Türev altında ötelemeyi koruyan tek değişkenli integral operatörler

T.C.

KIRIKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

MATEMATİK ANABİLİM DALI YÜKSEK LİSANS TEZİ

TÜREV ALTINDA ÖTELEMEYİ KORUYAN TEK DEĞİŞKENLİ İNTEGRAL OPERATÖRLER

NİHAL AYDINYER

HAZİRAN 2007

ÖZET

TÜREV ALTINDA ÖTELEMEYİ KORUYAN TEK DEĞİŞKENLİ İNTEGRAL OPERATÖRLER

AYDINYER, Nihal Kırıkkale Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü

Matematik Anabilim Dalı, Yüksek Lisans Tezi Danışman : Yrd. Doç. Dr. Ali OLGUN

HAZİRAN 2007, 69 sayfa

Bu tez çalışması dört bölümden oluşmaktadır. Birinci bölüm giriş için ayrılmıştır.

İkinci bölümde ötelemeyi koruyan lineer pozitif operatörlerin i -yinci basamaktan türevlerinin süreklilik modülü ile olan ilişkisi incelenmiştir. Üçüncü bölümde ise materyal ve yöntem olarak; tanımlanan bazı operatörlerin türevlerinin de ötelemeyi koruduğu ve bazı eşitsizlikleri sağladığı ve ayrıca bu operatörlerin olasılık yoğunluk fonksiyonu olduğu gösterilmiştir. Dördüncü bölüm tartışma ve sonuca ayrılmıştır.

Anahtar Kelimeler: Süreklilik Modülü, Ötelemeyi Koruyan Operatör, Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu, Genelleştirilmiş Operatörler

ABSTRACT

DIFFERENTIATED SHIFT INVARIANT UNIVARIATE INTEGRAL OPERATORS

AYDINYER, Nihal Kırıkkale University

Graduate School Of and Applied Sciences Department of Mathematics, M.Sc. Thesis Supervisor Asst. Prof. Dr. Ali OLGUN

June 2007, 69 pages

This thesis consists of four chapter. The first chapter is reserved for introduction.

In the second chapter, i -th order derivatives of shift invariant linear positive operators are given with modulus of continuity. In the third chapter, some operators are defined and it is shown that their derivatives are shift invariant and they satisfy some inequalities. Finally, the fourth chapter is devoted to the discussion and conclusions.

Key Words: Modulus Of Contunuity, Shift Invariant Operator, Probability Density Function, Generalized Operators.

TEŞEKKÜR

Tezimin hazırlanmasında bana yol gösterici olan ve yardımlarını esirgemeyen değerli hocam Sayın Yrd. Doç. Dr. Ali OLGUN ‘ a teşekkürlerimi bir borç bilirim.

Ayrıca, tez yazım süresince bana destek olan ailemin değerli fertlerine teşekkür ederim.

İÇİNDEKİLER

ÖZET……….i

ABSTRACT….………ii

TEŞEKKÜR………..………..iii

İÇİNDEKİLER………..………..iv

SEMBOL SAYFASI………..………..v

1. GİRİŞ………..………..1

1.1. Lineer Pozitif Operatörler………..………...1

1.2. Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu………..………..2

1.3. Süreklilik Modülü………3

1.4. Kaynak Özetleri………...4

1.5. Çalışmanın Amacı………4

2. MATERYAL VE YÖNTEM………5

2.1. Ötelemeyi Koruyan İntegral Operatörleri………....5

2.2. Genel Sonuçlar………...21

3. ARAŞTIRMA BULGULARI……….29

3.1. ⁽ⁱ⁾ Lk Operatörü İçin Bazı Uygulamalar ………….……….29

3.2. _, , , k k k k A′ B′ L′ Γ ′ Operatörlerinin Olasılık Yoğunluk Fonksiyonları Olduğunun Gösterilmesi………...………..58

4. TARTIŞMA VE SONUÇ………...68

5. KAYNAKLAR………..…….69

SEMBOL SAYFASI

(

^{f x}

)

L ; : Lineer operatör Y

X , : Lineer normlu fonksiyon uzayları

(

f x

)

L_k ; : Lineer pozitif operatör dizisi

f p:

Lp

(

a,b

)

de _f ‘ nin _p normu ω : Süreklilik modülü 1

lk: Lineer operatör

ϕ : Lebesque ölçülebilir özel bir fonksiyon

(i)

Lk :

Lk operatörünün _i-yinci türevi

f

δ0 : Lineer operatör

(

f x

)

D_k ; : Pozitif lineer operatör

(

f;x

)

φ0 : Lineer operatör

(

_Ωkf;x

)

: Pozitif lineer operatör

(

τ₀f;x

)

: Lineer operatör

(

f x

)

A_k ; : Lineer pozitif operatör dizisi

(

f x

)

B_k ; : Lineer pozitif operatör dizisi

(

f x

)

L_k ; : Lineer pozitif operatör dizisi

(

f x

)

k ;

Γ : Lineer pozitif operatör dizisi

1.GİRİŞ

Yaklaşımlar teorisinde genel integral tipli lineer pozitif operatörlerin ötelemeyi ve süreklilik modülünü koruduğu gösterilmiştir[5]. Benzer düşünce genel integral tipli lineer pozitif operatörlerin i -yinci basamaktan türevlerinin de ötelemeyi ve süreklilik modülünü koruduğu ve elde edilen eşitliklerin doğruluğu örneklerle gösterilmektedir.

Tanımlı ve konvolüsyon tipli bir lineer pozitif operatörün sonlu lineer kombinasyonu yardımıyla bir integral operatör oluşturulabilir. Bu şekilde oluşturulan integral operatörler, Matematikte lineer pozitif operatörlerin yaklaşım özellikleri teorisinde önemli bir uygulama alanına sahiptir. Ayrıca yaklaşımlar teorisinde olasılık yoğunluk ve sürekli dağılım fonksiyonlarında da önemli uygulama alanlarına sahiptir. Biz bu çalışmada bu şekilde oluşturulan operatörlerin türetilmesini ve sağladığı bazı özellikleri ele alacağız. Belirtelim ki bu tip genelleştirmeler ile yakınsaklık hızı açısından klasik duruma göre daha iyi sonuçlar alınmaktadır. Bunun için önce bazı temel tanım ve teoremleri verelim.

1.1. Lineer Pozitif Operatörler

Tanım 1.1.1. (Operatör) X ve Y lineer normlu fonksiyon uzayları olsunlar. Eğer X deki her bir fonksiyona karşılık Y de bir fonksiyon bulunabiliyorsa, bu durumda dönüşümü yapan bağıntıya “operatör” denir.

Bir operatör fonksiyonlar kümesini fonksiyonlar kümesine dönüştürür ve operatör genellikle ^L

(

^f;x

)

^şeklinde gösterilir.

Tanım1.1.2. (Lineer Operatör) Bir ^L

(

^f;x

)

operatörü için; α^,β_∈R ve X

g

f, ∈ olsun. E_ğer L ;

(

f g

)

L

( )

f L

( )

g

Lα +β =α +β özelli_ğini sa_ğlıyorsa operatöre lineer operatör denir.

Tanım 1.1.3.(Pozitif Operatör) X ve Y lineer normlu fonksiyon uzayları olmak üzere _L:_{X →Y} operatörünü göz önüne alalım. E_ğer X deki her f ≥⁰ için

( )

f ≥⁰

L oluyor ise L operatörüne pozitif operatör denir.

Pozitif _L operatörlerinin _k∈Z için bir dizisini olu_şturur ve

Lk ile gösterirsek

(

f x

)

L_k ; bir lineer pozitif operatör dizisi olacaktır.

1.2.Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu

x ,

(

^−∞,∞

)

^aralığında tanımlanan sürekli rastgele de_ği_şken olsun. A_şa_ğıdaki ko_şulları sa_ğlayan ^f

( )

^x fonksiyonuna x rastgele deği_şkeninin olasılık yo_ğunluk fonksiyonu denir.

1. f

( )

x ≥0 ; −∞< x<∞

2.

∫

^∞

( )

∞

−

= 1 dx x f

Teorem 1.2.1.

∞

<

<

<

∞

− a b için

[

^a,b

]

aralığında ölçülebilir ve p≥1 için

∫

^{f x dx}<∞

b p

a

) (

koşulunu sağlayan fonksiyonlar uzayına L_p(a,b) uzayı denir. Bu uzaylarda norm

∞

≤

1≤ p için

p b

a p

p f x dx

f

1

)

( 









=

∫

şeklinde tanımlanır.

Teorem 1.2.2. X =C_U(R) olmak üzere C_U(R), R de düzgün sürekli reel değerli fonksiyonlar sınıfı olsun.

l , X den k C

( )

R ye bir lineer pozitif operatör, f ; R den R ye sürekli bir olasılık yoğunluk fonksiyonu, l_k f bir sürekli dağılım fonksiyonu, ayrıca a>0 için

[

−a,a

]

da ϕ >0^, sup

( )

ϕ ⊆

[

−a,a

]

^ve ∀x∈R için

(

⁻

)

⁼¹

+∞

∫

∞

−

du u

ϕ x olsunlar. O taktirde

∫ ( )

−

−

=

a

a

k k

k f x l f u x u du

L ^{( ; ): ( )(2 )}ϕ ^; k∈Z

şeklinde tanımlanan L operatörü f ye uygulandığında R den R ye bir sürekli _k dağılım fonksiyonu oluşturur.

1.3.Süreklilik Modülü

X integrallenebilen fonksiyonların uzayı ve f ∈X olmak üzere her δ >0 ^sayısı için

1

(

f^;

)

^sup f⁽x t⁾ f⁽x⁾

t

− +

=

≤δ

δ

ω

şeklinde tanımlanan ω1

(

f^;δ

)

ifadesine f nin süreklilik modülü denir.

Bu şekilde tanımlanan süreklilik modülü aşağıdaki önemli özellikleri sağlar.

1. ^lim 1

(

^;

)

⁰

0 =

→ ω δ

δ f

2. m∈N olmak üzere ω1

(

f^;mδ

)

≤mω1

(

f^;δ

)

3. Keyfi bir pozitif λ reel sayısı için ^ω1

(

^f;λδ

) (

^{≤ λ+1}

) (

^{ω1 f;δ}

)

Bunların yanında ω₁ süreklilik modülü negatif olmayan monoton artan bir fonksiyondur.

1.4. Kaynak Özetleri

G. Anastassion ve H. Gonksa [3] bir makalelerinde tek değişkenli ötelemeyi koruyan operatörler için süreklilik modülünün bütün özelliklerini koruduğunu göstermişlerdir. Daha sonra tek değişkenli ötelemeyi koruyan operatörlerin türevlerinin de ötelemeyi koruduğunu ve bunların da süreklilik modülünün temel özelliklerini koruduğunu göstermişlerdir[5]. Bu çalışmalar G. Anastassion ve G.

Gal’ın kitabında toparlanmıştır.

1.5. Çalışmanın Amacı

Çekirdeği negatif olmayan ve bazı monotonluk koşullarını sağlayan integrallere singüler integraller diyoruz. Bu tezde genelleştirilmiş singüler integrallerin .i dereceden türevlerinin yaklaşım fonksiyonunun süreklilik modülü yardımıyla düzgün yakınsaklığı incelenecektir.

2. MATERYAL VE YÖNTEM

Bu bölümde, ötelemeyi koruyan genel integral tipli lineer pozitif operatörler ve süreklilik modülü tanımlanacaktır. Ayrıca bu genelleştirilmiş integral operatörlerin i basamaktan türevleri alınarak süreklilik modülü ile olan ilişkisi ve fonksiyonun . özel seçimi durumunda sağladığı eşitlikler gösterilecektir.

2.1. Ötelemeyi Koruyan İntegral Operatörleri

L integral operatörleri, R üzerinde tanımlı ve konvülüsyon tipli lineer k

pozitif operatörler ve temel integral operatörlerin sonlu lineer kombinasyonu yardımı ile oluşturulsun. Biz bu tezde önce tanımlanacak genel integral tipli lineer pozitif operatörlerin ötelemeyi koruduğunu, daha sonra da bu operatörlerin .i türevlerinin süreklilik modülünü koruduğunu ve bazı temel özellikleri sağladığını göstereceğiz.

X :=C_U(R), R de düzgün sürekli reel değerli fonksiyonların sınıfı, C(R) R de sürekli fonksiyonlar sınıfı olsun. f ∈X için ω₁(f;δ)<+∞ olacak şekilde

>0

δ ^vardır.

{lk}k_∈z

pozitif lineer operatörler dizisinin x∈R, f ∈X için

l_k(f;x)=l₀(f(2^−kt);x) veya

l_k(f;x)=l₀(f(2^−k⋅);x) (2.1.1)

şeklinde tanımlanan eşitlikler yardımıyla C(R) deki fonksiyonları X :=C_U(R) deki fonksiyonlara dönüştürdüğünü kabul edelim. Burada f fonksiyonun bağımsız değişkenini diğer değişkenlerle karışmaması için nokta ile göstereceğiz.

Sabit bir a >0, m∈N , n∈Z, r∈Z ve f ∈X için

( )

^



 



 +

≤

− ma_r n

f y

f u f

l ( ; ) ; 2

sup ₀ ω₁ (2.1.2)

kabul edelim. Ayrıca ϕ, −

[

a,a

]

aralığında pozitif reel değerli Lebesque ölçülebilir ve ∀x∈Riçin

^+∞

∫ (

⁻

)

⁼¹

∞

−

du u

ϕ x (2.1.3)

özelliğini sağlayan bir fonksiyon olsun. Bu durumda

∫ ( )

=¹

+∞

∞

−

du

ϕ u (2.1.4)

dır.

Örneğin:

( )









= 0 cos :

2

ϕ π

x

x

, ,

.y. d

x π π < <

−

şeklinde tanımlanan bir fonksiyon için

^cos2

(

⁻

)

₌₁

∫

∞

∞

−

u du x

π olup

^+∞

∫ ( ) ∫ ( ) ∫ ( ) ∫ ( )

∞

−

−

∞

−

∞

−

+ +

=

π

π π

π

ϕ ϕ

ϕ

ϕ u du u du u du u du

∫ ∫ ∫

^∞

−

−

∞

−

+ +

=

π π

π π

π ^{udu du}

du 1 cos 0

0 ²

∫ (

^u

)

^du

−

+

=

π

π π^{2 1 cos2}

1 1

π

π  ₋π

 +

= 2

2 sin 2

1 u

u

( )







 + − − +

= π π π π

π ^2sin2

2 1 2sin 1 2

1

{ }

π π ² 2

= 1

=1 yani

^+∞

∫ ( )

∞

−

= 1 du ϕ u

olur ki bu ifade etmek istediğimizdir.

z k

Lk}_∈

{

_X

üzerinde pozitif lineer bir operatör dizisi olsun. Bu dizi için bir eşitlik

∫

^∞

∞

−

−

= l f u x u du

x f

L_k( ; ): _k( ; )ϕ(2^k ) (2.1.5)

şeklinde tanımlanabilir. Bu eşitlikte özel olarak k =0 alınırsa

^{L f x}

∫

^∞l

(

^{f u}

) (

^{x u}

)

^du

∞

−

−

= ^; ϕ

: )

;

( 0

0 (2.1.6) yazabilir. Ayrıca ∀x∈R için

^Lk ^{f x} =

∫

^∞lk

(

^{f u}

) (

^kx−^u

)

^du

∞

−

2

; )

;

( ϕ ^.

(2.1.1) eşitsizliğinden

⁼

_∫

^∞l

(

^f

( )

^{k ⋅ u}

) (

^kx−u

)

^du

∞

−

2

;

0 2 ϕ

= L₀(f(2^−k⋅);2^kx) olur. Buradan da

^Lk

(

^f,^x

)

^L

(

^f

(

2 ^k

)

;2^kx

)

0 ⋅

= ⁻ (2.1.7) eşitliği yazılabilir.

Tanım 2.1.1. α∈R ^için f_α

( )

⋅ := f

(

⋅+α

)

olsun. Eğer φ

( ) ( )

f_α = φf _α ise φ^{’ ye} ötelemeyi koruyan operatör denir.

Teorem 2.1.1. ∀k∈Z , u∈R, α∈R ⁽α sabit) ve her f ∈X için

^l0

(

^f

(

^{2−k ⋅+α}

)

^;2ku

)

^=l0

(

^f

(

^{2−k ⋅}

)

^;2k

(

^u+α

) )

(2.1.8) oluyorsa, bu durumda

L ötelemeyi koruyan operatördür. k

İspat:

L f x =

∫

l f

( ) (

u x−u

)

du

∞

∞

−

) ϕ ( ) )(

( _{0 0}

^∞

∫ ( )( ) ( )

∞

−

−

= l0f x u ϕ u du

yazılabilir.

L operatörünün (2.1.7) ifadesinin yardımıyla ötelemeyi koruduğu k

aşağıdaki gibi gösterilebilir.

^Lk

(

^f

(

.

)

;^x

)

^Lk

(

^f ;^x

)

^L

(

^f

(

2 ^k

)

; 2^kx

)

0 ⋅

=

=

+α _{α α} ⁻

∫

^∞

( ( ) ( ) ) ( )

∞

−

− ⋅+ −

= l0 f ^{2 k} α ^{; 2k}x u ϕ u du

^∞

∫

^l

(

^f

(

^{k α}

) (

^k

(

^{x ku}

) ) )

^ϕ

( )

^{u du}

∞

−

−

− ⋅+ −

= ₀ 2 ; 2 2

olup, buna (2.1.8) ifadesi uygulanırsa

( ( ) ) ∫

^∞

( ( ) ( ( ) ) ) ( )

∞

−

−

− ⋅ − +

= +

⋅ x l f x u u du

f

L_k α ^; 0 ^{2 k ; 2k 2 k} α ϕ

^∞

_∫

^l

(

^f

(

^k

) (

^k

⁽

^{x α}

⁾

^u

) )

^ϕ

^{( )}

^{u du}

∞

−

− ⋅ + −

= ₀ 2 ; 2

= L₀

(

f

(

2^−k ⋅

)

;2^k

(

x+α

) )

=L_k

(

f;x+α

)

elde edilir. Bu ise

L_k

( )

fα =

(

L_k

( )

f

)

_α

olması demektir. Yani

L operatörü ötelemeyi koruyan bir operatördür. Bu şekilde k

tanımlanan

L operatörü süreklilik modülünü korur. Bu, bir teorem olarak k

aşağıdaki gibi ifade edilebilir.

Teorem 2.1.2. Herhangi bir f ∈X , ∀u∈ R ve x,y∈R için

^l0

(

^f;x−u

)

^−l0

(

^f;y−u

)

^≤ω1

(

^f;x−y

)

(2.1.9) olsun. Bu durumda δ >0 ^için

ω1

(

L_k f^;δ

)

≤ω1

(

f^;δ

)

(2.1.10) eşitsizliği sağlanır.

İspat:

(2.1.4), (2.1.6) ve (2.1.9) ifadelerini kullanırsak

(

f x

)

L

(

f y

)

l

(

f x

) (

x u

)

du l

(

f y

) (

y u

)

du

L − =

∫

− −

∫

−

∞

∞

−

∞

∞

−

ϕ

ϕ ^;

;

;

; _{0 0 0}

0

olup, burada u→x−u ^ve u →y−u dönüşümü yapılırsa,

(

f x

)

L

(

f y

)

l

(

f x u

) ( )

u du l

(

f y u

) ( )

u du

L

∫

ϕ

∫

ϕ

∞

∞

−

∞

∞

−

−

−

−

=

− ; ; ;

; _{0 0 0}

0

≤ ^∞

∫ ( ) (

u l f x−u

)

−l

(

f y−u

)

du

∞

−

;

; ₀

ϕ 0

( )

u du l

(

f x u

)

l

(

f y u

)

R u

−

−

 −











≤

∈

∞

∞

−

∫

^{ϕ sup 0 ; 0 ;}

(

^{f x}

)

^L

(

^{f y}

)

L₀ ; − ₀ ; ^≤ω1

(

^f;x−y

)

(2.1.11) sonucunu elde ederiz.

L operatörü için (2.1.7) eşitliğinden ve (2.1.11) k

eşitsizliğinden

(

^{f x}

)

^L

(

^{f y}

)

^L

(

^f

( )

^x

)

^L

(

^f

( )

^y

)

L_k ; − _k ; = ₀ 2^−k ⋅ ;2^k − ₀ 2^−k ⋅;2^k

^≤ω1

(

^f

(

^{2−k ⋅}

)

^{;2k x− y}

)

^=ω1

(

^f;x−y

)

bulunur. Bu eşitlikte her iki tarafın δ >0 için supremumu alınırsa ^L

(

^{f x}

)

^L

(

^{f y}

) (

^{f x y}

)

y x k

k y x

−

≤

−

≤

−

≤

−

, sup

;

;

sup ω₁

δ δ

yani

^ω1

(

L_k f^;δ

)

≤^ω1

(

f^;δ

)

elde edilir.

Teorem 2.1.3. f ∈X için (2.1.2) ifadesinin doğru olduğunu kabul edelim.

Bu durumda m∈N^, n∈Z^+, k^,r∈Z ^için

( ) ( )





 



 +

≤

− _k+r

k

n f ma x

f x f

L ; ω₁ ; 2 (2.1.12)

dir.

İspat:

[

^−a,a

]

ϕ ⊂ olduğundan, (2.1.3) ve (2.1.7) ifadelerinden görebiliriz ki

(

^{f x}

)

^f

( )

^{x L}

(

^f

( )

^x

)

^f

( (

^x

) )

L_k ; − = ₀ 2^−k ⋅ ;2^k − 2^−k 2^k

_∫

^∞

{ ( ( ) ) ( ( ) ) } ( )

∞

−

−

− ⋅ − −

= l₀ f 2 ^k ;u f 2 ^k 2^k x ϕ 2^kx u du

_∫

⁺

{ ( ( ) ) ( ( ) ) } ( )

−

−

− ⋅ − −

=

a x

a x

k k

k k

k

k

du u x x

f u f

l

2

2

0 2 ; 2 2 ϕ 2

( ( ) ) ( ( ) ) ( )

_^











−

−

⋅

≤

∫

⁺

−

−

− +

≤

≤

−

a x

a x

k k

k k

a x u a x

k

k k k

du u x x

f u f

l

2

2 0

2 2

2 2

2

; 2

sup ϕ

yani

(

^{f x}

)

^f

( )

^{x l}

(

^f

( )

^u

)

^f

( (

^x

) )

L ^{k k k}

a u a x

k k k

2 2

; 2 sup

; ₀

2 2

−

− +

≤

≤

−

−

⋅

≤

− . (2.1.13)

( )

^X

f

g^:= ^2−k ⋅ ∈ olarak alalım. Bu ifade (2.1.12) ye sağdan uygulanırsa

( ) ( )

^



 



 +

≤

−

≤

− r

k a

x u

n g ma x

g u g l

k ; 2 ; 2

sup _{0 1}

2

ω

^g

(

^{x h}

)

^g

( )

^x

r n h ma

− +

=

< + 2

sup

⁼

(

^{− ⋅+}

) (

^{− − ⋅}

)

< +

k k

n h ma

f h f

r k

2 2

sup

2 2

⁼

(

^{− ⋅+}

) (

^{− − ⋅}

)

< ₊+

k k

n h ma

f h f

k r

2 2

sup

2





 



 +

≤ ma_k+rn

f; 2 ω1

elde edilir. Buradan da

( ) ( )

^



 



 +

≤

− _k+r

k

n f ma x

f x f

L ; ω₁ ; 2

olduğu görülür.

f ∈X için ω₁(f;δ)<+∞ olacak şekilde δ >0 ^vardır. {l_k}_k∈z

pozitif lineer operatörler dizisi, x∈R, f ∈X için

l_k ^:C′⁽R⁾→C′

( )

R olmak üzere (2.1.5) ifadesine 2^kx−u →u dönüşümü uyguladıktan sonra Leibnitz kuralı uygulanırsa

L_k f x ^k

∫

^∞ l_k f ^kx uϕ

( )

u du

∞

−

′ −

′( )=2 ( )(2 ) )

(

elde edilir. Burada (L_k f)′ ve (l_kf)′ sürekli fonksiyonlardır. Buradan k∈Z ve X

f ∈ için

L operatörünün türevlenebilen bir operatör olduğunu söyleyebiliriz. Bu k

şekilde türev alınarak elde edilen

( )

k Z i

Lk⁽⁾ _∈ i∈N şeklindeki operatörlerin özellikleri bizim bu tezdeki inceleme konumuzu oluşturacaktır. Bu arada dikkat etmeliyiz ki

) ( )

( ^{(i) (i)}

k f L f

L ≠ , f ∈C⁽ⁱ⁾(R) dir.

Yine k∈Z için Lk

L= olsa bile )

( )

( ^{(i) (i)}

k f L f

L ≠

dir.

Şimdi i∈N için f ∈C⁽ⁱ⁾(R) ^ve f⁽ⁱ⁾∈C_u⁽R⁾ olmak üzere

( )

⁼

∫

1

0

0^f u : f(tu)dt

δ u∈R (2.1.14)

operatörünü tanımlayalım ve bu fonksiyonun Leibnitz kuralı yardımıyla i -kere türevini alalım. Bu durumda

∫

^∂ _∂

=

1

0 ) ( 0

) )) (

(

( dt

u ut

u f _i

i f i

δ

⁼

∫

1

0 ) ( )

(

0 ( )) ( )

(δ ^f u ⁱ tⁱf ⁱ ut dt

olur. (2.1.14) tanımı gereğince

⁼

∫

1

0 ) ( 0^f(i)(u) f ⁱ (tu)dt

δ

olacağından

( ₀ (u))⁽⁾ ₀ ⁽⁾(u)

f i f i

δ

δ ≠

dir. Yani operatörün fonksiyona uygulanışının türevi ile operatörün fonksiyonun türevine uygulanışı ile elde edilen sonuçlar aynı değildirler. Bu özellikleri sağlayacak operatörlerin süreklilik modülü koruduğunu bir teorem ile ifade edelim.

Teorem 2.1.4 Herhangi bir f ∈C⁽ⁱ⁾(R) ^ve f⁽ⁱ⁾∈C_U⁽R^), i∈N için

(

^δ0f

(

^x−u

) )

^{(i) −}

(

^δ0f

⁽

^y−u

⁾ )

^{(i) ≤ω1}

(

^{f(i);x− y}

)

(2.1.15)

eşitsizliği sağlanır.

İspat:

( )

(

⁻

)

⁻

( ⁽

⁻

⁾ )

⁼

_∫

^{1 − −}

_∫

⁻

0

1

0 ) ( )

) ( ( 0

) (

0^f x u ⁱ δ ^f y u ⁱ tⁱf ⁱ (t(x u))dt tⁱf ⁱ (t(y u))dt

δ

⁼

_∫

^1ti

{

^{f i}

(

^{t x−u}

)

^{− f i}

(

^{t y−u}

) }

^dt

0

) ( )

( ( ) ( )

tⁱ f⁽ⁱ⁾(t(x u)) f⁽ⁱ⁾(t(y u))dt

1

0

−

−

−

≤

∫

^.

t için, 0≤ t≤1 aralığında supremum alınırsa

^≤

∫

^{− − −}

≤

− 1

0

) ( )

( ( ) ( )

sup )

( t dt f ⁱ x u f ⁱ y u

y x i

δ

^≤ω1

(

^f(i);x−y

)

olur. Dolayısıyla

(

^δ0f

(

^x−u

) )

^{(i) −}

(

^δ0f

(

^y−u

) )

^{(i) ≤ω1}

(

^f(i);x−y

)

elde edilir. Bu da türev altında süreklilik modülünün korunduğunu gösterir.

Şimdi de (2.1.1) tanımı gereğince (x): ₀ ^{(2 )}(x)

f k f

k

=δ −

δ (2.1.16) olarak alalım ve D_k(f;x) operatörünü

∫

∞

∞

−

−

= u x u du

x f

D_k( ; ): δ_k^f( )ϕ(2^k ) ^, x∈R (2.1.17)

olarak tanımlayalım. Bu şekilde tanımlanan D_k(f;x) operatörü için

D_k(f;x)=D₀(f(2^−k⋅))(2^kx) (2.1.18) eşitliği sağlanır. Gerçekten de

(2.1.17) ifadesinde k =0 alınırsa

∫

∞

∞

−

−

= u x u du

x f

D₀( ; ): δ₀^f( )ϕ(2⁰ )

( ) ∫

∞

∞

−

−

= u x u du

x f

D₀ ; δ₀^f( )ϕ( )

yazılabilir. Buradan ^D0

(

^f

(

^{2−k ⋅}

) ( )

^{; 2kx}

)

eşitliğini yazarsak

( ( ) )( ) _∫

^{∞ ( )}

∞

−

− ⋅ x = ⁻ x−u du

f

D₀ 2 ^k 2^k : δ₀^{f 2k}ϕ(2^k ) (2.1.19)

olur. Buna göre her x∈R için (2.1.17) ifadesinde (2.1.16) yerine yazılırsa

D_k(f;x)

∫

∞

∞

−

−

= δ₀^f(2−k.)(u)ϕ(2^kx u)du

elde edilir. Buradan da (2.1.19) ifadesi göz önüne alınırsa ))

2 ( );

2 ( ( )

;

(f x D₀ f x

D_k = ^−k⋅ ^k

elde edilir.

Şimdi D_k(f;x) operatörünün i -yinci türevinin de süreklilik modülünü koruduğunu gösterelim.

Teorem 2.1.5 Herhangi f ∈X , u,x,y∈R ve i∈N olmak üzere herhangi

>0

δ için

^ω1

( (

Dk f

)

^(i);δ

)

≤^ω1

(

f^(i);δ

)

(2.1.20) eşitsizliği sağlanır.

İspat :

İspat için daha önce göstermiş olduğumuz ∀ ,x y∈R için (2.1.15) ifadesinden faydalanacağız.

( )

( ) (

0

( ) )

⁽⁾

) (

0 f;x ⁱ D f;y ⁱ

D − ⁼

_∫ (

^0f

( )

^u

)

^{(i) (x−u)du−}

_∫

^∞

(

^0f

( )

^u

)

^{(i) (y−u)du}

∞

−

∞

∞

−

ϕ δ

ϕ δ

ifadesini hesaplayalım. Bu ifade de x−u→u ve y−u→u değişken değiştirmeleri yapalım. Bu durumda

( )

(

^{D0 f;x}

)

^{(i) −}

(

^D0

(

^f;y

) )

^{(i) =}

_∫ (

^δ0f

(

^x−u

) )

^{(i)ϕ(u)du− ∞}

_∫ (

^δ0f

(

^y−u

) )

^(i)ϕ(u)du

∞

−

∞

∞

−

^≤

_∫

^∞

( )

^u

(

^0f

(

^x−u

) )

^{(i) −}

(

^0f

⁽

^y−u

⁾ )

^{(i) du}

∞

−

δ δ

ϕ

( )

^{u du}

(

^{fi x u}

) (

^fi

⁽

^{y u}

⁾ )

R y x

−

−

−

≤

∫

^∞

∞

− ∈

) ( )

(

0 0

,

) ( sup )

( ϕ δ δ

olur. (2.1.15) ve (2.1.4) göz önüne alınırsa

( (

^;

) ) ( (

^;

) )

1^{( (); )} )

( 0 ) (

0 f x D f y f x y

D ⁱ − ⁱ ≤ω ⁱ −

elde edilir. Bu ise

(

D0

(

f;x

) )

⁽ⁱ⁾ operatörünün süreklilik modülünü koruduğunu gösterir. Şimdi

(

Dk

(

f^;x

) )

⁽ⁱ⁾ operatörüne bakalım. Bunun için (2.1.17) kullanılırsa

( )

(

D_k f^;x

)

⁽ⁱ⁾ −

(

D_k

(

f^;y

) )

^{(i) =}

(

^D0

(

^{f(2−k.);2kx}

) )

^{(i) −}

(

^D0

(

^{f(2−k.);2k y}

) )

⁽ⁱ⁾

^{= 2ki}

(

^D0(i)

(

^{f(2−k.);2kx}

) )

^−2ki

(

^D0(i)

(

^{f(2−k.);2ky}

) )

≤ω₁(2^ki(f(2^−k.))⁽ⁱ⁾;2^k x− y ) (2 2 ( ⁽⁾(2 .));2 )

1 ^{ki ki} f ^{i k k} x− y

≤ω ^{− −}

^≤ω1

(

^{f(i);x− y}

)

elde ederiz.

Her iki tarafın δ >0 için supremumu alınırsa

( )

(

^;

) ( ⁽

^;

⁾ )

^{sup ( ; )}

sup D ⁽⁾ f x D ⁽⁾ f y ₁ f⁽ⁱ⁾ x y

y x i

k i

k y x

−

≤

−

≤

−

≤

−

ω

δ δ

olur. Yani

ω₁(^Dk^(i)f;δ)≤ω₁

(

^f(i);^x−^y

)

elde edilir.

Şimdi i∈N ^için

(φ₀f;x):= f(x)+ f(0) (2.1.21) operatörünü tanımlayalım. Bu operatörün fonksiyona uygulanışının türevi ile operatörün fonksiyonun türevine uygulanışı ile elde edilen sonuçlar aynı değildir.

Gerçekten

( ⁽⁾; ): ⁽⁾( ) ⁽⁾(0)

0

i i

i x f x f

f = +

φ

olur.

f

( )

⁰ sabit olduğundan f⁽ⁱ⁾

( )

⁰ =⁰ olacaktır. Dolayısıyla ( ; )⁽⁾ : ⁽⁾( )

0f x ⁱ = f ⁱ x

φ olarak elde edilir.

Görüldüğü gibi

( ; ) ( ⁽⁾; )

0 ) (

0f x ⁱ φ f ⁱ x

φ ≠ olduğu anlaşılır.

Şimdi bu şekilde tanımlanan operatörün süreklilik modülünü koruduğunu gösterelim.

Teorem 2.1.6 Herhangi bir f ∈X , f⁽ⁱ⁾∈Cⁱ

( )

R ve her u∈R olmak üzere herhangi x,y∈R için

( (

^f;x−u

) )

^{i −}

( (

^f;y−u

) )

^{i ≤} 1

(

^f(i);x−y

)

) ( 0

) (

0 φ ω

φ (2.1.22)

olması halinde δ >0 için

^ω1

( (

^φ0f

)

^(i);δ

)

^≤ω1

(

^f(i);δ

)

eşitsizliği sağlanır.

İspat:

( )

( ) (

0

( ) )

⁽⁾

) (

0 f;x−u ⁱ − φ f;y−u ⁱ

φ = f⁽ⁱ⁾⁽x−u⁾− f⁽ⁱ⁾⁽y−u⁾ sup f⁽ⁱ⁾(x u) f⁽ⁱ⁾(y u)

y x

−

−

−

≤

≤

− δ

^≤ω1

(

^f(i);x−y

)

( )

(

^f;x−u

)

^{i −}

( (

^f;y−u

) )

^{i ≤} 1

(

^f(i);x−y

)

) ( 0

) (

0 φ ω

φ

olur. Buradan δ >0 için her iki yanın supremumu alınırsa ^ω1

( (

^φ0f

)

^(i);δ

)

^≤ω1

(

^f(i);δ

)

olur ki bu da istenilendir.

Şimdi de bu şekilde tanımlanan operatör yardımıyla tanımlanan ^φ0(i)

(

^f

(

^{2−k ⋅}

)

^;u

)

operatörünün ötelemeyi koruduğunu gösterelim.

Teorem 2.1.7 ∀k∈Z, u^,α∈R ve her f⁽ⁱ⁾∈X için, (2.1.21) de tanımlanan operatör için

)) ( 2 )))(

2 ( ( ( ) 2 )))(

2 ( (

(φ₀⁽ⁱ⁾ f ^−k ⋅+α ^ku = φ₀⁽ⁱ⁾ f ^{−k k} ⋅ u+α dir. Yani

(

0

)

⁽⁾

f i

φ operatörü ötelemeyi korur.

İspat:

(2.1.7) ifadesi göz önüne alınarak

(φ0⁽ⁱ⁾(f(2^−k ⋅+α)))(2^ku)=

(

f

(

2^−k ⋅+α

) ( )

; 2^ku

)

⁽ⁱ⁾

^{=2−ki f(i)}

( (

^{2−k ⋅+α}

) (

^{; 2−ku}

) )

=2^−ki f⁽ⁱ⁾(2^−k⋅;2^k(u+α)) =2^−ki f⁽ⁱ⁾(u+α)

=φ₀⁽ⁱ⁾(f(2^−k⋅);(2^k(u+α)))^.