4. A-SÜREKL· IL· IK
4.3 Reel Fonksiyonlar¬n A-Süreklili¼ gi
Bu k¬s¬mda baz¬ temel tan¬mlar hat¬rlat¬lacak olup A-sürekli fonksiyonlar¬n hangi
¸sartlar alt¬nda lineer oldu¼gu incelenecektir.
xn2 R, n = 1; 2; 3; ::: olsun. E¼ger x1+x2+xn3+:::+xn ! x0 ise xn!C x0 yaz¬l¬r. xn !C x0
ise (C; 1) lim xn= x0 ¸seklinde ifade edildi¼gi daha önce gösterilmi¸stir.
E¼ger xn !C x0 ) f(xn) !C f (x0) oluyorsa f : R ! R fonksiyonu x0noktas¬nda C-süreklidir denir. E¼ger f fonksiyonu x0 2 R noktas¬nda C-sürekli ise f fonksiyonunun f (x) = Ax + B formunda oldu¼gu daha önce gösterilmi¸stir (Buck 1948).
Bu sonuçla ba¼glant¬l¬olarak f : R ! R fonksiyonunun x0noktas¬ndaki süreklili¼ginin a¸sa¼g¬da verilen 4 tipi incelenir.
1) xn! x0 ) f(xn)! f(x0) (al¬¸s¬lm¬¸s süreklilik) 2) xn!C x0 ) f(xn)!C f (x0) (C-süreklilik) 3) xn! x0 ) f(xn)!C f (x0)
4) xn!C x0 ) f(xn)! f(x0)
1: ve 2: tür süreklilik daha önce aç¬klanm¬¸st¬r. ¸Simdi 4. tür süreklilik ile ilgili a¸sa¼g¬daki teoremi verece¼giz.
Teorem 4.3.1 f : R ! R fonksiyonu verilsin.
xn !C x0 ) f(xn)! f(x0) (4.1) olacak biçimde bir x0 2 R mevcut olsun. O halde f bir sabit fonksiyondur (Antoni-Šalát 1980).
Ispat.· (4:1)’deki ifade xn !C x0 ) f(xn) !C f (x0) olmas¬n¬ gerektirir. O halde Problem 3.2.1’den f bir do¼grusal fonksiyondur, yani f (x) = Ax + B formundad¬r.
a = x0 1, b = x0+ 1 yazal¬m. Bir fxng1n=1 = (a; b; a; b; : : :) dizisini ele alal¬m. O halde xn!C x0 oldu¼gu aç¬kt¬r.
t1 = a = x0 1 t2 = a+b2 = 2x20 = x0
t3 = 2a+b3 = 3x03 1 = x0 13 t4 = 2a+2b4 = 4x40 = x0 ...
t2n 1 = x0 2n 11 t2n = x0
Buradan (tn)! x0 oldu¼gu görülür.
f fonksiyonunun x0 noktas¬ndaki Cesàro süreklili¼ginden;
Tn = f (x1)+f (x2n)+:::+f (xn) T1 = f (x11) = f (a) T2 = f (a)+f (b)
2
T3 = 2f (a)+f (b) 3
T4 = 2f (a)+2f (b) 4
...
T2n = n(f (a)+f (b))
2n = 12(f (a) + f (b))!
C1
f (x0)bulunur.
Buradan f (a) + f (b) = 2f (x0) elde edilir.
(4:1)’den f (xn) n=1 = (f (a); f (b); f (a); f (b); : : :) yak¬nsakt¬r. Bu da
f (a) = f (b) (4.2)
oldu¼gunu gösterir. f lineer bir fonksiyon oldu¼gu için (4:2)’den f bir sabit fonksiyondur.
3. tür süreklilik, fonksiyonlar¬n süreklilik kavram¬n¬n genelle¸stirilmesi gibi gözükmektedir ancak gözüktü¼gü gibi de¼gildir. A¸sa¼g¬da verilen sonuç Posner (1961) taraf¬ndan ispatlanm¬¸st¬r.
Sonuç 4.3.1 Aregüler bir matris ve f : R ! R bir fonksiyon olsun. fxng1n=1dizisi
yak¬nsak oldu¼gunda R üzerinde A lim f(xn) mevcut olsun. O halde f , R üzerinde sürekli bir fonksiyondur (Posner 1961).
Bu sonuçla ba¼glant¬l¬olarak Problem 3.2.1’den a¸sa¼g¬daki soru ortaya ç¬kmaktad¬r:
Bahsedilen sonucu Cesàro matris yerine ba¸ska bir regüler matris alarak genelle¸stirmek mümkün müdür? Bu soruyu daha kesin bir ¸sekilde ¸söyle formüle edebiliriz.
Tan¬m 4.3.1 “A regüler bir matris olsun. E¼ger
A lim xn = x0 ) A lim f (xn) = f (x0)
ifadesi gerçekleniyor ise f : R ! R fonksiyonu x02 R noktas¬nda A-süreklidir denir”
(Antoni-Šalát 1980).
¸
Simdi ‘f fonksiyonunun A-sürekli olmas¬ f fonksiyonunun lineer bir fonksiyon olmas¬n¬gerektirir mi?’ sorusu ortaya ç¬kmaktad¬r. Basit örnekler cevab¬n genelde hay¬r oldu¼gunu göstermektedir. E¼ger A yak¬nsakl¬¼ga denk bir matris ise her sürekli fonksiyon ayn¬zamanda A-süreklidir.
Örnek 4.3.1 Av I olsun. f : R ! R, f(x) = x2 olsun.
(xn)! x ) f(xn)! f(x) olup f süreklidir.
O halde If (xn)! If(x) olmas¬
A lim f (xn) = f (x) olmas¬n¬gerektirir.
Fakat f lineer de¼gildir.
Bir sonraki teoremde A-sürekli fonksiyonlar¬n lineerli¼gi için yeterli bir ¸sart verece¼giz.
Tan¬m 4.3.2 “A lim n = a için f ng1n=1, n = 0 veya 1 (n = 1; 2; : : :) olacak biçimde bir dizi varsa regüler bir A matrisi L(a) özelli¼gine sahiptir denir” (Antoni-Šalát 1980).
Lemma 4.3.1 A regüler bir matris ve f : R ! R bir x0 2 R noktas¬nda A-sürekli bir fonksiyon olsun. O halde f fonksiyonu x0 noktas¬nda süreklidir (Antoni-Šalát 1980).
Lemman¬n ispat¬ Lemma 4.2.1’in ispat¬na benzer olarak verilebilece¼ginden burada ispat¬tekrar vermeyece¼giz.
Teorem 4.3.2 A = ( mn), 6= 0; 1 olmak üzere bir say¬s¬ için L(a) özelli¼gine sahip regüler bir matris ve f : R ! R fonksiyonu R üzerinde A-sürekli bir fonksiyon olsun. O halde f lineer bir fonksiyondur (Antoni-Šalát 1980).
Ispat.· x, y 2 R olsun. a 6= 0, 1 için A lim n = a ve n= 0 veya 1 (n = 1; 2; : : :)
f fonksiyonu ay + (1 a)x noktas¬nda A-sürekli oldu¼gu için (4:3) ve (4:4)’ten key…
x, y 2 R için
f (ay + (1 a)x) = af (y) + (1 a)f (x) (4.5)
ifadesi elde edilir. Lemma 4.3.1 ve Teorem 4.3.2’deki varsay¬mlara göre f , R üzerinde sürekli bir fonksiyondur. Ayr¬ca f fonksiyonu x, y 2 R ve a 6= 0, 1 a 6= 0 olmak üzere
g((1 a)x + ay) = (1 a)g(x) + ag(y)
fonksiyonel e¸sitli¼gini gerçekler. Bunu sa¼glayan bir f fonksiyonu lineer olmak zorundad¬r.
Bu tip fonksiyonel e¸sitliklerin iyi bilinen sonuçlar¬nedeniyle f fonksiyonunun lineer fonksiyon oldu¼gunu söyleyebiliriz (Aczél 1961).
Bu da ispat¬tamamlar.
Uyar¬ 4.3.1 Cesaro matris L(12) özelli¼gine sahiptir. Çünkü 0; 1; 0; 1; ::: dizisi 12’ye (C; 1) toplanabilirdir.
a6= 0, 1 olmak üzere Cesàro matrisine e¸sde¼ger olmayan L(a) özelli¼gine sahip regüler matrisler vard¬r. Böyle bir matris a¸sa¼g¬daki A0 matrisidir:
A0 = A0-toplanabilir olmayan 14’e (C; 1)-toplanan dizi elde ederiz.
E¼ger f : R ! R fonksiyonu bir x0 2 R noktas¬nda C-sürekli ise f fonksiyonunun lineer bir fonksiyon oldu¼gundan daha önce bahsetmi¸stik (Buck 1948). Bu iddiay¬Teorem 4.3.2 ile kar¸s¬la¸st¬r¬rsak f fonksiyonunun R üzerindeki her noktada A-süreklili¼gi varsay¬m¬ yerine bir x0 2 R noktas¬ndaki A-süreklili¼gi varsay¬m¬n¬n al¬n¬p al¬namayaca¼g¬ sorusu ortaya ç¬kar. A¸sa¼g¬daki örnek bu soruya negatif bir cevap verir.
Gerçekten
yazal¬m. O halde f sürekli fakat lineer olmayan bir fonksiyondur (Antoni-Šalát 1980).
f fonksiyonunun x = 0 noktas¬nda A-sürekli, ancak x 6= 0 için R üzerinde hiçbir noktada A-sürekli olmad¬¼g¬n¬gösterebiliriz.
Bu durumlara göre (tn) dizisinin yak¬nsakl¬¼g¬na bakal¬m.
a) (4:6)’ya göre xn 1, xn+1 1 veya xn 1, xn+1 1 elde ederiz. Her
elde edilir. Benzer bir yolla e¼ger xn 1(ve jxn+1j < 1) ise o zaman jtn ynj jynj buluruz. Gerçekten
tn = 1
2( 1 + xn+1)) jtn ynj = 1
2j 1 xnj 1
2jxn+ xn+1j = yn elde edilir.
c) xn+1 1 olsun. (4:6)’ya göre 0 < xn < 1 olup tn = 12(xn 1) elde edilir. Bu nedenle
jtn ynj = 1
2j1 + xn+1j jynj
gerçeklenir. Benzer bir yolla e¼ger xn+1 1 (ve jxn< 1j) ise jtn ynj jynj elde edilir.
d) tn= yn bulunur. (tn= 12(xn+ xn+1))
Bu nedenle her durumda n n0 için tn= 0 veya jtn ynj jynj elde edilir. yn ! 0 (n ! 1) oldu¼gu için tn! 0 (n ! 1) bulunur.
f fonksiyonunun R üzerinde x 6= 0 için hiçbir noktada A-sürekli olmad¬¼g¬n¬
gösterelim. x 6= 0 olmak üzere x 2 R alal¬m. (k 2)jxj > 1 olacak biçimde bir k pozitif tam say¬s¬seçelim. x2n 1 = kx, x2n = (k 2)x, n = 1; 2; : : : yazal¬m.
O halde aç¬kça A lim xn= x ve ayn¬zamanda tn = 0, n = 1; 2; : : : elde edilir. Bu nedenle A lim f (xn) = 0 6= f(x) bulunur. Gerçekten
(Ax)1 = x1+x2 2, (Ax)2 = x2+x2 3, : : :, (Ax)n= xn+x2n+1 x2n 1 = kx, x2n = (k 2)x olup
(xn) = (kx; (k 2)x; kx; (k 2)x; : : :) yaz¬l¬r ve (Ax)n = (x; x; x; : : :) ! x elde edilir.
Böylece A lim xn= x6= 0 bulunur.
(A(f (xn)))n = tn = 12(f (xn) + f (xn+1)) = 0, (n = 1; 2; : : :) olup f , x 6= 0 için A-sürekli de¼gildir.
Tan¬m 4.3.3 “a 2 (0; 1), b 6= 0, b 6= 1, s¬f¬r olmayan tüm p, q tamsay¬lar¬ için
a 1 a
p 6= 1 bb
q olmak üzere s¬ras¬yla a, b say¬lar¬na A-yak¬nsak olan 0 ve 1’lerin f ng1n=1, f ng1n=1 dizileri mevcutsa A regüler matris toplanabilme metodu (G) özelli¼gine sahiptir denir” (Antoni 1986).
Lemma 4.3.2 a 6= 0, a 6= 1 olmak üzere T , bir a say¬s¬na 0 ve 1’lerin en az bir dizisini toplayan regüler bir matris toplanabilme metodu olsun. f , en az bir noktada T-sürekli bir fonksiyon olsun. O halde f sürekli bir fonksiyondur (Antoni 1986).
Ispat.· f fonksiyonu bir z0 noktas¬nda T -sürekli olsun. f fonksiyonunun bir x noktas¬nda sürekli olmad¬¼g¬n¬varsayal¬m. Böylece bir un ! 0 dizisi vard¬r öyle ki f (x + un) = y 6= f(x) (ayn¬zamanda y +1 veye 1 olsun).
f ng1n=1 dizisi T lim n = a olacak biçimde 0 ve 1’lerin bir dizisini göstersin.
tn ! 0 olmak üzere her ftng1n=1 dizisi için
xn = n(x + tn) + (1 n) z0 ax
1 a
dizisi z0’a T -toplanabilen bir dizidir. Özellikle x0n = n(x + un) + (1 n) z01 aax için
T lim f (x0n) = ay + (1 a)f z0 ax
1 a
elde edilir.
Ancak x00n = nx + (1 n) z01 aax için
T lim f (x00n) = af (x) + (1 a)f z0 ax
1 a
elde edilir.
ffonksiyonu z0noktas¬nda T -sürekli oldu¼gu için her iki limit de ayn¬(f (z0))de¼gerine sahiptir. Buradan f (x) = y oldu¼gunu ç¬karabiliriz. Ancak bu durum varsay¬mla çeli¸sir. Böylece ispat tamamlan¬r.
A¸sa¼g¬daki teoremi ispats¬z olarak verece¼giz.
Teorem 4.3.3 A, G özelli¼gine sahip regüler bir toplanabilme metodu olsun ve f fonksiyonu en az bir noktada A-sürekli olsun. O halde f lineer bir fonksiyondur (Antoni 1986).
A¸sa¼g¬daki örnekte en az bir noktada A-sürekli lineer olmayan fonksiyon için G özelli¼gi olmayan toplanabilme metodunun bir örne¼gi verilmi¸stir.
Örnek 4.3.3 b2k+1;4k+1 = b2k+1;4k+4 = 12, b2k;4k+3 = b2k;4k+4 = 12, k = 0; 1; 2; : : : ve bmn = 0 olmak üzere B = (bmn) matrisi verilsin. Bu matrisin regüler bir toplanabilme matrisi oldu¼gu aç¬kt¬r.
t2k+1 = 12(x4k+1+ x4k+4) ve t2k = 12(x4k+3+ x4k+4), k = 0; 1; 2; : : : olmak üzere bir fxng1n=1 dizisi B matrisi taraf¬ndan ftng1n=1 dizisine dönü¸stürülür. Her bir 0 ve 1’lerin B-toplanabilir bir fzng1n=1 dizisi 0;12; 1 kümesinin bir eleman¬na B-limitlenebilirdir. 4k + 2 formundaki yerlerdeki terimler B-limit üzerinde hiçbir etkiye sahip olmad¬¼g¬ için B-limit de¼gerleri 12’ye e¸sit olan 0 ve 1’lerin sonsuz çok-lukta dizileri vard¬r. Ama her iki p, q tamsay¬lar¬için 1p = 1q e¸sitli¼gi geçerlidir. Bu düzgün sürekli ve f (0) = 0 olan lineer olmayan key… bir f tek fonksiyonu olmak için yeterlidir. Böyle bir fonksiyon x = 0 noktas¬nda süreklidir fakat lineer bir fonksiyon de¼gildir (Antoni 1986).
A¸sa¼g¬da verilenler Tan¬m 4.3.1’in basit sonuçlar¬d¬r.
Uyar¬4.3.2 Bir A Toeplitz metodu verilsin. Tüm A-sürekli fonksiyonlar¬n kümesi tüm lineer fonksiyonlar¬içerir.
Uyar¬4.3.3E¼ger f birim metod anlam¬nda sürekli (yani I-sürekli) ise f fonksiyonu süreklidir.
Dahas¬Toeplitz metodlar¬n¬n geni¸s bir s¬n¬f¬için A-süreklilik süreklili¼gi gerektirir.
¸
Simdi burada Iwi´nski’nin A-süreklili¼ge ili¸skin iki sonucunu verece¼giz.
Teorem 4.3.4 A regüler bir Toeplitz metodu olsun. E¼ger f fonksiyonu A-sürekli ise o halde f fonksiyonu al¬¸s¬lm¬¸s anlamda süreklidir (Iwi´nski 1972).
Ispat.· Aksini varsayal¬m. f fonksiyonu bir x0 noktas¬nda sürekli olmas¬n. ·Ilk olarak (x0)noktas¬na yak¬nsak (xn)ve (yn)dizileri mevcut olsun öyle ki f (xn)! a ve f (yn) ! b, a 6= b olsun. Uyar¬4.3.2’den genelli¼gi kaybetmeden a = 0 ve b = 1 varsayabiliriz.
Do¼gal say¬lar¬n (nk)ve (nk0)alt dizileri fnk: k 2 N0g [ nk0 : k0 2 N0 = N0 olacak biçimde seçilsin. Bir regüler A Toeplitz metodu için A-toplanabilir olmayan bir ("n) dizisi vard¬r öyle ki
"n=f 0, n = nk için 1, n = nk0 için
, k = 0; 1; :::
olur (Mazur-Orlicz 1954).
¸
Simdi (tn) dizisi a¸sa¼g¬daki gibi tan¬mlans¬n.
tn =f xk, n = nk için yk, n = nk0 için
, k = 0; 1; :::
(tn) dizisi yak¬nsak oldu¼gu için (limiti x0) ayn¬zamanda A-toplanabilirdir.
(f (tn)) dizisi cn ! 0 için f(tn) = "n+ cn formunda yaz¬labilir. Bu nedenle (f (tn)) dizisi A-toplanabilir de¼gildir. Bu da hipotezle çeli¸skilidir.
Ispat¬ tamamlamak için ¸· simdi bir (xn) dizisi varsayal¬m öyle ki xn ! x0 ve f (xn) ! 1 olsun. A metodu regüler oldu¼gundan (f (tn)) dizisi A-toplanabilir olmayacak ¸sekilde (sonsuza A-toplanabilir)
x0; :::; x0; x1; :::; x1; :::; xk; :::; xk; :::
formunda yak¬nsak olan bir (tn) dizisini bulmak kolayd¬r. Bu nedenle f , x0
noktas¬nda sürekli olmal¬d¬r.
Teorem 4.3.5 E¼ger bir f fonksiyonu her regüler Toeplitz metodu için A-sürekli ise o halde f lineer bir fonksiyondur (Iwi´nski 1972).
Ispat.· A¸sa¼g¬da yer alan örnek teoremi gerektirir.
Örnek 4.3.4 Öyle bir regüler bir A Toeplitz metodu vard¬r ki sadece A-sürekli fonksiyonlar lineer fonksiyonlard¬r. A a¸sa¼g¬daki gibi tan¬mlans¬n.
A3k((tn)) = rt3k = rt3k+1+ t3k+2
A3k+1((tn)) = A3k+2((tn)) = t3k+1 , k = 0; 1; :::; 0 6= r 6= 1
E¼ger (tn) dizisi k = 0; 1; : : : için t3k = sk, t3k+1 = bk, t3k+2 = (1 r)bk+ rsk + dk formunda yaz¬labilirse A-toplanabilir oldu¼gunu do¼grulamak kolayd¬r.
(sk) key… bir dizi, (bk) yak¬nsak bir dizi ve (dk) 0’a yak¬nsak bir dizi olsun. f fonksiyonu A-sürekli oldu¼gundan her (sk), (bk), (dk) dizisi için bir (dk0) ! 0 dizisi bulabiliriz öyle ki
f ((1 r)bk+ rsk+ dk) = (1 r)f (bk) + rf (sk) + dk0
ifadesi gerçeklenir.
Özellikle bk = b ve dk = 0 (k = 0; 1; :::) olsun ve (sk) dizisi R üzerinde yo¼gun olsun.
Her reel s için (nk) indislerinin bir dizisini bulabiliriz öyle ki snk ! s gerçeklenir.
Teorem 4.3.4’den f fonksiyonunun sürekli oldu¼gu ve dn0
k ! 0 oldu¼gu bilindi¼ginden f ((1 r)b + rs) = (1 r)f (b) + rf (s)
elde edilir. Genelli¼gi kaybetmeden f (0) = 0 alabiliriz. Basit tümevar¬mlar sonuçland¬r¬yor ki key… reel x, y’ler için f (x + y) = f (x) + f (y) özde¸sli¼gi geçerlidir. f fonksiyonu sürekli oldu¼gu için lineer olmal¬d¬r (Iwi´nski 1972).