0) hareket eden ak¬¸skan(hava veya su gibi) içerinde x noktas¬nda bulunan parça¼g¬n t an¬nda de¼gi¸sebilen bir …ziksel özelli¼gini c(x

(1)

B ¨ol ¨um 8

Adveksiyon ve Uygulamalar¬

Bu bölümde

adveksiyon denkleminin korunum yasas¬n¬n matematiksel formülasyonu oldu¼gunu gözlemledikten sonra,

öncelikle tek boyutlu sonsuz bölge ve ard¬ndan

yar¬-sonsuz uzunluklu bölgeler üzerinde adveksiyon problemlerini for- müle ederek, güncel uygulama problemleri ile birlikte inceliyoruz.

Son olarak ise iki boyutta kartezyen koordinat sistemlerinde adveksiyon problemlerini analitik veya

gerekti¼gi durumlarda say¬sal yöntemler ile inceliyoruz.

Adveksiyon konusunda daha detayl¬bilgi için bu bölümü haz¬rlarken fay- daland¬¼g¬m¬z [1] ve [2] kaynaklar¬n¬öneririz.

8.1 Sonsuz bölge üzerinde Adveksiyon(ta¸s¬n¬m) Problemi

u= (u; 0)h¬z¬yla yatay eksende sa¼ga do¼gru(u > 0) hareket eden ak¬¸skan(hava veya su gibi) içerinde x noktas¬nda bulunan parça¼g¬n t an¬nda de¼gi¸sebilen bir

…ziksel özelli¼gini c(x; t) ile gösterelim. Ak¬¸skan¬t h¬z¬yla sa¼ga do¼gru hareket eden bir rüzgar olarak dü¸sünelim ve kirli havan¬n rüzgar etkisinde hareket

(2)

etti¼gini dü¸sünelim. Bu durumda c(x; t), x noktas¬nda ve t an¬ndaki kirli hava yo¼gunlu¼gunu temsil edebilir.

Ak¬¸skan içerisinde a¸sa¼g¬daki dikdörtgensel biçimde ¸sekilde görülen hacim eleman¬n¬ gözönüne alal¬m.

t an¬nda ve birim zamanda x noktas¬ndan hacim eleman¬na ak¬¸skan ile birlikte giren madde miktar¬uc(x; t) A d¬r, burada A; ak¬¸skan¬n hacim eleman¬na giri¸s yüze alan¬d¬r.

t an¬nda ve birim zamanda x + x noktas¬ndan hacim eleman¬n¬terk eden madde miktar¬uc(x + x; t) Ad¬r.

O halde t an¬nda ve birim zamanda hacim eleman¬ndaki madde miktar¬ndaki de¼gi¸sim = birim zamanda hacim eleman¬na giren miktar- birim zamanda ç¬kan miktard¬r, yani

uc(x; t) A uc(x + x; t) A d¬r. t zaman¬ndaki de¼gi¸sim miktar¬ise

(uc(x; t) uc(x + x; t)) A t (8.1) dir.

Öte yandan t zaman¬nda hacim eleman¬ndaki madde miktar¬ndaki de¼gi¸sim ise t + t an¬ndaki miktar ile t an¬ndaki miktar aras¬ndaki farkt¬r, yani

c(x + x; t + t) A x c(x + x; t) A x (8.2) dir. Burada t an¬nda ve [x; x + x] aral¬¼g¬nda, kesiti birim alana sahip küp içerindeki madde miktar¬na u > 0 h¬z¬yla soldan sa¼ga do¼gru ilerleyen ak¬¸skan hareketi için yeterince kar¬¸sm¬¸s oldu¼gu varsay¬m¬ ile sa¼g uç noktadaki c(x + x; t) de¼ger ile aral¬k uzunlu¼gu ve kesit alan¬n¬n çarp¬m¬, yani c(x + x; t) x A terimi ile yakla¸s¬yoruz.

Kütle korunumu gere¼gi tzaman¬nda hacim eleman¬ndaki madde miktar¬ndaki de¼gi¸sim, t zaman¬nda hacim eleman¬na giren ve ç¬kan miktar fark¬na e¸sittir, yani (8.1) ve (8.2) den

(uc(x; t) uc(x + x; t)) A t

= (c(x + x; t + t) c(x + x; t)) A x

K a ra d e n iz Te k n ik M a t e m a t ik , e rh a n @ k tu .e d u .tr

(3)

¸

Sekil 8.1: Ak¬¸skan hacim eleman¬¸semati¼gi

veya her iki yan¬ A t x ile bölerek, uc(x; t) c(x + x; t)

x = c(x + x; t + t) c(x + x; t)

t (8.3)

elde ederiz.(8.3) korunum yasas¬n¬fark denklemi olarak ifade eder, yani korunum yasas¬n¬n¬fark denklem formudur.

(8.3) ün her iki yan¬n¬n t > 0; x > 0 için limitini alarak, haci eleman¬ için yazd¬¼g¬m¬z korunum yasas¬n¬n her bir (x; t) noktas¬nda geçerli olan versiyonu olarak

uc_x = c_t veya

c_t+ uc_x = 0; 1 < x < 1; t > 0 (8.4) noktasal korunum yasas¬n¬, yani korunum yasas¬n¬n diferensiyel denklem formunu elde ederiz. Ba¸slang¬ç da¼g¬l¬m¬n¬n ise

c(x; 0) = f (x) (8.5)

olarak verildi¼gini kabul edelim.

Kirli havan¬n ak¬¸skan h¬z¬yla birlikte hareket etti¼gini, yani x(t), t an¬nda bir kirli hava parçac¬¼g¬olmak üzere

dx

dt = u (8.6)

x(0) = x₀ (8.7)

oldu¼gunu kabul edelim. Bu durumda

(4)

¸

Sekil 8.2: Karakteristik do¼grular

dc

dt = c_t+ c_xdx

dt (8.8)

= c_t+ uc_x

= 0 olmal¬d¬r.

O halde (8.6) ile verilen

x(t) = ut + x₀ (8.9)

do¼grular¬boyunca hareket eden parçac¬klar üzerindeki kirli hava yo¼gunlu¼gu de¼gi¸smemektedir, dolay¬s¬yla (8.4)-( 8.5 ) ba¸slang¬ç de¼ger problemi için

c(x; t) = c(x₀; 0) = f (x₀) = f (x ut) çözümünü elde ederiz.

De¼gi¸sen x0 de¼gerleri için (8.9) do¼grular¬boyunca (8.4) K¬smi Diferensiyel denkleminin (8.8) ile verilen baya¼g¬ diferensiyel denklemine indirgendi¼gine

K a ra d e n iz Te k n ik M a t e m a t ik , e rh a n @ k tu .e d u .t r

(5)

dikkat edelim. K¬smi Diferensiyel Denklemi Baya¼g¬ diferensiyel denkleme indirgeyen bu tür do¼grular veya e¼grilere denklemin karakteristikleri ad¬

verilmektedir.

ÖRNEK 8.1. Ba¸slang¬çta

c(x; 0) = 1 1 + x²

ba¸slang¬ç konsantrasyon da¼g¬l¬m¬na sahip kirli havan¬n u = 3 birim h¬zla sa¼ga do¼gru hereket eden rüzgar etkisinde da¼g¬lmadan ilerledi¼gini kabul edelim. Bu durumda ilgili matematiksel modeli formüle ederek, çözümü belirleyiniz ve t = 0; 1, ve 2 an¬ndaki gra…¼gini çizdiriniz.

Çözüm.

Yukar¬daki aç¬klamalar çerçevesinde modelimiz c_t+ 3c_x = 0; 1 < x < 1

c(x; 0) = f (x) = 1 1 + x²

olarak verilir. O halde yukar¬daki aç¬klamalar çerçevesinde çözümümüzü c(x; t) = f (x 3t) = 1

1 + (x 3t)²

olarak elde ederiz. Belirtilen t anlar¬ndaki çözüm gra…¼gi ise ¸Sekil 8.3 ile verilmektedir.

Kirli hava kitlesinin da¼g¬lmadan orjinal ¸seklini koruyarak ilerledi¼gine, yani adveksiyon olay¬na dikkat edelim.

Denklemin analitik çözümünü belirleyememi¸s olsayd¬k, (8.3) ile verilen fark denklemi yard¬m¬yla da çözümümüzü yakla¸s¬k olarak belirleyebilirdik:

Bunun için yeterince büyük bir [ a; a] aral¬¼g¬n¬ n > 0 say¬da alt aral¬¼ga bölmek suretiyle olu¸san alt aral¬klar¬n uç noktalar¬n¬, x = 2a=n olmak üzere s¬ras¬yla

x₁ = a; x₂ = a + h; ; x_n+1 = a

ile gösterelim. Problemin [0; Tmax]zaman dilimindeki çözümlerini ara¸st¬rmak istedi¼gimizi kabul edelim. Söz konusu aral¬¼g¬da, m > 0olmak üzere , t = T_max=m ad¬m uzunluklu alt aral¬klara bölelim ve olu¸san uç noktalar¬

t₁ = 0; t₂ = t; ; t_m+1 = T_max

(6)

-100 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 0.5

1

-100 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

0.5 1

-100 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

0.5 1

t=0

t=1

t=2

¸

Sekil 8.3: Adveksiyon örne¼gi

ile gösterelim. = [ a; a] [0; Tmax] olmak üzere, üzerinde çözümü belirlemek yerine

: :

=f(xⁱ; t_j)ji = 2; 3; :::; n; j = 2; 3; :::; mg

ile tan¬mlanan sonlu say¬daki noktada (8.3) ile verilen korum yasas¬n¬kullarak yakla¸_:sk çözümümüzü belirlemeye çal¬¸sal¬m:

içerisindeki herhani bir (xi; t_j) noktas¬nda (8.3) denklemini c(x_i+1; t_j+1) c(x_i+1; t_j)

t = uc(x_i; t_j) c(x_i+1; t_j) x

veya s = u t= x olmak üzere

c(x_i+1; t_j+1) = c(x_i+1; t_j) + s(c(x_i; t_j) c(x_i+1; t_j)); (8.10)

= (1 s)c(x_i+1; t_j) + sc(x_i; t_j); i = 1; 2; :::; n; j = 1; 2; :::; m olarak ifade edebiliriz. Ayr¬ca c(x; 0) = f (x) ba¸slang¬ç ¸sart¬n¬da

:

üzerine c(x_i; t₁) = f (x_i); i = 1; 2; :::; n (8.11)

K a ra d e n iz Te k n ik M a t e m a t ik , e rh a n @ k t u .e d u .tr

(7)

%--- function adveksiyon(f,u,a,Tmax)

N=50;M=50;

x=linspace(-a,a,N);delx=x(2)-x(1);

delt=delx/u;

t=0:delt:Tmax;

M=length(t);

%delt=t(2)-t(1);

c=zeros(N,M);

c(:,1)=f(x);

M1=M-1;N1=N-1;

ii=1:N1;

s=u*delt/delx;

for j=1:M1

c(ii+1,j+1)=(1-s)*c(ii+1,j)+s*c(ii,j);

norm(c(:,j+1)) end

[X,T]=meshgrid(x,t);

waterfall(X,T,c’);xlabel(’x’);ylabel(’t’);

%---

Program 8.1: Konveksiyon simulasyonu.

olarak ta¸s¬yabiliriz. Korunum yasas¬ndan hareketle elde etti¼gimiz (8.10)- (8.11) sistemi, (8.4)-(8.5) sistemine kar¸s¬l¬k gelen fark denklemleri olarak adland¬r¬l¬rlar.

(8.10)-(8.11) sistemi, (8.4)-(8.5) sisteminin yer de¼gi¸skenine göre geri fark ve zaman de¼gi¸skenine göre ise ileri fark yöntemi ile ayr¬kla¸st¬rmas¬sonucu da elde edilebilir[5].

¸

Sekil 8.4 te

c(x; 0) = e ^(x+2)²

ba¸slang¬ç dalga fonksiyonunun u = 3 birim h¬zla adveksiyon simulasyonu [ 5; 5] bölgesi üzerinde ve [0; 2] zaman aral¬¼g¬nda sunulmaktad¬r.

>> f=@(x) exp(-(x+2).^2);

>>adveksiyon(f,3,5,2)

¸

Sekil 8.4 ten görülece¼gi üzere, kütle korunumu sa¼glanmaktad¬r, yani e¼gri

(8)

-5

0

5

0 0.5 1 1.5 2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

x t

¸

Sekil 8.4: Adveksiyon örne¼gi: u = 3 birim h¬zla sa¼ga do¼gru hareket eden dalga.

alt¬ndaki alan, dalgan¬n sa¼g taraftan bölgeyi terk etmeye ba¸slamad¬¼g¬her t için sabittir ve gözönüne ald¬¼g¬m¬z örnek verileri için jjc(t)jj² = 2:4780 dir.

Bu simulasyonda

t = x u

olarak seçilmi¸stir. Bu seçim ile ba¸slang¬ç dalgan¬n x ut = x0karakteristikleri boyunca de¼gi¸smeden ilerlemesi sa¼glanmaktad¬r.

ÖRNEK 8.2. Ba¸slang¬çta

c(x; 0) = e ^(x+2)²

ba¸slang¬ç konsantrasyon da¼g¬l¬m¬na sahip kirli havan¬n u = 1 birim h¬zla sa¼ga do¼gru hereket eden rüzgar etkisinde da¼g¬lmadan ilerledi¼gini kabul edelim. Ancak ilerleyen kirli havan¬n, birim zamanda mevcut kirli hava kon- santrasyonun %20 sini atmosfere b¬rakt¬¼g¬ bilinmektedir. Bu durumda ilgili matematiksel modeli formüle ederek, çözümü belirleyiniz ve [ 5; 10] [0; 10]

bölgesi üzerinde gra…¼gini çizdiriniz.

Çözüm.

(9)

uh¬z¬yla hareket halinde kirli hava parçac¬¼g¬gözönüne alal¬m. Bu parçac¬k üzerindeki kirlilik yo¼gunlu¼gunun zamana göre de¼gi¸simi mevcut yo¼gunluk ile orant¬l¬olarak azalaca¼g¬bilgisini

dc

dt = c (8.12)

diferensiyel denklemi ile formüle edebiliriz. Ancak dc

dt = c_t+ c_xdx dt

= c_t+ uc_x= c elde ederiz. Bu durumda elde edilen

c_t+ uc_x = c (8.13)

c(x; 0) = f (x) (8.14)

(8.13)-(8.14) modeli adveksiyon-reaksiyon modeli olarak adland¬r¬l¬r. x(t) ut = x₀ do¼grular¬üzerinde (8.12) denklemini çözerek

c(x(t); t) = e ^tc(x(0); 0) = f (x(0)) = f (x₀) elde ederiz. Öte yandan

c(x(t); t)j^t=1= e f (x₀) = 80

100c(x(t); t)j^t=0 = 4 5f (x₀) sa¼glanmal¬d¬r. Buradan e = 4=5 elde ederiz. O halde çözümümüzü

c(x; t) = (4

5)^tf (x₀)

= (4

5)^tf (x t)

= (4

5)^te ^{(x t+2)}²

olarak elde ederiz. Kirli hava da¼g¬l¬m¬¸Sekil 8.5 ile verilmektedir.

(10)

-5

0

5

10

0 2 4 6 8 10

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

¸

Sekil 8.5: Kirli hava yo¼gunlu¼gunun zaman göre de¼gi¸simi(adveksiyon- reaksiyon)

8.2 Yar¬sonsuz bölge üzerinde Adveksiyon

R üzerinde tan¬ml¬adveksiyon probleminin çözümü için denklem ile birlikte bölge üzerinde tan¬ml¬ ba¸slang¬ç de¼ger verilmesi gerekmektedir. Oysa [0; 1) yar¬-sonsuz aral¬¼g¬üzerinde u > 0 ¸sart¬ile tan¬ml¬adveksiyon problemi için ba¸slang¬ç de¼ger ile birlikte (x; t) = (0; t); t > 0 s¬n¬r¬üzerinde de bilinmeyen fonksiyon de¼gerinin tan¬ml¬ olmas¬ gerekmektedir. Di¼ger deyimle bu durumda problemimiz

c_t+ uc_x = 0; 0 < x <1; t > 0 (8.15) c(x; 0) = f (x);

c(0; t) = g(t)

olarak bir ba¸slang¬ç-s¬n¬r de¼ger problemi olarak tan¬mlanmal¬d¬r.

Problemimizin çözümü karakteristiklerin x eksenini kesti¼gi x0 noktas¬n¬n s¬f¬rdan büyük veya küçük olmas¬ durumuna göre ayr¬ ayr¬ incelenmelidir.

¸

Sekil 8.6 den x0 0 için x ut olup bu bölgede karakteristikler x eksenini x ut = x₀ 0 noktas¬nda keserler ve bu noktada ba¸slang¬ç fonksiyonunun

(11)

¸

Sekil 8.6: x = ut + x0;karakteristik do¼grular¬(x0 > 0; x₀ = 0; x₀ < 0)

c(x₀; 0) = f (x₀)de¼gerini karakteristik do¼gru boyunca de¼gi¸stirmeden ta¸s¬rlar:

c(x; t) = c(x₀; 0) = f (x₀) = f (x ut); x₀ > 0 veya x > ut

Öte yandan yine ¸Sekil 8.6 den x0 < 0için (x; t) noktas¬ndan geçen karakteristikler t eksenini (0; t x=u) noktas¬nda keserler ve bu noktadaki g(t x=u) s¬n¬r de¼gerini de¼gi¸stirmeden ta¸s¬rlar:

c(x; t) = c(0; t x=u) = g(t x=u); x₀ < 0 veya x < ut

olarak ifade edebiliriz. Ancak x < ut bölgesinde ise karakteristikler t eksenini (0; t x=u) noktas¬nda keserler, ve bu noktada g ile tan¬mlanan s¬n¬r fonksiyonunun de¼gerini de¼gi¸stirmeden t x=u = t₀ > 0karakteristik do¼grusu boyunca ta¸s¬rlar((x; t) noktas¬ndan geçen ve e¼gimi 1=u olan do¼gru t eksenini (0; t x=u)noktas¬nda keser, ve bu noktadaki g fonksiyon de¼gerini ta¸s¬rlar.):

c(x; t) = c(0; t x=u) = g(t x=u); x₀ < 0 veya x < ut

(12)

O halde

c(x; t) = f (x ut) x ut

g(t x=u) x < ut (8.16)

çözümünü elde ederiz.

ÖRNEK 8.3.Ba¸slang¬çta e ^{(x 3)}² fonksiyonu ile modellenen kirli hava kitlesi sa¼g yöne do¼gru 3 birim h¬zla hareket eden bir üzgar etkisi alt¬nda oldu¼gunu kabul edelim. Ayr¬ca x = 0 noktas¬nda yer alan ve j sin(2t)j fonksiyonu ile modellenen peryodik kirli hava üreteci söz konusudur. x > 0; t > 0 olmak üzere herhangi bir (x; t) noktas¬ndaki kirli hava yo¼gunlu¼gunu belirleyiniz.

Çözüm.

Öncelikle modelimizi ve verilen ba¸slang¬ç-s¬n¬r ¸sartlar¬n¬belirleyelim:

c_t+ 3c_x = 0; 0 < x <1; t > 0 (8.17) c(x; 0) = e ^{(x 3)}²; x > 0

c(0; t) = j sin(2t)j; t > 0

Bu durumda yukar¬daki analizimizden ötürü problemimizin çözümünü c(x; t) = e ^{(x 3t 3)}²; x 3t

j sin(2(t x=3))j; x < 3t (8.18) olarak elde ederiz. Çözüm gra…¼gi ¸Sekil 8.7 ile verilmektedir.

¸

Sekil 8.7 den birisi ba¸slang¬ç ve di¼geri ise s¬n¬r de¼gerinden kaynaklanan ve 1=3 e¼gimli do¼grular¬n x eksenini kesti¼gi noktalardaki ba¸slang¬ç de¼geri ve t eksenini kesti¼gi s¬n¬r de¼gerinin de¼gi¸smeden ta¸s¬nd¬¼g¬n¬(adveksiyon olay¬n¬) gözlemliyoruz.

8.3 R² üzerinde Adveksiyon örne¼gi

¸

S R² bölgesinde u = (u;v) h¬z¬ile hareket eden ak¬¸skan içerinde c(x; t) madde miktar¬na ait korunmum yasas¬n¬, önceki bölüme benzer olarak

c_t+r:(cu) = 0 (8.19)

(13)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

0 0.5 1

x t

¸

Sekil 8.7: Yar¬sonsuz bölge üzerinde adveksiyon

denklemi ile ifade edebiliriz. u nun sabit olmas¬durumunda korunum denklemini r = (_@x^@ ;_@y^@ )gradient operatörü için yukar¬daki denklemi, f ile göstere- ce¼gimiz uygun bir ba¸slang¬ç konsantrasyon da¼g¬l¬m¬için

c_t+ u rc = 0 veya (8.20)

c_t+ uc_x+ vc_y = 0; 1 < x < 1; 1 < y < 1 (8.21)

c(x; y; 0) = f (x; y) (8.22)

ba¸slang¬ç de¼ger problemini olarak gözönüne alabiliriz.

x yönünde u ve y yönünde v h¬z¬yla hareket eden konsantrasyon pro…li için

dx

dt = u; dy

dt = v; (8.23)

x(0) = x₀; y(0) = y₀ denklemlerini sa¼glayan

x ut = x₀; y vt = y₀

(14)

karakteristikleri boyunca, (8.21) denklemi ve zincir kural¬ndan hareketle dc

dt = c_t+ c_xdx

dt + c_ydy dt

= ct+ ucx+ vcy

= 0

elde ederiz. O halde (8.21), (8.22) sisteminin çözümünü, c(x; y; t) = c(x₀; y₀; 0) = f (x ut; y vt) olarak kolayca elde ederiz.

ÖRNEK 8.4. = [0; 10] [0; 5] bölge kesiti üzerinde (8.21) (8.22) ba¸slang¬ç de¼ger problemini gözönüne alal¬m. (u; v) parçal¬ sürekli h¬z¬ ile sa¼g yönde temiz su ak¬¸s¬n¬n oldu¼gu kanala sol kenar boyunca farkl¬büyüklük ve frekanslarda cisimlerin giri¸s yapt¬¼g¬n¬ve bu cisimlerin ak¬¸skan hareketi ile nas¬l ta¸s¬nd¬¼g¬n¬

gözlemek istedi¼gimizi dü¸sünelim. Daha somut olarak modelimiz ct+ ucx+ vcy = 0; 0 < x < 10; 0 < y < 5

c(x; y; 0) = 0 c(0; y; t) =

8<

:

j sin(5t)j y2 (5=4 ; 5=4 + ) j0:7 sin(3t)j y2 (5=2 ; 5=2 + ) j0:3 sin(t)j y 2 (15=4 ; 15=4 + )

; t > 0

burada > 0 sabit de¼gerdir. c(x; y; t) çözümünü zaman de¼gi¸skenine göre ileri fark ve yer de¼gi¸skenlerine göre geri fark ayr¬¸s¬mlar¬ yard¬m¬yla belirleyerek çözümü farkl¬zaman de¼gerleri için ga…ksel olarak analiz ediniz.

Çözüm.

Belirtilen ayr¬kla¸st¬rma sonucunda c_ij;k+1 c_ijk

t = uc_ijk c_{i 1;j;k}

x vc_ijk c_{i;j 1;k}

y ; (8.24)

i = 2; ; M; j = 2; ; N; k = 1; 2; (8.25) elde ederiz, burada M ve N s¬ras¬yla x ve y yönündeki a¼g alt aral¬k say¬lar¬, x; y ise s¬ras¬yla x ve y yönündeki a¼g uzunluklar¬d¬r. (8.24) denklemini düzenleyerek

c_ij;k+1 = (1 r₁ r₂)c_ijk+ r₁c_{i 1;j;k} + r₂c_{i;j 1;k}; r₁ = u t= x; r₂ = v t= y (8.26)

(15)

0

5

10 0

5 01

0

5

10 0

5 01

0

5

10 0

5 01

0

5

10 0

5 0 1

0

5

10 0

5 0 1

0

5

10 0

5 0 1

0

5

10

0 5 0 1

0

5

10

0 5 0 1

0

5

10

0 5 0 1

¸

Sekil 8.8: Engelsiz kanal içerisinde ta¸s¬n¬m

elde ederiz. t ad¬m uzunlu¼gunu kararl¬l¬k yönünden seçebilece¼gimiz en büyük de¼ger olarak

1 r₁ r₂ = 0 ba¼g¬nt¬s¬ndan

t = 1

u= x + v= y olarak seçelim. Bu durumda (8.26) sistemimiz

c_ij;k+1 = r₁c_{i 1;j;k} + r₂c_{i;j 1;k} (8.27) sistemine dönü¸sür.

¸

Sekil 8.8 den sol s¬n¬r boyunca ak¬¸skan kanal kesiti olarak dü¸senebile- ce¼gimiz bölgeye farkl¬büyüklük ve zamanlarda giren yabanc¬cisimlerin ak¬¸skan hareketi ile birlikte(u; v) = (10; 1) h¬z¬ile sa¼ga do¼gru t¸s¬nd¬klar¬görülmekte-

(16)

0

5

10

0 5

0 1

0

5

10

0 5

0 1

0

5

10

0 5

0 1

0

5

10

0 5

0 1

¸

Sekil 8.9: Engelli ak¬¸s simülasyonu

dir. Kanal içerisinde herhangi bir engel olmad¬¼g¬ için her bir cisim ak¬¸skan ile birlikte ve ayn¬h¬zda hareket etmektedir.

¸

Simdi ise kanal içerisinde bir engelin söz konsu oldu¼gunu dü¸sünelim.

Farkl¬ engel büyüklüklerinin yabanc¬ cisim hareketini nas¬l engelleyece¼gini gözlemlemek istiyoruz.

Bu amaçla (0; b=2) boyunca ba¸slayan ta¸s¬n¬m¬ engellemek amac¬yla x yönünde [a=4 a=4 + da] ve y yönünde [b=2 db; b=2 + db] aral¬¼g¬na ak¬¸skan geçirmeyen bir engel yerle¸stirelim. Bu durumda ak¬¸skan içerisindeki ta¸s¬n¬m olay¬n¬gözlemlemek istiyoruz.

¸

Sekil 8.9 ve ¸Sekil 8.9 dan önüne engel yerle¸stirdi¼gimiz orta kanal düzey- ince hareket eden ak¬¸s boyunca ta¸s¬n¬m olay¬n¬n büyük ölçüde engellenmi¸s oldu¼gu, engel önünde birikimin olu¸stu¼gu görülmektedir.

Al¬¸st¬rmalar 8.1.

1. Sonsuz bölge üzerinde verilen a¸sa¼g¬daki tek boyutlu adveksiyon problemlerinin klasik veya de¼gilse zay¬f çözümünü belirleyiniz. t = 0; 1; 2; 5; 10

(17)

0

5

10

0 5

0 1

0

5

10

0 5

0 1

0

5

10

0 5

0 1

0

5

10

0 5

0 1

¸

Sekil 8.10: Engelli ak¬¸s simulasyonu(devam)

zaman de¼gerleri için elde etti¼giniz çözümün Maxima veya Octave yar- d¬m¬yla gra…¼gini çizerek çözümünüzü yorumlay¬n¬z.

(a)

u_t+ 4u_x = 0; 1 < x < 1; t > 0 u(x; 0) = cos(x)

(b)

u_t+ 4u_x = 0; 1 < x < 1; t > 0

u(x; 0) = 1 x²; 1 x 1

0; di¼ger x de¼gerleri

(18)

(c)

u_t+ u_x = 0; 1 < x < 1; t > 0 u(x; 0) = 1; x 0

0; x > 0

2. Sonsuz bölge üzerinde verilen a¸sa¼g¬daki tek boyutlu adveksiyon-reaksiyon problemlerinin klasik veya zay¬f çözümünü belirleyiniz. t = 0; 1; 2; 5; 10 zaman de¼gerleri için elde etti¼giniz çözümün Maxima veya Octave yar- d¬m¬yla gra…¼gini çizerek çözümünüzü yorumlay¬n¬z.

(a)

u_t+ 4u_x = u; 1 < x < 1; t > 0 u(x; 0) = cos(x)

(b)

u_t+ 4u_x = 2u; 1 < x < 1; t > 0

u(x; 0) = 1 x²; 1 x 1

0; di¼ger x de¼gerleri (c)

ut+ ux = e ^xu; 1 < x < 1; t > 0 u(x; 0) = 1; x 0

0; x > 0

3. Yar¬ Sonsuz bölge üzerinde verilen a¸sa¼g¬daki tek boyutlu adveksiyon adveksiyon-reaksiyon problemlerinin çözümünü belirleyiniz.

(a)

ut+ 4ux = 0; 0 < x <1; t > 0 u(x; 0) = cos(x)

u(0; t) = sin(t)

(19)

(b)

u_t+ 4u_x = 2u; 1 < x < 1; t > 0

u(x; 0) = 1 x²; 1 x 1

0; di¼ger x de¼gerleri u(0; t) = e ^t

(c)

u_t+ u_x = u; 1 < x < 1; t > 0 u(x; 0) = 1; x 0

0; x > 0 u(0; t) = 1; 0 < t 1

0; t > 1

4. Sonsuz bölge üzerinde verilen a¸sa¼g¬daki iki boyutlu adveksiyon veya adveksiyon-reaksiyon problemlerinin çözümünü belirleyiniz. Elde etti¼giniz çözümün gra…¼gini t = 0; 1; 2; 5; 10 de¼gerleri için çizdirerek, sonu- cunuzu yorumlay¬n¬z.

(a)

u_t+ u_x+ u_y = 0; 1 < x; y < 1; t > 0 u(x; y; 0) = e ^ycos(x)

(b)

u_t+ 2u_x+ 3u_y = u; 1 < x; y < 1; t > 0 u(x; y; 0) = sin(y) cos(x)

5. A¸sa¼g¬da verilen

c_t+ uc_x+ vc_y = 0; 0 < x < 10; 0 < y < 5 c(x; y; 0) = 0

c(0; y; t) = cos(5t)e ^t y2 (1; 1:3) ; t > 0

problemini yukar¬da verilen (8.24)-(8.27) algoritmas¬yard¬m¬yla çözürek, çözüm gra…¼gini [0; 5]zaman aral¬¼g¬nda inceleyiniz.

(20)

(21)

[1] Duchateau, P., Zachmann D, Applied Partial Di¤erential Equations, Dover Pub., New York, 1989.

[2] Friedman, A., Industrial mathematics, A course in Solving Real-World Problems, SIAM, Philadelphia, 1994.

[3] Coleman, P. Matthew, An introduction to Partial Di¤erential Equations with MATLAB, Chapman& Hall/CRC, 2004.

[4] Coskun, E. Maxima ile Sembolik Hesaplama ve Kodlama, URL:http://erhancoskun.com.tr

[5] Coskun, E. Diferensiyel Denklemler için Sonlu Fark Yöntem- leri,URL:http://erhancoskun.com.tr