ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ Si (001) YÜZEYİNİN ATOMİK VE ELEKTRONİK YAPISI Çağıl KADEROĞLU FİZİK MÜHENDİSLİĞİ ANABİLİM DALI ANKARA 2007 Her hakkı saklıdır

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

YÜKSEK LİSANS TEZİ

Si (001) YÜZEYİNİN ATOMİK VE ELEKTRONİK YAPISI

Çağıl KADEROĞLU

FİZİK MÜHENDİSLİĞİ ANABİLİM DALI

ANKARA 2007

Her hakkı saklıdır

ÖZET

Yüksek Lisans Tezi

Si (001) YÜZEYİNİN ATOMİK VE ELEKTRONİK YAPISI

Çağıl KADEROĞLU

Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Fizik Mühendisliği Anabilim Dalı

Danışman: Prof. Dr. Bora ALKAN

Bu tez çalışmasında, Si (001) yüzeyinin atomik ve elektronik özellikleri ab – initio yoğunluk fonksiyoneli hesapları ile incelenmiştir. İlk olarak temiz silisyum yüzeyine ait sonuçları verdik. Daha sonra Si (001) yüzeyine 0.5 ML, 1 ML ve 2 ML olacak şekilde adsorplanmış S atomu ile 0.5 ML ve 1 ML olacak şekilde adsorplanmış Ge atomu çalışılmıştır. Son olarak, Ge kaplamalardan kararlı bulunan yapılara H atomu

eklendiğinde oluşan yeni durumlar incelenmiştir. Bu işlemin, yüzeylerin özelliklerini ne yönde etkilediği tartışılmıştır.

2007, 103 sayfa

Anahtar Kelimeler: Atomik yapı, elektronik bant yapısı, yüzey yeniden yapılanması, ab – initio hesaplamaları, teorik modelleme

ABSTRACT

Master Thesis

ATOMİC AND ELECTRONİC STRUCTURE OF THE Si (001) SURFACE

Çağıl KADEROĞLU

Ankara University

Graduate School of Natural and Applied Sciences Department of Physical Engineering

Supervisor: Prof. Dr. Bora ALKAN

In this thesis, the atomic and electronic properties of Si (001) surface have been investigated by ab – initio density functional calculations. We have first given the results for a clean silicon surface. Then, an adsorbed S atom on Si (001) surface for 0.5 monolayer (ML), 1 ML and 2 ML were studied, while an adsorbed Ge atom has been studied for 0.5 ML and 1 ML. Finally, the new composed cases have been studied when H atom has been added to the surfaces of Ge coverages which were found as stable. It has then been discussed how this processing has affected the properties of surfaces.

2007, 103 pages

Key Words: Atomic structure, electronic band structure, surface reconstruction, ab – initio calculations, theoretical modelling

TEŞEKKÜR

Bu çalışmayı bilgi ve önerileriyle yönlendiren, her koşulda destekleyici ve teşvik edici olan danışmanım Sayın Prof. Dr. Bora ALKAN’a tüm hoşgörü ve iyi niyeti için teşekkürü bir borç bilirim. Ayrıca çalışmalarımda beni maddi ve manevi olarak yalnız bırakmayan anne ve babama, tüm eğitim ve sosyal hayatımda desteğini hiç bir zaman esirgemeyen Akkız ÇOLAK’a ve her türlü yardımları için arkadaşım Zeynep AYDOĞAN’a ve Haydar ÇOLAK’a teşekkürlerimi sunarım.

Çağıl KADEROĞLU Ankara, Temmuz 2007

İÇİNDEKİLER

ÖZET...i

ABSTRACT...ii

TEŞEKKÜR...iii

SİMGELER DİZİNİ...vii

ŞEKİLLER DİZİNİ...ix

ÇİZELGELER DİZİNİ...xii

1.GİRİŞ...1

2. KURAMSAL TEMELLER...4

2.1 Kristal Geometrisi...4

2.1.1 Örgü yapıları...4

2.1.2 Miller indisleri...6

2.1.3 Bragg kırınımı...7

2.1.4 Ters örgü...8

2.1.5 Wigner-Seitz hücresi (W-S)...9

2.1.6 Brillouin bölgeleri...10

2.1.7 Yüzey merkezli kübik örgü (fcc)...11

2.1.8 Elmas/Çinko-Sülfit kristal yapılar (Diamond/Zinc-Blende)...12

2.2 Yarıiletkenlerin Genel Karakteri...14

2.2.1 Yarıiletkenlerin band yapısı...14

2.2.2 Yüzey geometrisi...19

2.2.3 (001) Yüzeyinin Brillouin bölgesi...20

2.2.4 Yarıiletken çeşitleri...22

2.3 Yarıiletken Yüzeylerin İncelenmesinde Kullanılan Yöntemler...24

2.3.1 Deneysel metotlar...24

2.3.1.1 Düşük enerjili elektron kırınımı (Low energy electron diffraction; LEED)...25

2.3.1.2 Taramalı tünelleme mikroskobu (Scanning tunneling microscope; STM)...26

2.3.1.3 Atomik kuvvet mikroskobu (Atomic force microscope; AFM)...27 2.3.1.4 Taramalı elektron mikroskobu

(Scanning elelctron microscope; SEM)...28

2.3.1.5 Taramalı tünelleme spektroskopisi (Scanning tunneling spectroscopy; STS)...29

2.3.2 Teorik modelleme...31

2.3.2.1 Relaxation (Durulma)...32

2.3.2.2 Reconstruction (Yeniden yapılanma)...33

2.4 Parçacık Etkileşimleri...36

2.4.1 Elektron-elektron etkileşmesi ...38

2.4.1.1 Dalga fonksiyonu yaklaşımı...39

2.4.1.1.1 Hartree Teorisi...39

2.4.1.1.2 Hartree-Fock Teorisi...40

2.4.1.2 Yoğunluk fonksiyonu yaklaşımı…...42

2.4.1.2.1 Thomas-Fermi Teorisi...42

2.4.1.2.2 Yoğunluk Fonksiyoneli Teorisi (DFT)...42

2.4.1.2.3 Yerel Yoğunluk Yaklaşımı (LDA)...45

2.4.1.2.4 Genelleştirilmiş Eğim Yaklaşımı (GGA)...46

2.4.2 Elektron-İyon etkileşmesi...46

2.4.2.1 Tüm Elektron Metodu...46

2.4.2.2 Düzlem dalga gösterimi...47

2.4.2.3 Pseudo-Potansiyel Metot...48

2.5 Teorik Modellemenin Temel Gereksinimleri...50

2.5.1 Yüzeyin ve ara yüzeyin yapısal gösterimi...50

2.5.2 Yüzeylerin ab initio metot ve DFT’ye dayalı superhücre tekniği ile modellenmesi...52

3. MATERYAL ve YÖNTEM...56

3.1 Materyal...56

3.2 Yöntem...60

4. BULGULAR...63

4.1 Bulk Si...63

4.2 Temiz Si (001) Yüzeyi...64

4.2.1 Atomik yapı...64

4.2.2 Elektronik yapı...67

4.3 Si (001) yüzeyine S Adsorplanması...68

4.3.1 Hemisülfit model...68

4.3.2 Monosülfit model...71

4.3.3 Disülfit model...74

4.4 Si (1x2) (001) yüzeyine Ge Adsorplanması...77

4.4.1 Si (1x2) (001) üzerine 0.5 ML Ge...78

4.4.2 Si (1x2) (001) üzerine 1 ML Ge...82

4.4.3 0.5 ML ve 1 ML kaplamaların H ile pasivize edilmesi...92

5. SONUÇ...99

KAYNAKLAR...101

ÖZGEÇMİŞ...103

SİMGELER DİZİNİ

av Birim hücrenin örgü vektörü

a₁* a₂* Yeniden oluşan birim hücrenin örgü vektörleri

Å Angström

AES Auger elektron spektroskopisi AFM Atomik kuvvet mikroskobu

ARUPS Açı çözünürlüklü ultra-viole fotoelektron spektroskopisi bcc Hacim merkezli kübik yapı

C Karbon

dBulk Sistem duruldan önce atomik tabakalar arasındaki uzaklık

d1-2 Sistem durulduktan sonra atomik tabakalar arasındaki uzaklık

DFT Density functional theory fcc Yüzey merkezli kübik yapı

Gv

Ters örgü vektörü

Ge Germanyum

GGA Generalised gradient aproximation

H Hidrojen

I Akım

kv

Dalga vektörü

Kv

Ters örgü uzay vektörü LDA Local density aproximation LEED Düşük enerjili elektron kırınımı MBE Molecular beam epitaxy

ML Monolayer

PS Fotoelektron spektroskopisi

PWSCF Plane waves self-consistent field

RHEED Yansımalı yüksek enerjili elektron kırınımı SEM Taramalı elektron mikroskobu

Si Silisyum

SiC Silisyum karbür

SiO2 Silisyum oksit

STM Taramalı tünelleme mikroskobu STS Taramalı tünelleme spektroskopisi

Tr

Örgü ötelemesi

UPS Ultra-viole fotoelektron spektroskopisi XPS X-ışını fotoelektron spektroskopisi

W – S Wigner –Seitz hücresi

V Gerilim

Ψ Schrödinger dalga fonksiyonu

Φ Tek parçacık dalga fonksiyonu

ŞEKİLLER DİZİNİ

Şekil 2.1 Kübik bir kristalde bazı önemli düzlemlerin indisleri...6

Şekil 2.2 Bragg kırınımı...7

Şekil 2.3 W-S hücresinin yapısı...9

Şekil 2.4 Brillouin bölgesi sınırında Bragg kırınımı...10

Şekil 2.5 fcc örgünün a) gerçek uzaydaki b) ters uzaydaki örgüsü...11

Şekil 2.6 Elmas yapı...12

Şekil 2.7 Çinko-Sülfit kristal yapı...13

Şekil 2.8 k=±π/a’ daki Bragg yansımasının sonucu olarak Eg enerji aralığı oluşur...15

Şekil 2.9 Yarıiletken bir kristalin bant yapısı...16

Şekil 2.10 İletken, yalıtkan ve yarıiletkenlerin enerji bant aralığı...17

Şekil 2.11 a. Direk ve b. indirek bant aralıklı yarıiletkenler...18

Şekil 2.12 fcc kristal yapının Brillouin hücresi ve temel simetri yönelimleri...20

Şekil 2.13 fcc yapıda (001) yüzeyinin a. (1x1) için b. (1x2) için yüzey Brillouin bölgeleri...21

Şekil 2.14 Katkılı yarıiletkenler...23

Şekil 2.15 LEED çalışma mekanizması...25

Şekil 2.16 Si (111) 7x7 yüzeyinin LEED ile alınmış bir görüntüsü...25

Şekil 2.17 STM’in çalışması...26

Şekil 2.18 Grafit yüzeyinin STM ile alınmış bir görüntüsü...26

Şekil 2.19 AFM’nin çalışması...27

Şekil 2.20 AFM örnek görüntüleri a. Si (111) 7x7 yüzeyi b. Si – Ge bileşiği...28

Şekil 2.21 SEM’in çalışma şeması………...………..28

Şekil 2.22 SEM görüntüleri a. Entegre b.Çelik yüzeyindeki granüler çatlak (x2600)...29

Şekil 2.23 STS görüntüsü...30

Şekil 2.24 Kırık (Dangling) bağlar...31

Şekil 2.25 a. yüzey relax olmadan önce b. yüzey relax olduktan sonra...33

Şekil 2.26 a. yeniden yapılanmamış yüzey b. yeniden yapılanmış yüzey...34

Şekil 2.27 Korunumlu ve korunumsuz yeniden yapılanma...34

Şekil 2.28 a. Simetrik dimer b. yüzey dimer’larının üstten görünüşü...35

Şekil 2.29 Supercell geometrisinin tabakaları...51

Şekil 2.30 H atomları bağlanmış kristal...54

Şekil 2.31 a. asimetrik dimer ve tilt açısı b. “c” tipi asimetrik dimer modeli...55

Şekil 4.1 Bulk Si’nin elektronik bant yapısı...63

Şekil 4.2 a. Si (1x1) relax olmadan önce b. relax olduktan sonra (1x2)...64

Şekil 4.3 Simetrik dimer formu...65

Şekil 4.4 Asimetrik dimer formu...66

Şekil 4.5 Si (001) (1x2) yüzey enerji bandı...67

Şekil 4.6 Hemisülfit yapının üstten görünüşü...69

Şekil 4.7 Hemisülfit yapının yandan (side) görünüşü...69

Şekil 4.8 Hemisülfit yapının yüzey enerji bandı...71

Şekil 4.9 Monosülfit yapının üstten görünüşü...72

Şekil 4.10 Monosülfit yapının yandan görünüşü...73

Şekil 4.11 Monosülfit yapının yüzey enerji bandı...74

Şekil 4.12 Disülfit yapının üstten görünüşü...75

Şekil 4.13 Disülfit yapının yandan görünüşü...75

Şekil 4.14 Disülfit yapının yüzey enerji bandı...77

Şekil 4.15 Alt atom konumunda 0.5 ML Ge kaplama...79

Şekil 4.16 Üst atom konumunda 0.5 ML Ge kaplama...80

Şekil 4.17 Üst atom konumundaki 0.5ML Ge kaplama için yüzey enerji bandı...81

Şekil 4.18 Difuz etmemiş, Ge – sonlu yapının atomik geometrisi...82

Şekil 4.19 Difuz etmiş Si – sonlu yapının atomik geometrisi...83

Şekil 4.20 Cis-diffused / Ge-up...85

Şekil 4.21 Cis-diffused / Si-up...86

Şekil 4.22 Trans - diffused / Ge – up...87

Şekil 4.23 Trans - diffused / Si – up...88

Şekil 4.24 Difuz etmemiş Ge – sonlu modelin yüzey enerji bandı...91

Şekil 4.25 Alt atom + H ...92

Şekil 4.26 Üst atom + H...93

Şekil 4.27 Üst atom + H modelinin yüzey enerji bandı...94

Şekil 4.28 1 ML Ge –sonlu + H...95

Şekil 4.29 1 ML Si –sonlu + H...96

Şekil 4.30 Si – sonlu + H modelinin yüzey enerji bandı...97

ÇİZELGELER DİZİNİ

Çizelge 2.1 İki boyutta beş örgü türü ...5

Çizelge 2.2 Üç boyutta 14 örgü türü...5

Çizelge 2.3 Çinko-Sülfit yapıda kristallenen bazı yarıiletken malzemeler...13

Çizelge 3.1 PWSCF programının kod yapısı...61

Çizelge 3.2 Programın girdi dosyasında kullanılan temel parametreler...62

Çizelge 4.1 Temiz yüzeyin asimetrik dimer bileşeni uzunlukları ...67

Çizelge 4.2 Hemisülfit bağ uzunlukları...70

Çizelge 4.3 Monosülfit bağ uzunlukları...73

Çizelge 4.4 Disülfit yapının bağ uzunlukları...76

Çizelge 4.5 Temiz yüzey, alt atom ve üst atom konumlarının karşılaştırılması...80

Çizelge 4.6 Temiz yüzey, Ge-sonlu ve Si-sonlu yüzeylerin karşılaştırılması...84

Çizelge 4.7 Cis-diffused modellerin temiz yüzeyle karşılaştırılması...86

Çizelge 4.8 Trans-diffused modellerin temiz yüzeyle karşılaştırılması...88

Çizelge 4.9 Cis–diffused ve trans–diffused yapıların tilt açılarının karşılaştırılması...89

Çizelge 4.10 1 ML modellerin kararlı Ge - sonlu modele göre göreli enerji kıyaslaması...90

Çizelge 4.11 1 ML Ge kaplamanın daha önceki çalışmalarla karşılaştırılması...90

Çizelge 4.12 H eklenmiş 0.5 ML durumların karşılaştırılması...94

Çizelge 4.13 H eklenmiş 1 ML durumların karşılaştırılması...96

1. GİRİŞ

1913’te x-ışını kırınım tekniklerinin geliştirilmesine bağlı olarak ortaya çıkan katıhal fiziği, 90 yılı aşkın zamandır sürekli gelişen bir araştırma alanıdır. Metallerin ve iyonik katıların farklı özellikleri üzerine yapılan çalışmaların artışı, bu gelişmelere bağlı olarak gerçekleşmiş ve halen günümüzde ilerleyişini sürdürmektedir.

Yarıiletken yapıların günümüz teknolojisindeki yeri tartışılmaz boyuttadır. Gerek günlük hayatımızı kolaylaştıran cihazlarda, gerekse ileri teknoloji askeri ve uzay ürünlerinde vazgeçilmez elemanlardır. İlginç optik ve elektronik özelliklerinden dolayı yarıiletken bulk (kitlesel) malzemeler, 1940’lardan beri hem teorik hem de deneysel olarak yoğun bir şekilde çalışılmıştır.

Elektronik cihazlarda boyutların giderek küçülmesiyle birlikte, yarıiletken yüzeyler ve ara yüzeyler, teknolojik önemi büyük olan çok sayıda cihazın yapımında kilit rol oynamaya başlamıştır. Bu gelişmeler, 1960’larda yüzey fiziğinin doğmasına ve başlı başına yeni bir araştırma alanı haline gelmesine yol açmıştır.

Yüzey fiziği kavramının gelişmesiyle, geçtiğimiz son 30 yılda yarıiletken yüzey ve ara yüzeylerin ve buna bağlı olarak da kuantum çukurları, kuantum telleri ve kuantum noktaları gibi düşük boyutlu yapıların araştırılmasında çok büyük bir artış meydana gelmiştir.

Yarıiletken yüzeylerdeki malzeme çeşitliliği ve bir alt taş üzerine büyültülen farklı element ya da moleküllerin, malzeme yüzeyinin özelliklerini değiştirebiliyor olması, bu alandaki çalışmaların önemini artırmıştır.

Günümüzde, çeşitliliğinin geniş ve teknolojik uygulama alanın hali hazırda artıyor olması, yarıiletken yüzeylerin yapısal ve elektronik özelliklerinin mikroskobik düzeyde anlaşılmasını son derece önemli hale getirir.

Bu tip sistemlerin atomik ve elektronik yapılarını farklı açılardan incelemek için çok sayıda deneysel teknik kullanılmaktadır.

Atomik yapıyı ve yüzeylerin yeniden yapılanmalarını incelemek için, düşük enerjili elektron kırınımı (LEED), yansımalı yüksek enerjili elektron kırınımı (RHEED), taramalı tünelleme mikroskobu (STM), atomik kuvvet mikroskobu (AFM) ve taramalı elektron mikroskobu (SEM) gibi yöntemler kullanılır.

Elektronik yapı, fotoelektron spektroskopisi (PS), ultra-viole fotoelektron spektroskopisi (UPS), x-ışını fotoelektron spektroskopisi (XPS) ve taramalı tünelleme spektroskopisi (STS) gibi deneysel yöntemlerle incelenir. Aynı zamanda, açı çözünürlüklü ultra-viole fotoelektron spektroskopisi (ARUPS) ile enerji bant dağılımı elde edilebildiği gibi, Auger elektron spektroskopisi (AES) ile de yapı hakkında kimyasal bilgilere ulaşılabilir.

Deneysel çalışmalar sonucunda elde edilen verilerin analiz edilmesi için teorik çalışmalara gereksinim vardır. Yarıiletken yüzeylerin atomik ve elektronik yapılarının doğru belirlenmesi ve yüzeye büyütülen atomların yerlerinin doğru tespit edilmesi, ancak deney ile teorinin uyuşması ile mümkündür. Bununla birlikte, yukarıda bahsedilen deneysel ortamı yaratmanın ve bu cihazlarla araştırma yapmanın maliyeti oldukça yüksektir. Bu bakış açısıyla, yarıiletken yüzey ve ara yüzeylerin teorik olarak modellenmesi, yüzey fiziğinde çok önemli bir rol oynar. Teorik modelleme maliyeti azaltacağı gibi, aynı zamanda deneysel çalışmalar için bir öngörü olanağı yaratarak zamandan da büyük ölçüde tasarruf yapılmasını sağlar.

Yarıiletken çalışmalarında kullanılan teorik yaklaşımların hemen hemen hepsi enerji bant teorisi üzerine kurulmuştur. Bu teori ilk defa Bloch tarafından ortaya konulmuştur.

Bloch, kusursuz bir kristalde elektronik bant yapı hesabı için kuantum mekaniğini kullanmıştır. Bu teori, tek elektron yaklaşımı üzerine kurulmuştur. Periyodik bir potansiyel, bir elektronun katıdaki diğer tüm elektronlar ve çekirdekle etkileşimini içerir. Bununla birlikte, bu yaklaşım elektron- elektron etkileşmelerini yok saydığından ideal değildir.

Bunun için en güvenilir yaklaşım, öz-uyum alan teorisini kullanan Kohn-Sham ve Hohenberg’in Yoğunluk Fonksiyoneli Teorisi üzerine temellendirilir. Bu yaklaşım aynı zamanda ab-initio hesaplaması olarak da bilinir.

Silisyum, teknolojik açıdan oldukça önemli bir malzemedir. Bununla birlikte, bu malzemenin (001) yüzeyi, yüzey biliminde geniş bir yer tutar. Jenkins ve Srivastava’nın (1996) çalışmalarında, Si (001)-(2x1) yüzeyinin atomik ve elektronik özellikleri, ab- initio yöntemi kullanılarak araştırılmıştır. Si (001) yüzeyine S adsorplanmasının yapıda meydana getireceği değişiklikler, Çakmak ve Srivastava (1998) tarafından hemisülfit, monosülfit ve disülfit yapılar için ab-initio DFT kullanılarak ayrıntılı olarak modellenmiştir. Jenkins ve Srivastava (1996) ise, germanyum atomunun aynı yüzeydeki etkilerini benzer yöntem yardımıyla, 0.5 ML ve 1 ML için incelemişlerdir.

Bu tez çalışmasında, kristal yapılar ve yarıiletken yapılar hakkında temel bilgiler verildikten sonra yarıiletken yüzeylerin incelenmesinde kullanılan deneysel metotlardan kısaca bahsedilecektir. Daha sonra yarıiletken yüzeylerin teorik olarak modellenmesinin dayandığı temel matematiksel yaklaşımlar anlatılacak ve incelenen yapının bilgisayar ortamında oluşturulması için gerekli olan unsurlardan söz edilecektir. Temiz Si (001) (1x2) yüzeyinin atomik ve elektronik özellikleri ve bu özelliklerin yüzey üzerine S ve Ge atomlarının adsorplanması sonucu nasıl değiştiği ab initio Yoğunluk Fonksiyonel Teorisi (DFT) kullanılarak araştırılacaktır. Son olarak Çakmak et al.’ın (2007) çalışmasından yola çıkılarak S/Si(001)-(1x2) ve Ge/Si(001)-(1x2) yapılarda en kararlı geometriler için H ile pasivize edilmiş durumlar ele alınacaktır.

2. KURAMSAL TEMELLER

2.1 Kristal Geometrisi

Katıhal fiziğinin başlangıcı, x-ışınlarının kırınımı olayının keşfedilmesi ve kristal özelliklerini başarıyla öngören bir dizi basit model hesapların yayınlanmasıyla olmuştur.

Bir kristal, birbirine özdeş yapıtaşlarının düzenli olarak bir araya gelmesiyle oluşur.

Yapıtaşları tek atomlar veya farklı tipteki atomlardan oluşan atom gurupları olabilir.

Kristali iki ayrı parçadan meydana gelmiş gibi düşünebiliriz, örgü ve baz. Tüm kristallerin yapısı bir örgü ile tanımlanabilir. Örgünün her düğüm noktasında bulunan atomlar gurubuna baz denir. Bu bazın uzayda tekrarlanması ile kristal oluşur. Sembolik olarak

Örgü + Baz = Kristal Yapı

şeklinde ifade edilebilir.

Örgü noktaları matematiksel olarak ar₁,ar₂,ar₃ örgü vektörleri ile gösterilir. Bu vektörler ile tanımlanan bir kristali temsil edebilecek en küçük hacimli birim yapıya ilkel birim hücre denir(Kittel, 1996).

2.1.1 Örgü yapıları

Örgü öteleme vektörlerinin boyları ve aralarındaki açının değerlerinde kısıtlama olmadığı takdirde olabilecek örgü türü sayısı sınırsızdır. Belli kısıtlamalar sonucu elde edilen örgü türlerine Bravais örgüleri adı verilir. İki boyutta beş adet Bravais örgüsü vardır. Bunlar Çizelge 2.1’de verilmiştir. (Kittel, 1996)

Çizelge 2.1 İki boyutta beş örgü türü (Kittel 1996)

Örgü Sayısı Birim hücre eksen ve açılarının özellikleri

Kare Örgü 1 a1=a2; α=90^o

Altıgen Örgü 1 a1=a2; α=120^o

Dikdörtgen Örgü 1 a1≠a2; α=90^o

Merkezli Dikdörtgen Örgü 2 a1≠a2; α=90^o

Üç boyutta, yedi kristal sisteminde 14 çeşit Bravais örgü tanımlanmaktadır. Burada a1, a2, a3 ve α, β, γ’ ların hepsine birden birim hücre parametreleri denir. Çizelge 2.2’de yedi kristal sisteminde tanımlanan bu örgülerin birim hücre eksenlerinin ve açılarının özellikleri verilmiştir.

Çizelge 2.2 Üç boyutta 14 örgü türü (Kittel 1996)

Sistem Örgü Sayısı Birim hücre eksen ve açılarının özellikleri Triklinik 1 a1≠a₂≠a₃ ; α≠β≠γ

Monoklinik 2 a1≠a₂≠a₃ ; α=γ=90^o≠β Ortorombik 4 a1≠a₂≠a₃ ; α=β=γ=90^o Tetragonal 2 a₁=a₂≠a₃ ; α=β=γ=90^o

Kübik 3 a₁=a₂=a₃ ; α=β=γ=90^o

Trigonal 1 a1=a2=a3 ; α=β=γ < 120^o, ≠90^o Altıgen 1 a1=a2≠a3 ; α=β=90^o, γ=120^o

2.1.2 Miller indisleri

Kristal yapılar her doğrultuda ve düzlemde farklı özellik gösterirler. Bu nedenle, kristal yapı analizleri için her bir düzlem indisler ile tanımlanmaktadır. Bu indilere Miller indisleri denir ve h, k, l ile gösterilir (Kittel, 1996). Miller indisleri kullanılarak ters örgü uzayındaki bir K vektörü;

Kr hbr1 kbr2 lbr3

+ +

=

şeklinde yazılabilir. Miller indislemesi yapabilmek için aşağıdaki yöntem takip edilir.

• Belirtilmek istenen düzlemlerin kristal eksenini kestiği noktalar örgü sabitleri a1, a2, a3 cinsinden bulunur.

• Bu sayıların tersleri alınır ve aynı orana sahip en küçük üç tam sayı elde edecek şekilde indirgenir. (hkl) ile gösterilen bu sayı kümesi o düzlemin indisi olur.

Şekil 2.1’de kübik bir kristaldeki bazı önemli düzlemlerin indisleri gösterilmiştir. Kübik kristalde matematik çözümün en kolay olduğu durum Şekil 2.1a,d,f’de verilen [001], [110] ve [111] ilerleme yönleridir.

Şekil 2.1 Kübik bir kristalde bazı önemli düzlemlerin indisleri

2.1.3 Bragg kırınımı

Kristalin yapısındaki atomları kırınım yoluyla gözleyebiliriz. Kırınım, ilerleyen dalganın farklı dalga boylu bir engelden geçerken, geliş doğrultusundan sapması şeklinde tanımlanabilir. Şekil 2.2’ de Bragg kırınımı şematik olarak verilmiştir. Kırınım olayının açıklanması W. L. Bragg tarafından yapılmıştır.

Şekil 2.2 Bragg kırınımı

Paralel atom düzlemleri arasındaki uzaklık d olmak üzere, komşu iki düzlemden yansıyan ışınlar arasındaki yol farkı 2dSinθ dır. Yapıcı girişim olayı için ardışık düzlemlerden yansıyan ışınlar arasındaki yol farkı, dalga boyunun tam katları olması gerekir.

Denklem 2.1 Bragg yasasını ifade etmektedir. Yasa örgünün periyodik oluşunun bir sonucudur. Kırınımın gerçekleşmesi için λ<2d olmalıdır. Buradan anlaşılacağı gibi kırınım dalga boyuna ve kristal yapısına bağlıdır (Kittel 1996).

2.1.4 Ters örgü

Her kristal yapısına bağlı olarak iki örgü vardır: kristal örgüsü ve ters örgü. Ters örgü, örgü periyodikliği ile birlikte verilen Fourier serisi ve Fourier dönüşümlerinin, izin verilen dalga vektörü değerlerini temsil eder (Kittel, 1996).

∫ ⋅

= 2 π

) ) exp(

( )

(

i k x

k kf d r

f r r r r

(2.2)

Burada f(k), f(r)’ nin Fourier transformudur. Denklem (2.2) herhangi bir Tr

örgü ötelemesi altında yazılırsa;

2 π

)) (

) exp(

( )

(

i k r T

k f k d T

r f

r r r r

r r ⋅ +

= ∫

+

şeklinde olur. Denklem (2.2) ve (2.3)’ün eşit olması gerekmektedir. Bunun için exp(ikT)=1 sınırlandırması getirilir. Bu sınırlandırma ile sadece belli bir k vektörüne izin verilmektedir. Sınırlandırmayı sağlayan vektörler ise kT=2πn olacaktır. Sonuç olarak k vektörü ters örgü vektörüdür ve G ile sembolize edilir (Kittel, 1996).

Gr hbr1 kbr2 lbr3

+ +

=

Burada h, k, l tam sayılardır ve b1, b2, b3 ters örgü vektörleridir. a1, a2, a3 vektörleri cinsinden ters örgü vektörleri

) 2 (

3 2 1

3 2

1 a a a

a

b r a r r

r r r

×

= ×

π ⋅ _,

) 2 (

3 2 1

3 1

2 a a a

a

b r ar r

r r r

×

= ×

⋅

π

) 2 (

3 2 1

2 1

3

a a a

a

b r a r r

r r r

×

⋅

= π ×

şeklinde verilir. Denklem (2.4)’ deki ifadelerin paydaları birim hücrenin hacmidir ve normalizasyon sabiti olarak etki eder. Ters örgü vektörlerinin boyutu [1/uzunluk] tur.

2.1.5 Wigner-Seitz hücresi (W-S)

W-S hücresi örgünün tam simetrikliğini gösteren ilkel bir hücredir. Ters örgü uzayında W-S hücresi, Brillouin bölgesine karşılık gelmektedir (Kittel, 1996). Şekil 2.3’te bir W- S hücresinin yapısı verilmiştir.

(a)

(b)

(c) Şekil 2.3 W-S hücresinin yapısı

a. Bir örgü noktası seçilir ve en yakın komşu noktalarına yapı doğrusu çizilir.

b. Yapı doğrusuna dik ortadan bölecek şekilde doğrular çizilir.

c. En küçük kapalı alan W-S hücresini tanımlar.

2.1.6 Brillouin bölgeleri

Bir Brillouin bölgesi ters örgüde W-S ilkel hücresi olarak tanımlanır. Brillouin bölgesi sınırlarında Bragg saçılma şartı sağlanmalıdır (Kittel, 1996).

^{k r}

^{= k r + G r}

Burada k^ı saçılan dalganın dalga vektörü, G ters örgü vektörüdür. Her iki tarafın karesi alınırsa

^{2 2}

2

k 2 k G G

k

= + r ⋅ r +

(2.6) olur. Dalganın esnek saçıldığını kabul edersek k^ı2 =k² olacaktır ve Denklem (2.6)

2kr×Gr =G2

haline gelir. Sonuç olarak, eğer G bir ters örgü vektörü ise ve –G de öyle ise denklem şu şekilde yazılabilir.

2 k r ⋅ G r = G

(2.7) Denklem (2.7)’ nin geometrik yorumu, ‘eğer k, örgü vektörü G’ yi dik olarak ikiye bölen düzlemde bulunuyorsa saçılma şartları sağlanıyordur’ şeklinde olacaktır (J.Y.

Wah 2003). Şekil 2.4’de bu geometrik yorumun şematik gösterimi verilmiştir.

Şekil 2.4 Brillouin bölgesi sınırında Bragg kırınımı

2.1.7 Yüzey merkezli kübik örgü (fcc)

Yüzey merkezli kübik örgünün ilkel öteleme vektörleri;

( )

2 1

1 a y z

ar = )+) ; ( )

2 1

2 a x z

ar = )+) ; ( )

2 1

3 a x z

ar = )+) (2.8)

şeklindedir. Buradan ters örgünün ilkel öteleme vektörleri yazılırsa;

) 2 (

1 x y z

br a r r r

+ +

⎟ −

⎠

⎜ ⎞

⎝

=⎛ π

; 2 ( )

2 x y z

br a r r r

+

⎟ −

⎠

⎜ ⎞

⎝

=⎛ π

; 2 ( )

3 x y z

br a r r r

−

⎟ +

⎠

⎜ ⎞

⎝

=⎛ π

(2.9)

elde edilir. fcc örgünün ters örgüdeki ilkel öteleme vektörleri gerçek uzaydaki hacim merkezli kübik (bcc) örgünün ilkel öteleme vektörleri ile aynıdır. Yani fcc örgünün tersi bcc örgüdür. Ters örgünün ilkel hücresinin hacmi 4(2π/a)³ olur (Kittel, 1996).

(a) (b)

Şekil 2.5 fcc örgünün a. gerçek uzaydaki, b. ters uzaydaki örgüsü

2.1.8 Elmas/Çinko-Sülfit kristal yapılar (Diamond/Zinc-Blende)

Elmas yapı, birinin başlangıcı (0,0,0) ve diğerininki (1/4,1/4,1/4) olan iki fcc yapının içi içe geçirilmesi ile oluşturulur. Elmas yapıda ilkel küp 8 atom içerir. Her atomun en yakın komşu sayısı 4, ikinci en yakın komşu sayısı 12 dir. Karbon, Silisyum, Germanyum ve Kalay elmas yapıda kristalleşirler. Örgü sabitleri sırasıyla a=3.65, 5.43, 5.65 ve 6.46 Å dur. Burada a ilkel küpün kenar uzunluğudur (Kittel, 1996).

Şekil 2.6 Elmas yapı

Bileşik atomlar, elmas yapıya benzer bir şekilde kristallenir. Yapı iki farklı baz atomu içermektedir. Her atom en yakın dört atom ile kovalent bağ yapar. Ancak bu atomlar kendisinden farklıdır. Bu tür yapılar Çinko-Sülfit yapı olarak adlandırılır. Bir çok yarıiletken bu yapıda kristallenmektedir. Şekil 2.7’de bu yapının şematik görünümü, Çizelge 2.3’te bu yapıda kristallenen bazı yarıiletken malzemeler ve örgü sabitleri verilmiştir.

Çizelge 2.3 Çinko-Sülfit yapıda kristallenen bazı yarıiletken malzemeler

Şekil 2.7 Çinko-Sülfit kristal yapı

Kristal a (Å) Kristal a (Å) Kristal a (Å)

CuF 4,26 ZnSe 5,65 CuCl 5,41

SiC 4,35 GaAs 5,65 InSb 6,46

ZnS 5,41 AlAs 5,66 GaP 5,45

2.2 Yarıiletkenlerin Genel Karakteri

Yarıiletkenler, elektrik iletkenliği bakımından, iletken ile yalıtkan arasında kalan maddelerdir. Bunun nedeni dört tane değerlik elektronu taşımalarıdır.

Normal durumda yalıtkan olan bu maddeler ısı, ışık, manyetik etki veya elektriksel gerilim gibi dış etkiler uygulandığında bir miktar değerlik elektronlarını serbest hale geçirerek iletken duruma gelirler. Uygulanan bu dış etki veya etkiler ortadan kaldırıldığında ise yalıtkan duruma geri dönerler. Bu özellik, elektronik alanında yoğun olarak kullanılmalarını sağlamıştır.

Bu tür malzemelerin elektriksel iletkenlikleri sıcaklığa oldukça bağlıdır. Yarıiletken malzemelerin oda sıcaklığındaki özdirençleri 10^-4 – 10^-11 Ωm aralığındadır. Buna karşılık iletken malzemeler 10^-8 Ωm özdirenç gösterirken, yalıtkanlar 10¹⁴ – 10²⁰ Ωm civarında özdirence sahiptirler.

2.2.1 Yarıiletkenlerin band yapısı

Bir kristaldeki elektronlar, enerji bölgeleriyle ayrılmış enerji bantları içinde yer alırlar.

Bir kristalin bant yapısı, bant elektronları ile periyodik iyon potansiyelleri arasındaki zayıf etkileşme ile açıklanmaktadır. Kristalde ilerleyen bir dalga Bragg yansımasına uğrayacaktır. Brillouin bilgesi sınırlarında oluşan bu yansıma, kristalde enerji aralıkları oluşmasının temel nedenidir (Kittel, 1990).

Tek boyutta Bragg koşulu yazılırsa

a n G

k /

2

1 = ± π

±

= r

r

(2.10)

Burada G=2πn/a ters örgü vektörü ve n bir tam sayıdır.

İlk yansımalar ve ilk enerji aralığı 1. Brillouin Bölgesi sınırında oluşur.

Şekil 2.8 k=±π/a’ daki Bragg yansımasının sonucu olarak Eg enerji aralığı oluşur

Sınırda (k=±π/a) dalga fonksiyonları ilerleyen dalga değil, durağan dalga formunda olacaktır. Yani dalga ne sağa nede sola ilerler. Durağan iki dalgayı aşağıdaki gibi yazabiliriz.

a Cos x a

x e i a x

eiπ π π

ψ(+)= / + − / =2 (2.11)

a iSin x a

x e i a x

eiπ π π

ψ(−)= / − − / =2 (2.12)

Durağan ψ(+) ve ψ(-) dalgaları elektronların farklı bölgelerde yığılmalarına yol açar.

Dolayısıyla iki dalga, farklı potansiyel enerjiye sahiptir. Potansiyeldeki bu fark, enerji aralığını oluşturur. Şekil 2.8’de görüldüğü gibi, bu enerji aralığına yasak bant aralığı denilir. Enerji aralığının altındaki A noktasında dalga fonksiyonu ψ(+), üstündeki B noktasında ψ(-) olur.

Yarıiletken bir kristal için enerji bant yapısı kabaca Şekil 2.9’da verilmiştir. Burada yasak enerji aralığının altına valans bandı, üstüne iletkenlik bandı denilmektedir.

İletkenlik bandının en düşük noktası iletkenlik bant kıyısı, valans bandının en yüksek noktası valans bant kıyısı olarak adlandırılır (Kittel 1990).

Şekil 2.9 Yarıiletken bir kristalin bant yapısı

Valans bandındaki elektronlar çeşitli yollarla uyarılarak iletkenlik bandına geçebilir. Bu şekilde, iletkenlik bandındaki elektronlar ve aynı zamanda bunların valans bandında bıraktıkları boşluklar da iletkenliğe katkıda bulunur.

Yalıtkan maddelerde, tüm elektronlar bulundukları kabuğa bağlıdır. İletime katkıda bulunacak serbest elektronlar olmadığı için iletim bandı tamamen boştur.

İletken maddeler, en dış yörüngelerinde kolayca kopup malzeme içinde serbestçe dolaşacak en az bir tane elektron bulundururlar. İletkenlerde, iletim bandı ve değerlik bandı iç içe girmiş durumdadır. Elektronların hareket edebileceği boş enerji durumları bulunmaktadır.

Yarıiletken, iletken ve yalıtkan malzemelere ait enerji bant grafiği şekil 2.10’da görülmektedir.

Şekil 2.10 İletken, yalıtkan ve yarıiletkenlerin enerji bant aralığı

Yarıiletken maddeler, saf halde yalıtkan olmakla beraber, yapılarına başka bir elementten az miktarda safsızlık atomu katılması halinde yük taşıyıcıları oluşturabilen maddelerdir. Yarıiletken malzemelerde, iletim bandı ve değerlik bandı arasındaki yasak bant aralığı çok küçüktür. Bu sayede elektronlar küçük bir uyarı ile iletim bandına geçebilir ve malzemeyi iletken duruma getirebilir.

Yarıiletken kristalleri bant yapısına göre iki grupta inceleyebiliriz.

• Direk Bant Aralıklı Yarıiletkenler:

Bu tür yarıiletkenlerde elektronun iletkenlik bandına geçişinde, k değerinde önemli bir değişiklik olmaz. Çünkü valans bandının en üst noktası ile iletkenlik bandının en alt noktası aynı k değerinededir. (Şekil 2.11a). Eğer optik soğurma bölgesinin eşik frekansı wg ise enerji aralığı Eg=ħwg ile belirlenir. Böyle bir yarıiletkende, kristal üzerine gelen foton soğurulurken bir elektron ve boşluk yaratılır.

• İndirek Bant Aralıklı Yarıiletkenler:

Bu tür yarıiletkenlerde, k uzayında valans ve iletkenlik bantları arasında bir boşluk vardır. Bu nedenle geçiş için eşik enerji ħw=Eg+ħΩ olup ħΩ fonon enerjisidir (Şekil 2.11b). Sonuç olarak indirek geçişin bant aralığı gerçek bant aralığından daha büyüktür.

(a)

(b)

Şekil 2.11. a. Direk, b. indirek bant aralıklı yarıiletkenler

2.2.2 Yüzey geometrisi

Bir yarıiletken kristalde, tabakaların periyodik bir şekilde sonsuza kadar devam ettiğini düşünelim. Kristal, Miller indisleri (hkl) ile belirlenmiş bir tabakadan kesilsin. Bu şekilde elde edilen yapıya bulk kristal yapı denir ve böyle bir yüzey ideal yüzey olarak adlandırılır. Yüzey için yapılacak örgü hesaplamaları bulk ile benzerlik göstermektedir.

Öncelikle ters örgü vektörünü yazalım;

∑

=

3 , 2 , 1 j

j j

m m b

Gr r

(2.13)

Burada mj pozitif veya negatif tam sayı olabilir. bj ise ters örgünün ilkel dönüşüm vektörleridir. Normal örgü ve ters örgüde birim hücrelerin hacmi

Ω=a1·(a2xa3), Ω^ı=b1·(b2xb3) (2.14)

şeklindedir. Denklem 2.8 ve 2.9’dan yaralanarak fcc yapının ters örgü ilkel dönüşüm vektörleri

(

)

2

1 = −

b^r aπ

, 2

(

)

2 = −

b^r aπ

, 2

(

)

3 = −

b^r aπ

(2.15)

şeklinde yazılır. Buradan fcc örgünün ters örgüsünün cisim merkezli olduğu görülmektedir. Yapının 1. Brillouin bölgesi Şekil 2.12’de verilmiştir. Bölgedeki temel simetri yönelimleri Γ-X, Γ-L ve Γ-K doğrultularındadır.

( )

⎠

⎜ ⎞

⎝ Χ⎛

− Γ

=

∆ 2 ,0

, 0 0

, 0 ,

0 a

π

( )

⎠

⎜ ⎞

⎝

− ⎛ Γ

=

Λ L πa πa πa , , 0

, 0 ,

0 (2.16)

( )

⎠

⎜ ⎞

⎝

− ⎛ Γ

=

Σ a

a

K a ,

2 ,3 2 0 3

, 0 ,

0 π π

Şekil 2.12 fcc kristal yapının Brillouin hücresi ve temel simetri yönelimleri

2.2.3 (001) Yüzeyinin brillouin bölgesi

(1x1) için gerçek uzay örgüsü ilkel vektörleri

(

)

1= 2a −

ar ,

( )

2 2

ar = a (2.17)

şeklindedir. Burada a örgü sabitidir. Ters örgü ilkel dönüşüm vektörleri aşağıdaki gibi yazılabilir.

(

)

2

1= −

b^r aπ

, 2

( )

2 a

b^r ₌ π

(2.18)

Yüzeyin ters örgüsünün ilkel birim hücresi b1 ve b2’nin belirlediği alandır. (1x1) yapı için (001) yüzeyinin birim hücresi Şekil 2.13 a’ da verilmiştir. Burada taranan simetri noktaları

( )

=

Γ , ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

=⎛ ,0 2

J 1 , ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

=⎛

Μ 2

,1 2

1 (2.19)

şeklinde verilir.

(a) (b)

Şekil 2.13 fcc yapıda (001) yüzeyinin a. (1x1) için, b. (1x2) için yüzey Brillouin bölgeleri

(1x2) yapı için aynı işlemler yapılırsa, yüzeyin gerçek uzay örgüsü

(

)

1 = a −

ar ,

( )

2 2

ar = a (2.20)

Buradan ters örgünün ilkel dönüşüm vektörleri bulunursa

(

)

2

1 = −

bv aπ

, ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛ ,0

2 ,1 2 1 2

2 a

bv π

(2.21)

şeklinde olur. (1x2) için yüzeyin ilkel birim hücresi Şekil 2.13 b’ de verilmiştir. Bu yapı için taranan simetri noktaları aşağıdaki gibidir.

( )

=

Γ , ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

=⎛ ,0 2

J 1 , ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

=⎛ 4 ,1 2

K 1 , ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

=⎛ 4 ,1

' 0

J (2.22)

2.2.4 Yarıiletken çeşitleri

Yarıiletkenler yapılarına göre iki grupta toplanır (Sarı, 2005):

• Tek Atomlu Yarıiltkenler:

Tek bir elementten meydana gelmiş yarıiletken malzemelerdir. Periyodik cetvelin IV B grubunda bulunurlar. En bilinenleri ve teknolojik açıdan günümüzde en çok kullanılanları silisyum (Si) ve germanyum (Ge)dur.

• Bileşik Yarıiletkenler:

İki ya da daha fazla elementin bir araya gelerek oluşturduğu yarıiletken malzemelerdir.

III ve V B grubu elementlerinin oluşturdukları yarıiletkenlere III-V bileşik yarıiletkenleri denir. GaAs, AlAs, InAs ve InP bu grubun ikilisine, GaxAl(1-x)As ve InxAl(1-x)As ise üçlüsüne örnektir.

II ve VI B grubu elementlerinin oluşturdukları yarıiletkenlere II-VI bileşik yarıiletkenleri denir. HgTe ve CdTe bu grubun ikilisine, CdxHg(1-x)Te ise üçlüsüne örnektir.

Yarıiletkenler saflıklarına göre iki grupta incelenirler (Sarı, 2005):

• Özgün Yarıiletkenler:

Bu tip yarıiletkenlerin içinde herhangi bir safsızlık atomu bulunmaz. Taban durumunda bulunan özgün yarıiletkenin değerlik bandı tam dolu, iletim bantları tam boştur. Bant aralığı küçük olduğu için dışardan gelen bir etki ile değerlik bandındaki elektronlar iletim bandına geçer. Bu elektronlar iletim bandına geçtiklerinde, değerlik bandındaki yerlerini boş bırakırlar. Bu boşluklara deşik (hole) denir. “n” elektron sayısı ve “p”

deşik sayısı olmak üzere özgün bir yarıiletkende n=p’dir.

• Katkılı Yarıiletkenler:

Kristal içine safsızlık atomları yerleştirilerek elde edilen yarıiletkenlerdir. Katkılı yarıiletkenler n – tipi ve p – tipi olmak üzere ikiye ayrılır (Sarı, 2005).

I

V. gruptaki bir yarıiletken III.grup bir başka elementle katkılandığında bir elektron boşluğu (deşik) oluşur. Bunun sebebi III. grup elementin sahip olduğu üç değerlik elektronunun IV. grup elementin sahip olduğu dört elektronu çiftleyememesidir. Böyle bir sistemde yük taşıyıcısı olarak deşikler kullanılır. Deşik üreten bu katkı maddesine

“akseptör” denir. Akım taşıyıcılarının çoğunluğu deşiklerden oluştuğu için bu yarıiletkene p – tipi yarıiletken denir.

IV. gruptaki bir yarıiletken V.grup bir başka elementle katkılandığında bir elektron fazlası oluşur. Bunun sebebi V. grup elementin sahip olduğu beş değerlik elektronunun IV. grup elementin sahip olduğu dört elektronu çiftlemesi ve bir elektronunu serbest bırakmasıdır. Böyle bir sistemde yük taşıyıcısı olarak elektronlar kullanılır. Sisteme fazladan bir elektron veren bu katkı maddesine “donör” denir. Akım taşıyıcıları çoğunlukla elektron olduğu için bu yarıiletkene n – tipi yarıiletken denir.

Şekil 2.14 Katkılı yarıiletkenler (Sarı, 2005)

2.3 Yarıiletken Yüzeylerin İncelenmesinde Kullanılan Yöntemler

Yarıiletken yüzeyler teknolojik uygulamaları bakımından oldukça geniş bir alana sahiptir. Dolayısıyla bu yüzeylerin doğru şekilde karakterize edilmesi, yüzey bilimi ve uygulamaları açısından ön şarttır.

Yarıiletken yüzeyler iki şekilde incelenir:

♦ Deneysel Metotlar

♦ Teorik Modelleme

2.3.1 Deneysel metotlar

Yüzey fiziğinde kullanılan deneysel metotlar, incelenen yüzeyin geometrisini gerçek uzay analizi yaparak doğrudan gösterebilir. Aynı zamanda yüzeyin araştırılan diğer özelliklerini çeşitli parametrelere bağlı olarak grafiksel biçimde verebilir.

Yüzey analizinde kullanılan deneysel teknikler dört ana başlık altında toplanabilir:

♦ Kırınım Metotları

♦ Elektron Spektroskopisi Metotları

♦ İyonlarla Yüzey Araştırması

♦ Mikroskoplar

Bu yöntemlerden en çok kullanılan bazıları şunlardır (Ayduğan, 2005):

- Düşük Enerjili Elektron Kırınımı (LEED) - Taramalı Tünelleme Mikroskobu (STM) - Atomik Kuvvet Mikroskobu (AFM) - Taramalı Elektron Mikroskobu (SEM) - Taramalı Tünelleme Spektroskopisi (STS)

2.3.1.1 Düşük enerjili elektron kırınımı (Low energy electron diffraction; LEED)

Bu yöntemde, araştırılan yüzey üzerine 20 – 200 eV enerjili elektron demeti gönderilir.

De Broglie eşitliğine göre 2.2Å ile 0.5 Å aralığında dalga boyuna sahip olan bu elektron demeti, örnek yüzeyinden saçılır. Saçılan elektron demetinin deseni kaydedilip analiz edilerek yüzeydeki atomların düzeni hakkında bilgi edinilir. Desendeki keskinlik, yüzey atomlarının dizilişiyle orantılıdır.

Şekil 2.15 LEED çalışma mekanizması

Bu teknik ile elde edilen veriler iki şekilde analiz edilir:

1. Nitel : Adsorbe edilmiş birim hücrenin boyutu, simetrisi ve rotasyonelinden kazanılan bilgi, alttaş birim hücreye göre analiz edilerek atomların konumları bulunur.

2. Nicel : Farklı şekilde kırılmış demet yoğunlukları, gelen elektron demetinin bir fonksiyonu olarak alınır. Burada çizilen I-V grafikleri teorik verilerle karşılaştırılarak atomların pozisyonları saptanır.

Şekil 2.16 Si (111) 7x7 yüzeyinin LEED ile alınmış bir görüntüsü

2.3.1.2 Taramalı Tünelleme Mikroskobu (Scanning Tunneling Microscope; STM)

STM, kuantum mekaniksel prensiplere göre çalışan, optiksel olmayan bir mikroskoptur.

Atomik boyutta oldukça keskin olan uç (tip), araştırılan yüzey üzerinde hareket eder ve yüzey ile tip arasına bir gerilim uygulanır.

Şekil 2.17 STM’in çalışması

Uygulanan bu gerilime bağlı olarak, tipten yüzeye doğru bir elektron geçişi olur. Oluşan bu zayıf akıma “Tünelleme Akımı” denir. Tünelleme akımı örnek yüzeyi ile tip arasındaki uzaklığa eksponansiyel olarak bağlıdır. Sisteme bağlı bir geri besleme ünitesi, oluşan bu akımı sabit tutmak için tip ile yüzey arasındaki mesafeyi ayarlar. Bu ayarlama, bir piezoelektrik elementin elektrotları üzerine gerilim uygulayarak yapılır.

Yüzey ile tip arasındaki yükseklik, piezoelektrik malzemeye uygulanan bu gerilimle doğru orantılıdır. Piezoelektik malzemeye uygulanan gerilim dikkate alınarak aradaki yükseklik ölçülür ve yüzeyin topografisi elde edilir.

Şekil 2.18 Grafit yüzeyinin STM ile alınmış bir görüntüsü

STM’de bir tünelleme akımı oluştuğu için bu sistemle araştırılacak yüzey iletken ya da yarıiletken olmalıdır. Yalıtkan malzemelerin yüzey karakterizasyonu STM ile yapılamaz.

2.3.1.3 Atomik kuvvet mikroskobu (Atomic force microscope; AFM)

Atomik Kuvvet Mikroskobu, yüksek çözünürlüklü bir Taramalı Probe (Uç) Mikroskobu’dur. Angstrom mertebesinde ölçüm yaparak optiksel mikroskoplardan 1000 kat daha iyi bir görüntü alınmasını sağlar.

Şekil 2.19 AFM’nin çalışması

AFM’nin çalışması genel olarak cantilever’daki sapmanın ölçülmesiyle ilgilidir.

Cantilever üzerine bir lazer ışını düşürülür ve bu ışın bir fotodiyot yardımıyla denetlenir. Cantileverin ucundaki tip, yüzey atomlarıyla Hook Kuralı’na uygun olarak etkileşir. Bu etkileşim ile bükülen cantileverdan sapan lazer ışını, fotodiyotta algılanır.

Buna sapmaya bağlı olarak yüzey analizi yapılır.

AFM üç modda çalışır:

Kontak Mod : Bu modda tip yüzey ile sürekli temas halindedir.

Non – kontak Mod : Bu modda tip yüzeyle temas etmez. Tip ile yüzey arasındaki Van der Waals bağları etkindir.

Tapping Mod : Bu modta tip yüzey üzerinde belli bir frekansla osilasyon yapar.

Şekil 2.20 AFM örnek görüntüleri

a. Si (111) 7x7 yüzeyi b. Si – Ge bileşiği

AFM’de herhangi bir tünelleme akımı olmadığı için, yalıtkan malzemelerin de görüntüleri araştırılabilir.

2.3.1.4 Taramalı elektron mikroskobu (Scanning electron microscope; SEM)

Bu mikroskopta 30keV’e kadar hızlandırılmış elektronlar numune yüzeyine gönderilir.

Elektron tabancasında hızlandırılan bu elektronlar, manyetik lensler sayesinde ince bir demet halinde örnek yüzeyine odaklandırılır. Elektronlar yüzeye çarptıklarında yüzey atomları ile etkileşirler.

Şekil 2.21 SEM’in çalışma şeması

(a) (b)

SEM’de görüntü üç tip analiz ile elde edilir:

Geri Saçılan Elektronlar: Yüzeye çarpan elektronlar, yüksek enerjili oldukları için yüzey atomunun çekirdeği ile etkileşip geri saçılır. Saçılan bu elektronların analizinden yüzey hakkında bilgi alınabilir.

İkincil Elektronlar: Yüzeye çarpan yüksek enerjili elektronlar, kimi zaman çekirdekle etkileşmek yerine yüzey atomunun elektronlarıyla etkileşir. Her ikisinin de yükünün negatif olması, gelen elektronların yüzeyin kendi elektronlarını koparıp dışarı fırlatmasına neden olabilir. bu durumda çıkan bu ikincil elektronlar dedekte edilerek yüzey topografisi alınabilir.

Işımalar: Yüzeyde gerçekleşen tüm bu etkileşimler sırasında çeşitli ışımalar gözlenebilir. Yüzeyden çıkan bu ışımalar incelenerek yüzey hakkında bilgi elde edilebilir.

Şekil 2.22 SEM görüntüleri

a. Entegre

b. Çelik yüzeyindeki granüler çatlak (x2600)

2.3.1.5 Taramalı tünelleme spektroskopisi (Scanning tunneling spectroscopy; STS)

Taramalı Tünelleme Spektroskopisi, taramalı tünelleme mikroskobu ile yapılan bir ölçüm tekniğidir. Bu teknikle elektronik durumların yerel yoğunlukları atomik ya da moleküler düzeyde gözlenebilir.

(a) (b)

Şekil 2.23 STS görüntüsü

STM’deki gerilim ve tünelleme akımı I değerleri dikkate alınarak I – V grafiği çizilir.

Bu grafiğin normalize edilmiş birinci türevine “diferansiyel iletkenlik” denir. Elektronik durum yoğunluğu, diferansiyel iletkenlikle doğru orantılıdır.

Buna göre çizilen bir dI / dV – V grafiği, yüzeyin elektronik durumuyla ilişkilidir.

Bu durumda yerel elektronik yoğunluk;

şeklinde verilir. (2.23)

E, Fermi seviyesine göre elektron enerjisi, ρs yüzeyin elektronik durum yoğunluğu, ρt

ise tipin elektronik durum yoğunluğudur. Örneğin ve tipin Fermi düzeyleri eşitlendiğinde diferansiyel iletkenlik şu şekilde verilir;

(2.24)

2.3.2 Teorik modelleme

Teorik modelleme konusu anlatılmadan önce yarıiletken yüzey kavramının ne olduğu ve nasıl elde edildiği anlaşılmalıdır. Yüzey fiziğinde isimlerine çok sık rastlanan iki temel kavramı açıklamak gerekirse;

Bulk : Çok sayıda atomik tabakadan oluşan 3 boyutlu bir yapıdır. Bulk yapıda atomlar belirli bir düzen içerisindedir. Bulk MBE gibi büyütme teknikleriyle elde edilir.

Yüzey : Birbiriyle sıkı temasta olan iki katıyı birbirinden ayıran ve böylece bütün katıdan farklılaşan az sayıdaki atomik tabakadan oluşmuş iki boyutlu bir yapıdır.

Bulk‘ın (hkl) indisleri ile belirlenmiş düzleminden kesilerek elde edilir. Bulk’da gözlenen periyodik yapı yüzeyde elektronik düzenin değişmesinden dolayı yok olmaktadır.

Yüzey oluşumu bir katının ikiye bölünmesi olarak da düşünülebilir. Katı yapıların bölünebilmesi için atomlar arasındaki bağların kırılması gerekir. Bağları kırmak için gerekli olan enerjiye “Yüzey Serbest Enerjisi” denir. Bu işlem yüzeyde boş bağların oluşmasına neden olur. Yüzeyde açıkta kalan bu boş bağlara “Kırık Bağ (Dangling Bond)” denir (Gürünlü, 2005).

Şekil 2.24 Kırık (Dangling) bağlar

Kırık bağlar enerji bakımından kararsızdır. Dolayısıyla yüzey, enerjisini minimize etmek için kararsız yüzey atomlarını hareket ettirir. Bu durumda yüzeyler iki türlü hareket sergileyebilir;

1- Relaxation (Durulma)

2- Reconstruction (Yeniden Yapılanma)

Bu olayların her ikisinde de karasız yüzey atomları minimum enerjili kararlı konumlara ulaşmaya çalışır. (mxn) bir yüzeyin periyodikliği olmak üzere, yüzey periyodikliği durulma olayında değişmezken, yeniden yapılanmada değişir.

Bir yüzeyde bu iki mekanizma ayrı ayrı gerçekleşebileceği gibi, yüzey enerjisini minimize etmek için beraber de işleyebilirler.

2.3.2.1 Relaxation (Durulma)

Bir katının sonlandığı yüzeyde meydana gelen kararsız durum, serbest enerjisini azaltmak için yüzeyi yeni bir denge konumu belirlemeye zorlar. Yüzeyin yeni denge konumuna ulaşmasını sağlayan hareketlerinden biri olan relax olayında, hareket yüzeyin normali boyuncadır. Yani yüzeyin simetrisinde yada yüzeye paralel periyodiklikte bir değişme olmaz; (mxn) sabit kalır (Srivastava, 2000).

Şekil 2.25’de bir yüzeyin relax olmadan önceki ve sonraki kesit görüntüsü verilmiştir.

Relax olmadan önceki atomik tabakalar arasındaki uzaklığa dBulk, relax olduktan sonra tabakalar arası mesafeye d1-2 denilsin. Relax olayında birinci tabaka atomları ikinci tabakaya doğru hareket edeceği için d1-2 < dBulk olur.

Şekil 2.25 a. yüzey relax olmadan önce, b. yüzey relax olduktan sonra 2.3.2.2 Reconstruction (Yeniden Yapılanma)

Atomik yapıların üst katmanlarının yatayda düzenlendiği duruma ya da yüzeyde bulk yapıdan daha farklı bir yapılanma olması durumuna yeniden yapılanma denir.

Reconstruction olayında hareket yatay doğrultudadır. (mxn) yüzey periyodikliği, enerjiyi minimize edecek şekilde değişebilir (Srivastava, 2000).

a₁* ve a₂* yeni birim hücreyi tanımlayan örgü vektörleri ise, m ve n şu şekilde değişir;

m = a₁* / a₁ , n = a2* / a₂ (2.25) m ve n tamsayı olmak zorunda değildir. Yeni birim hücre farklı örgülere karşı gelebilir.

En üst tabaka ya da tabakalardaki atom sayılarının korunup korunmamasına bağlı olarak reconstruction ikiye ayrılır (Ayduğan, 2005);

- Korunumlu reconstuction - Korunumsuz reconstruction

(a)

(b)

Şekil 2.26 a. yeniden yapılanmamış yüzey, b. yeniden yapılanmış yüzey Korunumlu yeniden yapılanmada atom sayısı korunur. Korunumsuz yeniden yapılanmada, yeniden yapılanma katmanındaki atom sayısı bulktaki katmana göre değişmiştir.

Şekil 2.27 Korunumlu ve korunumsuz yeniden yapılanma

Şekil 2.27’ ye bakılacak olursa;

(a)ve (c) korunumlu yeniden yapılanmayı gösterir. (Yeniden yapılanmada yüzeydeki atom yoğunluğu korunmuş olur.)

(a) ve (b) de yalnızca yüzeydeki atomlar yapılanır.

(c) ve (d) de ise birkaç atomik tabaka yeniden yapılanır.

(a) (b)

Yüzeylerin “durulma” ve “yeniden yapılanma” mekanizmalarını 3 temel ilkeyle açıklayabiliriz (Srivastava, 1997);

İlke 1: Yüzey enerjisi, sistemin yarıiletken özellik kazanmasını sağlayacak şekilde minimize edilebilir. Bunu gerçekleştirmek için atom bulk’a doğru hareket eder ve kırık bağındaki çiftlenmemiş elektronlarını komşu atomun kırık bağına verir. Dolayısıyla elektronlarını çiftleyen bu atom ise bulk’tan dışarı doğru itilir. Buna “Kırık Bağ Orbitallerinin Rehibridizasyonu” denir.

İlke 2: Yüzey enerjisini minimum yapmak için komşu atomların kırık bağları arasında yeni bağlar oluşturulabilir. Bu işgal edilmiş ve edilmemiş yüzey durumlarının oluşmasına ve sistemin yarıiletken olmasına yol açar.

Yüzey atomlarının kendi aralarında yaptıkları ikili bağa “dimer” üçlü bağa “trimer”

denir.

Şekil 2.28 a. Simetrik dimer, b. yüzey dimer’larının üstten görünüşü

İlke 3: Durulma ve yeniden yapılanma olayları “Elektron Sayma Kuralı”na uyar. Bu daha çok bileşik yarıiletkenlerde gözlenen bir durumdur. Bu tip yarıiletkenler katyon ve anyonlarla karakterize edilirler.

Elektron Sayma Kuralı: Elektronegatifliği fazla olan anyonlar, elektronegatifliği daha az olan katyonların kırık bağlarındaki çiftlenmemiş elektronları alır. Böylece anyonlar

(b) (a)

bağlarını tamamen dolu hale getirirken katyon bağları tamamen boş duruma geçer.Bu işleme “elektron sayma kuralı” adı verilir (Srivastava, 2006).

2.4 Parçacık Etkileşimleri

Çok cisim problemi fiziğin henüz tam olarak çözülmemiş temel problemlerinden biridir.

Şu ana kadar iki cisim etkileşmeleri çözüldü fakat üç ve daha çok cismin birbiriyle olan etkileşmeleri çözümlenebilmiş değildir. Çok elektronlu bir sistemin birbirileri ile olan etkileşmeleri düşünülürse, sistemin serbestlik derecesi çok büyük olacaktır. Dolayısı ile Schrödinger denkleminin çözümü de imkansızdır.

Bir kristal sistemi içerisindeki iyonların ve elektronların davranışı ψ çok cisim dalga fonksiyonu tarafından tanımlanır. Dalga fonksiyonunu Schördinger denkleminde kullanır isek

) , ( )

,

(R r E R r

Hψ_i = _iψ_i (2.26)

ifadesini elde ederiz. Burada, H hamiltoniyeni, E ise enerji özdeğerlerini temsil eder. R iyonların konumlarını, r de elektronların konumlarını vermektedir. Kristal sisteminde Hamiltoniyenin içereceği terimler önem sırasına göre yazılırsa:

1) Noktasal çekirdeğin Coulomb alanında elektronların kinetik ve potansiyel enerjileri, 2) Elektronlar arasındaki elektrostatik itmeler,

3) Elektron spinlerinin yörüngesel hareketlerle olan magnetik etkileşmeleri, (spin- yörünge etkileşmeleri)

4) Elektronların spin-spin etkileşmeleri

5) Relativistik etkiler, çekirdek düzeltmeleri şeklinde olacaktır.

1. ve 2. maddedeki etkileşmeler göz önüne alınırsa sistemin Hamiltoniyeni aşağıdaki gibi yazılabilir (Srivastava, 1997).

H=T +V +T +V +V

Burada Tiyon ve Viyon-iyon iyonların kinetik ve potansiyel enerji operatörü, Tel elektronların kinetik enerji operatörü, Vel-iyon elektron-iyon etkileşme potansiyel enerji operatörü ve Vel-el elektron-elektron etkileşme potansiyel enerji operatörüdür.

Bir atom göz önüne alındığında, atomik çekirdek elektronlardan daha ağırdır (mn,p≈2000me). Born-Oppenheimer yaklaşımı bu gerçeği dikkate alarak çekirdeği sabitlenmiş bir parçacık gibi düşünmüştür. Çekirdeğin konumundaki çok küçük değişiklikten elektronlar hemen etkilenmektedir. Burada çekirdeğin kinetik enerjisi ihmal edilebilir ve yaklaşım kullanılarak toplam dalga fonksiyonu elektronik ve iyonik dalga fonksiyonlarının bir çarpımı olarak yazılabilir.

Ψ(r,R)=χ(R)η(R,r) (2.28)

Burada R iyonların pozisyonları, r ise elektronların koordinatlarını gösterir. Elektronik dalga fonksiyonu χ(R) iyonik pozisyona, iyonik dalga fonksiyonu η(R,r) elektronik koordinat ve iyonik pozisyona bağlıdır. (2.26) ve (2.28) denklemleri kullanılarak iyonlar ve elektronlar için iki ayrı Schrödinger denklemi yazılabilir:

İyonlar için

[Hiyon+Eel(R)]χ(R)=E χ(R)

elektronlar için

(2.30) denklemindeki elektronlar için Hamiltoniyen aşağıdaki gibi yazılabilir.

^{( ) ( )}

2 2 2

i el el i i ext

el r V r V r

m

H i i

v v v

h

+ − +∑

− ∑ ∇

= (2.31)

Vel-el elektron-elektron etkileşme potansiyelidir. Vext ise çekirdeksel konfigürasyon tarafından elektronların üzerine etkiyen dış potansiyeldir.

Yarıiletken yapıda gerçekleşen elektron – elektron ve elektron – iyon etkileşimlerini hesaba katıp en uygun sonuca ulaşmak için çeşitli yaklaşımlar yapılır.

Elektron – Elektron Etkileşimi İçin;

1. Dalga Fonksiyonu Yaklaşımı: Temel değişken olarak dalga fonksiyonunun kullanıldığı bir yaklaşımdır.

2. Yoğunluk Fonksiyonu Yaklaşımı: Elektronik yük yoğunluğunu temel alan bir yaklaşımdır.

Elektron – İyon Etkileşimi İçin;

1. Tüm Elektron Metodu: Elektron – iyon etkileşmesindeki Coulumb potansiyeli dikkate alınır.

2. Düzlem Dalga Gösterimi: Düzlem dalgalar kullanılarak kinetik enerji dikkate alınır.

3. Pseudo – Potansiyel Metot: İyon - kor yaklaşımı yaparak valans elektronlarını dikkate alan yaklaşımdır.

Vext potansiyelini tanımlamak için iki metot kullanılır. Bunlar Tüm-Elektron (All- Elektron) Metodu ve Pseudo- Potansiyel Metodudur.

2.4.1 Elektron - Elektron etkileşmesi

Çok parçacık probleminin karmaşıklığından dolayı (2.30) denkleminin çözümü zorluğunu hala korumaktadır. Çözüm için yaygın olarak kullanılan iki yaklaşım vardır.

Bunlar; dalga fonksiyonu yaklaşımı ve yoğunluk fonksiyonu yaklaşımıdır. İki yaklaşımda da çok parçacık Schrödinger denklemi tek parçacık denklemine indirgenerek çözüme gidilir (Gürünlü, 2005).

2.4.1.1 Dalga fonksiyonu yaklaşımı

Yaklaşımda temel değişken olarak dalga fonksiyonu kullanılmaktadır. İki temel teori vardır. Bunlar Hartree Teorisi ve Hartree-Fock Teorisidir.