x <δ iken her n ≥1 için x_n−x <ε olacak şekilde bir δ >0 sayısı varsa x denge noktası kararlıdır denir.

(b) Eğer x denge noktası kararlı ve x0,...,x−k∈ iken I lim n

n→∞x =x olacak şekilde

0 ... k

x −x + + x₋ −x <γ şartını sağlayan γ >0 sayısı varsa x denge noktası lokal

asimptotik kararlıdır denir. (c) Eğer her x0,...,x−k∈I iken lim n

n→∞x =x ise x denge noktasına çekim noktası denir.

(d) Eğer x denge noktası kararlı ve çekim noktası ise x denge noktası global asimptotik kararlıdır denir.

(e) Eğer x denge noktası kararlı değil ise kararsızdır denir (Camouzis ve Ladas, 2008).

Tanım 1.3.6. (1.3.5) fark denkleminin bir çözümü

{ }

_n n k

x ∞₌₋ olsun. Eğer

{ }

_n n k

x ∞₌₋ çözümü

n≥ − için k x_{n p+} = şartını sağlıyorsa x_n

{ }

_n

n k

x ∞₌₋ çözümü p periyotludur denir. Bu şartı sağlayan en küçük pozitif p tam sayısına da asal periyot denir (Camouzis ve Ladas, 2008).

Tanım 1.3.7. Eğer

{ }

_n n k

x ∞₌₋ çözümü sonlu sayıda terim hariç tutulduğunda, geriye kalan sonsuz sayıdaki terim için x_{n p}+ = şartını sağlıyorsa x_n

{ }

xn n k

∞

=− çözümü er geç p

periyotludur denir ve p bu şartı sağlayan en küçük pozitif tam sayıdır (Camouzis ve Ladas, 2008).

Tanım 1.3.8. I reel sayıların bir aralığı, k∈ℤ+ ve i=0,1,…,k olmak üzere, _f : _Ik+1 _→I

fonksiyonunun x_i lere göre kısmi türevlerinin x denge noktasındaki değerleri

(

, , ,

)

i i f p x x x x ∂ = ∂ … (1.3.6) olsun. Bu durumda, 1 0 0 , k n i n i i z + p z − n = = ∑ ∈ℕ (1.3.7)

denklemine (1.3.5) denkleminin x denge noktası civarındaki lineerleştirilmiş denklemi

denir. (1.3.7) denkleminden elde edilen

1 0 0 k k k i i i p λ + λ − = − ∑ = (1.3.8)

polinom denklemine ise (1.3.5) denkleminin x denge noktasındaki karakteristik denklemi

denir (Elaydi, 1995).

Teorem 1.3.2.

(a) Eğer (1.3.8) denkleminin bütün kökleri mutlak değerce 1’den küçük ise x denge noktası lokal asimptotik kararlıdır.

(b) Eğer (1.3.8) denkleminin köklerinden en az biri mutlak değerce 1’den büyük ise x denge noktası kararsızdır (Elaydi, 1995).

Tanım 1.3.9. (1.3.5) denkleminin bir denge noktası x olsun. l≥ − , k m ≤∞ olmak üzere,

{

xl,xl+1,...,xm

}

dizisinin her elemanı x denge noktasından büyük veya eşit, xl−1<x ve

1 m

x + <x oluyorsa,

{

xl,xl+1,...,xm

}

dizisine

{ }

xn _{n k} ∞

=− çözümünün bir pozitif yarı dönmesi

denir. Benzer şekilde, l≥ − , k m≤∞ olmak üzere,

{

x_l,x_l+1,...,x_m

}

dizisinin her elemanı x

denge noktasından küçük, x_l−1≥x ve x_m+1≥x oluyorsa,

{

x_l,x_l+1,...,x_m

}

dizisine

{ }

_n n k

x ∞₌₋

çözümünün bir negatif yarı dönmesi denir (Camouzis ve Ladas, 2008).

Tanım 1.3.10. Eğer her N pozitif tam sayısı için x x_{n n+1}≤ olacak şekilde n N0 ≥ tam sayıları mevcut ise

{ }

_{n n}

k

x ∞₌₋ çözümü sıfır civarında salınımlıdır denir. Aksi halde salınımlı değildir denir. (Elaydi, 1995).

Tanım 1.3.11.

{

x_n−x

}

dizisi salınımlı ise

{ }

_{n n} k

x ∞₌₋ çözümü x denge noktası civarında

salınımlıdır denir (Camouzis ve Ladas, 2008).

Tanım 1.3.12.

{ }

_{n n} k

x ∞₌₋ dizisinde her n için P≤ xn ≤Q olacak şekilde P ve Q pozitif sayıları varsa

{ }

_{n n}

k

Teorem 1.3.3. I ile J birer reel sayı aralığı, 1 1

: k k

f I + ×J + →I ve g : Ik+1×Jk+1→ J

sürekli türevlere sahip fonksiyonlar ise her (x_−i,y_−i)∈ × (I J i=0,1, 2,…, )k başlangıç şartı ve n ∈ℕ₀ için

(

)

(

)

1 1 , , , , , , , , , , n n n k n n k n n n k n n k x f x x y y y g x x y y + − − + − − =   ₌  … … … … (1.3.9)

fark denklem sisteminin bir tek

{

( _n, _n)

}

n k

x y ∞₌₋ çözümü vardır (Kocic ve Ladas, 1993).

Tanım 1.3.13. Eğer (1.3.9) denklem sisteminde

(

)

(

)

, , , , , , , , , , x f x x y y y g x x y y =   =  … … … … (1.3.10)

ise

(

x y noktasına (1.3.9) sisteminin denge noktası denir (Kocic ve Ladas, 1993). ,

)

(1.3.9) fark denklem sistemi, X_n =

(

x_n,…,x_{n k−} ,y_n,…,y_{n k−}

)

T∈Ik+1×Jk+1 ve x_n =u_n( )0 ,

( )1

1 ,

n n

x₋ =u …, x_{n k−} =u( )_nk , y_n =v_n( )0 , y_n−1=v_n( )1, …, y_{n k−} =v( )_nk değişken değiştirmeleri ile

1 1 1 1 : k k k k F I + ×J + →I + ×J + için ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 ( , ,..., , , ,..., ) ( , ,..., , , ,..., ) k k n n n n n n n n n k k n n k k n n n n n n n n n k k n n u f u u u v v v u u u u F v g u u u v v v v v v v − −                          ₌                                ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ (1.3.11) olmak üzere, 1 ( ), 0 n n X ₊ =F X n∈ℕ (1.3.12)

vektör formunda yazılabilir. Eğer (1.3.9) sistemi

(

x y,

)

denge noktasına sahip ise (1.3.12) sisteminin denge noktasının X =

(

x,…, , ,x y …,y

)

T şeklinde olduğu açıktır (Kocic ve Ladas, 1993).

Bu çalışmada, herhangi bir vektörün veya matrisin normu ⋅ ile ve (1.3.12) sisteminin bir başlangıç şartı X₀∈Ik+1×Jk+1 şeklinde gösterilecektir.

Tanım 1.3.14. (1.3.12) sisteminin bir denge noktası X olmak üzere;

(a) Eğer her ε >0 için X₀−X < iken her δ n ≥1 için X_n−X < olacak şekilde bir ε

0

δ > varsa X denge noktası kararlıdır denir. Aksi halde, X denge noktası kararsızdır. (b) Eğer X denge noktası kararlı ve n → ∞ iken X_n →X olacak şekilde X₀ −X < γ

şartını sağlayan γ >0 sayısı varsa X denge noktası lokal asimptotik kararlıdır denir.

(c) Eğer n → ∞ iken X_n→X ise X denge noktasına çekim noktası denir.

(d) Eğer X denge noktası hem lokal asimptotik kararlı hem de çekim noktası ise X denge noktası global asimptotik kararlıdır denir (Kocic ve Ladas, 1993).

(1.3.12) fark denklem sisteminin X _{denge noktasındaki lineerleştirilmiş sistemi;} F dönüşümünün X _{denge noktasındaki Jakobiyen matrisi}

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 0 1 0 1 0 1 2 2 2 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 k k n n n n n n F k k n n n n n n k k f f f f f f u u u v v v J g g g g g g u u u v v v + × + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂   _{∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂}            =   ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂   _{∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂}              ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋮ ⋮ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋮ ⋮ ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ (1.3.13) olmak üzere, 1 , 0 n F n Z ₊ =J Z n∈ℕ (1.3.14)

şeklindedir ve (1.3.14) sisteminin X _{denge noktası civarındaki karakteristik polinomu} 0 0 a > olmak üzere, 2 2 2 1 0 1 2 1 2 2 ( ) k k ··· _{k k} P λ =aλ + +aλ + + +a ₊λ+a ₊ (1.3.15) şeklinde yazılabilir (Kocic ve Ladas, 1993).

Teorem 1.3.4. (1.3.12) fark denklem sisteminin bir denge noktası X olsun. Eğer bu sistemin X _{denge noktasındaki} J_F Jakobiyen matrisinin tüm öz değerleri |λ| 1< _{açık birim}

diskinin içinde ise X denge noktası lokal asimptotik kararlıdır. Eğer öz değerlerden en az biri için |λ| 1> ise X denge noktası kararsızdır (Kocic ve Ladas, 1993).

Teorem 1.3.5. (1.3.12) fark denklem sisteminin bir denge noktası X ve bu sistemin X

denge noktasındaki karakteristik polinomu a >₀ 0 olmak üzere,

1

0 1 1

( ) n n ···

n n

P λ =aλ +aλ − + +a ₋λ+a (1.3.16) şeklinde olsun. P( )λ polinomunun tüm köklerinin |λ| 1< _{açık birim diskinde olması için}

gerek ve yeter şart

1 3 5 0 2 4 1 3 0 0 0 0 0 0 0 0 n a a a a a a a a         ∆ =         ⋯ ⋯ ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋯ (1.3.17)

matrisinin bütün ∆_k (k=1, 2,..., )n minörleri (∆ in alt matrislerinin determinantları) için _n 0

k

2. KAYNAK ARAŞTIRMASI

Bu bölümde; bulanık fark denklemleri ile ilgili yapılmış çalışmalardan bazıları hakkında bilgi verilmiştir:

Deeba ve ark. (1996) yaptıkları çalışmada; w q, parametreleri ile x0 başlangıç koşulu

birer pozitif bulanık sayı olmak üzere,

1

n n

x₊ =wx + q (2.1)

bulanık fark denkleminin çözümlerini incelemişlerdir.

Deeba ve Korvin (1999) yaptıkları çalışmada; a b m, , parametreleri ile C₋₁ ,C₀

başlangıç koşulları birer pozitif bulanık sayı olmak üzere,

1 1

n n n

C ₊ =C −abC ₋ + m (2.2)

bulanık fark denkleminin çözümlerini incelemişlerdir. (2.2) denklemi kandaki karbondioksit oranını belirleyen lineer olmayan bir modelin lineerleştirilmiş halidir.

Papaschinopoulos ve Papadopoulos (2002a) yaptıkları çalışmada; A B, parametreleri ile x₀ başlangıç koşulu birer pozitif bulanık sayı olmak üzere,

1 n n B x A x + = + (2.3)

bulanık fark denkleminin pozitif çözümlerinin varlığını, salınımlılığını, sınırlılığını ve asimptotik davranışını incelemişlerdir.

Papaschinopoulos ve Papadopoulos (2002b) yaptıkları çalışmada; A parametresi ile başlangıç koşulları birer pozitif bulanık sayı olmak üzere, m ∈{1, 2,...} için

1 n n n m x x A x + − = + (2.4)

bulanık fark denkleminin pozitif çözümlerinin varlığını, sınırlılığını ve asimptotik davranışını incelenmişlerdir.

Papaschinopoulos ve Stefanidou (2003) yaptıkları çalışmada; k ∈ℕ₁, i∈{0,1,..., }k için

i

p ler pozitif sabitler, A parametreleri ile _i x_−k,x_{− +k 1},...,x₀ başlangıç koşulları birer pozitif bulanık sayı olmak üzere,

1 0 i k i n p i n i A x x + = − =

∑

(2.5)

bulanık fark denkleminin pozitif çözümlerini incelemişlerdir.

Stefanidou ve Papaschinopoulos (2005) yaptıkları çalışmada; k ∈ ℕ için α β ,

parametreleri ile z_−k,z_{− +k 1},...,z₀ başlangıç koşulları birer pozitif bulanık sayı olmak üzere,

1 1 max , ,..., n n n n k z z z z α α α + − −   = _{ }   (2.6) ve 1 1 max , n n n z z z α β + −   = _{ }   (2.7)

maksimumlu bulanık fark denklemlerinin çözümlerini incelemişlerdir.

Stefanidou ve Papaschinopoulos (2006) yaptıkları çalışmada; k m, ∈ℤ+ ve

max{ , }

d = k m için A A₀, ₁ parametreleri ile x i_i, ∈ − − +{ d, d 1,..., 0} başlangıç koşulları birer pozitif bulanık sayı olmak üzere,

0 1 1 max n n k n m A A x x x + − −   = _ + _   (2.8)

maksimumlu bulanık fark denkleminin pozitif çözümlerinin periyodikliğini incelemişlerdir. Zhang ve ark. (2012) yaptıkları çalışmada; A B, parametreleri ile x₋₁, x₀ başlangıç koşulları birer pozitif bulanık sayı olmak üzere,

1 1 1 n n n n Ax x x B x − + − + = + (2.9)

bulanık fark denkleminin pozitif çözümlerinin varlığını ve asimptotik davranışını incelemişlerdir.

Hatır ve ark. (2014) yaptıkları çalışmada; A B, parametreleri ile x₋₁,x₀ başlangıç koşulları birer pozitif bulanık sayı olmak üzere,

1 1 n n B x A x + − = + (2.10)

bulanık fark denkleminin pozitif çözümlerinin varlığını, sınırlılığını, salınımlılığını ve asimptotik davranışını incelemişlerdir.

He ve ark. (2014) yaptıkları çalışmada; k m ∈ ℕ, ve d =max{ , }k m için x_−d,x_{− +d 1},...,x₀

başlangıç koşulları birer pozitif bulanık sayı, (A periyodik bir bulanık sayı dizisi olmak _n) üzere, 1 max , n n n k n m A x x x + − −   = _{ }   (2.11)

maksimumlu bulanık fark denkleminin pozitif çözümlerinin periyodikliğini incelemişlerdir. Zhang ve ark. (2014) yaptıkları çalışmada; A B, parametreleri ile x₀ başlangıç koşulu birer pozitif bulanık sayı olmak üzere,

1 n n n A x x B x + + = + (2.12)

Ricatti bulanık fark denkleminin çözümlerini incelemişlerdir.

Zhang ve ark. (2015) yaptıkları çalışmada; A parametresi ile x₋₂, x₋₁, x₀ başlangıç koşulları birer pozitif bulanık sayı olmak üzere,

1 1 2 n n n n x x A x x + − − = + (2.13)

bulanık fark denkleminin pozitif çözümlerinin sınırlılığını, sürekliliğini ve global davranışını incelemişlerdir.

Khastan (2017) yaptığı çalışmada; w q, parametreleri ile x₋₁ başlangıç koşulu birer pozitif bulanık sayı olmak üzere,

1

n n

x =wx₋ + q (2.14)

bulanık fark denkleminin çözümlerinin varlığını, tekliğini ve asimptotik davranışını incelemiştir.

Wang ve ark. (2017) yaptıkları çalışmada; A B C D, , , parametreleri ile

4, 3, 2, 1, 0

x₋ x₋ x₋ x₋ x başlangıç koşulları birer pozitif bulanık sayı olmak üzere,

1 2 1 3 4 n n n n n Ax x x D Bx Cx − − + − − = + + (2.15)

bulanık fark denkleminin çözümlerinin varlığını, tekliğini ve asimptotik davranışını incelemişlerdir.

Khastan (2018) yaptığı çalışmada; β parametresi ile x başlangıç koşulu birer pozitif ₀

bulanık sayı olmak üzere,

1 (1 )

n n n

x₊ =βx −x (2.16)

bulanık fark denkleminin çözümlerinin davranışını incelemiştir.

Rahman ve ark. (2018) yaptıkları çalışmada; A B parametreleri ile , x₋₁, x₀ başlangıç koşulları birer pozitif bulanık sayı olmak üzere,

1 1 1 n n n n x x A Bx x − + − = + (2.17)

bulanık fark denkleminin çözümlerinin davranışını incelemişlerdir.

Sun ve ark. (2018) yaptıkları çalışmada; d =max{ , }m r için z_−d,z_{− +d 1},...,z₋₁ başlangıç koşulları birer pozitif bulanık sayı, (α_n) periyodik bir pozitif bulanık sayı dizisi olmak üzere, 1 max , n n n m n r z z z α − −   = _{ }   (2.18)

Wang ve Zhang (2018) yaptıkları çalışmada; A B C, , parametreleri ile x başlangıç ₀

koşulu birer pozitif bulanık sayı olmak üzere,

1

n

Cx

n n

x₊ = A+Bx e− (2.19)

bulanık fark denkleminin çözümlerinin varlığını, tekliğini ve kararlılığını incelemişlerdir. Khastan ve Alijani (2019) yaptıkları çalışmada; bulanık sayılar için bölmenin genelleştirilmesini kullanarak (2.3) denkleminin pozitif çözümlerinin varlığını ve global davranışını farklı bir açıdan tekrar incelemişlerdir.

Wang ve ark. (2019) yaptıkları çalışmada; k∈ℤ için + A parametresi ile x_−k,x_{− +k 1},...,x₀

başlangıç koşulları birer pozitif bulanık sayı olmak üzere,

1 1 ( 1) max , ,..., , n n k n n n k A A A x x x x x + − − − −     = _{ }     (2.20)

maksimumlu bulanık fark denkleminin çözümlerinin periyodikliğini incelemişlerdir.

Han ve ark. (2020) yaptıkları çalışmada; m k, ∈ℤ+ için C parametresi ve başlangıç koşulları birer pozitif bulanık sayı olmak üzere,

max , n m k n n m x x C x − − −   = _{ }   (2.21)

bulanık fark denkleminin çözümlerinin periyodikliğini incelemişlerdir.

Sun ve ark. (2020) yaptıkları çalışmada; k ∈ℕ₁ için x_−k,x_{− +k 1},...,x₋₁ başlangıç koşulları birer pozitif bulanık sayı olmak üzere,

1

( , )

n n n k

x =F x ₋ x₋ (2.22)

bulanık fark denkleminin pozitif çözümlerinin uygun koşullar için asimptotik davranışını incelemişlerdir.

3. 2 2 1 1 2 1 2 1 , n n n n n n n n n n x y x y B y y y A x x x − − + + − − − − = =

+ + FARK DENKLEM SİSTEMİ

Bu bölümde; Zhang ve arkadaşlarının 2012 yılında yayımlanan “Dynamics of a system

of rational third-order difference equation” başlıklı makalesi ele alınmıştır.

Bu çalışmada; A B, parametreleri ve x_−i, y_−i (i=0,1, 2) başlangıç koşulları pozitif reel sayılar olmak üzere,

2 2 1 1 0 2 1 2 1 , , n n n n n n n n n n x y x y n B y y y A x x x − − + + − − − − = = ∈ + + ℕ (3.1)

fark denklem sisteminin pozitif çözümlerinin davranışı incelenmiştir.

Teorem 3.1. Her k ≥ için (3.1) sisteminin ( ,0 x y pozitif çözümleri aşağıdaki _{n n}) eşitsizlikleri sağlar: (a) 2 1 1 1 0 1 , 3 1, 0 , 3 2, , 3 3, k n k k x n k B x x n k B x n k B − + − + +  _{= +}    ≤ ≤_ = +   = +  (b) 2 1 1 1 0 1 , 3 1, 0 , 3 2, , 3 3. k n k k y n k A y y n k A y n k A − + − + +  _{= +}    ≤ ≤ = +   _{= +} 

İspat. Teoremin iddiasının k = için doğru olduğu açıktır. İspatı tümevarım ile 0 tamamlamak amacıyla verilen eşitsizliklerin k= için doğru olduğunu kabul edip, m

1

3( 1) 2 3 1 2 3( 1) 1 1 3( 1) 1 2 3 2 1 3( 1) 2 1 3( 1) 3 2 3 4 0 3( 1) 3 1 1 , 3( 1) 1, 1 , 3( 1) 2, 1 , 3( 1) 3 m m m m m m n m m m m m m x x x x n m B B B B x x x x x n m B B B B x x x x n m B B B B + − + − + + + + + − + − + + + + + − + + + +  ≤ = ≤ = + +    =_ ≤ = ≤ = + +   ≤ = ≤ = + +   ve 3( 1) 2 3 1 2 3( 1) 1 1 3( 1) 1 2 3 2 1 3( 1) 2 1 3( 1) 3 2 3 4 0 3( 1) 3 1 1 , 3( 1) 1, 1 , 3( 1) 2, 1 , 3( 1) 3 m m m m m m n m m m m m m y y y y n m A A A A y y y y y n m A A A A y _{y y} y n m A A A A + − + − + + + + + − + − + + + + + − + + + +  ≤ = ≤ = + +    =_ ≤ = ≤ = + +   ≤ = ≤ = + +  

tür. Böylece ispat tamamlanır.

Sonuç 3.1. Eğer A>1, B>1 ise (3.1) sisteminin ( ,x y çözümü (0,0) denge noktasına _{n n}) yakınsar.

Teorem 3.2. Eğer A>1, B>1 ise (0,0) denge noktası lokal asimptotik kararlıdır.

İspat. (3.1) sisteminin (0,0) denge noktası civarındaki lineerleştirilmiş sistemi

1 2 1 2 n n n n n n n x x x y y y φ − − − −         =             ve 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 B D A             =             olmak üzere, 1 n D n φ₊ = φ (3.2)

3 1 3 1 ( ) 0 f A B λ =_λ + _λ + _=    (3.3)

şeklindedir. Bu denklemin bütün kökleri mutlak değerce 1 den küçük olduğundan (0,0) denge noktası lokal asimptotik kararlıdır.

Teorem 3.3. Eğer A <1, B <1 ise (3.1) sistemi için aşağıdaki ifadeler doğrudur: (a) (0,0) denge noktası kararsızdır.

(b)

(

)

(

3 3

)

, 1 , 1

x y = −A −B pozitif denge noktası kararsızdır.

İspat. (a) (3.3) ten karakteristik denklemin bütün köklerinin mutlak değerce 1 den büyük olduğu açıktır. Dolayısıyla, (0,0) denge noktası lokal kararsızdır.

(b) (3.1) sisteminin

(

)

(

3 3

)

, 1 , 1

x y = −A −B denge noktası civarındaki lineerleştirilmiş sistemi α = −3

(

₁−_A

)(

₁−_B

)

2_, β = −3

(

₁−_A

) (

2 ₁−_B

)

_için 1 2 1 2 n n n n n n n x x x y y y ϕ − − − −         =             ve 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 B G A α α α β β β             =             olmak üzere, 1 n G n ϕ ₊ = ϕ (3.4)

şeklinde olup (3.4) sisteminin karakteristik denklemi

6 4 1 1 3 2 1 ( ) 2 3 2 P A B AB λ =λ −αβλ −_ αβ + − _λ − αβλ − αβλ αβ− +   (3.5) şeklindedir. (3.5) ten

6 1 1 0 2 2 0 0 0 1 1 3 0 0 1 1 0 0 2 2 0 0 1 0 0 3 0 1 1 0 0 0 2 2 0 1 0 0 0 0 3 A B AB A B AB A B AB αβ αβ αβ αβ αβ αβ αβ αβ αβ αβ αβ αβ αβ αβ  ₋ _{+ −}  ₋     _{ }     _{− − − +}         _{− + − −}     _{ }  ∆ =    _{− − − +}         _{− + −  −}   _{ }     _{− − +}     

elde edilir. k =1, 2,..., 6 olmak üzere, her k için ∆ > olmadığı açıktır. Bu nedenle, _k 0

(

)

(

3 3

)

, 1 , 1

x y = −A −B pozitif denge noktası lokal kararsızdır.

Teorem 3.4. Eğer (3.1) sistemi için A < 1, B <1 ise i = − −2, 1, 0 için aşağıdaki ifadeler doğrudur: (a)

(

3

) (

3

)

( ,x yi i)∈ 0, 1−A × 1−B,∞ ise

(

) (

)

3 3 ( ,x y_{n n})∈ 0, 1−A × 1−B,∞ , (b)

(

3

) (

3

)

( ,x y_{i i})∈ 1−A,∞ × 0, 1−B ise

(

3

) (

3

)

( ,x y_{n n})∈ 1−A,∞ × 0, 1−B .

İspat. (a) i = − −2, 1, 0 için

(

3

) (

3

)

( ,x y_{i i})∈ 0, 1−A × 1−B,∞ olduğunu kabul edelim. Bu durumda, (3.1) sisteminden 2 1 3 2 1 0 x x x x B y y y B y − − − = < = + + ve 2 1 3 2 1 0 y y y y A x x x A x − − − = > = + +

(

3

) (

3

)

(x yn, n)∈ 0, 1−A × 1−B,∞ (3.6)

elde edilir. (3.6) nın n= > için doğru olduğunu kabul edelim. (3.1) den k 1

2 1 3 2 1 k k k k k x x x x B y y y B y − + − − = < = + + ve 2 1 3 2 1 k k k k k y y y y A x x x A x − + − − = > = + +

elde edilir. Bu durumda, (3.6) doğru olur. Böylece (a) nın ispatı tamamlanır. Benzer şekilde, (b) de ispatlanabilir.

Sonuç 3.2. A<1, B< ve (3.1) sisteminin pozitif çözümü ( , )1 x y olsun. Bu durumda, _{n n}

aşağıdaki ifadeler doğrudur:

(a) Eğer 3 2, 1, 0 1 x₋ x₋ x < −A ve 3 2, 1, 0 1 y₋ y₋ y > − ise B lim n 0 n→∞x = ve limn→∞yn = ∞ dur. (b) Eğer 3 2, 1, 0 1 x₋ x₋ x > −A ve 3 2, 1, 0 1 y₋ y₋ y < − ise B lim _n n→∞x = ∞ ve limn→∞yn =0 dır.

4. 2 1 2 1 n n n n n z z C z z z − + − − =

+ BULANIK FARK DENKLEMİ

Bu bölümde; C parametresi ile başlangıç koşulları birer pozitif bulanık sayı ve

( )

z_n bir pozitif bulanık sayı dizisi olmak üzere,

2 1 0 2 1 , n n n n n z z n C z z z − + − − = ∈ + ℕ (4.1)

bulanık fark denklemi tanımlanmış ve bu denklemin pozitif çözümlerinin varlığı, sınırlılığı ve asimptotik davranışı incelenmiştir.

Teorem 4.1. C parametresi ve z₋₂, z₋₁, z₀ başlangıç koşulları pozitif bulanık sayılar ise

(4.1) denkleminin bir tek pozitif (z ) çözümü vardır. _n

İspat. z₋₂, z₋₁, z₀ başlangıç koşulları için (4.1) denklemini sağlayan bir ( )z_n bulanık sayı dizisinin var olduğunu kabul edelim. Her α∈(0,1] için

, ,

[z_n]_α =[L_nα,R_nα], n= − −2, 1,... (4.2)

ve

, ,

[ ]C _α =[C_lα,C_rα] (4.3)

olsun. Bu durumda, (4.1)-(4.3) ve Lemma 1.2.1 den

2 2 1 2 1 2 1 [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] n n n n n n n n n z z z C z z z C z z z α α α α α α α − − + − − − −   =_{ } = + +   2, 2, , , 2, 2, 1, 1, , , [ , ] [ , ] [ , ][ , ][ , ] n n l r n n n n n n L R C C L R L R L R α α α α α α α α α α − − − − − − = + 2, 2, , 2, 1, , , 2, 1, , , n n r n n n l n n n L R C R R R C L L L α α α α α α α α α α − − − − − −   =  _{+ +}      olup, n ∈ℕ0 ve α∈(0,1] için

2, 2, 1, 1, , 2, 1, , , 2, 1, , , n n n n r n n n l n n n L R L R C R R R C L L L α α α α α α α α α α α α − − + + − − − − = = + + (4.4)

elde edilir. j = − −2, 1,0 olmak üzere, (Lj,α,Rj,α) başlangıç koşulları ve α∈(0,1] için (4.4)

sisteminin bir tek (Ln,α,Rn,α) çözümünün var olduğu açıktır.

(4.4) sisteminin çözümü (L_n,α,R_n,α) olmak üzere, [L_n,α,R_n,α] nın z₋₂, z₋₁, z₀ başlangıç

koşulları için (4.1) denkleminin ( )z çözümünü belirlediğini, yani n n = − −2, 1,... için

, ,

[z_n]_α =[L_nα,R_nα] (4.5)

olduğunu ispat edelim.

C parametresi ve z−2, z−1, z0 başlangıç koşulları pozitif bulanık sayılar olduğundan 1, 2 (0,1], 1 2 α α ∈ α ≤α iken 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 , , , , 2, 2, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0 , 0 , 0 , 0 l l r r C C C C L L R R L L R R L L R R α α α α α α α α α α α α α α α α − − − − − − − − < ≤ ≤ ≤ < ≤ ≤ ≤ < ≤ ≤ ≤ < ≤ ≤ ≤ (4.6)

eşitsizlikleri sağlanır. n ∈ℕ0için

1 2 2 1

, , , ,

n n n n

L _α ≤L _α ≤R _α ≤R _α (4.7)

olduğunu tümevarım ile ispat edelim. (4.6) dan n = − −2, 1,0 için (4.7) nin doğru olduğu açıktır. Bu durumda; (4.7) nin k ∈ℕ1 ve n k≤ için doğru olduğunu kabul edip, n = k + 1

için doğru olduğunu göstermek yeterli olacaktır. (4.4), (4.6) ve (4.7) den

1 2 1 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2, 2, 1, 1, , 2, 1, , , 2, 1, , , k k k k r k k k r k k k L L L L C R R R C R R R α α α α α α α α α α α α − − + + − − − − = ≤ = + + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2, 2, 1, 1, , 2, 1, , , 2, 1, , k k k k r k k k l k k k L R L R C R R R C L L L α α α α α α α α α α α α − − + + − − − − = ≤ = + + ve

2 1 2 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2, 2, 1, 1, , 2, 1, , , 2, 1, , k k k k l k k k l k k k R R R R C L L L C L L L α α α α α α α α α α α α − − + + − − − − = ≤ = + + olup, 1 2 2 1 1, 1, 1, 1, k k k k

L _{+ α} ≤L _{+ α} ≤R _{+ α} ≤ R _{+ α} elde edilir. Dolayısıyla, (4.7) sağlanır. (4.4) ten

(0,1] α∈ için 2, 2, 1, 1, , 2, 1, 0, , 2, 1, 0, , r l L R L R C R R R C L L L α α α α α α α α α α α α − − − − − − = = + + (4.8)

elde edilir. C parametresi ve z−2, z−1, z0 başlangıç koşulları pozitif bulanık sayılar

olduğundan C_l,α, C_r,α, L_−2,α, R_−2,α, L_−1,α, R_−1,α, L_0,α ve R0,α sol süreklidir. Dolayısıyla,

(4.8) den L_1,α ve R_1,α nın da sol sürekli olduğu görülür. Benzer şekilde, iterasyonla n ∈ℕ1

için Ln,α ve Rn,α nın sol sürekli olduğu gösterilebilir.

Şimdi, _{, ,}

(0,1][Lnα,Rnα]

α∈

∪

kümesinin kompakt olduğunu gösterelim. Bunun için

, , (0 ,1][Lnα,Rnα]

α∈

∪

nın sınırlı olduğunu göstermek yeterli olacaktır. n = olduğunu kabul 1 edelim. C parametresi ve z−2, z−1, z0 başlangıç koşulları pozitif bulanık sayılar olduğundan

, , 2, 2, 2 2 1, 1, 1 1 0, 0, 0 0 [ , ] [ , ], [ , ] [ , ], [ , ] [ , ], [ , ] [ , ] l r C C C C M N L R M N L R M N L R M N α α α α α α α α − − − − − − − − ⊂ ⊂ ⊂ ⊂ (4.9)

olacak şekilde M_C, M₋₂, M₋₁, M₀, N_C, N₋₂, N₋₁, N₀ >0 sabitleri mevcuttur. (4.8) ve (4.9) dan kolaylıkla α∈(0,1] için

2 2 1, 1, 2 1 0 2 1 0 [ , ] , C C M N L R N N N N M M M M α α − − − − − −   ⊂  _{+ +}    (4.10)

elde edilir. Buradan, α∈(0,1] için

2 2 1, 1, (0,1] 2 1 0 2 1 0 [ , ] , C C M N L R N N N N M M M M α α α − − ∈ − − − −   ⊂  _{+ +}   

∪

(4.11)