BÖLÜM 8 Bölünmüş Farklar Tablosu

(1)

BÖLÜM 8

Bölünmüş Farklar Tablosu

0, ,1 2,..., n

x x x x değerleri için

f x

 

0

, ( ), ( ),...,

f x

1

f x

2

f x

 

n fonksiyon değerleri bilinsin. Bölünmüş farklar tablosu

şeklinde oluşturulur.

Newton bölünmüş fark interpolasyonu

Yukarıdaki bölünmüş farklar tablosu kullanılarak

f x

( )

0



f x

 

0 olmak üzere

 

 





















 







 

0 0 0 1 0 1 0 1 2 0 1 0 1 2

,

, ,

...

1 , ,

,...,

n n n

P x

f x

x x

f x x

x x

f x x x

x x

f x x x

x

f x



 





 

 

 



şeklinde elde edilir. Newton bölünmüş fark interpolasyon formülü denir.

ÖRNEK:

Bölünmüş farklar tablosunu kullanarak 3 2

(2)

 



 





 







2 2 2 3 5 3 1 1 1 2 6 3 3 5 9 14 5 9 14 2 2 1.79166 6 6 P x x x x x x               _  _       _{ } _{ }   

Eşit Aralıklı Noktalarda İnterpolasyon

0

,...,

n

x

noktaları arasındaki fark eşit olsun.

0,1,..., 1

i n için hx_i_₁x_i ve xx0sh olsun. Bu durumda



 



0 0 i

x

 

x



sh



x



ih

 

s i h

 





 















 









 







0 2 0 0 1 0 1 2 0 1 0 1 0 , 1 , , ... 1 ... 1 , ,..., 1 ... 1 , ,..., n n n n n k k k P x P x sh f x shf x x s s h f x x x s s s n h f x x x s s s k h f x x x             



  

ÖRNEK:

Eşit aralıklı olması durumu için Newton bölünmüş fark yöntemi ile 3. dereceden yazınız.

(3)

0 2.5 0 1 2.5 x x sh s s     

 











 





 



3 0 2 3 2.5 1 1 2.5 1 5 2.5 1 2.5 1 3 2.5 2.5 1 2.5 2 1 3 1 12.5 11.25 0.625 1.625 n P P x  s h                    _ _         

Newton ileri Fark Yöntemi

( ) ( ) ( )

f x f x h f x

(4)

i x f x( )_i f 2f 3f 4f 5f 6f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 x_ f x( 3) f3 2 x_ f x( 2) 2 3 f_  f2 3 3 f_  1 x_ f x( 1) 2 2 f_  4 3 f_  f1 3 2 f_  5 3 f_  0 x f x( )₀ 2 1 f_  4 2 f_  6 3 f_  f0 3 1

f

_



5f2 1 x f x( )1 2 0 f  4f1 f1 3 0 f  2 x f x( )2 2 1 f  f2 3 x f x( )3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .





1 0 0 1 0 1 0 ( ) ( ) 1 , f x f x ( ) f x x f x x x h     





1 0 2 0 1 2 2 0 ( ) ( ) 1 1 , , ( ) 2 2 f x f x f x x x f x h h h       _ _    Ve genel olarak



0 1



0 1 , ,..., ( ) ! k k k f x x x f x k h  

 











 



 

0 2 0 0 0 0 0 0

1 1 ...

1 ...

2!

!

n n n n k k

P x

sh

s s

f

s s

s n

f

s f

n

s

(5)

(6)

Kaynaklar

1. Fikri Öztürk web sitesi

http://80.251.40.59/science.ankara.edu.tr/ozturk/index.html

2. Bilgisayar uygulamalı sayısal analiz yöntemleri (II. baskı) Doç. Dr.Eyüp Sabri TÜRKER

Araş. Gör. Engin CAN 3. Nümerik Analiz

Doç. Dr. Ömer AKIN

A.Ü.F.F. Ders Kitapları YAYINI (1998) 4. Sayısal Yöntemler ve Matlab Uygulamaları

Nurhan KARABOĞA(2012)