LOKAL MORREY-LORENTZ UZAYLARINDA CALDERON-ZYGMUND OPERATÖRLERİNİN SINIRLILIĞI. Cahit AVŞAR

ANKARA ÜN·IVERS·ITES·I FEN B·IL·IMLER·I ENST·ITÜSÜ

YÜKSEK L·ISANS TEZ·I

LOKAL MORREY-LORENTZ UZAYLARINDA

CALDERON-ZYGMUND OPERATÖRLER·IN·IN SINIRLILI ¼GI

Cahit AV¸SAR

MATEMAT·IK ANAB·IL·IM DALI

ANKARA 2019

Her hakk¬ sakl¬d¬r

ÖZET

Yüksek Lisans Tezi

LOKAL MORREY-LORENTZ UZAYLARINDA CALDERON-ZYGMUND OPERATÖRLER·IN·IN SINIRLILI ¼GI

Cahit AV¸SAR

Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dal¬

Dan¬¸sman: Doç. Dr. Canay AYKOL YÜCE

Tez dört bölümden olu¸smaktad¬r. Birinci bölüm giri¸s k¬sm¬na ayr¬lm¬¸st¬r. ·Ikinci k¬s¬mda temel tan¬m ve teoremler verilmi¸s, bir fonksiyonun da¼g¬l¬m fonksiyonu ve azalan yeniden düzenlemesi kavramlar¬ tan¬t¬larak baz¬ temel özellikleri ispatlan- m¬¸st¬r. Lorentz uzaylar¬ tan¬t¬larak bu uzaylarda maksimal operatör ve Calderon- Zygmund operatörlerinin s¬n¬rl¬l¬¼g¬verilmi¸stir. Daha sonra Morrey uzaylar¬tan¬t¬lm¬¸s, temel özelliklerine yer verilmi¸s ve Hardy ve e¸slenik Hardy operatörlerinin lokal Mor- rey uzaylar¬ndaki s¬n¬rl¬l¬¼g¬ ispatlanm¬¸st¬r. Üçüncü bölümde lokal Morrey-Lorentz uzaylar¬hat¬rlat¬larak baz¬temel özelliklerine yer verilmi¸stir. Bu bölümde tezin as¬l amac¬ olan lokal Morrey-Lorentz uzaylar¬nda maksimal ve Calderon-Zygmund op- eratörlerinin s¬n¬rl¬l¬¼g¬n¬n ispat¬ verilmi¸stir. Dördüncü bölümde önceki bölümlerde elde edilen sonuçlar¬n baz¬ uygulamalar¬na yer verilmi¸stir. Son bölümde ise elde edilen sonuçlar¬n analizi yap¬lm¬¸st¬r.

HAZ·IRAN 2019 , 43 sayfa

Anahtar Kelimeler: Lorentz uzay¬, Morrey uzay¬, lokal Morrey-Lorentz uzay¬, maksimal operatör, Calderon- Zygmund operatörü, Hardy operatörü

ABSTRACT

Master Thesis

THE BOUNDNESS OF CALDERON-ZYGMUND OPERATORS IN THE LOCAL MORREY-LORENTZ SPACES

Cahit AV¸SAR

Ankara University

Graduate School of Natural and Applied Sciences Department of Mathematics

Supervisor: Assoc. Prof. Dr. Canay AYKOL YÜCE

This thesis consists of four chapters. The …rst chapter includes a brief introduction to the topic. In the second chapter, basic de…nitions and theorems are given, the distribution and decreasing rearrengement of a function are introduced and some of their fundamental properties are given. Lorentz spaces are introduced and the boundedness of the maximal operator and Calderon-Zygmund operators are given in these spaces. After that Morrey spaces are introduced, some basic properties of these spaces are given and the boundedness of Hardy and conjugate Hardy opera- tors in local Morrey spaces are given. In the third chapter, local Morrey-Lorentz spaces and their some basic properties are given. The boundedness of the maximal and Calderon-Zygmund operators in local Morrey-Lorentz spaces, which is the main purpose of this thesis, is given in this chapter. In the fourth chapter, some appli- cations of the results obtained in the previous chapters are given. Finally, the last chapter is devoted to the analysis of the obtained results.

JUNE 2019 , 43 pages

Key Words: Lorentz space, Morrey space, local Morrey-Lorentz space, maximal operator, Calderon-Zygmund operator, Hardy operator

TE¸SEKKÜR

Bu tezin yaz¬lmas¬sürecinde olumlu anlamda katk¬da bulunan herkese te¸sekkür e- derim.

Cahit AV¸SAR

Ankara, HAZ·IRAN 2019

IÇ·· INDEK·ILER

TEZ ONAY SAYFASI

ET·IK . . . i

ÖZET . . . ii

ABSTRACT. . . iii

TE¸SEKKÜR. . . iv

S·IMGELER D·IZ·IN·I . . . vi

1. G·IR·I¸S . . . 1

2. ÖN B·ILG·ILER . . . 5

2.1 Temel Tan¬m ve Teoremler. . . 5

2.2 Lorentz Uzaylar¬ . . . 12

2.3 Morrey Uzaylar¬. . . 21

3. LOKAL MORREY - LORENTZ UZAYLARI . . . 30

3.1 Maksimal Operatörün Lokal Morrey - Lorentz Uzaylar¬ndaki S¬n¬rl¬l¬¼g¬ . . . 30

3.2 Calderon - Zygmund Operatörünün Lokal Morrey - Lorentz U- zaylar¬ndaki S¬n¬rl¬l¬¼g¬. . . 32

4. BAZI UYGULAMALAR . . . 37

5. TARTI¸SMA VE SONUÇ . . . 39

KAYNAKLAR. . . 40

ÖZGEÇM·I¸S . . . 43

S·IMGELER D·IZ·IN·I

Rⁿ n-boyutlu Öklid uzay¬

B(x; r) x merkezli r yar¬çapl¬yuvar L_p; Morrey uzay¬

LMp; Lokal Morrey uzay¬

W LM_p; Zay¬f lokal Morrey uzay¬

f f nin da¼g¬l¬m fonksiyonu

f f nin azalan yeniden düzenlemesi L_p;q Lorentz uzay¬

M_p;q;^loc Lokal Morrey-Lorentz uzay¬

W M_p;q;^loc Zay¬f lokal Morrey-Lorentz uzay¬

M Maksimal operatör A Hardy operatörü

A E¸slenik Hardy operatörü T Calderon - Zygmund opertörü

T Maksimal Calderon - Zygmund operatörü BM O S¬n¬rl¬ortalama sal¬n¬m

B_r Bochner-Riesz operatörü

!_n Rⁿ de birim kürenin hacmi

1.

0 < p; q 1 ve 0 1 olmak üzere, M_p;q;^loc M_p;q;^loc (Rⁿ) lokal Morrey-Lorentz uzaylar¬

kfkM_p;q;^loc := sup

r>0

r ^qkt^{p1 1q}f (t)k^Lq(0;r)

quasi - normu sonlu olacak ¸sekilde tüm ölçülebilir fonksiyonlar¬n uzay¬olarak tan¬m- lan¬r, burada f ; f nin azalan yeniden düzenlemesidir.

Lokal Morrey- Lorentz uzaylar¬ literatürde ilk kez C. Aykol’un doktora tezinde tan¬mlanm¬¸s (Aykol, 2013) ve bu tezde verilen uzaylar aras¬ndaki baz¬gömme teo- remleri ispatlanm¬¸st¬r.

< 0 ya da > 1 durumunda, M_p;q;^loc (Rⁿ) = olup, burada ; Rⁿ üzerinde s¬f¬ra denk olan tüm fonksiyonlar¬n kümesidir. = 0durumunda Lp;q (Rⁿ)Lorentz uzay- lar¬, p = q olmas¬durumunda M_p;^loc (R) lokal Morrey uzaylar¬ve = 1 durumunda

1;t^{1p 1q}(Rⁿ) klasik Lorentz uzaylar¬ elde edilmektedir. Dolay¬s¬yla lokal Morrey- Lorentz uzaylar¬Lorentz uzaylar¬n¬n do¼gal bir genelle¸stirmesidir. 0 < q p < 1 ve 0 < ^q_p durumunda lokal Morrey-Lorentz uzaylar¬ W L¹

p q(Rⁿ) zay¬f Lebesgue uzaylar¬na denktir. q = 1 durumunda ise W L^p(Rⁿ) zay¬f Lebesgue uzaylar¬ elde edilmektedir.

0 < p; q 1 ve 0 1 olmak üzere, W M_p;q;^loc M_p;q;^loc (Rⁿ) zay¬f lokal Morrey- Lorentz uzaylar¬

kfkW M_p;q;^loc := sup

r>0

r ^qkt^{p1 1q}f (t)k^{W L}q(0;r)

sonlu quasi- normlu ölçülebilir bütün fonksiyonlar¬n uzay¬n¬göstermektedir. Lokal Morrey-Lorentz uzaylar¬nda Hilbert dönü¸sümü, maksimal operatör, Calderon-Zygmund singüler integral operatörü ve Riesz potansiyelinin s¬n¬rl¬l¬¼g¬ve bu s¬n¬rl¬l¬klar yard¬m¬yla elde edilen sonuçlar s¬ras¬yla (Aykol vd., (2016), Guliyev vd. 2016a, 2016b) taraf¬n- dan ortaya konulmu¸stur.

E, Rⁿ in ölçülebilir bir alt kümesi ve f , E ! R ye ölçülebilir bir fonksiyon olsun. f nin da¼g¬l¬m fonksiyonu

f( ) = (fx 2 E : jf(x)j > g); 0

olmak üzere, f nin azalan yeniden düzenlemesi f , (0; jEj) üzerinde

f (t) = inff 0 : _f( ) tg; 0 t 1

¸seklinde tan¬mlan¬r. Özel olarak f = f dir.

Bir fonksiyonun yeniden düzenlemesi kavram¬ harmonik analizde önemli bir araçt¬r ve birçok e¸sitsizlikte anahtar rol oynamaktad¬r. Sistematik olarak Hardy ve Lit- tlewood taraf¬ndan tan¬mlanm¬¸s ve reel ve harmonik analizde, singüler integrallerin ara¸st¬r¬lmes¬nda, fonksiyon uzaylar¬ve interpolasyon teorisinde birçok matematikçi taraf¬ndan kullan¬lm¬¸st¬r (Bennett ve Sharpley 1988; Kristiansson 2002).

Azalan yeniden düzenleme kavram¬George G. Lorentz taraf¬ndan (Lorentz; 1950,1951) L_p;q(Rⁿ)Lorentz uzaylar¬n¬n tan¬mlanmas¬nda kullan¬lm¬¸st¬r.

L_p;q(Rⁿ)Lorentz uzaylar¬

kfk^Lp;q(Rⁿ) = 8>

<

>: R₁

0 t^1pf (t)

q dt t

1=q

; 0 < p <1; 0 < q < 1 sup

t>0

t^1pf (t); 0 < p 1; q = 1

sonlu olacak biçimdeki ölçülebilir fonksiyonlar¬n s¬n¬‡ar¬n¬n kümesi olarak tan¬m- lan¬r. Lp;q(Rⁿ)Lorentz uzaylar¬nda 0 < p < 1; p = q al¬nmas¬halinde

kfk^Lp(Rⁿ) :=

Z

Rⁿjf(y)j^pdy

1 p

ve p = 1 al¬nmas¬halinde

kfk^L1(E):= supf : jfy 2 E : jf(y)j gj > 0g

Lebesgue uzaylar¬elde edilir.

0 < p <1; q = 1 al¬nmas¬halinde ise

kfk^{W L}p(E) := sup

0<t jEj

t^1=pf (t); 1 p < 1 zay¬f Lebesgue uzay¬elde edilir ve p = q = 1 al¬nmas¬durumunda kfk^{W L}1 kfk^L1 bulunur.

Morrey uzaylar¬ ilk defa C.B. Morrey (1938) taraf¬ndan tan¬mlanm¬¸st¬r. Eliptik diferensiyel denklemlerin çözümlerinin lokal davran¬¸slar¬n¬n elde edilmesinde ve k¬smi diferensiyel denklemler teorisinde önemli yere sahiptir.

0 < n, 1 p < 1 ve f 2 L^locp (Rⁿ) olmak üzere Lp; (Rⁿ) Morrey uzaylar¬

kfk^Lp; kfk^Lp; (Rⁿ) = sup

x2Rⁿ;r>0

r ^pkfk^Lp(B(x;r))

sonlu olacak biçimdeki fonksiyonlar¬n uzay¬d¬r (Morrey, 1938), burada B(x; r), Rⁿ de x merkezli ve r yar¬çapl¬aç¬k yuvar¬belirtmektedir.

< 0 ve ya > niken Lp; (Rⁿ) = d¬r, burada , Rⁿ de s¬f¬ra denk olan fonksiy- onlar¬n kümesini belirtmektedir.

f 2 L1^loc(Rⁿ) olmak üzere f nin Hardy-Littlewood maksimal fonksiyonu M f

M f (x) = sup

r>0

1 jB(x; r)j

Z

B(x;r)jf(y)jdy, x 2 Rⁿ:

biçiminde tan¬mlan¬r, burada jB(x; r)j, B(x; r) aç¬k yuvar¬n¬n Lebesgue ölçüsüdür;

yani, jB(x; r)j = !ⁿrⁿ olup !n, Rⁿ de birim kürenin hacmini göstermektedir.

K 2 L^loc1 (Rⁿn f0g) olacak ¸sekilde a¸sa¼g¬daki ko¸sullar¬sa¼glayan bir fonksiyon olsun.

(i)jK(x)j C

jxjⁿ; x2 Rⁿn f0g;

(ii) Z

r1<jxj<r2

K(x)dx = 0; 0 < r₁ < r₂; (iii)jK(x y) K(x)j C jyj

jxjⁿ⁺¹ ; 2jyj jxj:

Bu durumda K ya Calderon-Zygmund çekirde¼gi denir. Burada C sabiti, x ve y den ba¼g¬ms¬zd¬r.

T_"f (x) = Z

{B(x;")

K(x y)f (y)dy

e¸sitli¼gi yard¬m¬yla K ile ilintili Calderon- Zygmund singular integrali

T f (x) = (K f )(x) = lim

"!0T"f (x)

¸seklinde tam¬mlan¬r.

Tezin amac¬, Hardy-Littlewood maksimal operatörünün, Calderon - Zygmund ve maksimal Calderon Zygmund operatörlerinin M_p;q;^loc (Rⁿ)lokal Morey-Lorentz uzay- lar¬nda s¬n¬rl¬l¬¼g¬n¬elde etmektir. Ayr¬ca, bir fonksiyonun da¼g¬l¬m fonksiyonu, aza- lan yeniden düzenlemesi kavramlar¬ve özellikleri kapsaml¬bir biçimde verilecektir.

Lorentz ve Morrey uzaylar¬ tan¬mlar¬ hat¬rlat¬larak bu uzaylarda maksimal oper- atör ve Calderon-Zygmund operatörlerinin s¬n¬rl¬l¬klar¬verilecektir. Lokal Morrey- Lorentz uzaylar¬nda belirtilen operatörlerin s¬n¬rl¬l¬¼g¬n¬n elde edilmesinde Hardy ve e¸slenik Hardy operatörlerinin lokal Morrey uzaylar¬ndaki kuvvetli ve zay¬f s¬n¬rl¬l¬k- lar¬ndan yararlan¬lacakt¬r.

Elde edilen sonuçlar¬n uygulamas¬olarak ise M_p;q;^loc (Rⁿ) uzaylar¬nda Bochner-Riesz operatörünün s¬n¬rl¬l¬¼g¬verilecektir.

Tez boyunca C , uygun parametrelerden ba¼g¬ms¬z pozitif bir sabit için kullan¬lacakt¬r ve her seferinde ayn¬olma ko¸sulu bulunmamaktad¬r. p 2 [1; 1] için, p⁰ , pp⁰ = p + p⁰

¸seklinde tan¬mlanm¬¸st¬r.

2.

2.1 Temel Tan¬m ve Teoremler

Tan¬m 2.1 X bir K cismi üzerinde bir vektör olmak üzere. E¼ger bir

k:k : X ! R x! kxk

dönü¸sümü 8x; y 2 X ve 8 2 K için (N 1)kxk 0 ve kxk = 0 , x = , (N 2)k xk = j jkxk,

(N 3)kx + yk kxk + kyk

özellikleri gerçeklensin. Bu durumda k:k dönü¸sümüne X üzerinde norm ad¬verilir.

(X;k:k) ikilisine, normlu vektör uzay¬denir. (X; k:k) uzay¬genel olarak X ile ifade edilir.

Tan¬m 2.2 (N 3) e¸sitsizli¼gi kx + yk C(kxk + kyk) olacak ¸sekilde bir C sabiti ile gerçekleniyorsa bu durumda bu dönü¸süm quasi-norm olarak adland¬r¬l¬r.

(i) T operatörünün tan¬m bölgesi D(T ) bir vektör uzay¬olup de¼ger bölgesi R(T ), ayn¬cisim üzerinde bir vektör uzay¬d¬r.

(ii) Her x; y 2 D(T ) ve her 2 K sabiti için , T (x + y) = T x + T y

T ( x) = T x

e¸sitlikleri gerçekleniyorsa bu durumda T ye bir lineer operatördür denir.

Tan¬m 2.3 X ve Y normlu uzaylar, D(T ) X , T : D(T ) ! Y ve T bir lineer operatör olsun.kT xk^Y Ckxk^X e¸sitsizli¼gi sa¼glanacak ¸sekilde bir C reel say¬s¬varsa, T operatörüne X uzay¬ndan Y uzay¬na s¬n¬rl¬operatördür denir.

T nin normu; kT k = sup

x2D(T ) x6=0

kT xk

kxk ¸seklinde tan¬mlan¬r.

Tan¬m 2.4 X ve Y normlu uzaylar, D(T ) X, T : D(T ) ! Y bir operatör ve x0 2 D(T ) olsun. Her " > 0 için; kT x T x0k < " iken kx x0k < olacak ¸sekilde bir > 0 say¬s¬varsa, T operatörüne x0 da süreklidir denir.

Tan¬m 2.5 (Kreyszig, 1989) X ve Y normlu uzaylar ve D(T ) X olmak üzere, T : D(T ) ! Y lineer operatör olsun. Bu durumda T nin sürekli olmas¬için gerek ve yeter ko¸sul T nin s¬n¬rl¬olmas¬d¬r .

Tan¬m 2.6 X bir küme. , X in alt kümelerinin bir s¬n¬f¬olsun.

(i) X 2 ,

(ii)Her A 2 için A^c2 ,

(iii) k = 1; 2; :::; n için Ak 2 ise _k=1[ⁿ A_k 2

özellikleri gerçekleniyorsa s¬n¬f¬, X üzerinde bir cebirdir. Ayr¬ca

(iv), k = 1; 2; ::: için; An 2 )_n=1¹[ A_n2 ise cebirine, cebir denir.

Tan¬m 2.7 Bir s¬n¬f¬n¬kapsayan cebirlerinin en küçü¼güne n¬n do¼gurdu¼gu cebiri denir. Rⁿdeki bütün (a; b) aral¬klar¬n¬n do¼gurdu¼gu -cebirine Borel cebiri denir, B(Rⁿ)¸seklinde gösterilir.

Tan¬m 2.8 X bir küme ve , X üzerinde bir cebiri olmak üzere (X; ) ikilisine bir ölçülebilir uzay, deki her bir kümeye de -ölçülebilir küme,veya k¬saca ölçülebilir küme denir.

Tan¬m 2.9 (X; ) bir ölçülebilir uzay, f : X ! R; olsun. 8 2 R için f ¹(] ; +1[) = fx 2 X : f(x) > g 2

e¸sitli¼gi sa¼glan¬yorsa f ye ölçülebilir fonksiyon denir.

(X; )bir ölçülebilir uzay olmak üzere, üzerinde tan¬ml¬geni¸sletilmi¸s reel de¼gerli bir fonksiyonu e¼ger;

(i) (;) = 0,

(ii)Her A 2 için (A) 0;

(iii) daki her ayr¬k (An) dizisi için S¹

n=1

A_n = P¹

n=1

(A_n)

özelliklerine sahip ise, fonksiyonuna ölçü denir. E¼ger her A 2 için (A) < 1 ise ’ye sonlu ölçü ad¬verilir.

Tan¬m 2.10 Bir X kümesi, X in alt kümelerinin bir - cebiri ve üzerinde tan¬ml¬bir ölçüsünden olu¸san (X; ; ) üçlüsüne bir ölçü uzay¬denir.

Tan¬m 2.11 (X; ; )bir ölçü uzay¬olmak üzere, X üzerinde tan¬ml¬ ölçülebilir fonksiyonlar¬n s¬n¬f¬ M(X; ), ya da M(X; ), X üzerinde negatif olmayan ölçülebilir fonksiyonlar s¬n¬f¬M⁺(X; )ve M(X; ) deki h.h.y sonlu fonksiyon- lar s¬n¬f¬ M⁰(X; ) ile gösterilir. M(Rⁿ) Rⁿ üzerinde tüm sonlu Borel ölçülerinin uzay¬n¬belirtir.

Tez boyunca (0; 1) üzerinde tüm negatif olmayan ölçülebilir fonksiyonlar¬n kümesi M⁺(0;1), tüm negatif olmayan ölçülebilir azalan ve artan fonksiyonlar¬n kümesi s¬ras¬yla M⁺(0;1; #) ve M⁺(0;1; ") ile gösterilecektir.

Tan¬m 2.12 X bir küme ve P (X) de X in kuvvet kümesi; P (X) üzerinde tan¬ml¬, geni¸sletilmi¸s reel de¼gerli bir fonksiyonu a¸sa¼g¬daki özelliklere sahip ise fonksiy- onuna X üzerinde bir d¬¸s ölçüdür denir.

(i) (;) = 0,

(ii)Her E 2 P (X) için (E) 0, (iii) A B X için (A) (B),

(iv)Her bir n 2 N için Aⁿ2 P (X) ise S¹

n=1

A_n P¹

n=1

(A_n):

Tan¬m 2.13 (Ik), R nin s¬n¬rl¬ve aç¬k alt aral¬klar¬n¬n bir dizisi ve

A=n

(I_k) : A [ I_ko olsun. P (R) üzerinde

(A) = inf ( ₁

X

k=1

l (Ik) : (Ik)2 ^A )

biçiminde tan¬mlanan bir d¬¸s ölçü olur ve bu d¬¸s ölçüye Lebesgue d¬¸s ölçüsü ad¬

verilir.

n boyutlu Rⁿ uzay¬nda Lebesgue d¬¸s ölçüsünü tan¬mlayabilmek için I =fx : aⁱ x_i b_i ; i = 1; :::; ng

n boyutlu kapal¬aral¬klar¬n¬alal¬m. Aral¬klar¬n hacimleri v(I) =

Yn i=1

(b_i a_i)

olacakt¬r. E Rⁿ kümesinin Lebesgue d¬¸s ölçüsü

(E) = inf ( ₁

X

k=1

v(I_k) : E [1 k=1

I_k ; I_k bir aral¬k )

¸seklinde ifade edilir. 8A Rⁿ

(A) = (A\ E) + (A\ (Rⁿ E))

e¸sitli¼gi sa¼glan¬yorsa, bu takdirde E kümesine, Lebesgue ölçülebilir kümedir denir.

Tan¬m 2.14 M(Rⁿ; ), Rⁿ nin d¬¸s ölçüsüne göre ölçülebilen alt kümelerinin s¬n¬f¬ olsun. Lebesgue d¬¸s ölçüsünün M(Rⁿ; ) s¬n¬f¬na da B(Rⁿ) s¬n¬f¬na olan k¬s¬tlanmas¬na Lebesgue ölçüsü denir, ile gösterilir.

Tan¬m 2.15 (X; ; )ölçü uzay¬olmak üzere bir önerme, ölçüsü s¬f¬r olan bir küme d¬¸s¬nda do¼gru ise, o önermeye hemen her yerde (h.h.y.) do¼grudur denir.

Tan¬m 2.16 (X; ; )bir ölçü uzay¬ve . 0 < p < 1 olsun.

kfk^Lp(X) = 8>

><

>>

: R

X

jfj^pd

1 p

; 1 p <1 ess sup

x2X jf(x)j ; p =1

sonlu olacak biçimdeki fonksiyonlar¬n uzay¬na Lp(X) Lebesgue uzay¬denir.

E Rⁿ ölçülebilir bir küme olmak üzere E nin Lebesgue ölçüsü

jEj = Z

E

dx

¸seklnde tan¬mlan¬r.

Tan¬m 2.17 Rⁿ üzerinde lokal integrallenebilir fonksiyonlar¬n kümesi Z

K

jfjd

sonlu olacak biçimde fonksiyonlar¬n s¬n¬f¬ olarak ifade edilir ve f 2 L^loc1 (Rⁿ) ile gösterilir, burada K, RⁿÖklid uzay¬nda bir kompakt küme ve f Lebesgue ölçülebilir bir fonksiyondur.

Teorem 2.1 (Hölder e¸sitsizli¼gi) p > 1 ve ¹_p + ¹_q = 1, f 2 L^p(Rⁿ), g 2 L^q(Rⁿ) olsun. Bu durumda f g 2 L¹(Rⁿ) olup

kfgk^L1 kfk^Lpkgk^Lq

e¸sitsizli¼gi gerçeklenir.

Teorem 2.2 (Minkowski e¸sitsizli¼gi)p 1ve f , g 2 L^p(Rⁿ)olsun. Bu durumda f + g2 L^p(Rⁿ) d¬r ve kf + gk^Lp kfk^Lp+kgk^Lp e¸sitsizli¼gi gerçeklenir.

Teorem 2.3 (Chebychev E¸sitsizli¼gi) t > 0 ve _f, f nin da¼g¬l¬m fonksiyonu olmak üzere

t^p _f(t) Z

fx2Rⁿ:jf(x)j>tg

jf(x)j^pdx e¸sitsizli¼gi gerçeklenir.

Teorem 2.4 p < q ve E Rⁿ, jEj < 1 olsun. Bu takdirde L^q(E) Lp(E) gömülmesi gerçeklenir.

Tan¬m 2.18 1 p; q 1 ve

T : L_p(Rⁿ)! L^q(Rⁿ) bir operatör olsun. E¼ger 8f 2 L^p(Rⁿ)için

kT fk^Lq Ckfk^Lp

sa¼glanacak ¸sekilde f den ba¼g¬ms¬z bir C > 0 sabiti varsa T operatörü (p; q) tipli operatör olarak adland¬r¬l¬r.

bir ölçü ve her pozitif say¬s¬içim için

fx : jT f(x)j > g Akfk^Lp

q

; q <1

sa¼glanacak biçimde ve f den ba¼g¬ms¬z bir C sabiti varsa T operatörü zay¬f (p; q) tipli operatör olarak adland¬r¬l¬r.

Tan¬m 2.19 (Maksimal Operatör) f, Rⁿ üzerinde hemen her x için integral- lenebilir bir fonksiyon olsun.

limr!0

1 m(B(x; r))

Z

B(x;r)

f (y)dy = f (x)

e¸sitli¼ginin hemen her x için gerçeklendi¼gi temel Lebesgue Teoremi’nden bilinmekte- dir, burada B(x; r); Rⁿ de

B(x; r) =fy Rⁿ :jx yj < rg

xmerkezli r yar¬çapl¬aç¬k yuvar¬belirtmektedir. Verilen e¸sitlikte limit yerine supre- mum ve f yerine de jfj al¬narak f nin maksimal fonksiyonu tan¬mlan¬r.

Rⁿ nin standart kümelerinde n = 1 için maksimal fonksiuon Hardy ve Littlewwod taraf¬ndan tan¬mlanm¬¸st¬r. n boyutlu Rⁿ Öklid uzay¬na geni¸sletilmesi ise Wiener taraf¬ndan yap¬lm¬¸st¬r.

f : Rⁿ ! R, f 2 L^loc1 (Rⁿ) olmak üzere M maksimal operatörü M f (x) = sup

r>0

1 jB(x; r)j

Z

B(x;r)

jf(y)jdy

biçiminde tan¬mlan¬r. Burada

jB(x; r)j = !ⁿrⁿ olup !n, Rⁿ de birim yuvar¬n hacmini belirtmektedir.

Tan¬m 2.20 X bir normlu uzay, fn2 X, fⁿ 0, (n = 1; 2:::) ve fn! f, h:h:y olsun. f 2 X ise, o takdirde kfⁿk^X " kfk^X sa¼glan¬r. E¼ger f =2 X ise, o halde kfⁿk^X " 1 olur Bu özelli¼ge Fatou özelli¼gi denir. (Bennett ve Sharpley, 1988).

Tan¬m 2.21 BM O BM O(Rⁿ) ortalama s¬n¬rl¬sal¬n¬ml¬fonksiyon uzaylar¬, kfk^{BM O} = sup

B(x;r)

1 jB(x; r)j

Z

B(x;r)

jf(x) f_B(x)jdx

sonlu olacak biçimde tüm f fonksiyonlar¬ndan olu¸smaktad¬r. Burada supremum tüm B(x; r) Rⁿ ler üzerinden al¬nmaktad¬r ve.

f_B(x) = 1 jB(x; r)j

Z

B(x;r)

f (x)dx

¸seklindedir.

Tan¬m 2.22 ', (0; 1) üzerinde tan¬ml¬ ölçülebilir bir fonksiyon ve 2 R olsun.

A a¼g¬rl¬kl¬Hardy ve A a¼g¬rl¬kl¬e¸slenik Hardy operatörleri A '(t) = t ¹

Z t 0

'(s)

s ds; A '(t) = t Z ₁

t

'(s)

s ⁺¹ds (2.1)

¸seklinde tan¬mlan¬r.

Tan¬m 2.23 f, (0; 1) üzerinde tan¬ml¬ölçülebilir bir fonksiyon ve 2 R olsun. P ve P Hardy operatörleri

P f (t) = t Z t

0

f (s)ds; P f (t) = t

Z ₁

t

f (s)ds (2.2)

¸seklinde tan¬mlan¬r.

Hardy operatörleri harmonik analizde birçok operatörün farkl¬fonksiyon uzaylar¬nda s¬n¬rl¬l¬¼g¬n¬n elde edilmesinde anahtar rol oynamaktad¬r. Bu tezde yukar¬da tan¬m- lanan Hardy operatörlerinin lokal Morrey uzaylar¬nda s¬n¬rl¬l¬¼g¬kullan¬larak, maksi- mal operatör M , Calderon-Zygmund operatörü T ve maksimal Calderon-Zygmund operatörü T nin Mp;q;^loc (Rⁿ) Morrey-Lorentz uzaylar¬nda s¬n¬rl¬l¬¼g¬ispatlanacakt¬r.

Tan¬m 2.24 (Calderon-Zygmund operatörü)K 2 L^loc1 (Rⁿnf0g) olacak ¸sekilde a¸sa¼g¬daki ko¸sullar¬sa¼glas¬n;

(i)jK(x)j C

jxjⁿ; x2 Rⁿn f0g;

(ii) Z

r1<jxj<r2

K(x)dx = 0; 0 < r₁ < r₂; (iii)jK(x y) K(x)j C jyj

jxjⁿ⁺¹ ; 2jyj jxj:

Bu durumda K ya Calderon-Zygmund çekirde¼gi denir. Burada C sabiti, x ve y den ba¼g¬ms¬zd¬r.

T_"f (x) = Z

{B(x;")

K(x y)f (y)dy

E¸sitli¼gi yard¬m¬yla K ile ilintili Calderon- Zygmund singular integrali T f (x) = (K f )(x) = lim

"!0T_"f (x)

¸seklinde tam¬mlan¬r.

2.2 Lorentz Uzaylar¬

L_p;q(Rⁿ) Lorentz uzaylar¬ George G. Lorentz taraf¬ndan tan¬mlanm¬¸st¬r (Lorentz;

1950,1951). Lp uzaylar¬n¬n genelle¸smesi olan Lorentz uzaylar¬, Banach uzaylar¬d¬r ve yeniden düzenleme alt¬nda de¼gi¸smeyen bir interpolasyon uzay¬ olup harmonik analizde birçok uygulama alan¬na sahiptir.

Bu k¬s¬mda öncelikle da¼g¬l¬m fonksiyonu tan¬t¬lacak, temel özelliklerinin ispat¬na yer verilecek, ard¬ndan bir fonksiyonun azalan yeniden düzenlemesi tan¬t¬larak temel özelliklerinin ispat¬verilecektir. Son olarak Lp;q(Rⁿ)Lorentz uzaylar¬ndan bahsedile- cek ve bu uzaylar¬n temel özellikleri ispatlanacakt¬r.

Da¼g¬l¬m fonksiyonu ve azalan yeniden düzenlemenin özellikleri (Kristiansson, 2002) de detayl¬bir ¸sekilde ispatlanm¬¸st¬r.

Tan¬m 2.25 (Da¼g¬l¬m Fonksiyonu) f : Rⁿ ! C olmak üzere f : [0;1) ! [0;1] da¼g¬l¬m fonksiyonu

f( ) = (fx 2 Rⁿ:jf(x)j > g); 0

¸seklinde tan¬mlan¬r.

Da¼g¬l¬m fonksiyonu yaln¬zca f nin mutlak de¼gerine ba¼gl¬olup azaland¬r. A¸sa¼g¬daki teoremde da¼g¬l¬m fonksiyonunun baz¬özelliklerine yer verilmi¸stir.

Teorem 2.5 f_n, n = 1; 2; :::: Rⁿ üzerinde ölçülebilir fonksiyonlar olsun. Bu durumda

(i) _f azalan ve sa¼gdan süreklidir.

(ii) E¼ger x 2 Rⁿ h:h:y: için jf(x)j jg(x)j ise, o halde 0 için _f( ) _g( ) olur.

(iii) E¼ger 1; ₂ 0ise, o halde _{f +g}( ₁+ ₂) _f( ₁) + _g( ₂) olur.

(iv) E¼ger 1; ₂ 0 ise, o halde _{f g}( _{1 2 f}( ₁) + _g( ₂) olur.

(v) E¼ger x 2 Rⁿ ,hhy, için jf(x)j liminf_n!1jfⁿ(x)j ise, o halde 0 için

f( ) liminf_{n!1 fn}( ) olur .

¸

Simdi bir fonksiyonun azalan yeniden düzenlemesi kavram¬tan¬t¬lacak ve temel özel- liklerinin ispat¬na yer verilecektir.

Tan¬m 2.26 (Azalan yeniden düzenleme) f : Rⁿ! C olmak üzere, f fonksiy- onunun azalan yeniden düzenlemesi

f : [0;1) ! [0; 1];

f (t) = inff 0 : _f( ) tg (2.3)

¸seklinde tan¬mlan¬r.

Ispatlar¬m¬zda inf ; = 1 ¸seklinde kabul edilecektir. E¼· ger _f kesin azalan ise, o halde f aç¬kça _f in tersidir.

Da¼g¬l¬m fonksiyonu ve azalan yeniden düzenleme aras¬ndaki ba¸ska bir önemli ili¸ski a¸sa¼g¬daki teoremde verilmi¸stir.

Teorem 2.6 f (t) = m _f(t); t 0 e¸sitli¼gi gerçeklenir, burada m Lebesgue ölçüsüdür.

Teorem (2.5) (i) den _f azalan bir fonksiyon oldu¼gundan sup : _f( ) > t = m : _f( ) > t elde edilir. Böylece Tan¬m 2.26 dan

f (t) = inf : _f( ) t

= sup : _f( ) > t

= m : _f( ) > t

= m _f bulunur.

A¸sa¼g¬daki teorem azalan yeniden düzenlemenin baz¬temel özelliklerini vermektedir.

Teorem 2.7 A¸sa¼g¬daki özellikler gerçeklenir.

(i) f (t) > ancak ve ancak _f( ) > t:

(ii) f ve f e¸sölçülebilirdir, yani, her 0için (fx 2 Rⁿ :jf(x)j > g)

= m(ft > 0 : f (t) > g) gerçeklenir, burada m Lebesgue ölçüsüdür.

(iii) E¼ger 0 ve _f( ) < 1 ise, o halde f ( f( )) ve her 0 < < f (t) için f ( _f( ) + ) olur.

E¼ger t 0ve f (t) < 1 ise, o halde her > 0 için f(f (t)(t)) tve _f(f (t) ) t olur.

(iv) 0 < p < 1 için

(jfj^p) (t) = f (t)^p

gerçeklenir.

(v) E¼ger A 2 Rⁿ ise, o halde her t 0 için (f _A) (t) f (t) _{[0; (A))}(t) e¸sitsizli¼gi gerçeklenir.

Uyar¬2.1 E¼ger kesin e¸sitsizlikler kald¬r¬l¬rsa (ii) özelli¼ginin gerçeklenmeyece¼gine dikkat edilmelidir. Gerçekten,

(fx 2 Rⁿ:jf(x)j g) = m(ft 2 R : jf (t)j g)

e¸sitli¼gi genel durumda sa¼glanmaz.

f (x) = x 1 + x

al¬n¬rsa f (t) 1 olur. Bu ise

(fx 2 Rⁿ:j x

1 + xj 1g) = 0 6= 1 = m(ft 2 R : 1 1g)

olmas¬demektir.

Teorem 2.8 (E¸sitsizlikler)

(f + g) (t₁+ t₂) f (t₁) + g (t₂) ve

(f g) (t₁+ t₂) f (t₁)g (t₂) e¸sitsizlikleri her t1; t₂ 0 için gerçeklenir. Özel olarak

(f + g) (t) f (t=2) + g (t=2) ve

(f g) (t) f (t=2)g (t=2) e¸sitsizlikleri her t 0için sa¼glan¬r.

Ilk e¸· sitsizlik ile ba¸slayal¬m. f (t1) + g (t₂) < 1 olsun.

1 = f (t₁) ve 2 = g (t₂) için Teorem (2.7) (iii) den _f( ₁) t₁ ve _g( ₂) t₂ ve Teorem (2.5) (iii) den

f +g( ₁+ ₂) _f( ₁) + _g( ₂) t₁+ t₂ elde edilir.

Azalan yeniden düzenleme tan¬m¬ndan

(f + g) (t₁+ t₂) ₁+ ₂ = f (t₁) + g (t₂)

ifadesi elde edilir. ·Ikinci e¸sitsizli¼gin ispat¬ da benzer ¸sekildedir. f (t1)g (t₂) < 1 durumunda, Teorem (2.5) (iv) ü kullanarak

f g( _{1 2}) _f( ₁) + _g( ₂)

e¸sitsizli¼gi elde edilir.Yine azalan yeniden düzenleme kullan¬larak, (f g) (t₁+ t₂) _{1 2} = f (t₁)g (t₂)

e¸sitsizli¼gi elde edilir. Böylece ispat tamamlan¬r. Di¼ger e¸sitsizlikler ise t1 = t₂ = t=2 al¬narak elde edilir.

Tan¬m 2.27 ( ”**” operatörü)

f : Rⁿ! C olmak üzere, f : (0;1) 7! [0; 1] fonksiyonu, f (t) = 1

t Z t

0

f (s)ds

¸seklinde tan¬mlan¬r.

Lemma 2.1 (Hardy E¸sitsizli¼gi)

h; (0;1) üzerinde pozitif azalan bir fonksiyon, q 1ve r > 0 olsun. Bu durumda (i)

R1 o

Rt o

h(u)

q

t ^{r 1}dt

1=q q r

R1 o

(th(t))^qt ^{r 1}dt

1=q

(ii) R1

o

Rt o

h(u)

q

t^{r 1}dt

1=q q r

R1 o

(th(t))^qt^{r 1}dt

1=q

e¸sitsizlikleri gerçeklenir.

Lemma 2.2 (Hardy) f ve g; (0; 1) üzerinde birer pozitif Lebesgue ölçülebilir fonksiyonlar ve h, (0; 1) üzerinde azalan bir fonksiyon olsun ve

Z a 0

f (t)dt Z a

0

g(t)dt e¸sitsizli¼gi sa¼glans¬n. Bu durumda her a > 0 için

Z a 0

h(t)f (t)dt Z a

0

h(t)g(t)dt e¸sitsizli¼gi gerçeklenir.

Tan¬m 2.28 (Lorentz uzaylar¬) 0 < p 1, 0 < q 1 olsun. L^p;q(Rⁿ)Lorentz uzaylar¬

kfk^Lp;q(Rⁿ) = 8<

: R₁

0 (t^1=pf (t))^{q dt}_t ^1=q; 0 < p <1; 0 < q 1;

sup_t>0t^1=pf (t); 0 < p <1; q = 1

(2.4)

sonlu olacak biçimde tüm ölçülebilir f fonksiyonlar¬n¬n s¬n¬‡ar¬n¬n kümesidir.

p = q =1 ise, bu durumda L1;1(Rⁿ) L₁(Rⁿ) olur.

1 q pya da p = q = 1 ise, bu durumda kfk^Lp;q fonksiyoneli bir norm belirtir.

0 < q < p < r 1 ve E Rⁿ, jEj < t olmak üzere E üzerinde

L_r(Rⁿ) L_r;r(Rⁿ) L_p;q(Rⁿ) L_p;p(Rⁿ) L_p;r(Rⁿ) L_q;q(Rⁿ) L_q(Rⁿ)

sürekli gömülmeleri gerçeklenir.

Lp;q(Rⁿ) Lorentz uzay¬için, p = 1 ve 0 < q < 1 durumu ile ilgilenilmez. Bunun nedeni kfk1;q < 1 olmas¬n¬n ancak Rⁿ üzerinde f = 0; hhy olmas¬ ile gerçekleniyor olmas¬ndand¬r. Bu durum a¸sa¼g¬daki ¸sekilde görülebilir.

L_p;q(Rⁿ) nun a¸sikar bir uzay olmad¬¼g¬n¬varsayal¬m. O halde f 2 L1;q(Rⁿ) olacak

¸sekilde bir f fonksiyonu olacakt¬r, öyle ki c > 0 ve A 2 Rⁿpozitif ölçülü küme olmak üzere her x 2 A için jf(x)j > c sa¼glan¬r. Buradan

kfk^q_1;q = Z ₁

0

f (t)^qdt t

Z ₁

0

(f _A) (t)dt t

Z (A) 0

c^qdt t =1

elde edilir. Bu ise L_(1;q)(Rⁿ) uzay¬n¬n tek eleman¬n¬n s¬f¬r fonksiyonu oldu¼gunu gösterir.

Lp;q(Rⁿ)Lorentz uzaylar¬Lp(Rⁿ)Lebesgue uzaylar¬n¬n genelle¸stirilmesi olarak görülebilir.

Bunun sebebi e¼ger q = p al¬n¬rsa, 0 < p 1 için L^p;p(Rⁿ) = L_p(Rⁿ) e¸sitli¼ginin elde edilmesidir. Gerçekten, 0 < p < 1 için k k^Lp;q tan¬m¬ndan;

kfk^Lp;p = p p

Z ₁

0

(t^1=pf (t))^pdt=t

1=p

= Z ₁

0

t(f (t))^pdt=t

1=p

= Z ₁

0

(f (t))^pdt

1=p

= Z

jf(x)j^pd

1=p

=kfk^Lp

e¸sitli¼gi elde edilir.

f azalan fonksiyon olu¸sundan p = 1 için

kfk^L1;1(Rⁿ) = sup

t>0

f (t) = f (0) = ess sup

x2Rⁿjf(x)j = kfk^L1(Rⁿ)

bulunur. Dolay¬s¬yla, kfk^Lp;p = kfk^Lp olup normlar¬n e¸sitli¼ginden Lp;p(Rⁿ) = L_p(Rⁿ) oldu¼gu görülür.

L_p;q(Rⁿ)Lorentz uzay¬bir lineer uzayd¬r ve kfk^Lp;q fonksiyoneli bir quasi- normdur.

Ayr¬ca 1 q p ya da p = q = 1 ise, o halde kfk^Lp;qfonksiyoneli bir normdur.

Uyar¬2.2 (i) _f da¼g¬l¬m fonksiyonu yard¬m¬yla Lorentz uzaylar¬

kfk^Lp;q = 8>

<

>:

pR₁

0 (t _f(t)^1p)^{q dt}_t

1=q

; 0 < p <1; 0 < q < 1 sup

t>0

t _f(t)^1p; 0 < p 1; q = 1 (2.5) sonlu olacak biçimdeki f : Rⁿ ! C ölçülebilir fonksiyonlar¬n s¬n¬f¬olarak da verilir (Grafakos, 2004).

(ii) L_p;q(Rⁿ) Lorentz uzay¬f fonksiyonu kullan¬larak 1 < p; q < 1 olmak üzere

kfkLp;q(Rⁿ) :=

8>

<

>: R₁

0 (t^1pf (t))^{q dt}_t

1=q

; 0 < p <1; 0 < q < 1 sup

t>0

t^1pf (t); 0 < p 1; q = 1 9>

=

>;

¸seklinde de tan¬mlan¬r.

k:k fonksiyoneli 1 < p < 1, 1 q 1 veya p = q = 1 durumlar¬nda L^p;q(Rⁿ) üzerinde bir norm belirtir.

1 < p 1; 1 q 1 ise, o halde kfk^Lp;q kfkLp;q

p

p 1kfk^Lp;q

e¸sitsizli¼gi gerçeklenir.

Lemma 2.3 (2.4) ve (2.5) e¸sitlikleri ile verilen normlar denktir.

Ispat.·

Z ₁

0

t^{qp 1}f (t)^qdt

1=q

= q

Z ₁

0

Z f (t) 0

s^{q 1}dst^{qp 1}dt

!1=q

= q

Z ₁

0

s^{q 1} Z

jft:f (t)>sgj

t^{qp 1}dtds

1=q

= q

Z ₁

0

s^{q 1}

Z jft:f (t)>sgj 0

t^{qp 1}dtds

!1=q

= p

Z ₁

0

s^{q 1}jfx 2 Rⁿ:jf(x)j > sgj^qpds

1=q

=kfk^Lp;q

elde edilir.

A Rⁿ, _A, A kümesinin karakteristik fonksiyonu ve jAj < 1 olsun. Bu durumda 0 < p; q <1 olmak üzere

k Ak^Lp;q = (p

q)^1=qjAj^1=p elde edilir. E¼ger 0 < p < 1 ve q = 1 ise

k Ak^Lp;1 =jAj^1=p bulunur.

Gerçekten,

k Ak^Lp;q = Z ₁

0

t^{q=p 1}( _A(t))^qdt

1=q

=

Z _jAj

0

t^{q=p 1}dt

!1=q

= (p

q)^1=qjAj^1=p ve

k Ak^Lp;1 = sup

t>0

t^1=p _A(t) = sup

t2(0;jAj)

t^1=p=jAj^1=p elde edilir.

M, L1(Rⁿ)üzerinde s¬n¬rl¬de¼gildir. Bunun d¬¸s¬nda kMfk^L1;1 Ckfk^L1

e¸sitsizli¼gi gerçeklenir. Burada C; f den ba¼g¬ms¬z bir sabittir.

1 < p 1 için maksimal operatörün L^p s¬n¬rl¬l¬¼g¬n¬in¸sa etmek için, f ¬n azalan yeniden düzenlemesinin maksimal fonksiyonunu kullanmak gerekir. Bu ise M (f ) fonksiyonunun f fonksiyonuna e¸sit oldu¼gunu gösterir. Yani;

M (f )(t) = f (t); t > 0 e¸sitli¼gi gerçeklenir.

O halde Rⁿ üzerinde lokal integrallenebilen her f fonksiyonu için maksimal fonksiy- onun azalan yeniden düzenlenmesi ve azalan yeniden düzenlemenin maksimal fonksiy- onu denktir. Di¼ger bir ifadeyle, f den ba¼g¬ms¬z c ve C sabitleri vard¬r, öyle ki;

cf (t) (M f ) (t) Cf (t) (2.6)

e¸sitsizli¼gi gerçeklenir.

(2.6) e¸sitsizli¼ginin ispat¬(Bennett ve Sharpley, 1988) de bulunabilir. ¸Simdi M mak- simal operatörün Lp;q(Rⁿ) uzaylar¬nda s¬n¬rl¬ oldu¼gunu ispatlayabiliriz. A¸sa¼g¬daki teorem maksimal operatörün Lorentz uzaylar¬ndaki s¬n¬rl¬l¬¼g¬n¬karakterize etmekte- dir.

Teorem 2.9 E¼ger 1 < p < 1 ve 1 q 1 ya da p = q = 1 ise; bu durumda f den ba¼g¬ms¬z bir C sabiti vard¬r, öyle ki

kMfk^Lp;q Ckfk^Lp;q e¸sitsizli¼gi gerçeklenir. (2.6) e¸sitsizli¼ginden ve

k f k^Lp;q k f k_Lp;q p

p 1 k f k^Lp;q

e¸sitsizli¼gi yard¬m¬ ile

kMfk^Lp;q Ckf k^Lp;q = C k f kLp;q C p

p 1 k f kLp;q

elde edilir. Böylece ispat tamamlan¬r.

Calderon-Zygmund operatörünün Lorentz uzaylar¬nda s¬n¬rl¬l¬¼g¬n¬ ispatlayabilmek için (0; 1) de her ' ölçülebilir fonksiyon için ve her t > 0 için,

(S')(t) = Z ₁

0

minn 1;s

t o

'(s)ds s

= 1 t

Z t 0

'(s)ds + Z ₁

t

'(s)ds s

¸seklinde tan¬mlanan S operatöründen yararlan¬lacakt¬r.

A¸sa¼g¬daki teorem (Bennett ve Sharpley, 1988) taraf¬ndan ispatlanm¬¸st¬r.

Teorem 2.10 f 2 L^loc1 (Rⁿ) olsun. Bu durumda Calderon-Zygmund operatörü T , her x 2 Rⁿ için hemen her yerde vard¬r. Ayr¬ca

(T f ) (t) CS (f ) (t); 0 < t <1 (2.7) gerçeklenir. Burada C sabiti f ve t den ba¼g¬ms¬zd¬r.

A¸sa¼g¬daki teorem Calderon-Zygmund operatörünün Lorentz uzaylar¬ndaki s¬n¬rl¬l¬¼g¬n¬

vermektedir.

Teorem 2.11 1 < p < 1 ve 1 q 1 olsun. Bu durumda f den ba¼g¬ms¬z bir C sabiti vard¬r, öyle ki;

k T f k^Lp;q C k f kLp;q

e¸sitsizli¼gi her f 2 L^p;q(Rⁿ) için gerçeklenir.

Ispat.· (2.7) e¸sitsizli¼gi ve quasi-norm tan¬m¬ndan

k T f kLp;q C f (t) + Z1

t

f (s)ds

Lp;q

C2^p1+1q+1 0

B@kf kp;q+ Z1

t

f (s)ds

Lp;q

1 CA

C 0

B@kf k_Lp;q + Z1

t

f (s)ds

Lp;q

1 CA

elde edilir. Hardy e¸sitsizli¼ginden

k T f k^Lp;q C 0

B@kf k_{Lp;q (Rn)} + Z1

t

f (s)ds

Lp;q

1 CA

C kfk_Lp;q + pkfk_Lp;q

C p

p 1kfkLp;q + pkfk_Lp;q

= C p²

p 1kfk_Lp;q elde edilir. Böylece ispat tamamlan¬r.

2.3 Morrey Uzaylar¬

Morrey uzaylar¬ ilk defa C.B. Morrey (1938) taraf¬ndan tan¬mlanm¬¸st¬r. Eliptik diferensiyel denklemlerin çözümlerinin lokal davran¬¸slar¬n¬n elde edilmesinde ve k¬smi diferensiyel denklemler teorisinde önemli yere sahiptir.

Tan¬m 2.29 (Morrey Uzaylar¬) 0 < n, 1 p < 1 ve f 2 L^locp (Rⁿ) olmak

üzere Lp; (Rⁿ) Morrey uzaylar¬

kfk^Lp; kfk^Lp; (Rⁿ) = sup

x2Rⁿ;r>0

r ^pkfk^Lp(B(x;r))

sonlu olacak biçimdeki fonksiyonlar¬n uzay¬d¬r (Morrey, 1938). < 0 ve ya > n iken Lp; (Rⁿ) = d¬r, burada , Rⁿ de 0 a denk olan fonksiyonlar¬n kümesini belirtmektedir.

Lemma 2.4 1 p <1 olsun. O halde

Lp;n(Rⁿ) = L₁(Rⁿ) ve

kfk^Lp;n = !

1

npkfk^L1; gerçeklenir.

Ispat.· f 2 L1(Rⁿ)olsun. Bu durumda

r ⁿ Z

B(x;r)

jf(y)j^pdy

1=p

!

1

npkfk^L1

elde edilir. Buradan f 2 L^p;n(Rⁿ)bulunur ve kfk^Lp;n(Rⁿ) !

1 p

nkfk^L1(Rⁿ)

gerçeklenir.

f 2 L^p;n(Rⁿ) olsun. Lebesgue teoreminden

r!0limjB(x; r)j ¹ Z

B(x;r)jf(y)j^pdy =jf(x)j^p olup böylece

jf(x)j = lim

r!0jB(x; r)j ¹ Z

B(x;r)jf(y)j^pdy

1=p

!

1 p

n kfk^Lp;n(Rⁿ)

bulunur. O halde f 2 L1(Rⁿ) dir ve kfk^L1(Rⁿ) !

1 p

n kfk^Lp;n(Rⁿ)

gerçeklenir (Stein, 1971).

Ayr¬ca 1 p <1; f 2 W L^locp (Rⁿ) olmak üzere W Lp; (Rⁿ) ile kfk^{W L}p; kfk^{W L}p; (Rⁿ)= sup

x2Rⁿ;r>0

r ^pkfk^{W L}p(B(x;r))

sonlu olacak biçimdeki fonksiyonlar¬n uzay¬belirtilmektedir.

Burada;

kfk^{W L}p(B(x;r)) kf B(x;r)k^{W L}p(Rⁿ)

= sup

t>0

t f _B(x;r) ^1=p(t)

= sup

t>0

tjfy 2 B(x; r) : jf(y)j > tgj^1=p

= sup

t>0

t^1=p f _B(x;r) (t) <1

¸seklindedir.

Ayr¬ca

W L_p(Rⁿ) = W L_p;0(Rⁿ)

oldu¼guna dikkat edilmelidir. Bundan ba¸ska, Lp; (Rⁿ) W L_p; (Rⁿ) gömülmesi gerçeklenir. Gerçekten, Chebychev e¸sitsizli¼gi yard¬m¬yla

kfk^pW Lp; = sup

x2Rⁿ;r>0

r sup

t>0

t^p f _B(x;r) (t)

= sup

x2Rⁿ;r>0

r sup

t>0

t^pj fy 2 B(x; r) : jf(y)j > tg j

= sup

x2Rⁿ;r>0

r sup

t>0

t^p Z

fy2B(x;r): jf(y)j>tg

dy sup

x2Rⁿ;r>0

r sup

t>0

Z

fy2B(x;r): jf(y)j>tgjf(y)j^pdy sup

x2Rⁿ;r>0

r Z

B(x;r)jf(y)j^pdy

=kfk^pLp;

elde edilir.

Lemma 2.5 1 p < 1, ¹p + _p¹₀ = 1 ve 0 < n olsun. Bu durumda = ⁿ_p olmak üzere

L_p; (Rⁿ) L_1;n (Rⁿ)

gömülmesi sa¼glan¬r. Bundan ba¸ska,

kfk^1;n !

1 p0

n kfk^Lp;

e¸sitsizli¼gi gerçeklenir.

Ispat.· f 2 L^p; (Rⁿ), 1 p < 1, 0 < n ve p = n olsun. Hölder e¸sitsizli¼ginden

Z

B(x;r)

jf(y)jdy Z

B(x;r)

jf(y)j^pdy

1=p Z

B(x;r)

dy

1=p⁰

!^1=p_n ⁰r^n=p0 Z

B(x;r)jf(y)j^pdy

1=p

elde edilir. Ayr¬ca

r ⁿ Z

B(x;r)jf(y)jdy !^1=p_n ⁰r ^n=p Z

B(x;r)jf(y)j^pdy

1=p

= !^1=p_n ⁰ r Z

B(x;r)

jf(y)j^pdy

1=p

= !^1=p_n ⁰kfk^Lp;

gerçeklenir, böylece f 2 L^1;n (Rⁿ) d¬r ve

kfk^L1;n !^1=p_n ⁰kfk^Lp;

bulunur.

A¸sa¼g¬daki teorem maksimal operatörün Morrey uzaylar¬ndaki s¬n¬rl¬l¬¼g¬n¬karakterize etmektedir.

Teorem 2.12 f lokal integrallenebilir fonksiyon olsun. Bu durumda a¸sa¼g¬daki

¸sartlar gerçeklenir.

(i ) 1 p 1, f 2 L^p; , 0 < < n için M f , Rⁿ de h.h.y. sonludur.

(ii) 1 < p < 1 , 0 < < n olsun. Bu durumda kMfk^p; Ckfk^p;

gerçeklenir, burada C f den ba¼g¬ms¬z bir sabittir.

(iii) p = 1 olsun. Bu durumda

tjfMf > tg \ B^r(x)j Cr kfk^1;

gerçeklenir, burada C sabiti x, r, t ve f den ba¼g¬ms¬zd¬r (Chiarenza ve Frasca, 1987).

Tan¬m 2.30 (Lokal Morrey Uzaylar¬)0 p <1; 0 1ve f 2 L^locp (0;1) olsun. Lp; (0;1) lokal Morrey uzaylar¬

kfkLp; (0;1) = sup

r>0

r ^p kfkLp(0;r)

sonlu olacak biçimdeki fonksiyonlar¬n uzay¬d¬r.

Benzer ¸sekilde, 0 p < 1; 0 1 ve f 2 W L^locp (0;1)olsun:W L^p; (Rⁿ) zay¬f lokal Morrey uzaylar¬

kfkW Lp; (Rⁿ) = sup

r>0

r ^p kfkW Lp(0;r)

sonlu olacak biçimdeki fonksiyonlar¬n uzay¬d¬r.

A¸sa¼g¬daki teorem Hardy operatörlerinin zay¬f lokal Morrey uzaylar¬nda s¬n¬rl¬l¬¼g¬n¬n elde edilmesinde kullan¬lacakt¬r (Andersen ve Muckenhoupt, 1982).

Teorem 2.13 1 p q <1 , u ve v negatif olmayan a¼g¬rl¬k fonksiyonlar¬olsun.

Bu durumda a¸sa¼g¬daki zay¬f (p; q) tipi e¸sitsizlikler gerçeklenir.

(i) > 0 için e¼ger,

B( ; a) = sup

>0

0

@ Z1

( =x)^a(u(x)=x ^q)dx 1 A

1=q0

@Z

0

v(x) ^{1=(p 1)} 1 A

1=p⁰

(2.8)

baz¬ a > 0 lar için sonlu ise, bu durumda (u; v) çiftine, P için zay¬f (p; q) tipli a¼g¬rl¬k çifti ad¬verilir ve

Z

f^t2(0;1):j^{p f (t)}j^> g u(t)dt

!1=q

C ¹ 0

@ Z1

0

jf(t)j^pv(t)dt 1 A

1=p

e¸sitsizli¼gi gerçeklenir.

(ii) > 0 için e¼ger,

B( ) = sup

>0

0

@Z

0

u(x)dx 1 A

1=q0

@ Z1

v(x) ^{1=(p 1)} 1 A

1=p⁰

(2.9)

sonlu ise, bu durumda (u; v) çiftine, P için zay¬f (p; q) tipli a¼g¬rl¬k çifti ad¬verilir

ve Z

ft2(0;1):jP f(t)j> g

u(t)dt

!1=q

C ¹

0

@ Z1

0

jf(t)j^pv(t)dt 1 A

1=p

e¸sitsizli¼gi gerçeklenir.

Yukar¬daki e¸sitsizliklerde u(t) = v(t) = _(0;r)(t) al¬nd¬¼g¬nda, s¬ras¬yla Z

ft2(0;r):jP f(t)j> g

dt

!1=q

C ¹

0

@ Zr

0

jf(t)j^pdt 1 A

1=p

Z

ft2(0;r):jP f(t)j> g

dt

!1=q

C ¹ 0

@ Zr

0

jf(t)j^pdt 1 A

1=p

elde edildi¼gine dikkat edilmelidir.

A¸sa¼g¬daki teorem A Hardy operatörünün lokal Morrey uzaylar¬ndaki s¬n¬rl¬l¬¼g¬n¬

vermektedir.

Teorem 2.14 (i) 1 < q < 1, 0 < 1ve = _q+_q¹₀ olsun. Bu durumda A oper- atörü L_q; (0;1) lokal Morrey uzaylar¬nda s¬n¬rl¬d¬r.

(ii) 1 < q < 1, 0 < 1 ve = _q + _q¹₀ olsun. Bu durumda A operatörü L_q; (0;1) lokal Morrey uzaylar¬ndan W L^q; (0;1) zay¬f lokal Morrey uzaylar¬na s¬n¬rl¬d¬r.

Ispat.· Teoremin (i) ¸s¬kk¬(Samko, 2009) taraf¬ndan ispatlanm¬¸st¬r.

Teoremin (ii) ¸s¬kk¬ise Aykol, Guliyev, Küçükaslan ve ¸Serbetçi taraf¬ndan ispatlan- m¬¸st¬r (Aykol vd., 2016).

(ii) = _q +_q¹₀ olsun. Bu durumda

kA fk^{W L}q; (0;1) Ckfk^Lq; (0;1)

e¸sitsizli¼ginin gerçeklendi¼gini gösterelim.

kA fk^{W L}q; (0;1) = sup

r>0

r ^=qkA fk^{W L}q; (0;1)

= sup

r>0

r ^=qk (0;r)A fk^{W L}q; (0;1)

= sup

r>0

r ^=qsup

r>0

0 BB

@

Z

f^t2(0;r):j^{A f (t)}j^> g dt

1 CC A

1=q

= sup

r>0

r ^=qsup

r>0

0 BB

@

Z

f^t2(0;r):j^{t 1R0tf (s)}s dsj^> g dt

1 CC A

1=q

(2.8) da e¼ger p = q, = 1 > 0, u(t) = _(0;r)(t), v(t) = _(0;r)(t)t ^q al¬n¬rsa tüm a > 0lar için B( ; a) sabiti

B( ; a) = sup

>0 a=q

Z ₁

(0;r)(s)s ^as ^{q(1 )}ds

1=q Z

0

( _(0;r)(s)s ^q) ^{1=(q 1)}ds

1=q⁰

= sup

0< <r a=q

Z r

s ^as ^{q(1 )}ds

1=q Z

0

(0;r)(s)s ^{q =(q 1)}ds

1=q⁰

C sup

>0

a=q a=q+ 1+1=q +1 1=q <1

¸seklinde elde edilir. Buradan

sup

r>0

r ^=qsup

r>0

0 BB

@

Z

f^t2(0;r):j^{t 1R0tf (s)}s dsj^> g dt

1 CC A

1=q

C sup

r>0

r ^=q 0

@ Z1

0

(0;r)(t) f (t) t

q

t ^qdt 1 A

1=q

= sup

r>0

r ^=q 0

@ Zr

0

f (t)^qdt 1 A

1=q

= Ckfk^Lq; (0;1)

elde edilir. Böylece ispat tamamlan¬r.

A¸sa¼g¬daki teorem A Hardy operatörünün lokal Morrey uzaylar¬ndaki s¬n¬rl¬l¬¼g¬n¬

vermektedir.

Teorem 2.15 (i) 1 q < 1, 0 < 1, = _{q q}¹₀ olsun. Bu durumda A oper- atörü Lq; (0;1) lokal Morrey uzaylar¬nda s¬n¬rl¬d¬r.

(ii) 1 < q < 1,0 < 1, = _{q q}¹₀ olsun. Bu durumda A operatörü L^q; (0;1) lokal Morrey uzaylar¬ndan W Lq; (0;1) zay¬f lokal Morrey uzaylar¬na s¬n¬rl¬d¬r.

Ispat.· Teoremin (i) ¸s¬kk¬(Samko, 2009) taraf¬ndan ispatlanm¬¸st¬r.

Teoremin (ii) ¸s¬kk¬ise Aykol, Guliyev, Küçükaslan ve ¸Serbetçi taraf¬ndan ispatlan-

m¬¸st¬r. (Aykol vd., 2016).

(ii) = _{q q}¹₀ olsun. A operatörünün s¬n¬rl¬l¬¼g¬n¬n ispat¬nda kulland¬¼g¬m¬z metotla, kA fk^{W L}q; (0;1) Ckfk^Lq; (0;1)

e¸sitsizli¼ginin gerçeklendi¼gini gösterelim.

kA fk^{W L}q; (0;1) = sup

r>0

r ^=qkA fk^{W L}q; (0;1)

= sup

r>0

r ^=qk (0;r)A f(t)k^{W L}q(0;1)

= sup

r>0

r ^=qsup

r>0

0 BB

@

Z

f^t2(0;r):j^{A f(t)}j^> g dt

1 CC A

1=q

= sup

r>0

r ^=qsup

r>0

0 BB

@

Z

f^t2(0;r):j^{t Rt1}s +1^{f (s)}dsj^> g dt

1 CC A

1=q

(2.9) e¸sitli¼ginde

p = q; = > 0;

u(t) = _(0;r)(t); v(t)

= _(0;r)(t)t^{( +1)q} al¬n¬rsa, B( ) sabiti

B( ) = sup

>0

Z

0

( _(0;r)(s)ds

1=q Z ₁

(0;r)(s)s^{q( +1) 1=(q 1)}ds

1=q⁰

= sup

0<< <r a=q

Z r

s ^as ^{q(1 )}ds

1=q Z

0

(0;r)(s)s ^{q=(q 1)}ds

1=q⁰

C sup

>0

+1=q 1+1 1=q

<1