BÖLÜM 4 Newton-Raphson Yöntemi

(1)

BÖLÜM 4

Newton-Raphson Yöntemi

 

0 f x 

denkleminin



kökü



a b

0

,

0



aralığında olsun.(



f a

   

0



f b

0





0

,sürekli ve

türevlenebilir.)





0 0

,

0

x



a b

seçerek



x f x

0

,

 

0



dan geçen teğetin denklemini oluşturacağız.

 

0

 

0 0



y



f x



f x

x x



 

'

 



0 0 0

0 

f x



f

x

x x





x i çekip

x

1yaz.

 

0 1 0 ' 0 1 1 1

'

n n n n

f x

x

f

x

f x

x

f

x

  







Durdurma kuralı; 1) n adımda durulur. 2)

x

n



x

n1





3) f x

 

n 



Teorem :

f x

     

,

f

'

x

,

f

''

x



C I

   

,

f

  

0,

I

olsun.

f  

'

 

0

Eğer

x

0



I

alınırsa Newton-Raphson ardışık yineleme formülü ile x   köküne yakınsayacaktır.

(2)

Örnek:

xe  

x

1 0,

 

0,1 ,

x

0

0.5,



10

4 



 

0 1 0

f

  

 

1

1.718

0 f





   

0

1

0 f



f



ise verilen aralıkta denklemin bir kökü vardır.

 

' x x

f

x



e



xe

0.5 1 0.5 0.5 0.5 1 0.5 0.57102 0.5 e x e e        1 0

0.57102 0.5

0.07102

x



x











0.57102 2 0.57102 0.57102 0.57102 1 0.57102 0.56716 0.57102 e x e e        2 1

0.56716 0.57102

0.00386

x



x











0.56716 3 0.56716 0.56716 0.56716 1 0.56716 0.56714 0.56716 e x e e        3 2

0.56714 0.56716

0.00002

x



x











olduğundan 3 0.56714 x



 

BASİT İTERASYON YÖNTEMİ

 

0 f x 

olarak verilen denklem

x



g x

 

biçimine getirilir ve bir

x

0 başlangıç değeri seçilir.

 

1

n n

x

_



g x

ardışık yineleme ile çözüme gidilir. Durdurma kuralı; 1) Belirlenen n adım sonunda durulur.

2)

x

n



x

n1





ise dur.

(3)

Tanım

:



X d

,



,



'



,

Y d metrik uzayı ve :g X  bir fonksiyon olsun. Y 1

,

2

x x

X





için

d g x

'



   

1

,

g x

2





ad x x



1

,

2



olacak şekilde

a 

 

0,1

sayısı varsa

g

fonksiyonuna büzülme fonksiyonu denir.

Teorem 1:

g X:  bir büzülme fonskiyonu bir düzgün sürekli fonksiyondur. Y

Teorem 2



X d

,



tam metrik uzay olsun.g X: X bir büzülme fonksiyonu olsun. Bu durumda

g

fonksiyonu bir tek sabit noktaya sahiptir.

g

 

 



olacak şekilde





X

vardır ve tektir.

Teorem 3:

g R: R,

 

x

R

için g x '

 

1,

g

fonksiyonu bir büzülme fonksiyonudur.

İspat

x x1, 2R,

d g x



   

1

,

g x

2





ad x x



1

,

2



,

a 

 

0,1

 

2

 

1 '

_{ }

2 1 , g x g x g x x     x1  x2

   





 

'

  



2 , 1 2 1 2 1 d g x g x  g x g x  g   x x '

  



2 1 g x x     '

  



'

 

1, 2 1 g d x x g      

Sonuç: f x ( ) 0 denklemi g x( )xbiçiminde yazılsın. g bir büzülme fonksiyonu ve



g( )



olacak şekilde bir tek



vardır. Oda f x ( ) 0denkleminin köküdür.

ÖRNEK

:

f x

 



x

3

 

x

1

denklemin kökünü basit iterasyon yöntemiyle bulunuz.



102,x 0 1 3

1 x

 

x

 

3 1

1 g x



x



 

' 2 1 3 3 1

g x  x   olduğundan dolayı

g x

1

 



x

3



1

olarak alınamaz.

(4)

 





2/3 2 1 ' 1 3 g x   x 

 





2 2/3 2/3 1 1 1 1 ' 1 0.21 1 3 1 1 3 2 g      

 olduğundan

g

2

 

x

fonksiyonu kullanılabilir.

 

1 n n

x

_



g x

  



1/3 1 0 0 1 1.26 x g x  x  

  



1/3 2 1 1 1 1.31 x g x  x  

  



1/3 3 2 2 1 1.32 3 2 1.32 1.31 0.01 x g x  x    x x    



Kök

1.32

’dir.

ÖRNEK:

f x

 



xe

x



1,

2 2 10



_{ } 

, x 0 0.5basit iterasyon yöntemiyle bulunuz.

1 x x x e e   

 

x

g x



e



 

' 0.66 1 x g x  e  

 

1 x n n

x

_



g x



e



 

1 0

0.606 x



g x



 

2 1

0.545 0.545 0.606

0.061 0.02

x



g x











olduğundan devam edilir.

 

3 2

0.579 0.579 0.545

0.034

0.02 x



g x











 

4 3

0.560 0.560 0.579

0.019

0.02

(5)

Kaynaklar

1. Fikri Öztürk web sitesi

http://80.251.40.59/science.ankara.edu.tr/ozturk/index.html

2. Bilgisayar uygulamalı sayısal analiz yöntemleri (II. baskı) Doç. Dr.Eyüp Sabri TÜRKER

Araş. Gör. Engin CAN 3. Nümerik Analiz

Doç. Dr. Ömer AKIN

A.Ü.F.F. Ders Kitapları YAYINI (1998) 4. Sayısal Yöntemler ve Matlab Uygulamaları

Nurhan KARABOĞA(2012)