UZAY UZAY
Tüm ü düzlem sel olma yan bütün nok talar ın küm esine uza y denir.
UZAYDA NOKTA, DOĞRU, DÜZLEM VE UZAYDA NOKTA, DOĞRU, DÜZLEM VE BUNLAR ARASINDAKİ İLİŞKİLER BUNLAR ARASINDAKİ İLİŞKİLER
1)Uza yd a f arkl ı iki noktadan bir tek doğru geçer.
2)Uza yd a herhangi bir doğru ü zerinde en az ik i nok ta ve d ışında en az bir nok ta vardır.
UZAYDA BİR DÜZLEMİN BELİRLENMESİ UZAYDA BİR DÜZLEMİN BELİRLENMESİ
1)U za yda doğrusal olma yan f arkl ı üç noktadan, bir ve yal nız bir dü zlem geçer.2)U za yda birbirine paralel olan ik i doğru ya lnız bir düzlem belirtir.
3)U za yda bir doğru ile bu doğrunun d ışında verilen bir nok ta ya lnız bir dü zlem belirtir
4)U za yda kesişen ik i doğru ya lnız bir dü zlem belirtir.
Uyarı
1)U za yda a yk ır ı ik i doğru yu içine alabilecek bir düzl em yok tur.
Ayk ır ı ik i doğru uza y belirtir.
2)U za yda bir düzlem in d ışında en az bir nokta vardır.
3)U za yda fark lı ik i nok ta bir dü zlem ü zerinde ise bu ik i nok tadan geçen doğrunun nok talar ı da bu düzlem in elem anıd ır.
4) U za yda bir d doğrusu bir P düzlem inin alt k üm esi yse , d doğrusu P dü zlem ini ik i ya rı dü zelm e a yır ır.d doğrusunun dahil olup olm am asına göre bu dü zlem lerden biri aç ık ve ya kapalı yar ı düzlem ad ını al ır
5) U za yda bir E düzlem i bulunduğu uza yı iki ya rı u za ya a yır ır. E düzlem i yar ı u za ya dahilse bu yar ı uza y k apal ı ya rı u za y ad ın ı alır.
UZAYDA DOĞRULARIN DURUMU UZAYDA DOĞRULARIN DURUMU
1.Uza yd a iki doğru çak ış ık olabilir.2.Uza yd a iki doğru paralel olabilir.
3.Uza yd a iki doğru k esişi yor olabilir.
4.Uza yd a iki doğru a yk ır ı olabilir.
Uza yda iki doğru paralel değil ve a ynı zam anda k esişmi yorsa a yk ır ı durum ludur denir.
UZAYDA DOĞRULTU KAVRAMI UZAYDA DOĞRULTU KAVRAMI
U za yd a paralel olan doğrulardan herhangi biri bu doğrular için bir doğrultu olarak k abul edilebilir.
Ayk ır ı ve kesişen (f akat çak ışık olma yan) doğrular ın doğrultuları f arkl ıdır.
DOĞRU PARÇASI DOĞRU PARÇASI
İki nokta ile bu nok talar aras ında bulunan ve doğrusal olan noktalar ın k üm esine doğru parçası denir. Bu iki nokta doğru parças ın ın uç nok talarıdır.
Bir doğru parçasın ın doğrultusu üzerinde bulunduğu doğrunun doğrultusu ile a ynıdır İki doğru parçası, a yk ır ı, paralel, k esişi yor ve ya çak ış ık olabilir.
Örnek...1 : Örnek...1 :
Şekildek i kare
piramitte paralel, a yk ır ı k esişen doğru
parçalar ına örnek ler verini z.
www.matbaz.com
A B
C E
D
UZAYDA İKİ DÜZLEMİN BİRBİRİNE GÖRE UZAYDA İKİ DÜZLEMİN BİRBİRİNE GÖRE DURUMLARI
DURUMLARI
1.U za yda ik i düzlem çak ış ık olabilir.
2.U za yda ik i düzlem paralel olabilir.
3.U za yda ik i düzlem bir doğru bo yunca k esişi yor olabilir.
Örnek...2 : Örnek...2 :
Yandaki şekilde aykırı kesişen ve paralel doğruları yazınız.
(LDCK) ve (ABCD)
düzlemlerinin kesişim kümesi nedir?
UZAYDA BİR DOĞRU İLE BİR DÜZLEMİN UZAYDA BİR DOĞRU İLE BİR DÜZLEMİN BİRBİRİNE GÖRE KONUMLARI
BİRBİRİNE GÖRE KONUMLARI
U za yd a bir doğru ile bir dü zlem üç f ark lı k onum da bulunabilir.
1.Doğru düzlem in içinde olabilir.
2.Doğru düzlem e paralel olabilir 3.Doğru düzlem i kesebilir. (Delip geçebilir)
Kesişen iki dü zlem in arak esit doğrusuna dik olan dü zlem de iki açıol uşur.
Uza yda doğru düzl em ile bir nok tada kesişi yor ise oluşan açı ya dar açı ya da dik açıdır.
Örnek...3 : Örnek...3 :
U za yd a fark lı 10 nok tadan en a z ve en çok k aç doğru geçer. Bu noktalar en az ve en çok k aç dü zlem belirtir?
www.matbaz.com
Örnek...4 : Örnek...4 :
Bir düzl em in içindeki f arkl ı 4 doğrunun, düzl em i en a z ve en çok kaç bölge ye a yırd ığ ını bulunu z.
Örnek...5 : Örnek...5 :
Fark lı 3 düzlem in, u za yı en az ve en çok k aç alt uza ya a yırdığını bulunu z.
Örnek...6 : Örnek...6 :
Uza yda verilen üç dü zlem in birbirine göre durum lar ını incele yini z
Örnek...7 : Örnek...7 :
Önermelerin yanına doğruluk değerlerini belirtiniz 1) Uzayda paralel olan iki doğru, bir tek düzlem
belirtir.
2) Uzayda kesişen iki doğru, birden çok düzlem belirtebilir.
3) Aynı doğru üzerinde bulunmayan farklı üç nokta uzay belirtir.
4) Uzayda farklı İki doğru paralel olmalıdır.
5) Uzayda bir doğruya üzerindeki bir noktadan
sadece bir dik doğru çizilebilir.6) Aykırı iki doğruya paralel olan sonsuz tane paralel doğru vardır.
7) Aykırı iki doğruya dik olan sadece bir tane dik
doğru vardır.8) Uzayda bir doğru ile bir düzlemin farklı iki ortak noktası varsa doğru düzlemin içindedir.
9) Uzayda bir düzleme paralel olan ve verilen bir noktadan geçen sınırsızen çok 1 doğru vardır.
www.matbaz.com
TEMEL DİKLİK TEMEL DİKLİK
P düzlem in dışında bir nok ta ve CB ile AC E dü zlem inde
k esişen ik i doğrudur [PC]⊥ CB ,[PC]⊥ AC , ise [PC] E
dü zlem inde C den geçen tüm doğrulara (kesikli) diktir.
Örnek...8 : Örnek...8 :
Şekidek i dik dörtgenler pri zm as ında m(ABC) k açt ır?
ÜÇ DİKME TEOREMİ ÜÇ DİKME TEOREMİ P noktasi E dü zlem inin dış ın da bir nokta ise aşağıdak i iki
dik lik varsa üçüncüsüde mutlak a vard ır
PA⊥(E) AB⊥ d PB⊥d
Örnek...9 : Örnek...9 :
Şekilde
|AL|=|AB|=12 br,|KL|=20 br , KB⊥(E),
[BA]⊥[ AL]
ise |KB| k aç birim dir?
Örnek...10 : Örnek...10 :
Şekilde PB⊥(E) [BC]⊥[ AC ]
∣PC∣=12 br,∣AC∣=6br ise ∣PA∣ k aç birim dir?
DİK İZDÜŞÜM DİK İZDÜŞÜM
∣A' B'∣=∣AB∣. cosx A'= A.cosx
Örnek...11 : Örnek...11 :
Şekilde iki düzlemin ölçek açısı 45o dir.
[AB] arakesit doğrusuna dik,
|AB|=12
√
2 br ise [AB] nın E1 düzlemi üzerine izdüşümü kaç birimdir?Örnek...12 : Örnek...12 :
Şekilde ik i düzlem in ölçek aç ısı 60o dir. [BT] ve [AT]
arak esit doğrusuna dik,
|BT|=8 br ,|AT|=6 br ise A ve B noktalar ı arası en k ısa m esafe k aç birim dir?
x
E
A P
A' x
A
x B
B' A' E
E
P
A B
C
A
B C
D
F
E P
A
d B
E
P
A
B C
E
A B
K
L
E
1T A
B E
2E
1A B
E
2www.matbaz.com
Örnek...13 : Örnek...13 :
Şekilde iki düzlemin ölçek açısı 30o dir.
[BC] ve [AT] arakesit doğrusuna dik, |BC|=4
√
3 br , |TC|=6 br ve |AT|=8 br ise A ve B noktaları arası en kısa mesafe kaç birimdir?Örnek...14 : Örnek...14 :
Şekilde iki düzlemin ölçek açısı 30o dir. E düzleminde çevresi 18 br olan ABC eşkenar üçgeninin P düzlemi üzerine izdüşümünün alanı kaç birimdir?
Örnek...15 : Örnek...15 :
Şekildeki E ve L düzlemlerinin arakesiti DF doğrusu olup ölçek açı 30o dir. E
düzleminde bulunan PC doğru parçasının uzunluğu 12 birim olup m(PCD)=45o dir. P noktasının L düzlemi üzerine izdüşümü olan nokta P' ise ∣PP'∣ kaç birimdir?∣CP'∣ kaç birimdir?
Ek Bölüm Ek Bölüm
EĞİK PRİZMA EĞİK PRİZMA
şek ildek i eğik prizm ada h= ∣KC∣. sinx V= A(ABCD).h V= A(RLPT).|KC | RLPT dik k esitA(RLPT)= A(ABCD).sinx
Örnek...16 : Örnek...16 :
Şekilde ki tabanı dik üçgen olan eğik pri zm ada verilenlere göre
a) pri zm an ın hacm i kaç birim k üptür?
b) pri zm an ın dik kesit alanı k aç birim k aredir?
30o
E
A P
B
C
A' B'
C '
x
A D B C
E L F K
T h
R
L P
30o 8 A 10
B C D
E F
E P
C
L D
F
12
E
1T A
B E
2C
www.matbaz.com
