1) üzerindeki en küçük de¼geri sorulmaktad¬r

Bu kesimde daha önce geli¸stirdi¼gimiz yöntemleri baz¬ optimizasyon peoblem- lerinde nas¬l kullanaca¼g¬m¬z¬görece¼giz. Optimizasyon problemleri çözülürken ¸su yolu izlemede yarar vard¬r. ·Ilk olarak verilenler de¼gi¸skenlerle gösterilir, maksi- mumu veya minimumu istenen çokluk bu de¼gi¸skenlerle ifade edilir, verilenler kul- lan¬larak tek de¼gi¸skenli bir fonksiyon bulunur, fonksiyondaki ba¼g¬ms¬z de¼gi¸skenin s¬n¬rar¬tespit edilir, son olarak yukar¬da verilen yöntemler kullan¬larak fonksiy- onun mutlak ektremum de¼geri hesaplan¬

5

2; 0) noktas¬n¬n y =p

x e¼grisine olan uzakl¬¼g¬n¬ bulunuz.

·Istenen uzakl¬k, P noktas¬ ile verilen e¼grinin noktalar¬aras¬ndaki uzakl¬klar¬n¬n en küçü¼güdür. A(x;p

x) verilen e¼gri üzerinde herhangi bir nokta olmak üzere

jAP j = r

(x 5 2)²+ x olur. Ozaman d(x) =

q

(x ⁵₂)²+ x fonksiyounun [0; 1) üzerindeki en küçük de¼geri sorulmaktad¬r. Bunun için

f (x) = (x 5 2)²+ x

fonksiyounun [0; 1) üzerindeki en küçük de¼gerini bulmak yeterlidir. Çünkü f yi en küçük yapan de¼ger d yi de en küçük yapar.

f⁰(x) = 2x 4

olup f nin (0; 1) aral¬¼g¬ndaki tek yerel ekstremum noktas¬x = 2 dir ki bu nokta bir yerel minimum noktad¬r. Ozaman f nin (0; 1) üzerindeki en küçük de¼geri f (2) = ⁹₄ dür. Ayr¬ca f (0) = ²⁵₄ oldu¼gundan f nin [0; 1) üzerindeki en küçük de¼geri ⁹₄ olur. Sonuç olarak istenen en küçük uzakl¬k d(2) = ³₂ olur.

2+ y² ifadesinin en büyük de¼geri sorulmaktad¬r. y = 40 x oldu¼gundan f (x) = x²+ (40 x)² fonksiyonunun [1; 39] aral¬¼g¬ndaki en büyük de¼geri bulunacakt¬r.

f⁰(x) = 4x 80

oldu¼gundan x = 20 kritik noktad¬r. O zaman f (20) = 400; f (1) = f (39) = 1521 oldu¼gundan istenen en büyük de¼

selerinden e¸sit kareler kesilip üstü aç¬k bir kutu yap¬l¬yor. Karelerin kenar¬ ne olmal¬d¬r ki, kutunun hacmi maksimum olsun?

Maksimum-Minimum Problemleri

r.

Örnek P ( Çözüm

Örnek Toplamlar¬40 olan iki pozitif tam say¬n¬n kareleri toplam¬en fazla kaç olur.

Çözüm Bu tam say¬lar x ve y olsun. Verilenlere göre x+y = 40 olmal¬d¬r.

x

ger 1521 dir.

Örnek 16 cm eninde 30 cm boyunda bir kartonun kö¸

V (x) = x(16 2x)(30 2x)

= 480x 92x²+ 4x³

olur. Burada x uzunlu¼gu temsil etti¼ginden ne¼gatif olamaz. Ayr¬ca dikdörtgenin eni 16 cm oldu¼gundan x en fazla 8 cm olabilir. Dulay¬s¬yla V nin [0; 8] üzerindeki en büyük de¼geri sorulmaktad¬r.

V⁰(x) = 480 182x + 12x²= 0

480 184x + 12x² = 0 ise x = ¹⁰₃ veya x = 12 olur. x = 12 noktas¬ [0; 8]

aral¬¼g¬n¬n d¬¸s¬ndad¬r. O zaman V nin en büyük de¼geri ya uç noktalarda ya da kritik nokta olan ¹⁰₃ tedir. V (0) = V (8) = 0 oldu¼gundan hacim en fazla

V (10

3 ) =19600 27 cm³

Çözüm Karenin bir kenar¬ x olsun. O zaman yap¬lacak kutunun hacmi

Ilgili Teoremler·

Bu kesimde kapal¬bir aral¬k üzerinde sürekli, iç k¬s¬mda türevlenebilir fonksiy- onlar¬n özellikleri ile ilgili baz¬ teoremler inceleyece¼giz. Bunlar¬n en önemlileri Rolle Teoremi ve Ortalama De¼

¼g¬nda sürekli, (a; b) aral¬¼g¬nda türevlenebilir olsun. E¼ger f (a) = f (b) ise (a; b) aral¬¼g¬nda f⁰(c) = 0 olacak ¸sekilde en az bir c noktas¬ vard¬r.

Ispat. f fonksiyonu [a; b] aral¬¼g¬nda sürekli oldu¼gundan bu aral¬k üzerinde mutlak maksimum ve mutlak minimum de¼gerlerini al¬r. Bunlar s¬ras¬ile M ve m olsun. E¼ger M = m ise f sabit fonksiyon olur ki bu durumda her c 2 (a; b) için f⁰(c) = 0 olur. ¸Simdi m < M olsun. f (a) = f (b) oldu¼gundan f fonksiyonu M ve m de¼gerlerini uç noktalarda almaz. Kabul edelim ki m de¼gerini (a; b) aral¬¼g¬ndaki c noktas¬nda als¬n. O zaman c bir yerel minimum nokta olup bir kritik nokta olur. f fonksiyonu (a; b) aral¬¼g¬nda türevlenebilir oldu¼gundan c de de türevlenebilirdir. Böylece bu kritik nokta sadece türevin s¬f¬r yapt¬¼g¬ yer olmal¬d¬r. Yani f⁰(c) = 0 d¬r.

Sonuç 195 f fonksiyounu [a; b] aral¬¼g¬nda sürekli, (a; b) aral¬¼g¬nda türevlenebilir olsun. E¼ger f (a) = f (b) ise y = f (x) e¼grisinin en az bir noktas¬ndaki te¼geti yatayd¬r.

-2 2 4

-2 2 4

x y

Sonuç 196 Kapal¬aral¬kta sürekli ve iç k¬s¬mda türevlenebilir olan bir fonksiy- onun iki s¬f¬r yeri aras¬nda türevin s¬f¬r oldu¼gu en az bir nokta vard¬r.

-2 2 4

-2 2

x y

Türevle

ger Teoremidir.

Teorem (Rolle Teoremi) f fonksiyounu [a; b] aral¬

Teorem 202 (Ortalama De¼ger Teoremi) f fonksiyounu [a; b] aral¬¼g¬nda sürekli, (a; b) aral¬¼g¬nda türevlenebilir olsun. O zaman (a; b) aral¬¼g¬nda

f⁰(c) = f (b) f (a) b a olacak ¸sekilde en az bir c noktas¬ vard¬r.