Uzay Geometri TMOZ-OZEL Mustafa YAĞCI

Başlıktan korkmayın. Oturduğumuz yerden Dünya ile Mars arasındaki uzaklığı filan ölçecek değiliz. İstersek ölçeriz ama konumuz bu değil. Çünkü bu uzay, o uzay değil. O uzaysa bi- le, işimiz gücümüz gezegenlerle değil, noktalar, doğrular ve düzlemlerle olacak.

P

Geometride tüm noktalar kümesine uzay denir.

Uzayın bir alt kümesi olan düzlem de yine bir noktalar küme- si gibi düşünülebilir. Masanın yüzeyi, duvarın yüzeyi, kitabın yüzü gibi. Düzlem genel olarak bir paralelkenar çizerek ve P, E, F gibi büyük harflerle gösterilir. Yalnız çizime aldanıp düzlemin sonlu olduğu zannedilmesin, düzlem sınırlı olma- yıp, burada sadece çizim olarak gösterilmiştir. P düzlemi ile notlarımızın bu sayfası aynı düzlemi göstermektedir.

2

P A

d

Bir doğru ile bir düzlemin sadece bir ortak noktası varsa doğ- ru düzlemi kesiyordur.

Şeklimizde d doğrusu ile P düzleminin ara kesiti şekilde gös- terildiği üzere A noktasıdır. Zaten bir doğru ile bir düzlem arasında üç ilişki olabilir, ya doğru düzlemin içindedir ya ke- siyordur ya da dışındadır.

3

P A B

Eğer bir doğru ile bir düzlemin ortak iki noktası varsa, doğru düzlemin içindedir.

Doğru düzlemi kesseydi eğer, tek noktada keserdi. İki ortak noktaları varsa, kesmiyor da olamaz. Dolayısıyla ortak iki nokta varsa, tek bir şans kalıyor, doğrunun o düzlemde olma- sı. Sonuç olarak, ortak iki nokta varsa, aslında ortak sonsuz nokta vardır.

4

P arakesit doğrusu

E

İki düzlem eğer kesişiyorlarsa bir doğru boyunca kesişirler.

Bu doğruya arakesit doğrusu denir.

Gazetelikleri ve Kur’an-ı Kerim rahlelerini hayal edebilirsi- niz. Fakat, bu örnekler sınırlı olduğundan arakesit doğru par- çası gibi olur. Buna aldanmayın. Gerçek düzlemler sınırsız olduğundan kesişim de sınırsızdır.

5

P d

l

Aynı düzlem içinde bulunmayan ve birbirini kesmeyen doğ- rulara aykırı doğrular denir.

Şeklimizde d ∩ l = ∅ olup d ile l aykırı doğrulardır. Küpün ayrıtlarından kaç çiftin aykırı olduğunu hesaplamaya çalışı- nız.

6

P A B C

Doğrusal olmayan üç nokta bir düzlem (sadece tek bir düzlem) belirtir.

Aynen tek bir üçgen belirttikleri gibi… Bunları şöyle düşün- mekte fayda olabilir: Bir kağıda doğrusal olmayan üç farklı nokta çizin. O noktaları köşe kabul eden üçgeni kim gelirse gelsin aynı çiziyorsa, demek ki o noktalar tek bir üçgen belirtir.

Ayrıca bir kağıda kondurulmuş 3 nokta, o kağıdın yüzeyi dı- şında bir düzlem belirtemez. Her üç noktayı içeren bir başka düzlemi gösteremeyeceğinize ikna oluncaya kadar çizmeye ça- lışınız. Zira bir aksiyom olduğundan kanıtı yoktur.

7

P d k

Kesişen iki doğru bir düzlem (sadece tek bir düzlem) belirtir.

Doğruların üzerindeki tüm noktaları içeren başka bir düzlem olmadığına ikna olana kadar araştırmaya devam ediniz. So- nunda hidayete ereceksiniz.

8

P A d

Bir doğru ile dışındaki bir nokta, bir düzlem (sadece tek bir düzlem) belirtir.

Hem bu noktayı hem de doğrunun üzerinde bulunan tüm nok- taları içeren başka bir düzlem çizmeye veya hayal etmeye ça- lışınız, başaramayacaksınız.

9

P d

k

Paralel iki doğru da diğerleri gibi sadece tek bir düzlem be- lirtir.

Aslında bu üstteki kuralın bir versiyonudur. Üst şekildeki A noktasını, bu şekildeki d doğrusunun üstünde farzederseniz, bahsi geçen şartları sağlayan P düzleminden başka düzlem olmadığını göreceksiniz.

10

A B

C T

Dördü aynı düzlemde olmayan birbirinden farklı en az dört nokta uzay belirtir.

Uzay belirtmeyi aklınızda şöyle canlandırabilirsiniz. Verilen tüm noktaları ya da doğruları içeren bir düzlem bulamayınca, yani bu verileri bir düzleme sığdıramayınca anlıyoruz ki, hep- sini içine alan bir şey ancak üç boyutlu olabilir. Örneğin, yan- daki şekilde ABC düzlemi T’yi içermiyor, BCT düzlemi A’yı içermiyor, ACT düzlemi B’yi içermiyor, ABT düzlemi de C’yi içermiyor.

11

P A

Bir düzlem ile dışındaki bir nokta uzay belirtir.

Zaten kanıt teoremin içinde gibi. A noktası P düzleminin içinde olmadığından, hem düzlemdeki sonsuz noktayı hem de A noktasını içeren bir düzlem çizmenin mümkünatı yoktur.

Var diyorsanız gösterin.

12

P

d

Bir düzlem ile dışındaki bir doğru uzay belirtir.

Bu da üstteki kuralın bir başka versiyonudur. Üst şekildeki A noktasını, bu şekildeki d doğrusunun üstündeymiş gibi düşünü- nüz. Aynı çıkarım kurallarını burada da uygularsınız.

13

P

E

Kesişen ya da paralel olan iki düzlem uzay belirtir.

Her ikisinin de sebebi aşikar sanırım. Hem P’deki, hem de E’deki tüm noktaları içine alan tek bir düzlem olmasına im- kan olmaması.

14

E P

S A

Bir noktadan birden fazla düzlem geçer.

Geçer dediysek geçebilir manasında dedik. Mesela şekildeki E, P ve S düzlemlerinin ortak noktası A noktasıdır. Bu nokta- dan geçen başka bir düzlemi de siz gösteriniz.

15

P S E T

Bir doğruyu barındıran 1’den çok düzlem vardır.

Yani, bu doğruyu içeren sonsuz farklı düzlemin varlığından sözediliyor. Şekilden de açıkça görüldüğü üzere doğrunun noktalarının tümü T, S, E ve P düzlemlerinin hepsinde de bu- lunuyor. Düzlem sayısını istediğimiz kadar arttırabileceğimizi çoktan anlamış olmalısınız.

16

P

A B

d

E

Farklı iki düzlemin ortak iki noktası varsa, bu noktalardan geçen doğru, her iki düzlemin arakesit doğrusudur.

Zaten o olmayacaktı da ben mi olacaktım? Arakesit doğrusu iki düzlemin tüm ortak noktalarını barındırdığından A ve B noktalarını da mecburen içerir.

17

P A B C E

İki düzlemin doğrusal olmayan, ortak üç noktası varsa bu iki düzlem çakışıktır.

Doğrusal olmayan üç değişik noktanın sadece tek bir düzlem belirteceğini sezgisel de olsa kanıtlamıştık. O halde bu P ve E düzlemleri aynı düzlemdir aslında, biz de böyle aslında aynı olan şeylere matematikte çakışık deriz.

18

P E

d l

Bir d doğrusu P ve E düzlemlerinin arakesit doğrusuna para- lel ise her iki düzleme de paraleldir.

Şeklimizden bakınız: d // l ise d // (P) ve d // (E) olur. Hatta bu arakesit doğrusunu içeren başka düzlemler de çizersek, o düzlemlere de paralel olur. Birinin de içinde olur.

19

P

d

Bir doğru ile bir düzlemin ortak noktası yoksa, doğru düzleme paraleldir.

Bunu zaten daha önce olabilecek üç şıktan biri olarak açıkla- mıştık. Yineleyelim: Tek bir ortak nokta doğru düzlemi kesi- yordur, en az iki ortak nokta varsa, doğru düzlemin içindedir.

20

P d

k

Aynı düzlemde bulunan iki doğrunun ortak noktaları yoksa, bu iki doğru paraleldir.

Bu zaten direkt olarak düzlem geometrinin tanımlarından bi- ridir. Kesişmeyen doğrulara paralel doğrular denir.

21

E P

A

Bir düzleme, dışında alınan bir noktadan yalnız bir paralel düzlem çizilebilir.

Açıklayalım: Düzlemimiz her zamanki gibi P, noktamız da A olsun. A noktasından, P düzleminde kaç farklı paralel doğru çizebiliriz? Sonsuz değil mi? İşte o sonsuz doğrunun oluştur- duğu tek düzlem olan E düzlemi istenen düzlemdir. Başka böyle bir düzlem yoktur.

22

E P

S

Paralel iki düzlemden birine paralel olan düzlem diğerine de paraleldir.

Düzlemlerde paralellik bağıntısının geçişken olduğunu söylü- yor. (P) // (E) ve (E) // (S) ise (P) // (S) dir. Haklı da. Aksi dü- şünülebilir mi? E düzlemi ile P düzlemi arasındaki uzaklık sabittir. E ile S düzleminin de. O halde sonuç olarak P ile S düzlemleri arasındaki uzaklık da sabit çıktı. Bu da istediğimi- ze kavuştuk demek!

23

P E S

İki düzlem ya paraleldir ya da kesişir.

Bir de çakışık olabilirlerdi hani? E, çakışıklarsa paralellerdir zaten. Unutma, her şey kendine paraleldir.

Paralel iki düzlemden birini kesen düzlem, diğerini de keser.

P ile S düzlemleri paralel olsun. E düzlemi P düzlemini kesi- yormuş, o halde P’ye paralel değil, o halde mecburen S’ye de paralel değil. Paralel değilse keseceğini söylemiştik zaten.

24

E P

A B

d

Paralel iki düzlemden birini kesen doğru, diğer düzlemi de keser.

Yukardaki çıkarım kurallarının hepsi burada da geçerlidir.

Uğraşın, yapamazsanız gelin.

25

P d A

Düzlemin dışındaki bir noktadan düzleme yalnız bir dik doğru çizilebilir.

Bunu da tersten kanıtlayalım. A noktasından P düzlemine bir dik indirin. Dikme ayağına B deyin. Başka bir dik daha indi- rin (yok ama siz yine de indirin), onun ayağına da C deyin.

ABC üçgeninin iç açılar toplamı 180^o’den büyük çıktığı için başka bir dikin indirilemeyeceğini anlamış olmalısınız.

26

P d A

Düzlem dışındaki bir noktadan, düzleme dik çizilen bir doğru, düzlemi kestiği noktadan geçen doğruların tümüne dik olur.

Düzlemdeki doğruları bir kalemmiş gibi düşünün ve ufak ufak kalemi çevirmeye başlayın. Her zaman d doğrusuna dik olduğuna ikna olursunuz. Bir parşömen kağıdını hayal edin, kaç derece döndürürseniz döndürün, köşe açılarının dikliği bozulmuyor, değil mi?

27

P

A

Düzlemin dışındaki bir noktadan geçen ve düzleme dik olan birden fazla düzlem vardır.

Şeklimizdeki A noktasından P düzlemine bir dik indirin. Dik- me ayağından geçen ve P üzerinde olan sonsuz doğru oldu- ğunu söylemiştik. İnen dikme ile o sonsuz doğrunun her biri- nin oluşturduğu düzlemler istenen düzlemlerdir.

28

P

dA

Paralel iki doğrudan birini dik kesen doğru, diğerini ya dik keser ya da dik durumlu olur.

Yeni bir kavram var: Dik durumlu olmak. Bu, tam üstünde ol- saydım, seni dik keserdim demek. Ama değilim. Dik durumlu doğrular, aykırıdır.

29

A d

Bir doğrunun üzerindeki bir noktadan, bu doğruya birden faz- la dik doğru çizilebilir.

Bulunduğunuz odada üç duvarın kesiştiği yeri inceleyin. Siga- ra paketi, kibrit kutusu gibi cisimlerin herhangi bir köşesini göz önüne getirin.

n tane doğru bir düzlemi

en az n + 1 bölgeye, en çok

2 2

2 n + +n

bölgeye

ayırır. Bunun kanıtını permutasyon-kombinasyon notlarında yapmıştık. Unutan tekrar oradan öğrenebilir.

30

UZAYDA BAZI GEOMETRİK YERLER

A

B d lk

İki noktaya eşit uzaklıkta olan noktaların kümesi, orta dikme düzlemidir.

Bir doğruya üzerindeki bir noktadan sonsuz farklı doğru çize- bileceğimizi söylemiştik. O halde bir doğru parçasının tam or- ta noktasından, doğruyu dik kesen sonsuz doğru çizilebilir.

Bu doğruların hepsini taşıyan öyle bir düzlem vardır ki ona orta dikme düzlemi deriz. Şekilden görebilirsiniz.

31

P A

B

C T

A, B, C gibi üçü aynı doğru üzerinde olmayan sabit üç nokta- dan eşit uzaklıkta bulunan noktaların geometrik yeri, bu üç noktadan geçen çemberin merkezinden çember düzlemine çı- kılan dik doğrudur. A, B, C noktaları doğrusal değilse, üçgen belirtirler. Her üçgenin çevrel çemberi olduğu gibi bu üçgenin de vardır. Bu çember, noktaların bulunduğu P düzlemindedir.

Çemberin merkezinden P düzlemine çıkılan dikme OT olsun.

TOA, TOB ve TOC birer eş dik üçgen olduklarından hipote- nüsleri eşit boyda olmalıdır. O halde |TA| = |TB| = |TC|.

32

P

E S T

Kesişen düzleme eşit uzaklıktaki noktaların geometrik yeri bu iki düzlemin oluşturduğu iki düzlemli açının açıortay düzle- midir.

S düzlemi üzerinde hangi noktayı alırsanız alın, o noktanın P ve E düzlemlerine olan uzaklıkları eşittir.

33

R O R

C

A B

Sabit bir noktadan eşit uzaklıkta olan noktaların kümesine düzlemde çember, uzayda küre denir.

Üst şekildeki küre, R yarıçaplı olup, O merkezlidir. C küre üzerinde bir nokta ve [AB] çap ise m(ACB) = 90° dir. Bunu zaten çember derslerimizde etraflıca görmüştük.

34

O r

Kürenin bir düzlemle arakesiti bir çemberdir.

Küre kesitinin yüzeyi merkezi O ve yarıçapı r olan bir daire- dir.

35

DİK İZDÜŞÜM A

A'

f

f ' P

P

A B

A' B'

Bir A noktasından bir P düzlemine çizilen dik doğrunun düz- lemi kestiği A′ noktasına, A noktasının P düzlemindeki dik izdüşümü denir.

Bir noktalar kümesinin bir düzlem üzerindeki dik izdüşümü, bütün noktaların bu düzlem üzerindeki dik izdüşümlerin kü- mesidir. Yani bir doğru parçası ya da bir şeklin bir düzlem üzerindeki izdüşümünü bulmak için şeklin tüm noktalarının izdüşümünü almak gerekir.

36

A' B' C' E' D'

A B

C E D

Q P

α

Yandaki izdüşüm şekillerini inceleyiniz. A noktasını dik izdü- şümü A′ noktası f eğrisinin dik izdüşümü f ′ eğrisi, [AB] doğru parçasının izdüşümü [A′B′] doğru parçasıdır.

İki düzlem arasındaki açıya ölçek denir.

(P) ve (Q) düzlemlerinin ölçek açısı α’dır.

37

(P) düzlemindeki ABCD dörtgeninin (Q) düzlemindeki izdü- şümü A′B′C′D′ dörtgenidir.

ABCD ve A′B′C′D′ dörtgenleri eş zannedilmesin, değildir!

Yani (P) düzlemindeki bir çemberin izdüşümü, (Q) düzle- minde bir çember olmayabilir. Olmayabilir dedik, çünkü ba- zen olur.

Örneğin, (P) ve (Q) düzlemleri paralel olursa, (P) düzlemin- deki bir şeklin izdüşümü, (Q) düzleminde yine kendisi olur.

38

İzdüşüm Uzunluğunun ve Alanının Bulunması

A' B' Q P

α A

B

(P) ve (Q) düzlemlerinin ölçek açısı α ise (P) düzlemi içindeki [AB]’nin (Q) düzlemindeki dik izdüşümü [A′B′] ise |A′B′| =

|AB|·cos α olur.

Aslında sebebi çok basit. A noktasından A’B’ doğrusuna bir paralel çizin. BB’ doğrusunu kestiği nokta K olsun. AA’B’K bir dikdörtgen olacağından |A’B’| = |AK| olur. BAK dik üçge- ninde kosinüs tanımı gereği |AK| = |A′B′| = |AB|·cos α.

39

Q P

α

S

S'

(P) ve (Q) düzlemlerinin ölçek açısı α ise (P) düzlemindeki bir bölgenin alanı S, bu bölgenin (Q) düzlemindeki izdüşümü- nün alanı S′ ise S′ = S·cos α olur.

Bunu da şöyle açıklayalım: Bir an için P ve Q düzlemlerinin şekilde paralelkenarlarla gösterildiği gibi sınırlı olduklarını farzedelim. Q düzlem parçası da P düzlem parçasının izdü- şümü olsun. S şekli o paralelkenarın kaçta kaçıysa, S’ şekli de aşağıdaki sınırlı Q paralelkenarının da o kadar da o kadarıdır.

40

Q düzlem parçasının alanının P düzlem parçasının alanının cosα katı olduğunu biliyoruz. Kısa kenar uzunluklarının de- ğişmediğine, uzun kenarların da cosα katına çıktığına dikkat ediniz. O halde istenen kanıtlanmıştır.

PARALELLİK AKSİYOMLARI

1. Uzayda paralel iki doğru bir tek düzlem belirtir.

2. Uzayda bir doğru ve dışında bir nokta verildiğinde veri- len noktadan geçen ve verilen doğruya paralel olan bir tek doğru vardır.

3. Paralel iki doğrudan birini bir tek noktada kesen bir düz- lem, diğer doğruyu da keser.

4. Aynı doğruya paralel olan farklı iki doğru paraleldir.

41

5. Bir düzlemin içindeki bir doğruya paralel olan ve bu düz- lemin dışında bulunan bir doğru bu düzleme paraleldir.

6. Bir doğru bir düzleme paralelse bu düzlemdeki bir A nok- tasından geçen ve bu doğruya paralel olan doğru bu düz- lemin içindedir.

7. Bir doğru bir düzleme paralelse bu düzlemdeki bir A nok- tasından geçen ve bu doğruya paralel olan doğru bu düz- lemin içindedir.

8. Kesişen iki düzlemin her birine paralel olan bir doğru, bu düzlemlerin arakesit doğrusuna paraleldir.

9. Aynı düzleme paralel olan ve kesişen iki doğrunun belirt- tiği düzlem ilk düzleme paraleldir.

42

10. Uzayda bir düzlem ve bu düzlemin dışında bir nokta ve- rildiğinde, verilen noktadan geçen ve verilen düzleme pa- ralel olan bir tek düzlem vardır.

11. Paralel iki düzlemin birinin içindeki her doğru diğer düz- leme paraleldir.

12. Paralel iki düzlemden birine paralel olan bir düzlem diğe- rine de paraleldir.

13. Paralel iki düzlemden birini kesen bir düzlem diğerini de keser ve arakesit doğruları paraleldir.

14. Paralel iki düzlemden birini kesen bir doğru diğerini de keser.

43

UZAYDA DOĞRULARIN VE DÜZLEMLERİN DİKLİĞİ

1. Bir düzlemin kesişen iki doğrusuna kesişme noktasında dik olan bir doğru, bu düzleme diktir.

2. Paralel iki düzlemden birine dik olan bir doğru diğer düz- leme de diktir.

3. Aynı doğruya farklı noktalardan dik olan iki düzlem bir- birine paraleldir.

4. Bir noktadan geçen ve bir doğruya dik olan bir tek düz- lem vardır.

5. Uzayda bir doğru parçasının uç noktalarından eşit uzak- lıkta bulunan noktaların kümesi, bu doğru parçasının orta dikme düzlemidir.

6. Aynı düzleme dik olan iki doğru birbirine paraleldir.

7. Paralel iki doğrudan birine dik olan düzlem diğerine de diktir.

44

8. Bir düzlemin dışındaki bir noktadan geçen ve düzleme dik olan bir tek doğru vardır.

9. Bir düzlemin dışındaki bir noktadan geçen ve düzleme dik olan bir tek doğru vardır.

10. (Üç Dikme Teoremi): Bir düzlemin dışında bulunan bir noktadan bu düzleme ve düzlem içindeki bir doğruya bi- rer dikme çizilirse iki dikme ayağını birleştiren doğru düzlem içindeki doğruya diktir.

11. Bir düzleme dik olan bir doğruyu içinde bulunduran düz- lemler bu düzleme diktir.

12. Paralel iki düzlemden birine dik olan bir düzlem diğerine de diktir.

13. Bir doğru iki düzlemden birine paralel, diğerine dik ise bu iki düzlem birbirine diktir.

45

UZAY KAVRAMI VE KONUM AKSİYOMLARI

1. Uzayda farklı iki doğrunun en çok bir ortak noktası var- dır.

2. Uzayda bir doğru ve bu doğru üzerinde bulunmayan bir nokta bir düzlem belirtir.

3. Uzayda kesişen farklı iki doğru bir düzlem belirtir.

4. Bir doğru, üzerinde bulunmadığı bir düzlemi keserse ara- kesiti bir noktadır.

5. Farklı iki düzlemin bir ortak noktası varsa bu nokta ortak doğru üzerindedir.

6. Farklı iki düzlemin en çok bir ortak doğrusu vardır.

7. Farklı iki düzlem kesişirse, bu düzlemlerin arakesiti bir tek doğrudur.

1.

Aşağıdakilerden hangisi kesin olarak bir düzlem belirt- mez?

A) Üç nokta B) İki nokta C) İki doğru D) Kesişen iki doğru E) Bir nokta ile bir doğru

47

Beş farklı nokta en çok kaç doğru belirtir?

A) 12 B) 11 C) 10 D) 8 E) 6

48

Beş farklı nokta en çok kaç düzlem belirtir?

A) 12 B) 11 C) 10 D) 8 E) 6

49

\³’de herhangi üçü doğrusal olmayan altı nokta kaç düz- lem oluşturur?

A) 25 B) 24 C) 20 D) 18 E) 16

50

Aynı düzlemde bulunan 7 farklı doğru düzlemi en az kaç düzlemsel bölgeye ayırır?

A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8

51

Aynı düzlemde bulunan 10 doğru düzlemi en çok kaç böl- geye ayırır?

A) 56 B) 54 C) 52 D) 50 E) 48

52

Uzayda birbirine paralel 3 doğru ile herhangi üçü doğrusal olmayan 4 nokta en çok kaç düzlem belirtir?

A) 16 B) 18 C) 19 D) 24 E) 32

53

Adedi sabit bir miktar doğru düzlemi en az 9 bölgeye ayırı- yorsa en çok kaç bölgeye ayırır?

A) 35 B) 36 C) 37 D) 38 E) 39

54

Adedi sabit bir miktar doğru bir düzlemi en çok 46 bölgeye ayırıyorsa, bu doğrular bu düzlemi en az kaç bölgeye ayı- rır?

A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10

55

Bir doğru parçasının bir düzlem üzerindeki dik izdüşümü aşa- ğıdakilerden hangisi olabilir?

A) Bir nokta B) Doğru C) İki nokta D) Işın E) Üçgen

56

Bir doğru ile bu doğru üzerinde bulunmayan dört farklı nokta en çok kaç düzlem belirtebilir?

A) 8 B) 9 C) 10 D) 12 E) 15

57

Uzayda aykırı iki doğru ve bunların dışında bir nokta verili- yor.

Verilen noktadan geçen ve aykırı iki doğrunun her birini de kesen kaç doğru çizilir?

A) 0 B) 1 C) 2 D) 4 E) Sonsuz çoklukta

58

Aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?

A) Bir doğru üzerinde sonsuz nokta vardır.

B) Bir düzlem üzerinde sonsuz nokta vardır.

C) Paralel iki düzleme dik sonsuz doğru vardır.

D) Bir noktadan geçen sonlu sayıda doğru vardır.

E) Bir düzlem üzerinde sosuz doğru vardır.

59

Aşağıdaki önermelerden hangisi yanlıştır?

A) Bir düzleme içindeki bir P noktasından sadece bir dik doğ- ru çizilebilir.

B) Bir doğruya üzerindeki noktadan 3 dik düzlem çizilebilir.

C) Paralel iki doğrunun ikisini de kesen bir doğru varsa üç doğru da aynı düzlemdedir.

D) Bir düzleme dışındaki bir noktadan bir dikme inilir.

E) Bir doğru bir düzleme dik ise, doğruyu içine alan her düz- lemde bu düzleme diktir.

60

Aşağıdaki koşullardan hangisi, farklı iki doğrunun paralel olmasına yeter?

A) Birbirine paralel farklı iki düzlemin içinde bulunması.

B) Birbirine dik iki düzlemin içinde bulunmaları.

C) Aynı doğruya dik olmaları.

D) Arakesitlerinin boş küme olması

E) Aynı doğruya paralel olan iki doğru olması.

61

Aşağıdakilerden hangisi doğru değildir?

A) Bir düzlemin içinde alınan bir noktadan geçen ve düzleme dik olan bir tek doğru vardır.

B) Bir düzlemin dışındaki bir noktadan geçen ve düzleme dik olan bir tek doğru vardır.

C) Aynı düzleme dik olan doğrular birbirine paraleldir.

D) Uzayda bir doğru parçasının, uç noktalarından eşit uzak- lıkta bulunan noktaların kümesi orta dikme doğrusudur.

E) Paralel iki doğrudan birine dik olan düzlem diğerine de diktir.

62

Uzay ile ilgili aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

A) Herhangi bir doğru üzerinde sınırlı sayıda nokta vardır.

B) Düzlemde bir noktadan sınırlı sayıda doğru geçer.

C) Uzayda bir doğrudan sınırlı sayıda düzlem geçer.

D) Uzayda bir noktadan sınırlı sayıda düzlem belirlenir.

E) Düzlemde bir doğruya paralel sınırsız doğru vardır.

63

Aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?

A) Düzlemde bir doğruya dışındaki bir noktadan bir tane pa- ralel doğru çizilebilir.

B) Düzlemde bir doğruya dışındaki bir noktadan bir tek dik- me çizilebilir.

C) Düzlemde aynı doğruya dik olan iki doğru birbirine para- leldir.

D) Düzlemde birbirine paralel olan doğrulardan birbirine pa- ralel olan doğru diğerine de paraleldir.

E) Düzlemde kesişen iki doğrudan birine dik olan doğru diğe- rine de diktir.

64

Aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?

A) Bir doğruya üzerindeki bir noktadan yalnız bir dikme çıkı- lır.

B) Paralel iki doğru bir düzlem belirtir.

C) Farklı iki noktadan bir doğru geçer.

D) Kesişen farklı iki düzlemin bir ortak doğrusu vardır.

E) Yalnız bir ortak noktası olan doğrular kesişen doğrulardır.

65

\³’de aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur?

A) Aynı düzleme dik iki düzlem birbirine paraleldir.

B) Paralel iki doğrudan birini kesen bir düzlem diğerine para- lel olur.

C) Aynı düzlemde olup birbirini kesmeyen doğrulara aykırı doğrular denir.

D) İki noktadan eşit uzaklıktaki noktalar aynı düzlem üzerin- dedir.

E) Bir doğru bir düzleme dik değilse doğrunun bu düzlem üzerindeki dik izdüşümü bir noktadır.

66

Aşağıdakilerden kaç tanesi doğrudur?

I. Paralel iki doğrudan birine paralel olan doğru diğerine de paraleldir.

II. Paralel iki düzlemden birine dik olan doğru diğerine de diktir.

III. Aynı doğruya dik olan düzlemler birbirine paraleldir.

IV. Uzayda paralel iki doğrudan birini dik kesen doğru, di- ğerine ya dik, ya da dik durumludur.

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

67

\³’de aşağıdakilerden hangileri yanlıştır?

I. Üç düzlemin arakesit doğruları en fazla 2 tanedir.

II. Bir noktaya eşit uzaklıktaki noktalar bir düzlem belirtir.

III. Bir doğruya üzerindeki bir noktadan sonsuz tane dikme çıkılır.

IV. Düzlem üzerinde olmayan bir doğru düzlem içindeki bir doğruya dik ise düzlemle arakesiti bir noktadır.

A) I, II, IV B) I, III, IV C) I, IV D) I, II E) II, IV

68

\³’de aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?

A) Düzlemde paralel iki doğrudan birine paralel olan herhan- gi bir doğru diğerine de paraleldir.

B) Aynı doğruya paralel olan farklı iki doğru birbirine para- leldir.

C) Düzlemde paralel iki doğrudan birine dik olan doğru diğe- rine de diktir.

D) Paralel iki düzlemi üçüncü bir düzlem kesiyor ise oluşan arakesitler birbirine paraleldir.

E) Paralel iki doğrudan geçerek kesişen iki düzlemin arakesi- ti, bu doğrulara dik doğrudur.

69

Düzlemde bir d doğrusu ve bu doğrudan 5 cm uzaklıkta bir A noktası veriliyor.

A noktasına 8 cm, d doğrusuna 3 cm uzaklıktaki noktala- rın geometrik yeri aşağıdakilerden hangisidir?

A) Doğru parçası B) Çember yayı C) Üç nokta D) İki nokta E) Dört nokta

70

\²’de aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?

A) Aynı doğruya dik olan iki doğru birbirine paraleldir.

B) Paralel iki doğruya paralel olmayan üçüncü doğru mutlaka diğer doğruları keser.

C) Doğrunun üzerindeki bir noktadan geçen ve bu doğruya dik olan bir tek doğru vardır.

D) Paralel iki doğrudan birine paralel olan bir doğru diğerine de paraleldir.

E) Doğrunun dışındaki bir noktadan bu doğruya birden fazla dik doğru çizilebilir.

71

Aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?

A) Paralel iki doğrudan birini dik kesen düzlem diğerine dik- tir.

B) Çakışık doğruların ortak en az iki noktası vardır.

C) Paralel iki doğru yalnız bir düzlem belirtir.

D) İki doğrunun ortak bir noktası var ise bu doğruları üzerin- de bulunduran bir düzlem vardır.

E) Birbirini kesmeyen iki doğrunun içinde bulundukları düz- lemler birbirine daima paraleldir.

72

\³’de aşağıdakilerden hangisi yanlış olabilir?

A) Bir doğrunun iki düzlem üzerindeki izdüşümü aynı ise bu doğru iki düzlemin açıortay düzlemi içindedir.

B) İki noktanın ortak doğruları çakışıktır.

C) Bir şeklin verilen bir düzlem üzerindeki dik izdüşümü ken- disiyle aynı ise şekil düzleme paraleldir.

D) iki doğrunun bir düzlemdeki dik izdüşümleri kesişiyorsa doğrularda kesişiyordur.

E) Bir doğru kesişen iki düzlemin arakesit doğrusuna dik ise düzlemlerin içinde olmayabilir.

73

A, B, C uzayda verilen doğrular ise aşağıdakilerden han- gisi daima doğrudur?

A) A ⊥ B ve B ⊥ C ise A // C’ dir.

B) A ⊥ B ve B ⊥ C ise A ⊥ C’dir.

C) A // B ve B ⊥ C ise A ⊥ C’dir.

D) A // B ve A ⊥ C ise B ∩ C = ∅ E) A // C ve A ⊥ B ise C ∩ B ≠ ∅

74

\²’de aşağıdaki önermelerden hangisi yanlıştır?

A) Aynı doğruya paralel olan iki doğru, birbirine paraleldir.

B) Aynı doğruya dik olan iki doğru, birbirine paraleldir.

C) Paralel iki doğrudan birine dik olan doğru, diğerine de dik- tir.

D) Aynı düzlemde kesişen iki doğrunun iki tane ortak noktası vardır.

E) Paralel iki doğru arasındaki uzaklık, bunlara dik olan doğ- ru parçasının uzunluğudur.

75

\³’de aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?

A) Bir düzleme dışındaki bir noktadan sadece 1 tane paralel düzlem çizilir.

B) İki paralel doğrudan biri kesen doğru diğerini kesmeyebi- lir.

C) Dört düzlem uzayı en çok 14 bölgeye ayırır.

D) Doğrusal olmayan üç nokta bir düzlem belirtir.

E) Farklı iki düzlem kesişirse bu düzlemlerin arakesiti bir noktadır.

76

Bir E düzlemine teğet ve yarıçap uzunlukları 4 cm olan kürelerin merkezlerinin geometrik yeri aşağıdakilerden hangisidir?

A) E’ye dik bir düzlem.

B) E’ye paralel bir düzlem.

C) E’ye 4 cm uzaklıkta paralel iki düzlem.

D) E’ye 4 cm uzaklıkta paralel iki doğru.

E) E’ye dik bir doğru.

77

\²’de aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?

A) Bir noktadan sonsuz doğru geçer.

B) Düzlemde farklı üç doğru farklı üç noktada kesişebilir.

C) Düzlemde farklı iki doğru ya paraleldir ya da kesişir.

D) Bir düzlemde üç doğru düzlemi en az 4, en çok 8 bölgeye ayırır.

E) Düzlemde paralel iki doğrudan birine dik olan doğru diğe- rine de diktir.

78

\³’de iki doğru aynı düzlemin elemanı iseler aşağıdaki- lerden hangisi söylenemez?

A) İki doğru tek noktada kesişebilir.

B) İki doğru dik olabilir.

C) İki doğru aykırı olabilir.

D) İki doğru paralel olabilir.

E) İki doğru düzlemi 4 bölgeye ayırabilir.

79

\³’de aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?

A) Paralel iki düzlem uzay belirtir.

B) Kesişen iki düzlem uzay belirtir.

C) Bir düzleme dışındaki bir noktadan sonsuz sayıda paralel doğru çizilebiir.

D) Kesişen iki düzlemin bir ortak noktası varsa, düzlemler çakışıktır.

E) Paralel iki düzlemden birine paralel olan düzlem, diğerine de paraleldir.

80

\³’de aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

A) Paralel iki doğrudan birine dik olan doğru diğerine de dik- tir.

B) Bir doğru ve dışındaki bir nokta bir düzlem belirtir.

C) İki düzlem bir noktada kesişir.

D) Bir doğru düzleme paralel ise düzlemdeki bütün doğrulara da paraleldir.

E) Aykırı iki doğru bir düzlem içindedir.

81

I. Farklı iki düzlemin arakesiti varsa bu bir doğrudur.

II. Bir doğrudan sonsuz tane düzlem geçer.

III. Farklı iki düzlemin ortak iki noktası varsa bu iki düz lem çakışıktır.

Yukarıdakilerden hangisi veya hangileri doğrudur?

A) Yalnız I B) Yalnız II C) I ve II D)Yalnız III E) I ve III

82

\³’de verilen üç düzlem için aşağıdakilerden hangisi yan- lıştır?

A) Üç düzlemin arakesiti yalnız iki nokta olabilir.

B) İki düzlem dikse üçüncüsü her ikisine de dik olabilir.

C) Düzlemlerin arakesiti bir doğru olabilir.

D) Düzlemler üç paralel doğru boyunca kesişebilir.

E) Düzlemlerin arakesiti yalnız bir nokta olabilir.

83

Aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır?

A) Paralel iki düzlemden birini kesen düzlem diğerini de ke- ser.

B) Paralel iki düzlemden birin kesen doğru diğerini de keser.

C) Paralel iki düzlemden birinin içindeki her doğru diğer düz- leme paraleldir.

D) Aynı düzleme paralel olan ve kesişen iki doğrunun belirt- tiği düzlem bu düzlemi keser.

E) Uzayda bir noktadan geçen ve verilen bir düzleme paralel olan bir tek düzlem vardır.

84

\³’de aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?

A) Farklı iki noktayı üzerinde bulunduran bir tek doğru var- dır.

B) Doğru ile düzlemin bir ortak noktası varsa doğru düzlem içindedir.

C) Her doğru üzerinde olmayan en az bir nokta vardır.

D) Düzlemde farklı iki doğrunun en çok bir ortak noktası var- dır.

E) Farklı iki doğrunun, ortak noktası bu doğruların kesişme noktasıdır?

85

Bir düzlemdeki farklı doğrularla ilgili ifadelerden hangisi her zaman yanlıştır?

A) Bir düzlemdeki beş doğru bir noktada kesişebilir.

B) Bir düzlemdeki dört doğru ikişer ikişer kesişebilir.

C) Bir düzlem içindeki dört doğrudan üçü kesişirse, dördüncü doğru bunlara paralel olabilir.

D) Bir düzlemdeki dört doğru birbirine paralel olabilir.

E) Bir düzlem içindeki doğruların ortak ikişer noktaları varsa bu doğrular çakışıktır.

86

Aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?

A) Paralel iki düzlemden birine dik olan düzlem diğerine de diktir.

B) Bir düzleme paralel olan bir doğru düzlemin içindeki bir doğruya paraleldir.

C) Paralel düzlemlerin üçüncü bir düzlemle arakesitleri birbi- rine paraleldir.

D) Bir düzleme paralel bir doğrunun düzlem üzerindeki izdü- şümü noktadır.

E) Bir düzleme dik bir doğrunun düzlem üzerindeki izdüşümü bir noktadır.

87

I. Paralel iki doğru bir tek düzlem belirtir.

II. Kesişen iki doğru bir tek düzlem belirtir.

III. 4 paralel doğru ikişer ikişer seçilirse 5 farklı düzlem olu- şur.

Yukarıdakilerden hangisi ya da hangileri doğrudur?

A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) I ve II E) I, II ve III

88

\³’de aşağıdaki önermelerden hangisi yanlıştır?

A) Bir doğruya eşit uzaklıktaki noktalar silindirik bir yüzey oluşturur.

B) Uzayda iki aykırı doğruya bir ortak dikme çizilebilir.

C) Paralel iki düzlemden birine dik olan düzlem diğerine pa- raleldir.

D) Aynı düzleme dik olan paralel iki düzlemin üçüncü düz- lemle arakesitleri paraleldir.

E) Bir düzleme dik olmayan bir doğrunun bu düzlem üzerin- deki dik izdüşümü yine bir doğrudur.

89

\³’de aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

A) Kesişen iki düzlemin arakesit doğrusuna paralel olan bir doğru düzlemlere de ayrı ayrı paraleldir.

B) Paralel iki düzlemden birini kesen doğru diğerini de keser.

C) Bir düzleme dik olan düzlemler birbirine paraleldir.

D) Bir doğru bir düzlem içindeki bir doğruya dikse düzleme de diktir.

E) Bir düzleme dik olan d doğrusundan geçen düzlemler diğer düzleme paraleldirler.

90

\³’de aşağıdaki önermelerden kaç tanesi doğrudur?

I. Dik düzlemden birine paralel olan düzlem diğerine dik- tir.

II. Paralel iki doğrudan eşit uzaklıktaki noktalar düzlem be- lirtir.

III. İki noktadan eşit uzaklıktaki noktalar düzlem belirtir.

IV. Bir düzlem bir doğruya dik ise bu doğrudan geçen son- suz düzleme de diktir.

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

91

Bir düzlem içindeki farklı üç doğrunun birbirine göre du- rumu için aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?

A) Üç doğru bir noktada kesişebilir.

B) Üç doğru ikişer ikişer kesişebilir.

C) İkisi paralel olup, üçüncü doğru bunlardan birine dik ve diğerine paralel olabilir.

D) Üç doğru birbirine paralel olabilir.

E) Bu üç doğrunun kesim noktaları iki tane olabilir.

92

\³’de aşağıdakilerden hangileri daima doğrudur?

I. Aynı düzleme dik iki düzlem birbirine paralel ise üçüncü düzlemle arakesitleri de paraleldir.

II. Bir doğru paralel iki doğrudan birini kesiyor ise diğerini de keser.

III. İki düzlem bir düzleme dik ise birbirlerine paraleldir.

IV. Bir düzlem içindeki bir şeklin başka bir düzlem üzerin- deki dik izdüşümü aynı ise iki düzlem birbirine paraleldir.

V. Kesişen iki düzlem aynı düzleme dik ise bunların arake- siti de aynı düzleme diktir.

A) I, II, IV B) I, IV, V C) I,V D) I, II, III E) I, III, V

93

Aşağıdakilerden kaç tanesi doğrudur?

I. Dördü aynı düzlemde olmayan dört nokta uzay belirtir.

II. Bir düzlem ile dışındaki bir nokta uzay belirtir.

III. Bir düzlemle dışındaki bir doğru uzay belirtir.

IV. Farklı iki düzlem uzay belirtir.

V. Paralel iki düzlem uzay belirtir.

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

94

\³’de aşağıdakilerden hangisi veya hangileri doğrudur?

I. Paralel iki düzlemden birine paralel olan doğru diğerine de paraleldir.

II. Birbirine dik olan iki düzlemden birini kesen doğru diğer düzleme diktir.

III. Paralel iki düzlemden birini kesen doğru diğerini de ke- ser.

A) I B) II C) I − III D) III E) II − III

95

\³’deki Q ve P düzlemleri için hangisi yanlıştır?

A) Q ve P’nin en az bir ortak noktaları varsa bu iki düzlemin arakesiti bir doğrudur?

B) Q ve P’nin doğrusal olmayan üç tane ortak noktaları varsa bu iki düzlemin başka ortak noktaları yoktur.

C) Q⊂Pise ancak ve ancak Q P= ’dir.

D) Q ve P farklı düzlemler ise (Q ∩ P) kümesinin sonsuz çok- lukta elemanı olabilir.

E) Q ve P’nin doğrusal üç tane ortak noktaları varsa bu iki düzlem eşit olmayabilir.

96

Ölçek açısı 45^o olan iki düzlemden birinin içinde bir nokta alınıp, diğer düzleme dikme çiziliyor.

Noktanın düzleme uzaklığı 4 birim olduğuna göre nokta- nın arakesit doğrusuna olan uzaklığı kaç birimdir?

A) 7 2 B) 6 2 C) 5 2 D) 4 2 E) 3 2

97

Ölçek açısı 45^o olan iki düzlemden birinde 6 br yarıçaplı dai- renin diğer düzlem üzerindeki izdüşümünün alanı kaç π birimkaredir?

A) 14 2 B) 16 2 C) 18 2 D) 20 2 E) 22 2

98

P ve E düzlemleri arasındaki ölçek açı 30^o dir.

P düzlemi içinde alınan 8 cm çaplı bir dairenin E düzlemi üzerindeki izdüşümünün alanı kaç cm²’dir?

A) 4π B) 8π C) 12π D) 8 3π E) 16 3π

99

Bir düzlemle 30^o’lik açı yapan 10 birim uzunluğundaki bir doğru parçasının bu düzlem üzerindeki dik izdüşümünün uzunluğu kaç birimdir?

A) 5 3 B) 4 3 C) 3 3 D) 2 3 E) 3

100

P ve E düzlemleri arasındaki açı 30^o’dir.

P düzleminde bulunan ABCD dikdörtgeninin E düzlemi üzerindeki izdüşüm alanı 30 birimkare olduğuna göre Alan(ABCD) kaç birimkaredir?

A) 20 B) 20 3 C) 30 D) 30 3 E) 60

101

Dik kenarı 3 2 br olan ABC ikizkenar dik üçgeninde A dik köşesinden ABC düzlemine çizilen dikme üzerinde |AP| = 4 br olan P noktası alınıyor.

PBC üçgeninin alanı kaç cm²’dir?

A) 15 B) 18 C) 28 D)30 E) 36

102

ABCD dikdörtgeninin AB’den geçen bir düzlem üzerindeki dik izdüşümü ABC′D′ karesidir.

A(ABCD) = ²

3 ·A(ABC′D′) ise iki düzlem arasındaki açı kaç derecedir?

A) 15 B) 30 C) 45 D) 60 E) 75

103

Kenar uzunluğu 6 3 br olan ABC eşkenar üçgeni ve üçgen düzlemi dışında bir O noktası alınıyor.

G üçgenin ağırlık merkezi olup, [OG] ⊥ (ABC) ve |OG| = 8 br ise |OA| kaç birimdir?

A) 8 B) 9 C) 10 D) 12 E) 13

104

Dik köşesi A ve dik kenarları 3 2 cm olan ABC ikiz kenar dik üçgeninin düzlemine aynı tarafta B ve C köşelerine dikler çiziliyor.

|BB′| = |CC′| = a alındığında AB′C′ üçgeni eşkenar ise a kaç cm olur?

A) 9 B) 8 C) 6 2 D) 6 E) 3 2

105

Bir ABC eşkenar üçgeninin çevrel çemberinin O merkezinden üçgen düzlemine bir OK dikmesi çiziliyor.

Üçgenin bir kenarı 10 3 cm ve |OK| = 69 cm olduğuna göre |KA| kaç cm’dir?

A) 18 B) 16 C) 15 D) 13 E) 12

106

Bir E düzlemi ve E düzlemine 15 cm uzakta bir P noktası alı- nıyor. P noktasının dikme ayağı O merkez olmak üzere düz- lemde O merkezli 9 cm yarıçaplı bir çember çiziliyor.

Çemberin üzerindeki bir A noktasına |AB| = 3 2 br olan [AB] teğeti çizilirse |PB| kaç br olur?

A) 15 B) 16 C) 18 D) 20 E) 24

107

|AB| = |AC| = 6 br olan ABC ikizkenar üçgeninde m(ABC) = 120° dir. A noktasında ABC düzlemine çıkılan dikme üzerinde

|AP| = x olmak üzere P noktası alınıyor.

m(CPB) = 90° ise x kaçtır?

A) 3 B) 3 2 C) 4 D) 4 2 E) 6

108

Yandaki şekilde (E) // (F) ve d1 ∈ (E) d2 ∈ (F)

olmak üzere aşağı- dakilerden hangisi yanlıştır?

A) d1 doğrusu (F)’ye paraleldir.

B) d2 doğrusu (E)’ye paraleldir.

C) (E) ve (F)’nin ortak noktası yoktur.

D) d1 ve d2 doğruları paralel olabilir.

E) d1 ve d2 doğruları daima aykırıdır.

E F

d d

1 2

109

[AB] doğru parçası (E) düzlemi tara- fından |AC| : |BC| = 3 : 5 olacak şekil- de C noktasında kesilmektedir. Doğru ile düzlem arasındaki açı 45^o’dir.

[AC]’nin düzlem üzerindeki dik iz- düşümünün uzunluğu 3 2 br ise [BC] kaç birimdir?

A) 6 B) 8 C) 10 D) 12 E) 16 E

A C

B

110

Yandaki şekilde [BC]’nin (E) üzerin- deki izdüşüm uzunlu- ğu 5 br’dir.

|CB| = |BL| = 10 br ise |AC| kaç br’dir?

A) 20 B) 30 C) 35 D) 40 E) 45 E

A B

K L

d

111

Şekilde ABCD kare, [PA] ⊥ (ABCD)

olduğuna göre bu şekilde kaç tane dik üçgen vardır?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 A

B C

D

112

67.

Yanda verilen üç boyutlu şekilde kaç tane iki düzlemli açı vardır?

A) 20 B) 16 C) 14 D) 12 E) 10

A

B C

D P

113

Şekilde (ABC) ⊂ E [OA] ⊥ E

|AB| = |AC|

|BC|= 6 2 br.

PBC üçgeninin eşke- nar olması için |PA|

kaç br olmalıdır?

A) 3 B) 3 2 C) 3 3 D) 3 5 E) 6 A

B C P

E

6 2

114

Şekilde [AB] ⊥ F [CD] ⊥ E

|AB| = 3 cm

|BC| = 6 cm

|CD| = 5 cm

olduğuna göre düzlemler üzerinde hareket eden bir karınca A’dan D’ye en az kaç cm yol alır?

A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14 E F

A B C

D

3 6

5

115

Şekilde, [AB] ⊥ F ve [DC] ⊥ E

|AB| = 2 cm

|BC| = 5 cm

|CD| = 3 cm

olduğuna göre E ve F düzlemleri çakışık değilse, düzlemler üzerinde hareket etmek koşuluyla A ile B arası en kısa kaç cm’dir?

A) 13 B) 15 C) 17 D) 18 E) 20 E F

A B C

D

2 5

3

116

d doğrusu E ve F düzlemlerinin ara- kesit doğrusudur. Düzlemlerin ölçek açısı 120^o’dir.

[AB] ⊥ d, [BC] ⊥ d,

|AB| = 3 cm,

|BC| = 5 cm

Yukarıda verilenlere göre aşağı- dakilerden hangisi |AB|’nin değe- ridir?

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 E F

A C

3 5

120^o

B

d

117

72.

[PA] ⊥ (E) [CB] ⊥ [AB]

|CB| = 3 cm

|PC| = 6 cm

|PA| = 3 2 cm

Yukarıda verilenlere göre |AB| kaç cm dir?

A) 2 B) 3 C) 3 2 D) 3 3 E) 4 2 E

P

B A

C

118

73.

Şekildeki düzlemde;

[AB] ⊥ (E) [DC] ⊥ (E)

|AB| = 6 br

|CD| = 9 br

|BC| = 8 br olduğuna göre

|AD| kaç br’dir?

A) 13 B) 15 C) 17 D) 19 E) 21 E

A

C B

D P

119

Şekilde [PA] ⊥ (E)

n ^o

( ) 29 m PBA =

n ^o

( ) 31 m PCA =

n ^o

( ) 58 m PDA =

|PB|, |PC| ve |PD| için aşağıdakilerden hangi- si doğrudur?

A) |PB| > |PC| > |PD| B) |PB| > |PD| > |PC|

C) |PD| > |PC| > |PB| D) |PD| > |PB| > |PC|

E) |PC| > |PB| > |PD|

E

P

A

B C

31 D

58

29

o o o

120

Şekilde; [PA] ⊥ (E),

|PD| < |PC| < |PB|

olduğuna göre aşağı- daki sıralamalardan hangisi doğrudur?

A) |AC| < |AB| < |AD|

B) |AB| < |AC| < |AD|

C) |AD| < |AB| < |AC|

D) |AB| < |AD| < |AC|

E) |AD| < |AC| < |AB|

E

P

A

B C

D

121

76.

Şekildeki üç farklı pa- ralelkenar düzlem par- çasının PA kenarları ortaktır.

|PM| = 13 cm

|PK| = 6 cm olduğuna göre

|PL| = x değerinin

alabileceği tamsayı değerleri toplamı kaçtır?

A) 76 B) 70 C) 60 D) 57 E) 51 E

P

A

B C

D K M L

6

13 x

122

Şekilde [PA] ⊥ (E) [CA] ⊥ d

|PB| = 13 br

|PA| = 12 br

|PC| = 200 br olduğuna göre |BC|

kaç birimdir?

A) 14 B) 13 C) 12 D) 11 E) 9 E

12 13 200

P d A

B C

123

Şekilde [PA] ⊥ (E) [BA] ⊥ [AC]

Aşağıdakilerden kaç tanesi doğrudur?

I. |PB| = |AB| II. PB = 3 BA III. [AP] ⊥ [PC]

IV. [PA] ⊥ [BA] V. |BA| = 2|PB|

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 E

P A B

d

k C

124

Şekilde [AB] ⊥ (E) [BD] ⊥ [DC]

n o

( ) 30 m BAC =

n o

( ) 60 m DBC =

|DC| = 2 3 br olduğuna göre

|AD| kaç br’dir?

A) 8 B) 6 C) 3 13 D) 2 13 E) 13 E

60 30

o o

P

A

B C

125

80.

Şekildeki (E) düz- lemi [AB]’nin orta dikme düzlemidir.

[BP] ∩ (E) = D ve

|AD| = 4 br

|DP| = 6 br olduğuna göre [BP] kaç br’dir?

A) 10 B) 12 C) 13 D) 14 E) 17 E

A

C

B D

P

126

ABC üçgeninde E düzlemi [AB]’nin orta dikme düzlemi- dir.

[DB] ⊥ [AB]

|AD| = 34 br,

|AB| = 30 br olduğuna göre

|PC| kaç br’dir?

A) 8 B) 9 C) 10 D) 12 E) 15 E

C

D B P

127

[AP] ⊥ E, d ∈ E ve [PH] ⊥ d

|CH| = 5 cm

|PA| = 10 cm

|PH| = 2 61 cm Yukarıda verilenle- re göre |AC| kaç cm dir?

A) 18 B) 16 C) 15 D) 14 E) 13 E

d P

A C

H

128

Şekilde bir kenarı 4 2 m olan kare şeklindeki bahçe- nin tam ortasına 5 m uzunluğunda bir direk ve köşelerine de 1 m uzunluğun- da dört direk diki- liyor.

Direklere şekildeki gibi gerilen elektrik kablosu kaç met- redir?

A) 20 B) 24 C) 28 D) 32 E) 36

5

4 2 1

G P A

B C

D K N

L M

129

84.

ABC eşkenar üçgeninin G ağırlık merkezinden üçgen düzlemine dik PG dikmesi çi- ziliyor.

|PG| = 8 br

|AB| = 6 3 br

olduğuna göre |PC| + |PB| + |PA| toplamı kaçtır?

A) 10 B) 20 C) 30 D) 40 E) 60 A

B G C

P

130

Şekildeki ABC eşkenar üçgeninde

CD ⊥ AB

|CD| = 2 3 cm

|BD| = 3 cm ve [PA] ⊥ (ABC) olduğuna göre

|CH| kaç cm dir?

A) 10 B) 5 C) 5 3 D) 4 E) 3 3 E

P

A

B C

D

131

86.

Şekilde ABCD bir karedir.

[PQ] ⊥ (ABCD)

|BQ| = |QC|

|AB| = 4 2 birim

|PQ| = 4 birim

olduğuna göre Alan(APD) kaç birimkaredir?

A) 4 6 B) 16 C) 32 D) 8 6 E) 36 E

A

B C

D P

Q

4 4 2

132

87.

Şekilde;

|AB| = |AC| = 10 br

|BC| = 12 br DBEC kare ise A noktasının E köşesine uzak- lığı kaç cm’dir?

A) ³

2 B) 3 C) ^{3 3}

2 D) 2 3 E) ^{5 3} 2 A

B D C

E

10

10 12

60^o

133

Şekilde ABC eşke- nar üçgeninin (E) düzlemi üzerindeki dik izdüşümü KBC üçgenidir.

|BL| = |LC|,

|AL| = 2 3 cm

n o

( ) 30 m ALK =

olduğuna göre KBC üçgeninin alanı kaç cm²’dir?

A) 4 3 B) 4 2 C) 3 2 D) 3 3 E) 2 3 A

B

C

F

K E

30^o

L

134

ABC ikizkenar üç- geninde

|AB| = |AC| = 10 cm

|BC| = 12 cm

|AK| = 6 cm [AK] ⊥ E

olduğuna göre Çevre(KBC) kaç cm’dir?

A) 20 B) 24 C) 28 D) 32 E) 36 B

C

F

K E

10 12

135

90.

ABC eşkenar üç- geninin A köşesi- nin E düzlemi üzerindeki dik iz- düşümü K’dir.

[BK] ⊥ [KC]

|AC| = 6 2 br

olduğuna göre |AK| kaç birimdir?

A) 3 B) 2 3 C) 6 D) 6 2 E) 6 3 A

B D C

F

K E

6 2

136

Şekildeki ABC üçgeni bir kenarı 12 cm olan bir eş- kenar üçgendir.

ABC üçgen düz- lemiyle (E) düz- lemi arasındaki açı 60^o’dir.

ABC üçgeninin dik izdüşümü KBC üçgeni olduğuna göre KBC üçgeninin çevresi kaç birimdir?

A) 12 6 13+ B) 18 C) 12 2 13+ D) 20 13 E) 38 A

B D C

E

12 60^o

K

F

137

ABC eşkenar üçge- ninin E düzlemi üzerindeki dik iz- düşümü bir dik üç- gendir.

|AK| = 12 cm ol- duğuna göre |KB|

kaç cm dir?

A) 12 B) 12 2 C) 13 2 D) 16 2 E) 18 2 A

B D C

F

K E