Genelleştirilmiş integral operatörleri ve süreklilik modülü ile ilişkileri

1

1. GİRİŞ

Yaklaşımlar teorisinde singüler integraller çekirdeği, negatif olmayan ve bazı monotonluk koşullarını sağlayan integrallerdir. Genellikle konvolüsyon tipli olan bu integraller, çekirdeğinin özelliğine göre integrallenebilen fonksiyonları daha iyi özellikleri olan sürekli, hatta türevlenebilir fonksiyonlar sınıfına dönüştürebilirler. Bu nedenle bu tip singüler integraller matematiğin harmonik analiz ve yaklaşım teorisi dallarında önemli bir uygulama alanına sahiptir.

Konvolüsyon tipli singüler integraller ise; f ve g integrallenebilen fonksiyonlar olmak üzere

(

^{f ∗g}

)

^(x)=

∫

₋^∞_∞ ^{f(t)g(x−t)dt} (1.1)

formülü ile tanımlanan

(

^f ∗^g

)

fonksiyonuna denir. Eğer yukarıdaki işlemi g

f f → ∗

şeklinde bir operatör olarak düşünürsek (1.1) ifadesinde belirttiğimiz g (yani sabit tuttuğumuz) fonksiyon da K ile gösterilirse, (1.1) ifadesi

(

^{f ∗K}

)

^(x)=

∫

₋^∞_∞ ^{f(t)K(x−t)dt}

şekline gelir. Bu durumda L

(

f;x

) (

= f ∗K

)

(x) olmak üzere L: f → L

(

f;x

)

operatörünü elde ederiz.

K çekirdeği bir α parametresine bağlı olduğunda ise L_α

(

^f;^x

)

operatör ailesi

L_α

(

^f;^x

)

⁼

∫

₋^∞_∞ ^{f(t)Kα(x−t)dt}

ile gösterilir ve L_α operatörüne konvolüsyon tipli operatör, K _α fonksiyonuna ise operatörün çekirdeği denir.

1.1. İntegral Operatör Ailelerinin Yaklaşım Problemi

D tüm reel eksen veya onun bir alt kümesi (D⊂R) olsun. X ile bu D kümesi üzerinde tanımlı fonksiyonların normlu lineer uzayını gösterelim. Y de bu uzayın bir başka alt uzayı olsun (Y ⊂ X).

Her bir f ∈X için

0 ) ( ) (

lim − =

∞

→ n X

n f x ϕ x

özelliğini sağlayacak şekilde ϕ_n∈Ybulunabiliyorsa Ycümlesine X cümlesinin yoğun alt uzayı denir. Yaklaşım probleminde ϕ_n nin yapısını belirlemek bu teorinin esas amaçlarından biridir.

Yaklaşım teorisinin esas problemlerinden ikincisi ise yaklaşım hızının bulunması problemidir:

X n n x x

f( )−ϕ ( ) =α ve lim =0

∞

→ n

n α

ise bu ϕ_n(x)’in f(x)’e yaklaşım hızını belirtir. Bu hızı bulmak için α_n’nin sıfıra giden bir başka dizi ile karşılaştırılması yeterlidir. Yani; 0≤α_n ≤β_n ise ve β_n de sıfıra gidiyorsa (lim =0)

∞

→ n

n β yukarıdaki eşitsizlik α_n’nin β_n’den daha hızlı sıfıra gittiğini gösterir. Fonksiyon uzayında β_n’yi süreklilik modülü ile de ifade edebiliriz.

Çünkü f ’nin süreklilik modülü olan ω_p(f;δ), sıfıra yakınsayan bir fonksiyondur.

3

X, D kümesinde tanımlı Lebesque anlamında integrallenebilen fonksiyon uzayı olsun. Bu uzaydaki operatörü x∈D için;

∫

_D ^{f(t)K1(x−t)dt}

biçiminde ifade edersek bu operatörün yaklaşım özellikleri K₁(x−t) (D×D’de tanımlı) fonksiyonunun özelliğine bağlıdır. K çekirdeği integrallenebilir (veya türevlenebilir) olduğunda

∫

_D ^{f(t)K1(x−t)dt}

operatörünü

) (x

g =

∫

_D ^{f(t)K1(x−t)dt}

şeklinde düşünebiliriz.

Eğer yukarıdaki integralin düzgün yakınsaklığı gösterilebilirse K₁ türevlenebilir olduğunda g fonksiyonu da türevlenebilir olur.

g: X →Y

^{→ =}

∫

⁼

D

dy y x K x f x g

f ( ) ( ). ( , ) L

(

f;x

)

yani integral operatörleri, X uzayında olan f fonksiyonunun daha iyi özellikleri olang fonksiyonuna dönüştürülebilir.

Teorem 1.1.1. f ,

[

a, kapalı aralı^b

]

ğında integrallenebilen fonksiyon olsun. Bu durumda f integrallenebilirdir ve

∫

∫

_a^{b f(x)dx ≤} _a^{b f(x)dx}

eşitsizliği sağlanır.

Teorem 1.1.2. −∞≤a≤b≤∞ olmak üzere

[

^{a, aralıb}

]

^ğında ölçülebilir ve p≥1 için

∫

_a^{b f(x) pdx<∞}

Koşulunu sağlayan fonksiyonlar uzayına L_p( ba, ) uzayı denir. Bu uzaylarda norm,

∞

<

1≤ p olduğunda

b p a

p

p f x dx

f

1

)

( 



 



=

∫

ve p=∞ iken

) ( sup f x ess

f

p = x

şeklinde tanımlanır.

1.2. Süreklilik Modülü

Tanım 1.2.1. f ∈L₁ olmak üzere δ >0 sayısı için

∫

₋^∞_∞

≤

− +

= f x t f x dx

f

t

L ( ; ) sup | ( ) ( )|

|

1 |

δ

δ ω

fonksiyonuna f ’nin L₁ - süreklilik modülü denir.

Tanım 1.2.2. −∞≤a≤b≤∞ ve 1≤ p<∞ olmak üzere f ∈L_p( ba, ) iseher δ >0 sayısı için

p p

t

L f f x t f x dx

p

1

|

|

| ) ( ) (

| sup )

;

( 



 



 + −

=

∫

₋^∞_∞

≤δ

δ ω

fonksiyonuna f in L_p - süreklilik modülü denir.

L1 ve L_p süreklilik modüllerinin önemli özellikleri şunlardır:

5

1. lim ( ; ) 0

0 1 =

→ ω δ

δ _L f ve lim ( ; ) 0

0 =

→ ω δ

δ f

Lp

2. m doğal sayı olmak üzere

( ; ) ( ; )

1

1 δ ω δ

ω_L f m ≤m _L f ve ω (f;mδ) mω (f;δ)

p

p L

L ≤

3. Keyfi bir pozitif λ reel sayısı için

ω_L1(f;λδ)≤(λ+1)ω_L1(f;δ) ve ω (f;λδ) (λ 1)ω (f;δ)

p

p L

L ≤ +

dir. Aynı zamanda L₁ ve L_p süreklilik modülleri negatif olmayan monoton artan fonksiyonlardır.

1.3. Kaynak Özetleri

G.Anastassiou,C. Cottin ve H. Gonska, [2] makalesinde, yaklaşım fonksiyonu olan f ’nin süreklilik modüllerini incelemişlerdir. G.Anastassiou ve H.Gonska, [3]

makalesinde tek değişkenli ötelemeyi koruyan operatörler için süreklilik modülünün özelliğini koruduğunu göstermişlerdir. G. Anastassiou ve G. Gal, [4] kitabında kompakt ve Rⁿ’de daha genel lineer integral operatörleri ve yukarıdaki operatöre benzer yeni genel integral operatörleri incelenmiştir.

1.3. Çalışmanın Amacı

Bu tezde, genelleştirilmiş singüler integrallerin yaklaşım fonksiyonunun süreklilik modülü yardımı ile düzgün yakınsaklık problemi incelenecektir.

2. MATERYAL VE YÖNTEM

Bu bölümde, lineer pozitif operatörleri kapsayan daha genel integral öperatörler ve süreklilik modülü tanımlanacak ve bu genelleştirilmiş integral operatör ile süreklilik modülü arasındaki ilişkiler incelenecektir. Ayrıca operatörün özel durumlarda verilen sonuçları sağladığı da gösterilecektir.

2.1. Ötelemeyi Koruyan İntegral Operatörleri

Lk integral operatörleri, R üzerinde tanımlı ve konvolüsyon tipli lineer pozitif operatörler ve temel integral operatörlerin sonlu lineer kombinasyonu yardımı ile oluşturulsun. Biz bu tezde tanımlanacak genel integral tipli lineer pozitif operatörlerin birim operatöre yakınsadığını, süreklilik modülünü koruduğunu ve elde edilecek eşitsizliklerin kesin olduğunu göstereceğiz.

) (

: C R

X = _U , R’de düzgün sürekli reel değerli fonksiyonların sınıfı olsun.

) (R

C , R’de sürekli fonksiyonların sınıfı olsun. f ∈X için ω₁(f;δ)<+∞ olacak şekilde δ >0 vardır.

{ }

lk _k∈Ζ pozitif lineer operatörler dizisi x∈R, f ∈X için )

);

2 ( ( )

;

(f x l₀ f t x

l_k = ^−k

veya

l_k(f;x)=l₀(f(2^−k⋅);x) (2.1.1)

özelliğiyle C(R)’deki fonksiyonları X:=C_U(R)’deki fonksiyonlara dönüştürdüğünü kabul edelim. Burada f fonksiyonuna ait t bağımsız değişkeninin diğer değişkenlerle karışmaması için nokta ile göstereceğiz. Sabit bir a>0, m∈Ν , n∈Ζ₊ , r∈Ζ ve f ∈X için,

a y u

R y u

≤

−∈

|

|,

sup 



 



 +

≤

− ma_r n

f y

f u f

l ( ; ) ( )| ; 2

| ₀ ω₁ (2.1.2)

olsun.

ϕ ,

[

−a,a

]

aralığında pozitif reel değerli Lebesque ölçülebilir ve ∀x∈R için

∫

^∞

∞

−

−u du

x )

(

ϕ =1 (2.1.3)

özelliğini sağlayan bir fonksiyon olsun. Bu durumda

^∞

∫

∞

−

) = 1 ( duu

ϕ (2.1.4)

olduğu kolayca görülebilir.

Örnekler:

i) ( ): ( )

2 ,1 2

1 x

x



 



−

Χ

ϕ = , 



 

− 2 ,1 2

1 için karakteristik fonksiyondur.

ii)





 +

−

= 0 1 1 : )

( x

x

ϕ x

, , ,

. .

0 1

1 0

y d

x x

≤

≤

−

≤

≤

1 )

( =

∫

∞

∞

−

du

ϕ u ⇒ ^∞

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

∞

−

∞

−

−

∞

−

+ +

+

=

1 1

0 0

1 1

) ( )

( )

( )

( )

(u du ϕ u du ϕ u du ϕ u du ϕ u du

ϕ

⁼

∫

^{+ +}

∫

⁻

−

1

0 0

1

) 1 ( )

1

( u du u du

1

0 0 2

1 2

2 ) ( 2 )

( u

u u

u+ + −

=

−

=1.

{ L_k}_k∈Ζ X üzerinde pozitif lineer operatörler dizisi olsun.

L_k

∫

^∞

∞

−

−

= l f u x u du

x

f; ): _k( ; ) (2^k )

( ϕ (2.1.5)

ifadesini göz önüne alalım. Özel olarak , k =0 için

L₀

∫

^∞

∞

−

−

= l f u x u du

x

f; ): ( ; ) ( )

( ₀ ϕ (2.1.6)

yazabiliriz. ∀x∈R için

L_k

∫

^∞

∞

−

−

= l f u x u du

x

f; ) _k( ; ) (2^k )

( ϕ

∫

∞

∞

−

− ⋅ −

= l₀(f(2 ^k );u)ϕ(2^kx u)du

= L₀ (f(2^−k⋅);2^kx),

Lk (f;x)=L₀(f(2^−k⋅);2^kx) (2.1.7) olduğu görülebilir.

Tanım 2.1.1. α∈R, f_α(⋅):= f(⋅+α) olsun. Eğer φ(f_α)=(φf)_α ise φ ’ye ötelemeyi koruyan operatördür denir.

Teorem 2.1.1. Her k∈Ζ , u∈R, α∈R sabit ve her f ∈Χ için

l₀(f(2^−k⋅+α);2^ku)=l₀(f(2^−k⋅);2^k(u+α)) (2.1.8)

İspat.

( L₀ f)(x)=

∫

₋^∞_∞^{(l0f)(u)ϕ(x−u)du=}

∫

₋^∞_∞^{(l0f)(x−u)ϕ(u)du}

olur.

L_k (f(⋅+α);x)= L_k (f_α;x)= L₀ (f_α(2^−k⋅);2^kx)

=

∫

₋^∞_∞^{l0(f(2−k ⋅+α);(2kx−u))ϕ(u)du}

=

∫

₋^∞_∞^{l0(f(2−k⋅+α);(2k(x−2−ku)))ϕ(u)du.}

(2.1.8) ifadesini uygularsak

L_k (f(⋅+α);x)=

∫

₋^∞_∞^{l0(f(2−k⋅);(2k(x−2−ku+α)))ϕ(u)du}

=

∫

₋^∞_∞^{l0(f(2−k⋅);(2k(x+α)−u)))ϕ(u)du}

= L₀ (f (2^−k⋅);2^k(x+α)) = L_k (f;x+α). Yani,

Lk (f_α)=( Lk ( f))α

elde edilir.

Simdi Lk operatörünün süreklilik modülünü koruduğunu gösterelim.

Teorem 2.1.2. Herhangi bir f ∈Χ , her u∈R ve herhangi x,y∈R için

|l₀(f;x−u)−l₀(f;y−u)|≤ω₁(f;|x−y|) (2.1.9) olsun. Buna göre δ >0 için

ω₁(Lk f;δ)≤ω₁(f;δ) (2.1.10) eşitsizliği sağlanır.

İspat. (2.1.4) ve (2.1.9) ifadelerini kullanırsak

| L₀ (f;x)− L₀ (f;y)|=

∫

₋^∞_∞^{l0(f;u)ϕ(x−u)du−}

∫

₋^∞_∞^{l0(f;y)ϕ(y−u)du}

elde edilir. Burada u=x−u ve u= y−u dönüşümü yaparsak

| L₀ (f;x)− L₀ (f;y)| =

∫

₋^∞_∞^{l0(f;x−u)ϕ(u)du−}

∫

₋^∞_∞^{l0(f;y−u)ϕ(u)du}

^≤

∫

₋^∞_∞^{ϕ(u)|l0(f;x−u)−l0(f;y−u)|du}

(u)du sup|l₀(f;x u) l₀(f;y u)|

R u

−

−

 −



 



≤

∈

∞

∞

∫

− ^ϕ

≤ω₁(f |;x−y|)

sonucunu elde ederiz. (2.1.7) eşitliğinden

| L_k (f;x)− Lk (f;y)|=| L₀ (f(2^−k.);2^kx)− _L0 (f(2^−k.);2^k y)| ≤ω₁(f(2^−k.);2^k |x−y|)=ω₁(f;|x− y|) elde ederiz. Her iki tarafın δ >0 için supremumunu alınırsa

| sup

|

|x− y≤δ

Lk (f;x)− Lk (f;y)|≤ sup ₁( ;| |)

|

|

y x f

y x

−

≤

−

ω

δ

yani ω₁(L_k f;δ)≤ω₁(f;δ) olur.

Teorem 2.1.3. f ∈Χ için (2.1.2) ifadesinin doğru olduğunu kabul edelim. Bu durumda m∈Ν , n∈Ζ₊ , k,r∈Ζ için

|Lk 



 



 +

≤

− ma_k+rn

f x

f x

f; ) ( )| ; 2

( ω₁ (2.1.11)

eşitsizliği vardır.

İspat.ϕ⊆[−a,a] olduğundan , (2.1.3) ve (2.1.7) ifadelerinden görebiliriz ki

| Lk (f;x)− f(x)| = | L₀ (f(2^−k⋅);2^kx)− f(2^−k(2^kx))|

=

∫

₋^∞_∞^{[l0(f(2−k⋅);u)− f(2−k(2kx))]ϕ(2kx−u)du}

= ^{x a}l f u f x x u du

a x

k k

k k

k

k [ ( (2 ); ) (2 (2 ))] (2 )

2

2 0 ⋅ − −

∫

₋^{+ − − ϕ}





 



 −

−

⋅

≤ ^{− −}

∫

₋⁺

+

≤

≤

−

a x

a x

k k

k k

a x u a x

k

k k k

u x x

f u f

l ²

0 2 2 2

) 2

(

| )) 2 ( 2 ( ) );

2 ( (

|

sup ϕ

yani

|Lk (f;x)− f(x)| sup | ₀( (2 ); ) (2 (2 ))|

2 2

x f

u f

l ^{k k k}

a x u a

x ^k

k

−

− +

≤

≤

−

−

⋅

≤ . (2.1.12)

Χ

∈

⋅

= (2⁻ )

: f ^k

g alalım. (2.1.12) ifadesi sağdan uygulanırsa



 



 +

≤

−

≤

− r

k a

x u

n g ma x

g u g l

k | ( ; ) (2 )| ; 2

sup _{0 1}

| 2

|

ω

r

n h ma

| 2

|

sup

< +

= |g(x+h)−g(x)|

r

k ma n

h| 2 2

|

sup

< +

= | f(2^−k⋅+h)− f(2^−k⋅)|

k r

n h ma₊+

<

=

| 2

|

sup | f(2^−k ⋅+h)− f(2^−k⋅)|





 



 +

= ma_k+rn

f; 2

ω1 .

elde edilir. Buradan

| L_k (f;x)− f(x)|≤ 



 



 +

+r k

n f ma

; 2 ω1

olduğunu görebiliriz.

Not: k→∞ için L_k operatörü, birim operatör olan I operatörüne yaklaşır.

Sonuç 2.1.1. (i)

x u x f l

∂

−

∂( ₀ )( )

kısmi türevi her f ∈Χ⁽¹⁾ için mevcut, x∈R ve ]

, [ a a

u∈ − noktalarında sürekli olsun. ϕ(u) fonksiyonu u ’da sürekli olduğunda Leibniz kuralını (2.1.6)’ya uygularsak

( dx

d L₀ f)(x)=

∫

₋^a_a^{(l0 f)x(x−u)ϕ(u)du} (2.1.13)

elde edilir. Burada (l₀f)_x, x ’e göre türevi göstermektedir. ∀f ∈Χ⁽¹⁾ için (L₀ f)(x) türevlenebilen operatördür. Buradan da k∈Ζ ve her f ∈Χ⁽¹⁾ için (L_k f)(x)=(L₀ f(2^−k⋅);2^kx) türevlenebilen operatör olduğunu söyleyebiliriz.

(ii) i≥1 tamsayı olsun. ⁰ ₁

1( )( )

−

−

∂

−

∂

i i

x u x f

l ve _i

i

x u x f l

∂

−

∂ ( ₀ )( )

kısmi türevleri her

)

f ∈Χ(i için mevcut , x∈R ve u∈[−a,a] noktalarında sürekli olsun. ϕ(u) fonksiyonu da u ’da sürekli ise

_i (

i

dx

d L₀ f)(x)= ( ₀ )( ) u x x

f l

a

a i

i

∂ −

∫

₋ ∂ ^ϕ(u)du (2.1.14)

yani L_k i- defa türevlenebilen bir operatördür.

(iii) l₀, Χ ( Χ ⁽ⁱ⁾ i.kez türevlenebilen sürekli fonksiyon uzayı) uzayını C⁽ⁱ⁾(R) uzayına dönüştüren bir operatör olsun. Kolayca görülebilir ki eğer i≥1 bir tamsayı olmak üzere f ∈Χ⁽ⁱ⁾ ise ⁰ ₁

1( )( )

−

−

∂

−

∂

i i

x u x f

l ve _i

i

x u x f l

∂

−

∂ ( ₀ )( )

kısmi türevleri, x ve u noktalarında süreklidir.

Lemma 2.1.1. Eğer F( ux, ), R×[−a,a] da sürekli ise

∫

₋^a_a^{F(x,u)du, x ’de}

süreklidir.

Sonuç 2.1.2. (i) Lemma 2.1.1’den, eğer l₀, Χ uzayından ⁽ⁱ⁾ C⁽ⁱ⁾(R) uzayına dönüşüm yapan operatör ise ϕ fonksiyonu, [−a,a] aralığında sürekli olmak üzere Lk’ninde Χ uzayından ⁽ⁱ⁾ C⁽ⁱ⁾(R) uzayına dönüşüm yapan bir operatör olduğunu söyleyebiliriz. (i≥0 bir tamsayıdır.)

(ii) ϕ pozitif ve

[

−^a,a

]

aralığında sürekli olsun. Eğer i≥1 tamsayı olmak üzere

0 ) )(

( ₀ − ≥

∂

∂ l f x u

xⁱ

i

ise

_i (

i

dx

d L₀ f)(x)≥0 (2.1.15)

ifadesi vardır.

(iii) ϕ ,

[

−^a,a

]

aralığında sürekli olsun. Eğer f ⁽ⁱ⁾ ≥0 ve bazı i≥1 için

i (

i

dx

d L₀ f;x)≥0 ise k∈Ζ için

_i

i

dx

d L_k(f,x) ≥0 (2.1.16)

olduğu açıktır.

Bu eşitsizlikten söyleyebiliriz ki eğer l₀f artan sürekli bir fonksiyon ve ϕ ,

[

−^a,a

]

aralığında sürekli ise L₀ f artan ve sürekli fonksiyondur.

2.2. Örnekler

1.

∫

^∞

∞

−

−

= u x u du

x f

A_k )( ): _k^f( ) (2^k )

( τ ϕ (2.2.17)

operatörünü göz önüne alalım. Burada

^∞

∫

∞

−

−

= f t t u dt

u ^{k k}

f

k ( ): 2 ( )ϕ(2 )

τ (2.2.18)

dir ve u noktasında süreklidir. Yani u∈R için

l_k(f;u)=τ_k^f(u). (2.2.19)

2.

∫

^∞

∞

−

 −



 



=  u x u du

f x f

B_{k k} (2^k )

: 2 ) )(

( ϕ (2.2.20)

şeklinde tanımlı operatör için





 



= 

= _{k k}

k

f u u f u

f

l ( ; ) β ( , ): 2 (2.2.21) dir.

3.

∫

^∞

∞

−

−

= c u x u du

x f

L_k )( ): _k^f( ) (2^k )

( ϕ (2.2.22)

şeklinde tanımlı operatör için

^{ckf (u):=2k}

∫

₂^2−−kk_u^{(u+1) f(t)dt} (2.2.23) olsun. u∈R için

l_k(f;u)=c_k^f(u) (2.2.24) dir.

4.

∫

^∞

∞

−

−

=

Γ_k f)(x): _k^f(u) (2^kx u)du

( γ ϕ (2.2.25)

operatörü ve n∈Ν, w * ≥0, u∈R için

∑

=







 +

=

n

j

k k j f

k n

j f u

w u

0

*

*

* 2 2

: )

γ ( , (2.2.26)

olur.

∑

ⁿ_j=0^w_j^{* =1} olarak alınırsa

l_k(f;u)=γ_k^f (u) (2.2.27) şeklinde yazılır.

(2.2.1), k∈Ζ için A_k , B_k , L_k, Γ larda bulunan bütün _k l_k’lar için geçerlidir. Bütün A_k , B_k , L_k, Γ için (2.2.7) do_k ğrudur. k∈Ζ için

A_k(f;x)= A₀(f(2^−k⋅);2^kx)

B_k(f;x)=B₀(f(2^−k⋅);2^kx) (2.2.28) L_k(f;x)=L₀(f(2^−k⋅);2^kx)

Γ_k(f;x)=Γ₀(f(2^−k⋅);2^kx). yazabiliriz. Burada

A_k(1)=B_k(1)=L_k(1)=Γ_k(1)=1 (2.2.29) olduğuna dikkat etmeliyiz. Ayrıca tüm C(R)’lerde tanımlanan yukarıdaki özel operatörlerin olduğu durumlarda π_n derecesi ≤n olan polinomların sınıfı ise

n n

Ak(π )⊆π , B_k(π_n)⊆π_n

L_k(π_n)⊆π_n, Γ_k(π_n)⊆π_n (2.2.30) olur.

Teorem 2.2.1. A_k , B_k , L_k, Γ operatörleri ötelemeyi koruyan operatörlerdir. _k İspat. Burada Sonuç 2.1.1’i uygulayalım.

1. A_k operatörü için (ϕ çift);

l₀(f;x)=τ₀^f(x)=

∫

₋^∞_∞ ^{f(t)ϕ(t−x)dt}

⁼

∫

₋^∞_∞ ^{f(t)ϕ(x−t)dt=}

∫

₋^∞_∞ ^{f(x−t)ϕ(t)dt}. (2.2.31) R

a∈ için

^{l0(f(2−k ⋅+α);2ku)=}

∫

₋^∞_∞ ^{f(2−k(2ku−t)+α)ϕ(t)dt}

=

∫

₋^∞_∞ ^{f(u+α −2−kt)ϕ(t)dt}

=

∫

₋^∞_∞ ^{f(2−k2k(u+α)−2−kt)ϕ(t)dt}

=

∫

₋^∞_∞ ^{f(2−k[2k(u+α)−t])ϕ(t)dt}

= l₀(f(2^−k⋅);2^k(u+α)).

Burada τ , (2.1.8) ifadesini sa₀^f ğlar. Şimdi A_k operatörünün ötelemeyi koruduğunu gösterelim. Yani A_k(f(⋅+α);x)= A_k(f;x+α) olduğunu gösterelim.

A_k(f(⋅+α);x)= A₀(f(2^−k ⋅+α);2^kx) =

∫

₋^∞_∞^{τ0fα(2−k⋅)(u)ϕ(2kx−u)du.}

u x

u= 2^k − dönüşümünü uygulayalım.

A_k(f(⋅+α);x) =

∫

₋^∞_∞^{τ0fα(2−k⋅)(2kx−u)ϕ(u)du}

=

∫

₋^∞_∞^{l0(f(2−k ⋅+α);2kx−u)ϕ(u)du}

=

∫

₋^∞_∞^{l0(f(2−k ⋅+α);2k(x−2−ku))ϕ(u)du.}

(2.1.8) ifadesinden

A_k(f(⋅+α);x) =

∫

₋^∞_∞^{l0(f(2−k⋅);2k(x−2−ku+α))ϕ(u)du}

=

∫

^{∞ l (f(2−k⋅);2k(x+α)−u)ϕ(u)du}

=

∫

₋^∞_∞^{τ0f(2−k⋅)(2k(x+α)−u)ϕ(u)du.}

u x

u=2^k( +α)− dönüşümü yaparsak

A_k(f(⋅+α);x) =

∫

₋^∞_∞^{τ0f(2−k⋅)(u)ϕ(2k(x+α)−u)du}

= A₀(f(2^−k⋅);2^k(x+α)) = A_k(f(⋅+α);x)

olur.

2. B_k operatörünü göz önüne alalım. Burada l₀ f = f dir.

l₀(f(2^−k ⋅+α);2^ku)= f(2^−k2^ku+α) = f(u+α)

= l₀(f(2^−k⋅);2^k(u+α)). Şimdi de B_k operatörünün ötelemeyi koruduğunu gösterelim.

B_k(f(⋅+α);x) = B₀(f(2^−k ⋅+α);2^kx) =

∫

₋^∞_∞ ^{f(u)ϕ(2kx−u)du}

u x

u= 2^k − dönüşümü uygularsak

B_k(f(⋅+α);x)=

∫

₋^∞_∞ ^{f(2kx−u)ϕ(u)du}

=

∫

₋^∞_∞l₀(f(2^−k ⋅+α);2^kx−u)ϕ(u)du

olur. (2.1.8)’ i uygulayalım ve 1. örneğin ispatındaki işlemleri tekrarlayalım.

B_k(f(⋅+α);x) =

∫

₋^∞_∞^{l0(f(2−k⋅);2k(x+α)−u)ϕ(u)du}

=

∫

₋^∞_∞ ^{f(2k(x+α)−u)ϕ(u)du}

=

∫

₋^∞_∞ ^{f(u)ϕ(2k(x+α)−u)du}

=B₀(f(2^−k⋅);2^k(x+α)) =B_k(f;x+α).

3. L_k operatörü için

∫

⁺

=

= ₀ ¹

0( ; ) ( ) ^x ( )

x

f x f t dt

c x f l

dir. Burada

l₀(f(2^−k⋅+α);2^ku)=

∫

₂^2kk_u^{u+1f(2−kt+α)dt}

=

∫

₂^2kk₍⁽_u^u₊⁺_α^α₎^{)+1f(2−kt)dt}

=l₀(f(2^−k⋅);2^k(u+α))

yazılabilir. Şimdi L_k operatörünün ötelemeyi koruduğunu gösterelim.

L_k(f(⋅+α);x)=L₀(f(2^−k⋅+α);2^kx) =

∫

₋^∞_∞^{c0fα(2−k⋅)(u)ϕ(2kx−u)du}

=

∫

₋^∞_∞^{c0fα(2−k⋅)(2kx−u)ϕ(u)du}

=

∫

₋^∞_∞l₀(f(2^−k ⋅+α);2^kx−u)ϕ(u)du^. (2.1.8)’ i uygulayarak 1. örnekteki işlemleri tekrarlarsak

L_k(f(⋅+α);x)=

∫

₋^∞_∞^{l0(f(2−k⋅);2k(x+α)−u)ϕ(u)du}

=

∫

₋^∞_∞^{c0f(2−k⋅)(2k(x+α)−u)ϕ(u)du}

=

∫

₋^∞_∞^{c0f(2−k⋅)(u)ϕ(2k(x+α)−u)du}

=L₀(f(2^−k⋅);2^k(x+α)) =L_k(f;x+α)

olur.

4. Γ operatörünü göz önüne alalım. _k

)

;

0(f u

l =

∑

=

+

n

j

j n

u j f w

0

)

( .

Burada

l₀(f(2^−k ⋅+α);2^ku)=

∑

=

− + +

n

j

k k

j n

u j f

w

0

) ) 2

( 2

( α

=

∑

=

− + +

n

j

k k

j n

u j f

w

0

)) ) ( 2 ( 2

( α

=l₀(f(2^−k⋅);2^k(u+α)). Şimdi Γ operatörünün ötelemeyi korudu_k ğunu gösterelim.

Γ_k(f(⋅+α);x)=Γ₀(f(2^−k ⋅+α);2^kx)

=

∫

₋^∞_∞^{γ0fα(2−k⋅)(u)ϕ(2kx−u)du.}

u x

u= 2^k − dönüşümü yapılırsa,

Γ_k(f(⋅+α);x) =

∫

₋^∞_∞^{γ0fα(2−k⋅)(2kx−u)ϕ(u)du}

=

∫

₋^∞_∞l₀(f(2^−k⋅+α);2^kx−u)ϕ(u)du

olur. (2.1.8)’i ve 1. örnekteki işlemleri uygulayalım, Γ_k(f(⋅+α);x) =

∫

₋^∞_∞^{l0(f(2−k⋅);2k(x+α)−u)ϕ(u)du}

=

∫

₋^∞_∞^{γ0f(2−k⋅)(2k(x+α)−u)ϕ(u)du}

=

∫

₋^∞_∞^{γ0f(2−k⋅)(u)ϕ(2k(x+α)−u)du}

=Γ₀(f(2^−k⋅);2^k(x+α)) =Γ_k(f;x+α).