Ötelemeyi Koruyan İntegral Operatörleri

L integral operatörleri, R üzerinde tanımlı ve konvülüsyon tipli lineer k

pozitif operatörler ve temel integral operatörlerin sonlu lineer kombinasyonu yardımı ile oluşturulsun. Biz bu tezde önce tanımlanacak genel integral tipli lineer pozitif operatörlerin ötelemeyi koruduğunu, daha sonra da bu operatörlerin .i türevlerinin süreklilik modülünü koruduğunu ve bazı temel özellikleri sağladığını göstereceğiz.

X :=C_U(R), R de düzgün sürekli reel değerli fonksiyonların sınıfı, C(R) R de sürekli fonksiyonlar sınıfı olsun. f ∈X için ω₁(f;δ)<+∞ olacak şekilde

>0

δ ^vardır.

{lk}k_∈z

pozitif lineer operatörler dizisinin x∈R, f ∈X için

l_k(f;x)=l₀(f(2^−kt);x) veya

l_k(f;x)=l₀(f(2^−k⋅);x) (2.1.1)

şeklinde tanımlanan eşitlikler yardımıyla C(R) deki fonksiyonları X :=C_U(R) deki fonksiyonlara dönüştürdüğünü kabul edelim. Burada f fonksiyonun bağımsız değişkenini diğer değişkenlerle karışmaması için nokta ile göstereceğiz.

Sabit bir a >0, m∈N , n∈Z, r∈Z ve f ∈X için

özelliğini sağlayan bir fonksiyon olsun. Bu durumda

∫ ( )

=¹

şeklinde tanımlanan bir fonksiyon için

^cos2

(

⁻

)

₌₁

( )







 + − − +

= π π π π

π ^2sin2

2 1 2sin 1 2

1

{ }

π π ² 2

= 1

=1 yani

^+∞

∫ ( )

∞

−

= 1 du ϕ u

olur ki bu ifade etmek istediğimizdir.

z k

Lk}_∈

{

_X

üzerinde pozitif lineer bir operatör dizisi olsun. Bu dizi için bir eşitlik

∫

^∞

∞

−

−

= l f u x u du

x f

L_k( ; ): _k( ; )ϕ(2^k ) (2.1.5)

şeklinde tanımlanabilir. Bu eşitlikte özel olarak k =0 alınırsa

^{L f x}

∫

^∞l

(

^{f u}

) (

^{x u}

)

^du

∞

−

−

= ^; ϕ

: )

;

( 0

0 (2.1.6) yazabilir. Ayrıca ∀x∈R için

^Lk ^{f x} =

∫

^∞lk

(

^{f u}

) (

^kx−^u

)

^du

∞

−

2

; )

;

( ϕ ^.

(2.1.1) eşitsizliğinden

⁼

_∫

^∞l

(

^f

( )

^{k ⋅ u}

) (

^kx−u

)

^du

∞

−

2

;

0 2 ϕ

= L₀(f(2^−k⋅);2^kx) olur. Buradan da

^Lk

(

^f,^x

)

^L

(

^f

(

2 ^k

)

;2^kx

)

0 ⋅

= ⁻ (2.1.7) eşitliği yazılabilir.

Tanım 2.1.1. α∈R ^için f_α

( )

⋅ := f

(

⋅+α

)

olsun. Eğer φ

( ) ( )

f_α = φf _α ise φ^{’ ye} ötelemeyi koruyan operatör denir.

Teorem 2.1.1. ∀k∈Z , u∈R, α∈R ⁽α sabit) ve her f ∈X için

^l0

(

^f

(

^{2−k ⋅+α}

)

^;2ku

)

^=l0

(

^f

(

^{2−k ⋅}

)

^;2k

(

^u+α

) )

(2.1.8) oluyorsa, bu durumda

L ötelemeyi koruyan operatördür. k

İspat:

L f x =

∫

l f

( ) (

u x−u

)

du

∞

∞

−

) ϕ ( ) )(

( _{0 0}

^∞

∫ ( )( ) ( )

∞

−

−

= l0f x u ϕ u du

yazılabilir.

L operatörünün (2.1.7) ifadesinin yardımıyla ötelemeyi koruduğu k

aşağıdaki gibi gösterilebilir.

^Lk

(

^f

(

.

)

;^x

)

^Lk

(

^f ;^x

)

^L

(

^f

(

2 ^k

)

; 2^kx

)

0 ⋅

=

=

+α _{α α} ⁻

∫

^∞

( ( ) ( ) ) ( )

∞

−

− ⋅+ −

= l0 f ^{2 k} α ^{; 2k}x u ϕ u du

^∞

∫

^l

(

^f

(

^{k α}

) (

^k

(

^{x ku}

) ) )

^ϕ

( )

^{u du}

∞

−

−

− ⋅+ −

= ₀ 2 ; 2 2

olup, buna (2.1.8) ifadesi uygulanırsa

( ( ) ) ∫

^∞

( ( ) ( ( ) ) ) ( )

∞

−

−

− ⋅ − +

= +

⋅ x l f x u u du

f

L_k α ^; 0 ^{2 k ; 2k 2 k} α ϕ

^∞

_∫

^l

(

^f

(

^k

) (

^k

⁽

^{x α}

⁾

^u

) )

^ϕ

^{( )}

^{u du}

∞

−

− ⋅ + −

= ₀ 2 ; 2

= L₀

(

f

(

2^−k ⋅

)

;2^k

(

x+α

) )

=L_k

(

f;x+α

)

elde edilir. Bu ise

L_k

( )

fα =

(

L_k

( )

f

)

_α

olması demektir. Yani

L operatörü ötelemeyi koruyan bir operatördür. Bu şekilde k

tanımlanan

L operatörü süreklilik modülünü korur. Bu, bir teorem olarak k

aşağıdaki gibi ifade edilebilir.

Teorem 2.1.2. Herhangi bir f ∈X , ∀u∈ R ve x,y∈R için

^l0

(

^f;x−u

)

^−l0

(

^f;y−u

)

^≤ω1

(

^f;x−y

)

(2.1.9) olsun. Bu durumda δ >0 ^için

ω1

(

L_k f^;δ

)

≤ω1

(

f^;δ

)

(2.1.10) eşitsizliği sağlanır.

İspat:

(2.1.4), (2.1.6) ve (2.1.9) ifadelerini kullanırsak

(

f x

)

L

(

f y

)

l

(

f x

) (

x u

)

du l

(

f y

) (

y u

)

du

L − =

∫

− −

∫

−

∞

∞

−

∞

∞

−

ϕ

ϕ ^;

;

;

; _{0 0 0}

0

olup, burada u→x−u ^ve u →y−u dönüşümü yapılırsa,

(

f x

)

L

(

f y

)

l

(

f x u

) ( )

u du l

(

f y u

) ( )

u du

L

∫

ϕ

∫

ϕ

∞

∞

−

∞

∞

−

−

−

−

=

− ; ; ;

; _{0 0 0}

0

≤ ^∞

∫ ( ) (

u l f x−u

)

−l

(

f y−u

)

du

∞

−

;

; ₀

ϕ 0

( )

u du l

(

f x u

)

l

(

f y u

)

R u

−

−

 −











≤

∈

∞

∞

−

∫

^{ϕ sup 0 ; 0 ;}

(

^{f x}

)

^L

(

^{f y}

)

L₀ ; − ₀ ; ^≤ω1

(

^f;x−y

)

(2.1.11) sonucunu elde ederiz.

L operatörü için (2.1.7) eşitliğinden ve (2.1.11) k

eşitsizliğinden

(

^{f x}

)

^L

(

^{f y}

)

^L

(

^f

( )

^x

)

^L

(

^f

( )

^y

)

L_k ; − _k ; = ₀ 2^−k ⋅ ;2^k − ₀ 2^−k ⋅;2^k

^≤ω1

(

^f

(

^{2−k ⋅}

)

^{;2k x− y}

)

^=ω1

(

^f;x−y

)

( ) ( )

^ uyguladıktan sonra Leibnitz kuralı uygulanırsa

L_k f x ^k

∫

^∞ l_k f ^kx uϕ

( )

u du

L operatörünün türevlenebilen bir operatör olduğunu söyleyebiliriz. Bu k

şekilde türev alınarak elde edilen

( )

k Z i

Lk⁽⁾ _∈ i∈N şeklindeki operatörlerin özellikleri bizim bu tezdeki inceleme konumuzu oluşturacaktır. Bu arada dikkat etmeliyiz ki

) ( )

( ^{(i) (i)}

k f L f

L ≠ , f ∈C⁽ⁱ⁾(R) dir.

Yine k∈Z için Lk

L= olsa bile )

( )

( ^{(i) (i)}

k f L f

L ≠

dir.

Şimdi i∈N için f ∈C⁽ⁱ⁾(R) ^ve f⁽ⁱ⁾∈C_u⁽R⁾ olmak üzere

( )

⁼

∫

1

0

0^f u : f(tu)dt

δ u∈R (2.1.14)

operatörünü tanımlayalım ve bu fonksiyonun Leibnitz kuralı yardımıyla i -kere türevini alalım. Bu durumda

∫

^∂ _∂

=

1

0 ) ( 0

) )) (

(

( dt

u ut

u f _i

i f i

δ

⁼

∫

1

0 ) ( )

(

0 ( )) ( )

(δ ^f u ⁱ tⁱf ⁱ ut dt

olur. (2.1.14) tanımı gereğince

⁼

∫

1

0 ) ( 0^f(i)(u) f ⁱ (tu)dt

δ

olacağından

( ₀ (u))⁽⁾ ₀ ⁽⁾(u)

f i f i

δ

δ ≠

dir. Yani operatörün fonksiyona uygulanışının türevi ile operatörün fonksiyonun türevine uygulanışı ile elde edilen sonuçlar aynı değildirler. Bu özellikleri sağlayacak operatörlerin süreklilik modülü koruduğunu bir teorem ile ifade edelim.

Teorem 2.1.4 Herhangi bir f ∈C⁽ⁱ⁾(R) ^ve f⁽ⁱ⁾∈C_U⁽R^), i∈N için

(

^δ0f

(

^x−u

) )

^{(i) −}

(

^δ0f

⁽

^y−u

⁾ )

^{(i) ≤ω1}

(

^{f(i);x− y}

)

(2.1.15)

eşitsizliği sağlanır.

İspat:

( )

(

⁻

)

⁻

( ⁽

⁻

⁾ )

⁼

_∫

^{1 − −}

_∫

⁻

0

1

0 ) ( )

) ( ( 0

) (

0^f x u ⁱ δ ^f y u ⁱ tⁱf ⁱ (t(x u))dt tⁱf ⁱ (t(y u))dt

δ

⁼

_∫

^1ti

{

^{f i}

(

^{t x−u}

)

^{− f i}

(

^{t y−u}

) }

^dt

0

) ( )

( ( ) ( )

tⁱ f⁽ⁱ⁾(t(x u)) f⁽ⁱ⁾(t(y u))dt

1

0

−

−

−

≤

∫

^.

t için, 0≤ t≤1 aralığında supremum alınırsa

^≤

∫

^{− − −}

≤

− 1

0

) ( )

( ( ) ( )

sup )

( t dt f ⁱ x u f ⁱ y u

y x i

δ

^≤ω1

(

^f(i);x−y

)

olur. Dolayısıyla

(

^δ0f

(

^x−u

) )

^{(i) −}

(

^δ0f

(

^y−u

) )

^{(i) ≤ω1}

(

^f(i);x−y

)

elde edilir. Bu da türev altında süreklilik modülünün korunduğunu gösterir.

Şimdi de (2.1.1) tanımı gereğince (x): ₀ ^{(2 )}(x)

f k f

k

=δ −

δ (2.1.16) olarak alalım ve D_k(f;x) operatörünü

∫

∞

∞

−

−

= u x u du

x f

D_k( ; ): δ_k^f( )ϕ(2^k ) ^, x∈R (2.1.17)

olarak tanımlayalım. Bu şekilde tanımlanan D_k(f;x) operatörü için

D_k(f;x)=D₀(f(2^−k⋅))(2^kx) (2.1.18) eşitliği sağlanır. Gerçekten de

(2.1.17) ifadesinde k =0 alınırsa

∫

∞

∞

−

−

= u x u du

x f

D₀( ; ): δ₀^f( )ϕ(2⁰ )

( ) ∫

∞

∞

−

−

= u x u du

x f

D₀ ; δ₀^f( )ϕ( )

yazılabilir. Buradan ^D0

(

^f

(

^{2−k ⋅}

) ( )

^{; 2kx}

)

eşitliğini yazarsak

( ( ) )( ) _∫

^{∞ ( )}

∞

−

− ⋅ x = ⁻ x−u du

f

D₀ 2 ^k 2^k : δ₀^{f 2k}ϕ(2^k ) (2.1.19)

olur. Buna göre her x∈R için (2.1.17) ifadesinde (2.1.16) yerine yazılırsa

D_k(f;x)

∫

∞

∞

−

−

= δ₀^f(2−k.)(u)ϕ(2^kx u)du

elde edilir. Buradan da (2.1.19) ifadesi göz önüne alınırsa ))

2 ( );

2 ( ( )

;

(f x D₀ f x

D_k = ^−k⋅ ^k

elde edilir.

Şimdi D_k(f;x) operatörünün i -yinci türevinin de süreklilik modülünü koruduğunu gösterelim.

Teorem 2.1.5 Herhangi f ∈X , u,x,y∈R ve i∈N olmak üzere herhangi

>0

δ için

^ω1

( (

Dk f

)

^(i);δ

)

≤^ω1

(

f^(i);δ

)

(2.1.20) eşitsizliği sağlanır.

İspat :

İspat için daha önce göstermiş olduğumuz ∀ ,x y∈R için (2.1.15) ifadesinden faydalanacağız.

( )

( ) (

0

( ) )

⁽⁾

) (

0 f;x ⁱ D f;y ⁱ

D − ⁼

_∫ (

^0f

( )

^u

)

^{(i) (x−u)du−}

_∫

^∞

(

^0f

( )

^u

)

^{(i) (y−u)du}

∞

−

∞

∞

−

ϕ δ

ϕ δ

ifadesini hesaplayalım. Bu ifade de x−u→u ve y−u→u değişken değiştirmeleri yapalım. Bu durumda

( )

(

^{D0 f;x}

)

^{(i) −}

(

^D0

(

^f;y

) )

^{(i) =}

_∫ (

^δ0f

(

^x−u

) )

^{(i)ϕ(u)du− ∞}

_∫ (

^δ0f

(

^y−u

) )

^(i)ϕ(u)du

∞

−

∞

∞

−

^≤

_∫

^∞

( )

^u

(

^0f

(

^x−u

) )

^{(i) −}

(

^0f

⁽

^y−u

⁾ )

^{(i) du}

∞

−

δ δ

ϕ

( )

^{u du}

(

^{fi x u}

) (

^fi

⁽

^{y u}

⁾ )

R y x

−

−

−

≤

∫

^∞

∞

− ∈

) ( )

(

0 0

,

) ( sup )

( ϕ δ δ

olur. (2.1.15) ve (2.1.4) göz önüne alınırsa

( (

^;

) ) ( (

^;

) )

1^{( (); )} )

( 0 ) (

0 f x D f y f x y

D ⁱ − ⁱ ≤ω ⁱ −

elde edilir. Bu ise

(

D0

(

f;x

) )

⁽ⁱ⁾ operatörünün süreklilik modülünü koruduğunu gösterir. Şimdi

(

Dk

(

f^;x

) )

⁽ⁱ⁾ operatörüne bakalım. Bunun için (2.1.17) kullanılırsa

( )

(

D_k f^;x

)

⁽ⁱ⁾ −

(

D_k

(

f^;y

) )

^{(i) =}

(

^D0

(

^{f(2−k.);2kx}

) )

^{(i) −}

(

^D0

(

^{f(2−k.);2k y}

) )

⁽ⁱ⁾

^{= 2ki}

(

^D0(i)

(

^{f(2−k.);2kx}

) )

^−2ki

(

^D0(i)

(

^{f(2−k.);2ky}

) )

≤ω₁(2^ki(f(2^−k.))⁽ⁱ⁾;2^k x− y ) (2 2 ( ⁽⁾(2 .));2 )

1 ^{ki ki} f ^{i k k} x− y

≤ω ^{− −}

^≤ω1

(

^{f(i);x− y}

)

elde ederiz.

Her iki tarafın δ >0 için supremumu alınırsa

( )

(

^;

) ( ⁽

^;

⁾ )

^{sup ( ; )}

sup D ⁽⁾ f x D ⁽⁾ f y ₁ f⁽ⁱ⁾ x y

y x i

k i

k y x

−

≤

−

≤

−

≤

−

ω

δ δ

olur. Yani

ω₁(^Dk^(i)f;δ)≤ω₁

(

^f(i);^x−^y

)

elde edilir.

Şimdi i∈N ^için

(φ₀f;x):= f(x)+ f(0) (2.1.21) operatörünü tanımlayalım. Bu operatörün fonksiyona uygulanışının türevi ile operatörün fonksiyonun türevine uygulanışı ile elde edilen sonuçlar aynı değildir.

Gerçekten

( ⁽⁾; ): ⁽⁾( ) ⁽⁾(0)

0

i i

i x f x f

f = +

φ

olur.

f

( )

⁰ sabit olduğundan f⁽ⁱ⁾

( )

⁰ =⁰ olacaktır. Dolayısıyla ( ; )⁽⁾ : ⁽⁾( )

0f x ⁱ = f ⁱ x

φ olarak elde edilir.

Görüldüğü gibi

( ; ) ( ⁽⁾; )

0 ) (

0f x ⁱ φ f ⁱ x

φ ≠ olduğu anlaşılır.

Şimdi bu şekilde tanımlanan operatörün süreklilik modülünü koruduğunu gösterelim.

Teorem 2.1.6 Herhangi bir f ∈X , f⁽ⁱ⁾∈Cⁱ

( )

R ve her u∈R olmak üzere herhangi x,y∈R için

( (

^f;x−u

) )

^{i −}

( (

^f;y−u

) )

^{i ≤} 1

(

^f(i);x−y

)

) ( 0

) (

0 φ ω

φ (2.1.22)

olması halinde δ >0 için

^ω1

( (

^φ0f

)

^(i);δ

)

^≤ω1

(

^f(i);δ

)

eşitsizliği sağlanır.

İspat:

( )

( ) (

0

( ) )

⁽⁾

) (

0 f;x−u ⁱ − φ f;y−u ⁱ

φ = f⁽ⁱ⁾⁽x−u⁾− f⁽ⁱ⁾⁽y−u⁾ sup f⁽ⁱ⁾(x u) f⁽ⁱ⁾(y u)

y x

−

−

−

≤

≤

− δ

^≤ω1

(

^f(i);x−y

)

( )

(

^f;x−u

)

^{i −}

( (

^f;y−u

) )

^{i ≤} 1

(

^f(i);x−y

)

) ( 0

) (

0 φ ω

φ

olur. Buradan δ >0 için her iki yanın supremumu alınırsa ^ω1

( (

^φ0f

)

^(i);δ

)

^≤ω1

(

^f(i);δ

)

olur ki bu da istenilendir.

Şimdi de bu şekilde tanımlanan operatör yardımıyla tanımlanan ^φ0(i)

(

^f

(

^{2−k ⋅}

)

^;u

)

operatörünün ötelemeyi koruduğunu gösterelim.

Teorem 2.1.7 ∀k∈Z, u^,α∈R ve her f⁽ⁱ⁾∈X için, (2.1.21) de tanımlanan operatör için

)) ( 2 )))(

2 ( ( ( ) 2 )))(

2 ( (

(φ₀⁽ⁱ⁾ f ^−k ⋅+α ^ku = φ₀⁽ⁱ⁾ f ^{−k k} ⋅ u+α dir. Yani

(

0

)

⁽⁾

f i

φ operatörü ötelemeyi korur.

İspat:

(2.1.7) ifadesi göz önüne alınarak

(φ0⁽ⁱ⁾(f(2^−k ⋅+α)))(2^ku)=

(

f

(

2^−k ⋅+α

) ( )

; 2^ku

)

⁽ⁱ⁾

^{=2−ki f(i)}

( (

^{2−k ⋅+α}

) (

^{; 2−ku}

) )

=2^−ki f⁽ⁱ⁾(2^−k⋅;2^k(u+α)) =2^−ki f⁽ⁱ⁾(u+α)

=φ₀⁽ⁱ⁾(f(2^−k⋅);(2^k(u+α)))^.

Yani

φ₀⁽ⁱ⁾(f(2^−k ⋅+α;2^ku)=φ₀⁽ⁱ⁾(f(2^−k⋅);2^k(u+α)) elde edilir.

Şimdi de (2.1.21) ile tanımlanan operatörün süreklilik modülünü koruduğunu gösterelim. Yani

^ω1

(

^φ0f;x−y

)

^≤ω1

(

^f;x−y

)

olduğunu gösterelim. Operatörün tanımı gereğince

(

^{( ) (0)}

) (

^{( ) (0)}

)

) (

; ( )

;

( ₀

0 f x−u −φ f y−u = f x−u + f − f y−u + f

φ

= f(x−u)− f(y−u) eşitliği yazılabilir. İki yanın da δ >0 için supremumu alınırsa;

(

^{f x u}

) (

^{f y u}

)

^{f x u f y u}

(

^{f x y}

)

y x y

x

−

≤

−

−

−

≤

−

−

−

≤

−

≤

−

; )

( ) ( sup

;

;

sup φ₀ φ₀ ω₁

δ δ

^ω1

(

^φ0f;x−y

)

^≤ω1

(

^f;x−y

)

elde edilir. Tanımlanan bu operatörler yardımıyla oluşturulan ve

φk

(

^f;^x

)

:=φ₀

(

^f

(

2^−k ⋅

)

;^x

)

(2.1.24) eşitliğini sağlayan operatörler olmak üzere, her x∈R, k∈Z için

Ω_k(f;x):=

∫

^∞ _k(f;u) (2^kx−u)du

∞

−

ϕ

φ (2.1.25)

şeklinde tanımlanan Ω_k pozitif lineer operatörü süreklilik modülünü koruma özelliğine ve Ω_k^(i), i∈N için ötelemenin tüm özelliklerine sahiptir.

τ₀ operatörünü

2) ( : ) )(

( ₀ x

f x

f =

τ (2.1.26) olarak tanımlayalım.

Şimdi bu operatörün i -kez türevini alalım.

olur. Tanım gereğince f fonksiyonun i -kez türevi alınırsa

) elde edilir. Dolayısıyla

( )

0 ⁽⁾

Şimdi bu şekilde tanımlanan operatörün süreklilik modülünü koruduğunu gösterelim.

elde edilir. Bu ise (2.1.28) in gerçeklendiğini gösterir.

şeklinde bir operatör tanımlanabilir. Tanımlanan bu yeni operatörün süreklilik modülünü koruduğunu bir teorem ile gösterelim.

Teorem 2.1.8

İspat için (2.1.29) eşitliğinden faydalanalım

(

^;

)

^{( ; ) ( (2 ); )} 0^{()( (2 ); )}

yazılabilir. Her iki yanınδ >0 için supremumu alırsa;

( ) ( ) ( )

_

( )

^

eşitsizliği elde edilir ki bu istenilendir.

Belgede Türev altında ötelemeyi koruyan tek değişkenli integral operatörler (sayfa 11-27)