İ RAN - 2013 MATEMAT İ K A NAB İ L İ MDALI HAZ İ SANS TEZ İ İ K ALTGRUPO İ DLER EROL MUTLU YÜKSEK L İ L İ MLER İ ENST İ TÜSÜ İ NÖNÜ ÜN İ VERS İ TES İ FEN B T.C LOKAL TOPOLOJ

T.C

İNÖNÜ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

LOKAL TOPOLOJİK ALTGRUPOİDLER

EROL MUTLU

YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK ANABİLİMDALI

HAZİRAN - 2013

T.C

İNÖNÜ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

LOKAL TOPOLOJİK ALTGRUPOİDLER

EROL MUTLU

YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK ANABİLİMDALI

HAZİRAN - 2013

Tezin başlığı : Lokal Topolojik Altgrupoidler Tezi hazırlayan : Erol MUTLU

Sınav tarihi : 27.06.2013

Yukarıda adı geçen tez jürimizce değerlendirilerek Matematik Anabilim Dalında yüksek Lisans Tezi olarak kabul edilmiştir.

Sınav jüri üyeleri

Tez Danışmanı : Yrd. Doç. Dr. A. Fatih ÖZCAN ……….

İnönü Üniversitesi

Prof. Dr. İlhan İÇEN ……….

İnönü Üniversitesi

Yrd. Doç. Dr. M. Habil GÜRSOY ………

İnönü Üniversitesi

……/…../2013

Enstitü Müdürü

i ONUR SÖZÜ

Yüksek lisans tezi olarak sunduğum ‘‘Lokal Topolojik Altgrupoidler’’ başlıklı bu çalışmanın bilimsel ahlak ve geleneklere aykırı düşecek bir yardıma başvurmaksızın tarafımdan yazıldığını ve yararlandığım bütün yapıtların hem metin içinde hem de kaynakçada yöntemine uygun biçimde gösterilenlerden oluştuğunu belirtir, bunu onurumla doğrularım.

Erol MUTLU İmza

ii ÖZET Yüksek Lisans Tezi

LOKAL TOPOLOJİK ALTGRUPOİDLER Erol MUTLU

İnönü Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü

Matematik Bölümü 49+v sayfa

2013

Tez Danışmanı: Yrd. Doç. Dr. A. Fatih ÖZCAN

Dört bölümden oluşan bu tezin, birinci bölümünde gerekli olan temel tanım ve teoremler verildi. Bu bölümde topolojik grup ve grupoidin temel kavramı olan, kategori kavramı ile grupoidin tanımı ve bazı temel kavramlar verildi.

İkici bölümde demet(sheaf) temel tanım ve teoremleri verildi. Bu kavram öndemet, kümelerin demeti, harita, atlas kavramları ile beraber incelendi.

Üçüncü bölümde topolojik grupoidler, grup-grupoidler ve topolojik grup-grupoidler tanımları verildi. Ayrıca s ve r demetlerinin tanımları ile bu ifadeler arasındaki ilişkide incelendi.

Son bölümde ise Lokal denklik bağıntısı ile lokal ve global altgrupoid tanımlarına yer verildi. Bu tanımlardan yararlanılarak Lokal Alt grup-grupoidin inşaatı oluşturuldu.

ANAHTAR SÖZCÜKLER: Kategori, Grupoid, Esas grupoid, Demet, Lokal Denklik Bağıntısı, Lokal Altgrupoid, Topolojik Grup-grupoid, Lokal ve Global altgrupoidler, Lokal Alt grup-grupoid.

iii

ABSTRACT Master's Thesis

LOCAL TOPOLOGICAL SUBGROUPOID Erol MUTLU

Inonu University

Graduate School of Natural and Applied Sciences Department of Mathematics

49+v pages 2013

Supervisor: Asst. Prof. Dr. A. Fatih OZCAN

This thesis is composed of four parts, the first part is the necessary basic definitions and theorems. This section is the core concept of topological groups and groupoids, category, description and some basic concepts were given to the concept of groupoid.

Sheaf is the second part of the theory of definitions and theorems. This concept presheaves, sheaf of sets, maps, atlas is combined with the concepts.

In the third chapter of topological groupoids, group-groupoids and topological group- groupoids given definitions. s and r sheaves also examined the relationship between the definitions of these statements.

In the last section in the local equivalence relation given by the definitions of local and global subgrupoid.These definitions are created using local sub group-groupoid construction.

KEY WORDS: Category, Groupoid, Fundamental groupoid, Sheaf, Local equivalence relation, The local sub-groupoid, Topological group-groupoids, Local and Global sub- groupoids, Local sup group-groupoid

iv TEŞEKKÜR

Tez konumu veren ve çalışmalarımın her aşamasında bilgi ve tecrübesiyle hatalarımı gören ve bu konuda yardımlarını esirgemeyen sayın danışman hocam Yrd. Doç. Dr. A. Fatih ÖZCAN’a teşekkürlerimi sunarım. Ayrıca ders aşamasında bilgilerini benimle paylaşan sayın Prof. Dr. İlhan İÇEN’ e, Yrd. Doç. Dr. M. Habil GÜRSOY’a ve Yrd. Doç. Dr. M. Kemal ÖZDEMİR’e ayrıca çalışmalarım sırasında desteklerini esirgemeyen sevgili eşime ve aileme teşekkür ederim.

v

İÇİNDEKİLER

KABUL ve ONAY

ONUR SÖZÜ... i

ÖZET... ii

ABSTRACT... iii

TEŞEKKÜR………. iv

İÇİNDEKİLER... v

GİRİŞ... 1

1. TEMEL TANIM VE TEOREMLER... 2

1.1. Topolojik Grup ... 2

1.2. Kategori………... 4

1.3. Grupoid ... 6

1.4. Esas Grupoid ... 9

2. DEMETLER ... 13

2.1. Öndemetler ... 13

2.2. Demetler………... 14

3. TOPOLOJİK GRUP-GRUPOİDİ ... 20

3.1. Topolojik Grupoidler……….. 20

3.2. Grup-Grupoidler ... 23

3.3. Topolojik Grup-Grupoidler ... 26

3.4. Dahili Kategori ... 28

3.5. r – demetleri ... 32

3.6. s- demetleri ... 34

4. LOKAL ALT GRUP-GRUPOİD…………. ... 39

4.1. Lokal Denklik Bağıntısı ... 39

4.2. Lokal ve Global Altgrupoidler ... 40

4.3. Lokal Alt Grup-grupoid İnşaatı…... 44

5. KAYNAKÇA... . 46

6. ÖZGEÇMİŞ ... 49

1 GİRİŞ

Bu tezde amaç matematiğin iki temel teorisi; topolojik grup-grupoidler ile demetler arasındaki ilişkiyi ve lokal topolojik alt grupoidleri incelemektir.

İlk bölümde temel kavramlar üzerinde durularak kategori ve grupoid kavramı verildi. Grupoidlerle ilgili örnekler ele alındı.

İkinci bölümde öndemet ve demet tanımları ve bu iki ifade arasındaki ilişkiler incelendi.

Üçüncü bölümde topolojik grupoidler, grup-grupoidler ve topolojik grup- grupoidler tanımları verildi. Ayrıca s ve r demetlerinin tanımları ile bu ifadeler arasındaki ilişkide incelendi.

Son bölümde ise Lokal denklik bağıntısı ile lokal ve global altgrupoid tanımlarına yer verildi. Bu tanımlardan yararlanılarak Lokal Alt Grup-grupoid İnşaatı tanımı oluşturuldu.

G, X üzerinde bir grup-grupoid ve U ise X uzayının bir açık alt kümesi olsun.

, | alt grup-grupoidinin U-geniş alt grup-grupoidlerinin ailesi olsun.

: ( ) → → ( )

funktoru elde edilir. Dolayısıyla , X uzayı üzerinde bir öndemet olur.

öndemetinden

ℒ = ⋃ _∈#ℒ = ⋃ _∈# ( , ) : ∈ ⊆ ç !, ∈ ℒ ( )"

ℒ demeti elde edilebir. Bu demetin global kesitinede G grup-grupoidin bir lokal alt grup-grupoidi denir.

2 BÖLÜM 1

TEMEL KAVRAMLAR

1.1. Topolojik Grup

Tanım 1.1.1.: G bir grup ve (G, τ) bir topolojik uzay olsun. Eğer G grubundaki

m: G x G G

( , b) + b grup işlemi ve

n: G G

−

ters fonksiyonu sürekli ise (G, m, τ) üçlüsüne topolojik grup denir. Burada G x G üzerinde çarpım topolojisi vardır[1 ,2 ,3 ].

Tanım 1.1.2.: G bir grup olsun

δ:GxG G ( ,b) -b ile tanımlanan δ fonksiyonuna fark fonksiyonu denir[ 1 ].

Önerme 1.1.1. Bir G grubu üzerinde bir topoloji verilsin. m ve n grup yapı dönüşümlerinin sürekli olması için gerek ve yeter şart

δ:GxG G ( ,b) -b fark fonksiyonunun sürekli olmasıdır[ 1 ].

Uyarı 1.1.1. Bir G topolojik grubunda

n:G→G a→ −a fonksiyonu bir homeomorfizmdir.

Örnek 1.1.1. (IR,+) toplamsal grubu alışılmış topolojiye göre bir topolojik gruptur.

Burada IR deki bir ( ,b) açık aralığı için

δ(a,b) = {x-y∈ IR| a<x-y<b}

olduğundan

3

$: × → ( , &) → − &

fonksiyonu süreklidir.

Taım 1.1.3.:G ve H birer topolojik grup olsun. Eğer (: → dönüşümü sürekli ve ,

x y G

∀ ∈ için (f x+y)= f x( )+ f y( ) ise f ye topolojik grupların morfizmi denir[1].

Tanım 1.1.4. G ve H topolojik gruplar, (: → bir morfizm ve x0∈ ⊆U G ^bir açık komşuluk olsun. Eğer a b U+ ∈ olacak şekilde a b U, ∈ için

( ) ( ) ( )

f a+ =b f a + f b oluyorsa, f U: →H sürekli dönüşümüne topolojik grupların bir lokal homomorfizmi denir[ 1].

Tanım 1.1.5.: X bir topolojik uzay olmak üzere başlangıç noktaları x ve bitiş noktaları y olan ), * eğrileri verilsin ^{s t, ∈}

[ ]

+: 00,11 × 00,11 →

fonksiyonuna ) dan * ya (uç noktalarına göre) homotopi ve ), * eğrilerine de (uç noktalarına göre) homotopik eğriler denir ve )~* yazılır[ 1].

Bir X topolojik uzayında eğrilerin uç noktalarına göre homotopik olma bağıntısı bir denklik bağıntısıdır. Bu denklik bağıntısına göre bir ) eğrisinin denklik sınıfı 0)1 ile gösterilir ve ) nın homotopi sınıfı olarak adlandırılır[ 1].

Önerme 1.1.2. Bir topolojik uzayında homotopi bağıntısı ile ilgili aşağıdaki ifadeler geçerlidir.

3) 456 ): 00,11 → eğrisi ve 7(0) = 0 ve 7(1) = 1 olacak şekilde sürekli bir 7: (0,1) → 00,11 fonksiyonu için )7~ ) ,

33) )_:~ )_; ve *_:~*_; 5, *_: )_:~*_; )_; , 333) (<*)) ≠ <(*)) fakat (<*))~<(*)) ,

3>))(0) = ? ) (1) = / olan bir ): 00,11 → eğrisi için )1^x~)~ 1^y)(Burada 1 ve 1_@ sırasıyla x ve y noktalarındaki birim eğrileri temsil etmektedir).

>) )_:~)_; ise )_:^A;~)_;^A; ,

4

>3) )(0) = ? )(1) =y olan bir ): 00,11 → eğrisi için ))^A;~1yve )^A;)~1x

dir.

Tanım 1.1.6.: X bir topolojik uzay ve ∈X olsun. noktasındaki tüm kapalı eğrilerin sınıflarının B_;( , ) kümesi

B_;( , ) × B_;( , ) → B_;( , ), (0*1,0)1) → 0*, )1

işlemine göre bir gruptur. Bu gruba noktasındaki esas (temel) grup denir [ 2].

Burada bir X uzayının noktasındaki B_;( , ) esas grubunun noktasına bağlı olduğuna dikkat edilmelidir. Ancak X eğrisel irtibatlı olması halinde X in tüm esas grupları birbirine izomorftur[ 2].

1.2. Kategori

Tanım 1.2.1.: Bir C kategorisi, nesnelerin kümesi Ob(C), morfizmlerin (okların) kümesi Mor(C), kaynak dönüşümü s:Mor(C)→Ob(C), hedef dönüşümü t:Mor(C)→ Ob(C) ,nesne dönüşümü 1^x: &(F) → GH6(F), →1^x ve

∙: Mor(C)^s×^tMor(C)=

{

}

kümesi üzerinde tanımlı kısmi çarpma işleminden oluşur. Bu dönüşümler aşağıdaki şartları sağlar.

KAT 1) ∀( , &) ∈ GH6(F)_K×_LGH (F) için s(b.a)=s(a) ve t(b.a)=t(b) KAT 2) ∀a b c, , ∈Mor C( ) ile s(c)=t(b) ve s(b)=t(a) için c.(b.a)=(c.b).a KAT 3) ∀ ∈x Ob C( ) için ,(1 ) = = (1 )

KAT 4) ∀ ∈a Mor C( ) için 1_K(M) = ve 1_L(M) = dır[ 4].

Uyarı 1.2.1 Her bir nesne birim morfizmdir, yani Ob(C) ⊂Mor(C) dir.

Örnek 1.2.1. Kümeler ve kümeler arasındaki dönüşümler Set kategorisini oluşturur. Bu kategorinin nesne kümesi, Ob(Set)=N | &56 !üO P, morfizmlerinin kümesi Mor(Set)=N(|(: → Q bir fonksiyon ve , Q ∈ &( )P ile tanımlıdır. ( ∈ GH6( )( , Q), Z ∈ GH6( )(Q, [), olmak üzere ,(() = , (() = Q, 1 : → ,

∙ (Z, () = Zo(: → Q şeklinde tanımlıdır.

5

Örnek 1.2.2: Topolojik uzaylar ve onlar arasındaki sürekli dönüşümler, fonksiyonların bileşke işlemi ile birlikte, Top kategorisi oluştururlar. Burada

Ob(TH7) = N | &56 H7H\H]5! ^_ /P Mor(Top)= (`(: sürekliuuuuuuurY"

ile tanımlanır.

Örnek 1.2.3 Top kategorisinde, nesne kümesi topolojik gruplar ve morfizm kümesi de topolojik grup morfizmi alınırsa, topolojik grupların TGrp kategorisi elde edilir.

Tanım 1.2.2.: C ve D birer kategori olsun. Aşağıdaki şartlar sağlanıyor ise D kategorisine C’nin bir alt kategorisi denir.

1. Ob(D) ⊂Ob(C)

2. Her bir , /b &(c) için D( , /)⊆C( , /) dir.

3. D kategorisindeki morfizmlerin kompozisyonu, C kategorisindeki morfizmlerin kompozisyonu ile aynıdır.

4. Her bir b &(c) 5ç5d c deki lx birim morfizmi, C deki birim morfizm ile aynıdır [ 4].

D kategorisi C kategorisinin bir alt kategorisi olmak üzere eğer, ∀x y, ∈Ob D( ) nesne çifti için GH6(c)( , /) = GH6(F)( , /) ise D ye tam (full) alt kategori ve Ob(D)=Ob(C) ise D ye geniş alt kategori denir[ 4].

Tanım 1.2.3: C ve D iki kategori olsun. C nin her bir nesnesini D nin bir nesnesine, C nin her bir morfizmini D nin bir morfizmine karşılık getiren ve aşağıdaki iki şartı sağlayan F:C→ c dönüşümüne (kovaryant) funktor denir[ 4].

F1) ∀ ∈x Ob C( ) için F(1_x)=1_F(x)

x F(x)

1x 1F(x)=F(1x)

x F(x)

6 F2) ∀ , & ∈ GH6(C) için F (a.b)=F(b) F(a)

x F(x)

F(a)

y F(y) b F(b)

z F(z)

Uyarı 1.2.2: F funktoru ∀a,b∈ F için F(a.b)=F(b)F(a) şartını sağlıyorsa F ye kontravaryant funktor denir.

Örnek 1.2.4. ⋃: Grp → dönüşümü bir funktordur. Her G grubunun grup yapısını ihmal ederek⋃G kümesine ve Her (:G→ H grup homomorfizmini, kümeler arasındaki

⋃(: ⋃G → ⋃ dönüşümüne götüren bu funktora unutkan funktor denir.

Örnek 1.2.5. C bir kategori olmak üzere C nin her bir x nesnesi için 1g(h)=X ve C nin her bir f:X→ Y morfizmi için 1C(f)=f şeklinde tanımlanan 1C:C→ C dönüşümüne birim funktor denir.

1.3. Grupoid

Tanım 1.3.1.: G bir kategori olsun. Her bir g∈ Mor(G) morfizmi için bir g^-1 tersi var ve aşağıdaki şartlar sağlanıyor ise G ye bir grupoid denir [ 5, 6, 7].

1.s(g)= t(g^-1) ve t(g)=s(g^-1) 2.g^-1g=1s(g) ve gg^-1=1t(g)

Yani bir grupoid, tersi olan morfizmlerin Mor(G) kümesiyle verilen bir kategoridir.

Nesnelerin Ob(G) kümesi ve dört yapı dönüşümü;

s

Mor(G)s×tMor(G) ^.→Mor(G) t Ob(G) →^1x Mor(G)

s ve t dönüşümleri, her bir g∈Mor(G) morfizmi için; onun kaynağı s(g) ve hedefi t(g) ile verilir. . dönüşümü, s(f)=t(g) şartını sağlayan f,g∈ Mor(G) morfizmlerinin herhangi

7

bir çifti için bu çiftlerin kısmi çarpması f.g şeklinde tanımlanır. Sonuç olarak I_x dönüşümüne birim dönüşüm denir ve x∈ &( )/

1x:x→1x

özdeş morfizmi karşılık getirir.

Bu dönüşümler aşağıdaki özdeşlikleri sağlamalıdır.

1. s(1x)=t(1x) 2. (f.g).h=f.(g.h) 3. s(f.g)=s(g) 4. f.1_s(f)=f_y 5. t(f.g)=t(f) 6. 1_s(f).f=f

ve her bir f∈ MorG(x, y) için f.g=1^y ve g.f=1x olacak şekilde bir g∈ MorG(y, z) vardır 0241.

Tanım 1.3.2.: G bir grupoid ve N⊂G olsun. Aşağıdaki şartlar sağlanıyorsa N’ye G’nin altgrupoidi denir.

N1) s,t sırasıyla G ‘nin kaynak ve hedef dönüşümleri olmak üzere s(N)⊆Ob(N) ve t(N) ⊆Ob(N)

N2) Her ∈Ob(N) için 1^x∈Mor(N)

N3) N kısmi çarpma altında kapalıdır06,8,9,10,111.

Tanım 1.3.3.: N, G grupoidinin alt grupoidi olsun.

1) Eğer &(u) = &( ) ise N ye G nin geniş (wide) altgrupoidi denir.

2) Eğer her bir , / ∈ &(u)için Mor(N)(x,y)=Mor(G)(x,y) ise N ye G nin tam (full) altgrupoidi denir.

3) Eğer N geniş ve her bir x,y∈ &(u), v ∈ GH6(u)( , ) ve Z ∈ GH6( )( , ) için Z vZ^-1∈ GH6(u)(/, /) ise N ye G nin normal altgrupoidi denir [6,8,9,10].

Tanım 1.3.4.: G=(Mor(G),Ob(G),s,t,1x,∙) bir grupoid olsun. Her x,y∈ &( ) için Mor(G)(x,y) =

{

}

8

Tanım 1.3.5.: Her x,y∈ &( ) için Mor(G)(x,y) bir tek elemana sahip ise G ye tamamen geçişmelidir denir[ 8].

Tanım 1.3.6.: Ob(G), açık U kümelerinin bir tabanına sahip öyle ki G nin U ya kısıtlanması geçişmeli ise G ye yerel geçişmelidir denir[ 8].

G=(Mor(G),Ob(G),s,t,1_x,.) bir grupoid ve a∈ &( ) olsun. Mor(G)(a,y) ≠ φ olacak şekildeki G nin bütün / ∈ &( ) nesnelerinin M^a tam alt grupoidini alalım.

, / ∈ &( ) olduğunda bazı ( ∈ GH6( )( , ) ve Z ∈ GH6( )( , /) için Z. ( fonksiyonu tanımlı olduğunda, GH6( )( , /) boştan farklıdır. Böylece G^a geçişmelidir ve açıkça G nin en geniş geçişmeli alt grupoididir.

Tanım 1.3.7.: G₁ ve G₂ iki grupoid olsun. Grupoidlerin φ: ¹→ G² funktoru, &(φ):

Ob(G1)→ Ob(G²) ve GH6(φ): Mor(G¹) → Mor(G²) morfizminden oluşur. Bu funktora Grupoid morfizmi denir ve aşağıdakiler sağlanır[10].

1) Her x∈ &( )5ç5d GH6(φ)( 1 _x)=1_{y z({)( )|}

2) Her Z ∈ GH6(G¹) için GH6(φ)(s¹(Z))=s²(GH6(φ)(Z)) ve (GH6(φ)(t,( Z))=t²(GH6(φ)(Z))

3) Her (, Z∈Mor(G¹) ∋ ,_;(() = ;(Z) ve ,_~•GH6(€)(()• = _~(GH6(€)(Z)) için GH6(φ)((. Z) = GH6(φ)((). GH6(φ)(Z) şartlarını sağlar.

Örnek 1.3.1. G_i ler birer grupoid olsun. Nesne kümesi Ob(Grd)=

{

Örnek 1.3.2. X bir küme, K bir grup olsun. X×K×X , X üzerinde bir grupoiddir.

Gerçekten kaynak dönüşümü üçüncü faktör üzerine izdüşümü ve hedef dönüşümü birinci faktör üzerine izdüşüm olarak tanımlanır. Yani s(x,g,y)=y, t(x,g,y)=x şeklinde tanımlıdır. Birim dönüşüm 1 ( , , ) ve kısmi çarpma işlemi ise (z,h,y).(y,g,x)=(z,h.g,x) şeklinde tanımlanır. Ayrıca (y,g,x) in tersi (x, g^-1,y) ile verilir.

Buna K grubu ile X üzerinde trival grupoid denir.

9

Örnek 1.3.3. X bir küme olmak üzere ƒ ⊆ × denklik bağıntısı X üzerinde bir grupoiddir. Burada morfizmlerin kümesi Mor(R)=R={( , /)| , / ∈ } ve nesnelerin kümesi Ob(R)=X olmak üzere hedef ve kaynak dönüşümleri sırası ile

s:R→

(x,y)→ ,( , /) = , : ƒ →

( , /) → ( , /) = /, ters dönüşüm

5: ƒ → ƒ

( , /) → ( , /)^A;= (/, ), nesne dönüşümü

„: → ƒ

→ 1 , ve kısmi çarpma işlemi

O: ƒ × ƒ → ƒ ( , /), (/, _) → ( , _) şeklindedir.

1.4. Esas Grupoid

X topolojik uzay ve r ∈ ƒ olmak üzere p:[0,r]→ X, p(0)=x, p(r)=y sürekli fonksiyonlarına x’i y’ye birleştiren, uzunluğu r olan eğri denir. Eğer q,y’yi z’ ye birleştiren uzunluğu s olan diğer bir eğri ise

<=… 7( ), 0 ≤ ≤ 6‡( − 6), 6 ≤ ≤ 6 + ,

fonksiyonu, uzunluğu r+s olan x’i z’ye birleştiren bir başka eğridir. Bu γeğrisine p ve q eğrilerinin çarpımı denir ve p.q ile gösterilir. Bu şekilde tanımlanan eğrilerin çarpımı birleşimli ve birim elemanı sıfır eğrisidir. Dolayısıyla nesneler kümesi X olan PX kategorisi tanımlanabilir, burada Ob(PX)=X ve her x,y∈X için Mor(PX)(x,y) kümesi başlangıç noktası x ve bitim noktası y olan eğrilerin sınıfıdır. Kısmi çarpma işlemi ise eğrilerin çarpım işlemidir[6,8].

10

Tanım 1.4.1.: πX x y PX x y( , ), ( , )’nin denklik sınıflarının kümesi olsun. Aynı r uzunluğundaki a,b∈PX(x,y) eğrilerini göz önüne alalım a’dan b’ye q uzunluğunda uç noktalarına göre homotopi

i) s∈[0,r] için F (s,0)=α(s) ve F(s,q)=β(s) ve ii) t∈[0,q] için F(0,t)=x ve F(r,t)=y

şartlarını sağlayan

F:[0,r]×[0,q]→^X dönüşümüdür. Böylece π X bir grupoiddir[8,12].

Dikkat edilmelidir ki her bir t∈[0,q] için F_t:s→F(s,t) eğrisi PX(x,y)’de bir eğridir. (F_t) ailesi F_o=α ve F₁=β arasında ‘eğrilerinin sürekli ailesi’ olarak düşünülebilir. Aksi takdirde F’nin α’dan β içinde bir ‘deformasyon’ olduğunu düşünebiliriz.

F, a’dan b ye uç noktalarına göre homotopi ise F: a~b gösterimi kullanacağız.

a’dan a’ya sıfır uzunluğunda tek bir homotopi vardır. Eğer F: a~b, 1 uzunluğundaki bir homotopi ise –F(s,t)→F(s,q-t) ile tanımlı b~a, bir homotopidir. Eğer a,b ve c eğriler r uzunluğunda olduğunda F: ~b, G:b~c sırasıyla q ve ‡^′ uzunluğunda ise F ve G’nin çarpım G+F:[0,r]x[0,q+‡^′]→^X

(s,t)→ … +(,, ), 0 ≤ ≤ ‡ (,, − ‡), ‡ ≤ ≤ ‡ + ‡^′ şeklinde tanımlıdır ve süreklidir.

Ayrıca ~c bir homotopidir. ve b aynı uzaklıkta eğriler olmak üzere, eğer F: ~b bir homotopi var ise uç noktalarına göre homotopiktir denir ve ~b şeklinde gösterilir. Eğrilerin durumunda uç noktalarına göre homotopi yerine kısaca homotopi’yi kullanacağız. Önceki paragraftan açıktır ki “~” bir eşdeğerlik bağıntısıdır.

F[0,r]x[0,q]→^X, ~b bir homotopi olsun. Bu takdirde 1 uzunluğunda F :a¹ b homotopisi vardır. Yani;

+^′: 00, 61 × ‰ → (s,t)→^F(s,qt)

Bundan sonra uzunluğu 1 olan homotopilerle ilgileneceğiz. F_t bir eğri ve t→Ft, Ft’ye kısıtlanmış olduğunda 1 uzunluğunda bir F homotopisini bir t→F_t fonksiyon olarak düşünürüz. Eğer F_t, ~b bir homotopi ise F1 t₋ ’de b~ bir homotopidir.

11

Her bir r≥0 reel sayısı ve x∈X için, x de r uzunluğundaki sabit eğriyi r_x ile gösterelim. Karışıklık olmaması için r_x kısaca r ile gösterilir. Özellikle her bir a eğrisi ve r≥0 için a.r,r.a iyi tanımlıdır.

Lemma 1.4.1: | |=|b| ve |c|=|d| olmak üzere ,b∈PX( ,y) ve c,d ∈ PX (y,z) olsun a) Eğer ~b ise ^A;~&^A;,

b) Eğer ~b ve c~d ise c. ~d.b, c) Her biri r≥^{0 için} 6 ~ 6 [8].

Lemma 1.4.2: Eğer a∈PX(x,y) ve |a|=r ise ^A; ~26 ve ^A;~26_@ olur [8].

Şimdi değişik uzunluklardaki eğriler arasında bir denklik bağıntısı tanımlansın.

a,b∈PX(x,y) olsun.|a|+r=|b|+s ve ra ile rb homotopik olacak şekilde r,s>0 reel sayıları varsa a ve b denktir denir. Bu bağıntı homotopiden dolayı açıkça yansıyan ve simetriktir. Aynı zamanda geçişmelidir; a,b,c eğriler ve r,s,6^′, ,^′ ≥0 olmak üzere verilen r ~sb, ,^′b~tc homotopileri için

(,^′+r) ~ (,^′+s)b=(s+,^′)b~ (s+t)c homotopileri vardır[8].

Teorem 1.4.1: Yolların tersi ve çarpımı a∈PX(x,y) , b∈PX(x,y) olmak üzere 0 1^A;=a⁻¹ ve

[ ][ ]

[ ]

şeklinde tanımlıdır[8].

İspat: ve ′ PX(x,y)’deki eş değer eğriler olsun. Bu takdirde r ve 6′ sabit eğrileri vardır öyle ki ra ve 6′ ′ homotopiktir. Buradan

ra⁻¹~ ^A;6 = (r+a)⁻¹~6^‹

ra⁻¹~a⁻¹r = (ra)⁻¹~ (6′ ′) ⁻¹~6′ (6^‹)⁻¹

bulunur. Böylece

[ ]

homotopiktir ve s, ,^‹≥0 olduğunda

rsb ~r,′&′ ~,′&′6 ~,′&′6′ ′~,′6′&′ ′ bulunur.

Teorem 1.4.2: Yolların çarpımı birleşimlidir. Ayrıca eğer ∈πX (x,y) ise

12 1 = 1 =

A; = 1

A; = 1_@ eşitlikleri sağlanır[8].

İspat:

Birleşimlilik eğrilerin çarpımından dolayı açıktır. 1 = 1_@ denklemleri a∈ P(x,y) eğrileri için 1 = 1_@ bağıntısından açıkça sağlanır.

Şimdi πX’in bir grupoid olduğunu söyleyebiliriz öyleki nesneleri X’deki noktalar ve morfizmler x’den y’ye yollardır. Bu grupoide X’deki esas grupoid denir[8,13].

13 BÖLÜM 2

DEMETLER

Bu bölümde demet teorisinin temel tanım ve teoremleri verilecektir. Bunun için öndemet, kümelerin demeti, harita, atlas kavramları verilecek ve örneklendirileceklerdir.

2.1. Öndemetler:

Tanım 2.1.1.: X topolojik uzayında F öndemeti aşağıda şartları sağlayan bir sistemdir.

1) Her U⊆X açık kümesine bir F(U) kümesi karşılık gelir,

2) Her U,V⊆X açık kümeler için V⊆ U olmak üzere + _Œ:F(U)→F(V) dönüşümü var öyle ki

i) + = 1_{•( )}

ii) +_ŒŽH+ _Œ = + _Ž (W⊆ V⊆^{U ) ‘dır.}

Şu halde N+( ), + _Œ, }, üzerinde bir öndemettir[14].

Örnek 2.1.1: X topolojik uzay, U⊆X açık küme E(U)={U üzerinde tanımlı bütün denklik bağlantıları } olsun. V⊆ ^{U için}

• _Œ: •( ) → •(•) ƒ → ƒ|_Œ = ƒ ∩ (• × •) olmak üzere funktor olma özellikleri,

i) • (ƒ) = ƒ| = ƒ = 1_{’( )} ve

ii) (•|_ŒŽH• _Œ)(ƒ) = •_ŒŽ(ƒ|_Œ) = (ƒ|_Œ)|_Ž= ƒ|_Ž, • _Ž(ƒ) = ƒ|_Ž sağlanır. Böylece

• = N•( ), • _Œ, } bir öndemettir.

Örnek 2.1.2. X bir topolojik uzay ve A bir küme olsun. X uzayı üzerinde bir “_# öndemeti şu şekilde tanımlıdır.

i) X uzayı üzerinde bir U açık kümesi için “_#(U) = A ii) X uzayı üzerindeki V ⊆ U açıkları için

+ _Œ = 1_– = “_#( ) = “_#(•)

Örnek 2.1.3. X ve Y topolojik uzaylar olsun X üzerindeki Y değerli fonksiyonların F^— öndemeti

i) X uzayı üzerindeki bir U açık kümesi için

14 F^—(U)= N(: → Q|(, ,ü6 !\5}

ii) X uzayı üzerindeki V⊆ U açıkları için

+ _Œ: F^—( ) → F^—(•) ( → (|_Œ şeklinde tanımlıdır[14].

Örnek 2.1.4. X, R in bir açık alt kümesi ve rⁿ ∈ ℕ olsun. X üzerinde r mertebeden differansiyellenebilir ƒ- değerli fonksiyonların C öndemeti aşağıdaki şekilde ^r tanımlıdır.

i) X üzerindeki U açık altkümesi için

C (U)={r (: → ƒ|(, r. mertebeden diferansiyellenebilir fonksiyonların kümesi}

ii) V⊆ ⊆U X açıkları için

+ _Œ: F^z( ) → 6( ) ( → (|_Œ [14].

Tanım 2.1.2.: X topolojik uzay olmak üzere x∈X noktasını içeren iki açık küme U ve V olsun. F bir öndemet olmak üzere s∈F(U) ve t∈F(V) için

M=

{

alınsın. M üzerinde bir denklik bağıntısı ,~ ⟺ ∃œ ⊆ ( ∩ •) ∋ ,|_Ž= |_Ž∈ +(œ) şeklinde tanımlansın. s’nin x noktasındaki denklik sınıfına s’nin hücresi denir ve

[ ]

+ = N(^, ,) = Z 6O ,|, ∈ +( ), ∈ , ⊆ ç ! !üO }

kümesi X uzayı üzerindeki hücrelerin kümesidir. Bu F_x kümesine x noktasındaki sap (stalks) kümesi denir. Böylece ℱ = ⋃ _∈#+ bir demet tanımlar[8].

F p

X

2.2. Demetler

Tanım 2.2.1.: X topolojik uzayı üzerinde bir demet(sheaf), i) ž topolojik uzay,

15

ii) p: ž →X lokal homeomorfizm şartlarını sağlayan (ž,p) çiftidir [8,31]

Böylece şu sonuca ulaşılır;

Teorem 2.1.2. Bir X topolojik uzayı üzerindeki her öndemet yukarıdaki anlamda bir demet tanımlar [10].

Tanım 2.2.2. ž, X topolojik uzayı üzerinde bir demet ve x∈X için x noktasını içeren X uzayında bir açık küme U olsun. U kümesi üzerinde bir kesit (section); 7_°,=Iu şartını sağlayan s:U→ž dönüşümüdür [15].

ž demetinin kesitlerinin kümesi ž

7^A;( )

s p

X U s

Г( , ℱ )={s|s:X→ ž, 7_°,:‰_# } şeklinde tanımlıdır. Eğer ⊆ alınırsa, kesitlerin kümesi Г( , ℱ )={,^‹|,^‹:U→ž,7_°,^‹ =‰ }şeklinde yazılır. Böylece Г( , ℱ ) yardımıyla bir öndemet tanımlar. • ⊆ açık kümeler olmak üzere

Г _Œ: Г( , ℱ )→ Г(•, ℱ ) ,^‹→ Γ _Œ(,^‹_{) = ,}^‹_|Œ

dönüşümü ile birlikte Γ bir öndemettir.Γ dönüşümünün bir funktor olduğu i) Γ_{¡ (,}^‹_{) = ,}^‹_{= \}Γ_(¢)

ii) •Γ_£¤HΓ_¢£•(,^‹) = Γ_£¤(,^‹|_Œ) = (,^‹|_Œ)|Ž = ,^‹|_ŽΓ_¢£(,^‹_{) = ,}^‹|_Ž

özellikleri ile kolayca görülür.

Böylece şu sonuç elde edilir;

Teorem 2.2.2. Bir X topolojik uzayı üzerinde tanımlanan her demet bir öndemet belirler [15].

16

Örnek 2.2.1. C ve ^y C öndemetleri aynı zamanda birer demettir. Burada tanımlanan ^r uygun dönüşüm (sürekli, differensiyellenebilir) için demet olma özelliklerinin bir noktanın bir komşuluğunda sağlanması yeterlidir [14].

Tanım 2.2.3. ž, X topolojik uzayı üzerinde bir demet ve p: ž →^{X olsun. Y}⊆ X ise p

−1

(Y)= ž |Y, Y üzerinde bir demet olur. Bu demete F demetinin alt demeti denir[15].

ž

¥|_(¦|—)

Y X

Tanım 2.2.4.: 7_;: ℱ_; →X ve 7_~: ℱ_~ → iki demet olsun. Eğer p o2 µ= p1 ^ise ¨: ℱ_; → ℱ_~ dönüşümüne sapları koruyor denir. Burada ℱ_; = ⋃ (ℱ_∈# ;) ve ℱ_~ = ⋃ (ℱ_∈# ~) olmak üzere µ((ℱ_;)_x)⊆ (ℱ_~) olur [15].

Tanım 2.2.5.: Sapları koruyan bir sürekli dönüşüme demet morfizmi denir. Sapları koruyan homeomorfizme de bir demet izomorfizmi denir [15].

X topolojik uzayı üzerindeki bütün demetlerin kategorisi oluşturulabilir. Bu kategoride; nesnelerin kümesi; Ob(Sh(X))={ž|p: ž→X bir demet}, morfizmlerin kümesi Mor(Sh(X))={µ:ℱ_; → ℱ_~ sürekli ve sapları koruyan dönüşüm} ile tanımlıdır[15].

Tanım 2.2.6.: X,Y topolojik uzayları ve (: → Q sürekli dönüşümü olsun. X uzayı üzerindeki ℱ demeti, Y uzayı üzerinde bir f*ℱ demetini tanımlar. V⊆Y açık kümesi için

((_∗ℱ)(•) = ℱ((^A;(•))

olur. Bu demete ℱ demetinin direkt görüntü demeti denir. Burada :f X →Y sürekli fonksiyonu,

17

(_∗: ℎ( ) → ℎ(Q) funktorunu tanımlar[15].

Tanım 2.2.7.: ž demeti Y uzayı üzerinde tanımlı bir demet olsun. ℱ demetinin X uzayı üzerindeki (^∗ℱ = N( , «) ∈ × ℱ: (( ) = 7(«)} şeklinde tanımlanır. Burada p: ℱ → Y lokal homeomorfizmdir. f * ℱ üzerinde bir izdüşüm

p*: f *ℱ → ( , «) →

şeklinde verilir. Benzer şekilde , f :X →Y sürekli dönüşümü (^∗: ℎ(Q) → ℎ( )

funktorunu verir. Y uzayı üzerinde bir ℱ demeti için bu funktorun f* ℱ∈Sh(x) değerine ℱ demetinin f altındaki ters görüntüsü denir[15].

Tanım 2.2.8.: +, X topolojik uzayı üzerinde bir öndemet olsun. F öndemetinde bir atlas (veya F öndemetine karşılık gelen ℱ demetinin global kesiti)

= N( , , )|, ∈ ℱ( ), 5 ∈ ‰}

şeklinde tanımlanır. Bu aşağıda şartları sağlar;

i) = ⋃ _∈- , ⊆ açık

ii) Her ,i j∈I,U I U kümesinin her açık örtüsü için en az bir_{i j} œ ⊆ (⋃ ⋂⋃_¯) vardır öyle ki |œ = _¯|œ ’ dir.

U atlasındaki her bir ( , , ) elemanına harita denir[10].

Şimdi verilen bu tanımlardan hareketle aşağıdaki önermeyi verelim:

Önerme 2.2.1. F öndemetine karşılık gelen ℱ demetinin her s-global kesiti bir atlas ile verilebilir. Tersine; F öndemetinde her atlas ℱ demetinde bir global kesit tanımlar[10].

ž

p

X

18 İspat: +: °( ) → öndemetinin bir atlası

U={(U s i_i, )_i ∈ ∈I F U( _i)}

olsun. U atlası üzerinde bir denklik bağıntısı tanımlanabilir. Bunun için x∈X olsun

∈ ⋃ ⋂⋃¯ olacak şekilde U atlasının iki elemanı (U s_i, )_i ve (U s_j, _j) olsun. (U s_i, )_i ve (U s_j, _j) nin denk olması için gerek ve yeter şart x W∈ ⊆U I U ve _{i j} ,|_Ž= ,_¯|_Ž olacak şekilde bir W komşuluğunun olmasıdır. (U_i,s_i)_x ile (U_i, )s_i nin denklik sınıfları gösterilsin. Böylece bilinen

ℱ_± = ²(U_i,s_i)_x|x ∈ U_³, s_³ ∈ F(U_³)´ , ℱ = µ ℱ_±

±∈h

saplar ve demetler elde edilir.

Böylece her (U_i,s_i) ,_x sürekli bir ,¶ dönüşümü tanımlar.

,¶ : → ž →(U_i, )s_{i x} Burada U atlas olduğundan x∈U_{i için}

,¶( ) = ,¶ ( )

formülü X topolojik uzayından ž demetine bir ,¶ dönüşümü tanımlar. ž demeti içinde açık olan bir U için

,¶^A;( ) = µ ,¶^A;( )

∈-

dir. ,¶^A;( ) kümesi Uide açıktır. Buradan ,¶^A;( ) kümesinin X uzayı üzerinde de açık olduğunu elde ederiz. Böylece

,¶: → ž süreklidir.

Şimdi; p:ž→^{X lokal} homeomorfizm olduğundan po,¶ = ‰_# olduğu gösterilmelidir. Herhangi bir x∈X için x∈U_i açık kümesi vardır.

Böylece

po,¶( ) = po,¶_³( ) = p•(U_³, s_³)• = olur. Buradan ,¶ , ž demetinin global kesiti olur.

Tersine; bir demetin global kesiti bir atlas belirtir:

19

,¶,F öndemetinden elde edilen ž demetinin bir global kesiti olsun. Bu, p:ℱ→

lokal homeomorfizm ve po,¶=‰_# olacak şekilde bir ,¶: → ž sürekli dönüşümünün olduğu anlamına gelir. s sürekli olduğundan ∈ , ,| _‚ = , olsun. Böylece

, : → ž → ( , , )

sürekli dönüşümü elde edilir. Her bir ∈X için, bu şekildeki kümeler üzerinde bir denklik bağıntısı vardır. Yani her ∈X noktasında ∈ ile birlikte bir açığı var ve

üzerindeki her s_i dönüşümü bir ( , , ) verir. Böylece {( _i, ) |s_i s_i F( _i),i I}

= ∈ ∈

U U U

bir atlas oluşturur[31].

Tanım 2.2.9 X topolojik uzayı üzerindeki demetlerin kategorisi Sh(X) olsun. Sh(X) kategorisinin ¸_# şeklinde gösterilen globol kesitlerinin kategorisi aşağıdaki gibi elde edilir.

Nesnelerin kümesi Ob( ¸_#), ( )Sh X kategorisinin globol kesitleridir. ¸_# kateorisindeki bir morfizm aşağıdaki diyagramı değişimli yapan

φ :ℱ_; → ℱ_~ demet morfizmidir[10]..

ℱ_;

φ

ℱ_~

,_; ,_~

X

20 BÖLÜM 3

TOPOLOJİK GRUP-GRUPOİDLER

Bu bölümde, topolojik grup-grupoidler ve bu kavramın temel tanım ve teoremleri verilip, r-demetleri ve s-demetleri tanımlanmış ve ayrıntılı örnekler üzerinde çalışmalar yapılmıştır.

3.1. Topolojik Grupoidler

Tanım 3.1.1. Tanım 3.1.1.: [16,17] Bir topolojik grupoid; nesne ve morfizm kümeleri topolojilere sahip aşağıdaki grupoid dönüşümleri sürekli olan G grupoididir.

i)GH6( )_K×_LGH6( ) indirgenmiş topolojiye sahip olmak üzere GH6( )_K×_LGH6( ) → GH6( ), (&, ) → &_° kompozisyon,

ii)u Mor G: ( )→Mor G a( ), →a⁻¹ ters dönüşüm, iii) , :s t Mor G( )→Ob G( ) kaynak ve hedef dönüşümü iii) 1_{( )} :Ob G( )→Mor G x( ), →1_x nesne dönüşümü

Örnek 3.1.1. G birim elemanı e olan bir topolojik grup olsun. Bu durumda G; nesne kümesi &( ) = N }, morfizmleri topolojik grubun elemanları, kompozisyonu grubun işlemi,a∈Mor G( ) olmak üzere kaynak ve hedef dönüşümleri ( )s a =t a( )=e nesne dönüşümü, 1_{( )}: &( ) = N } → GH6( ), → 1_¹ = ve ters dönüşümü de yine topolojik grubun ters dönüşümü olan bir topolojik grupoiddir. Burada, nesne kümesi alt uzay topolojisi ile verilir. Ayrıca, kaynak, hedef ve nesne dönüşümleri sabit dönüşüm olduğundan süreklidir.

Örnek 3.1.2. X bir topolojik uzay olmak üzere x∈X için ( , )X x çiftine bir noktalı uzay denir. X üzerinde bir noktalı ( , )X x →( , )X y dönüşümü, iki noktalı uzay ve

( )

f x =y şartını sağlayan bir f :X → X dönüşümüdür. Böylece, noktalı uzayların PSp kategorisi elde edilir. Bu kategoride bir eşdeğerlik bağıntısını aşağıdaki gibi tanımlarız.′′~^‹‹ homotopi bağıntısı olmak üzere f⁻¹: ( , )X y →( , )X x dönüşümü var ise

: ( , ) ( , )

f X x → X y dönüşümüne homotopi eşdeğerdir denir. Açık olarak, bu bağıntı Psp üzerinde bir eşdeğerlik bağıntısıdır. ( , )X x →( , )X y homotopi eşdeğer

21

dönüşümlerinin bütün eşdeğerlik sınıflarını [( , ), ( , )]X x X y ile gösterilsin. „( )_{( ,@)} = 0( , ), ( , /)1, homotopi eşdeğer dönüşümlerinin noktalı homotopi sınıflarının kümesidir. Yani

,

( ) [( , ), ( , )]

x y X

X X x X y

ε

∈

=

U

1 2 1 2 1 2

: ( )ε X ⊕ε( )X →ε( ), ([ ],[X f f ])→[ ][f f ] [= f f ]

o o

işlemi tanımlansın. Buradan „( ) ⊕ „( ) = N(0(_;1, 0(_~1)|,0(_;1 = 0(_~1} bulunur.

Her bir [ ]f ∈ε( )X _{( , )x y} =[( , ); ( , )X x X y ] için kaynak ve hedef dönüşümleri ([ ])

s f =x, (0(1) = / ve özdeş dönüşüm 1_{( )}: X →ε(X),x→[1 ]_x ile tanımlıdır.

Açıkça {,, , 1_{( )} , o }dönüşümleri süreklidir. Sonuç olarak, ε(X)bir topolojik grupoiddir [32].

Örnek 3.1.3. X bir topolojik uzay ise × de X üzerinde bir topolojik grupoiddir. x

’den y ’ye bir morfizm ( , )y x çiftidir. Kaynak dönüşümü ,(/, ) = , hedef dönüşümü (/, ) = /, ∈ için nesne dönüşümü x→( , )x x , ters dönüşümü

( , ) ( , ) 1 ( , )

u y x = y x ⁻ = x y ve kompozisyon ise (z,y)∙ (/, ) = (_, ) ile tanımlıdır.s t, ’nin sürekliliği izdüşümü sürekliliğinden açıktır. Nesne dönüşümü birim dönüşümün 1 × 1 çarpımı olup süreklidir. Ters dönüşüm ise P P₁, ₂ sırasıyla birinci ve ikinci izdüşüm dönüşümü olmak üzere ( , )P P_{2 1} ile tanımlı olup süreklidir.

Son olarak kompozisyon, (¥_;× ¥_~)•(_, /), (/, )• = (_, ) ile tanımlı olup süreklidir.

Örnek 3.1.4. X bir uzay ve G’de bir topolojik grup olsun. Örnek 1.3.2. den nesne kümesi X ve morfizimleri kümesi × × olan bir grupoid tanımlıdır. Nesne kümesi X olup bir topolojik uzaydır. Morfizmleri kümesi × × , çarpım topolojisi ile verilir. s,t sırasıyla P₃ üçüncü ve P₁ birinci izdüşümü olup süreklidir. Nesne dönüşümlerin her biri sürekli olduğundan süreklidir. Ters dönüşüm ^ = (¥_», ^¼, ¥_;) ile tanımlı olup süreklidir. Burada ^¼, topolojik grubun ters dönüşümüdür. Son olarak kompozisyon işlemi de yine izdüşümler ve topolojik grubun işlemi ile tanımlı olduğunda süreklidir. Böylece × × , bir topolojik grupoiddir [33].

22

Önerme 3.1.1. X evrensel örtüye sahip topolojik uzay ise πX esas grupoidi bir topolojik grupoiddir[16].

İspat: X evrensel örtüye sahip topolojik uzay ise πX ’in grupoid olduğu esas grupoid kısmında ispatlanmıştır. ŞimdiπX ’in topolojik grupoid olduğunu gösterelim. Nesne kümesi X olduğundan bir topolojik uzaydır. Şimdi X’in topolojisi yardımıyla πX ^’in üzerine topoloji koyalım. X evrensel örtüye sahip olduğundan, X’in U açık örtüsü, X’in bütün açık ve yol bağlantılı U alt kümelerinden oluşur ve i:U→X dâhil etme dönüşümleri U ’nun esas grubunu trival gruba dönüştürür U ’daki her bir U ve U ’daki her bir x için λ_x:U→πX , seçilen bir ^‹∈ U ’ya U ’da x’den ^‹ ne bir yolu karşılık getirsin ve v ( ^‹), B ( , ^‹)’ deki yolların bir denklik sınıfı olsun.U üzerindeki şartlar , v ( ^‹)’ nin x’den ^‹ ne U ’daki yolların seçilişinden bağımsız olmasını gerektirir.

½ = v ( ) ve [ ]a ∈πX( , )_{x y} olsun. Bu durumda , • ∈ ¾ ve y V∈ için •¿_@0 1½^A;

kümeleri B üzerin yükseltilmiş topolojinin temel komşularıdır.[5]. Böylece ∈ ∈

¾, / ∈ • ∈ ¾,[ ]a ∈πX( , )_{x y} ve [ ]a ’nın temel komşuluğu •¿_@0 1½^A; olsun. Bu durumda , ,(•¿_@0 1½^A;) ⊆ ve (•¿_@0 1½^A;) ⊆ • olup , :s t πX → X dönüşümleri süreklidir.

Benzer şekilde, nesne ve ters dönüşümlerinin sürekliliği de gösterilebilir. Şimdi

∙: B × B → B kompozüyonunu sürekliliğini gösterelim. [ ]a ∈πX( , )_{x y} ve

( , )

[ ]b ∈πX _{y z} için, 0&1 ∙ 0 1 = 0& ∙ 1 ve œ½_À0& ∙ 1½^A;, 0& ∙ 1’nın temel komşuluğu olsun. Böylece, herhangi bir • ∈ ¾ ve y V∈ için,

∙ ((œ½_À0&1•¿^A;)_K×_L••¿_@0 1½^A;• = œ½_À0& ∙ 1½^A;

Olup kompozisyon işlemi süreklidir. Sonuç olarak B bir topolojik grupoiddir.

G bir topolojik grupoid olsun. Eğer G’nin temelini oluşturan grupoid bağlantılı,1- bağlantılı, basit bağlantılı ise G’ye bağlantılıdır, 1- bağlantılıdır, basit bağlantılıdır denir. [18]

Bir f Mor H: ( )→Mor G( ) morfizmi, H ve G’nin temeli oluşturan grupoidlerin bir morfizmi ve f Mor H: ( )→Mor G( )ile fo:Ob H( )→Ob G( )sürekli ise f ’ye topolojik grupoid morfizmi denir.

GH6( )_K×_LGH6( ) → GH6( ), (&, ) → &oa kompozisyonunun ve ( ) ( ), 1

Mor G →Mor G a→a⁻ ters dönüşümünün sürekli olması için gerek ve yeter şart.

23

GH6( ) ×_KGH6( ) = N(&, ) ∈ GH6( ) × GH6( )|,(&) = ,( )} geri çekmesi GH6( ) × GH6( )’den indirgenmiş alt uzay topolojisine sahip olmak üzere GH6( ) ×_KGH6( ) → GH6( ), (&, ) → & ∙ ^A; grupoid fark dönüşümünün sürekli olmasıdır.

Yine s t, dönüşümlerinden biri ve ters dönüşümü sürekli ise diğeride süreklidir.

Ayrıca bir G topolojik grupoidinde a∈MorG x y( , ) için ƒ : GH6( )_@ → GH6( ) , & → & ∙ sağ değişim (right translation) ve : GH6( ) → GH6( )^@, & → ∙ & sol değişim (left translation) dönüşümleri birer homeomorfizmdir[18].

3.2. Grup-Grupoidler

Grupoidlerin kategorisinde bir grup nesne olan grup-grupoid ilk olarak 1976’da R. Brown ve C.B. Spencer [20] tarafından tanımlandı. Daha sonra O. Mucuk doktora tezinde [11] bu kavramı geliştirdi. Bu, grup-kategorinin, grupoid teoriye bir uyarlamasıdır. Öncelikle grup-kategoriyi tanımlansın. Bütün küçük(small) kategoriler ve onlar arasındaki funktorların kategorisi Cat olsun. Küçük kategori ile Ob(C) nesne kümesi sadece kümeden oluşan bir C kategorisini kastediliyor.

Tanım 3.2.1. Bir grup-kategori;m Mor G xMor G: ( ) ( )→Mor G( ) toplam , :*→Mor G( ) (*, bir nesneli ve birim morfizimli bir kategori) birim ve ŭ:Mor G( )→Mor G( ) ters funktorlarıyla donatılmış Cat’daki bir grup nesnedir[20].

Bir G grup-kategorisinde iki morfizm a ve b olsun. Grup işlemi m a b( , )=a+b, kategorideki kompozisyon ∙ & , grup işlemine göre tersi−a,eğer varsa kategori işlemine göre tersi a⁻¹ ile gösterilir ve e(*)=eyazılır mbir funktor olduğundan, ∙

& ve ¸ ∙ Á tanımlı olmak üzere, ( ∙ &) + (¸ ∙ Á) = O•( , ¸) ∙ (&, Á)• = O( , ¸) ∙ O(&, Á) = ( + ¸) ∙ (& + Á) eşitliğinden, bilinen değiştirme kuralı elde edilir.ebir funktor olduğundan e(1 ) 1_* = _e(*)olup = 1_¹’dir. Eğer grup üzerinde değiştirme kuralını sağlayan iki işlem varsa bunlar çakışıktır ve grupta değişimlidir[20].

Şimdi, sonra ki ispatlarda kullanacağımız bir önerme verelim.

24

Önerme 3.2.1. G bir grup-kategori, ∈ GH6 ( , /), & ∈ GH6 (/, _) ve g∈MorG e{ } olsun. Bu takdirde

1. & ∙ = − 1_@+& = & − 1_@+ ,

2. ^A;∙ •1_@+ g• ∙ = 1 + g ve + Z − = 1 + Z − 1 [20].

Tanım 3.2.2. Bir G grup-kategorisinde her morfizmin bir tersi varsa G’ye grup-grupoid denir. Yani kategori yerine grupoid alınarak elde edilir[21].

Böylece G’deki morfizmlerin kompozisyonu grup işlemiyle ifade edebilir. Eğer y=e ise b+a=a+b olur. Buradan G_e veG grup işlemi altında değişimlidir. ^e

Örnek 3.2.1. Yukarıdaki önermenin ilk şıkkından, eğer a x: → y ise ^A;= 1 − + 1_@ elemanı + işlemine göre ‘nın tersidir. Böylece, her grup-kategori aynı zamanda bir grup-grupoiddir.

Örnek 3.2.2. G bir grup olsun. Bu durumda, nesne kümesi Ob G ve morfizm kümesi ( )

( )

Mor GxG olan bir grup-grupoid elde ederiz. Yani, bir x nesnesinden y nesnesine morfizm ( , )y x çiftidir. Burada, kaynak dönüşümü s y x( , )=x hedef dönüşümü (/, ) = /, ∈ için nesne dönüşümü x→( , ), ( , )x x x y ’nin tersi ( , )y x ve kompozisyon (/, ), (_, /) ∈ GH6( × ) için (_, /) ∙ (/, ) = (_, ) ile tanımlıdır.

G’nin birim elemanı olmak üzere bu grubun birim elemanı ( , )e e ve ( , )y x ’nin gruptaki tersi (-y,-x)’dir. Şimdi, Mor GxG ’nin grup yapı dönüşümlerinin birer grupoid ( ) morfizmi olduğunu gösterelim. O: GH6( × ) × GH6( × ) → GH6( × ) için

O Ã(_, /), (_^′, /^′)Ä ∙ Ã(/, ), (/^′, ^′)Ä = O((_, /) ∙ (/, ), (_^′, ^′) ∙ (/^′, ^′)) = O((_, ), (_^′, ^′)

= (_ + _^′, + ^′) ve

O(Ã(_, /), (_^′, /^′)Ä) ∙ O(Ã(/, ), (/^′, ^′)Ä)=( (_, /) + (_^′, /^′) ∙ ((/, ) + (/^′, ^′)) = (z+_^′,y+/^′)∙( y+/^′,x+ ^′)

=( z+_^′, x+ ^′)

25

olup m bir grupoid morfizmidir. Benzer şekilde grubun ters ve birim dönüşümünün de grupoid morfizmi olduğu gösterilebilir. Sonuç olarak Mor GxG bir grup-grupoiddir. ( )

Böylece, aşağıdaki önerme verilebilir.

Önerme 3.2.2. Grupların kategorisinden GGd kategorisine Γ: Grp→GGd fuktoru vardır[21].

İspat: G bir grup olsun. Bu durumda, Örnek 3.2.2.’den Mor GxG bir grup-grupoiddir. ( ) Eğer (: fOb G( )→Ob H( )grupların bir morfizmi ise Г((): GH6( × ) → GH6( × ) de grup-grupoidlerin morfizmidir. Gerçekten Γ( )(( , )f y x =( ( ), ( ))f y f x ile verildiğinde, f grupların morfizmi olduğundan,

Г(()((/, ) + (/^′, ^′) = Г(()((/ + /^′, + ^′) =(((/ + /^′), (( + ^′))

=(((/) + ((/^′), (( ) + (( ^′) =•((/), (( )• + (((/^′), (( ^′)) =Г(()(/, ) + Г(()(/^′, ^′) olup grup yapısı korunur. Benzer düşünceyle,

Г(()•(_, /) ∙ (/, )• = Г(()(_, ) =( ( ), ( ))f z f x ve

Г(()•(_, /) ∙ (/, )• = •((_), ((/)• ∙ (((/), (( )) =( ( ), ( ))f z f x

olup,

Г(()•(_, /) ∙ (/, )• = Г(()(_, /) ∙ Г(()(/, _) bulunur. Sonuç olarak ( )Γ f grup-grupoidlerin morfizmidir.

Örnek 3.2.3. X bir topolojik uzay olduğunda, πX ’in bir grupoid olduğu göstermişti.

Eğer , O: × → işlemi ve ^¼:X → X tersi ile bir topolojik grup ise B( × ) =Å B × B olduğundan BO: B × B → B nesneler üzerinde ( , )x y → x+y, homotopi sınıfları üzerinde (0 1, 0&1) → 0 + &1 ve B^¼: B → B ’de nesneler üzerinde

26

x→ −x homotopi sınıfları üzerinde [ ]a → −[ a] ile tanımlı π’den indirgenmiş funktorlardır. Bununla beraber πm ^ve B^¼ grupoid yapı dönüşümleridir.

Eğer ,e x üzerindeki grubun birimi ise [1_¹1’de e’deki sabit yolların homotopi sınıfıdır ve BO(0 1, 01_¹1) = BO(01_¹1, 0 1) = 0 1’dır. Böylece [1_¹],B¼ üzerindeki grubun birimidir. Sonuç olarak, πX bir grup-grupoiddir.

Bir G grup-grupoidinin temelini oluşturan grupoid bağlantılı, 1- bağlantılı veya basit bağlantılı ise G’ye bağlantılıdır, 1- bağlantılıdır veya basit bağlantılıdır denir.

3.3. Topolojik Grup-Grupoid

Bu kısımda topolojik grupoidler kategorisinde bir grup nesne olan topolojik grup-grupoid tanımı ile topolojik grup-grupoidlerinin kategorisi verilecektir.

Tanım 3.3.1.: Bir G topolojik grup-grupoidi, bir topolojik grup yapısıyla donatılmış ve

: , ( , ) +b

m GxG→G a b →a toplama, e:*→G ∗→ (∗) = 1_¹ birim ve ^¼: → , → − ters denen topolojik grubun yapı dönüşümleri birer topolojik grupoid morfizmi olan bir G topolojik grupoiddir[21].

Açıkça, bir G topolojik grup-grupoidinde (& ∙ ) + (Á ∙ ¸) = (& + Á) ∙ ( + ¸) değiştirme kuralı vardır.

Örnek 3.3.1. G bir topolojik grup olsun. Bu durumda Örnek 3.2.2.’den nesne kümesi ( )

Ob G ve morfizm kümesi GH6(G× ) olan bir grup-grupoid tanımlıdır. Ayrıca, Örnek 3.1.3’den GH6(G× ) bir topolojik grupoiddir. G topolojik grubunun işlemi ile tanımlı ( , )+(z,t)=(x+z,y+t)x y işlemi ve çarpım topolojisi ile GH6(G× )’de bir topolojik gruptur G grup yapı dönüşümleri, G topolojik grubunun yapı dönüşümleri ile tanımlı olduğundan süreklidir. Sonuç olarak, GH6(G× ) bir topolojik grup-grupoiddir.

Böylece bu örnek, topolojik grupların TGrp kategorisinden topolojik grup- grupoidlerin TGGd kategorisine bir funktor tanımlar. Bu aşağıdaki önerme ile verilebilir.

27

Önerme 3.3.1. Topolojik grupların TGrp kategorisinden topolojik grup-grupoidlerin TGGd kategorisine bir Γ: TGrp→TGGd funktoru vardır[21].

İspat: G bir topolojik grup olsun. Bu durumda, Örnek 3.3.1’den GH6(G× ) bir topolojik grup-grupoiddir. Eğer f G: →H topolojik grupların bir morfizmi ise Г((): GH6( × ) → GH6( × )’de grup-grupoidlerin morfizmidir.

Gerçekten ( , )y x →( ( ), ( )f y x ) ile verildiğinden Önerme 3.2.2’ye göre Γ( )f , grup yapısını korur ve f sürekli olduğundan Γ( )f =( , )f f ’de süreklidir. Ayrıca Önerme 3.2.2’den Г(()•(_, /) ∙ (/, )• = Г(()(_, /) ∙ Г(()(/, _) bulunur. Sonuç olarak ( )Γ f topolojik grup-grupoidlerin morfizmidir.

Teorem 3.3.1. Bir G topolojik grup-grupoidinde, e birim elemanının bağlantılı bileşeni topolojik grubun toplama işlemi ile birlikte topolojik normal altgrup yapısına sahip bir topolojik grup-grupoiddir[21].

İspat:F_¹( )’nin G’nin altgrupoidi olduğu gösterilmişti. &(F_¹( ))’den seçilen her nesne için T_X ∈Mor G x e( ( , )) morfizmi ve ∈ GH6• ( , /)•, & ∈ GH6( ( ^′, /^′)) olmak üzere , & ∈ ( ) olsun. Böylece Æ − Æ ^′ ∈ GH6( ( − ^′, )) ve Æ_@− Æ_@^′ ∈ GH6( (/ − /^′)) olmak üzere − & ∈ GH6( ( − ^′, / − /^′)) bulunur. Buradan

− ^′, / − /^′ ∈ &(F_¹( )) ve − & ∈ F_¹( ) bulunur. Diğer bir değişle F_¹( ) bir altgruptur. &(F_¹( )) ve GH6(F_¹( )) üzerinde altuzay topolojisi vardır. Ayrıca F_¹( )’deki toplama işlemi G’nin toplama işlemi olup süreklidir. Böylece F_¹( ) altgrupoidinin yapı dönüşümleri, G’deki yapı dönüşümlerinin kısıtlamaları olup süreklidir. Dolayısıyla F_¹( ) bir topolojik grup-grupoiddir. Şimdi de normal olduğunu gösterelim. Bunun için a∈Mor G x y( ( , )olmak üzere ∈ F_¹( ) ve g∈Mor G w z( ( , )) olsun. Böylece g∈Mor G w z( ( , )),T_X ∈Mor G x e( ( , )) ^ve − ∈g Mor G( (− −w, z)) olmak üzere g+T_X− ∈g Mor G w( ( +x-w,z+e-z)) ve buradan g+T_x− ∈g Mor G w( ( +x-w,e)) olup, +a-gg ∈Mor(G(w+x-w,z+y-z)) bulunur. Dolayısıyla, Z + − Z ∈ F_¹( ) olup, F_¹( ) topolojik normal altgruptur.

Teorem 3.3.2. Bir G topolojik grup-grupoidinde bütün karakteristik gruplar birbirine lineer olarak homeomorfdur[21].

28

İspat: Her x∈Ob G( )için G x nesne grubunun { } G e verteks grubuna izomorf { } olduğunu göstermek yeterlidir. Sol değişim (left translation)dönüşümünün tanımından

;Ç: N } → ( ), → 1 + ve diğer taraftan değiştirme kuralından _;Ç(& ∙ ) = 1 + (& ∙ ) = (1 ∙ 1 ) + (& ∙ ) = (1 + &) ∙ (1 + ) yazılabilir. Bundan dolayı _;Ç bir morfizmdir. Ayrıca + ve ∙ işlemleri sırasıyla topolojik grubun ve topolojik grupoidin işlemleri olup süreklidir. Yani _;Ç süreklidir. Ayrıca ^A;_;Ç tersi var ve süreklidir.

Bir G topolojik grup-grupoidi için, eğer onun temelini oluşturan topolojik grupoidi sırasıyla bağlantılı, 1- bağlantılı veya basit bağlantılı ise G’ye bağlantılıdır,1- bağlantılıdır veya basit bağlantılıdır denir.

G ve H topolojik grup-grupoid olsun. Topolojik grup-grupoidlerin bir :

f H →G morfizmi, G ve H’nin temelini oluşturan topolojik grupoidlerin, topolojik grup yapısını koruyan morfizmidir. Yani a b, ∈H için f a b( + )= f a( )+ ( )f b ile tanımlıdır.

3.4. Dâhili Kategori

Tanım 3.4.1.: È geri çekmelere(pullback) sahip bir kategori olsun. È üzerinde nesneler kümesi ve morfizmler kümesinden oluşan bir küçük kategoriye dahili kategori denir. È kategorisi üzerindeki bir C dahili kategorisi, È kategorisinin iki nesnesinden ve dört morfizmden oluşur. Buradaki nesneleri, nesnelerin Ob(C) nesnesi ve morfizmlerin Mor(C) nesnesi meydana getirir. Morfizmleri ise bir m kısmi çarpma işlemi, s, t kaynak ve hedef dönüşümleri ve 5 ters dönüşümü oluşturur[10,21].

s, t

GH6(F) ×_ÉÊ(Ë)GH6(F) m GH6(F) &(F) 5

Kısmi çarpım işlemi, kaynak ve hedef dönüşümleri ile morfizmlerin bileşke çiftlerinin Mor(C)×^Ob(C)Mor(C) nesnesini geri çekme olarak görebiliriz.

F_~ = GH6(F) ×_ÉÊ(Ë)GH6(F) B_; GH6(F)

B_~ t

GH6(F) s &(F)