Gra…k yöntemi ile optimizasyon problemleri

(1)

Gra…k yöntemi ile optimizasyon problemleri

Erhan Co¸skun

Karadeniz Teknik Üniversitesi

Ocak, 2019

ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Gra…k yöntemi ile optimizasyon problemleri Ocak, 2019 1 / 30

(2)

Üretim Planlama

Örnek-I

Bir elbise dikim …rmas¬, fabrika i¸sçileri için i¸s elbisesi(üniforma) spari¸si almaktad¬r ve bu spari¸s için 240m kuma¸s¬mevcuttur. Üniformalar A ve B tipli model olarak haz¬rlanacakt¬r.

Her bir A tipli model yakla¸s¬k 3 saat, B tipli model ise 1 saat i¸slem gerektirmekte ve bu üretim için günlük toplam 320 saatlik bir i¸sgücü mevcut bulunmaktad¬r.

A ve B tip her bir modelin gerektirdi¼ gi kuma¸s miktarlar¬ise s¬ras¬yla 1.2m ve 1m kadard¬r.

A ve B tip her bir modelin sat¬¸s¬ndan elde edilecek kâr ise s¬ras¬yla 25 ve 20 TL dir.

Günlük üretimden elde edilecek olan kâr¬n maksimum olmas¬için hangi

modelden ne kadar üretilmelidir?

(3)

Üretim Planlama

Örnek-I

Bir elbise dikim …rmas¬, fabrika i¸sçileri için i¸s elbisesi(üniforma) spari¸si almaktad¬r ve bu spari¸s için 240m kuma¸s¬mevcuttur. Üniformalar A ve B tipli model olarak haz¬rlanacakt¬r.

Her bir A tipli model yakla¸s¬k 3 saat, B tipli model ise 1 saat i¸slem gerektirmekte ve bu üretim için günlük toplam 320 saatlik bir i¸sgücü mevcut bulunmaktad¬r.

A ve B tip her bir modelin gerektirdi¼ gi kuma¸s miktarlar¬ise s¬ras¬yla 1.2m ve 1m kadard¬r.

A ve B tip her bir modelin sat¬¸s¬ndan elde edilecek kâr ise s¬ras¬yla 25 ve 20 TL dir.

Günlük üretimden elde edilecek olan kâr¬n maksimum olmas¬için hangi modelden ne kadar üretilmelidir?

(4)

Üretim Planlama

Örnek-I

Bir elbise dikim …rmas¬, fabrika i¸sçileri için i¸s elbisesi(üniforma) spari¸si almaktad¬r ve bu spari¸s için 240m kuma¸s¬mevcuttur. Üniformalar A ve B tipli model olarak haz¬rlanacakt¬r.

Her bir A tipli model yakla¸s¬k 3 saat, B tipli model ise 1 saat i¸slem gerektirmekte ve bu üretim için günlük toplam 320 saatlik bir i¸sgücü mevcut bulunmaktad¬r.

A ve B tip her bir modelin gerektirdi¼ gi kuma¸s miktarlar¬ise s¬ras¬yla 1.2m ve 1m kadard¬r.

A ve B tip her bir modelin sat¬¸s¬ndan elde edilecek kâr ise s¬ras¬yla 25 ve 20 TL dir.

Günlük üretimden elde edilecek olan kâr¬n maksimum olmas¬için hangi

modelden ne kadar üretilmelidir?

(5)

Üretim Planlama

Örnek-I

Bir elbise dikim …rmas¬, fabrika i¸sçileri için i¸s elbisesi(üniforma) spari¸si almaktad¬r ve bu spari¸s için 240m kuma¸s¬mevcuttur. Üniformalar A ve B tipli model olarak haz¬rlanacakt¬r.

Her bir A tipli model yakla¸s¬k 3 saat, B tipli model ise 1 saat i¸slem gerektirmekte ve bu üretim için günlük toplam 320 saatlik bir i¸sgücü mevcut bulunmaktad¬r.

A ve B tip her bir modelin gerektirdi¼ gi kuma¸s miktarlar¬ise s¬ras¬yla 1.2m ve 1m kadard¬r.

A ve B tip her bir modelin sat¬¸s¬ndan elde edilecek kâr ise s¬ras¬yla 25 ve 20 TL dir.

Günlük üretimden elde edilecek olan kâr¬n maksimum olmas¬için hangi modelden ne kadar üretilmelidir?

(6)

Üretim Planlama

Örnek-I

Bir elbise dikim …rmas¬, fabrika i¸sçileri için i¸s elbisesi(üniforma) spari¸si almaktad¬r ve bu spari¸s için 240m kuma¸s¬mevcuttur. Üniformalar A ve B tipli model olarak haz¬rlanacakt¬r.

Her bir A tipli model yakla¸s¬k 3 saat, B tipli model ise 1 saat i¸slem gerektirmekte ve bu üretim için günlük toplam 320 saatlik bir i¸sgücü mevcut bulunmaktad¬r.

A ve B tip her bir modelin gerektirdi¼ gi kuma¸s miktarlar¬ise s¬ras¬yla 1.2m ve 1m kadard¬r.

A ve B tip her bir modelin sat¬¸s¬ndan elde edilecek kâr ise s¬ras¬yla 25 ve 20 TL dir.

Günlük üretimden elde edilecek olan kâr¬n maksimum olmas¬için hangi

modelden ne kadar üretilmelidir?

(7)

Üretim Planlama

Örnek-I

Bir elbise dikim …rmas¬, fabrika i¸sçileri için i¸s elbisesi(üniforma) spari¸si almaktad¬r ve bu spari¸s için 240m kuma¸s¬mevcuttur. Üniformalar A ve B tipli model olarak haz¬rlanacakt¬r.

Her bir A tipli model yakla¸s¬k 3 saat, B tipli model ise 1 saat i¸slem gerektirmekte ve bu üretim için günlük toplam 320 saatlik bir i¸sgücü mevcut bulunmaktad¬r.

A ve B tip her bir modelin gerektirdi¼ gi kuma¸s miktarlar¬ise s¬ras¬yla 1.2m ve 1m kadard¬r.

A ve B tip her bir modelin sat¬¸s¬ndan elde edilecek kâr ise s¬ras¬yla 25 ve 20 TL dir.

Günlük üretimden elde edilecek olan kâr¬n maksimum olmas¬için hangi modelden ne kadar üretilmelidir?

(8)

Üretim Planlama

Örnek-I

Probleme ait bilinmeyenler s¬ras¬yla üretilmesi gereken A ve B model üniforma say¬lar¬d¬r ki bunlar¬s¬ras¬yla x ve y ile gösterelim.

Bu durumda maximize etmek istedi¼ gimiz fonksiyon 25x + 20y dir. Kaynak k¬s¬tlamas¬: 1.2x + y 240

· I¸sgücü k¬s¬tlamas¬3x + y 320

Nonnegati‡ik k¬s¬tlamalar¬x 0, y 0.

(9)

Üretim Planlama

Örnek-I

Probleme ait bilinmeyenler s¬ras¬yla üretilmesi gereken A ve B model üniforma say¬lar¬d¬r ki bunlar¬s¬ras¬yla x ve y ile gösterelim.

Bu durumda maximize etmek istedi¼ gimiz fonksiyon 25x + 20y dir. Kaynak k¬s¬tlamas¬: 1.2x + y 240

· I¸sgücü k¬s¬tlamas¬3x + y 320

Nonnegati‡ik k¬s¬tlamalar¬x 0, y 0.

(10)

Üretim Planlama

Örnek-I

Probleme ait bilinmeyenler s¬ras¬yla üretilmesi gereken A ve B model üniforma say¬lar¬d¬r ki bunlar¬s¬ras¬yla x ve y ile gösterelim.

Bu durumda maximize etmek istedi¼ gimiz fonksiyon 25x + 20y dir.

Kaynak k¬s¬tlamas¬: 1.2x + y 240

· I¸sgücü k¬s¬tlamas¬3x + y 320

Nonnegati‡ik k¬s¬tlamalar¬x 0, y 0.

(11)

Üretim Planlama

Örnek-I

Probleme ait bilinmeyenler s¬ras¬yla üretilmesi gereken A ve B model üniforma say¬lar¬d¬r ki bunlar¬s¬ras¬yla x ve y ile gösterelim.

Bu durumda maximize etmek istedi¼ gimiz fonksiyon 25x + 20y dir.

Kaynak k¬s¬tlamas¬: 1.2x + y 240

· I¸sgücü k¬s¬tlamas¬3x + y 320

Nonnegati‡ik k¬s¬tlamalar¬x 0, y 0.

(12)

Üretim Planlama

Örnek-I

Probleme ait bilinmeyenler s¬ras¬yla üretilmesi gereken A ve B model üniforma say¬lar¬d¬r ki bunlar¬s¬ras¬yla x ve y ile gösterelim.

Bu durumda maximize etmek istedi¼ gimiz fonksiyon 25x + 20y dir.

Kaynak k¬s¬tlamas¬: 1.2x + y 240

· I¸sgücü k¬s¬tlamas¬3x + y 320

Nonnegati‡ik k¬s¬tlamalar¬x 0, y 0.

(13)

Üretim Planlama

Örnek-I

Probleme ait bilinmeyenler s¬ras¬yla üretilmesi gereken A ve B model üniforma say¬lar¬d¬r ki bunlar¬s¬ras¬yla x ve y ile gösterelim.

Bu durumda maximize etmek istedi¼ gimiz fonksiyon 25x + 20y dir.

Kaynak k¬s¬tlamas¬: 1.2x + y 240

· I¸sgücü k¬s¬tlamas¬3x + y 320

Nonnegati‡ik k¬s¬tlamalar¬x 0, y 0.

(14)

Üretim Planlama

Örnek-I

max 25x + 20y 1.2x + y 240

3x + y 320

x 0, y 0

(15)

Üretim Planlama

Örnek-I

max 25x + 20y 1.2x + y 240

3x + y 320 x 0, y 0

(16)

Zaman Planlama

Örnek-II(S¬nav için zaman planlama)Final s¬navlar¬na haz¬rlanan bir ö¼ grencinin

A ve B dersleri s¬nav haz¬rl¬¼ g¬için toplam 40 saat zaman¬mevcuttur. Ö¼ grenci önceki deneyimlerine göre, bir saatlik çal¬¸sman¬n A dersi için yakla¸s¬k yüz üzerinden 3, B için ise 5 puan getirisi olaca¼ g¬n¬tahmin etmektedir.

Ayr¬ca ö¼ grenci, A dersi için gerekli çal¬¸sma zaman¬n¬n B için gerekli

olandan en az üç kat daha fazla olmas¬gerekti¼ gini tahmin ediyor.

Buna göre ö¼ grenci yakla¸s¬k olarak hangi ders için en az kaç saat

çal¬¸smal¬d¬r?

(17)

Zaman Planlama

Örnek-II(S¬nav için zaman planlama)Final s¬navlar¬na haz¬rlanan bir ö¼ grencinin

A ve B dersleri s¬nav haz¬rl¬¼ g¬için toplam 40 saat zaman¬mevcuttur.

Ö¼ grenci önceki deneyimlerine göre, bir saatlik çal¬¸sman¬n A dersi için yakla¸s¬k yüz üzerinden 3, B için ise 5 puan getirisi olaca¼ g¬n¬tahmin etmektedir.

Ayr¬ca ö¼ grenci, A dersi için gerekli çal¬¸sma zaman¬n¬n B için gerekli olandan en az üç kat daha fazla olmas¬gerekti¼ gini tahmin ediyor. Buna göre ö¼ grenci yakla¸s¬k olarak hangi ders için en az kaç saat çal¬¸smal¬d¬r?

(18)

Zaman Planlama

Örnek-II(S¬nav için zaman planlama)Final s¬navlar¬na haz¬rlanan bir ö¼ grencinin

A ve B dersleri s¬nav haz¬rl¬¼ g¬için toplam 40 saat zaman¬mevcuttur.

Ö¼ grenci önceki deneyimlerine göre, bir saatlik çal¬¸sman¬n A dersi için yakla¸s¬k yüz üzerinden 3, B için ise 5 puan getirisi olaca¼ g¬n¬tahmin etmektedir.

Ayr¬ca ö¼ grenci, A dersi için gerekli çal¬¸sma zaman¬n¬n B için gerekli

olandan en az üç kat daha fazla olmas¬gerekti¼ gini tahmin ediyor.

Buna göre ö¼ grenci yakla¸s¬k olarak hangi ders için en az kaç saat

çal¬¸smal¬d¬r?

(19)

Zaman Planlama

Örnek-II(S¬nav için zaman planlama)Final s¬navlar¬na haz¬rlanan bir ö¼ grencinin

A ve B dersleri s¬nav haz¬rl¬¼ g¬için toplam 40 saat zaman¬mevcuttur.

Ö¼ grenci önceki deneyimlerine göre, bir saatlik çal¬¸sman¬n A dersi için yakla¸s¬k yüz üzerinden 3, B için ise 5 puan getirisi olaca¼ g¬n¬tahmin etmektedir.

Ayr¬ca ö¼ grenci, A dersi için gerekli çal¬¸sma zaman¬n¬n B için gerekli olandan en az üç kat daha fazla olmas¬gerekti¼ gini tahmin ediyor.

Buna göre ö¼ grenci yakla¸s¬k olarak hangi ders için en az kaç saat çal¬¸smal¬d¬r?

(20)

Zaman Planlama

Örnek-II(S¬nav için zaman planlama)Final s¬navlar¬na haz¬rlanan bir ö¼ grencinin

A ve B dersleri s¬nav haz¬rl¬¼ g¬için toplam 40 saat zaman¬mevcuttur.

Ö¼ grenci önceki deneyimlerine göre, bir saatlik çal¬¸sman¬n A dersi için yakla¸s¬k yüz üzerinden 3, B için ise 5 puan getirisi olaca¼ g¬n¬tahmin etmektedir.

Ayr¬ca ö¼ grenci, A dersi için gerekli çal¬¸sma zaman¬n¬n B için gerekli olandan en az üç kat daha fazla olmas¬gerekti¼ gini tahmin ediyor.

Buna göre ö¼ grenci yakla¸s¬k olarak hangi ders için en az kaç saat

çal¬¸smal¬d¬r?

(21)

Zaman Planlama

Örnek-II(S¬nav için zaman planlama) Model

Probleme ait bilinmeyenler s¬ras¬yla A ve B dersleri için gerekli çal¬¸sma süreleridir ki bunlar¬s¬ras¬yla x ve y ile gösterelim.

Bu durumda maximize etmek istedi¼ gimiz fonksiyon 3x + 5y dir. Zaman k¬s¬tlamas¬: x + y 40

Dersler için gerekli zaman da¼ g¬l¬m¬ x 3y 0

Ayr¬ca çal¬¸sma zaman süreleri negatif olamayaca¼ g¬için x 0, y 0 olmal¬d¬r.

(22)

Zaman Planlama

Örnek-II(S¬nav için zaman planlama) Model

Probleme ait bilinmeyenler s¬ras¬yla A ve B dersleri için gerekli çal¬¸sma süreleridir ki bunlar¬s¬ras¬yla x ve y ile gösterelim.

Bu durumda maximize etmek istedi¼ gimiz fonksiyon 3x + 5y dir. Zaman k¬s¬tlamas¬: x + y 40

Dersler için gerekli zaman da¼ g¬l¬m¬ x 3y 0

Ayr¬ca çal¬¸sma zaman süreleri negatif olamayaca¼ g¬için x 0, y 0

olmal¬d¬r.

(23)

Zaman Planlama

Örnek-II(S¬nav için zaman planlama) Model

Probleme ait bilinmeyenler s¬ras¬yla A ve B dersleri için gerekli çal¬¸sma süreleridir ki bunlar¬s¬ras¬yla x ve y ile gösterelim.

Bu durumda maximize etmek istedi¼ gimiz fonksiyon 3x + 5y dir.

Zaman k¬s¬tlamas¬: x + y 40

Dersler için gerekli zaman da¼ g¬l¬m¬ x 3y 0

Ayr¬ca çal¬¸sma zaman süreleri negatif olamayaca¼ g¬için x 0, y 0 olmal¬d¬r.

(24)

Zaman Planlama

Örnek-II(S¬nav için zaman planlama) Model

Probleme ait bilinmeyenler s¬ras¬yla A ve B dersleri için gerekli çal¬¸sma süreleridir ki bunlar¬s¬ras¬yla x ve y ile gösterelim.

Bu durumda maximize etmek istedi¼ gimiz fonksiyon 3x + 5y dir.

Zaman k¬s¬tlamas¬: x + y 40

Dersler için gerekli zaman da¼ g¬l¬m¬ x 3y 0

Ayr¬ca çal¬¸sma zaman süreleri negatif olamayaca¼ g¬için x 0, y 0

olmal¬d¬r.

(25)

Zaman Planlama

Örnek-II(S¬nav için zaman planlama) Model

Probleme ait bilinmeyenler s¬ras¬yla A ve B dersleri için gerekli çal¬¸sma süreleridir ki bunlar¬s¬ras¬yla x ve y ile gösterelim.

Bu durumda maximize etmek istedi¼ gimiz fonksiyon 3x + 5y dir.

Zaman k¬s¬tlamas¬: x + y 40

Dersler için gerekli zaman da¼ g¬l¬m¬ x 3y 0

Ayr¬ca çal¬¸sma zaman süreleri negatif olamayaca¼ g¬için x 0, y 0 olmal¬d¬r.

(26)

Zaman Planlama

Örnek-II(S¬nav için zaman planlama) Model

Probleme ait bilinmeyenler s¬ras¬yla A ve B dersleri için gerekli çal¬¸sma süreleridir ki bunlar¬s¬ras¬yla x ve y ile gösterelim.

Bu durumda maximize etmek istedi¼ gimiz fonksiyon 3x + 5y dir.

Zaman k¬s¬tlamas¬: x + y 40

Dersler için gerekli zaman da¼ g¬l¬m¬ x 3y 0

Ayr¬ca çal¬¸sma zaman süreleri negatif olamayaca¼ g¬için x 0, y 0

olmal¬d¬r.

(27)

Zaman Planlama

Örnek-II(S¬nav için zaman planlama) Model

max 3x + 5y x + y 40

x 3y 0

x 0, y 0

(28)

Zaman Planlama

Örnek-II(S¬nav için zaman planlama) Model max 3x + 5y

x + y 40

x 3y 0

x 0, y 0

(29)

Üretim Planlama

Örnek-III(üretim planlama)

Bir fabrikada yaz, k¬¸s ve mevsimlik olmak üzere üç farkl¬otomobil lasti¼ gi üretilmektedir.

Her bir lastik fabrikadaki üç farkl¬bölümde a¸sa¼ g¬da belirtilen sürelerde i¸slem görmektedirler

Üretilen her bir lastikten elde edilmesi dü¸sünülen tahmini kâr a¸sa¼ g¬da verilmektedir.

(30)

Üretim Planlama

Örnek-III(üretim planlama)

Bir fabrikada yaz, k¬¸s ve mevsimlik olmak üzere üç farkl¬otomobil lasti¼ gi üretilmektedir.

Her bir lastik fabrikadaki üç farkl¬bölümde a¸sa¼ g¬da belirtilen sürelerde i¸slem görmektedirler

Üretilen her bir lastikten elde edilmesi dü¸sünülen tahmini kâr a¸sa¼ g¬da

verilmektedir.

(31)

Üretim Planlama

Örnek-III(üretim planlama)

Bir fabrikada yaz, k¬¸s ve mevsimlik olmak üzere üç farkl¬otomobil lasti¼ gi üretilmektedir.

Her bir lastik fabrikadaki üç farkl¬bölümde a¸sa¼ g¬da belirtilen sürelerde i¸slem görmektedirler

Üretilen her bir lastikten elde edilmesi dü¸sünülen tahmini kâr a¸sa¼ g¬da verilmektedir.

(32)

Üretim Planlama

Örnek-III(üretim planlama)

Bir fabrikada yaz, k¬¸s ve mevsimlik olmak üzere üç farkl¬otomobil lasti¼ gi üretilmektedir.

Her bir lastik fabrikadaki üç farkl¬bölümde a¸sa¼ g¬da belirtilen sürelerde i¸slem görmektedirler

Üretilen her bir lastikten elde edilmesi dü¸sünülen tahmini kâr a¸sa¼ g¬da

verilmektedir.

(33)

Üretim Planlama

Örnek-III(üretim planlama)

Yaz K¬¸s Mevsimlik Toplam Zaman

Birinci Bölüm 1.5 1 2 90

· Ikinci Bölüm 1 2 2 70

Üçüncü Bölüm 2 1 1 80

Kâr 20 16 15

Fabrika seçilen boyuttaki lastik üretiminden maksimum kâr elde edebilmek için hangi tipten ne kadar üretmelidir?

(34)

Üretim Planlama

Örnek-III(üretim planlama)

Yaz K¬¸s Mevsimlik Toplam Zaman

Birinci Bölüm 1.5 1 2 90

· Ikinci Bölüm 1 2 2 70

Üçüncü Bölüm 2 1 1 80

Kâr 20 16 15

Fabrika seçilen boyuttaki lastik üretiminden maksimum kâr elde

edebilmek için hangi tipten ne kadar üretmelidir?

(35)

Üretim Planlama

Örnek-III(üretim planlama)

Yaz K¬¸s Mevsimlik Toplam Zaman

Birinci Bölüm 1.5 1 2 90

· Ikinci Bölüm 1 2 2 70

Üçüncü Bölüm 2 1 1 80

Kâr 20 16 15

Fabrika seçilen boyuttaki lastik üretiminden maksimum kâr elde edebilmek için hangi tipten ne kadar üretmelidir?

(36)

Üretim Planlama

Örnek-III(üretim planlama)

x,y , ve z ile s¬ras¬yla üretilmesi planlanan yazl¬k, k¬¸sl¬k ve mevsimlik lastik say¬lar¬n¬gösterelim.

O halde maksimize edilecek olan fonksiyon 20x + 16y + 15z dir Birinci Bölüm kaynakl¬k¬s¬tlama: 1.5x + y + 2z 90

· Ikinci Bölüm kaynakl¬k¬s¬tlama: x + 2y + 2z 70

Üçüncü Bölüm kaynakl¬k¬s¬tlama: 2x + y + z 80

Ayr¬ca üretilecek lastik say¬lar¬negatif olamayaca¼ g¬için

x 0, y 0, z 0 olmal¬d¬r.

(37)

Üretim Planlama

Örnek-III(üretim planlama)

x,y , ve z ile s¬ras¬yla üretilmesi planlanan yazl¬k, k¬¸sl¬k ve mevsimlik lastik say¬lar¬n¬gösterelim.

O halde maksimize edilecek olan fonksiyon 20x + 16y + 15z dir Birinci Bölüm kaynakl¬k¬s¬tlama: 1.5x + y + 2z 90

· Ikinci Bölüm kaynakl¬k¬s¬tlama: x + 2y + 2z 70 Üçüncü Bölüm kaynakl¬k¬s¬tlama: 2x + y + z 80 Ayr¬ca üretilecek lastik say¬lar¬negatif olamayaca¼ g¬için x 0, y 0, z 0 olmal¬d¬r.

(38)

Üretim Planlama

Örnek-III(üretim planlama)

x,y , ve z ile s¬ras¬yla üretilmesi planlanan yazl¬k, k¬¸sl¬k ve mevsimlik lastik say¬lar¬n¬gösterelim.

O halde maksimize edilecek olan fonksiyon 20x + 16y + 15z dir

Birinci Bölüm kaynakl¬k¬s¬tlama: 1.5x + y + 2z 90

· Ikinci Bölüm kaynakl¬k¬s¬tlama: x + 2y + 2z 70

Üçüncü Bölüm kaynakl¬k¬s¬tlama: 2x + y + z 80

Ayr¬ca üretilecek lastik say¬lar¬negatif olamayaca¼ g¬için

x 0, y 0, z 0 olmal¬d¬r.

(39)

Üretim Planlama

Örnek-III(üretim planlama)

x,y , ve z ile s¬ras¬yla üretilmesi planlanan yazl¬k, k¬¸sl¬k ve mevsimlik lastik say¬lar¬n¬gösterelim.

O halde maksimize edilecek olan fonksiyon 20x + 16y + 15z dir Birinci Bölüm kaynakl¬k¬s¬tlama: 1.5x + y + 2z 90

· Ikinci Bölüm kaynakl¬k¬s¬tlama: x + 2y + 2z 70 Üçüncü Bölüm kaynakl¬k¬s¬tlama: 2x + y + z 80 Ayr¬ca üretilecek lastik say¬lar¬negatif olamayaca¼ g¬için x 0, y 0, z 0 olmal¬d¬r.

(40)

Üretim Planlama

Örnek-III(üretim planlama)

x,y , ve z ile s¬ras¬yla üretilmesi planlanan yazl¬k, k¬¸sl¬k ve mevsimlik lastik say¬lar¬n¬gösterelim.

O halde maksimize edilecek olan fonksiyon 20x + 16y + 15z dir Birinci Bölüm kaynakl¬k¬s¬tlama: 1.5x + y + 2z 90

· Ikinci Bölüm kaynakl¬k¬s¬tlama: x + 2y + 2z 70

Üçüncü Bölüm kaynakl¬k¬s¬tlama: 2x + y + z 80

Ayr¬ca üretilecek lastik say¬lar¬negatif olamayaca¼ g¬için

x 0, y 0, z 0 olmal¬d¬r.

(41)

Üretim Planlama

Örnek-III(üretim planlama)

x,y , ve z ile s¬ras¬yla üretilmesi planlanan yazl¬k, k¬¸sl¬k ve mevsimlik lastik say¬lar¬n¬gösterelim.

O halde maksimize edilecek olan fonksiyon 20x + 16y + 15z dir Birinci Bölüm kaynakl¬k¬s¬tlama: 1.5x + y + 2z 90

· Ikinci Bölüm kaynakl¬k¬s¬tlama: x + 2y + 2z 70 Üçüncü Bölüm kaynakl¬k¬s¬tlama: 2x + y + z 80

Ayr¬ca üretilecek lastik say¬lar¬negatif olamayaca¼ g¬için x 0, y 0, z 0 olmal¬d¬r.

(42)

Üretim Planlama

Örnek-III(üretim planlama)

x,y , ve z ile s¬ras¬yla üretilmesi planlanan yazl¬k, k¬¸sl¬k ve mevsimlik lastik say¬lar¬n¬gösterelim.

O halde maksimize edilecek olan fonksiyon 20x + 16y + 15z dir Birinci Bölüm kaynakl¬k¬s¬tlama: 1.5x + y + 2z 90

· Ikinci Bölüm kaynakl¬k¬s¬tlama: x + 2y + 2z 70

Üçüncü Bölüm kaynakl¬k¬s¬tlama: 2x + y + z 80

Ayr¬ca üretilecek lastik say¬lar¬negatif olamayaca¼ g¬için

x 0, y 0, z 0 olmal¬d¬r.

(43)

Üretim Planlama

Örnek-III(üretim planlama)

max 20x + 16y + 15z 1.5x + y + 2z 90

x + 2y + 2z 70 2x + y + z 80 x 0, y 0, z 0

(44)

Üretim Planlama

Örnek-III(üretim planlama)

max 20x + 16y + 15z 1.5x + y + 2z 90

x + 2y + 2z 70

2x + y + z 80

x 0, y 0, z 0

(45)

E¸sitsizlikler sisteminin çözüm kümesi

A¸sa¼ g¬da verilen e¸sitsizlik sisteminin çözüm kümesinin gra…¼ gini çiziniz ve kö¸se noktalar¬n¬n koordinatlar¬n¬belirleyiniz.

x + y 250, 2x + 8y 800,

x 0, y 0

(46)

E¸sitsizlikler sisteminin çözüm kümesi

A¸sa¼ g¬da verilen e¸sitsizlik sisteminin çözüm kümesinin gra…¼ gini çiziniz ve kö¸se noktalar¬n¬n koordinatlar¬n¬belirleyiniz.

x + y 250, 2x + 8y 800,

x 0, y 0

(47)

E¸sitsizlikler sisteminin çözüm kümesi

y = x + 250, y = x /4 + 400

100 200 300 400

-100 0 100 200

x y

(48)

E¸sitsizlikler sisteminin çözüm kümesi

20 40 60 80 100 120

y

140

Kö¸se noktalar¬n¬n koordinatlar¬ise ( 0, 0 ) , ( 250, 0 ) , ( 0, 100 ) ve x + y = 250

2x + 8y = 800

denklem sistemlerinin arakesit noktas¬olan ( 200, 50 ) noktas¬d¬r.

(49)

E¸sitsizlikler sisteminin çözüm kümesi

20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 20

40 60 80 100 120 140

x y

Figure:

Örnek 12 için uygun çözüm kümesi.

Kö¸se noktalar¬n¬n koordinatlar¬ise ( 0, 0 ) , ( 250, 0 ) , ( 0, 100 ) ve

x + y = 250 2x + 8y = 800

denklem sistemlerinin arakesit noktas¬olan ( 200, 50 ) noktas¬d¬r.

(50)

E¸sitsizlikler sisteminin çözüm kümesi

20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 20

40 60 80 100 120 140

x y

Figure:

Örnek 12 için uygun çözüm kümesi.

Kö¸se noktalar¬n¬n koordinatlar¬ise ( 0, 0 ) , ( 250, 0 ) , ( 0, 100 ) ve

(51)

E¸sitsizlikler sisteminin çözüm kümesi

A¸sa¼ g¬da verilen e¸sitsizlik sisteminin çözüm kümesinin gra…¼ gini çiziniz ve kö¸se noktalar¬n¬n koordinatlar¬n¬belirleyiniz.

x + y 65 x + y 40

x 0

x 60

y 0

(52)

E¸sitsizlikler sisteminin çözüm kümesi

A¸sa¼ g¬da verilen e¸sitsizlik sisteminin çözüm kümesinin gra…¼ gini çiziniz ve kö¸se noktalar¬n¬n koordinatlar¬n¬belirleyiniz.

x + y 65 x + y 40

x 0

x 60

y 0

(53)

E¸sitsizlikler sisteminin çözüm kümesi

10 20 30 40 50 60 70

x y

Figure:

Örnek 15 için uygun çözüm kümesi.

(54)

E¸sitsizlikler sisteminin çözüm kümesi

A¸sa¼ g¬da verilen e¸sitsizlik sisteminin çözüm kümesinin gra…¼ gini çiziniz ve kö¸se noktalar¬n¬n koordinatlar¬n¬belirleyiniz.

x + 3y 4 2x + y 5

x y 0

x 0, y 0

(55)

E¸sitsizlikler sisteminin çözüm kümesi

A¸sa¼ g¬da verilen e¸sitsizlik sisteminin çözüm kümesinin gra…¼ gini çiziniz ve kö¸se noktalar¬n¬n koordinatlar¬n¬belirleyiniz.

x + 3y 4 2x + y 5

x y 0

x 0, y 0

(56)

E¸sitsizlikler sisteminin çözüm kümesi

-1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

1 2

x y

Verilen e¸sitsizlik sisteminin gra…¼ gi ¸ Sekil 3 de verilmektedir. ¸ Sekil 3 de belirtilen bölge s¬n¬rlar¬na ait do¼ grular¬n denklemlerini belirleyebilir misiniz? Orjinden ba¸slamak üzere kö¸se noktalar¬n¬n koordinatlar¬

A ( 0, 0 ) , B ( 5/2, 0 ) , C ( 11/5, 3/5 ) , D ( 1, 1 )

dir.

(57)

E¸sitsizlikler sisteminin çözüm kümesi

-1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

-1 1 2

x y

Figure:

Örnek ?? e ait uygun çözüm kümesi.

Verilen e¸sitsizlik sisteminin gra…¼ gi ¸ Sekil 3 de verilmektedir. ¸ Sekil 3 de belirtilen bölge s¬n¬rlar¬na ait do¼ grular¬n denklemlerini belirleyebilir misiniz? Orjinden ba¸slamak üzere kö¸se noktalar¬n¬n koordinatlar¬

A ( 0, 0 ) , B ( 5/2, 0 ) , C ( 11/5, 3/5 ) , D ( 1, 1 ) dir.

(58)

· Iki de¼ gi¸skenli Problemler için Gra…k Yöntemi

Bu bölümde X = [ x y ]

^T

, C = [ c

1

c

2

] , A

2 2

= [ A

1

; A

2

] matris ve b = [ b

₁

b

₂

]

^T

olmak üzere Lineer optimizasyon problemi olarak adland¬r¬lan

max CX AX <= b

X 0

veya

min CX AX >= b

X 0

veya

⁰ ⁰

ve

⁰ ⁰

k¬stlamalar¬n¬n her ikisini de içeren iki bilinmeyenli problemlerinin gra…k yöntemi yard¬m¬yla çözümünü inceliyoruz.

Burada maksimize veya minimize edilecek olan CX = c

₁

x + c

₂

y fonksiyonuna objektif veya hedef fonksiyon ad¬verilir.

Problemde verilen e¸sitsizlikler sisteminin çözüm kümesine ise problemin uygun çözüm kümesi ad¬verilir.

Uygun çözüm kümesi içerisinden verilen problemi maksimize(veya

minimize) eden çözüme optimum çözüm ad¬verilir.

(59)

· Iki de¼ gi¸skenli Problemler için Gra…k Yöntemi

Bu bölümde X = [ x y ]

^T

, C = [ c

1

c

2

] , A

2 2

= [ A

1

; A

2

] matris ve b = [ b

₁

b

₂

]

^T

olmak üzere Lineer optimizasyon problemi olarak adland¬r¬lan

max CX AX <= b

X 0

veya

min CX AX >= b

X 0

veya

⁰ ⁰

ve

⁰ ⁰

k¬stlamalar¬n¬n her ikisini de içeren iki bilinmeyenli problemlerinin gra…k yöntemi yard¬m¬yla çözümünü inceliyoruz.

Burada maksimize veya minimize edilecek olan CX = c

₁

x + c

₂

y fonksiyonuna objektif veya hedef fonksiyon ad¬verilir.

Problemde verilen e¸sitsizlikler sisteminin çözüm kümesine ise problemin uygun çözüm kümesi ad¬verilir.

Uygun çözüm kümesi içerisinden verilen problemi maksimize(veya minimize) eden çözüme optimum çözüm ad¬verilir.

(60)

· Iki de¼ gi¸skenli Problemler için Gra…k Yöntemi

Bu bölümde X = [ x y ]

^T

, C = [ c

1

c

2

] , A

2 2

= [ A

1

; A

2

] matris ve b = [ b

₁

b

₂

]

^T

olmak üzere Lineer optimizasyon problemi olarak adland¬r¬lan

max CX AX <= b

X 0

veya

min CX AX >= b

X 0

veya

⁰ ⁰

ve

⁰ ⁰

k¬stlamalar¬n¬n her ikisini de içeren iki bilinmeyenli problemlerinin gra…k yöntemi yard¬m¬yla çözümünü inceliyoruz.

Burada maksimize veya minimize edilecek olan CX = c

₁

x + c

₂

y fonksiyonuna objektif veya hedef fonksiyon ad¬verilir.

Problemde verilen e¸sitsizlikler sisteminin çözüm kümesine ise problemin

Uygun çözüm kümesi içerisinden verilen problemi maksimize(veya

minimize) eden çözüme optimum çözüm ad¬verilir.

(61)

· Iki de¼ gi¸skenli Problemler için Gra…k Yöntemi

Bu bölümde X = [ x y ]

^T

, C = [ c

1

c

2

] , A

2 2

= [ A

1

; A

2

] matris ve b = [ b

₁

b

₂

]

^T

olmak üzere Lineer optimizasyon problemi olarak adland¬r¬lan

max CX AX <= b

X 0

veya

min CX AX >= b

X 0

veya

⁰ ⁰

ve

⁰ ⁰

k¬stlamalar¬n¬n her ikisini de içeren iki bilinmeyenli problemlerinin gra…k yöntemi yard¬m¬yla çözümünü inceliyoruz.

Burada maksimize veya minimize edilecek olan CX = c

₁

x + c

₂

y fonksiyonuna objektif veya hedef fonksiyon ad¬verilir.

Problemde verilen e¸sitsizlikler sisteminin çözüm kümesine ise problemin uygun çözüm kümesi ad¬verilir.

Uygun çözüm kümesi içerisinden verilen problemi maksimize(veya minimize) eden çözüme optimum çözüm ad¬verilir.

(62)

· Iki de¼ gi¸skenli Problemler için Gra…k Yöntemi

Theorem

Bir lineer optimizasyon probleminin çözümü mevcutsa, bu çözüm uygun çözüm kümesinin kö¸ se noktalar¬ndan birisidir. E¼ger herhangi iki kom¸ su kö¸ se noktada objektif fonksiyon ayn¬de¼gere sahipse, bu iki noktay¬

birle¸ stiren do¼gru üzerindeki her nokta da problemin bir çözümüdür ve bu

durumda problem sonsuz say¬da çözüme sahiptir[1].

(63)

· Iki de¼ gi¸skenli Problemler için Gra…k Yöntemi

Örnek

Verilen optimizasyon probleminin çözümünü belirleyiniz.

max 3x + y x + 3y 4 2x + y 5

x y 0

x, y 0

(64)

· Iki de¼ gi¸skenli Problemler için Gra…k Yöntemi

-1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

1 2

x

y

(65)

· Iki de¼ gi¸skenli Problemler için Gra…k Yöntemi

O halde kö¸se noktalar¬nda objektif fonksiyonunun de¼ gerini hesaplay¬p en büyük de¼ gere sahip olan noktay¬belirlemektir.

( x, y ) 3x + y ( 0, 0 ) 0 ( 5/2, 0 ) 15/2 ( 11/5, 3/5 ) 36/5

( 1, 1 ) 4 O halde optimum çözüm ( 5/2, 0 ) d¬r.

(66)

· Iki de¼ gi¸skenli Problemler için Gra…k Yöntemi

Örnek

Verilen optimizasyon probleminin çözümünü belirleyiniz.

min 3x + 4y x + y 4 x + 3y 2

x, y 0

(67)

· Iki de¼ gi¸skenli Problemler için Gra…k Yöntemi

-1 1 2 3 4 5

x y

Figure:

Örnek 2 için uygun çözüm bölgesi.

(68)

· Iki de¼ gi¸skenli Problemler için Gra…k Yöntemi

Çözüm kümesinin kö¸se noktalar¬n¬n koordinatlar¬ ve bu noktalardaki objektif fonksiyonun de¼ gerleri a¸sa¼ g¬da verilmektedir.

( x, y ) 3x + 4y ( 0, 2/3 ) 8/3

( 2, 0 ) 6 ( 4, 0 ) 12 ( 0, 4 ) 16

O halde objektif fonksiyonun minimumuna kar¸s¬l¬k gelen

( x, y ) = ( 0, 2/3 ) noktas¬optimal çözümdür.

(69)

Al¬¸st¬rmalar

Bir otomotiv üretim …rmas¬A ve B tip ekonomik otomobil modelleri üretmektedir ve …rman¬n bir sezonluk üretim için toplam 14750 saatlik i¸sgücü ve bu üretim için 725000 TL …nansman kayna¼ g¬ mevcuttur. A ve B tip modellerin her biri s¬ras¬yla 400 ve 350 saatlik i¸sgücü kayna¼ g¬gerektirmekte ve üretici bu modellerin herbirinden 3500 ve 3400 TL kâr elde edece¼ gini tahmin etmektedir. A ve B tipli her bir modelin maliyeti s¬ras¬yla 15000 TL ve 20000 TL dir. Bir sezonluk üretimden maksimum kâr elde edebilmek için hangi modelden ne kadar üretilmelidir?

(70)

Al¬¸st¬rmalar

Bir otomotiv üretim …rmas¬A ve B tip ekonomik otomobil modelleri üretmektedir ve …rman¬n bir sezonluk üretim için toplam 14750 saatlik i¸sgücü ve bu üretim için 725000 TL …nansman kayna¼ g¬

mevcuttur. A ve B tip modellerin her biri s¬ras¬yla 400 ve 350 saatlik

i¸sgücü kayna¼ g¬gerektirmekte ve üretici bu modellerin herbirinden

3500 ve 3400 TL kâr elde edece¼ gini tahmin etmektedir. A ve B tipli

her bir modelin maliyeti s¬ras¬yla 15000 TL ve 20000 TL dir. Bir

sezonluk üretimden maksimum kâr elde edebilmek için hangi

modelden ne kadar üretilmelidir?

(71)

Al¬¸st¬rmalar

Bir diyetisyen iki ürünün( ¨ Ur ün_I , ¨ Ur ün_II ) uygun miktardaki kar¬¸s¬m¬ile bir bitkisel ilaç haz¬rlamak istemektedir. ¨ Ur ün_I in her bir gram¬3mg demir, 4mg C vitamini ve 2mg da kolestrol içermektedir. Ur ün_II nin her bir gram¬ise 6mg demir, 2mg C vitamini ve 3mg ¨ da kolestrol içermektedir. Haz¬rlanacak olan ilac¬n en az 1500 mg demir ve 800 mg da C vitamini içermesi istenmektedir. Minimum kolestrol içeren bitkisel ilaç hangi tip üründen ne kadar içermelidir?

(72)

Al¬¸st¬rmalar

Bir diyetisyen iki ürünün( ¨ Ur ün_I , ¨ Ur ün_II ) uygun miktardaki kar¬¸s¬m¬ile bir bitkisel ilaç haz¬rlamak istemektedir. ¨ Ur ün_I in her bir gram¬3mg demir, 4mg C vitamini ve 2mg da kolestrol içermektedir.

Ur ¨un_II nin her bir gram¬ise 6mg demir, 2mg C vitamini ve 3mg ¨

da kolestrol içermektedir. Haz¬rlanacak olan ilac¬n en az 1500 mg

demir ve 800 mg da C vitamini içermesi istenmektedir. Minimum

kolestrol içeren bitkisel ilaç hangi tip üründen ne kadar içermelidir?

(73)

Al¬¸st¬rmalar

Bir pastahane kilogram¬s¬ras¬yla 3 TL ve 5 TL olan portakal ve kivi kar¬¸s¬m¬ndan bir içecek haz¬rlamak istemektedir. Her bir meyve çe¸sidinin her bir 100 gram¬ndaki kalori ve karbonhidrat miktarlar¬ a¸sa¼ g¬daki tabloda verilmektedir. Ayr¬ca kar¬¸s¬m¬n sahip olmas¬gereken minimal besin de¼ gerleri de yine tablonun son sat¬r¬nda verilmektedir.

100 gramda Kalori(kcal) Karbonhidrat(gr)

portakal 39 12

kivi 62 15

Minimal Gereksinim 62900 16500 Bu veriler ¬¸s¬¼ g¬alt¬nda minimum maliyetli kar¬¸s¬m, hangi meyve türünden kaç gram içermelidir?

(74)

Al¬¸st¬rmalar

Bir pastahane kilogram¬s¬ras¬yla 3 TL ve 5 TL olan portakal ve kivi kar¬¸s¬m¬ndan bir içecek haz¬rlamak istemektedir. Her bir meyve çe¸sidinin her bir 100 gram¬ndaki kalori ve karbonhidrat miktarlar¬

a¸sa¼ g¬daki tabloda verilmektedir. Ayr¬ca kar¬¸s¬m¬n sahip olmas¬gereken minimal besin de¼ gerleri de yine tablonun son sat¬r¬nda verilmektedir.

100 gramda Kalori(kcal) Karbonhidrat(gr)

portakal 39 12

kivi 62 15

Minimal Gereksinim 62900 16500

Bu veriler ¬¸s¬¼ g¬alt¬nda minimum maliyetli kar¬¸s¬m, hangi meyve

türünden kaç gram içermelidir?

(75)

Kaynak

S. T. Tan, Applied Finite Mathematics, Kent Publishing, USA. Co¸skun, E., Endüstriyel ve Uygulamal¬Matemati¼ ge Giri¸s, URL:http://erhancoskun.com.tr

(76)

Kaynak

S. T. Tan, Applied Finite Mathematics, Kent Publishing, USA.

Co¸skun, E., Endüstriyel ve Uygulamal¬Matemati¼ ge Giri¸s,

URL:http://erhancoskun.com.tr

(77)