BÖLÜM 1 OLASILIK TEORİSİ 1.3 Olayların Kombinasyonları 1.4 Koşullu Olasılık

Doç. Dr. Furkan BAŞER Ankara Üniversitesi Uygulamalı Bilimler Fakültesi

SAB101 OLASILIK

BÖLÜM 1

OLASILIK TEORİSİ

1.3 Olayların Kombinasyonları

1.4 Koşullu Olasılık

1.3 Olayların Kombinasyonları

1.3.1 Olayların Kesişimleri (1/5)

• Olayların Kesişimi

olayı, A ve B olaylarının kesişimi olarak adlandırılır ve hem A da hem B de olan olayları ifade eder.

Bu olayın olasılığını ifade eden , A ve B olaylarının her ikisinin aynı anda meydana gelme olasılığıdır.

A B

( )

P AB

1.3.1 Olayların Kesişimleri (2/5)

• S örneklem uzayı, 9 sonuçtan oluşsun:

( ) 0.01 0.07 0.19 0.27

( ) 0.07 0.19 0.04 0.14 0.12 0.56 ( ) 0.07 0.19 0.26

P A P B

P A B

   

     

   

1.3.1 Olayların Kesişimleri (3/5)

( ) 0.04 0.14 0.12 0.30

( ) 0.01

( ) ( ) 0.26 0.01 0.27 ( )

( ) ( ) 0.26 0.30 0.56 ( )

P A B P A B

P A B P A B P A

P A B P A B P B

    

  

       

       

1.3.1 Olayların Kesişimleri (4/5)

• Ayrık Olaylar (Mutually Exclusive Events)

Eğer ise yani A ve B olaylarının ortak bir sonucu yoksa bu durumda A ve B olayları ayrık olaylardır.

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

P A B P A B P A P A B P A B P B

    

    

A  B

1.3.1 Olayların Kesişimleri (5/5)

A   B A

( ) ( )

A B B A A A A

A S A A

A A

A B C A B C

  

 

 

  

   

    

1.3.2 Olayların Birleşimleri (1/4)

• Olayların Birleşimleri

olayı, A ve B olaylarının birleşimidir ve A ve B olaylarından en az birinde yer alan sonuçlardan oluşur. Bu olayın olasılığı olan , A ve B olaylarından en az birinin meydana gelme olasılığıdır.

A  B

( )

P AB

1.3.2 Olayların Birleşimleri (2/4)

• olayındaki sonuçların üç çeşit olarak sınıflandırılabileceğine dikkat edin:

1. A olayında olup B de olmayan 2. B olayında olup A da olmayan 3. Hem A hem B olaylarında olan

AB

( ) ( ) ( ) ( )

P A  B  P A  B   P A   B  P A  B

1.3.2 Olayların Birleşimleri (3/4)

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

If the events and are mutually exclusive so that

( ) 0, then ( ) ( ) ( )

P A B P A P A B P A B P B P A B

P A B P A P B P A B

A B

P A B P A B P A P B

    

   

    

    

1.3.2 Olayların Birleşimleri (4/4)

• Olayların birleşimleriyle ilgili basit sonuçlar:

( )

( )

( ) ( )

A B A B A B A B A B B A A A A

A S S

A A

A A S

A B C A B C

  

  

  

  

  

 

 

 

  

    

1.3.3 Kesişim ve Birleşimlerle İlgili Örnekler (1/11)

• Örnek : Televizyon Seti Kalitesi

Televizyon setleri üreten bir şirket, ambalajlamadan ve göndermeden önce her cihazda son kalite kontrolü gerçekleştirsin. Kalite kontrol, resmin kalitesi ve görünümünün bir değerlendirmesini içerir. Her iki

değerlendirmenin her biri mükemmel(P), iyi (G), yeterli (S) ve başarısız (F) olarak derecelendirilsin.

1.3.3 Kesişim ve Birleşimlerle İlgili Örnekler (2/11)

İki değerlendirmeden herhangi birinde «başarısız» olan ve her iki değerlendirmede de «yeterli» derecelerini alan bir cihaz sevk edilmeyecektir.

A = { cihaz sevk edilmeyecek}

= { (F,P), (F,G), (F,S), (F,F), (P,F), (G,F), (S,F), (S,S) }

P(A) = 0.074

Televizyon setlerinin

yaklaşık %7.4 ü kalite kontrolünden geçememiştir.

1.3.3 Kesişim ve Birleşimlerle İlgili Örnekler (3/11)

B = { resim kalitesi yeterli veya başarısız}

P(B) = 0.178

1.3.3 Kesişim ve Birleşimlerle İlgili Örnekler (4/11)

= { resim kalitesi yeterli veya başarız ve sevk edilmeyen}

A  B

( ) 0.055

P A  B 

1.3.3 Kesişim ve Birleşimlerle İlgili Örnekler (5/11)

= {cihaz ya sevk edilmedi veya resim yeterli veya başarısız olarak değerlendirildi}

A  B

( ) 0.197

P A  B 

1.3.3 Kesişim ve Birleşimlerle İlgili Örnekler (6/11)

= { Televizyon setleri mükemmel veya iyi olarak değerlendirildi ve sevk edilmedi}

( ) 0.019

( ) ( ) 0.055 0.019

0.074 ( ) P A B

P A B P A B

P A

  

     





( ')

P A  B

1.3.3 Kesişim ve Birleşimlerle İlgili Örnekler (7/11)

• Şans Oyunları

- A = { zar atıldığında çift sayı gelmesi}

= { 2, 4, 6 } B = { 4, 5, 6 }

- A = { toplamlarının 6 gelmesi}

B = { iki zar atıldığında en az bir tane 6 gelmesi}

P(A) = 5/36 and P(B) = 11/36

=> A ve B ayrık olaylarsa;

{4, 6} ve {2, 4, 5, 6}

2 1 4 2

( ) ve ( )

6 3 6 3

A B A B

P A B P A B

   

     

and ( ) 0 A    B P A  B 

16 4

( ) ( ) ( )

36 9

P A  B    P A  P B

1.3.3 Kesişim ve Birleşimlerle İlgili Örnekler (8/11)

- Birinci zar kırmızı ikinci zar mavi olsun (kırmızı, mavi).

A = { kırmızı zarda çift sayı gelmesi}

1.3.3 Kesişim ve Birleşimlerle İlgili Örnekler (9/11)

B = { mavi zarda çift sayı gelmesi}

1.3.3 Kesişim ve Birleşimlerle İlgili Örnekler (10/11)

= { hem kırmızı hem mavi zarda çift sayı gelmesi}

A  B

9 1

( )

36 4 P AB  

1.3.3 Kesişim ve Birleşimlerle İlgili Örnekler (11/11)

= { en az bir zarda çift sayı gelmesi}

A  B

27 3

( )

36 4 P A B  

1.3.4 Üç ve Daha Fazla Olayların Kombinasyonu (1/4)

• Üç Olayın Birleşimi

A, B ve C üç olayın birleşiminin olasılığı, üç olaydan en az birinde yer alan basit sonuçların olasılık değerlerinin toplamıdır. Bu ifade aşağıdaki gibi gösterilir:

 

 

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

P A B C P A P B P C

P A B P A C P B C P A B C

    

     

  

1.3.4 Üç ve Daha Fazla Olayların Kombinasyonu (2/4)

( ) ( ) ( ) ( )

P A

B C

P A

P B

P C

1.3.4 Üç ve Daha Fazla Olayların Kombinasyonu (3/4)

• Ayrık Olayların Birleşimi

ayrık olayların birleşik olaylarının olasılığı:

• Örnek Uzay Bölümleri

Örneklem uzayının bölümleri sıralı ayrık olaylardan oluşur.

Örneklem uzayındaki her bir sonuç, olayların sadece birinde yer alır.

1, 2,..., _n A A A

1 1

( _n) ( ) ( _n)

P A

A

P A

P A

1, 2 ,..., _n

A A A

1 n

A   A  S

A

1.3.4 Üç ve Daha Fazla Olayların Kombinasyonu (4/4)

• Örnek: Televizyon Seti Kalitesi C = { “orta derecede” cihaz}

= { «yeterli» veya «iyi» derecede cihaz}

= { (S,S), (S,G), (G,S), (G,G) } D = { “ yüksek kalitede” cihaz }

=

= { (G,P), (P,P), (P,G), (P,S) } P(D) = 0.523

(

A

B C

A

B

C