Genelleştirilmiş lokal Morrey uzaylarında Carleson eğrileri üzerindeki potansiyel operatörler için bazı karakterizasyonlar

T.C

NİĞDE ÖMER HALİSDEMİR ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSİTÜSÜ

MATEMATİK ANABİLİM DALI

GENELLEŞTİRİLMİŞ LOKAL MORREY UZAYLARINDA

CARLESON EĞRİLERİ ÜZERİNDEKİ POTANSİYEL OPERATÖRLER İÇİN BAZI KARAKTERİZASYONLAR

REZAN ÇAMUR

Yüksek Lisans Tezi

Danışman

Doç. Dr. Ahmet EROĞLU

Eylül 2020

Rezan ÇAMUR tarafından Doç. Dr. Ahmet EROĞLU danışmanlığında hazırlanan

“Genelleştirilmiş Lokal Morrey Uzaylarında Carleson Eğrileri Üzerindeki Potansiyel Operatörler için Bazı Karakterizasyonlar ” adlı bu çalışma jürimiz tarafından Niğde Ömer Halisdemir Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı’nda Yüksek Lisans Tezi olarak kabul edilmiştir.

Başkan : Prof. Dr. Adnan TUNA

(Niğde Ömer Halisdemir Üniversitesi, Fen Edebiyat Fakültesi, Matematik Bölümü)

Üye : Doç. Dr. Ahmet EROĞLU

(Niğde Ömer Halisdemir Üniversitesi, Fen Edebiyat Fakültesi, Matematik Bölümü)

Üye : Dr. Öğr. Üyesi Ümit TOKEŞER

(Kastamonu Üniversitesi, Fen Edebiyat Fakültesi,Matematik Bölümü)

ONAY:

Bu tez, Fen Bilimleri Enstitüsü Yönetim Kurulunca belirlenmiş olup yukarıdaki jüri üyeleri tarafından ………. tarihinde uygun görülmüş ve Enstitü Yönetim Kurulu’nun ………. tarih ve ……….. sayılı kararıyla kabul edilmiştir.

……/……./2020 Prof. Dr. Murat BARUT

MÜDÜR

TEZ BİLDİRİMİ

Tez içindeki bütün bilgilerin bilimsel ve akademik kurallar çerçevesinde elde edilerek sunulduğunu, ayrıca tez yazım kurallarına uygun olarak hazırlanan bu çalışmada bana ait olmayan her türlü ifade ve bilginin kaynağına eksiksiz atıf yapıldığını bildiririm.

Rezan ÇAMUR

iv ÖZET

GENELLEŞTİRİLMİŞ LOKAL MORREY UZAYLARINDA CARLESON EĞRİLERİ ÜZERİNDEKİ POTANSİYEL OPERATÖRLER İÇİN BAZI

KARAKTERİZASYONLAR

ÇAMUR, Rezan

Niğde Ömer Halisdemir Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı

Danışman : Doç. Dr. Ahmet EROĞLU

Eylül 2020, 56 sayfa

Genelleştirilmiş Lokal Morrey uzaylarında Carleson eğrileri üzerindeki potansiyel operatörler için bazı karakterizasyonların incelendiği bu tez çalışması dört bölümden oluşmaktadır. Birinci bölüm, tezin giriş kısmına ayrılmıştır. İkinci bölümde, bu tez çalışmamız ile ilgili olan bazı temel tanım ve teoremlere yer verilmiştir. Üçüncü bölümde, Harmonik analizin bazı fonksiyon uzayları hatırlatılarak, bu uzayların bazı temel özellikleri verilmiştir. Son bölümde ise genelleştirilmiş lokal Morrey uzaylarında Carleson eğrileri üzerindeki potansiyel operatörler için bazı karakterizasyonlar incelenmiştir.

Anahtar Sözcükler: Morrey uzayı, Genelleştirilmiş Lokal Morrey uzayı, Carleson eğrisi, Maksimal Operatör, Kesirli İntegral Operatör, Potansiyel Operatör.

v SUMMARY

SOME CHARACTERIZATIONS FOR THE POTENTIAL OPERATORS ON CARLESON CURVES IN GENERALIZED LOCAL MORREY SPACES

ÇAMUR, Rezan

Niğde Ömer Halisdemir University

Graduate School of Natural and Applied Sciences Department of Mathematics

Supervisor : Doç. Dr. Ahmet EROĞLU

September 2020, 56 pages

This thesis, which examines some charecterizations for potential operators on Carleson curves in generalized local Morrey spaces, consists of four chapters. The first chapter is devoted to the introduction of the thesis. In the second part, some basic definitions and theorems related to our thesis are given. In the third chapter, some function spaces of harmonic analysis are reminded and some basic properties of these spaces are given. In the last chapter, some charecterizations for potential operators on Carleson curves in generalized local Morrey spaces are examined.

Keywords: Morrey space, Generalized local Morrey space, Carleson curves, Maximal operatör, Fractional integral operatör, Potential operatör.

vi ÖN SÖZ

Bu tezde, LMp,_

 

 genelleştirilmiş Morrey uzaylarında  Carleson eğrileri üzerinde tanımlı I^ potansiyel operatörünün sınırlılığı incelendi. Yine ayrıca LMp,_1

 

 uzayından LMq,_2

 

 uzayına I^ operatörünün Spanne-Guliyev tipi ve Adams- Guliyev tipi sınırlılık karakterizasyonları verildi.

Tez hazırlama sürecinde bana bilgi, yardımlarını ve desteğini esirgemeyen danışman hocam, Sayın Doç. Dr. Ahmet EROĞLU’na en içten teşekkürlerimi sunarım.

vii

İÇİNDEKİLER

ÖZET ... iv

SUMMARY ... v

ÖN SÖZ ... vi

İÇİNDEKİLER ... vii

SİMGELER VE KISALTMALAR ... viii

BÖLÜM I GİRİŞ ... 1

BÖLÜM II TEMEL TANIM VE TEOREMLER ... 3

2.1 Normlu Uzaylar ... 3

2.2 Operatörler ... 7

2.3 Ölçü, Ölçülebilir fonksiyonlar, Lebesgue ölçüsü ... 11

BÖLÜM III HARMONİK ANALİZİN BAZI FONKSİYON UZAYLARI ... 17

3.1 L Uzayları ... 17 _p 3.2 Banach Fonksiyon Uzayları ... 21

3.3 Morrey Uzayları ... 23

3.4 Carleson Eğrileri ... 26

BÖLÜM IV GENELLEŞTİRİLMİŞ LOKAL MORREY UZAYLARINDA CARLESON EĞRİLERİ ÜZERİNDEKİ POTANSİYEL OPERATÖRLERİN SPANNE-GULİYEV VE ADAMS-GULİYEV TİPİ SONUÇLARI ... 29

4.1 Carleson Eğrileri Üzerinde Tanımlanmış Maksimal ve Potansiyel Operatörler ... 29

4.2 Genelleştirilmiş Lokal Morrey Uzayları ... 33

4.3 ^{ },⁰

 

t LMp_  ve Mp,_

 

 Uzaylarında Kesirli Maksimal Operatör ... 39

4.4 ^{ },⁰

 

t LMp_  ve Mp,_

 

 Uzaylarında Kesirli İntegral Operatör ... 43

KAYNAKLAR ... 52

ÖZ GEÇMİŞ ... 56

viii

SİMGELER VE KISALTMALAR

Simgeler Açıklama

n nboyutlu Öklid uzay

,

Lp_ Morrey uzayı

,

Lp_ Modifiye edilmiş Morrey uzayı

M Maksimal operatör

I^ Potansiyel operatör

 

^,

B x r x merkezli r yarıçaplı yuvar

A A nın karakteristik fonksiyonu

 Carleson eğrisi

 Yay uzunluk ölçüsü

,

LMp_ Genelleştirilmiş Lokal Morrey uzay

 

p n

L Lebesgue uzayı

H W Ağırlıklı Hardy operatörü

.Lp Lebesgue normu

,

Mp_ Genelleştirilmiş Morrey uzayı

1

 

Lloc   üzerinde lokal integrallenebilen fonksiyonların sınıfı

,

WLp_ Zayıf Morrey uzayı

 

^{t r,}

  



^0,



üzerinde pozitif ölçülebilir fonksiyon

1 BÖLÜM I

GİRİŞ

Son yıllarda harmonik analizin klasik operatörleri ile ilgili pek çok çalışma yapılmakta ve aynı zamanda fonksiyon uzaylarının modern teorisi dünyaca ünlü birçok matematikçi tarafından incelenmektedir. Temelinde C.B.Morrey tarafından 1938 yılında tanımlanan Morrey uzayları olmak üzere ilerleyen yıllarda pek çok fonksiyon uzayları tanımlanmıştır.

 

, n

Lp_ Morrey uzayları, 0  n, p1, ^{f Llocp}

 

^{n ve B x r}

^{ }

^{. , n de x}

merkezli r yarıçaplı yuvar olmak üzere

  

, ,

0,

sup

p n p

p

L L B x r

r x

f r f





 

  

olacak biçimdeki tüm fonksiyonların sınıfıdır. Bu uzaylar ağırlıklı Lebesgue uzaylarıyla birlikte eliptik kısmi diferansiyel denklemlerin çözümlerinin lokal davranışlarını araştırmak amacıyla ortaya çıkarılmıştır. Ayrıca daha sonraları Navier-Stokes ve Schrödinger denklemleri, süreksiz katsayılı eliptik problemler, potansiyel teorisinde ve varyasyonlar analizi teorisinde önemli uygulamaları ortaya çıkmıştır.

 

^{x r, , n}



^0,



   üzerinde pozitif ölçülebilir bir fonksiyon, 1  p olmak üzere

 

   

_{  }

, ,

1 1

0 0,

sup 0, 0,

n

p p p

p

LM LM L B r

r

f f r B r f

   ^{ }



   

quasi- normuna sahip bütün ^{f Llocp}

 

ⁿ fonksiyonlarının uzayına genelleştirilmiş lokal Morrey uzayı denir. Genelleştirilmiş lokal Morrey uzayları ilk kez Guliyev (1994) tarafından tanımlanmıştır. Yine

 

   

_{  }

, ,

1 1 0 0,

sup 0, 0,

n

p p p

p

WLM WLM WL B r

r

f f r B r f

   ^{ }

    

normuna sahip tüm ^{f WLlocp}

 

ⁿ fonksiyonlarının uzayı zayıf genelleştirilmiş lokal Morrey uzayı olarak tanımlanır.

 düzeltilebilir bir Jordan eğrisi olmak üzere her t  ve r 0 için

2

 

t r, c r0

 

oluyor ise bu takdirde  eğrisine bir Carleson eğrisi (regüler eğri) denir. Burada ^

 

^{t r,}

,

 

^,



^:



B t r  z z t r olmak üzere

 

^{t r, B t r}

 

^{, ,t , r 0}

     

şeklinde tanımlanır.

Bu tezin esas amacı, LMp,_

 

 genelleştirilmiş Morrey uzaylarında  Carleson eğrileri üzerinde tanımlı I^ potansiyel operatörünün sınırlılığını incelemektir.

1  q olacak şekilde LM1,_1

 

 uzayından WLMq,_2

 

 zayıf uzayına ve 1   p q olmak üzere LMp,_1

 

 uzayından LMq,_2

 

 uzayına I operatörünün ⁿ Spanne – Guliyev tipi sınırlılığı çalışılmıştır. Ayrıca M1,_

 

 uzayından ¹

 

, ^q q

WM





uzayına I^ operatörünün Adams – Guliyev tipi sınırlılığı da incelendi. I^ potansiyel operatörü için Spanne – Guliyev tipi sınırlılık ve Adams – Guliyev tipi sınırlılık karakterizasyonları verildi.

3 BÖLÜM II

TEMEL TANIM VE TEOREMLER

Bu bölümde tez konusu ile ilgili bazı temel tanım ve teoremler verildi.

2.1 Normlu Uzaylar

Tanım 2.1.1 X K, cismi üzerinde tanımlı bir vektör uzayı olsun. Eğer

. :X  ,x x dönüşümü x y, X ve xK için

 

N1 x 0 ve x   0 x 0

 

N2 ax  a x

 

N3 xy  x  y (Üçgen Eşitsizliği)

özelliklerini sağlıyorsa bu dönüşüme X üzerinde norm adı verilir.



^{X, .}



ikilisine de normlu vektör uzayları denir.



^{X, .}



normlu uzayı kısaca X ile gösterilir (Musayev ve Alp, 2000).

Tanım 2.1.2 X K, cismi üzerinde tanımlı bir vektör uzayı olsun.  x X için

1 2 1

c x  x C x

olacak şekilde c C,  pozitif sayıları varsa X üzerinde tanımlı .₁ ve .₂ normlarına denk norm denir (Rudin, 1991).

Tanım 2.1.3

 

xn ^,



X^{, .}



normlu uzayında bir dizi ve x₀X olsun. Eğer

lim _n 0 0

n x x

  

olursa x dizisi _n x noktasına yakınsaktır denir ve ₀

0

xn x veya lim _{n 0}

n x x

 

şeklinde gösterilir. Normlu uzayda tanımlanan bu yakınsamaya norma göre yakınsaklık denir (Rudin, 1991).

4

Tanım 2.1.4 X 



x1,...,x_n



ve Y 



y1,...,yn



sıralı reel sayı nlileri olsunlar. X ile Y arasındaki uzaklığı

   

²

1

,

n

i i

i

d x y x y









şeklinde tanımlayalım. O zaman bütün sıralı reel sayı nlilerinin cümlesi ile bu cümle üzerinde tanımlanan uzaklık fonksiyonu bir metrik uzaydır. Bu uzaya n boyutlu Öklid uzayı denir ve E ile gösterilir (Hacısalihoğlu, 1980). ⁿ

Tanım 2.1.5



^{X, .}



normlu uzay ve bunun bir alt kümesi A olsun.

 

^{: sup}



^{: ,}



⁰

d A  xy xA yA 

sayısına A kümesinin çapı denir. Eğer bir AX kümesinin çapı sonlu ise A kümesine sınırlı küme denir. X içinde

 

xn dizisine karşılık gelen, noktalar kümesi ise

 

xn dizisine sınırlı dizisi denir (Musayev ve Alp, 2000).

Tanım 2.1.6



^{X, .}



normlu uzayı içinde

 

xn bir dizi olsun.   0 için m n, n_ olduğunda x_n x_m  olacak şekilde  sayısına bağlı bir n_ doğal sayısı varsa o zaman

 

xn dizisine Cauchy dizisi denir (Rudin, 1991).

Tanım 2.1.7 Bir



^{X, .}



normlu uzayı içindeki her Cauchy dizisi X içindeki bir noktaya yakınsıyor ise bu



^{X, .}



normlu uzayına Banach uzayları adı verilir (Musayev ve Alp, 2000).

Tanım 2.1.8 n  için x_n m olacak şekilde bir m reel sayısı varsa

 

xn dizisi alttan sınırlıdır denir, m sayısına da bu dizinin alt sınırı adı verilir. Alt sınırların en büyüğüne dizinin en büyük alt sınırı veya infimumu denir. infx ile gösterilir ( _n Balcı, 1998).

Tanım 2.1.9 n  için x_n M olacak şekilde bir M reel sayısı varsa

 

xn dizisi üstten sınırlıdır denir. M sayısına da bu dizinin bir üst sınırı adı verilir. Üst

5

sınırların en küçüğüne dizinin en küçük üst sınırı veya supremumu denir. supx ile _n gösterilir ( Balcı, 1998).

Tanım 2.1.10 f A:  olsun. Her x x₁, ₂A için

   

1 2 1 2

x  x  f x  f x ise f ye artan fonksiyon

   

1 2 1 2

x  x  f x  f x ise f ye azalmayan fonksiyon

   

1 2 1 2

x  x  f x  f x ise f ye azalan fonksiyon

   

1 2 1 2

x  x  f x  f x ise f ye artmayan fonksiyon denir.

Artan ya da azalan bir fonksiyona monoton fonksiyon denir (Dernek, 2013).

Tanım 2.1.11 f , A kümesinde tanımlı bir fonksiyon olsun. BA ise her xB için

   

g x  f x biçiminde tanımlanan g fonksiyonuna, _f nin B kümesine kısıtlanışı denir ve g  f _B yazılır. ^{g }

  

^{a b, f a: B}



dir (Dernek, 2013).

Tanım 2.1.12 g , B kümesi üzerinde tanımlı olsun. BA ise ^{f x}

 

^{ g x}

 

^olmak

üzere A da tanımlanan _f fonksiyonuna, g nin A kümesine genişlemesi denir (Dernek, 2013).

Tanım 2.1.13 f :T  olsun. Her



^{x y,}



^T çifti için ^{f x}

 

^{ f y}

 

^{k x.  y}

gerçeklenmek üzere bir k ^ sabiti varsa, _f fonksiyonuna Lipschitz koşulunu sağlayan fonksiyon denir. k sayısına ise f nin bir Lipschitz sabiti denir (Dernek, 2013).

Tanım 2.1.14 A ,f A:  olsun. Her x y, A çifti için ^{f x}

 

^{ f y}

 

^{ L xy}

gerçeklenmek üzere bir L pozitif sayısı varsa, f fonksiyonuna Lipschitz sürekli denir. L sayısı f nin Lipschitz sabiti adını alır ( Dernek, 2013).

Teorem 2.1.15 f A:  fonksiyonu Lipschitz sürekli ise süreklidir.

6

Tanım 2.1.16 f M0



R,



, gM0



S,



olmak üzere f ve g aynı dağılım fonksiyonuna sahip ise, yani  t 0 için

   

f t g t

 

eşitliği sağlanıyorsa f ve g ye eş ölçülebilir fonksiyonlar denir (Bennett, 1988).

Tanım 2.1.17 f fonksiyonunun ^{f: 0,}



^{ }

 

^0,



yeniden düzenlemesi

 

^{: inf}



^{0 : f}

  

f^ t      t

şeklinde tanımlanır (Bennett, 1988).

Tanım 2.1.18 Bir X topolojik vektör uzayı üzerindeki bütün sürekli, lineer fonksiyonellerin kümesi X in duali olarak adlandırılır ve X ile gösterilir. Noktasal toplama ve skalerle çarpma altında X bir vektör uzayıdır. f g, X, xX c,  olmak üzere



^f ^g

 

^x  ^{f x}

 

^{g x}

    

^{, cf x} ^{cf x}

 

tanımlanır (Grafakos, 2008).

Tanım 2.1.19 X bir topolojik Hausdorff uzayı olsun. X X ve X topolojik çarpım uzaylarından X uzayına olan



^{x y,}



 ^{x y} ve

 

^{c x,} ^cx

dönüşümleri sürekli ise bu durumda X uzayına bir topolojik vektör uzayıdır denir.

Burada , Öklidyen metriği tarafından belirlenmiş olan alışılmış topolojiye sahiptir (Adams and Fournier, 2003).

Tanım 2.1.20 Bir



^{X, .}



normlu uzayı, bir x₀X noktası ve pozitif r sayısı verilsin. O zaman

 

0



: 0



Sr x  x X xx r

kümesine x merkezli ve r yarıçaplı açık yuvar, ₀

7

 

⁰



^{: 0}

^

Sr x  x X xx r

kümesine de x merkezli ve r yarıçaplı kapalı yuvar ve ₀

 

0



: 0



r x x X x x r

    

kümesine ise x merkezli ve r yarıçaplı yuvar yüzeyi denir ( Musayev ve Alp, 2000). ₀

Tanım 2.1.21



^{X, .}



normlu uzay ve A X olsun. A nın elemanlarından oluşan her bir

 

xn dizisinin yakınsadığı değer X uzayının bir elemanı ise A kümesi X uzayında yoğundur denir ( Bayraktar, 2006).

Tanım 2.1.22 X normlu uzayı sayılabilir yoğun bir alt kümeye sahipse X normlu uzayına ayrılabilir uzay denir (Bayraktar, 2006).

Tanım 2.1.23



^X,



bir topolojik uzay ve M  X olsun. I bir indis kümesi olamk üzere, eğer M  _{i I} A_i ise



Ai



i I_ ailesine M kümesinin bir açık örtüsü denir. J I olmak üzere M  _{i I} A_i ise



Ai



i J_ ailesine bir alt örtü denir. Eğer J sonlu ise



Ai



i J_ ailesine bir sonlu alt örtü denir (Musayev ve Alp, 2000).

Tanım 2.1.24



^{X, .}



normlu uzayının bir alt kümesi E olsun. Eğer E kümesinin her açık örtüsünün sonlu bir alt örtüsü varsa E kümesine X de kompakt bir küme adı verilir (Musayev ve Alp, 2000).

2.2 Operatörler

Tanım 2.2.1 X ve Y boş olmayan kümeler ve D X olsun. D nin her elemanına Y nin bir elemanını karşılık getiren bir kurala D den Y ye bir operatör veya dönüşüm denir. A operatörünün x e karşılık getirdiği eleman ^{A x}

 

ile gösterilir. A operatörünün x D yi , ^{A x}

 

^Y ye götürdüğünü belirtmek için A D: Y gösterimi kullanılır. Bu durumda D ye A operatörünün tanım kümesi denir ve genellikle ^{D A}

 

ile gösterilir.

 

^A



^{y Y y: A x}

 

^{,x D A}

  

     

8

kümesine A operatörünün değer kümesi denir (Musayev ve Alp, 2000).

Tanım 2.2.2 X ve Y aynı bir K cismi üzerinde iki lineer uzay ve A X: Y operatörü verilsin. Eğer ^{D A}

 

^{, X} in bir alt uzayı ve ^{x y,} ^{D A}

 

ve  , K için ^A



^xy



^{A x}

 

^{A y}

 

^{ise A} operatörüne lineer operatör denir (Musayev ve Alp, 2000).

Tanım 2.2.3 A X: Y ve E X ,F Y olsun. ^{A E}

 

^



^{A x}

 

^:xE



kümesine E nin görüntüsü ^A1

  

^{F  xX : A x}

 

^F



^{kümesine F} nin ters görüntüsü denir (Musayev ve Alp, 2000).

Tanım 2.2.4 A X: Y ve B X: Y operatörleri verilmiş olsun. Eğer

   

D A D B D ve  x D için ^{A x}

 

^{B x}

 

ise A ile B operatörleri eşittir denir ve A B ile gösterilir. Eğer ^{D A}

 

^{D B}

 

^{ve  x D A}

 

^{için A x}

 

^{B x}

 

^ise

A operatörüne B operatörünün kısıtlaması denir ve AB_{D A } ile gösterilir (Musayev ve Alp, 2000).

Tanım 2.2.5 A X: Y bir operatör ve bY bir eleman olsun. Eğer  x X için

 

A x b ise A operatörüne sabit operatör adı verilir (Musayev ve Alp, 2000).

Tanım 2.2.6 :A X X operatörü verilsin.  x X için ^{A x}

 

^{ x ise A} operatörüne özdeşlik veya birim operatör denir. I veya _X I ile gösterilir (Musayev ve Alp, 2000).

Tanım 2.2.7 :A X Y operatörü için ^{A X}

 

^Y oluyorsa, A operatörüne örten veya surjektif, aksi takdirde operatöre içine operatör adı verilir. Buna göre, eğer A örten bir operatör ise  y Y için ^{A x}

 

^{ y} olacak şekilde xX vardır (Musayev ve Alp, 2000).

Tanım 2.2.8 :A X Y operatörü için herhangi x x₁, ₂X için

   

1 2 1 2

x x  A x  A x

ya da, buna eşdeğer bir başka deyişle

9

 

1

 

2 1 2

A x  A x x  x

oluyorsa A operatörüne birebir veya injektif operatör denir (Musayev ve Alp, 2000).

Tanım 2.2.9 X ve Y iki nomlu uzay ve ^{D A}

 

^{ X} olmak üzere ^{T :D A}

 

^Y

lineer operatör olsun. Eğer ^{ x D A}

 

^{için Ax C x} olacak şekilde bir C reel sayısı varsa, A operatörüne sınırlıdır denir. Bir A operatörünün normu

 

0

sup

x

x D A

A Ax

x







şeklinde tanımlanır (Musayev ve Alp, 2000).

Tanım 2.2.10 X ve Y normlu uzayları ve A X: Y operatörü verilsin. Aşağıdakiler sağlandığında A operatörü x0D A

 

noktasında süreklidir denir.

(a)   0 için      0 x D A

 

xx0  iken

   

0

A x A x 

dir.

(b)z noktasına yakınsayan ₀ 

 

xn D A

 

dizisi için

   

0

lim _n

n A x A x

 

dir.

Limit tanımına göre A X: Y operatörünün x0D A

 

noktasında sürekli olması xx0 iken A x

 

A x

 

0 olması demektir (Musayev ve Alp, 2000).

Önerme 2.2.11 X ,Y normlu uzaylar ve A X: Y lineer operatör ise A nın normu A aşağıdaki eşitliklerle verilebilir.

   

sup : , 1

A  Ax xD A x  ,

   

sup : , 1

A  Ax xD A x  ,

10

 ^{  }

sup : ,

A  Ax x xD A x (Musayev ve Alp, 2000).

Teorem 2.2.12 X ve Y normlu uzaylar ve ^{D T}

 

 ^X olmak üzere ^{T D T:}

 

^Y lineer operatör olsun. Bu durumda T operatörünün sürekli olması için gerek ve yeter şart T operatörünün sınırlı olmasıdır (Musayev ve Alp, 2000).

Tanım 2.2.13 :T LL ye lineer operatör olsun. T altında L nün özdeş elemanına dönüşen elemanların cümlesine, T nin sıfır uzayı veya çekirdeği denir ve ÇekT ile gösterilir. Demek ki



^:

  

¹

 

ÇekT  xL T x  T^ 

dür ( Bayraktar, 2006).

Tanım 2.2.14 X ve Y iki normlu lineer uzay ve X Y olsun.

   

DT I   I  X

yani  x X için ^{I x}

 

^x olacak şekilde Y de en az bir eleman olmak üzere :

I X Y

ile verilen operatöre birim operatörü denir. Bu operatör sürekli ise yani her x X için

Y X

x c x

olacak şekilde bir c0 sabiti var ise X uzayı Y uzayına sürekli gömülür denir. I operatörüne X uzayından Y uzayına bir gömme operatörü denir. Alternatif olarak bazen X uzayının Y uzayına bir sürekli gömmesi mevcuttur denir.

0

: sup ^Y

X Y

f X

I f

 f





şeklinde gösterilen bu sayıya da I nın operatör normu denir. Eğer X ve Y iki normlu lineer uzay olmak üzere X uzayından Y uzayına bir sürekli gömme mevcut ise

X Y şeklinde gösterilir. Eğer X Y ve Y X

11 aynı anda oluyorsa,

X Y

şeklinde gösterilir ve eğer bu gömme operatörü kompakt ise de X Y şeklinde gösterilir (Fucik vd., 2012).

Tanım 2.2.15 Bir X vektör uzayı üzerinde tanımlanan skaler değerli bir fonksiyona fonksiyonel adı verilir. Eğer x y, X ve a b,  olmak üzere

     

f axby af x bf y

ise f lineerdir denir. X bir topolojik vektör uzayı olsun. Eğer bir fonksiyonel X uzayından ye sürekli ise X üzerinde süreklidir denir ( Grafakos, 2008).

Teorem 2.2.16 X ve Y normlu vektör uzayları verilsin. ^{L X Y}



^,



vektör uzayı operatör normuna göre bir normlu vektör uzayıdır. Eğer Y bir Banach uzayı ise



^,



L X Y de bir Banach uzayıdır (Musayev ve Alp, 2000).

2.3 Ölçü, Ölçülebilir fonksiyonlar, Lebesgue ölçüsü Tanım 2.3.1 X boştan farklı bir küme ve ^{ P X}

 

^olsun.

 

^{i ,X  }

 

^{ii   E ,Ec  X E }

   

₁

1

1, 2,..., ,

n

k k k k

iii k n E ^_ E

       

şartları sağlanıyor ise bu durumda  sınıfına X üzerinde bir cebirdir denir.

Eğer

 

ⁱⁱⁱ şartı yerine

 

₁

1

, _{n n}

n n

n E E

 

 

      

şartı alınırsa  cebirine  cebir denir (Royden, 1968).

12

Tanım 2.3.2 Bir K sınıfını kapsayan  cebirlerinin en küçüğüne K nın ürettiği  cebiri denir ve ^{D K}

 

ile gösterilir. ⁿ deki bütün açık

 

^{a b,} aralıklarının doğurduğu

 cebirine Borel cebiri denir ve ^B

 

ⁿ ile gösterilir. n1 olması halinde ^B

 

¹

Borel cebiri ^B

 

ile gösterilir. ^B

 

nin her bir elemanına Borel kümesi denir (Royden, 1968).

Teorem 2.3.3 X üzerinde  cebirlerinin herhangi adetteki kesişimleri yine bir  cebiridir (Balcı, 2012).

Tanım 2.3.4 X , boştan farklı bir küme, ^{ P X}

 

^{de X in bir}  cebiri ve

 

: 0,

    de  üzerinde bir ölçü olsun.



^X,



ikilisine bir ölçülebilir uzay denir.



^{X, , }



ölçüsüne de bir ölçü uzayı denir.  daki her bir eleman da ölçülebilir küme olarak adlandırılır (Royden, 1968).

Tanım 2.3.5



^X,



bir ölçülebilir uzay olsun.  üzerinde tanımlı genişletilmiş reel değerli bir  fonksiyonu

   

ⁱ   ⁰

 

^{ii Her A  için} 

 

^A ⁰

 

^{iii Her ayrık}

 

An dizisi için

 

1 1

n n

n n

A A

 ^{ } 

 

  

 

 



özelliklerini sağlıyorsa bu fonksiyona ölçü denir. Eğer her A  için ^

 

^{A   ise }

sonlu ölçü adı verilir (Royden, 1968).

Tanım 2.3.6 X boştan farklı bir küme olsun. ^{P X}

 

üzerinde tanımlı genişletilmiş reel değerli bir ^ fonksiyonu için

 

^{i }

 

^{ 0}

 

^{ii  E P X}

 

^{,  0}

 

^{iii A B X,}

 

^{A }

 

^B

13

     

1 1

, _{n n}

n n

iv n A P X ^{  } ^ A

 

       



şartları sağlanırsa ^ fonksiyonuna X üzerinde bir dış ölçü denir (Royden, 1968).

Teorem 2.3.7



^{X A, ,}



bir ölçü uzayı olsun.

 

^a

 

^{An A} daki elemanların bir artan dizisi ise

1

 

n lim n

n n

A A

 ^ 

 

  

 

 

dir.

   

b Bn ^, A daki elemanların bir azalan dizisi ve 

 

B1   ise

1

 

n lim n

n n

B B

 ^ 

 

  

 

 

dir (Balcı, 2012).

Tanım 2.3.8

 

Ik k^_1^, nin sınırlı ve açık alt aralıklarının bir dizisi ve

  

^{: 1}



A k k

k

I A I

 ^

  

olsun. ^P

 

üzerinde

     

1

inf _k : _{k A}

k

A l I I

^{ } 



 

   







şeklinde tanımlanan ^ bir dış ölçüdür. Bu dış ölçüye Lebesgue dış ölçüsü adı verilir.

Lebesgue dış ölçüsü nin her bir alt aralığına onun uzunluğunu karşılık getirir. n boyutlu ⁿ uzayında Lebesgue dış ölçüsünü tanımlamak için



^: i i i^{, 1,...,}



I  x a  x b i  n

n boyutlu kapalı aralıklarını göz önüne alınırsa, bu aralıkların hacimleri

14

   

1 n

i i

i

I b a











biçimindedir. Keyfi bir E  ⁿ kümesinin Lebesgue dış ölçüsü

   

1 1

inf _k : _k, _k

k k

E I E I I bir aralık

^{ }  ^

 

 

   







ile tanımlanır.  A ⁿ için eğer

 

^A



^{A E}

 

^A



^{n E}

 

^ ^  ^  

ise E kümesine Lebesgue ölçülebilirdir denir (Royden, 1968).

Tanım 2.3.9 Görüntü kümesi sonlu elemandan meydana gelen  fonksiyonuna bir basit fonksiyon adı verilir. Bir reel değerli basit fonksiyonu a_k ve

Ek

 , E _k kümesinin karakteristik fonksiyonu olmak üzere

1

k

n k E k

 a 







(2.4) biçiminde yazılabilir. Eğer  fonksiyonu X üzerinde tanımlı ise

n k k

E X

  dir. Bu E _k kümelerinin seçilişi tek olmadığından  nin (2.4) tipindeki gösterimi tek değildir. Eğer

1, 2,..., _m

a a a sayıları  nin X üzerinde aldığı farklı değerler ve



^:

  

k k

E  xX f x a

seçilirse E kümeleri ayrık olur. Bu durumda _k

1

k

m k E k

 a 







gösterimine  fonksiyonunun standart gösterimi adı verilir. X üzerinde tanımlı,reel değerli, A ölçülebilir basit fonksiyonların kümesi ^{S S X A}



^,



^,S deki negatif olmayan fonksiyonların kümesi S^ ile gösterilir ( Balcı, 2012).

15 Tanım 2.3.10 A ⁿ olsun.

1,

A 0,

x A

x A

 _{ }^{ }

 

ile tanımlanan _A fonksiyonuna A nın karakteristik fonksiyonu denir (Grafakos, 2008).

Tanım 2.3.11



^X,



bir ölçülebilir uzay ve f :X  Bir fonksiyon olsun. Eğer

 a için

 

     

1 , :

f^ a   xX f x a  

oluyorsa f ye ölçülebilir fonksiyon denir. X üzerindeki ölçülebilir fonksiyonların ailesi ^{M X}



^,



ile gösterilir. Ayrıca



^X,



bir ölçülebilir uzay olmak üzere X deki negatif olmayan ölçülebilir fonksiyonları kümesi ^M



^X,



ile gösterilir (Bayraktar, 2006).

Tanım 2.3.12  ve  iki reel sayı olmak üzere

   

f x  ^ f x

oluyorsa f fonksiyonuna . dereceden homojen fonksiyon denir (Fucik vd., 2012) Tanım 2.3.13



^X,



bir ölçü uzayı ve ^{f :X} 



^veya



ölçülebilir bir fonksiyon olsun.

   

^:

   

f x X f x

    

şeklinde tanımlanan

   

: 0, 0,

 f   

fonksiyonuna f fonksiyonunun dağılım fonksiyonu denir (Bennett, 1988).

16

Tanım 2.3.14 ^



^{X, ,  }



^{, } sonlu bir ölçü uzayı üzerinde bir norm olsun. f ve g eş ölçülebilir fonksiyonlar ve f g, M0^



X,



olmak üzere

 

^f

 

^g

  

sağlanıyorsa ^{X  X}

 

^ uzayına yeniden düzenleme altında değişmeyen uzayları denir (Bennett, 1988).

Tanım 2.3.15



^{X d,}



bir metrik uzayı ve ^{f :X }



^0,



^{olsun. f x}

 

^{0 şartını}

sağlayan x noktalarının kapanışına f fonksiyonunun desteği denir ve

 

 

suppf  xX : f x0

ile gösterilir. Eğer f fonksiyonunun desteği kompakt bir küme ise bu durumda f kompakt destekli fonksiyon adını alır (Fucik vd., 2012).

Tanım 2.3.16



^{X, , }



bir ölçü uzayı olsun. Eğer bir önerme ölçüsü sıfır olan küme veya kendisi  ya ait olmadığında, sıfır ölçülü bir küme tarafından kapsanan bir kümenin tümleyeni üzerinde doğru ise, o önerme hemen hemen her yerde doğrudur denir, kısaca h.h.y biçiminde yazılır,

Bir ^{p x}

 

önermesinin doğru olmadığı x noktalarının kümesi sıfır ölçülü bir küme veya sıfır ölçülü bir küme tarafından kapsanıyorsa, ^{p x}

 

önermesi hemen hemen her x için doğrudur denir (Balcı, 1998).

Tanım 2.3.17



^{X, , }



metrik ile verilen bir  sonlu ölçü uzayı olsun. Bu durumda bir s X:  fonksiyonunun basit olması için gerek ve yeter şart s fonksiyonunun görüntüsü sonlu bir küme ve desteğinin sonlu ölçülü olmasıdır (Fucik vd., 2012).

Tanım 2.3.18 X kümesinin her açık örtüsünün sonlu sayıda bir alt örtüsü varsa, X kümesine kompakttır denir. Kapalı ve sınırlı her kümenin açık örtüsünün sonlu sayıda bir alt örtüsü vardır. Yani, kapalı ve sınırlı her küme kompakttır (Musayev ve Alp, 2000).

17 BÖLÜM III

HARMONİK ANALİZİN BAZI FONKSİYON UZAYLARI 3.1 L Uzayları _p

Tanım 3.1.1



^X,



bir ölçü uzayı ve M f, :X  tanımlı  ölçülebilir fonksiyonların kümesi olsun. 0 p 1 olmak üzere

 

^{: : p 1}

p

X

L X ^f M f d ^







sınıfına mutlak değerinin pinci kuvveti integrallenebilen fonksiyonların sınıfı denir.

f fonksiyonunun L normu _p

 

1

, 1

sup ,

p

p p

X L

x X

f d p

f

ess f x p





 

    

 

   





ile tanımlanır ve bu norm ile L ye Lebesgue uzayları denir. Burada _p

         

sup inf : : 0

x X

ess f x   x X f x 

    

dir (Pick vd., 2012).

Teorem 3.1.2 1 p ve ^{1 1} 1 p p

    

 olmak üzere f Lp

 

 ve gLp

 

 olsun. Bu durumda f g, L1

 

 olur ve

   

_{Lp  Lp }

f x g x dx f g

  





 eşitsizliği sağlanır (Pick vd., 2012).

Teorem 3.1.3 1  p ve f g, L_p olsun. Bu durumda



f g



Lp olmak üzere

18

p p p

L L L

f g  f  g eşitsizliği sağlanır (Pick vd., 2012).

Tanım 3.1.4 f_n, f L_p olmak üzere

 

fn n^_1 nin f fonksiyonuna p. mertebeden yakınsak olması için gerek ve yeter şart   0 için en az bir n₀ mevcuttur öyle ki her nn₀ için

n Lp

f  f  olmasıdır. Burada

1

: , 1

p

p p

n L n

f f f f d p



 

      







Buna göre,

 

fn n^_1 nin f fonksiyonuna L de yakınsak olması için gerek ve yeter şart _p

lim 0

n Lp

n f f

  

olmasıdır (Pick vd., 2012).

Teorem 3.1.5



^{X, , }



bir ölçü uzayı ve 1  p olsun. L uzayı _p

 

1

:

p

p p L

X

f _{ }^ f x d^_







normu altında tam ve dolayısıyla Banach uzayıdır (Balcı, 2012).

Teorem 3.1.6 1  p olmak üzere L uzaylarındaki basit fonksiyonların kümesi _p L _p uzaylarında yoğundur (Royden, 1968).

Tanım 3.1.7 f ölçülebilir bir fonksiyon olmak üzere her K kompakt kümesi üzerinde

K

f d  



ise f fonksiyonuna lokal integrallenebilir adı verilir ve

 

1_loc ⁿ : : , ⁿ,

K

L ^f f d  K  K kompakt^







19 şeklinde ifade edilir. Ayrıca,

 

1

: : , ,

p p

p n n

loc

K

L f f d K K kompakt

   

 

      

 

 







şeklinde tanımlanır (Royden, 1968).

Tanım 3.1.8 1 p q,   olmak üzere ^{T L: p}

 

^{n Lq}

 

ⁿ bir operatör olsun. Eğer

 

ⁿ

f Lp

  için

q p

f L L

T  A f

olacak biçimde f den bağımsız bir A0 sabiti varsa T operatörüne kuvvetli



^{p q,}



tipindedir denir.  bir ölçü olmak üzere eğer  a 0 için



^:

  

^{p ,}

q

A f L

x Tf x q

 



 

 

   

 

 

olacak şekilde  ve f den bağımsız bir A sabiti varsa T dönüşümüne zayıf



^{p q,}



tipindendir denir (Sadosky, 1979).

Tanım 3.1.9 1  p ve  bir ağırlık fonksiyonu olsun. f fonksiyonları bütün ölçülebilir norma sahip ise bu durumda ^Lp

 

^{n uzayları}

  ^{   }

1

:

p

n

p p n

f L f x x dx

 ^



 ^  

şeklinde tanımlanan normlu uzaylara ^Lp

 

ⁿ uzayları denir.p  durumunda ise

  

^n,



L_  L_  de norm

 

ⁿ _{ }^{n sup}_n

^{   }

L L

x

f f ess f x x

  

 



 

ile tanımlanır (Royden, 1968).

20

Teorem 3.1.10 ^{f L1loc}

 

ⁿ olsun. Bu durumda h h x. .  ⁿ için

 

_{ }

   

0 ,

lim 1

, ^{B x r}

r f y dy f x

B x r







olur (Grafakos, 2004).

Tanım 3.1.11 ^{f :Rn R f, Lloc1}

 

^{Rn olsun. M} maksimal operatörü

     

 

0 ,

sup 1 ,

r B x r

M f x f y dy

B x r







biçiminde tanımlanır (Grafakos, 2004).

Teorem 3.1.12 R üzerinde tanımlanan ⁿ f fonksiyonu için

(i) ^{f Lp}

 

^{Rn , 1  p ise M f} maksimal fonksiyonu hemen her yerde sonludur.

(ii) ^{f Lp}

 

^{Rn , 1  p ise M f Lp}

 

^{Rn ve} M f L_p  Ap f L_p eşitsizliği gerçeklenir.

(iii) Eğer ^{f L R1}

 

^{n ise   0 için}



^:

   ^{ }

n

n A

x M f x  f x dx

  



sağlanır. Burada A sadece boyuta bağlı bir sabittir (Stein, 1970).

Tanım 3.1.13 ^{f L1loc}

 

^{n ve 0  n} olmak üzere, I_ Riesz potansiyeli

   

:

n

n

I f x f y dy

x y

  





olarak tanımlanır (Stein, 1970).

Teorem 3.1.14 0 n,1 p q , ^{1 1} p q n

 

        olsun.