BÖLÜM 3

(1)

BÖLÜM 3

Lineer Olmayan Denklemlerde Çözüm Yöntemleri Yarılama Yöntemi

Bir f x 

 

0 denkleminin kökleri veya bir tane kökü

 

a b, aralığı içerisinde yer alsın ve bu aralıkta fonksiyon sürekli olsun.

   

0

f a f b 

Yarılama yöntemi ardışık olarak kökünün bulunduğu aralığı yarıya indirerek kökü içeren aralık uzunluğunu istediğimiz kadar küçük yapan bir yöntemdir.

Algoritma;

1)Kökü içeren bir I₀ 



a b₀, ₀



aralığı bulunur.



f a

   

₀ f b₀ 0



2)





0 0 0, 0 2 a b a b   Eğer 0 0 ₀ 2 a b f _   _   ise 0 0 0 2 a b x   bu fonksiyonun köküdür. Eğer 0 0

 

0 0 2 a b f _  _ f a 

  ise yeni aralık

0 0 0, 2 a b a        dır. Eğer 0 0

 

0 0 2 a b f_  _ f b 

  ise yeni aralık

0 0 0 , 2 a b b        dır.

3 ) n. adımda işlem durdurulur ve yaklaşık kök

(2)

0 1 2 ... n I  I I  I

 

0 0 0 0 0 1 0 0 2 2 0 0 2 2 2 n n d I b a b a d I b a d I b a d I         Durdurma kuralı;

1)n. adımda işlem durdurulur.

2) x_n_₁x_n   3) f x

 

n 



0 0 0 0 1 2 2 1 2 2 2 n n n n n n b a a b e b a b a                   _ _     _ _ ÖRNEK: 1 sin 0

x  x yarılama yöntemiyle yaklaşık kökünü

 

0,



aralığında bulalım. 2

(3)

1 sin 0 , 2 2 2 2 f  _{ }      _ _     3 2 2 4    _  3 3 3 3 1 sin 0 , 4 4 4 4 2 f _  _      _  _     3 5 2 4 2 8        2 0 0 1 max 10 2n b a hata_  _   1 1 1 0 3.14 0.01 2 314 2 8.29 1 7.29 2 0.01 n n n n n      _ _ _ _ _ _ _{  } _ 8 n   adım gerekli. Örnek:

 

3 2 4 10

f x  x x  fonksiyonunu

 

1, 2 arasındaki kökünü yarılama yöntemiyle 4

2 10

 _{ } 

olacak şekilde hesaplayın.

(4)

n n

a

b

_n

x

_n f x

 

n 0 1 2 1.5 2.375 1 1 1.5 1.25 -1.73687 2 1.25 1.5 1.375 0.16211 11 1.36476094 1.365234375 1.364990233 -0.00396 12 1.364990235 1.635234374 1.365112305 -0.00194 4 1 1.365112305 1.36499233 0.00012207 2 10 n n x x _      



 durulur.

Regula Falsi Kiriş Yöntemi

 

0

f x  ,



a b0, 0



aralığında kökü var mı diye bakacağız.

(5)

Örnek:

 

2 64 f x  x denkleminin

 

0,10 arasındaki kökünü 2 10  _  _{alarak bulunuz.} Çözüm:

 

2 0 0 64 64 0 f     

 

2 10 10 64 36 0 f    

   

0 10 0 f  f 









0 0.36 10 64 640 6.4 36 64 100 x        

   

2





0 6.4 64 23.04 0 6.4,10 f x      









1 6.4 36 10 23.04 7.8048 36 23.04 x        

  



2





1 7.8048 64 3.16 0 7.8048,10 f x      









2 7.8048 36 10 3.16 7.9775 36 3.16 x       

  



2





2 7.9775 64 3595 0 7.9775,10 f x       Kaynaklar

1. Fikri Öztürk web sitesi

http://80.251.40.59/science.ankara.edu.tr/ozturk/index.html

2. Bilgisayar uygulamalı sayısal analiz yöntemleri (II. baskı) Doç. Dr.Eyüp Sabri TÜRKER

Araş. Gör. Engin CAN 3. Nümerik Analiz

Doç. Dr. Ömer AKIN

A.Ü.F.F. Ders Kitapları YAYINI (1998) 4. Sayısal Yöntemler ve Matlab Uygulamaları

Nurhan KARABOĞA(2012)