Bir sayısal yarıgrubun pseudo-simetrik olabilmesi için gerekli ve yeterli koşullar

(1)

T.C

DİCLE ÜNİVERSİTESİ

FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

BİR SAYISAL YARIGRUBUN

PSEUDO-SİMETRİK OLABİLMESİ İÇİN GEREKLİ VE

YETERLİ KOŞULLAR

Meral SÜER

YÜKSEK LİSANS TEZİ

MATEMATİK ANABİLİM DALI

(2)

T.C

DİCLE ÜNİVERSİTESİ

FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

BİR SAYISAL YARIGRUBUN

PSEUDO-SİMETRİK OLABİLMESİ İÇİN GEREKLİ VE

YETERLİ KOŞULLAR

Meral SÜER

YÜKSEK LİSANS TEZİ DANIŞMAN: Sedat İLHAN

MATEMATİK ANABİLİM DALI

DİYARBAKIR

OCAK 2009

(3)

(4)

ÖZ

Bu çalışmada, g S

( )

ve n S

( )

sırasıyla S nin Frobenius sayısı ve belirteç

sayısı olmak üzere,

( )

{

}

1, ,...,2 n 0 0, , ,...,1 2 n 1, ,...,n n S 1, ...

S = s s s = =s s s s ₋ s s =g S + →

şeklinde verilen, özellikle indirgenme boyutu 3 olan bir sayısal yarıgrubun pseudo-simetrik olması için gerekli ve yeterli koşulları vermekteyiz.

(5)

ABSTRACT

In this study, we give the necessary and sufficient conditions for beeing pseudo-symmetric of the numerical semigroup S which is given as

( )

{

}

1, ,...,2 n 0 0, , ,...,1 2 n 1, ,...,n n S 1, ...

S = s s s = =s s s s ₋ s s =g S + →

and, especially, whose embedding dimension is 3, where g S

( )

and n S

( )

are

(6)

TEŞEKKÜR

Bu tezin hazırlanması sırasında, gerek yönlendirmesi gerekse harcadığı vakitleri için, her şeyden önemlisi gösterdiği ilgi ve yardımlarından dolayı, danışmanım sayın Yrd.Doç. Dr. Sedat İLHAN’a teşekkür ederim.

(7)

AMAÇ

Bu çalışma, verilen bir S = s s₁, ,...,₂ sn sayısal yarıgrubunun özellikle üç

elemanla üretilen bir sayısal yarıgrubun pseudo-simetrik olması için gerekli ve yeterli koşulları incelemeyi, bir sayısal yarıgrupta bilinen Frobenius ve Pseudo-Frobenus sayıları, Apery Kümesi, Boşluklar Kümesi ve tip dizisi gibi kavramların pseudo-simetrilik ile olan ilişkisinin araştırılmasını ve bu alanda çalışacak olan araştırmalara ışık tutmayı amaçlamaktadır.

(8)

İÇİNDEKİLER Sayfa ÖZ………..………...i ABSTRACT……….ii TEŞEKKÜR………....iii AMAÇ………...iv GİRİŞ………...1 1. KAYNAK ARAŞTIRMASI……… 2 2. TEMEL BİLGİLER………... .4

3. BİR SAYISAL YARIGRUBUN PSEUDO-SİMETRİK OLMASI İÇİN GEREKLİ KOŞULLAR ………... 19

4. BİR SAYISAL YARIGRUBUN PSEUDO-SİMETRİK OLMASI İÇİN YETERLİ KOŞULLAR ……….………35

KAYNAKLAR……….46

(9)

GİRİŞ

Bu çalışma dört bölümden oluşmaktadır.

Birinci bölümde, sayısal yarıgruplarda, özellikle simetrik ve pseudo-simetrik sayısal yarıgruplarda daha önce yapılan çalışmalar yer almaktadır.

İkinci bölümde, sayısal yarıgruplar kavramında önemli bir rolü olan simetrililik ve pseudo-simetrililik, Frobenius ve Pseudo-Frobenius sayısı, Boşluklar kümesi, Apery kümesi, Belirteç sayısı ve Tip dizisi gibi kavramların tanımlarından ve bunlarla ilgili çok kullanılan teoremlerden bahsedilmektedir.

Üçüncü bölümde ise

( )

{

}

1, ,...,2 n 0 0, , ,...,1 2 n 1, ,...,n n S 1, ...

S = s s s = =s s s s ₋ s s =g S + →

şeklinde verilen, özellikle üç elemanla üretilen bir sayısal yarıgrubun pseudo-simetrik olması gerekli koşullar verilmektedir.

Dördüncü bölümde de

( )

{

}

1, ,...,2 n 0 0, , ,...,1 2 n 1, ,...,n n S 1, ...

S = s s s = =s s s s ₋ s s =g S + →

şeklinde verilen, özellikle üç elemanla üretilen bir sayısal yarıgrubun pseudo-simetrik olması için yeterli koşullar verilmektedir.

(10)

1. KAYNAK ARAŞTIRMASI

Temelde bir sayısal yarıgrubun, sıfırı kapsayan ve pozitif tamsayıların sonlu lineer kombinasyonlarının alt kümesi olduğunu söyleyebiliriz. Bu anlamda karşılaşılan ilk problem, 1884’teki Slyvester Problemidir. (Bu problem;

(

s s₁, ₂

)

=1 olacak şekilde s s n n₁, , ,₂ ₁ ₂∈ ` olmak üzere, en büyük g tamsayısının n s_{1 1}+n s_{2 2}

şeklinde bir lineer kombinasyon olarak yazılıp yazılamayacağı problemi olarak bilinir). Bununla birlikte, Slyvester yine aynı tarihte,

[ ]

0, g aralığında olmamasına rağmen bir çok tamsayının s ve ₁ s pozitif sayılarının bir lineer kombinasyonu ₂

olarak yazılabileceğini göstermiştir7_.

Slyvester Probleminin bir genellemesi Frobenius tarafından verildiği Brauner‘in 1942’deki “ On a problem of partitions” adlı çalışmasından bilinmektedir. Yukarıdaki lineer kombinasyonlar ve Frobenius sayısı olarak bilinen

g sayısı hakkında 1958-1978 yılları arasında bir çok bilim adamı çeşitli araştırmalar

yapmıştır7_.

Ancak, Gilmer 1984 yılındaki çalışmasında bir sayısal yarıgrubun sonlu olarak türetilebileceğini gösterebilmiştir. Bununla birlikte, Fröberg ve ark.7

1987’deki çalışmalarında, bir sayısal yarıgrubun simetrik olmasını ve tipinin bulunmasını araştırmış ve daha sonraları Fransız matematikçinin kendi adını vereceği Apery kümesini

( )

: ,

S s = ∈

{

t S t s S s S− ∉ ∈

{ }

0

}

olarak tanımlamışlardır7_.

Bir sayısal yarıgrubun Frobenius sayısının bulunması güçlüğünü giderecek bazı formüller Curtis tarafından 1990 yılındaki çalışmasında verilmiştir16_{. Barucci}

(11)

ve ark. 1997’deki çalışmalarında sayısal yarıgruplar ve özelikle bunların tipleri konusunda önemli sonuçlar elde etmişlerdir15_{. Bununla birlikte, Morco D’anna}

1998’ de sayısal yarıgrupları, tip dizileri yardımıyla elde etmiş ve sayısal yarıgrupların tip dizilerinden hareketle, onun simetrik ya da pseudo-simetrikliğini ele almıştır2_.

Rosales ve ark. 1996’da sayısal yarıgrupların Apery kümeleri ile

pseudo-simetriklik arasındaki ilişkiyi incelemiştir 3_.

Rosales ve ark. sayısal yarıgruplar konusunda 2000-2006 tarihleri arasındaki çeşitli çalışmaları bu alanda önemli bir yere sahip olmuştur 1, 8, 9, 12, 13, 14, 19_.

Olivera’nın 2004’deki çalışmasında sayısal yarıgrupların simetrik ve

pseudo-simetrik olması açısından değerli olmuştur 11_{. Simetrik sayısal yarıgrupların özel bir}

sınıfı da S. İlhan tarafından 2006’daki çalışmasında yer almıştır 17_.

Son olarak, Rosales, 2008’deki “ On Half of A Pseudo-symmetric Numerical Semigroups” adlı çalışmasının pseudo-simetrik sayısal yarıgruplar

(12)

2. TEMEL BİLGİLER

Bu bölümde, çalışmanın esasını oluşturan ve tezin iyi anlaşılması için temel tanım ve teoremler yer almaktadır.

2.1 TANIM: İçinde birleşme özelliğine sahip bir ikili işlem tanımlanmış olan tek işlemli cebirsel yapıya bir yarıgrup denir.

2.2 TANIM: S,∗ bir yarıgrup olsun. T ⊆S olmak üzere ∀a b T için , ∈ a b T∗ ∈

oluyor ise T ye S nin bir alt yarıgrubu denir.

2.3 TANIM: S bir yarıgrup ve A⊂S olsun. A yı kapsayan S nin en küçük alt yarıgrubuna A nın ürettiği yarıgrup denir. Bu durumda A kümesine de S nin üreteçler kümesi denir ve S = A şeklinde gösterilir. Özel olarak s₁ <s₂ < <... s _n

olacak şekilde A=

{

s s₁, ,...,₂ s_n

}

⊂S alınırsa S = s s₁, ,...,₂ s_n yazılır. Eğer

1, ,...,2

= n

S s s s olacak şekilde S nin A=

{

s s1, ,...,2 sn

}

üreteç kümesinden daha

küçük bir küme yoksa o zaman A=

{

s s1, ,...,2 sn

}

kümesine S nin minimal üreteç

sistemi denir.

2.4 TANIM: ` negatif olmayan tamsayılar kümesi olmak üzere S⊆ ` verilsin. Eğer S, ` deki toplama işlemine göre kapalı, birleşmeli ve 0∈ S oluyorsa S ye sayısal yarıgrup denir. S bir sayısal yarıgup olmak üzere; s1<s2 < <... s olacak n

şekilde s s₁, ,...,₂ s_n∈S için 1 2 1 , ,..., : = ⎧ ⎫ = =_⎨ ∈ _⎬ ⎩

∑

`⎭ n n i i i i S s s s s k k

olarak yazılır ve özellikle

(

1 2

)

" s s, ,...,s_n = ⇔ `1 S kümesi sonludur "

önermesi doğrudur15

(13)

2.5 ÖRNEK: S= 5,6,13 =

{

5k₁+6k₂ +13 ;k₃ k k k₁, ,₂ ₃∈ `

}

=

{

0,5,6,10,11,12,13,15,→...

}

şeklinde yazılır. Burada "→" 15 ten sonraki bütün tamsayıların S kümesinde olduğu anlamındadır. 2.6 ÖRNEK:

{

}

{

}

1 2 3 1 2 3 3,5,7 3 5 7 ; , , 0,3,5, ... S= = k + k + k k k k ∈ = → ` olup, ` S =

{

1, 2, 4

}

sonludur ⇔

(

3,5,7

)

=1 dir. 2.7 ÖRNEK:

{

}

{

}

1 2 1 2 4,6 4 6 ; , 0, 4,6,8,10,12,... S = = k + k k k ∈ = ` olur.

( )

4,6 ≠1 olduğundan ` S sonlu değildir. Bu çalışmamızda

(

s s₁, ,...,₂ s_n

)

=1 alacağız.

2.8 TANIM: S sayısal yarıgrubu S = s s₁, ,...,₂ sn şeklinde verilsin. O zaman s ve 1

n sayılarına sırasıyla S nin katlılığı ve indirgenme boyutu denir ve sırasıyla

( )

S

μ ve e S

( )

ile gösterilir

2.9 TANIM: S bir sayısal yarıgrup olmak üzere S nin Frobenius sayısı S ye ait

olmayan en büyük tamsayı olarak tanımlanır ve g S

( )

ile gösterilir. Yani

( )

max

{

:

}

g S = x∈] x S∉

(14)

Bir sayısal yarıgrubun Frobenius sayısını hesaplamak zordur. Ancak, özel bazı sayısal yarıgruplar için bunu kolayca hesaplamak mümkündür.

2.10 TEOREM: S= s s₁, ₂ şeklinde tanımlanan S sayısal yarıgrubunun Frobenius

sayısı;

( )

= 1 2− −1 2

g S s s s s

şeklinde hesaplanır7_.

2.11 TEOREM: S = s s s₁, ,₂ ₃ aşağıdaki koşuları sağlayan bir sayısal yarı grup olsun. Eğer,

1 2 3

2< <s s <s için 2< <k (s₁−1) 2 1+ (k∈]) ve s₁− <k s s₃ ₂ < − +s₁ k 1,

(

)

2 ≡1 mod 1

s s ve s₃ ≡ − +s₁ k 1 mod

(

s₁

)

alınırsa, o zaman S nin Frobenius sayısı,

( ) (

= −2

)

2+ −3 1 g S k s s s olarak bulunur 16_. 2.12 ÖRNEK:

{

}

7,8,33 0,7,8,14,15,16, 21, 22, 23, 24, 28, 29,30, 29,30,31,32,33,35, ... = = → S

sayısal yarıgrubu için g S

( )

=34 tür.

2 7 8 33< < < için 2< <k

(

7 1 2 1−

)

+ ve 2< < ⇒ =k 4 k 3 alınır. 33 7 3 7 3 1 8 − < < − + , yani 33 4 5 8 < < olup

(

)

8 1 mod 7≡ ve 33 7 3 1 mod 7≡ − +

(

)

, 33 5≡

(

mod 7

)

(15)

2.13 TEOREM: a>2 ve a çift tamsayı olmak üzere ;

, 2, 2 1

S = a a+ a+ şeklindeki sayısal yarıgruplar için g S

( )

sayısı,

( )

2 1

2 =a + −

g S a

formülü ile elde edilir 17_.

2.14 ÖRNEK: S = 6,8,13 =

{

0,6,8,12,13,14,16,18,19, 20, 21, 22, 24,→...

}

sayısal yarıgrubu için ,

( )

=36 2 6 1 23+ − =

g S

olarak bulunur.

2.15 TANIM: S bir sayısal yarıgrup ve onun Frobenius sayısı g S

( )

olsun.O zaman

( )

=# 0,1, 2,...,

(

{

( )

}

∩

)

n S g S S

sayısına S nin belirteç sayısı adı verilir.

2.16 NOT: g S

( )

ve n S

( )

sırasıyla, S nin Frobenius sayısı ve belirteç sayısı olmak

üzere, S=

{

0=s s₀, ,...,₁ sn−₁, ,...,sn sn S_{( )} =g S

( )

+ →1, ...

}

şeklinde verilsin. Burada

1 +

<

i i

s s olup “→” , g S

( )

+1 sayısından büyük olan her tamsayının S ye ait

olduğunu gösterir.

2.17 TANIM: S sayısal yarıgrup ve Frobenius sayısı g S

( )

olsun. Eğer ∀ ∈]x S için g S

( )

− ∈x S

oluyor ise S ye simetrik sayısal yarıgrup adı verilir.

Öte yandan iki eleman ile üretilen her S = s s₁, ₂ sayısal yarıgrubunun simetrik olduğu bilinmektedir16_.

(16)

2.18 ÖRNEK:

{

}

8,10,17 0,8,10,16,17,18, 20, 24, 25, 26, 27, 28,30,32,33,34,35,36,37,38, 40, ...

S = = →

sayısal yarıgrubu için,

( )

64 2 8 1 39

g S = + − =

olup ∀ ∈] S için x 39 x S− ∈ olur. Yani, S simetrik sayısal yarıgruptur.

Ancak S = 5,6,13 =

{

0,5,6,10,11,12,13,15,→...

}

sayısal yarıgrubunda

( )

14

g S = olup x=5 için 14 5 9 S− = ∉ çıkar, yani S simetrik olmaz.

2.19 TANIM: S bir sayısal yarıgrup ve g S

( )

onun Frobenius sayısı olsun. g S

( )

çift ve x∈] S olmak üzere, eğer

( )

2

g S − ∉x S ve x g S=

oluyorsa bir S sayısal yarıgrubu pseudo- simetriktir denir.

2.20 ÖRNEK: S = 5,6,13 =

{

0,5,6,10,11,12,13,15,→...

}

sayısal yarıgrubunun Frobenius sayısı g S

( )

=14 tür. Bununla birlikte x= ∈] S olmak üzere, 7

14 7 7 S− = ∉ ve x=14 2 7=

olduğundan S pseudo-simetrik bir sayısal yarıgruptur.

2.21 TANIM: S bir sayısal yarıgup ve onun Frobenius sayısı g S

( )

olsun. Eğer

x∈] S için g S

( )

− ∉x S oluyor ise x elemanına S nin kutup noktası denir. S nin bütün kutup noktalarının kümesi ;

( )

K S =

{

x∈] S g S:

( )

− ∉x S

}

(17)

2.22 TEOREM: S sayısal yarıgrubunun simetrik olabilmesi için gerekli ve yeterli koşul K S

( )

= ∅ olmasıdır 18_. 2.23 ÖRNEK:

{

}

7,8,33 0, 7,8,14,15,16, 21, 22, 23, 24, 28, 29,30, 29,30,31,32,33,35, ... S = = → sayısal yarıgrubunda g S

( )

=34 ve

( )

K S =

{

x∈] S: 34

(

− ∉x

)

S

}

=

{

25,17,9

}

≠ ∅ olduğundan S sayısal yarıgrubu simetrik değildir. Ancak

{

}

4, 6,9 0, 4, 6,8,9,10,12, ...

S = = →

sayısal yarıgrubunda g S

( )

=11 ve S nin kutup noktalarının kümesi,

( )

K S =

{

x∈] S: 11

(

− ∉x

)

S

}

= ∅ olup S simetriktir.

2.24 TANIM: ` negatif olmayan tam sayılar kümesi ve S bir sayısal yarıgrup olsun. Bu durumda ` S kümesinin elemanlarına S nin (gaps) boşlukları denir. S nin

bütün boşluklarının kümesi H S

( )

ile gösterilir. Yani,

( ) {

:

}

H S = x∈` x S∉

olarak ifade edilir.

2.25 TEOREM: S= s s₁, ₂ şeklinde tanımlanan bir sayısal yarıgrup için,

( )

(

)

(

1

)(

2

)

# H S = s −1 s −1 2

(18)

2.26 ÖRNEK:

{

}

7,10 0,7,10,14,17, 20, 21, 24, 27, 28,30,31,34,35,37,38, 40, 41, 42, 44, 45, 47, 48, 49,50,51,52,54, ... S= = →

sayısal yarıgrubunda g S

( )

=53 olup

( )

(

)

# H S =6.9 2 27=

olarak hesaplanır. Gerçekten de

( ) {

1, 2,3, 4,5, 6,8,9,11,12,13,15,16,18,19, 22, 23, 25, 26, 29,32,33,36,39, 43, 46,53

}

H S =

şeklindedir.

2.27 TANIM: S bir sayısal yarıgrup ve n S∈

{ }

0 olsun.

(

,

) {

:

}

Ap S n = ∈s S s n S− ∉

kümesine S nin n ye göre Apery kümesi denir. Yani S nin n ye göre Apery kümesinin elemanları

(

mod n

)

e göre kalan sınıfların her birindeki en küçük pozitif tam sayılardan oluşmaktadır. Böylece,

(

)

#(Ap S n, )=n olup g S

( )

=max

(

Ap S n

(

,

)

−n

bağıntısı mevcuttur 12_.

2.28 NOT: S= s s₁, ,...,₂ s_n sayısal yarıgrubu verilsin. Bu durumda,

(

, 1

) {

: 1

}

Ap S s = ∈s S s s− ∉S

kümesi, S nin

(

mod s₁

)

e göre tam olarak bir elemanını kapsar. Özel olarak

(

, 1

)

(19)

elemanlardan oluşur. Yani Ap S s

(

, ₁

)

kümesinin elemanlarını w i

( )

ile gösteririz ki onlar

(

mod s₁

)

e göre i ye denktirler12_.

S sayısal yarıgrubunun Apery kümesi ile Boşluklarının kümesi arasındaki ilişkiyi aşağıdaki teoremle verebiliriz.

2.29 TEOREM: S= s s₁, ₂ şeklinde ki bir S sayısal yarıgrubu için,

( )

(

)

#

(

, 1

)

1 #

(

, 2

)

1 # 2 Ap S s Ap S s H S = ⎡⎣ − ⎤ ⎡⎦ ⎣ − ⎤⎦ ve

( )

(

, 1

)

,

( )

(

, 2

)

H S ∩Ap S s = ∅ H S ∩Ap S s = ∅ bağıntısı mevcuttur 17_.

2.30 ÖRNEK: S = 3,5 =

{

0,3,5, 6,8,→...

}

olup g S

( )

=3.5 3 5 7− − = şeklindedir. Bununla birlikte,

( ) {

,3 : 3

} {

0,5,10

}

Ap S = ∈s S s− ∉S =

( ) {

,5 : 5

} {

0,3, 6,9,12

}

Ap S = ∈s S s− ∉S = ve

( ) {

1, 2, 4, 7

}

H S = olup,

( )

(

)

(

3 1 5 1

)(

)

4 # 2 H S − − = = eşitliği sağlanır.

(20)

2.31 NOT: S=

{

0=s s₀, ,...,₁ sn−₁, ,...,sn sn S_{( )} =g S

( )

+ →1, ...

}

bir sayısal yarıgrup,

( )

g S ve n S

( )

sırasıyla onun Frobenius sayısı ve belirteç sayısı olmak üzere, S ve i

( )

S i kümeleri aşağıdaki şekilde tanımlayalım:

( )

0 i n S≤ ≤ =k için

{

}

( ) {

}

: ; : i i i S x S x s S i x x S S = ∈ ≥ = ∈` + ⊂

Bu durumda aşağıdaki zinciri elde ederiz2_.

( )

(

)

( )

1 ... 1 1 ... 1

k k

S ⊂S ₋ ⊂ ⊂S ⊂ ⊂S S ⊂ ⊂S k− ⊂S k = `

2.32 TANIM: S=

{

0=s s₀, ,...,₁ s_n₋₁, ,...,s_n s_{n S}_{( )} =g S

( )

+ →1, ...

}

bir sayısal yarıgrup, g S ve

( )

n S

( )

sırasıyla onun Frobenius sayısı ve belirteç sayısı olmak üzere, t t S=

( )

=#

(

S

( )

1 S sayısına S sayısal yarıgrubunun tipi denir

)

2.33 TANIM: S =

{

0=s s₀, ,...,₁ s_n₋₁, ,...,s_n s_{n S}_{( )} =g S

( )

+ →1, ...

}

bir sayısal yarıgrup,

( )

g S ve n S

( )

sırasıyla onun Frobenius sayısı ve belirteç sayısı olmak üzere,

( )

1 i n S≤ ≤ için

( )

#

( )

i i

t =t S =

(

S i S i

(

−1

)

sayılarından yararlanarak

{

t t₁, ,...,₂ t_{n S}_{( )}

}

kümesini elde ederiz. Bu kümeye de S sayısal yarıgrubunun tip dizisi adı verilir. Burada,

( )

2 r n S≤ ≤ ve t₁≥ ≥ t_r 1 olarak tanımlanır 2_.

(21)

2.34 ÖRNEK: S = 4, 6,9 =

{

0, 4, 6,8,9,10,12,→...

}

ve g S

( )

=11 şeklindedir. Ayrıca,

( )

{

}

{

} {

}

0 0 1 1 0 : , : 4,6,8,9,10,12, ... S S x S x s S S x S x s = = ∈ ≥ = = ∈ ≥ = → olup,

( ) {

}

{

1

}

1 : 0, 4,6,8,9,10,11,12,13,... S = x∈ x S+ ⊂S = `

yazılır. Bu durumda S nin tipi

( )

1 # 1

t = =t

(

S S

)

=# 11

( )

{ }

= 1 olarak bulunur. Böylece S nin tip dizisi de

{

1,1,1,1,1,1

}

şeklinde olur. 2.35 ÖRNEK: S = 5, 6,11 =

{

0,5, 6,10,11,12,13,15,→...

}

olup g S

( )

=14 şeklindedir. Bu durumda,

( )

{

}

{

} {

}

0 1 0 : 0 : 5 5,6,10,11,12,13,15, ... S S x S x S S x S x = = ∈ ≥ = = ∈ ≥ = → ve

( ) {

}

{

1

}

1 : 0,5,6,7,10,11,12,13,14,15, ... S = x∈ x S+ ⊂S = → `

olur. Bununla birlikte,

( )

1 # 1

(22)

olur. Öte yandan,

{

}

{

}

2 (2) : 0,5,6,7,9,10,11,12,13,14,15, ... S = x∈ x S+ ⊂S = → ` olup

( )

2 # 2 t =

(

S S

( )

1

)

=# 9

( )

{ }

= 1 elde edilir. Böylece ,

2 3 4 5 6 7 1

t = = = = = = t t t t t

bulunur. Yani, S nin tip dizisi

{

2,1,1,1,1,1,1

}

şeklinde olur.

2.36 NOT: Simetrik ve pseudo-simetrik sayısal yarıgrubunun tip dizileri sırasıyla,

{

1,1,...,1

}

ve

{

2,1,1,...,1

}

şeklindedir.

2.37 TANIM: S sayısal yarıgrup ve d pozitif bir tamsayı olsun. O zaman

{

:

}

S d = x∈` dx S∈ kümesi de aynı zamanda bir sayısal yarıgruptur ve S nin d ile bölüm kümesi olarak adlandırılır. Üstelik S ⊆S d olup d =1 için S d=S

yazılır.

2.38 ÖRNEK: S = 3,5 =

{

0,3,5, 6,8,→...

}

olsun. O zaman, d =2 için S d

kümesi,

{

} {

}

2 : 2 0,3, 4,5, 6, 7,8, ...

S = x∈` x S∈ = →

(23)

2.39 TANIM: Negatif olmayan tam sayıların kümesi ` ve S sayısal yarıgrup olmak üzere, g=#

(

` S sayısına S nin türü (genus) denir. Yani ,

)

H S

( )

kümesinin eleman sayısına S nin türü (genus) adı verilir.

2.40 ÖRNEK: S = 3,5 =

{

0,3,5, 6,8,→...

}

sayısal yarıgrubunu 4. türden olduğunu göstermek zor değildir:

( ) {

1, 2, 4, 7

}

H S = .

2.41 TANIM: ` negatif olmayan tam sayılar kümesi, S bir sayısal yarıgrup ve

( )

g S onun Frobenius sayısı olsun. Eğer c− ∉1 S ve c+ ⊆` S olacak şekilde bir tek c S∈ varsa c öğesine S sayısal yarıgrubunun kondüktörü denir. Bir başka deyişle, c g S=

( )

+1 eşitliğini sağlayan c sayısına S nin kondüktörü (ileticisi) denir.

2.42 ÖRNEK: S = 4, 6,9 =

{

0, 4, 6,8,9,10,12,→...

}

ve g S

( )

=11 şeklindedir. Bununla birlikte, c− ∉1 S ve c+ ⊆` S olacak şekilde bir tek c S∈ vardır ve bu değer c=12 olarak bulunur:

{

} {

}

12 : 12 :

c+ =` + =` c x x+ ∈` = +x x∈` ⊆S

2.43 ÖRNEK: S = 4, 7,9 =

{

0, 4, 7,8,9,11,→...

}

ve g S

( )

=10 şeklindedir. Öte yandan, c− ∉1 S ve c+ ⊆` S olacak şekilde bir tek c S∈ vardır ve bu değer

11

c= olrak hesaplanır:

{

} {

}

11 : 11 :

c+ = + =` ` c x x+ ∈` = +x x∈` ⊆S

2.44 TANIM: Bir S sayısal yarıgrubu, onu kapsayan iki sayısal yarıgrubun arakesiti olarak ifade edilemiyorsa bu durumda S ye indirgenemez sayısal yarıgrup denir.

(24)

2.45 NOT: S bir sayısal yarıgrup ve g S

( )

onun Frobenius sayısı olsun. O zaman

“S simetriktir ⇔ S indirgenemez ve g S

( )

tektir” önermesi doğrudur5_.

2.46 ÖRNEK: S = 7,8, 25 sayısal yarıgrubu indirgenemez ve g S

( )

=34 tür. Üstelik, S pseudo-simetriktir. Bununla birlikte, S= 6,11,15, 20, 25 = 5, 6 ∩ 3,11

olduğundan indirgenemez değildir. Öte yandan, S simetrik olmaz.

Ancak, S₁ = 5,6 ve S₂ = 3,11 sayısal yarıgrupları simetrik ve S S₁, ₂ ⊇ S

bağıntısı mevcuttur.

2.47 TANIM: S bir sayısal yarıgrup ve g S

( )

onun Frobenius sayısı olsun. Bu durumda,

( )

{

:

( )

}

N S = s S s g S∈ <

kümesine S nin minimal temsilcisi denir.

2.48 NOT: S bir sayısal yarıgrup olmak üzere, onun Frobenius sayısı, boşluklarının kümesi ve minimal temsilcilerinin kümesi sırasıyla, g S

( )

, H S

( )

ve N S

( )

ile verilsin. O zaman,

( )

(

)

(

( )

)

( )

# H S +# N S =g S +1

eşitliği mevcuttur. Ayrıca, s N S∈

( )

iken

( )

g S − ∈s H S olduğundan

( )

(

)

(

( )

)

# H S ≥# N S

(25)

( )

#

(

( )

)

n S = N S

olduğu açıktır.

2.49 ÖRNEK: S= 4, 6,9 =

{

0, 4, 6,8,9,10,12,→...

}

ve g S

( )

=11 olur. Bununla birlikte,

( ) {

1, 2,35, 7,11

}

H S = ve N S

( )

= ∈

{

s S s g s: <

( )

=11

}

=

{

0, 4, 6,8,9,10

}

olup

( )

(

)

(

( )

)

# H S +# N S = +11 1

elde edilir. Öte yandan,

( )

# 0,1, 2,...,11

(

{

}

)

# 0, 4, 6,8,9,10

(

{

}

)

#

(

( )

)

n S = ∩S = = N S

yazılır.

2.50 TANIM: S bir sayısal yarıgrup olsun. Eğer x∈] S olmak üzere,

s S

∀ ∈

{ }

0 için x s S+ ∈

oluyorsa x tam sayısına S nin Pseudo-Frobenius sayısı denir ve S nin bütün pseudo-Frobenius sayılarının kümesi Pg(S) ile gösterilir. Yani

( )

Pg S =

{

x∈] S x s S: + ∈ , ∀ ∈s S

{ }

0

}

olarak ifade edilir. #(Pg S

( )

) sayısına S nin tipi de denir.

2.51 ÖRNEK: S= 4, 6,9 =

{

0, 4, 6,8,9,10,12,→...

}

ve g S

( )

=11 olur. O zaman, S nin bütün pseudo-Frobenius sayılarının kümesi;

( )

Pg S =

{

x∈] S x s S: + ∈ ,∀ ∈s S

{ }

0

}

=

{ }

11 olarak bulunur.

(26)

2.52 ÖNERME: S bir sayısal yarıgrup, g S

( )

onun Frobenius sayısı ve S nin pseudo-Frobenius sayılarının kümesi Pg(S) olsun. O zaman aşağıdakiler mevcuttur:

(1) g S

( )

=max

(

Pg S

( )

)

(2) Eğer x y Pg S, ∈

( )

ve x y S− ∈ ise x y= şeklindedir5_.

2.53 ÖNERME: S bir sayısal yarıgrup olsun. Öte yandan, g S

( )

ve Pg S

( )

sırasıyla S nin Frobenius sayısı ve Pseudo Frobenius sayısı olarak verilsin. Buna göre, S sayısal yarıgrubunun simetrik olabilmesi için gerek ve yeter koşul

( )

{

( )

}

Pg S = g S

olmasıdır5_.

2.54 ÖNERME: S bir sayısal yarıgrup ve t S

( )

onun tipi olsun. Bu durumda aşağıdakiler mevcuttur5_:

(1) S simetriktir ⇔ t S

( )

=1

(27)

3. BİR SAYISAL YARIGRUBUN PSEUDO-SİMETRİK OLMASI İÇİN GEREKLİ KOŞULLAR

Bu bölümde, verilen bir sayısal yarıgrubun pseudo-simetrik olması için gerekli koşullar bulunmaktadır.

3.1 ÖNERME: S bir sayısal yarıgrup ve g S

( )

onun Frobenius sayısı olsun. Eğer S pseudo-simetrik ise, o zaman n S∈

{ }

0 için

( )

₍

_,

₎

2 + ∈ g S n Ap S n şeklindedir. İSPAT:

( )

2 ∉ g S S olduğundan

( )

2 + ∈ g S n S çıkar. O zaman

( )

( ) 2 + − = 2 ∉ g S g S n n S yazılabildiğinden,

( )

₍

_,

₎

2 + ∈ g S n Ap S n elde edilir.

3.2 ÖNERME: S bir sayısal yarıgrup ve onun Frobenius sayısı g S

( )

çift olsun. S pseudo-simetrik ise o zaman n S∈

{ }

0 olmak üzere;

(

,

)

{

0

( )

1

( )

2 ...

(

1

)

( )

}

( )

2 g S Ap S n = =w <w < <w n− = g S +n ∪⎧_⎨ +n⎫_⎬ ⎩ ⎭ ve her i∈

{

1, 2,...,n−1

}

için

( )

(

)

(

1

)

w i +w n i− =w n− eşitlikleri mevcuttur1_.

(28)

İSPAT: S pseudo-simetrik sayısal yarıgrup ve g S

( )

çift olsun. O zaman,

( )

₍

₎

, 2 g S n Ap S n + ∈ ve

( )

max(

(

, )

)

2 g S n Ap S n + <

şeklindedir. Eğer i∈

{

1,...,n−1

}

ise, o zaman

( )

w i − ∉n S ve

( )

2

g S w i − ≠n

bulunur. Öte yandan,

( )

(

( )

)

g S − w i − ∈n S olduğundan

(

1

)

( )

w n− −w i =g S + −n w i ∈S yazarız. Bu durumda,

(

1

)

(

,

)

w n− ∈Ap S n olduğundan

(

1

)

( )

(

,

)

w n− −w i ∈Ap S n

sonucuna varırız. Ayrıca

(

1

)

( )

2

g S

w n− −w i ≠ + n

elde ederiz. Çünkü, aksi halde

( )

2

g S

w i = olur ki bu ise w i

( )

∈S oluşu ile çelişir. Böylece

( )

(

)

(

1

)

w i +w n i− =w n−

(29)

( )

çift olsun. S pseudo-simetrik ise o zaman n S∈

{ }

0 için

(

)

{

( )

}

max≤_S (Ap S n, )= g S 2+n g S, +n olarak yazılır1_. 3.4 ÖRNEK: S= 4, 7,9 =

{

0, 4, 7,8,9,11,→...

}

ve g S

( )

=10 olup

(

, 4

) {

: 4

} {

0, 7,9,14

}

Ap S = ∈s S s− ∉S = şeklindedir. Yani;

(

, 4

)

{

0

( )

1

( )

2

( )

3

}

10 4 2 Ap S = =w <w <w ∪⎧_⎨ + ⎫_⎬ ⎩ ⎭ =

{

0,7,14

} { }

∪ 9

olarak yazılır. Ayrıca, burada

(

) {

}

max≤_S (Ap S, 4 )= 9,14 şeklindedir. 3.5 ÖRNEK: S= 5, 6,13 =

{

0,5, 6,10,11,12,13,15,→...

}

ve g S

( )

=14 olup

( ) {

,5 : 5

} {

0,6,12,13,19

}

Ap S = ∈s S s− ∉S = =

{

0=w

( ) ( ) ( ) ( )

1 ,w 2 ,w 3 ,w 4

}

∪ +

{

7 5

}

=

{

0, 6,13,19

} { }

∪ 12 ve

( ) {

}

max≤_S (Ap S,5 )= 12,19 yazılır.

(30)

3.6 ÖNERME: S= n n n₁, ,₂ ₃ sayısal yarıgrubu verilsin. Her i∈

{

1, 2,3

}

için

min

i

c =

{

x∈ `

{ }

0 : xn_i∈

{

n n n₁, ,₂ ₃

}

{ }

n_i

}

sayıları tanımlansın. Eğer

{

n n ni, ,j k

}

=

{

n n n1, ,2 3

}

ve ,a b∈ ` , b c< olmak üzere i ani =bnj+ nk

eşitliği varsa a c= yazılır _i 1_.

İSPAT: 0 r c≤ < için,

i

a qc= + r

olacak şekilde ,q r∈ ` alalım. c nin tanımından öyle ,_i λ μ∈ ` vardır ki

i i j k

c n =λn +μn

yazılır. Bu durumda an_i =bn_j + iken n_k

j k i j k

q nλ +q nμ +rn =bn + n

sonucuna varırız. Eğer μ _{= ise, o zaman}0

j i j k q nλ +rn =bn + n yazarız. Bu durumda b q> λ yazılır. Böylece i r c< iken, rn_i =

(

b q− λ

)

n_j +n_k

bulunur. Bu ise c tanımıyla çelişir. Bu yüzden _i μ≠ olmalıdır. 0 Eğer 0q= ise o zaman benzer bir çelişki buluruz. Böylece,

0

qμ > ve bn_j =q nλ _j+

(

qμ−1

)

n_k+rn_i

(31)

b q≥ λ ve

(

b q− λ

)

n_j =

(

qμ−1

)

n_k +rn_i

yazarız. Öte yandan, hipotezden b c< olup _j

0

b q− λ=

eşitliğini elde ederiz. Bu, r=0 ve qμ = olduğu anlamına gelir. Böylece, 1 1

q

μ = = olup a c= _i sonucuna varırız.

3.7 SONUÇ: S pseudo-simetrik bir sayısal yarıgrup ve e S

( )

, S nin indirgenme boyutu olsun. S nin katlılığı μ

( )

S ≥4 ise o zaman

( )

1

e S ≤μ S −

şeklindedir.

İSPAT: İspat için e S

( )

≠μ

( )

S olduğunu göstermek yeterlidir. e S

( )

=μ

( )

S ise o zaman S,

{

μ

( )

S n, ,...,₁ n_μ_{( )}_S ₋₁

}

ile minimal olarak üretilir. Bundan dolayı

(

,

)

{

0 2 ... _{( )}S 1

}

1

( ) ( )

₂ g S Ap S n = <n < <n_μ ₋ ∪_⎨⎧n = +e S ⎫_⎬ ⎩ ⎭ olarak yazılır.

( )

S 1 3 μ − ≥ olduğundan n₁≠n₂ ≠n_μ_{( )}_S₋₁ yazılır. Buradan ( )S 1 2 n_μ ₋ − ∈n S

sonucuna varırız ki bu

{

μ

( )

S n, ,...,₁ n_μ_{( )}_S ₋₁

}

kümesinin S için bir minimal üreteçler sistemi olduğu gerçeği ile çelişir.

(32)

3.8 ÖNERME: S = n n n₁, ,₂ ₃ şeklinde bir sayısal yarıgrup ve g S

( )

çift olsun. Öte yandan, her i∈

{

1, 2,3

}

için

min

i

c =

{

x∈ `

{ }

0 : xni∈

{

n n n1, ,2 3

}

{ }

ni

}

sayıları tanımlansın.

Eğer S pseudo-simetrik ise o zaman

( )

2 1

{

(

2 1

) (

2, 3 1

)

3

}

g S + ∈n c − n c − n

şeklindedir1_.

3.9 ÖNERME: S = n n n1, ,2 3 şeklinde bir sayısal yarıgrup ve g S

( )

çift olsun.

Bununla birlikte, her i∈

{

1, 2,3

}

için

min

i

c =

{

x∈ `

{ }

0 : xni∈

{

n n n1, ,2 3

}

{ }

ni

}

sayıları tanımlansın. Eğer S pseudo-simetrik ve g S

( )

2+ =n1

(

c2−1

)

n2 ise o zaman

(

, 1

) {

2 3: 0 2 2, 0 3 1

} (

{

2 1

)

2

}

Ap S n = an +bn ≤ ≤ −a c ≤ ≤ − ∪b c c − n

şeklindedir1_.

İSPAT: c n_{3 3}∉Ap S n

(

, ₁

)

ve 3.2 Önerme’yi kullanarak, ,a b∈ ` olmak üzere

(

)

2 3 , 1

an +bn ∈Ap S n

{

g S

( )

2+n₁

}

ise o zaman a c≤ − ve 2 1 b c≤ − bulunur. 3 1

Yani ispatın devamında, g S

( )

+ =n1

(

c2−2

)

n2+

(

c3−1

)

n3 olduğunu

göstermek yeterlidir.

(33)

alacak olursak, 3.2 Önerme ve 3.3 Önerme’den, ∃a b, ∈ `_için a c≤ − ve ₂ 2

3 1

b c≤ − olmak üzere,

( )

1

(

3 1

)

3 2

(

2 2

)

2 3

g S + =n c − n +an = c − n +bn

elde ederiz. Öte yandan,

(

c3−1

)

n3+an2 =

(

c2−2

)

n2+bn3

eşitliğinden, a c= − ve 2 2 b c= − sonucunu çıkarırız. 3 1

3.10 ÖNERME: S= n n n1, ,2 3 şeklinde bir sayısal yarıgrup ve g S

( )

çift olsun.

Ayrıca, her i∈

{

1, 2,3

}

için

min

i

c =

{

x∈ `

{ }

0 : xni∈

{

n n n1, ,2 3

}

{ }

ni

}

sayıları tanımlansın. Eğer S pseudo-simetrik ve g S

( )

2+ =n1

(

c2−1

)

n2 ise o zaman

aşağıdakiler mevcuttur

( )

(

)

( )

(

)

( )

(

)

1 1 2 2 3 2 2 3 3 1 3 3 1 1 2 1 1 2 1 3 1 c n c n n c n c n n c n c n n = − + = − + = − +

İSPAT: 3.3 Önerme’den

(

c2−1

)

n2∈Ap S n

(

, 1

)

olduğundan dolayı

(

c1−1

)

n1+ ∉n3 Ap S n

(

, 1

)

yazılır. Böylece, a≠0 olmak üzere öyle , ,a b c∈ ` vardır ki

(

c2−1

)

n2+n3 =an1+bn2+cn3

bulunur. 3.9 Önerme’den

(

c2−2

)

n2+ ∈n3 Ap S n

(

, 1

)

olduğundan

0

b= ve c=0

(34)

(

)

1 2 1 2 3

an = c − n +n

yazarız. Bu durumda 3.6 Önerme’yi kullanarak

1

a c=

sonucunu elde ederiz. Yani (1) ispatlarız.

Öte yandan g S

( )

2+n₃≠ g S

( )

2+ =n₁

(

c₂−1

)

n₂ iken 3.8 Önerme‘yi göz önüne alarak,

( )

2 3

(

1 1

)

1

g S +n = c − n

olduğunu buluruz. Yukarıdaki düşünceyle,

(

)

3 3 1 1 1 2

c n = c − n +n

eşitliğini buluruz. Son olarak, g S

( )

2+n₂ =

(

c₃−1

)

n₃ eşitliğinden de

(

)

2 2 3 1 3 1

c n = c − n +n

sonucunu elde ederiz.

3.11 SONUÇ: S = n n n1, ,2 3 şeklinde bir sayısal yarıgrup ve g S

( )

çift olsun. Eğer

S pseudo-simerik ise n n ve 1, 2 n sayıları ikişer ikişer aralarında asaldır. 3

İSPAT: S bir sayısal yarıgrup ve obeb n n n

{

₁, ,₂ ₃

}

=1 olduğundan 3.10 Önerme’nin (1) halinden

(

)

3 1 1 2 1 2 n =c n − c − n yazılır. Böylece,

{

1, 2

}

{

1, ,2 3

}

1 obeb n n =obeb n n n =

bulunur. Benzer şekilde, 3.10 Önerme’nin (2) ve (3) eşitliklerini göz önüne alarak,

{

1, 3

}

(35)

3.12 SONUÇ: S = n n n1, ,2 3 şeklinde bir sayısal yarıgrup ve g S

( )

çift olsun. Eğer

S pseudo-simetrik ise o zaman öyle , ,a b c∈ `

{ }

0,1 sayıları vardır ki

(

)

(

)

(

)

{

c b− +1 1, a c− +1 1, b a− +1 1

}

kümesi S nin minimal üreteç sistemidir.

İSPAT:

{

n n n1, ,2 3

}

, S nin minimal üreteç sistemi olsun. O zaman,

(

)

(

1

)

1 # Ap S n, =n olup, 3.9 Önerme’den

(

)

1 3 2 1 1 n =c c − +

bulunur. Benzer şekilde, n₂ =c c₁

(

₃− +1 1

)

ve n₃=c c₂

(

₁− +1 1

)

olduğunu elde edebiliriz.

3.13 S ONUÇ: S= n , n , n1 2 3 şeklinde bir sayısal yarıgrup olmak üzere,

her i∈

{

1, 2,3

}

için

min

i

c =

{

x∈ `

{ }

0 : xni∈

{

n n n1, ,2 3

}

{ }

ni

}

sayıları verilsin. Eğer S pseudo-simetrik yarıgrup ise, o zaman

( ) (

2 1 1

)(

2 1

)(

3 1

)

2

g S = c − c − c − −

şeklindedir.

İSPAT: 3.9 Önerme’yi göz önüne alarak,

( )

1

(

3 1

)

3

(

2 2

)

2

g S + =n c − n + c − n

(36)

(

)

(

)

(

) (

(

)

(

) (

(

)

(

)

(

)(

)

3 3 2 2 1 3 2 1 2 1 3 3 2 1 2 3 1 2 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 2 c n c n n c c c c c c c c c c c − + − − = − − + + − − + − − + = − − − − elde ederiz. 3.14 ÖRNEK: S = 5, 6,13 =

{

0,5, 6,10,11,12,13,15,→...

}

ve g S

( )

=14 olan S sayısal yarıgrubunun 2.20 Örnek’ten pseudo-simetrik olduğunu biliyoruz. Öte yandan, i∈

{

1, 2,3

}

için min i c =

{

x∈ `

{ }

0 : xni∈

{

n n n1, ,2 3

}

{ }

ni

}

eşitliğini kullanarak, 1 min c =

{

x∈ `

{ }

0 : x.5∈

{

5, 6,13

}

{ }

5

}

=5 2 min c =

{

x∈ `

{ }

0 : x.6∈

{

5, 6,13

}

{ }

6

}

=3 3 min c =

{

x∈ `

{ }

0 : x.13∈

{

5, 6,13

}

{ }

13

}

=2

tam sayıları için

( )

2 1

{

(

2 1

) (

2, 3 1

)

3

}

g S + ∈n c − n c − n buluruz. Yani,

(

) (

)

{

}

14 2 5+ ∈ 3 1 .6, 2 1 13− −

olup örneğimiz 3.8 Önerme’yi doğrular. Bununla birlikte, S pseudo-simetrik ve g S

( )

2+ =n₁

(

c₂−1

)

n₂ yani,

(

)

14 2 5+ = −3 1 .6 12= olduğundan,

( ) {

,5 6 13 : 0 3 2, 0 2 1

} (

{

3 1 .6

)

}

Ap S = a+ b ≤ ≤ −a ≤ ≤ − ∪b −

(37)

şeklindedir. Yani,

( ) {

,5 0,13, 6,19

} { } {

12 0, 6,12,13,19

}

Ap S = ∪ =

olup örneğimiz 3.9 Önerme’yi doğrular. Üstelik,

( )

(

)

( )

(

)

( )

(

)

1 1 2 2 3 2 2 3 3 1 3 3 1 1 2 1 1 2 1 3 1 c n c n n c n c n n c n c n n = − + = − + = − + için

(

)

(

)

(

)

(1) 5.5 3 1 .6 13 25 (2) 3.6 2 1 13 5 18 (3) 2.13 5 1 .5 6 26 = − + = = − + = = − + =

olduğundan örneğimiz 3.10 Önerme’yi doğrular. Son olarak, S pseudo-simetrik olduğu için

( ) (

2 1 1

)(

2 1

)(

3 1

)

2 g S = c − c − c − − şeklindedir. Çünkü,

( ) (

2 5 1 3 1 2 1

)(

)

2 16 2 14 g S = − − − − = − =

olarak bulunur. Bu durumda örneğimiz 3.13 Sonuç’u da doğrular.

3.15 TEOREM: S= n n n₁, ,₂ ₃ şeklinde bir sayısal yarıgrup ve her i∈

{

1, 2,3

}

için

min

= ∈ `

i

c

{

x

{ }

0 : xn_i∈

{

n n n₁, ,₂ ₃

}

{ }

n_i

}

olsun. Eğer S pseudo simetrik ise

(

) (

)

2

(

)

1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3 1 2 3 1 4 , 2 n n n n n n n n n n n n n n n n ⎧ _{− +} ₊ _{+ +} ₋ ₊ ₊ ₋ ⎪ ⎨ ⎪⎩

(

) (

)

2

(

)

1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3 1 2 3 2 4 , 2 n n n n n n n n n n n n n n n n + − + + + − + + −

(

) (

)

2

(

)

1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3 1 2 3 3 4 2 n n n n n n n n n n n n n n n n ⎫ − + + + + + − + + − _{⎪ ⊂} ⎬ ⎪⎭ ` şeklindedir1_.

(38)

İSPAT: a,b,c bilinmeyenleri ile

(

)

(

)

(

)

1 2 3 1 1 1 1 1 1 n c b n a c n b a = − + ⎧ ⎪ = − + ⎨ ⎪ = − + ⎩

eşitlik sistemini göz önüne alalım. Ayrıca

(

)

2

(

)

1 2 3 4 1 2 1 3 2 3 1 2 3

n n n n n n n n n n n n

Δ = + + − + + −

olarak belirleyelim. Yukarıdaki sistemin çözümü

(

) (

1 2 3

)

(

1 2 3

)

(

1 2 3

)

1 2 3 , , , , 2 2 2 n n n n n n n n n a b c n n n ⎛ − + − Δ + − − Δ − + + − Δ⎞ = ⎜_⎜ ⎟_⎟ ⎝ ⎠ olup

(

) (

1 2 3

)

(

1 2 3

)

(

1 2 3

)

1 2 3 , , , , 2 2 2 n n n n n n n n n a b c n n n ⎛ _{− +} _{+ Δ} ₊ ₋ _{− Δ − +} ₊ _{− Δ}⎞ = ⎜_⎜ ⎟_⎟ ⎝ ⎠

şeklinde bulunur. Burada,

(

)

(

)

(

)

(

)

2 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 1 2 3 1 2 3 1 2 3 4 1 ( ) 4 1 ( ) 4 1 n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n Δ = − + + + − > − + + Δ = + + + − > − + Δ = + − + − > + −

olduğuna dikkat edelim.

Böylece, bu çözümlerin hepsi reel sayılar olup bunlar, tek pozitif çözüm olan a b c, , sayılarının ikinci seçimidir. Eğer S pseudo-simetrik ise, o zaman 3.12 Sonuç’tan, yukarıdaki denklem sistemi negatif olmayan bir tamsayı çözümüne sahiptir.

(39)

3.16 NOT: 3.15 Teorem’de verilenlere göre

( )

(

) (

)

2

(

)

1 2 3 1 2 3 4 1 2 1 3 2 3 1 2 3 g S = − n + +n n + n + +n n − n n +n n +n n −n n n , ve

(

) (

)

2

(

)

1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3 1 2 3 1 1 4 , 2 n n n n n n n n n n n n n n n c n − + + + + − + + − =

(

) (

)

2

(

)

1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3 1 2 3 2 2 4 , 2 n n n n n n n n n n n n n n n c n + − + + + − + + − =

(

) (

)

2

(

)

1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3 1 2 3 3 3 4 2 n n n n n n n n n n n n n n n c n − + + + + + − + + − = olarak yazılır.

3.17 TEOREM: abc≥2olacak şekilde öyle a, b, c pozitif tamsayıları vardır ki

1, ,2 3

S = s s s pseudo-simetrik ise o zaman,

1 1

s = +ab b+ , s₂ = +1 bc c+ , s₃ = +1 ca a+ ile verilir4_.

3.18 ÖNERME: S sayısal yarıgrup ve onun Frobenius sayısı g S

( )

çift olsun. Eğer

S pseudo-simetrik ise o zaman

( )

{

( )

2,

( )

}

Pg S = g S g S

olarak yazılır5_.

3.19 ÖNERME: S sayısal yarıgrup ve g S

( )

onun Frobenius sayısı olsun. Eğer S pseudo-simetrik ise o zaman x∈] S için

(40)

3.20 ÖNERME: S sayısal yarıgrup ve H S

( )

ile N S

( )

sırasıyla S nin boşlukları ve minimal temsilcilerinin kümesi olsun. Eğer S pseudo-simetrik ise o zaman,

( )

(

)

(

( )

)

# H S =# N S +1 eşitliği mevcuttur5_. 3.21 ÖRNEK: S= 5,6,13 =

{

0,5,6,10,11,12,13,15,→...

}

ve g S

( )

=14 olup,

( )

Pg S =

{

x∈] S: x s S+ ∈ , ∀ ∈s S

{ }

0

}

=

{

7,14

}

olarak bulunur. Bununla birlikte, x∈] S için

ya

(

14 x− ∈

)

S ya da x=7

olduğu açıktır. Öte yandan S nin boşluklarının kümesi H S

( )

,

( ) {

1, 2,3, 4,7,8,9,14

}

H S =

ve S nin minimal temsilcisi

( ) {

: 14

} {

0,5,6,10,11,12,13

}

N S = ∈s S s< = olup,

( )

(

)

(

( )

)

# H S =# N S +1

eşitliğini kolayca elde edebiliriz.

3.22 SONUÇ: S sayısal yarıgrubu pseudo-simetrik olsun. O zaman aşağıdakiler mevcuttur5_:

(1) S/2 simetriktir ancak ve ancak g S

( )

, 4 ün bir katı değildir, (2) S/2 pseudo-simetriktir ancak ve ancak g S

( )

, 4 ün bir katıdır.

(41)

( )

ile N S

( )

sırasıyla onun Frobenius sayısı ve minimal temsilcilerinin kümesi olsun. S pseudo-simetrik ise o zaman

( )

(

)

( )

# N S =g S 2

şeklindedir 5_.

3.24 ÖNERME: Tek sayı kondüktörlü bir S sayısal yarıgrubu pseudo-simetrik ise o zaman

(

c−1 2

)

den farklı negatif olmayan herhangi bir i tamsayısı için,

( )

i H S∈ iken c− − ∉1 i H S

( )

şeklindedir6_.

3.25 ÖNERME: S pseudo-simetrik bir sayısal yarıgrup, kondüktörü c ve

n S∈

{ }

0 olsun. O zaman n+ −

(

c 1 2

)

sayısından farklı herhangi bir

(

,

)

s Ap S n∈ için,

(

)

1 , n c+ − − ∈s Ap S n şeklindedir.

İSPAT: n c+ − − − = − − ∉1 s n c 1 s S yazılır. Aksi halde c s S− ∈ olur. Böylece

(

)

1 ,

n c+ − − ∈s Ap S n

elde edilir.

3.26 ÖNERME: S bir sayısal yarıgrup g S

( ) ( ) ( )

, e S , μ S sırasıyla S nin Frobenius sayısı, gömme boyutu ve katılığı olsun. O zaman

S pseudo-simetrik, e S

( )

=3 ve μ

( )

S =4 ise x≥3 ve x tek tamsayı olmak üzere,

4, 2, 4

(42)

İSPAT: Eğer e S

( )

=3 ve μ

( )

S =4 ise o zaman

{

4, ,n n₁ ₂

}

kümesi S için minimal üreteçler sistemidir. 3.1 Önerme’den

( )

4

(

, 4

)

2 + ∈

g S

Ap S olduğunu biliyoruz.

O zaman, iki durum söz konusudur:

(1) Eğer

( )

4 2 +

g S

bir minimal üreteç ise 3.2 Önerme’den ,

(

, 4

)

0, 1

( )

4, , 22 2

( )

4 2 ⎧ ⎫ =_⎨ = + = + _⎬ ⎩ ⎭ g S Ap S n n n g S

olduğunu çıkarabiliriz. Eğer,

( )

2 = g S

x alırsak, o zaman n₁= +x 4 ve n₂ = +x 2

olur. Öte yandan g S

( )

∉S olduğundan, x tektir. (2) Eğer

( )

4

2 +

g S

bir minimal üreteç değil ise o zaman

(

, 4

)

0, , ,1 2

( )

4 2 ⎧ ⎫ =_⎨ + _⎬ ⎩ ⎭ g S Ap S n n

şeklindedir. Bu yüzden g S

( )

+ =4 n₁ ya da g S

( )

+ =4 n₂ olur. g S

( )

+ =4 n₁

olduğunu farz edelim. Bu durumda 3.2 Önerme’den n₁− ∈n₂ S sonucunu çıkarırız

(43)

4. BİR SAYISAL YARIGRUBUN PSEUDO-SİMETRİK OLMASI İÇİN YETERLİ KOŞULLAR

Bu bölümde, bir sayısal yarıgrubun pseudo-simetrik olması için yeterli koşullar incelenmektedir.

( )

çift olsun. O zaman n S∈

{ }

0 olmak üzere, her i∈

{

1, 2,...,n−1

}

için

( )

(

)

(

1

)

w i +w n i− =w n− ve

(

,

)

{

0

( )

1

( )

2 ...

(

1

)

( )

}

( )

2 g S Ap S n = =w <w < <w n− =g s +n ∪⎧_⎨ +n⎫_⎬ ⎩ ⎭ ise S pseudo-simetriktir. İSPAT: x∈ ] öyle ki

( )

2 g S x≠ ve x S∉ olsun. g S

( )

− ∈x S olduğunu gösterelim. w x≡

(

modn

)

olacak şekilde w Ap S n∈

(

,

)

alalım. O zaman

k∈ `

{ }

0 olmak üzere, x w kn= − sayısı için aşağıdaki iki durum söz konusudur: (1) Eğer

( )

2 g S w= + ise , o zaman n

( )

( ) ( )

1 2 2 g S g S g S − =x g S −⎛_⎜ + −n kn⎞_⎟= + k− n ⎝ ⎠ olur. Ayrıca,

( )

2 g S

x≠ olması k ≠1 demektir ki bu durumda k≥2 eşitsizliği elde ederiz. Buradan, g S

( )

− ∈x S olduğunu gösterebiliriz.

(44)

(2) Eğer

( )

2

g S

w≠ + ise , o zaman hipotezden n w n

(

− − ∈1

)

w S olduğu için

( )

( ) (

)

( )

(

1

)

(

1

)

(

1

)

g S − =x g S − w kn− =g S + − +n w k− n w n= − − +w k− n S∈

elde ederiz.

( )

çift olsun. Eğer n S∈

{ }

0 için

(

)

(

)

{

( )

}

max≤S Ap S n, = g S 2+n g S, +n ise S pseudo-simetriktir1 .

4.3 TEOREM: S= n n n₁, ,₂ ₃ şeklinde bir sayısal yarıgrup ve g S

( )

çift olsun. Ayrıca, her i∈

{

1, 2,3

}

için

min

i

c =

{

x∈ `

{ }

0 : xn_i∈

{

n n n₁, ,₂ ₃

}

{ }

ni

}

sayıları tanımlansın. Eğer,

(

)

1 1 2 1 2 3,

c n = c − n +n

c n2 2 =

(

c3−1

)

n3+n1 ve c n3 3 =

(

c1−1

)

n1+n2

eşitlikleri varsa o zaman S pseudo-simetriktir. İSPAT:

(

2

)

2 1

(

3

)

3

(

2

)

2 1

2( c −1 n −n)= c −1 n + c −2 n − n

olduğunu göstermek yeterlidir. Bunun yerine

(

2c2−2

)

n2 =

(

c3−1

)

n3+

(

c2−2

)

n2 +n1

eşitliğini göstermek ispatı bitirir:

(

2c2−2

)

n2 =

(

c2 −2

)

n2+c n2 2 =

(

c2−2

)

n2+

(

c3−1

)

n3+n1

(45)

4.4 TEOREM:

(

c b

(

− +1 1,

)

a c

(

− + =1 1

)

1 olacak şekilde , ,a b c∈`

{ }

0,1 verilsin. O zaman

(

1 1,

)

(

1 1,

)

(

1 1

)

S = c b− + a c− + b a− +

sayısal yarıgrubu pseudo-simetriktir ve

( ) (

2 1

)(

1

)(

1

)

2

g S = a− b− c− −

şeklindedir.

İSPAT: n₁ =c b

(

− +1 1,

)

n₂ = −

(

c 1

)

a+1 ve n₃ =b a

(

− + olsun. Bu 1 1

)

durumda

(

n n₁, ₂

)

=1 olduğunda S bir sayısal yarıgrup olur. Öte yandan,

(

)

(

)

(

)

1 1 2 3, 2 1 3 1 3 1 1 2

an = b− n +n bn = −c n +n ve cn = a− n +n

olduğunu göstermek zor değil. Bununla birlikte,

(

n n1, 2

) (

= n n2, 3

) (

= n n1, 3

)

=1

oldukları göz önüne alınarak c₁=a c, ₂ =b ve c₃ = olduğu ispatlanırsa o zaman c

{

n n n , S nin minimal üreteçler sistemi olur: 1, ,2 3

}

Farz edelim ki 0 x a olacak şekilde x< < ∈ ` ve

1 2 3

,

y z için xn yn zn

∃ ∈` = + varolsun. Bu durumda, n₁=bn₂− −

(

c 1

)

n₃ iken

(

)

1 2 1 3

xn =xbn −x c− n eşitliğini elde ederiz. Bu nedenle,

(

)

2 3 2 1 3

yn +zn =xbn −x c− n

olur ve böylece

(

xb y n−

)

2 = +

(

z x c

(

−1

)

n3

(46)

3

xb y kn− =

anlamına gelir (xb y− ≠ şeklindedir. Çünkü, aksi halde 0 z= −x c

(

−1

)

olur ki bu imkansızdır). Buradan, xb n≥ ₃yazılır ve sonuç olarak

(

a−1

)

b n≥ 3

bulunur. Bu da n₃=

(

a−1

)

b+ ile çelişir. Yani, 1 a c= olduğu sonucuna varırız. ₁ Benzer şekilde, c₂ =b ve c₃= olduklarını elde edilebiliriz. c

4.5 ÖRNEK: 4.4 Teorem’de a=3, b=4, c= ∈`5

{ }

0,1 alınırsa,

(

16,13

)

=1

çıkar ve

{

}

9,13,16 0,9,13,16,18, 22, 25, 26, 27, 29,31,32,34,35,36,38,39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 47, ... S = = →

sayısal yarıgrubu pseudo-simetrik olup,

( ) (

2 3 1 4 1 5 1

)(

)

2 46

g S = − − − − =

bulunur.

4.6 TEOREM: S= n n n₁, ,₂ ₃ bir sayısal yarıgrup ve

(

) (

)

(

)

2 1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3 1 2 3 1 4 , 2 n n n n n n n n n n n n n n n n ⎧ _{− +} ₊ _{+ +} ₋ ₊ ₊ ₋ ⎪ ⎨ ⎪⎩

(

) (

)

2

(

)

1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3 1 2 3 2 4 , 2 n n n n n n n n n n n n n n n n + − + + + − + + −

(

) (

)

2

(

)

1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3 1 2 3 3 4 2 n n n n n n n n n n n n n n n n ⎫ − + + + + + − + + − _{⎪ ⊂} ⎬ ⎪⎭ ` oluyorsa S pseudo-simetriktir