CovX ()  Σ X jmip  1,2,...,, 1,2,..., L

(1)

5. HAFTA

FAKTÖR ANALİZİ

Faktör analizinde amaç, değişkenler arasındaki kovaryans yapısını, gözlenemeyen ancak rasgele değerler olan faktörlerle açıklamaktır. Faktör analiz modelinde değişkenlerin aralarındaki korelasyona göre gruplandırıldığı kabul edilir.

Ortogonal Faktör Modeli

p bileşenli gözlenebilen X (X X₁, ₂,...,X_p)rasgel vektörü için ( )E X  ve Cov X( ) Σ olsun. Bir faktör modeli X ’in faktör adı verilen F F₁, ,...,₂ F gözlenemeyen rasgele _m değişkenlere göre lineer bağımlılığını ve hata adı verilen  1, ,...,2  gibi p tane ek değişim p kaynağından oluşur. Bu hatalara bazen özel faktörler de denir.

Genel olarak bir faktör analizi modeli,

1 1 11 1 12 2 1 1 2 2 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 ... ... . . . ... m m m m p p p p pm m p X l F l F l F X l F l F l F X l F l F l F                        

biçiminde veya matris gösterimiyle

( 1) (px1) (px1) (pxm) (mx1) px

X  L F 

olarak ifade edilir. Burada lijkatsayısı, j inci faktör üzerinde i inci değişkenin ağırlığıdır ve 1, 2,..., , 1, 2,...,

j m i p dir. Böylece L matrisi de faktör ağırlıklar(yükleri) matrisidir. _i, i inci özel faktör sadece i inci değişken X ile ilişkilidir. _i X₁₁,X₂ ₂,...,X_p_p

(2)

Varsayımlar: 1 ( ) 0_mx E F  ( ) ( ) _mxm Cov F E FF  I 1 ( ) 0px E   1 2 ( ) ( ) 0 . . . 0 0 . . . 0 . . . . . . . . . . . . 0 0 . . . pxp p Cov  E                             

ve F ile  ilişkisizdir. Yani

( , ) ( ) 0pxm Cov  F E F   dir. Yukarıdaki varsayımlardan ve ( 1) (px1) (px1) (pxm) (mx1) px

X  L F  ilişkisinden ortogonal faktör modeli oluşur.

Ortogonal faktör modeli X rasgele vektörünün varyans-kovaryans yapısını verir. X rasgele vektörünün varyans-kovaryans matrisinin

( ) ( )( ) _pxp Cov X E X X    Σ olduğunu biliyoruz. ( 1) (px1) (px1) (pxm) (mx1) px

X  L F  ortogonal faktör modeli ( )( ) ( )( ) ( )(( ) ( ) ) ( ) ( ) X F X X F F F F F F F F                                    L L L L L L L L L

(3)

( )( ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) E X X E F F E F E F E E FF E F E F E E FF E F E F E                                              L L L L L L L L L L L L LL 

olarak elde edilir. İfade açık olarak yazılırsa

11 12 1 12 22 2 1 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p p p p pp                                  Σ L L 11 12 1 11 21 1 1 21 22 2 12 22 2 2 1 2 1 2 . . . 0 . . . 0 . . . 0 . . . 0 . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 . . . m p m p p p pm m m pm p l l l l l l l l l l l l l l l l l l                                                      dir. Buradan, 2 2 2 1 2 ( ) ... i ii i i im i Var X l l l         ve 1 1 2 2 ( ) ... i k ik i k i k im km Cov X X l l l l l l      

dir. Ayrıca, rasgele değişkenler ile faktörler arasındaki ilişki de incelenebilir. Buradan

(4)

( i j) ij

Cov X F l

dir.

Sonuç olarak X rasgele değişkenin varyansının m tane ortak faktörce açıklanan kısmına, ortak _i faktör varyansı (ortaklık ) ve açıklanamayan kısmına özel faktör varyansı veya hata varyansı adı verilmektedir. Böylece

2 2 2 1 2 ( ) ... i ii i i im i Var X l l l         ifadesinde 2 2 2 2 1 2 ... i i i im h    l l l olarak alınırsa 2 _, _{1, 2,...,} ii hi i i p     dir. Örnek 7: 19 30 2 12 57 5 23 38 47 68           _ _       ve 4 1 7 2 1 6 1 8 L          __ _       olarak verilsin.

Değişkenlerin özel varyans matrisini elde ediniz.

Çözüm 7:

Değişkenlerin özel varyans matrisi Cov

 

 diag

 

_i

 idi.

 

2 1 m i ij i j Var X l   



 olup buradan

 

 2 2 1 , 1,2,..., i m i i ij j h Var X l i p    





(5)

l_ij2 : j. faktör üzerinde i. değişkenin ağırlığıdır. Böylece L matrisi faktör ağırlıkları matrisidir.

 

2 2 2 2 2 1 11 12 2 1 1 1 4 1 17 19 17 2 h l l Var X h           

 

2 2 2 2 2 3 31 32 2 3 3 3 ( 1) 6 37 38 37 1 h l l Var X h            

 

2 2 2 2 2 2 21 22 2 2 2 2 7 2 53 57 53 4 h l l Var X h           

 

2 2 2 2 2 4 41 42 2 4 4 4 1 8 65 68 65 3 h l l Var X h            2 0 0 0 0 4 0 0 0 0 1 0 0 0 0 3           _ _      

olarak elde edilir.

Ortogonal bir faktör modelinde, X rasgele vektörünün varyans-kovaryans matrisindeki

1 1

( ( 1)) ( 1)

2 2

p p p  p p tane varyans ve kovaryans; pm tane l_ij faktör ağırlıkları ve p tane

i

 özel varyansından yeniden elde edilmektedir, i1, 2,..., , p j1,2,...,m. p m olduğunda varyans-kovaryans matrisi Σ , LL ile elde edilir. Bu durumda Ψ elemanlarını tümü sıfır olan  bir matris olur. Ancak m p olduğunda faktör analizi anlamlı olmaktadır. Bu durumda bir faktör modeli, X rasgele vektörünün varyans-kovaryans matrisi Σ ’daki 1 ( 1)

2 p p varyans-kovaryans yapısını, daha az parametreyle açıklamaktadır.

Örnek 8 : p=3 ve m=1 olmak üzere _X _{( , , )}_{X X X}₁ ₂ ₃ rasgele vktörüne ilişkin pozitif tanımlı varyans-kovaryans matrisi 1 0.9 0.7 1 0.4 1         _ _    

(6)

Çözüm 8 : X₍_p_x1)₍_p_x1) L F₍_p_xm) ₍_m_x1) ₍_p_x1) faktör modelinde p=3 ve m=1 olduğunu göz önüne alırsak 1 1 11 1 1 1 11 1 1 2 2 21 1 2 2 2 21 1 2 3 3 31 3 3 3 31 1 3 X l X l F X l F X l F X l X l F                     _{ } _              _ _ _  _ _{ } _                 _{ } _                

elde edilir. _{X X X}₁_{, ,}₂ ₃ rasgele değişkenlerine ilişkin varyans-kovaryans yapısının

' LL

    biçiminde ifade edebileceğini biliyoruz. Buradan 2 11 11 21 11 31 1 2 21 21 31 2 2 3 31 1 0.9 0.7 0 0 1 0.4 0 1 l l l l l l l l l        _ _     _ _     _ _ __    _ _     _ _             olup 2 11 21 11 1 11 31 2 21 2 21 31 2 31 3 0.9 1 0.7 1 0.4 1 l l l l l l l l l             eşitliklerinden 11 31 ₂₁ ₁₁ 21 31 0.7 _0.4 0.4 0.7 l l l l l l     bulunur. Bu sonucu 0.9 l l 11 21 eşitliğindeyazarsak _l₁₁2 __1.575_{  }_l₁₁ _1.255 elde edilir. Daha önce verilen varsayımlardan Var F  ve ( ) 1₁  matrisinden _{Var X }

 

₁ ₁ dir. O halde



1, 1





1, 1



11

Corr X F Cov X F l dir. Ancak korelasyon, mutlak değerce 1’den büyük