ARAŞTIRMA BULGULARI

3.1. L_k⁽ⁱ⁾ Operatörü İçin Bazı Uygulamalar

Bu bölümde ⁽ⁱ⁾

Lk , i∈N sabit, operatörü için dört operatör örneği vereceğiz.

Buradaki

l operatörü Yaklaşım teorisinde iyi bilinen ve bizim operatörümüze k

benzeyen özel bir operatördür. Üstelik bunlar olasılık teoride önemli özelliklere sahiptir. Bu operatörler şu ana kadar verilen bütün kabulleri gerçekler. Sadece

( )

^A_{k k∈Z} operatöründe ϕ çift fonksiyondur.

1. ^Ak ^{f x}

∫

^rk^{f u}

(

^{kx u}

)

^du

∞

∞

−

−

= ( ) 2

) )(

( ϕ (3.1.1)

operatörünü göz önüne alalım. Burada ^lk

(

^f;^u

)

=^rk^f

( )

^u olup,

∫

^∞

∞

−

−

= f t t u dt

u

r_k^f( ) 2^k ()ϕ(2^k ) (3.1.2)

R

u∈ noktasında süreklidir.

2.

_∫

^∞

( )

∞

−

 −



 



=  u x u du

f x f

B_{k k} 2^k

2 :

) )(

( ϕ (3.1.3)

operatörünü göz önüne alalım. Burada





 



=  _k

k

f u u f

l ( , ) 2 (3.1.4)

olup, u∈R noktasında süreklidir.

3.

( )

^∞

_∫ ( )

∞

−

−

= c u x udu

x f

L_k ( ): _k^f( )ϕ 2^k (3.1.5)

operatörü için

∫

− +

−

=

) 1 ( 2

2

) ( 2

: ) (

u

u f k

k

k

k

dt t f u

c (3.1.6)

olup,u∈R için

l_k(f;u)=c_k^f(u) (3.1.7) dir.

4.

_∫

^∞

( )

∞

−

−

=

Γ_k f): _k^f(u) 2^kx u du

( γ ϕ (3.1.8)

operatörü için n∈N,w_j ≥0,u∈R olmak üzere

∑

=



 



 +

=

n

j

k j k

f

k n

j f u

w u

0 2 2

: )

γ ( (3.1.9)

şeklinde bir fonksiyon olup,

∑

=

=

n

j

wj 0

1 (3.1.10)

olarak alınırsa

l_k(f;u)=γ_k^f(u) (3.1.11) şeklinde yazılabilir. Dolayısıyla

( )⁽⁾ ( ⁽ⁱ⁾)

k i

k f L f

L = ; ∀k∈Z ( )⁽⁾ 2 ( ( ⁽ⁱ⁾))

k ki i

k f l f

l = ⁻ olur.

(2.1.1) ile gösterilen

l operatörlerinin sağladığı eşitlik, k k∈Z,

k k k

k B L

A , , ,Γ larda bulunan bütün

l larda aynı anlamdadır. Dolayısıyla bütün k A_k,B_k,L_k,Γ_k için (2.1.7) doğrudur. O halde k∈Z için

) gösterilen eşitlikler i -kere türevlenebilirdir. O taktirde aşağıdakiler yazılabilir.

( ) ( )

Bu ifadelerden sonra aşağıdaki teorem verilebilir.

Teorem 3.1.1. ⁽⁾, ⁽⁾, ⁽⁾, ⁽ⁱ⁾

A nın ötelemeyi koruduğunu göstermek k

için önce ( )

operatörünün i -kez türevi alınırsa;

( ) ∫

^∞

( ( ( ) ) ) _∫

^∞

( ^{( )} )

∞

−

−

−

− ⋅ x = f x−t t dt

f

l₀ 2 ^k ; ⁽ⁱ⁾ 2 ^{ki (i)} 2 ^k ϕ()

elde edilir.

Öteleme operatörü için;

( )

( ) ( ( ( ) ) ) ( )

( )i k

i k

dt t t

x f x

f

l 









 − +

= +

⋅

∫

^∞

∞

−

−

− α ^{; 2} α ϕ

) 2

( 0

=

_∫

^∞

( ( ( ) ) )

^{( )}

^{( )}

∞

−

− x−t + t dt

f ^{2 k} α ⁱ ϕ

∫

^{∞ ki f i}

(

^k

(

^{x t}

)

^α

)

^ϕ

( )

^{t dt}

∞

−

−

− − +

= 2 ⁽⁾ 2

olduğundan dolayı

( )

(

^{f u}

)

l₀⁽ⁱ⁾ 2^−k ⋅+α ;2^{k ∞}

∫ ( ( ( ) ) ) ( )

∞

−

− − +

= f ^{2 k 2k}u t α ⁽ⁱ⁾ϕ t dt

∫

^∞

( ( ( ) ) ) ( )

∞

−

−

− − +

=^{2 ki} f^{(i) 2 k 2k}u t α ϕ t dt

∫

^∞

( ) ( )

∞

−

−

− + −

=^{2 ki} f⁽ⁱ⁾ u α ^{2 k}t ϕ t dt

∫ ( ) ( )

∞

∞

−

−

−

− + −

=^{2 ki} f^{(i) 2 k2k(}u α^{) 2 k}t ϕ t dt

∫

^∞

( [ ] ) ^{( )}

∞

−

−

− + −

=^{2 ki} f^{(i) 2 k 2k(}u α⁾ t ϕ t dt

^=l0(i)

(

^f

(

^{2−k ⋅}

)

^;2k(u+α)

)

^l0(i)

(

^f

(

^{2−k ⋅+α}

)

^;2ku

)

^=l0(i)

(

^f

(

^{2−k ⋅}

)

^;2k(u+α)

)

(3.1.14) elde edilir. Şimdi, A operatörünün ötelemeyi koruduğunu gösterelim. Yani, _k

( )

(

f ⋅+α x

)

= A

(

f x+α

)

A_k⁽ⁱ⁾ ; _k⁽ⁱ⁾ ; olduğunu gösterelim.

( )

bulunur. (3.1.14) eşitliği kullanılırsa

( )

elde edilir ki, bu da istenendir.

2.

B operatörü için; k

( ; ) ( )

0 f u f u

l =

operatörünün i -kez türevi alınırsa;

l0⁽ⁱ⁾

(

f^;u

)

= f⁽ⁱ⁾⁽u⁾

^l0(i)

(

^f

(

^{2−k ⋅}

) ) ( )

^{x =2−ki f(i)}

(

^2−kx

)

^{, x∈R}

elde edilir.

Öteleme operatörü için;

^l0(i)

(

^f

(

^{2−k ⋅+α}

) ) ( )

^{x =2−ki f(i)}

(

^2−kx+α

)

olduğundan

( )

(

^{f − ⋅+α u}

)

^{= − f}

(

⁻

( )

^{u +α}

)

l₀⁽ⁱ⁾ 2 ^k ;2^k 2 ^{ki (i)} 2 ^k 2^k

( )

(

^{f u}

)

l₀⁽ⁱ⁾ 2^−k ⋅+α ;2^{k =l0(i)}

(

^f

(

^{2−k ⋅}

) ) (

^2k

(

^u+α

) )

(3.1.15) elde edilir. Şimdi B operatörünün ötelemeyi koruduğunu gösterelim. Yani _k

( )

(

^{f ⋅+α x}

)

^=B

(

^{f x+α}

)

B_k⁽ⁱ⁾ ; _k⁽ⁱ⁾ ; olduğunu gösterelim. Tanım gereği

( )

( )

(

Bk f ⋅+α ;x

)

^{( )i} =

(

B₀

(

f

(

2^−k ⋅+α

)

;2^kx

) )

^{( )i}

∫

^∞

(

^f

(

^{kx u}

) )

^{( )i}

( )

^{u du}

∞

−

−

= ² ϕ

^{ki ∞}

_∫

^{f( )i}

(

^{kx u}

) ^{( )}

^{u du}

∞

−

−

=^{2 2} ϕ

^ki

_∫

^∞

(

^l

(

^f

(

^k

) )

^{( )i kx u}

) ^{( )}

^{u du}

∞

−

− ⋅+ −

=² 0 ² α ^;2 ϕ

yazılabilir. Buna (3.1.15) uygulanırsa

^Bk ⁱ

(

^f

( )

^x

)

^ki

∫

^∞

(

^l

(

^f

(

^k

) ) )

^{( )i}

(

^k

(

^{x ku}

) ) ^{( )}

^{u du}

elde edilir ki bu da istenendir.

3.

operatörünün i -kez türevi alırsa

^{l i}

(

^{f x}

)

⁼

∫

^{f i}

(

^t+x

)

^dt

^{= −}

∫ (

⁻

(

⁺

)

⁺

)

1

0 )

( 2

2 ^ki f ^{i k} t x α dt

eşitliğinde x=2^ku yazılırsa

( )

( ) ( ( ) )

_^









 + +

= +

⋅ ⁻

∫

⁻

−

1

0 ) ) (

(

0 f 2 ;2 u 2 f 2 t 2 u dt

l ^{i k} α ^{k ki i k k} α

^{= −}

_∫

¹

(

^{− + − +}

)

0 )

( 2 2 2

2 ^ki f ^{i k}t ^{k k}u α dt

^{= −}

_∫

¹

(

⁻

[

^{+ +}

] )

0 )

( 2 2 ( )

2 ^ki f ^{i k} t ^k u α dt

^=l0(i)f

(

^2−k⋅;2k

(

^u+α

) )

olur. Dolayısıyla genel olarak

^l0(i)

(

^f

(

^{2−k ⋅+α}

)

^;2ku

)

^=l0(i)f

(

^2−k⋅;2k

(

^u+α

) )

(3.1.16) yazılabilir. Şimdi L operatörünün ötelemeyi koruduğunu gösterelim. Yani _k

( )

(

^{f ⋅+α x}

)

^=L

(

^{f x+α}

)

L_k⁽ⁱ⁾ ; _k⁽ⁱ⁾ ; olduğunu gösterelim. (3.1.13) ten hareketle

( )

( )

(

Lk f ⋅+α ;x

)

^{( )i} =

(

L₀

(

f

(

2^−k ⋅+α

)

;2^kx

) )

^{( )i}

∫

^∞

(

^{c f} ( ^k)

( )

^u

)

^{( )i}

⁽

^{kx u}

⁾

^du

∞

−

⋅ −

= ₀ ^{α 2−} ϕ 2

∫

^∞

(

^{c f} ( ^k)

(

^{kx u}

) )

^{( )i}

^{( )}

^{u du}

∞

−

⋅ −

= 0 ^{α 2− 2} ϕ

^ki

_∫

^∞

(

^{c f} ( )^k

)

^{( )i}

(

^{kx u}

) ^{( )}

^udu

∞

−

−

=² 0 ^{α 2−. 2} ϕ

bulunur. Bu eşitliğe (3.1.16) uygulanarak bir önceki örnekteki işlemler tekrarlanırsa

^Lk ⁱ

(

^f

( )

^x

)

^ki

∫

^∞

(

^l

(

^f

(

^k

) ) )

^{( )i}

(

^k

(

^{x ku}

) ) ^{( )}

^{u du}

∞

−

−

− ⋅ − +

= +

⋅ α ^{; 2} 0 ^{2 ; 2 2} α ϕ

) (

= ^ki

_∫

^∞

(

^l

(

^f

(

^k

) ) )

^{( )i}

(

^k

⁽

^x

⁾

^u

) ^{( )}

^{u du}

bulunur ki bu da istenendir.

4.

operatörünün i -kez türevi alınırsa

( ) ∑

Öteleme operatörü için

( )

( )

yazılabilir. (3.1.17) uygulanarak önceki işlemler tekrarlanırsa

k ⁱ

(

^f

( )

^x

)

^ki

∫

^∞

(

^l

(

^f

(

^k

) ) )

^{( )i}

(

^k

(

^{x ku}

) ) ^{( )}

^{u du}

( )

(

^{f x}

)

^ki

(

^{f( )}

)

^{( )i}

^{( )}

^u

(

^k

⁽

^x

⁾

^u

)

^du

i k

∫

k

∞

∞

−

− +

= +

⋅

Γ α ^{; 2} γ0 ^{2− .} ϕ ² α

) (

=Γ0^{( )i (}f^(2−k⋅^);2k

(

x+α

)

⁾

^=Γk^{( )i}

(

^f;^x+α

)

elde edilir ki, bu da istenendir.

Teorem 3.1.2 f ∈C⁽ⁱ⁾(R), i∈N ^, f⁽ⁱ⁾∈X =C_U⁽R⁾, δ >0 ^ve A_k,B_k,L_k,Γ_k lar tanımlanan operatörler olmak üzere

^ω1

( (

Ak f

)

^(i);δ

)

≤^ω1

(

f^(i);δ

)

^ω1

( (

Bk f

)

^(i);δ

)

≤^ω1

(

f^(i);δ

)

^ω1

( (

Lkf

)

^(i);δ

)

≤^ω1

(

f^(i);δ

)

^ω1

( (

Γk f

)

^(i);δ

)

≤^ω1

(

f^(i);δ

)

eşitsizlikleri sağlar.

İspat:

1.

A operatörü için önce k ^l0⁽ⁱ⁾

(

^f;x

)

operatörünün süreklilik modülünü koruduğunu gösterelim.

( ) ∫

^∞

∞

−

−

= f x t t dt

x f

l₀( ; ) ^{(i) (i)}( )ϕ( ) ^için

(

^{f x u}

)

^l

(

^{f y u}

)

l₀⁽ⁱ⁾ ; − − ₀⁽ⁱ⁾ ; − ^∞

∫ ( ) ( ) ∫ ( ) ( )

∞

−

∞

∞

−

−

−

−

−

−

= f⁽ⁱ⁾ x u tϕ t dt f⁽ⁱ⁾ y u tϕ t dt

∫

^∞

(

f ⁱ

(

x u t

)

f ⁱ

(

y u t

) )

ϕ

( )

t dt

∞

−

−

−

−

−

−

= ^{() ()}

^∞

∫ ( ) ( ) ( )

∞

−

−

−

−

−

−

≤ f⁽ⁱ⁾ x u t f⁽ⁱ⁾ x u t ϕ t dt

( )

t dt f ⁱ

(

x u t

)

f ⁱ

(

y u t

)

yazılabilir. Buna göre

A lar için k

bulunur. Yani

ω₁(A_k^{( )i} f;δ)≤ω₁

(

f⁽ⁱ⁾;x− y

)

elde edilir.

2.

B operatörü için önce k l₀⁽ⁱ⁾

(

f;x

)

operatörünün süreklilik modülünü koruduğunu gösterelim.

l0⁽ⁱ⁾

(

f^;u

)

= f⁽ⁱ⁾⁽u⁾ olduğundan

(

f x u

)

l

(

f y u

)

l₀⁽ⁱ⁾ ; − − ₀⁽ⁱ⁾ ; − = f⁽ⁱ⁾

(

x−u

)

− f⁽ⁱ⁾

(

y−u

)

^{f i}

(

^{x u}

)

^{f i}

(

^{y u}

)

u x

−

−

−

≤

≤

−

) ( )

sup ( δ

^≤ω1

(

^f(i);x−y

)

yazılabilir. Buradan

B operatörü için k

( )

(

B_k f^;x−u

)

⁽ⁱ⁾ −

(

B_k

(

f^;y−u

) )

⁽ⁱ⁾

⁼

(

^B0

(

^{f(2−k⋅);2k}

(

^x−u

) ) )

^{(i) −}

(

^B0

(

^{f(2−k⋅);2k}

(

^y−u

) ) )

⁽ⁱ⁾

_∫ ( ( ) )

^{( )}

( ( ) ) _∫

^∞

^{( ( ) )}

^{( )}

( ^{( )} )

∞

−

∞

∞

−

−

−

−

−

−

= f v ⁱϕ 2^k x u vdv f v ⁱϕ 2^k y u v dv

olup 2^k

(

x−u

)

−v→v ve 2^k

(

y−u

)

−v→v dönüşümleri yapılırsa

( )

(

^{B f x u}

) (

^Bk ⁱ

⁽

^{f y u}

⁾ )

i

k⁽⁾ ; − − ⁽⁾ ; −

( )

( )

( )

^{( )}

( ( ^{( )} ) )

^{( )}

[

^{f k x u v i f k y u v i}

]

^ϕ

^{( )}

^{v dv}

∫

∞

∞

−

−

−

−

−

−

= 2 2

( )

( )

^{( )}

( ^{( )} ) ( ( ) )

^{( )}

( ^{( )} )

[

^{f k i k x u v f k i k y u v}

] ^{( )}

^{v dv}

ki

∫

^∞ ϕ

∞

−

−

− ⋅ − − − ⋅ − −

= 2 2 2 2 2

( )

( )

( )

( ) (

^{( )}

( ( ) ( ^{( )} ) ) )

[

^{l i f k k x u v l i f k k y u v}

] ^{( )}

^{v dv}

ki

∫

^∞ ϕ

∞

−

−

− ⋅ − − − ⋅ − −

= 2 ₀⁽⁾ (2 ); 2 ₀ 2 ; 2

( )

yazılabilir. Buradan,

yazılabilir. Dolayısıyla

ω₁(^Lk ^f;δ)≤ω₁

(

^f(i);^x−^y

)

elde edilir.

4.

Γ operatörü için önce k ^l0⁽ⁱ⁾

(

^f;x

)

operatörünün süreklilik modülünü korudu_ğunu gösterelim.

( ) ∑

) 2

));

2 ( ( 2 2

( ⁽⁾

1 ^{ki ki} f ^{i k}⋅ ^k x−y

=ω ^{− −}

(

^{f i x−y}

)

=ω₁ ⁽⁾;

elde edilir. Her iki tarafın δ >0 için supremumu alınırsa

( )

(

^;

) ( ⁽

^;

⁾ )

^{sup ( ; )}

sup ⁽⁾

1 )

( )

( f x u f y u f ⁱ x y

y x i

k i

k y x

−

≤

− Γ

−

− Γ

≤

−

≤

−

ω

δ δ

bulunur. Buradan da

ω₁(Γk^{( )i f};δ)≤ω₁

(

^f(i);^x−^y

)

elde edilir.

Teorem 3.1.3.

(

¹

)

^!

) (

1

= +

+

x x x f

i

_şeklinde tanımlanan bir fonksiyon için

(i) ^ω1

( (

Akf

)

^(i);δ

)

≤^ω1

(

f^(i);δ

)

(ii) ^ω1

( (

Bk f

)

^(i);δ

)

≤^ω1

(

f^(i);δ

)

(iii) ^ω1

( (

Lk f

)

^(i);δ

)

≤^ω1

(

f^(i);δ

)

(iv) ^ω1

( (

Γk f

)

^(i);δ

)

≤^ω1

(

f^(i);δ

)

e_şitsizlikleri sa_ğlanır.

İspat:

İspatta kolaylık sa_ğlaması için

(

¹

)

^!

: ) (

1

= +

+

x x x g

i

i

gi

f =

olarak gösterelim. _Şimdi

g fonksiyonunun i - kez türevi alınırsa; i

g_i⁽ⁱ⁾(x)=x, _x∈X elde edilir. (i) e_şitsizli_ğini göstermek için

( ) ∫

^∞

∞

−

−

= f x t t dt

x f

l₀( ; ) ^{(i) (i)}( )ϕ()

operatöründen faydalanalım.

bulunur. Buradan

( )

oldu_ğu görülür. Buradan hareketle

( )

(

^;

)

⁽⁾

(

k

(

^;

) )

⁽ⁱ⁾

i

k f x A f y

A −

(

⁰

(

^{(2 );2}

) )

⁽⁾

(

⁰

(

i^{(2 k );2k}

) )

⁽ⁱ⁾

k i k

i x A g y

g

A ⋅ − ⋅

= ^{− −}

(

^r0gi(2−k)

( )

^u

)

^{( )i ϕ}

⁽

^{2kx u du}

⁾ (

^r0gi(2−k)

^{( )}

^u

)

^{( )i ϕ}

⁽

^{2ky u du}

⁾

∞ ∞

⋅ ⋅

−∞ −∞

=

∫

− −

∫

−

yazılabilir. Burada da _{u→ 2}^k_x−u ve u→ 2^ky−u dönü_şümleri yapılırsa

( )

(

^{A f x}

) (

^Ak ⁱ

⁽

^{f y}

⁾ )

i

k⁽⁾ ; − ⁽⁾ ; ^∞

(

^{r0gi( 2−k⋅)}

(

^{2kx u}

) )

^{( )i}

(

^{r0gi(2−k⋅)}

⁽

^{2ky u}

⁾ )

^{( )i ϕ}

^{( )}

^{u du}

−∞

 

=

∫

 − − − 

(

^{0 ( 2 .)}

)

^{( )}

^{( )} (

^{0 ( 2 .)}

)

^{( )}

^{( ) ( )}

2^ki r^{gi −k i} 2^kx u r^{gi −k i} 2^ky u ϕ u du

∞

−∞

 

=

∫

 − − − 

( )

(

⁰

)

^{( )}

( ) (

^{0( )}

( ( ) ) )

^{( )}

^{( ) ( )}

2^ki (2 .)^{k i} 2^{k i} 2 .^{k i} 2^k

i i

l g x u l g y u ϕ u du

∞

− −

−∞

 

=

∫

 − − − 

bulunur. (3.1.18) e_şitli_ğinden

( )

(

^{A f x}

) (

^Ak ⁱ

⁽

^{f y}

⁾ )

i

k⁽⁾ ; − ⁽⁾ ; = ^{ki ki}

(

x− y

) ∫

^∞

( )

u du= x−y

∞

−

− ϕ

2 2

yazılır. Her iki yanın δ >0 için supremumu alınırsa

(

^{A g}

) ( ) (

^{x A g}

) ( )

^{y x y}

y x i

i k i

i k y x

−

≤

−

≤

−

≤

− δ δ

sup

sup ^{() ()}

(

^A

( )

^gi

) (

^gi^{i x y}

)

i

k⁽⁾ ; ≤ ₁ ⁽⁾; −

1 δ ω

ω

ω₁

(

^Ak^(i)f;δ

)

≤ω₁

(

^f(i);^x− ^y

)

oldu_ğu görülür ki bu da istenendir.

_Şimdi (ii) e_şitsizli_ğini göstermek için

l0⁽ⁱ⁾

(

f^;u

)

= f⁽ⁱ⁾⁽u⁾ operatöründen faydalanalım.

( )

( )

(

l0 f 2^−k ⋅

)

⁽ⁱ⁾

( )

u =

(

f

(

2^−ku

) )

⁽ⁱ⁾ e_şitli_ğinde gi

f = yazılırsa

( )

( )

(

^{0 2}

)

⁽⁾

^{( )} (

i

(

^{2 k}

) )

⁽ⁱ⁾

k i

i u g u

g

l ⁻ ⋅ = ⁻

( )

( )

) 1 (

! 1

2 ^{k i i}

i u













= +

− +

=2^−k(i+1)_u

olur. Bu e_şitlikte _{u = 2}^k_x−u ve u= 2^k y−u dönü_şümleri yapılırsa bulunur. Buradan

( )

( )

(

^{l g}

) (

^{x u}

) (

^l

(

^gi

(

^k

) ) ) (

^{i k y u}

)

i k k

i 2⁻ ⋅ ⁽⁾ 2 − − ₀ 2⁻ ⋅ ⁽⁾ 2 −

0

^=2−k(i+1)

(

^2kx−u

)

^{−2−k(i+1)}

(

^2ky−u

)

^=2−k(i+1)

(

^{2kx−2k y}

)

=2^−k(i+1)2^k

(

x−y

)

=2^−ki

(

x−y

)

(3.1.19) oldu_ğu görülür. Dolayısıyla

( )

(

B_k f^;x

)

⁽ⁱ⁾ −

(

B_k

(

f^;y

) )

⁽ⁱ⁾

(

^B

(

^{g x}

) ) (

^B

⁽

^gi ^y

⁾ )

i k i

i

k⁽⁾ ; − ⁽⁾ ;

=

( ( ) ) (

0

( ) )

⁽⁾

) (

0 (2 );2 (2 ^k );2^{k i}

i k i

k

i x B g y

g

B ⋅ − ⋅

= ^{− −}

=

_∫ ( ( ) )

^{( )}

( ) _∫

^∞

( ( ) )

^{( )}

( )

∞

−

∞

∞

−

−

−

−u du f u y u du

x u

f ⁱϕ 2^{k i}ϕ 2^k

yazılabilir. Burada _{u→ 2}^k_x−u ve u→ 2^ky−u dönü_şümleri yapılırsa

_∫

^∞

[ (

^f

(

^{kx u}

) )

^{( )i}

(

^f

(

^{ky u}

) )

^{( )i}

]

^ϕ

^{( )}

^{u du}

∞

−

−

−

−

= 2 2

^ki

∫

^∞

[ (

^f

(

^k

) )

^{( )i}

(

^{kx u}

) (

^f

(

^k

) )

^{( )i}

(

^{ky u}

) ]

^ϕ

^{( )}

^{u du}

∞

−

−

− ⋅ − − ⋅ −

=2 2 2 2 2

[ (

^l

(

^g

) ) (

^{x u}

) (

^{l ( )}

(

^gi

(

^k

) ) )

ⁱ

(

^{ky u}

) ] ^{( )}

^{u du}

k i k i

i

ki ^∞

∫

ϕ

∞

−

−

− ⋅ − − ⋅ −

=2 ₀ (2 ) ⁽⁾ 2 ₀ 2 ⁽⁾ 2

elde edilir. (3.1.19) e_şitli_ğinden

^{ki ki}

(

x y

) ∫

^∞

( )

u du

∞

−

− −

= ^{2 2} ϕ

yazılır. Her iki yanın δ >0 için supremumu alınırsa

(

B g

) ( ) (

x B g

) ( )

y x y

( )

u du

y x i

i k i

i k y

x ^∞

∫

∞

≤ −

−

≤

−

−

=

− ϕ

δ δ

sup

sup ^{() ()}

(

^B

( )

^gi

) (

^gi^{i x y}

)

i

k⁽⁾ ; = ₁ ⁽⁾; −

1 δ ω

ω

ω₁

(

^Bk^(i)f;δ

)

≤ω₁

(

^f(i);^x− ^y

)

oldu_ğu görülür ki bu da istenendir.

(iii) e_şitsizli_ğini göstermek için

l

(

f x

)

⁼

∫

f ⁱ

(

t⁺x

)

dt

1

0 ) (

0 ;

( )

( )

(

^{− ⋅}

) ^{( )}

⁼

_∫

¹

( (

⁻

⁽

⁺

⁾ ) )

0

) ( )

(

0 f 2 x f 2 x t dt

l ^{k i k i}

( )

( )

(

^{− ⋅}

) ^{( )}

⁼

_∫

¹

( (

⁻

⁽

⁺

⁾ ) )

0

) ( )

(

0 g 2 x g 2 x t dt

l _i ^{k i} _i ^{k i}

^{= − +}

∫ (

⁺

)

1

0 ) 1

2 ^k(ⁱ x t dt

olup, _{x= 2}^k_x−u ve x= 2^k y−u dönü_şümleri uygulanırsa;.

( ( (

^{− ⋅}

) ) ) (

⁻

)

^{= − +}

_∫

¹

(

⁺

)

0 ) 1 ) (

(

0 g 2 2 x u 2 2 x tdt

l _i ^{k i k k i k}

( ( (

^{− ⋅}

) ) ) (

⁻

)

^{= − +}

_∫

¹

(

⁺

)

0 ) 1 ) (

(

0 g 2 2 y u 2 2 y tdt

l _i ^{k i k k i k}

elde edilir. Buradan

( )

( )

(

^{l g}

) (

^{x u}

) (

^l

(

^gi

(

^k

) ) ) (

^{i ky u}

)

i k k

i 2⁻ ⋅ ⁽⁾ 2 − − ₀ 2⁻ ⋅ ⁽⁾ 2 −

0

^{= − +}

_∫

¹

(

⁺

)

^{− − +}

_∫ (

⁺

)

(

^L

( )

^gi

) (

^gi^{i x y}

)

elde edilir. Bu taktirde

( )

^{=2−k(i+1)2k}

(

^x−y

)

=2^−ki

(

x−y

)

(3.1.21) olur. Buradan hareketle

( )

Teorem 3.1.4. f ∈C⁽ⁱ⁾(R) , i∈N, f⁽ⁱ⁾ ∈X =C_U(R) olmak üzere

e_şitsizlikleri geçerlidir.

İspat:

elde edilir. _Şimdi elde edilen

( ) ( )

^ω

(

^α

)

elde edilir ki bu da istenilendir.

3.

^≤

_∫ (

^{+ −}

)

yazılabilir. Bu durumda

( ) ( )

^ω

(

^α

)

∑ ∑

yazılabilir. Elde edilen

( ) ( )

^ω

(

^α

)

( )

^



 



 +

= +

≤ ^{i i} _ka

f a

g 2

;1 1

; ₁ ⁽⁾

) (

1 ω

ω

Bu da istenilendir.

3.2. , , ,

k k k k

A′ B′ L′ Γ Operatörlerinin Olasılık Yoğunluk Fonksiyonları ′ Olduğunun Gösterilmesi

Teorem 3.2.1. (Fubini Diferensiyelleme Teoremi):

( )

fn ,

[

a,b

]

üzerinde tanımlı, azalmayan fonksiyonların bir dizisi ve her

[

a b

]

x∈ , için

∑

^∞

=

=

1

) ( ) (

n

n x f x

f

ise hemen hemen her x∈

[

a,b

]

için

∑

^∞

=

= ′

′

1

) ( ) (

n

n x f x

f

dir.

İspat:

g_n(x)= f_n(x)− f_n(a) denirse )

(gn negatif olmayan ve azalmayan fonksiyonların bir dizisi olur.

g(x)= f(x)− f(a) denirse gde negatif olmayan bir fonksiyondur.

Bu durumda her x∈

[

a,b

]

için

( ) ∑ [ ( ) ( ) ]

∑

^∞

=

∞

=

−

=

1

1 n

n n

n

n x f x f a

g

∑

^∞

∑ ( )

=

∞

=

−

=

1 1

) (

n n

n

n x f a

f

= f(x)− f(a)= g(x)

üzerinde yakınsaktır.

Yakınsak serinin genel terimi sıfıra gidece_ğinden ^lim

[

^{′( )− ′ ( )}

]

⁼⁰

Teorem 3.2.2. f ∈C¹(R) olasılık da_ğılım fonksiyonu (f′≥0 sürekli olasılık yo_ğunluk fonksiyonudur.) olmak üzere _{∀ k∈Z} için

_, , ,

k k k k

A′ B′ L′ Γ′ sürekli olasılık yo_ğunluk fonksiyonlarıdır.

İspat:

İspatta kolaylık amacıyla operatörler için bazı gösterimleri belirleyelim.

A operatörü için; k

∫

′

( )

=¹

∞

∞

−

dt t

f olsun.

(

⁰

( ) )

^{′ =(}

_∫

^∞

⁽

⁻

^{) ( )}

^)′

∞

−

dt t t x f x

r ^f ϕ

( ( ) ) _∫

^∞

^{( ) ( )}

∞

−

′ −

′ =

dt t t x f x

r0^f ϕ

∫

^∞

( ) ( )

∞

−

′ −

= f tϕ x t dt

olsun.

B operatörü için; k

( )

^



 



=  _k

k

f u u f

B ; : 2

olmak üzere k=0 için B₀(f;u)= f(u) ( ; ) ( )

0 f x f x

B =

( ; ) ( )

0 f x f x

B′ = ′

olsun.

L operatörü için; k

( ) ∫ ( )

olsun. _Şimdi sırasıyla ispatı yapalım.

1.

( ) ( )

_^

operatöründe Fubini teoremini kullanalım.

A_k f x

∫

^∞ r_k^f x u

( )

udu

_∫

^∞

( )

^u

_∫ ( )

^{r f}

⁽

^{x u}

⁾

^{dx du}

∞

−

∞

∞

−











 ′ −

= ϕ 0

∫

^∞

( )

u du

∞

−

= ϕ .1

=1 elde edilir.

Yani

(

^A0^f

)

^′ olasılık yo_ğunluk fonksiyonudur.

2. (B₀f)′ operatörü için;

_∫

^∞

( )

∞

−

 −



 



=  u x udu

f x f

B_{k k} 2^k

) 2

( ϕ

olmak üzere k=0 için

∫ ( ) ( )

∞

∞

−

−

= f u x u du

x f

B0 ^{( )} ϕ

∫

^∞

( ) ( )

∞

−

′ −

′= f u x u du

x f

B ^{( ))} ϕ

( ₀

^∞

∫ ( ) ( )

∞

−

′ −

= f x uϕ u du

⁼

(

^r0f(x)

)

^′

elde edilir.

Böylece

( )

^{r0f ′} olasılık yo_ğunluk fonksiyonudur. Bu durumda( )

0f ′

B de sürekli olasılık yo_ğunluk fonksiyonudur.

3. (L f ′ operatörünün olasılık yo₀ ) ğunluk fonksiyonu oldu_ğunu göstermek için;

(c₀^f)′≥0

ve

( )

^{′ =}

∫

^′

(

⁺

)

1

0

0 ) :

(c ^f x f x t dt

olmak üzere

^{(c f}

( )

^{x)dx ( f}

(

^{x t}

)

^dt)dx

1

0

0

∫ ∫

∫

^{′ = ∞ ′ +}

∞

−

∞

∞

−

yazabiliriz.

Fubini Teoremi gere_ğince

^{( f}

(

^{x t}

)

^dx)dt

1

0

∫

∫

^∞

∞

−

′ +

=

1 1

1

0

=

=

∫

^dt

olur. Böylece (c₀^f)′ olasılık yo_ğunluk fonksiyonudur.

( )( ) _∫

^∞

( ) ( )

∞

−

−

= c u x udu

x f

L_{k k}^f ϕ 2^k

olmak üzere k=0 için

( )( ) ∫

^∞

( ) ( )

∞

−

−

= c u x u du

x f

L0 0^f ϕ

( ) ( ) ∫

^∞

( ) ( )

∞

−

′ −

′ =

du u x u c x f

L0 ⁽ 0^{f )}ϕ

∫ (

L₀f

) ( )

xdx

∫

(

∫

^∞(c₀^f

( ) (

u ) x u

)

du)dx

∞

−

∞

∞

−

∞

∞

−

′ −

′ =

ϕ

∫

(

∫

^∞(c₀^f

(

x u

) ( )

) u du)dx

∞

−

∞

∞

−

− ′

= ϕ

( (c0^f

(

x u

)

)ϕ

( )

u dx du)

∞ ∞

−∞ −∞

=

∫ ∫

− ′

1= elde edilir ki buda

(L f ′ nın olasılık yo0 ) ğunluk fonksiyonu oldu_ğunu gösterir.

∫ ( )

u du

∞

∞

−

= ϕ .1

=1

elde edilir. Bu durumda (Γ f de olasılık yo₀ )′ ğunluk fonksiyonudur.

f bir olasılık yo_ğunluk fonksiyon ise ^{f 2}

(

^−k⋅

)

de olasılık yo_ğunluk fonksiyondur. Bunun yanı sıra _{f ′} varsa ve sürekli ise;

(

^f

(

^2−kx

) )

^{′=2−k f′}

(

^2−kx

)

elde edilir.

( )

^{2 k.}

f ⁻ nın sürekli da_ğılım fonksiyonu da ^{2−k f'}

( )

^{2−k. ⋅ dır.}

Buna göre

(

^{A f0}

(

^2−k⋅

) )

^′,

(

^{B f0}

(

^2−k⋅

) )

^′,

(

^{L f0}

(

^2−k⋅

) )

^′,

(

^Γ0f

( )

^2−k

)

^′ olasılık yo_ğunluk fonksiyonlarıdırlar.

Burada _k∈Z olmak üzere

k k k k

k A B L

L := , , ,Γ ile tanımlanan L k

operatöründe sırasıyla yerine yazarsak

(

^Lk^f

)( )

^x =

(

^L₀

(

^f

( )

2^−k.

) )( )

2^kx

(

^Lk^f

) ( )

^x 2^k

(

^L₀

(

^f

( )

2 ^k.

) ) ( )

′ 2^kx

′ = −

(

L_kf

) ( )

′ x ≥⁰

(

^Lk ^f

) ( )

^xdx

(

^L₀

(

^f

( )

2 ^k.

) ) ( ) ( )

′ 2^kxd 2^kx

′ = −

∞

∞

−

∞

∞

−

∫

∫

= 1 elde edilir. Dolayısıyla

Bu durumda

(

L_kf

)

^′ olasılık yoğunluk fonksiyonudur. Dolayısıyla

k k k k

k A B L

L′ := ′, ′, ′,Γ′ olasılık yoğunluk fonksiyonudur.

Belgede Türev altında ötelemeyi koruyan tek değişkenli integral operatörler (sayfa 35-74)