KONU 4:

1 Model Yapısındaki Değişim

4.1. Modele yeni bir değişken eklenmesi

 

biçiminde tanımlı standartlaştırılmış bir d.p.p.’ de, m sayıda kısıt ve n tane değişken olsun. Problemin çözümü X*_B olarak verilsin. (4.1) ifadesi ile tanımlı d.p.p.’ ne bir değişken (Xn1) daha eklensin. Bu durumda, an1 değişkenin katsayısı, cn1 değişkenin fiyatı (amaç fonksiyonuna katkısı) olmak üzere, problemin primal uygunluğu etkilenir mi?

1 n

X temel değişken olmadığı için, Xn10’ dır. Xn1 temeli etkilemez ve * B

X halen uygun çözümdür (X*_B 0).

Problemin dual uygunluğu etkilenir mi?

1 n

X temel dışı değişken olduğu için en iyilik koşulları bozulabilir.



1 1 1 1 1

n n B n n

Z c c B a c

eşitliği incelenerek, en iyilik koşullarının sağlanıp sağlanmadığına bakılabilir. Bir en büyükleme problemi için, Z_n1c_n10 ve bir en küçükleme problemi için, Z_n1c_n10 olmalıdır. Eğer, en iyilik koşulu sağlanıyorsa, yeni değişkenin (X_n1) modele eklenmesi en iyi çözümü etkilemez. Aksi halde (en iyilik koşulunun bozulması durumunda), X_n1 değişkenine ilişkin yn1B a1 n1 hesaplanır. Bu vektör, en iyi tabloya alınarak, en iyilik koşulu sağlanıncaya kadar simpleks yöntem uygulanır.

4.2. Modele yeni bir kısıt eklenmesi

2 Örnek 4.1:         1 2 1 2 1 2 1 2 max 3 2 3 6 1 , 0 Z X X X X X X X X

biçiminde tanımlı primal problemin en iyi çözüm tablosu

En iyi çözüm tablosu 1 3 0 0 B C T _V X _B y ₁ y ₂ y ₃ y ₄ 1 X ₁ 3/5 1 0 1/5 -3/5 3 X ₂ 8/5 0 1 1/5 2/5  * _{27 5} Z 0 0 4/5 3/5

biçiminde tanımlanmıştır. Buna göre,

a. En iyi çözüm tablosu yukarıda verilen d.p.p.’ ne, X değişkeni ekleniyor. Eklenen bu ₅

değişkene ilişkin,    

 

5 1 4

a ve c₅3 olarak veriliyor. X değişkeninin eklenmesinin en ₅ iyi çözümde yaratacağı değişimi inceleyiniz.

b. D.p.p.’ ne    

 

5 2 1

a ve c₅5 olan X değişkeni eklenirse, en iyi çözüm değişir mi? ₅ c. D.p.p.’ ne 2X₁5X₂3 kısıtı eklensin. En iyi çözüm değişir mi?

Çözüm: a. Z₅ c₅ c B a_B 1 ₅ c₅ 0 olmalı.





3     5 5 5 14 0 5 Z c

olduğundan, X değişkeninin modele eklenmesi en iyi çözümü değiştirir. Buna göre, ₅

    _{  }   _{   }           1 5 5 5 1 / 5 _{3 / 5 2} 1 1 / 5 2 / 5 1 5 4 / 5 y B a y

olacak biçimde, y vektörü en iyi çözüm tablosuna alınarak, simpleks algoritması ₅ uygulanır. 1 3 0 0 5 B C T _V X _B y ₁ y ₂ y ₃ y ₄ y ₅ 1 X ₁ 3/5 1 0 1/5 -3/5 -1/5 3 X ₂ 8/5 0 1 1/5 2/5 4/5  * _{27 5} Z 0 0 4/5 3/5 -14/5 0 olmalı 1 3 0 0 5 B C T _V X _B y ₁ y ₂ y ₃ y ₄ y ₅ 1 X ₁ 1 1 1/4 1/4 -1/2 0 5 X ₅ 2 0 5/4 1/4 1/2 1  * ₁₁ Z 0 14/4 6/4 2 0 0 sağlandı c.  _{  }  _{ } _       * 1 * * 2 3 / 5 8 / 5 B B B X X X olup,     _{ } _{ }      3 8 46 2 5 3 5 5 5

4 Örnek 4.2:           1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 max 5 3 2 3 2 20 2 15 , , 0 Z X X X X X X X X X X X X

biçiminde tanımlı primal problemin en iyi çözüm tablosu

En iyi çözüm tablosu 5 3 2 0 0 B C T _V X _B y ₁ y ₂ y ₃ y ₄ y ₅ 5 X ₁ 5 1 1 0 1 -1 2 X ₃ 5 0 -1 1 -2 3  * ₃₅ Z 0 0 0 1 1

biçiminde tanımlanmıştır. Buna göre, verilen d.p.p.’ ne X₁2X₂5X₃10 kısıtının eklenmesinin en iyi çözümü etkileyip etkilemediğini inceleyiniz.

Çözüm:  _{  }  _{  } _{   }  _{  }       * 1 * * 2 * 3 5 0 5 B B B B X X X X olup,      5 2 0 5 5 10

olduğundan, X₁2X₂5X₃10 kısıtının eklenmesi, en iyi çözümü değiştirir. Verilen kısıt,

   

1 2 2 5 3 6 10

X X X X

biçiminde standartlaştırılıp, en iyi çözüm tablosuna eklenir. Gauss yinelemeli işlemler uygulanarak, en iyi çözüm tablosuna eklenen satırda birim matris elemanları oluşturulacak biçimde güncelleme yapılır.

5 biçimde





 1 1.satır 3.satır Yeni satır 3.

ve





 5 2.satır 3.satır Yeni satır 3.

işlemleri uygulanarak, hesaplamalar yapılır. Buradan,

En iyi çözüm tablosu 5 3 2 0 0 0 B C T _V X _B y ₁ y ₂ y ₃ y ₄ y ₅ y ₆ 5 X ₁ 5 1 1 0 1 -1 0 2 X ₃ 5 0 -1 1 -2 3 0 0 X ₆ -20 0 6 0 9 -14 1  * ₃₅ Z 0 0 0 1 1 0 0 sağlandı