KLASİK MANTIK: YARDIMCI DERS NOTLARI1 (2018-19 BAHAR) Dr. Öğr. Ü. Arman Besler
1. ÖNERMELER ÖĞRETİSİ
1.1 Önermenin doğası. Bu derste kabul ettiğimiz tanıma göre önerme, yargı bildiren cümledir.
Yargı bildiren cümle, belli bir doğruluk değeri alabilen, yani doğru veya yanlış olabilen bir cümledir. (İncelediğimiz mantık sisteminin temel ilkelerinden biri olan üçüncü halin olmazlığı ilkesine göre önerme, doğru ve yanlış dışında bir doğruluk değeri alamaz.)
Yargı bildirmeyen, dolayısıyla da önerme addedilemeyecek cümleler olarak soru cümleleri (örn.
“Hava yağışlı mı?”), emir kipinde cümleler (örn. “Perdeyi çek!”), dilek cümleleri (örn. “Şimdi deniz kenarında olsaydım...”) düşünülebilir.
Önermenin bildirdiği yargı, onun anlam içeriğidir. Standart bir anlayışa göre, bir önermenin doğru olması, o önermenin anlam içeriğinin olgulara (gerçeklere) uygun olmasıdır (tekabül etmesidir). Bu anlayış, uygunluk (mütekabiliyet) kuramı olarak bilinir.
1.2 Basit-bileşik önermeler ayrımı. Önermeler dayandıkları yargıların niceliğine göre basit ve bileşik olarak sınıflanırlar. Tek bir yargıya dayanıp onu bildiren önermeler basit (veya yalın) önermelerdir. Birden fazla yargıya dayanan önermelerse bileşiktir. “Hava yağışlı” önermesi tek bir yargıya, yani havanın yağışlı olduğu yargısına dayanır ve onu bildirir, bu sebeple de basit bir önermedir. “Hava yağışlıysa yerler ıslaktır” önermesi de tek bir yargıyı, havanın yağışlı olduğu durumda yerlerin ıslak olacağı yargısını bildirir, ama bunu iki yargıya, yani havanın yağışlı olduğu yargısına ve yerlerin ıslak olduğu (olacağı) yargısına dayanarak yapar, bu sebeple de bileşiktir.
“Hava yağışlı ve yerler ıslak” önermesi de tek bir yargı bildirmekle birlikte yine (aynı) iki yargıya dayandığı için bileşiktir.
1.3 Doğrusal eklemli önermeler. Bileşik önermelerin çok sayıda türü bulunmakla birlikte mantık açısından önemli olan türü doğrusal eklemli önermelerdir. Eklem (veya önerme eklemi), birden fazla önermeyi birleştirip yeni bir önerme üreten bir tür bağlayıcı ifadedir. Eklemin bağladığı önermeler, üretilen bileşik önermenin bileşenleridir.
Eklemlerin bazıları doğrusaldır, bazıları değildir. Eklem doğrusalsa, o eklemle üretilen bileşik önerme doğrusal eklemlidir. Doğrusal eklemli bir önermenin ayırt edici özelliği şudur: Bileşkenin doğruluk değerini tespit etmek için tek tek bileşenlerin doğruluk değerlerini bilmek yeterlidir.
Örneğin “Kapı kapalı veya hava yağışlı” önermesinin doğruluk değerini tespit etmek için “Kapı kapalı” ve “Hava yağışlı” önermelerinin doğruluk değerlerini (yani doğru olup olmadıklarını) bilmek yeterlidir. Ama “Kapı kapalı olduğu için hava yağışlı” önermesinin doğruluk değerini tespit etmek için bu bilgiden fazlasına ihtiyaç vardır: Kapının kapalı olmasıyla havanın yağışlı olması arasında bir neden-sonuç veya sebep-sonuç bağıntısı olduğunu tespit etmemiz de gerekecektir. Bu sebeple bu önerme doğrusal eklemli değildir.
Öyleyse, doğrusal eklemli önerme, doğruluk değeri, bileşenlerin doğruluk değerlerine dayanılarak hesaplanabilen önermedir.
Doğrusal eklemlilerin üç temel türü bulunur: Tümel evetleme, tikel evetleme ve koşul önermeleri.
1 NEVÜ Felsefe Bölümü FLS 106: Klasik Mantık dersi öğrencileri için ders sorumlusu tarafından hazırlanmıştır.
İzinsiz olarak dağıtılamaz veya ders dışında kullanılamaz.
1.3.1 Tümel evetleme. Tümel evetleme önermesi, bileşenlerin ikisini birden öne süren önermedir ve günlük dilde “...ve...”, “Hem...hem de...”, “...olduğu gibi...”, “..., ...de...” gibi ifadeler yardımıyla karşılanabilir. Örneğin, “Kapı kapalı” ve “Hava yağışlı” gibi iki önermeden oluşan bir tümel evetleme şu şekillerde okunabilir: “Kapı kapalı ve hava yağışlı”, “Hem kapı kapalı hem de hava yağışlı”, “Kapı kapalı olduğu gibi hava (da) yağışlı”, “Kapı kapalı, hava da yağışlı”.
Modern sembolik mantıkta tümel evetleme eklemini göstermek için “˄”, bazen de “&” sembolü kullanılır.
Bir tümel evetleme önermesi, bileşenlerin ikisinin de doğru olduğu durumda doğru, diğer bütün durumlarda yanlıştır.
• Not: Türkçe’de tümel evetleme önermelerini ifade etmek için en sıklıkla kullanılan “ve”nin doğrusal olmayan, hatta önerme eklemi olmayan kullanımları da vardır.
◦ Doğrusal olmayan “ve” örneği: “İçeri girdi ve kapıyı kapattı” (= “İçeri girdi, ardından/sonra kapıyı kapattı”).
◦ Önerme eklemi olmayan “ve” örneği: “Ali ve Ahmet kavga ettiler” (= “Ali ile Ahmet kavga ettiler”).
1.3.2 Tikel evetleme. Tikel evetleme önermesi, bileşenlerin en az bir tanesininin doğru olduğunu öne süren önermedir ve günlük dilde “...veya...”, “...ya da...”, “...yahut...” gibi ifadeler yardımıyla karşılanabilir. Örneğin, “Kapı kapalı” ve “Cam açık” gibi iki önermeden oluşan bir tikel evetleme şu şekillerde okunabilir: “Kapı kapalı veya cam açık”, “Kapı kapalı ya da cam açık”, “Kapı kapalı yahut cam açık”.
Modern sembolik mantıkta tikel evetleme eklemini göstermek için “˅” sembolü kullanılır.
Bir tikel evetleme önermesi, bileşenlerden en az birinin doğru olduğu durumlarda doğru, her ikisinin de yanlış olduğu durumda yanlıştır.
• Not: Tikel evetleme ekleminin “dışlayıcı” bir değişkesi (varyantı) olarak görülebilecek bir başka eklem daha vardır: tekil evetleme eklemi. Bu eklemle oluşturulan bir bileşik önerme, bileşenlerden yalnızca biri (yani, en az biri ve en çok biri) doğru olduğunda doğru, diğer iki durumda yanlıştır. (Tekil evetleme, bileşenlerin ikisinin birden doğru olma durumunu dışladığı için tikel evetlemeye nazaran dışlayıcı addedilmiştir.) Türkçe’de tekil evetleme önermeleri “Ya...ya da...” ifadesi ile karşılanabilir.
1.3.3 Koşul. Koşul önermesi, tümel ve tikel evetlemelerden farklı olarak bileşenlerini sıraya koyan – önbileşen ve artbileşen sırasına koyan – bir bileşke türüdür. Önbileşen, artbileşenin yeter koşulunu ifade ederken artbileşen de önbileşenin gerek koşulunu ifade eder:
Önbileşen (Yeter koşul) → Artbileşen (Gerek koşul)
Koşul önermesi, önbileşenin doğru olması durumunda artbileşenin de doğru olduğunu, başka deyişle, önbileşenin doğru olmasının artbileşeni doğru yapmaya yettiğini söyleyen önermedir ve en sıklıkla “...ise...” ifadesi yoluyla karşılanır. (“...olduğu durumda...” gibi ifadelerden de yararlanılabilir.) Diğer yönden bakıldığında, koşul önermesi, önbileşenin doğru olması için artbileşenin de doğru olması gerektiğini söyler. Öyleyse koşul önermesi tek bir durumda yanlıştır:
önbileşenin doğru olup da artbileşenin yanlış olduğu durumda.
Günlük dildeki koşul önermelerinde hangi bileşenin art- hangisinin ön-bileşen olduğunu tespit etmek bazen zor olabilir. A ile B kişileri arasında geçen şu hayali konuşmayı inceleyelim:
A: Çay alır mısın?
B: Sen alırsan alırım.
Bu konuşmada B’nin bildirdiği önerme bir koşul önermesi gibi görünmektedir, ama bu önermede hangi bileşenin ön-, hangisinin art-bileşen olduğu konuşma bağlamının özelliklerine (örneğin, konuşmanın geçmişine, B’nin tonlamasına, vb.) göre değişebilecektir. Örneğin B (bir tür kibarlık ifadesi olarak) ancak A’nın da çay aldığı durumda kendisinin çay alabileceğini, yani kendisinin çay alması için A’nın da almasının gerekli olduğunu anlatıyorsa bileşenler şu şekilde sıralanacaktır:
B çay alır → A çay alır
Ama B’nin kastettiği, A’nın çay aldığı durumda kendisinin de haydi haydi alacağı, yani A’nın çay almasının, kendisinin çay alması için yeterli olduğu olabilir. (Böylece, A çay almasa bile kendisinin yine çay alabilecek olduğunu ima etmiş olur.) Bu durumda da bileşenler şöyle sıralanır:
A çay alır → B çay alır
Aslında burada ifade sırası da önemli değildir: Konuşma dilinde, bazen önce artbileşen sonra önbileşen ifade edilebilmektedir. Önemli olan hangi bileşenin art- hangisinin ön-bileşen olduğunun, yani hangisinin yeter hangisinin gerek koşul bildirdiğinin tespitidir, çünkü verili bir koşul önermesinin doğruluk değeri ancak bu tespitten sonra hesaplanabilir.
• Not: Bir önerme, başka bir önerme için hem yeter hem de gerek koşul oluşturuyorsa bu iki önerme karşılıklı koşul ilişkisi içindedir. Bu ilişki, günlük dilde “...eğer ve ancak...ise”
ifadesi yoluyla karşılanabilen bir karşılıklı koşul önermesiyle anlatılır. Karşılıklı koşul eklemi, modern sembolik mantıkta “↔” sembolüyle gösterilir.
1.4 Basit kategorik önermeler. Tek bir yargıya dayanıp onu bildiren önermelerin, yani basit önermelerin geleneksel mantık açısından en önemli türü kategorik önermelerdir. Kategorik önerme, (açık ya da gizli olarak belirtilmiş) bir özneye bir yükleme yapan önermedir, yani bir özne-yüklem önermesidir. (Yunanca “kategorein” fiili “yüklemek” anlamına gelir.) Kategorik önermede özne terimi, kendisi hakkında konuşulan varlığı/varlık sınıfını belirtirken, yüklem terimi de o varlık/varlık sınıfı hakkında ne söylendiğini gösterir.
Kategorik önermeler nitelik ve nicelik bakımından sınıflanabilirler.
Nitelikler: Olumlu ve olumsuz.
Nicelikler: Tümel, tikel, tekil ve belirsiz.
Olumlu önerme, belli bir özne hakkında bir evetleme (affirmation) yapan önerme, olumsuz önerme de yine belli bir özne hakkında bir değilleme (negation) yapan önermedir. Örneğin, “Hava berbat”
önermesi olumlu, “Saç modelin kötü değil” önermesi olumsuz bir önermedir. (Yüklemi çekimli bir fiil olan önermelerde olumsuzluk genellikle “-me/-ma” ekiyle belirtilir: örneğin, “Yavaş yürümüyorum” = “Yavaş yürüyor değilim”.)
Tümel önerme, bir varlık sınıfının tamamı/bütünü hakkında bir evetleme veya değilleme yapan bir önermedir ve genellikle “Bütün”, “Her”, “Hiçbir”, “...’in hepsi”, “...’in hiçbiri” ve benzeri ifadeler yoluyla kurulur. Örnekler: “Bütün insanlar canlıdır”, “Kedilerin hepsi kuyrukludur”, “Hiçbir bitki bilinçli değildir.”
Tikel önerme, belli bir özelliğin bir varlık sınıfının en az bir üyesi tarafından taşındığını veya taşınmadığını bildiren bir önermedir ve genellikle “Bazı”, “Kimi”, “....’in bazısı” ve benzeri ifadeler yoluyla kurulur. Örnekler: “Bazı insanlar eğitimlidir”, “Kimi canlı solungaçlıdır”, “Bitkilerin bazısı çiçekli değildir”.
Tekil önerme, tek, belli bir varlık hakkında bir evetleme veya değilleme yapan bir önermedir. Tekil önermelerde özne terimi ya tek bir varlığın özel ismidir – örneğin “Sokrates Yunanlıdır” -- ya da yine tek bir varlığa işaret eden başka tür bir ifadedir – örneğin “Şu kedi çok sevimli”. Tekil önermelerin özne terimlerinin kaplamı – eğer bir kaplamdan bahsedilebilirse – tek bir varlıktan ibarettir ve yapılan yükleme de bu varlığın tamamı/bütünü hakkındadır. Buradan hareketle, geleneksel terim mantığında bu önermeler genellikle tümel önermeler sınıfına asimile edilirler ve tasım kuramında da tümel önerme olarak işlenirler.
Son olarak belirsiz önerme, niceliği belirlenmemiş önermedir. Bu önermeler “Bütün”, “Bazı”,
“Hiçbir” gibi bir niceleyici barındırmaz ve bu sebeple de özne terimiyle ilgili varlık sınıfının tamamının mı, bir kısmının mı yoksa yalnızca tek bir üyesinin mi kastedildiği belirsizdir. Örneğin
“Şair doğru söylemiş” önermesinde kastedilen varlık aslında belli, tek bir şairken, “İnsan yanılır”
önermesinde kastedilen varlık yerine göre bütün insanlar veya kimi insandır.
1.5 a-e-i-o önermeleri ve semboller. İnceleyeceğimiz tasım kuramında yalnızca iki önerme niteliğiyle, yani olumlu ve olumsuzla ve yalnızca iki önerme niceliğiyle, yani tümel ve tikelle ilgileneceğiz. Böylece 2x2’den toplam dört temel kategorik önerme tipi elde ediyoruz: tümel olumlu, tümel olumsuz, tikel olumlu ve tikel olumsuz. Geleneksel olarak bu önerme tiplerinin her biri bir sesli harfle kodlanır:
Tümel olumlu: a Tümel olumsuz: e Tikel olumlu: i Tikel olumsuz: o
Bu dört tipten birine giren kategorik önermelere genel olarak a-e-i-o önermeleri de denir. (Olumlu önermelerin kodları, “evetliyorum/onaylıyorum” anlamındaki Latince “affirmo” fiilinin ilk iki sesli harfinden, olumsuzlarınkiler de “değilliyorum/yadsıyorum” anlamındaki Latince “nego” fiilinin sesli harflerinden gelmektedir.)
Bu kodlarla birlikte “S” ve “P” gibi terim harflerini kullanarak a-e-i-o önermelerini şöyle sembolleştirebiliyoruz:
SaP: Bütün S’ler P’dir.
SeP: Hiçbir S, P değildir.
SiP: Bazı S’ler P’dir.
SoP: Bazı S’ler P değildir.
1.6 a-e-i-o önermelerinin “var-yok” cinsinden karşılıkları. Her bir a-e-i-o önerme tipi, varlık/yokluk bildiren bir biçimde yeniden ifade edilebilir. Örneğin, bütün insanların canlı olduğunu
söylemek, aslında, canlı olmayan bir insanın bulunmadığını (var olmadığını) söylemektir. Benzer olarak, kimi canlının bitki olduğunu söylemek de aslında bitki olan canlıların bulunduğunu (var olduğunu) söylemektir. Bu anlayışa göre:
SaP: P olmayan S yoktur.
SeP: P olan S yoktur.
SiP: P olan S vardır.
SoP: P olmayan S vardır.
Böylece, aslında tümel önermelerin yokluk, tikel önermelerinse varlık bildiren önermeler olduğu görülmektedir.
1.7 Dağıtım (terim nicelikleri). Dağıtım kavramı, terimlerin kategorik önermeler içindeki nicelik durumlarını anlatır. Bir kategorik önermede bir terimin kaplamının tamamı veya en az bir üyesi hakkında konuşuluyor olabilir. Tamamı hakkında konuşuluyorsa o terim o önermede dağıtılmıştır, aksi halde dağıtılmamıştır.
Özne teriminin nicelik durumu, basitçe, önermenin niceliğine göre belirlenir: Önerme tümelse özne terimi dağıtılmıştır, değilse dağıtılmamıştır. Örneğin “Her cisim ağırdır” önermesinde de “Hiçbir cisim boş değildir” önermesinde de “Cisim” terimi dağıtılmış durumdadır, çünkü her iki önermede de cisimlerin tamamı/bütünü hakkında konuşulmaktadır.
Yüklem teriminin nicelik durumunu belirlemek içinse önermenin niteliğine bakılır: Önerme olumsuzsa yüklem terimi dağıtılmıştır, olumluysa dağıtılmamıştır. (Bu, önermenin niteliğiyle yüklemin niceliği arasındaki bir semantik orandan kaynaklanmaktadır.) Örneğin “Her insan canlıdır” önermesinde, “Canlı” terimi dağıtılmamıştır, çünkü önerme canlıların tamamı hakkında değil, bir kısmı – yani, insan olan canlılar – hakkında konuşmaktadır. Ama, örneğin, “Hiçbir kedi kanatlı” değildir önermesinde “kanatlı” terimi dağıtılmıştır, çünkü kediler, kanatlıların tamamı dışında tutulmaktadır – yani önerme kanatlıların tamamı hakkında konuşmaktadır.
Öyleyse a-e-i-o önerme biçimlerinde dağıtımlar şöyle gerçekleşir:
a: Yalnızca özne terimi dağıtılmıştır.
e: Her iki terim de dağıtılmıştır.
i: İki terim de dağıtılmamıştır.
o: Yalnızca yüklem terimi dağıtılmıştır.
1.8 Üç farklı gruplaşma. Böylece a-e-i-o önermeleri en az üç farklı şekilde gruplanabilmektedir.
(1) Niceliğe göre: Tümel olanlar (a ve e) ve tikel olanlar (i ve o).
(2) Niteliğe göre: Olumlu olanlar (a ve i) ve olumsuz olanlar (e ve o).
(3) Dağıtımın yapısına göre: Simetrik olanlar (e ve i) ve asimetrik olanlar (a ve o).
2. DOLAYSIZ ÇIKARIM ÖĞRETİSİ
2.1 Çıkarımın doğası. Çıkarım yapmak, bir veya daha fazla önermeye dayanarak (veya onları gerekçe göstererek) başka bir önermeyi savunmak/öne sürmek olarak tanımlanabilir. Kendisine dayanılan önermelere öncül, öne sürülen önermeye sonuç denir.
Çıkarımlar geçerli veya geçersiz olabilirler. Bir çıkarımda, öncüllerin hepsi (veya tek bir öncül varsa o öncül) doğru sayıldığında sonucun doğruluğunu da kabul etmek (mantıken) kaçınılmaz oluyorsa, o çıkarım geçerlidir. Geçerli bir çıkarımda, sonucun öncüllerden çıktığı söylenir.
2.2 Mantıksal içerme ve mantıksal eşdeğerlik. Bir önermeden bir başka önerme çıkıyorsa, ilk önermenin ikinciyi mantıksal olarak içerdiği söylenir. Öyleyse A gibi bir önermenin B gibi başka bir önermeyi mantıksal olarak içermesi, tek öncülü A, sonucu da B olan çıkarımın geçerli olması demektir. İki önerme birbirini mantıksal olarak içeriyorsa, bu önermeler mantıksal olarak eşdeğerdir. (Yani mantıksal eşdeğerlik, karşılıklı mantıksal içermedir.) Sembolik gösterimler:
A╞ B: A, B’yi mantıksal olarak içerir.
A ≡ B: A ile B mantıksal olarak eşdeğerdir. (Yani hem A╞ B hem de B╞ A.)
2.3 Çıkarımlar sınıflaması: dolaysız ve dolaylı çıkarımlar. Çıkarımların genel biçimi şöyle verilebilir (n bir doğal sayıdır):
A1,...,An ∴B.
Burada “Ai”ler çıkarımın öncüllerini, “B” de çıkarımın sonucunu temsil etmektedir. (Öncüllerle sonucu ayıran “∴” sembolü, “o halde”, “öyleyse”, “bu durumda” ve benzeri şekillerde okunabilir.) Örneğin n=3 olduğunda, çıkarım
A1, A2, A3 ∴B.
biçimini, n=1 olduğunda ise
A ∴B
biçimini alacaktır. (Aslında n=0 bile olabilir: Böyle bir durumda çıkarımın geçerli olması, sonuç önermesinin bir totoloji olduğu anlamına gelir.)
Dolaylı çıkarımlar, n≥2 olan (yani iki veya daha fazla öncüllü) çıkarımlardır. Bütün öncüllerin ve sonucun a-e-i-o tipinde olduğu dolaylı çıkarımlar, tasımlardır.
n=1 olan (yani tek öncüllü) çıkarımlar dolaysız çıkarımlardır. Dolaysız bir çıkarımda, tek bir önermeden, başka bir önermenin dolayımına (yani aracılığına) başvurulmadan bir çıkarım yapılır.
Dolaysız çıkarımlar iki türdür: Karşıolum çıkarımları ve edüktif çıkarımlar (döndürme/evirme çıkarımları).
2.4 Karşıolum çıkarımları. Karşıolum bağıntısındaki kategorik önermeler arası çıkarımlar, karşıolum çıkarımlarıdır.
2.4.1 Karşıolum bağıntısı. İki kategorik önermenin özne ve yüklem terimleri aynıysa, bu iki önerme karşıolum bağıntısındadır (yani bir anlamda birbirlerine karşılık gelirler). Karşıolum bağıntısındaki iki kategorik önerme nicelik ve/veya nitelik bakımından ayrışabilir. Örneğin, “Her kuş kanatlıdır” ile “Kimi kuş kanatlı değildir” karşıolum bağıntısındadır, çünkü her ikisinin de özne terimi “Kuş”, yüklem terimi “Kanatlı”dır. Yine “Her kuş kanatlıdır” ile “Hiçbir kuş kanatlı değildir”
de karşıolum bağıntısındaki iki kategorik önermedir. Ama “Her kuş kanatlıdır” ile “Bazı kanatlılar kuş değildir” önermeleri karşıolum bağıntısında değildir.
2.4.2 Karşıolum türleri. Karşıolumun dört türü vardır: Çelişki (veya çelişme), karşıtlık, alt- karşıtlık ve altıklık. Bu türler, karşıolum çıkarımlarının zeminini verir.
2.4.2.1 Çelişki/Çelişme. Çelişik iki önerme, kesin olarak biri doğru öteki yanlış olan – yani ne birlikte doğru olabilen ne de birlikte yanlış olabilen – iki önermedir. Çelişik iki önermeden herhangi birinin doğruluğundan ötekinin yanlışlığı, herhangi birinin yanlışlığından da ötekinin doğruluğu çıkar.
Karşıolumdaki a-e-i-o biçimleri için iki tür çelişme vardır: a-o çelişmesi ve e-i çelişmesi. Öyleyse yapılacak çelişki çıkarımları şu eşdeğerliklere dayandırılabilir:
SaP ≡ ~ SoP SeP ≡ ~ SiP
(Bu eşdeğerliklerden, sırasıyla SoP ≡ ~ SaP ile SiP ≡ ~ SeP eşdeğerlikleri zaten çıkmaktadır.) 2.4.2.2 Karşıtlık. Karşıt iki önerme, kesin olarak birlikte doğru olamayacak iki önermedir.
Verilecek örneklere göre, karşıt iki önermeden biri doğru öteki yanlış veya her ikisi birden yanlış olabilir, ama her ikisinin doğru olduğu bir örnek verilemez. Dolayısıyla karşıt iki önermeden herhangi birinin doğruluğundan ötekinin yanlışlığı çıkar.
Karşıolumdaki a-e-i-o biçimleri için tek bir karşıtlık türü vardır: a-e karşıtlığı. Yapılacak karşıtlık çıkarımları için şu içermenin bilgisi yeterli olacaktır:
SaP ╞ ~ SeP
(Bu içermenin kendisinden aksi yöndeki içerme, yani SeP ╞ ~ SaP, zaten çıkmaktadır.)
2.4.2.3 Alt-karşıtlık. Alt-karşıt (veya az-karşıt) iki önerme, kesin olarak birlikte yanlış olamayacak iki önermedir. Verilecek örneklere göre, alt-karşıt iki önermeden biri doğru öteki yanlış veya her ikisi birden doğru olabilir, ama her ikisinin yanlış olduğu bir örnek verilemez. Dolayısıyla karşıt iki önermeden herhangi birinin yanlışlığından ötekinin doğruluğu çıkar.
Karşıolumdaki a-e-i-o biçimleri için tek bir alt-karşıtlık türü vardır: i-o alt-karşıtlığı. Yapılacak alt- karşıtlık çıkarımları için şu içermenin bilgisi yeterli olacaktır:
~ SiP╞ SoP
(Bu içermenin kendisinden aksi yöndeki içerme, yani ~ SoP╞ SiP, zaten çıkmaktadır.)
2.4.2.4 Altıklık. Bir a önermesinin doğruluğundan karşıolumdaki i önermesinin doğruluğu, yine bir e önermesinin doğruluğundan da karşıolumdaki o önermesinin doğruluğu çıkar. (Dolayısıyla, aksi yönden, bir i önermesinin yanlışlığından karşıolumdaki a’nın yanlışlığı, yine bir o önermesinin yanlışlığından da karşıolumdaki e önermesinin yanlışlığı çıkar.) Bu bağıntılara altıklık denir: Tikel önerme, ilgili tümelin altığıdır.
Öyleyse altıklık çıkarımları şu iki içermeye dayanır:
SaP╞ SiP SeP╞ SoP
(Bu içermelerden ilkinden ~SiP╞ ~SaP içermesi, ikincisinden de ~SoP╞ ~SeP içermesi, zaten çıkmaktadır.)
2.4.3 Altıklık sorununa çok kısa bir bakış. Modern nicelemeli mantık anlayışına göre a ve e önermelerinden yapılan altıklık ve karşıtlık çıkarımları, ayrıca i ve o önermelerinden yapılan alt- karşıtlık çıkarımları aslında geçersizdir. Yani, bazı durumlarda, karşıolumdaki a ve e biçimleri birlikte doğru olup yine bunlarla karşıolumdaki i ve o biçimleri birlikte yanlış olabilmektedir.
Bahsedilen bu “bazı durumlar”, aslında, özne teriminin kaplamının boş olduğu (yani özne kavramının örneklenmediği) durumlardır. Bunu görmek için, geleneksel kategorik önermelerin modern karşılıklarının yapısına bakmak gerekir.
SaP: Her x için, x, S ise x, P’dir.
SeP: Her x için, x, S ise x, değil-P’dir (P değildir).
SiP: En az bir x vardır ki, x hem S’dir hem de P’dir.
SoP: En az bir x vardır ki, x hem S’dir hem de değil-P’dir (P değildir).
Bu karşılıklardan şu görülür: hiçbir x’in S olmadığı durumda, yani S’nin kaplamının boş olduğu durumda, öznesi “S” olan tümel önermeler doğru, öznesi “S” tikel önermeler yanlıştır. (Hiçbir şey S değilse, yani S olan bir x yoksa, yukarıdaki iki koşullu önermenin ön-bileşeni yanlış demektir. Ön- bileşen yanlış olduğunda da koşul önermesi otomatikman doğru olur.) Bu da altıklama çıkarımını ve onunla birlikte karşıtlık ve alt-karşıtlık çıkarımlarını geçersiz kılar.
Modern nicelemeli mantık şu tespiti yapar: Altıklık, karşıtlık ve alt-karşıtlık çıkarımlarının geçerli olması için, tümel biçimlerde öznenin kaplamının boş olmadığını (yani en az birşeyin S olduğunu) ayrıca varsaymamız gerekir. Bu varsayım, varlık yükü olarak adlandırılır.
Yine de biz dersimiz kapsamında bu sorunu gözardı edip altıklık, karşıtlık ve alt-karşıtlık çıkarımlarını geçerli sayıyoruz.
2.5 Edüktif çıkarımlar. Bir a-e-i-o önermesinden, onunla karşıolumda bulunmayan başka bir a-e- i-o önermesine yapılan dolaysız çıkarıma edüktif (eductive) çıkarım denir. Üç tür temel edüktif çıkarım bulunur: evirme (conversion), devirme (contraposition), obversiyon (obversion).
Evirme, bir kategorik önermenin yüklem terimini özne, özne terimini de yüklem konumuna taşıma işlemidir. Bu işlemi uygulayarak elde edilen yeni önermeye yapılan çıkarıma evirme çıkarımı denir.
Evirme işlemi e ve i önermelerinde geçerli bir çıkarım verir. a önermeleri içinse özel bir tür evirme çıkarımı vardır: Verili a önermesine evirmeyle birlikte niceliği zayıflatma (yani tikelleştirme) işlemi uygulanırsa, bu geçerli bir çıkarım verir. Bu evirme türüne arızi evirme (conversio per accidens) denir. Öyleyse e ve i biçimlerinden yapılan evirme çıkarımlarını ayırt etmek için bunlara basit evirme denebilir.
Geçerli evirme çıkarımları şu mantıksal eşdeğerliklere/içermelere dayanır:
SeP ≡ PeS SiP ≡ PiS
SaP╞ PiS (Arızi evirmenin temeli)
Devirme, bir kategorik önermenin terimlerinin yerlerini değiştirme ve onları sonsuzlama işlemidir.
“S” gibi bir terimi sonsuzlamak, onu “S-olmayan” biçimine dönüştürmektir. Örneğin, “Bitki”
teriminin sonsuzlaması “Bitki-olmayan” biçimindedir. Bu biçimdeki terimler bizi sınırları/sonu belli bir kaplama yerleştirmediği, yalnızca sınırları/sonu belli bir kaplamın dışına çıkardığı için sonsuz (infinite, indefinite) olarak adlandırılırlar. “S” gibi bir terimin sonsuzlamasını (yani olumsuzlamasını) “S” sembolüyle gösterebiliriz.
Devirme işlemi a ve o önermelerinde geçerli bir çıkarım verir. Geçerli devirme çıkarımları şu mantıksal eşdeğerliklere dayanır:
SaP ≡ PaS SoP ≡PoS
Son olarak obversiyon, bir kategorik önermede, terimlerin yerlerine ve önermenin niceliğine dokunmadan, yüklem terimini sonsuzlama ve önermenin niteliğini değiştirme işlemidir. Bu işlem bütün kategorik önerme biçimlerinde geçerli bir çıkarım verir. Geçerli obversiyon çıkarımları şu mantıksal eşdeğerliklere dayanır:
SaP ≡ SeP (SeP ≡ SaP) SiP ≡ SoP (SoP ≡ SiP)
(İkinci ve dördüncü eşdeğerlikler, sırasıyla birinci ve üçüncü eşdeğerliklerden çıktığı için parantez içinde verilmiştir.)
2.5.1 Dağıtım yapısı ve edüksiyon. Yukarıda a-e-i-o önermelerinin üç farklı şekilde gruplandığını söyledik. Üçüncü gruplanmada e ve i biçimleri simetrik olmak, a ve o biçimleri de asimetrik olmak bakımından biraraya geliyorlardı. Bu gruplanma edüksiyonda tam karşılığını bulmaktadır: (basit) evirme yalnızca simetrik biçimlerde, devirme de yalnızca asimetrik biçimlerde geçerli bir çıkarım verir. Burada a biçiminden yapılan arızi evirme istisnai bir durum oluşturuyor gibi görünür, ama arızi evirme çıkarımı, yani “SaP∴PiS”, iki aşamalı bir çıkarım olarak şöyle çözümlenebilir:
1. SaP∴ SiP. (Altıklama çıkarımı) 2. SiP ∴PiS. (Basit evirme çıkarımı)
Başka deyişle, elimizde altıklama ve basit evirme çıkarımları varsa, arızi evirme çıkarımına ayrıca ihtiyacımız yoktur. Dolayısıyla, evirmenin a biçimine uygun bir türünü tanımlamak zorunda değiliz.
Öyleyse şunu söyleyebiliriz: Evrildiğinde konu alanı değişmeyen önermeler simetrik, değişen önermeler asimetriktir. Örneğin SeP biçiminde bir önerme evrildiğinde konu alanı değişmez: Çünkü P olan S’ler ile S olan P’ler aynı şeylerdir. Ama örneğin SaP biçiminde bir önerme evrildiğinde konu alanı bütünüyle değişebilir: P olmayan S’ler ile S olmayan P’ler aynı şeyler olmak zorunda değildir, çünkü biri varken öteki var olmayabilir (örneğin, S: insan, P: canlı).■
