Bir x = (xn) dizisi verilsin. E¼ger lim x = u olmas¬ lim f (x) = f (u) olmas¬n¬
gerektiriyor ise f : R ! R fonksiyonu u noktas¬nda dizisel süreklidir denir. Metrik uzaylarda bu kavram¬n süreklili¼ge denk oldu¼gu bilinmektedir. Bu tan¬m limit yerine key… bir G lineer fonksiyoneli al¬narak de¼gi¸stirilebilir. Literatürde ortaya ç¬kan çe¸sitli tan¬mlar¬ genelle¸stirerek, e¼ger G(x) = u olmas¬ G(f (x)) = f (u) olmas¬n¬ gerektiriyorsa f : R ! R fonksiyonu u noktas¬nda G-süreklidir diyebiliriz. Buck (1948) G(x) = lim
n n 1 Pn k=1
xn oldu¼gunda f fonksiyonu tek bir nok-tada G-sürekli ise o zaman f fonksiyonunun lineer oldu¼gunu, yani a ve b sabitleri için f (u) = au + b oldu¼gunu göstermi¸stir (bkz: Problem 3.2.1). Di¼ger yazarlar aritmetik ortalamadaki yak¬nsakl¬k yerine A-toplanabilirlik, hemen hemen yak¬n-sakl¬k ve istatistiksel yak¬nyak¬n-sakl¬k alarak süreklilik kavram¬n¬ incelemi¸slerdir. Bu bölümde lineerli¼gi gerektirmesi için G-süreklilik için yeterli bir ¸sart verilirken sürekli fonksiyonlar¬n G-sürekli olmas¬için gerekli bir ¸sart verilecektir. Böylece literatürde bilinen çe¸sitli sonuçlar genelle¸stirilecektir. Bu ayn¬ zamanda birçok durumda G-sürekli fonksiyonlar¬n ya tamamen lineer fonksiyon ya da tamamen sürekli fonk-siyon olmak zorunda oldu¼gunu göstermektedir.
Yukar¬da belirtildi¼gi gibi reel de¼gi¸skenli reel de¼gerli fonksiyonlar için süreklili¼gin standart " tan¬m¬ bir dizisel süreklilik tan¬m¬ ile de¼gi¸stirilebilir. Sürekli fonksiyonlar¬n özelliklerinin ço¼gu dizisel argümanlar kullan¬larak da elde edilebilir.
Bu bölümde dizilerin yak¬nsakl¬k tan¬m¬n¬ de¼gi¸stirmenin sürekli fonksiyonlar¬n kümesinin yap¬s¬üzerine etkisini ara¸st¬raca¼g¬z. Böylece Robbins (1946) taraf¬ndan ortaya at¬lan problem ile ba¸slayan ara¸st¬rmaya devam edilecektir. Robbins (1946) tek bir u = u0 noktas¬nda
özelli¼gini sa¼glayan f : R ! R fonksiyonunun lineer olmak zorunda oldu¼gunu, yani a, b sabit reel say¬lar olmak üzere tüm u’lar için f (u) = au + b formunda oldu¼gunu göstermek için problemi ortaya atm¬¸st¬r. Di¼ger bir deyi¸sle süreklili¼gin al¬¸s¬lm¬¸s tan¬m¬söz konusu oldu¼gunda dizisel yak¬nsakl¬k aritmetik ortalama yak¬nsakl¬k ile yer de¼gi¸stirirse, o halde bu yeni durumda sadece lineer fonksiyonlar sürekli kal¬r.
Ayn¬problemde Robbins (1946) (6:1)’i sa¼glayan fonksiyonlar için Cesàro Süreklilik terimini kullanm¬¸st¬r. Probleme ili¸skin Buck’¬n çözümü 1948’de yay¬mlanm¬¸s olup ayr¬ca problem be¸s ki¸si taraf¬ndan daha çözülmü¸stür.
O zamandan beri dizisel yak¬nsakl¬¼g¬n al¬¸s¬lm¬¸s tan¬m¬n¬ di¼ger tan¬mlardan biriyle de¼gi¸stirmek için benzer ara¸st¬rmalar yap¬ld¬ki bunlar toplanabilme matrisi, hemen hemen yak¬nsakl¬k ve istatistiksel yak¬nsakl¬k ile ilgilidir. Bunlar a¸sa¼g¬da tart¬¸ s¬la-cakt¬r. Bu ara¸st¬rmalar¬n tamam¬nda sonuç sürekli fonksiyonlar¬n ya tam olarak lineer fonksiyon ya da tam olarak al¬¸s¬lm¬¸s anlamda sürekli fonksiyonlar olmas¬d¬r.
Bu bölüm yak¬nsakl¬¼g¬n yeni tan¬m¬ belli k¬s¬tlamalar sa¼glad¬¼g¬ sürece bunun her zaman böyle oldu¼gunu gösterir.
Ba¸slamadan önce baz¬tan¬m ve notasyonlar¬vermek gerekli olacakt¬r. Reel say¬lar¬n x = (xn)1n=1; : : :dizileri için x; y; z; : : : har‡erini kullanaca¼g¬z. E¼ger f reel de¼gi¸skenli reel de¼gerli bir fonksiyon ise o halde f (x) = (f (xn))n olarak tan¬mlan¬r. Bir dizisel yak¬nsakl¬k metodunu (veya k¬saca bir metodu), tüm reel de¼gerli dizilerin vektör uzay¬n¬n lineer bir cG alt lineer uzay¬ üzerinde tan¬ml¬ bir G lineer fonksiyoneli olarak tan¬mlayaca¼g¬z. Bir x = (xn) dizisi verildi¼ginde e¼ger x 2 cG olmak üzere G(x) = l ise x dizisi l’ye G-yak¬nsakt¬r denir. Özellikle limit, yak¬nsak dizilerin c uzay¬nda lim x = lim
n xn limit fonksiyonelini gösterir. E¼ger her yak¬nsak x = (xn) dizisi, G(x) = lim x olmak üzere G-yak¬nsak ise G metodu regülerdir denir. Bu bölüm boyunca R üzerinde dejenere olmam¬¸s bir aral¬¼g¬I ile gösterece¼giz. ¸Simdi bir fonksiyonun G-süreklili¼gini tan¬mlayaca¼g¬z.
Tan¬m 6.1.1 “G bir dizisel yak¬nsakl¬k metodu ve f : I ! R bir fonksiyon olsun.
I de¼gerli bir x = (xn) dizisi u de¼gerine G-yak¬nsak oldu¼gunda f (x) = (f (xn)) dizisi f (u) de¼gerine G-yak¬nsak oluyor ise o halde f fonksiyonu u 2 I noktas¬nda G-süreklidir denir. I aral¬¼g¬n¬n bir D altkümesi için e¼ger f fonksiyonu her u 2 D
noktas¬nda G-sürekli ise f fonksiyonu D üzerinde G-süreklidir denir. E¼ger I tan¬m kümesi üzerinde f fonksiyonu G-sürekli ise f fonksiyonu G-süreklidir denir”(Connor ve Grosse-Erdmann 2003).
f fonksiyonunun G-süreklili¼gi k¬saca a¸sa¼g¬daki ¸sekilde ifade edilebilir. E¼ger x dizisi I-de¼gerli G-yak¬nsak bir dizi ise o halde
G(f (x)) = f (G(x)) sa¼glan¬r.
f fonksiyonunun bir J alt aral¬¼g¬nda G-süreklili¼gi ile f jJ k¬s¬tlama fonksiyonunun G-süreklili¼gini ay¬rt etmek önemlidir. E¼ger f fonksiyonu J üzerinde G-sürekli ise f jJ fonksiyonu G-süreklidir. Ancak kar¸s¬t¬her zaman do¼gru de¼gildir çünkü ikinci durumda x dizileri J kümesinden al¬nm¬¸st¬r.
Al¬¸s¬lm¬¸s süreklilik için bilinmeyen bir ba¸ska fenomen G-süreklili¼gin lokal bir özelli¼gi gerektirmemesidir. Antoni-Šalát (1980) regüler bir G metodu ve bir f : R ! R fonksiyon örne¼gi vermi¸stir öyle ki f fonksiyonu [ 1; 1] aral¬¼g¬nda lineer ve dolay¬s¬yla G-sürekli fonksiyonla çak¬¸smas¬na ra¼gmen sadece x = 0 noktas¬nda G-süreklidir.
Baz¬ yazarlar G-süreklili¼gi regüler bir A toplanabilme matrisi ile tan¬mlam¬¸st¬r (Posner 1961, Iwi´nski 1972, Srinivasan 1980, Antoni-Šalát 1980, Spigel-Krupnik 1994). Bu durumda G-süreklilik genellikle A-süreklilik olarak adland¬r¬l¬r. Buck’¬n sonucunda sadece Cesàro matrisi al¬nm¬¸st¬r.
¸
Simdi önceki iki s¬n¬‡a ilgili olmayan metotlar¬n bir s¬n¬f¬n¬dü¸sünelim. Fast 1951’de istatistiksel yak¬nsakl¬¼g¬n tan¬m¬n¬yapm¬¸st¬r.
6.2 Istatistiksel Yak¬nsakl¬k·
Bu k¬s¬mda istatistiksel yak¬nsakl¬k kavram¬verilecektir.
Tan¬m 6.2.1 (·Istatistiksel Yak¬nsakl¬k)“B N alt kümesinin kardinalitesi jBj ile gösterilmek üzere, E N olsun. E¼ger
(E) = lim
n!1
1
njfk n : k 2 Egj
limiti mevcutsa bu de¼gere E kümesinin asimptotik yo¼gunlu¼gu (k¬saca yo¼gunlu¼gu) denir ve (E) ile gösterilir. E¼ger
her " > 0 için (fn : jxn Lj > "g) = 0
gerçekleniyor ise bir x = (xn) dizisi L de¼gerine istatistiksel yak¬nsakt¬r denir. Bu durumda L say¬s¬na x dizisinin istatistiksel limiti denir” (Fast 1951).
Istatistiksel yak¬nsak diziler tüm reel de¼· gerli diziler uzay¬n¬n lineer bir altuzay¬n¬
olu¸sturur ve istatistiksel limit bu uzayda lineer bir fonksiyoneldir. Yak¬nsak diziler ayn¬limit de¼gerine istatistiksel yak¬nsakt¬r (Connor 1988).
A¸sa¼g¬daki teorem istatistiksel yak¬nsakl¬¼g¬karakterize eder.
Teorem 6.2.1Bir (xk)dizisinin L de¼gerine istatistiksel yak¬nsak olmas¬için gerek ve yeter ¸sart (xk) dizisinin bir (xnk) alt dizisi vard¬r öyle ki xnk ! L ve dizisi l de¼gerine kuvvetli A-yak¬nsakt¬r (veya kuvvetli A-toplanabilirdir) denir. Bu durumda l de¼gerine x dizisinin kuvvetli A-limiti denir” (Connor-Erdmann 2003).
Belirtilen varsay¬mlar alt¬nda bu limit tektir ve kuvvetli A-yak¬nsakl¬k kuvvetli matris metodu denilen regüler bir metodu tan¬mlar. E¼ger A negatif olmayan regüler bir matris ise A üzerindeki varsay¬mlar özellikle sa¼glan¬r.