ESEN GEOMETRİ

(1)

GEOMETRİ

ÜÇRENK

SORU BANKASI

Mil li Eği tim Ba kan lı ğı Ta lim ve Ter bi ye Ku ru lu Baş kan lı ğı’nın 03.11.2011 ta rih ve 158 sa yı lı ka ra rı ile ka bul edi len ve 2012-2013 Öğ re tim Yı lın dan iti ba ren uy gu la na cak olan prog ra ma gö re ha zır lan mıştır.

Nevzat ASMA

www.nevzatasma.com

Halit BIYIK

www.halitbiyik.com

ÜÇRENK ESEN

(2)

Dizgi, Grafik, Tasarım Esen Dizgi Servisi

Görsel Tasarım

Erol Faruk Yücel – Vedat Polat

Bu kitabın tüm hakları yazarına ve Esen Basın Yayın Dağıtım Limitet Şirketine aittir. Kitabın tamamının ya da bir kısmının elektronik, mekanik, fotokopi ya da herhangi bir kayıt sistemiyle çoğaltılması, yayımlanması ve depolanması yasaktır.

Genel Koordinatör

Akın Ateş

Eğitim Koordinatörü - Editör

Nevzat Asma

Eğitim Koordinatör Yardımcısı

Halit Bıyık

www.esenyayinlari.com.tr

Baskı

Bahçekapı Mah. 2460. Sok. Nu.:7 06369 Şaşmaz / ANKARA Tel : (0312) 278 34 84 (pbx) www.tunamatbaacilik.com.tr

Sertifika No: 16102

İsteme Adresi

ESEN BASIN YAYIN DAĞITIM LTD.ŞTİ.

Bayındır 2. Sokak No.: 34/11-12 Kızılay/ANKARA Telefon: (0312) 417 34 43 – 417 65 87

Faks: (0312) 417 15 78 ISBN : 978–605–5559–67–0

Baskı Tarihi 2012 – VIII

ÜÇRENK ESEN

(3)

kırmızı renklerle belirtilmiş olmasıdır.

Konuyu öğrenme aşamasında sarı testleri, konuya hakim olduktan sonra mavi testleri ve konu ile ilgili eksiğinizin kalmadığını düşündüğünüzde kırmızı testleri çözmenizi tavsiye ediyoruz.

Bugüne kadar olduğu gibi, bundan sonrada sizlere en güzelini sunmanın çabası içinde olacağız.

Sağlıklı mutlu ve başarılarla dolu günler geçirmeniz dileğiyle…

Nevzat ASMA Halit BIYIK

www.nevzatasma.com www.halitbiyik.com

(4)

Ey Türk gençliği! Birinci vazifen, Türk istiklâlini, Türk cumhuriyetini, ilelebet, muhafaza ve müdafaa etmektir.

Mevcudiyetinin ve istikbalinin yegâne temeli budur. Bu temel, senin, en kıymetli hazinendir. İstikbalde dahi, seni, bu hazineden, mahrum etmek isteyecek, dahilî ve haricî, bedhahların olacaktır. Bir gün, istiklâl ve cumhuriyeti müdafaa mecburiyetine düşersen, vazife-ye atılmak için, içinde bulunacağın vaziyetin imkân ve şeraitini düşünmeyeceksin!

Bu imkân ve şerait, çok nâmüsait bir mahiyette tezahür edebilir. İstiklâl ve cumhuriyetine kastedecek düşmanlar, bütün dünyada emsali görülmemiş bir galibiyetin mümessili olabilirler. Cebren ve hile ile aziz vatanın, bütün kaleleri zapt edilmiş, bütün tersanelerine girilmiş, bütün orduları dağıtılmış ve memleketin her köşesi bilfiil işgal edilmiş olabilir. Bütün bu şeraitten daha elîm ve daha vahim olmak üzere, memleketin dahilinde, iktidara sahip olanlar gaflet ve dalâlet ve hattâ hıyanet içinde bulunabilirler. Hattâ bu iktidar sahipleri şahsî menfaatlerini, müstevlilerin siyasî emelleriyle tevhit edebilirler. Millet, fakr u zaruret içinde harap ve bîtap düşmüş olabilir.

Ey Türk istikbalinin evlâdı! İşte, bu ahval ve şerait içinde dahi, vazifen; Türk istiklâl ve cumhuriyetini kurtarmaktır! Muhtaç olduğun kudret, damarlarındaki asîl kanda, mevcuttur!

(5)

O benim milletimin yıldızıdır, parlayacak;

O benimdir, o benim milletimindir ancak.

Çatma, kurban olayım, çehreni ey nazlı hilâl!

Kahraman ırkıma bir gül! Ne bu şiddet, bu celâl?

Sana olmaz dökülen kanlarımız sonra helâl...

Hakkıdır, Hakk’a tapan, milletimin istiklâl!

Ben ezelden beridir hür yaşadım, hür yaşarım.

Hangi çılgın bana zincir vuracakmış? Şaşarım!

Kükremiş sel gibiyim, bendimi çiğner, aşarım.

Yırtarım dağları, enginlere sığmam, taşarım.

Garbın âfâkını sarmışsa çelik zırhlı duvar, Benim iman dolu göğsüm gibi serhaddim var.

Ulusun, korkma! Nasıl böyle bir imanı boğar,

‘Medeniyet!’ dediğin tek dişi kalmış canavar?

Arkadaş! Yurduma alçakları uğratma, sakın.

Siper et gövdeni, dursun bu hayâsızca akın.

Doğacaktır sana va’dettiği günler Hakk’ın...

Sen şehit oğlusun, incitme, yazıktır, atanı:

Verme, dünyaları alsan da, bu cennet vatanı.

Kim bu cennet vatanın uğruna olmaz ki fedâ?

Şühedâ fışkıracak toprağı sıksan, şühedâ!

Cânı, cânânı, bütün varımı alsın da Huda, Etmesin tek vatanımdan beni dünyada cüdâ.

Ruhumun senden, İlâhi, şudur ancak emeli:

Değmesin mabedimin göğsüne nâmahrem eli.

Bu ezanlar-ki şahadetleri dinin temeli- Ebedî yurdumun üstünde benim inlemeli.

O zaman vecd ile bin secde eder -varsa- taşım, Her cerîhamdan, İlâhi, boşanıp kanlı yaşım, Fışkırır ruh-ı mücerred gibi yerden na’şım;

O zaman yükselerek arşa değer belki başım.

Dalgalan sen de şafaklar gibi ey şanlı hilâl!

Olsun artık dökülen kanlarımın hepsi helâl.

Ebediyen sana yok, ırkıma yok izmihlâl:

Hakkıdır, hür yaşamış, bayrağımın hürriyet;

(6)

UZAYDA VEKTÖRLER

Test – 1, Test – 2, Test – 3, Test – 4, Test – 5 ... 9

Test – 6, Test – 7, Test – 8, Test – 9, Test – 10, Test – 11... 19

Test – 12, Test – 13 ... 31

2. ÜNİTE UZAYDA DOĞRU ve DÜZLEM

Test – 1, Test – 2, Test – 3 ... 37

Test – 9, Test – 10 ... 53

3. ÜNİTE KATI CİSİMLER

Katı Cisimlerin Temel Elemanları ... 59

Test – 11, Test – 12 ... 79

Katı Cisimlerin Alanları ... 83

Test – 13, Test – 14, Test – 15 ... 83

Test – 16, Test – 17, Test – 18, Test – 19 ... 89

Test – 20 ... 97

Katı Cisimlerin Hacimleri ... 99

Test – 21, Test – 22, Test – 23, Test – 24, Test – 25, Test – 26 ... 99

Test – 27, Test – 28, Test – 29, Test – 30, Test – 31, Test – 32, Test – 33 ...111

Test – 34, Test – 35 ... 125

4. ÜNİTE UZAYDA SÜSLEMELER, DÖNME ve PERSPEKTİF ÇİZİMLER

Test – 1, Test – 2, Test – 3 ... 131

Test – 4, Test – 5 ... 137

Test – 6 ... 141

Çokyüzlülerin Açınımları ... 143

Yazılıya Hazırlık Soruları 1 – 2 – 3 – 4 – 5 – 6 – 7 – 8 – 9 – 10 – 11 – 12 – 13 – 14 – 15 ... 177

(7)

Uzayda Vektörler

(8)

Uzayı; uzayda nokta, doğru, düzlem ve bunlar arasındaki ilişkileri açıklar.

2. Kazanım:

Uzayda doğrultuları açıklar.

3. Kazanım:

Uzayda doğru parçasını ve iki doğru parçası arasındaki ilişkileri açıklar.

4. Kazanım:

Uzayda yönlü doğru parçasını açıklar ve yönlü doğru parçalarını karşılaştırır.

5. Kazanım:

Uzayda vektörü açıklar ve nokta–vektör eşlemelerini yapar.

6. Kazanım:

Uzayda vektörlerin lineer bağımlı ve lineer bağımsız olma durumlarını açıklar.

7. Kazanım:

Uzayda bir nokta ve üç dik birim vektör ile dik koordinat sistemini oluşturur ve verilen bir noktanın koordinatlarını belirler.

8. Kazanım:

Uzayda iki vektörün Öklid iç çarpımını açıklar ve uygulamalar yapar.

9. Kazanım:

Uzayda bir vektörün uzunluğunu ve iki vektör arasındaki açıyı iç çarpımı kullanarak hesaplar, uygulamalar yapar.

10. Kazanım:

Uzayda bir vektörün başka bir vektör üzerine dik izdüşümünü belirler ve uygulamalar yapar.

11. Kazanım:

Uzayda iki vektörün vektörel çarpımını hesaplar ve uygulamalar yapar.

(9)

ESEN ÜÇRENK 1. Uzayda aşağıdakilerden hangisi ya da hangileri

daima doğrudur?

I. Aynı düzleme paralel olan düzlemler birbirine paraleldir.

II. Bir doğrudan sadece bir düzlem geçer.

III. Bir noktaya eşit uzaklıktaki noktalar bir küre oluşturur.

A) Yalnız I B) Yalnız III C) I ve II D) I ve III E) I, II ve III

2. Uzayda aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?

A) Bir doğruya üzerindeki bir noktadan çok sayıda dikme çizilebilir.

B) Paralel iki düzlemden birine dik olan doğru diğerine de diktir.

C) İki düzlemin en az üç noktası ortaksa düzlem- ler çakışıktır.

D) Aynı doğruya dik olan iki doğru birbirine paralel olmayabilir.

E) Aynı doğruya dik olan iki düzlem birbirine paraleldir.

3.

P C

A

1 B

D

3

v6 x

Şekilde [AB] ve AC P düzleminde olup AC ⊥ [AB] ve [DB] ⊥ (P) dir.

|AC| = 1 cm, |AB| = 3 cm ve |BD| = v6 cm ise

|DC| = x kaç cm dir?

A) 4 B) 3v2 C) 2v5

D) 2v6 E) 5

4. ^→A = (–2, 3, 1) vektörünün toplama işlemine göre tersi aşağıdakilerden hangisidir?

A) (2, 3, 1) B) (1, 3, –2) C) (2, 1, 3) D) (2, –3, –1) E) (2, –1, –3)

5. Uzayda verilen ^→a = (2, – 4, 4) vektörünün normu (boyu) kaç birimdir?

A) 5 B) 3v3 C) 4v2

D) 6 E) 2c10

6. A(–2, 4, 1) ve B(–1, 1, 0) ise AB vektörü aşa- ğıdakilerden hangisidir?

A) (–3, 5, 1) B) (1, –1, 3) C) (–1, 3, 1) D) (–1, 1, 3) E) (1, –3, –1)

7. Uzayda A(0, – 4, 3) noktasının başlangıç nokta- sına olan uzaklığı kaç br dir?

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

(10)

ESEN ÜÇRENK

1.D 2.C 3.A 4.D 5.D 6.E 7.C 8.B 9.D 10.E 11.B 12.C 13.D 14.A 8. ^→a = (–1, 3, 2) ve ^→b = (0, 1, –2) vektörlerinin iç

çarpımı kaçtır?

A) –2 B) –1 C) 0 D) 1 E) 2

9. ^→a = (n–1, 4, –2) ve ^→b = (2, m+2, –1) olmak üzere, ^→a // ^→b ise n + m kaçtır?

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

10. ^→A = (2a+1, a–2, 4) ve ^→B = (1, –1, 2) vektörleri dik ise a kaçtır?

A) –7 B) –8 C) –9 D) –10 E) –11

11. ^→a = (3, –2, – 4) ve ^→b = (1, –1, 0) olduğuna gö- re, 2^→a + 3^→b vektörü aşağıdakilerden hangisidir?

A) (9, –7, – 4) B) (9, –7, – 8) C) (8, –7, –9) D) (10, 8, –7) E) (–10, – 8, 7)

12.

x y

z

4 2

3 A

Şekilde verilen A noktasının ordinatı ile kodunun çarpımı kaçtır?

A) 6 B) 8 C) 12 D) 18 E) 24

13. ^→A = (–3, 2, 5) vektörünün standart birim vektör- lerin lineer bileşimi olarak gösterimi aşağıdakiler- den hangisidir?

A) –3^→i + 2^→k + 5^→j B) 3^→i – 2^→k – 5^→j C) 3^→e₁ – 2^→e₂ – 5^→e₃ D) –3^→e₁ + 2^→e₂ + 5^→e₃ E) 5^→e₁ + 2^→e₂ – 3^→e₃

14. ^→u = (–2, 6, 3) vektörü ile aynı yönlü olan birim vektör aşağıdakilerden hangisidir?

A) , ,

7 2

7 6

7 – 3

c m B) , ,

7 3

7 6

7 –2

c m

C) , , 7 7

6 7 3

c2 m D) , ,

7 2

7 6

7 – –3

c m

E) , ,

7 7 6

7

3 2

– –

c m

(11)

daima doğrudur?

I. Bir noktadan sonsuz düzlem geçer.

II. Kesişen iki doğru bir düzlem belirtir.

III. Bir doğru ve üzerinde olmayan bir noktadan sonsuz sayıda düzlem geçer.

A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) I ve II E) I, II ve III

A) Aykırı iki doğru aynı düzlemde bulunmaz.

B) Kesişen iki doğru aynı düzlemdedir.

C) Aynı doğruyu kesen iki doğru birbirine paralel olmayabilir.

D) Aykırı iki doğruya paralel olan bir doğru vardır.

E) Uzayda kesişen iki doğru, bir düzlem belirtir.

3.

P

Q 10

14 B

A

D 7

C

Yukarıdaki şekilde [AB] ⊥ [BC], [DC] ⊥ [BC]

|AB| = 14 cm, |BC| = 7 cm ve |CD| = 10 cm dir.

K ∈ [BC] olmak üzere, |AK| + |KD| en az kaç cm dir?

A) 25 B) 26 C) 27 D) 28 E) 29

4. A(–3, 2v3, 2) noktasının orijine olan uzaklığı kaç birimdir?

A) 3v2 B) 2v5 C) 5

D) 4v2 E) 6

5. ^→A = (2, –3, –1) ve ^→A + 2^→B = (–2, –1, –5) olduğu- na göre ^→B vektörünün bileşenleri toplamı kaçtır?

A) –3 B) –2 C) –1 D) 1 E) 2

6. A(–1, 3, 4) ve AB = (0, 1, 3) olduğuna göre,

→B vektörü aşağıdakilerden hangisidir?

A) (2, –1, 1) B) (–1, 2, 1) C) (1, –2, –1) D) (1, – 4, –7) E) (–1, 4, 7)

7. ^→A = (a–2, 2, b) ve ^→B = (c+1, c, 3) ve ^→A = ^→B ise a + b + c toplamı kaçtır?

A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10

(12)

ESEN ÜÇRENK

1.D 2.D 3.A 4.C 5.A 6.E 7.E 8.A 9.D 10.D 11.A 12.A 13.D 14.B 8. ^→a = (–2, 1, 3) , ^→b = (3, 2, 0) ve ^→c = (x, y, z)

olmak üzere, 3^→a – 2^→b = ^→c ise x + y + z toplamı kaçtır?

A) – 4 B) –3 C) –2 D) –1 E) 0

9. ^→a = , , x 7 7

2 3 –

c m vektörü birim vektör olduğuna göre, x in pozitif değeri kaçtır?

A) 7

4 B)

7

5 C) 6

5 D)

7

6 E)

8 7

10. Aşağıda verilen noktalardan hangisi xOz düzlemi üzerindedir?

A) (2, 3, 1) B) (–1, 2, –3) C) (0, 2, – 4) D) (– 4, 0, 1) E) (–3, 1, 0)

11. Uzayda ^→a = (1, 2, –3) ve ^→b = (–1, 1, 2) vektörleri veriliyor. Bu vektörlerin Öklid iç çarpımları kaçtır?

A) –5 B) –3 C) 0 D) 3 E) 5

12.

O C

B A

K F

D E

z

y

x

3 2

4

Analitik uzayda verilen dikdörtgenler prizmasının ayrıtları |AB| = 3 br, |BC| = 2 br ve |CF| = 4 br olduğuna göre, E noktasının koordinatları nedir?

A) (2, 3, 4) B) (3, 2, 4) C) (3, –2, – 4) D) (2, –3, – 4) E) (–2, 3, 4)

13. ^→A = (3, v3, –2) vektörü ile aynı yönlü olan birim vektör aşağıdakilerden hangisidir?

A) , ,

4 3

2 – –1

d n B) , ,

4 3

2 – – 1

d n

C) 3, 3, 2

5 5 5

– –

d n D) , ,

4 3

2 –1

d n

E) , ,

5 3

5 –2

d n

14. ^→A = k^→e₁ – 2^→e₂ + 3^→e₃

→B = –^→e₁ + 3^→e₂ + ^→e₃

vektörleri birbirine dik olduğuna göre, k kaçtır?

A) – 6 B) –3 C) –1 D) 3 E) 6

(13)

daima doğrudur?

I. Uzayda paralel iki doğru, bir düzlem belirtir.

II. Uzayda doğrusal olmayan üç nokta, bir düz- lem belirtir.

III. Uzayda bir doğru ile dışındaki bir nokta, bir düzlem belirtir.

A) Yalnız I B) I ve II C) I ve III D) II ve III E) I, II ve III

2. Uzayda aşağıdakilerden hangisi ya da hangileri daima doğrudur?

I. Paralel iki düzlemden birini kesen bir doğru diğerini de keser.

II. Bir doğru ile bir düzlemin ortak bir noktası varsa doğru düzlemi keser.

III. Farklı iki noktadan yalnız bir düzlem geçer.

A) Yalnız I B) Yalnız II C) I ve II D) II ve III E) I, II ve III

3. D

C

A B

E

Şekilde [DE] ⊥ (ABC) , |AB| = |BC| = 5 cm

|AE| = |EC| = 3 cm ve |DE| = 2 cm ise

|DB| kaç cm dir?

A) 4 B) 3v2 C) 2v5

D) 2v6 E) 5

4. A(3, –1, 2) ve B(1, –1, 0) noktaları arasındaki uzaklık kaç birimdir?

A) v6 B) 2v2 C) 3

D) 3v2 E) 4

5. B(–2, 3, 1) ve AB = (1, 2, 0) olduğuna göre, A noktasının koordinatları nedir?

A) (–3, 1, 1) B) (3, –1, 1) C) (3, –1, –1) D) (–1, 5, 1) E) (1, –5, –1)

6. A(–2, 3, 0) noktasının apsisi, B(4, –1, 3) nokta- sının ordinatı ve C(–1, 3, 2) noktasının kodunun toplamı kaçtır?

A) –3 B) –2 C) –1 D) 0 E) 1

7. ^→a = (3, 4, 6) ve ^→b = (–1, 0, – 4) ise ||^→a + ^→b ||

kaç br dir?

A) 2v6 B) 5 C) 3v3 D) 4v2 E) 6

(14)

ESEN ÜÇRENK

1.E 2.C 3.C 4.B 5.A 6.C 7.A 8.D 9.C 10.B 11.D 12.B 13.E 14.A 8. ^→a = (–1, 3, 2) ve ^→b = 4^→e₂ – 6^→e₃ ise

→a – 2 1→

b vektörü aşağıdakilerden hangisidir?

A) (1, 6, 2) B) (–3, 1, 5) C) (–3, 6, 2) D) (–1, 1, 5) E) (–1, 5, –1)

9. || ^→a || = 4 br, || ^→b || = 6 br ve bu vektörler arasın- daki açının ölçüsü

3

r radyan ise ^→a, ^→b değeri kaçtır?

A) 6 B) 9 C) 12 D) 18 E) 24

10. ^→A = (n – 1, –1, 0) vektörünün birim vektör olması için n kaç olmalıdır?

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

11. ^→a = (k – 1, –1, 2) ve ^→b = (–1, 3, k) olmak üzere,

→a, ^→b = 3 ise k kaçtır?

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

12.

O

A z

y

x 2

6 3

Koordinatları şekildeki gibi verilmiş olan ^→A vektö- rünün normu kaç birimdir?

A) 5v2 B) 7 C) 3v5

D) 6 E) 2v6

13. ^→A = 3^→e₁ – 4^→e₂ + ^→e₃ ve ^→B = 2^→e₁ + ^→e₂ – 2^→e₃ vektörleri arasındaki açının ölçüsü kaç derece-

dir?

A) 30 B) 45 C) 60 D) 75 E) 90

14. ^→a = (v3, 0, –1) ve ^→b = (1, 0, 0) vektörleri ara- sındaki açının ölçüsü kaç derecedir?

A) 30 B) 45 C) 60 D) 75 E) 90

(15)

daima doğrudur?

I. Aynı doğruya dik olan iki doğru paraleldir.

II. Aynı düzleme dik olan iki doğru birbirine paraleldir.

III. Paralel iki doğrudan birine paralel olan doğru ötekine de paraleldir.

A) Yalnız II B) Yalnız III C) I ve II D) II ve III E) I, II ve III

2.

P

Q

B 7 A

C 2 D 12

Paralel P ve Q düzlemlerinde [AB] ⊂ P, [CD] ⊂ Q ve [BD] ⊥ [AB] dir. |AB| = 7 cm, |CD| = 2 cm ve

|BD| = 12 cm ise |AC| kaç cm dir?

A) 13 B) 14 C) 15 D) 16 E) 17

3.

A 3

B

2 C

F D

E 4

2

Yukarıdaki şekilde [AB] ⊥ [BF] , [BC] ⊥ [BF]

[BC] ⊥ [CD] , [CD] ⊥ [ED] , |ED| = |CD| = 2 cm

|AB| = 3 cm ve |BC| = 4 cm olmak üzere, yü- zeyler üzerinden gidebilen bir hareketlinin A ile E noktaları arasında alabileceği en kısa uzaklık kaç cm dir?

A) 9 B) 2c21 C) c85

D) 2c22 E) c95

4. A(1, 3, –1) ve B(–1, 1, 2) noktaları için ||AB||

kaç br dir?

A) c21 B) 2v5 C) c19 D) 3v2 E) c17

5. A(n – 2, –3, 4) noktası yOz düzleminde ise n kaçtır?

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

6. Uzayda verilen ^→a = 2^→e₁ – ^→e₂ + 3^→e₃ vektörü- nün bileşenleri cinsinden yazılışı aşağıdakilerden hangisidir?

A) (2, –2, 3) B) (2, –2, 9) C) (1, –2, 3) D) (2, –1, 3) E) (–2, 1, –3)

7. ^→a = (–3, 4, 12) vektörünün uzunluğu kaç br dir?

A) 16 B) 15 C) 14 D) 13 E) 12

(16)

ESEN ÜÇRENK

1.D 2.A 3.C 4.E 5.C 6.D 7.D 8.E 9.C 10.B 11.B 12.A 13.B 14.D 8. ^→p = (–3, 1, 2) ve ^→r = (1, 0, –1) vektörlerine göre,

2^→p – ^→r vektörü aşağıdakilerden hangisidir?

A) (–5, 2, 3) B) (5, –2, –3) C) (7, 2, 5) D) (7, –2, –5) E) (–7, 2, 5)

9. A(– 6, 6, a) noktasının orijine uzaklığı 9 birim ise a aşağıdakilerden hangisi olabilir?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

10. A(1, 3, –2), B(0, –1, 2), ^→C = (2, x + 1, y – 2) olmak üzere, AB //C ise x + y kaçtır?

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

11. ^→A = (1, 1, x) ve ^→B = (1, 1, 0) vektörleri arasın- daki açının ölçüsü 45° olduğuna göre, x in pozitif değeri kaçtır?

A) 1 B) v2 C) v3 D) 2 E) v5

12.

O C

B A

F K

D E

z

y

x

Analitik uzaydaki dikdörtgenler prizmasında E(3, 6, 2) ise F köşesinin koordinatları aşağıda- kilerden hangisidir?

A) (0, 6, 2) B) (3, 0, 2) C) (3, 6, 0) D) (0, 3, 2) E) (0, – 6, –2)

13. Uzayda ^→a = (– 4, 2, 4) vektörü veriliyor.

→a vektörü yönünde ve doğrultusundaki birim vek- tör aşağıdakilerden hangisidir?

A) , ,

3 2

3 1

3 – –2

c m B) , ,

3 2

3 1

3 – 2

c m

C) , , 3 2

3 1

3

c 2m D) , ,

3 1

6 – 1

c m

E) , ,

3 1

6 1

3 – –1

c m

14. Aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır?

A) K(1, 0, 3) noktası xOz düzlemindedir.

B) K(0, 0, –1) noktası z eksenindedir.

C) K(2, 3, 4) noktasının kodu 4 tür.

D) K(1, 2, 3) noktası xOy düzlemindedir.

E) K(–1, 2, 2) noktasının orijine uzaklığı 3 birimdir.

(17)

daima doğrudur?

I. Kesişen doğrular farklı düzlemlerdedir.

II. Paralel olmayan iki doğru kesişir.

III. Birbirine paralel üç doğru düzlemsel olmayabilir.

A) Yalnız II B) Yalnız III C) I ve II D) I ve III E) II ve III

A) Farklı iki düzlemin en çok bir ortak doğrusu vardır.

B) Aynı doğruya dik olan iki düzlem birbirine paraleldir.

C) Bir düzleme eşit uzaklıktaki noktalar kümesi, düzleme paralel iki düzlemdir.

D) Bir doğru, bir düzlemin içindeki bir doğruya paralel ise düzleme de paraleldir.

E) Üç farklı nokta daima bir doğru üzerinde bulunur.

3.

P

A

C D 4 B

10

60°

Yukarıdaki şekilde [BC] ⊥ [AC] , [AD] ⊥ P [BC] ⊂ P , m(ACD%

) = 60° , |CD| = 4 cm ve

|AB| = 10 cm ise A(ABC) kaç cm² dir?

A) 18 B) 20 C) 24 D) 28 E) 30

4. ^→u = (–3, v3, 2) vektörünün normu kaç birimdir?

A) 2 B) 3 C) 4 D) 2v5 E) 2v6

5. A(2k – 5, 3, 4m + 6) noktası y ekseni üzerinde ise k – m kaçtır?

A) 2

5 B) 3 C)

2

7 D) 4 E) 5

6. Uzayda OA = (3, a, b) ve OB = (c, 2, –1) vektörleri veriliyor. OA = OB olduğuna göre, a + b + c kaçtır?

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

7. ^→A = (–3, 4, 1), B(1, –2, 0) ve C(–1, 1, 2) ise A –BC vektörü aşağıdakilerden hangisidir?

A) (–1, 1, –1) B) (1, –1, 1) C) (–3, 3, 3) D) (3, –3, –3) E) (3, –1, 1)

(18)

ESEN ÜÇRENK

1.B 2.E 3.C 4.C 5.D 6.C 7.A 8.D 9.B 10.B 11.D 12.B 13.B 14.E 8. ^→A = (2, –2, 1) olduğuna göre, ^→A, ^→A değeri

kaçtır?

A) 3 B) 4 C) 6 D) 9 E) 12

9. ^→a = (3, 2, 1), ^→b = (x, 3, –3) ve ^→a, ^→b = 6 ise x kaçtır?

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

10. A(a, 1, 2), B(–1, 3, –1) ve C(2, 1, –2) olmak üzere, |AB| = |AC| ise a kaçtır?

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

11. Uzayda, ^→a = (1, 2, 1) ve ^→b = (4, 2, –2) vektörleri arasındaki açının ölçüsü kaç derecedir?

A) 15 B) 30 C) 45 D) 60 E) 75

12.

x

y z

3

A –1

2 O

Şekilde verilen A noktasının belirttiği OA vektö- rünün bileşenleri nedir?

A) (2, 0, 3) B) (2, –1, 3) C) (–1, 2, 3) D) (–2, –1, –3) E) (–1, –2, –3)

13. ^→A = (x + 2, –1, 2y + 1)

→B = (2, z + 1, 3)

vektörleri veriliyor. ^→A = 2^→B olduğuna göre, x + y + z kaçtır?

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

14. ^→a = (0, 1, 3) ve ^→b = (2, –1, 1) olmak üzere,

→a x ^→b vektörü aşağıdakilerden hangisidir?

A) (–1, –2, 4) B) (2, 4, 6) C) (–2, 4, 6) D) (4, 6, 2) E) (4, 6, –2)

(19)

daima doğrudur?

I. Bir düzleme dışındaki bir noktadan sonsuz sayıda dik düzlem çizilebilir.

II. Bir doğrunun bir noktaya en yakın noktası, noktadan doğruya çizilen dikmenin doğruyu kestiği noktadır.

III. Bir doğru bir düzleme dikse, doğrunun düz- leme dik olduğu noktadan geçen düzlem içindeki her doğruya diktir.

2.

P

A B C

D K

Şekilde AC ve CD doğruları P düzleminde bulunup [KC] ⊥ CD ve [KA] ⊥ P dir.

Buna göre aşağıdakilerden hangileri daima doğ- rudur?

I. |KB| < |KA| II. |KC| < |KD|

III. |BC| < |KC| IV. |AC| = |KC|

A) Yalnız II B) I ve III C) I ve IV D) II ve III E) III ve IV

3. Bir kenarı 6 cm olan bir ABC eşkenar üçgeninin, G ağırlık merkezinden üçgenin içinde bulunduğu düzleme çıkılan dikme üzerinde |GD| = 6 cm alı- nıyor. Buna göre |DA| kaç cm dir?

A) 6 B) 3v5 C) 4v3

D) 8 E) 6v2

4. Aşağıdaki noktalardan hangisi orijine en yakın- dır?

A) (v2, –1, 0) B) (1, 0, v3) C) (–1, 1, v2) D) (–1, 1, –1) E) (1, 0, –1)

5. AB = ^→e₁ – 2^→e₂ + 4^→e₃ ve CA = (2, –1, 1) ise ||BC|| kaç birimdir?

A) 2c10 B) c41 C) c42

D) c43 E) 2c11

6. ^→A = (–1, 3, 2), ^→B = (0, 2, 1), ^→C = (1, –1, 2) vektörleri veriliyor. AC–3AB=CD eşitliğini sağlayan ^→D vektörü aşağıdakilerden hangisidir?

A) (–1, 0, 3) B) (1, –1, 4) C) (1, –2, 5) D) (0, –2, 5) E) (0, –2, 4)

7. ^→u = , , a 5 2

5 –3

c m vektörü birim vektör olduğuna göre, a nın alabileceği değerler çarpımı kaçtır?

A) 25

– 9 B)

5

–2 C)

25 –12

D) 5

–3 E) 25 –16

(20)

ESEN ÜÇRENK

1.E 2.D 3.C 4.E 5.D 6.D 7.C 8.C 9.C 10.D 11.B 12.B 13.B 8.

O z

y

x –^→e₂

e₁

→ e₃

→

P→

Analitik uzayda ^→e₁, –^→e₂ ve ^→e₃ birim vektörler olmak üzere, ||P|| kaç br dir?

A) 1 B) v2 C) v3 D) 2 E) v5

9.

O C

B A

E D

F K

z

y

x

Uzayda çizilmiş olan dikdörtgenler prizmasında K(4, 5, 3) olduğuna göre, AB+EC vektörünün koordinatları nedir?

A) (0, 5, 3) B) (0, 5, –3) C) (0, 10, –3) D) (0, 10, 3) E) (0, –10, 3)

10. ^→a + ^→b = (–1, 2, 4) ve ^→c = (5, 3, –1) ise

→a, ^→c + ^→b, ^→c değeri kaçtır?

A) 0 B) –1 C) –2 D) –3 E) – 4

11.

O C

B A

K F

D E

z

y

x

Analitik uzaydaki dikdörtgenler prizmasında E(2, 4, 3) olduğuna göre, KA KB, kaçtır?

A) 12 B) 13 C) 14 D) 15 E) 16

12. Aşağıdakilerden hangisi doğru değildir?

A) ^→a, ^→b = ^→b, ^→a

B) ^→a, ^→b = ^→a, ^→c ⇒ ^→b = ^→c C) ^→a = ^→b ⇒ ^→a, ^→c = ^→b, ^→c D) ^→a, ^→b + ^→c = ^→a, ^→b + ^→a, ^→c E) ^→a = 2^→b ⇒ ^→a // ^→b

13. Uzayda, ^→a = (1, 0, 1) vektörünün ^→b = (2, v2, –1) vektörü üzerindeki dik izdüşüm vektörü nedir?

A) , ,

3 1

6 2

6 –1

d n B) , 2, 1

7 2

7 –7

d n

C) , 2, 1 4

1

8 –8

d n D) 2, 2, 1

9 9 –9

d n

E) , 2, 1 5

1

10 –10

d n

(21)

daima doğrudur?

I. Bir doğru bir düzleme paralel ise düzlemdeki bütün doğrulara da paraleldir.

II. İki düzlem birbirine dik ise düzlemlerden birinin içinde olan her doğru ötekine diktir.

III. İki düzlemin ortak noktaları yoksa bu düzlem- ler paraleldir.

A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) I ve III E) II ve III

A) Bir doğruya dışındaki bir noktadan yalnız bir paralel doğru çizilebilir.

B) Paralel iki düzlemin üçüncü bir düzlemle arakesitleri paraleldir.

C) Bir düzleme dışındaki bir noktadan bir ve yalnız bir paralel düzlem çizilebilir.

D) Bir doğruya üzerindeki bir noktadan yalnız bir dik doğru çizilebilir.

E) Paralel düzlemlerden birinin içindeki her doğru diğer düzleme paraleldir.

3. ^T

C

B

A 30°

Şekilde [TA], ABC üçgen düzlemine diktir.

[AB] ⊥ [AC] , m(ACB%

) = 30° , |TB| = 2v3 cm

|TC| = 4 cm ise A(ABC) kaç cm² dir?

A) 1 B) v3 C) 2 D) 3 E) 2v3

4.

O z

y

x

B(0,3,n)

A(2,0,2)

Şekildeki gibi verilen A(2, 0, 2) ve B(3, 0, n) noktaları arasındaki uzaklık kaç br dir?

A) c11 B) 2v3 C) c13 D) c14 E) c15

5. Analitik uzayda A(2, 3, 4) noktasının x eksenine olan uzaklığı kaç birimdir?

A) 2 B) 3 C) 4 D) 2v5 E) 5

6. A(a, 1, 2), B(–1, b, –2), C(1, 2, –1), D(–3, 0, 1) olmak üzere, AB //CD ise a + b kaçtır?

A) –1 B) –2 C) –3 D) – 4 E) –5

7. ^→A = 2^→e₁ + 2^→e₂ ve ^→B = –^→e₁ + ^→e₃ vektörleri ara- sındaki açının ölçüsü kaç derecedir?

A) 30 B) 60 C) 120 D) 135 E) 150

(22)

ESEN ÜÇRENK

1.C 2.D 3.B 4.C 5.E 6.D 7.C 8.A 9.A 10.A 11.E 12.C 13.C 14.C 8.

O z

y

x

5

3 2

3

A→

→B

Analitik uzayda verilen xOz düzlemindeki ^→A ve xOy düzlemindeki ^→B vektörünün iç (skaler) çar- pımı kaçtır?

A) 6 B) 9 C) 10 D) 15 E) 30

9.

O

C B A

D z

y

x

Yukarıdaki uzay modelinde OA = (2, 0, 0) OD = (0, 0, 2), C(2, 4, 0) ve |AB| = |BC| ise

ile

DA DB arasındaki açının kosinüsü kaçtır?

A) 3

6 B) 4

6 C) 3

5 D) 3 2 2 E)

4 10

10. ^→A = (0, 1, –2), ^→B = (1, 2, 0) ve ^→C = (k, –2, 3) vektörleri lineer bağımlı olduklarına göre, k kaçtır?

A) 4

–1 B) 1

–3 C) 1

–2 D) 3

1 E)

2 1

11. ^→a ⊥ ^→b ve ^→a – ^→b = 2^→e₁ – ^→e₂ + 3^→e₂ ise ||^→a||² + ||^→b||² kaça eşittir?

A) 0 B) 4 C) 8 D) 12 E) 14

12. A(a, 1 – b, c + 2) noktasının, B(2, –1, 0) nokta- sına göre simetriği C(0, –2, 3) ise ||OA|| kaç birimdir?

A) 2v5 B) 2v6 C) 5

D) 4v2 E) 6

13. ^→a = ^→e₁ + 2^→e₂ ve ^→b = ^→e₂ – ^→e₃ olmak üzere,

→a – ^→b ve ^→a + ^→b vektörleri arasındaki açının ko- sinüsü kaçtır?

A) 11

1 B)

11

2 C)

11 3

D) 11

4 E) 11

5

14. ^→a = (0, 1, 2) ve ^→b = (3, 1, 0) vektörleri üzerine kurulu olan paralelkenarın alanı kaç br² dir?

A) 6 B) 3v5 C) 7

D) 5v2 E) 3v6

(23)

daima doğrudur?

I. Bir noktadan geçen ve verilen bir doğruya dik olan bir tek düzlem vardır.

II. Bir noktadan geçen ve verilen bir doğruya paralel olan birden çok düzlem vardır.

III. Bir düzleme bir noktadan çizilen tüm paralel doğrular aynı düzlem içindedir.

A) Yalnız I B) Yalnız III C) I ve II D) II ve III E) I, II ve III

A) Dışındaki bir noktadan bir düzleme yalnız bir dikme çizilir.

B) Uzayda aykırı iki doğru, bir düzlem belirtir.

C) İki düzlem uzayı en az 3, en çok 4 bölgeye ayırır.

D) Kesişen iki doğru ve bu doğrular dışındaki bir nokta uzay belirtir.

E) Doğrusal olmayan üç noktadan yalnız bir düzlem geçer.

3.

P

A

D B

C O 1

4 5

Şekildeki P düzleminde; [BC , O merkezli çem- bere teğettir. [AO] ⊥ (P) , |OD| = 1 cm

|AO| = 4 cm , |AB| = 5 cm ise |BC| kaç cm dir?

A) 2v2 B) 3 C) c10 D) 2v3 E) 4

4. ^→A – 2^→B = (2, –1, 4) 2^→A + 5^→B = (1, –5, 2)

olduğuna göre, ^→A + ^→B vektörü aşağıdakilerden hangisidir?

A) (–1, –2, 2) B) (1, 0, 1) C) (1, –2, 2) D) (2, –2, –1) E) (1, –1, 1)

5. A(1, –2, a) ve B(–3, 2, –2) noktaları arasındaki uzaklık 6 br ise a nın alabileceği değerler toplamı kaçtır?

A) – 4 B) –2 C) 0 D) 2 E) 4

6. ^→A = (2, – 4, 0) ve ^→B = (–1, 2, 1) vektörleri veriliyor. a.^→A + b.^→B = (8, –16, –2) olduğuna göre, a + b kaçtır?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

7. AB = (3, –2, 0) BC = (1, –1, 1) CD = (– 6, 3, 2)

olduğuna göre, AD vektörü aşağıdakilerden hangisidir?

A) (0, 1, 2) B) (–1, 1, 2) C) (–1, 0, 3) D) (–2, 1, 3) E) (–2, 0, 3)

(24)

ESEN ÜÇRENK

1.E 2.B 3.A 4.C 5.A 6.A 7.E 8.B 9.D 10.C 11.A 12.E 13.B 14.B 8.

O z

y

x ^A

→

→B C→

1 1 2

Analitik uzayda verilenlere göre, ||^→A + ^→B + ^→C|| kaç birimdir?

A) 2v5 B) 2v6 C) 5 D) 3v3 E) c30

9.

O C

B A

K F

D E

z

y

x

Analitik uzayda verilen birim küpte, BD BK, iç çarpımı kaçtır?

A) 1 B) v2 C) v3 D) 2 E) v6

10. Aşağıdaki vektörlerden hangisi

→u = (2, –1, 0) ve ^→v = (1, 5, –3) vektörlerine diktir?

A) (3, 6, 0) B) (–5, 1, 0) C) (–3, –6, –11) D) (2, 4, –1) E) (–2, 0, 3)

11. ^→u = (–1, 1, 0), ^→v = (0, 2, 2) ve ^→w = (a, 1, –1) vektörleri lineer bağımlı ise a kaçtır?

A) –2 B) –1 C) 0 D) 1 E) 2

12. R³ teki ^→a = (1, 1, x) vektörü x in hangi değeri için

→b = (2, 1, 0) ve ^→c = (1, 0, 3) vektörlerinin lineer bileşimi olarak yazılabilir?

A) 3 B) 1 C) 0 D) –2 E) –3

13. ^→a = ^→e₁ – 2^→e₂ + ^→e₃ , ^→b = n^→e₁ – ^→e₂ + ^→e₃ ve

→c = 2^→e₁ – ^→e₂ + 2^→e₃ olmak üzere, (^→a + ^→b) ⊥ ^→c ise n kaçtır?

A) – 4 B) 2

–9 C) –5 D) 2

–11 E) – 6

14. Oy ekseni üzerinde bulunan aşağıdaki noktalar- dan hangisi A(3, –1, 2) ve B(4, 2, 3) noktala- rından eşit uzaklıktadır?

A) (0, 2, 0) B) 0, , 2 5 0

c m C) (0, 3, 0)

D) 0, , 2 0

c 7 m E) (0, 4, 0)

(25)

daima doğrudur?

I. Birbirine paralel üç doğru düzlemsel olmayabilir.

II. Bir doğruya dışındaki bir noktadan yalnız bir paralel doğru çizilebilir.

III. Dik iki doğrudan birini içine alan düzlem diğer doğruya diktir.

A) Yalnız I B) Yalnız II C) I ve II D) I ve III E) I, II ve III

A) Bir düzleme dışındaki bir noktadan sonsuz tane dik doğru çizilir.

B) Aynı doğruya paralel olan iki doğru birbirine paraleldir.

C) Bir düzleme üzerindeki bir noktadan yalnız bir dik doğru çizilebilir.

D) Bir doğru iki düzlemden birine paralel diğerine dik ise bu iki düzlem birbirine diktir.

E) Paralel iki düzlemden birini kesen doğru diğerini de keser.

3.

P

D

C

B 4

A

Şekilde ABC üçgeni P düzlemi üzerindedir.

m(BCA%

) = m(DBC%

) = 45° , [AB] ⊥ [AC]

[DC] ⊥ P ve |AB| = 4 cm ise |AD| kaç cm dir?

A) 6 B) 2c10 C) 4v3 D) 2c15 E) 8

4.

C O

A B K F

D E

z

y

x

Analitik uzayda verilen küpün bir ayrıtı 2 br oldu- ğuna göre, D köşesinin koordinatları aşağıdaki- lerden hangisidir?

A) (2, 2, 2) B) (2, –2, 2) C) (2, 2, –2) D) (2, –2, –2) E) (–2, 2, –2)

5. R³ te ^→A ve ^→B vektörleri için,

→A – 2^→B = (1, 3, 1)

→A + ^→B = (–2, 0, 4)

olduğuna göre, ^→A vektörü aşağıdakilerden hangisidir?

A) (–1, 1, –3) B) (1, –1, 3) C) (–1, 1, 3) D) (3, 1, 3) E) (3, –1, 3)

6. ^→a = (–3, 2, – 6), ^→b = (– 4, 4, –7) ve ^→c = (2, 0, 5) olmak üzere, ^→c = n.^→a + ^→b eşitliğini sağlayan n sayısı kaçtır?

A) –2 B) –1 C) 1 D) 2 E) 3

7. ^→A = (–2, –2, v2) ve ^→B = (3, 3, v2) vektörleri arasındaki açının ölçüsü kaç derecedir?

A) 60 B) 75 C) 105 D) 120 E) 135

(26)

ESEN ÜÇRENK

1.C 2.A 3.C 4.B 5.C 6.A 7.E 8.A 9.E 10.A 11.D 12.E 13.C 14.B 8.

D C

B A

G H

E F

Şekilde verilen birim küpte BE GE, iç çarpı- mı kaçtır?

A) 1 B) v3 C) 2 D) 3 E) 2v3

9.

A B

O C

z

x

y D

Analitik uzaydaki piramitte ABCO tabanı karedir.

B(2, 2, 0) ve D(0, 0, 2) ise CA CD, kaçtır?

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

10. ^→A = (a, –3, 4) vektörünün ^→B = (3, –1, 2) ve

→C = (–1, 1, 0) vektörlerinin bir lineer bileşimi olması için a kaç olmalıdır?

A) 7 B) 6 C) 5 D) 4 E) 3

11. Uzayda, ^→a = (2, 2, 0), ^→b = (0, 2, 1) olmak üzere,

→b nün ^→a üzerindeki dik izdüşüm vektörü nedir?

A) (2, 2, 0) B) , , 2

2 2

2 0

d n C) (v2, v2, 0)

D) (1, 1, 0) E) , , 2 1

2 1 0

c m

12. Boyu 2 birim olan ve ^→a = (2, –2, 1) vektörüyle ters yönlü olan vektör aşağıdakilerden hangisidir?

A) (1, 1, – 2) B) (–1, 1, 2)

C) , ,

3 4

3 – 2

c m D) , ,

3 3 3 2 2 1

– –

c m

E) , ,

3 3 3 4 4 2

– –

c m

13. Analitik uzayda ^→A = (3, a, 4) ve ^→B = (– 6, 2, b) vektörleri lineer bağımlı olduğuna göre, a + b kaçtır?

A) –7 B) – 8 C) –9 D) –10 E) –11

14. ^→a = (–1, 0, 1), ^→b = (0, 1, 2) ve ^→c = (–2, 2, 3) vektörleri üzerinde kurulu olan paralelyüzün hacmi kaç br³ tür?

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

(27)

daima doğrudur?

I. Aynı düzleme dik olan iki doğru birbirine paraleldir.

II. Uzayda kesişen doğrular farklı düzlemlerde olmak zorundadır.

III. Paralel iki doğrudan birini kesen bir doğru diğerini de keser.

A) Yalnız I B) Yalnız II C) I ve II D) I ve III E) II ve III

A) Farklı üç doğrudan ikisi dik kesişiyor ise üçüncü doğru ikisine de dik olabilir.

B) Kesişen iki düzlemdeki tüm doğrular birbirini keser.

C) Bir doğru bir düzlem içindeki tüm doğrulara dik veya dik durumlu ise düzleme de diktir.

D) Paralel olmayan farklı iki düzlemin arakesiti bir doğrudur.

E) Bir doğruya eşit uzaklıktaki noktalar silindirik bir yüzey oluşturur.

3.

E A

B

C D

[AB] ⊥ E , m(BAC%

) = 45° , m(BAD% ) = 30°

[BC] ⊥ [BD] ve |AC| = 6 cm ise A(ACD) kaç cm² dir?

A) 3c15 B) 12 C) 6v5 D) 15 E) 4c15

4. Uzayda verilen ^→a = (1 + x, y – 2, z – x) ve

→b = (3, – 4, 2) vektörlerinden birisi diğerinin toplama işlemine göre tersi ise x + y + z kaçtır?

A) 0 B) –1 C) –2 D) –3 E) – 4

5. AB = ^→e₁ + 2^→e₂ – ^→e₃ ve AC = 2^→e₁ – 3^→e₂ ise ||BC|| kaç birimdir?

A) 5 B) 3v3 C) 2v7

D) 4v2 E) 6

6. ^→v = (1, 2, –2) vektörü ile aynı doğrultuda ve zıt yöndeki birim vektör aşağıdakilerden hangisidir?

A) , , 3 3 3

2 1 2

c – m B) , ,

3 1

3 2

3 – – 2

c m

C) , , 3 1

3 2

3

c 2m D) , ,

3 1

3 2

3 – – –2

c m

E) , ,

3 3 2

3

2 1

– –

c m

7. Uzayda verilen A(– 4, 0, 2) ve B(–2, 2, 6) nok- talarına göre, [AB] nin orta noktasının başlangıç noktasına olan uzaklığı kaç birimdir?

A) c23 B) 2v6 C) 5

D) c26 E) 3v3

(28)

ESEN ÜÇRENK

1.A 2.B 3.A 4.E 5.B 6.B 7.D 8.B 9.D 10.A 11.D 12.A 13.C 14.B 8.

O C

B A

G F

D E

z

y

x

K

L

Analitik uzaydaki küpte |AK| = |KB| = |CL| ve G(0, 0, 2) ise OK OL, kaçtır?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

9.

O z

y

x

A B C

M(0,0,2)

L(0,4,0)

K(6,0,0)

Analitik uzayda A, B ve C noktaları bulundukları kenarların orta noktaları olmak üzere,

OA+OB+OC vektörü aşağıdakilerden hangisidir?

A) (4, 6, 2) B) (2, 4, 6) C) (1, 2, 3) D) (6, 4, 2) E) (3, 2, 1)

10. ||^→a|| = 4 birim, ||^→b|| = 6 birim ve ^→a ile ^→b vektörleri arasındaki açının ölçüsü 60° ise

→a, ^→a + ^→b değeri kaçtır?

A) 28 B) 30 C) 32 D) 34 E) 36

11.

O z

y

x

B C

y+2z=6 A(2,0,0)

Analitik uzayda verilen y + 2z = 6 doğrusu y eksenini B de, z eksenini C de kesmektedir.

A(2, 0, 0) olduğuna göre, AB AC, değeri kaçtır?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

12. A(–1, 2, 0), B(2, – 4, 0) ve C noktaları doğrusal olup C ∉ [AB] ve 2|AB| = 3|BC| ise C nokta- sının koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?

A) (4, – 8, 0) B) (5, –9, 0) C) (4, –10, 0) D) (5, –10, 0) E) (6, –12, 0)

13. ^→a = (3, 4, 5), ^→b = (–1, 2, 0) vektörleri arasındaki açının sinüsü kaçtır?

A) 10

1 B)

10

2 C)

10 3

D) 10

4 E) 10 5

14. Analitik uzayda ^→A = –2^→B ve ||B|| = 3 br oldu- ğuna göre, ^→A, ^→B değeri kaçtır?

A) –36 B) –18 C) –9 D) – 6 E) –3

(29)

daima doğrudur?

I. Paralel iki doğruyu kesen doğrular aynı düz- lemdedir.

II. Parelel iki düzlemden birinin içindeki her doğru diğer düzleme paraleldir.

III. Bir doğru iki düzlemden birine paralel diğerine dik ise bu iki düzlem birbirine diktir.

2.

P C

A

D

B

Yukarıdaki şekilde [AD] ⊥ P , B ∈ P ve C ∈ P dir. |AC| = 2 cm , |AB| = 4 cm ve |BD| = 5 cm ise |CD| kaç cm dir?

A) c13 B) c15 C) 4 D) c17 E) 3v2

3. _D

B C

A

G 60° E

DGE üçgen düzlemi ABC üçgen düzlemine diktir.

ABC eşkenar üçgeninin ağırlık merkezi G dir.

|AE| = |EC| ve m(DEG%

) = 60° ise BC

DG kaçtır?

A) 3

1 B)

2

1 C) 3

2 D) 1 E)

2 3

4. Uzayda A(1, x, 3) ve B(–2, 2, –1) noktaları arasındaki uzaklık en az kaç birimdir?

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

5. Aşağıdaki vektörlerden hangisi ^→A = (2, –1, 3) vektörüne paralel değildir?

A) (–2, 1, –3) B) (4, –2, 6) C) (– 4, 2, – 6) D) (4, –3, 6) E) 1, ,

2 1

2 – 3

c m

6. Uzayda ^→A = (–2, 1, –3) ve ^→B + ^→C = (2, 3, 4) vektörleri veriliyor. Buna göre,

→A, ^→B + ^→A, ^→C değeri kaçtır?

A) –9 B) –10 C) –11 D) –12 E) –13

7. Analitik uzayda ^→a ⊥ ^→b ve ||^→a – ^→b || = 6 br olduğuna göre, ||^→a + ^→b || kaç br dir?

A) 3v3 B) 4v2 C) 6

D) 4v3 E) 8

(30)

ESEN ÜÇRENK

1.E 2.A 3.B 4.C 5.D 6.E 7.C 8.E 9.D 10.C 11.B 12.B 13.A 14.E 8.

O z

y

x A

B 3

C

4 2

Analitik uzayda |OA| = 2 br, |OB| = 4 br ve

|OC| = 3 br ise CB AB, değeri kaçtır?

A) 4 B) 8 C) 9 D) 12 E) 16

9.

O

A z

y

x 2

6 4

B

C

Uzayda A ve B noktalarının koordinatları yuka- rıda verilmiştir. [AB] nin orta noktası C olduğuna göre, ||OC || kaç birimdir?

A) 2c10 B) c42 C) c43

D) 2c11 E) 3v5

10. ^→V = (1, 0, v3) vektörü ile x ekseni arasındaki açının ölçüsü kaç derecedir?

A) 90 B) 75 C) 60 D) 45 E) 30

11.

O C

B A

G F

D E

z

y

x

Şekildeki dikdörtgenler prizmasında E(3, 12, 4) olduğuna göre, BF BG, kaçtır?

A) 20 B) 25 C) 32 D) 35 E) 40

12. ^→a ve ^→b vektörlerinin arasındaki açının ölçüsü 60° olup ||^→a|| = 2 ve ||^→b|| = 3 ise

2^→a + ^→b, ^→a – ^→b iç çarpımının sonucu kaçtır?

A) –5 B) – 4 C) –3 D) –2 E) –1

13. Uzayda ^→A = (1, –1, 0) ve ^→B = (1, 2, –1) ise

→A , AB skaler çarpımı kaçtır?

A) –3 B) –1 C) 0 D) 1 E) 3

14. ^→a = (0, –2, 4), ^→b = (–5, 4, 1) ve ^→c = (3, 0, 1) vektörleri üzerine kurulan paralelyüzlünün hacmi kaç br³ tür?

A) 8 B) 16 C) 32 D) 45 E) 64

(31)

daima doğrudur?

I. Paralel iki düzlemden birini kesen bir düzlem, diğerini de keser ve arakesit doğruları birbirine paralel olur.

II. Üç düzlem uzayı en çok 8 bölgeye ayırır.

III. Bir doğru kesişen iki düzlemin arakesitine paralel ise düzlemlere de paraleldir ya da birinin içindedir.

A) Yalnız I B) Yalnız II C) I ve III D) II ve III E) I, II ve III

2.

C P A

45°

B

D 4 2v6

Şekildeki DC ve [BC] P düzleminde olup [AB] ⊥ [BC] ve [BC] ⊥ DC dir.

m(CAB%

) = 45° , |AD| = 2v6 cm ve

|DC| = 4 cm ise |AB| kaç cm dir?

A) 2 B) v6 C) 2v2 D) 3 E) 2v3

3.

E

A

D

C B

ABC eşkenar üçgeninin E düzlemi üzerindeki dik iz düşümü DBC dik üçgenidir.

[BD] ⊥ [DC] , A(ABC) = 15v3 cm² olduğuna göre, A(BDC) kaç cm² dir?

A) 12 B) 15 C) 18 D) 20 E) 24

4.

O z

y

x 2

3 v3

A→

→A = (2, 3, v3) vektörü ile x ekseni arasındaki açının ölçüsü kaç derecedir?

A) 15 B) 30 C) 45 D) 60 E) 90

5. Analitik uzayda ||^→A|| = ||^→B|| = 2 br ve

→A + ^→B = (–2, 0, 4) olduğuna göre, ^→A , ^→B kaçtır?

A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 10

6. Köşelerinin koordinatları A(1, –3, 2), B(3, –1, 6) ve C(–1, 7, –2) olan üçgende m(BAC%

) kaç derecedir?

A) 22,5 B) 30 C) 45 D) 60 E) 90

7. Analitik uzayda ^→a ⊥ ^→b , ||^→a|| = 2 br, ||^→b|| = 3 br ise ^→a – ^→b, ^→b iç çarpımı kaçtır?

A) –9 B) – 6 C) –3 D) –2 E) 0

(32)

ESEN ÜÇRENK

1.E 2.A 3.B 4.D 5.C 6.E 7.A 8.C 9.C 10.D 11.C 12.D 13.A 14.D 8.

O z

y

x

→A

45°

60°

α

→A vektörü y ekseni ile 60° lik, z ekseni ile 45° lik açı yaptığına göre, x ekseni ile yaptığı açı olan α aşağıdakilerden hangisi olabilir?

A) 75 B) 90 C) 120 D) 135 E) 150

9. Uzayda A(1, 2, 3) ve B(2, 5, 1) noktaları verili- yor. Buna göre, AB nin xOy düzlemi üzerindeki dik izdüşümünün uzunluğu kaç birimdir?

A) 2v2 B) 3 C) c10 D) c11 E) 2v3

10. Koordinat eksenleriyle eşit ölçülü açılar yapan birim vektörlerden birisi aşağıdakilerden hangisidir?

A) (1, 0, 0) B) (0, 1, 0)

C) (0, 0, 1) D) , ,

3 1

3

d 1 n

E) , , 3 1

3 2

3

c 2m

11. ^→A = (–5, x, 2x) , ^→B = (1, 4 – x, –3) ise ^→A, ^→B iç çarpımının alabileceği en büyük değer kaçtır?

A) –2 B) –3 C) – 4 D) –5 E) – 6

12. ^→a, ^→b, ^→c birim vektörleri için ^→a + ^→b + ^→c = ^→0 ise

→a , ^→b + ^→a , ^→c + ^→b , ^→c kaçtır?

A) 0 B) 2

–1 C) –1 D) 2

–3 E) –2

13. Köşelerinin koordinatları A(–1, 1, 2), B(2, 3, 1) ve C(0, 2, –1) olan ABC üçgeninin alanı kaç br² dir?

A) 2

3 10 B) 10 C) 10

3 4

D) 2 10 E) 2

10 5

14. ^→a = (n, 2, 3), ^→b = (4, 2, –2) ve ^→c = (–1, 1, 4) vektörlerinin aynı düzlem içinde bulunması için n

kaç olmalıdır?

A) –2 B) –1 C) 0 D) 1 E) 2

(33)

daima doğrudur?

I. İki düzlem birbirine dikse, bu düzlemlerden birinin içinde olan her doğru, öteki düzleme diktir.

II. Bir düzlemin içindeki bir doğruya paralel olan bir doğru bu düzlemin içindeki bütün doğrulara paraleldir.

III. Kesişen iki doğruyu farklı noktalarda kesen bütün doğrular aynı düzlem içinde bulunur.

A) Yalnız II B) Yalnız III C) I ve II D) I ve III E) II ve III

2.

P

A B

d

d doğrusunun üzerinde alınan [AB] nin P düzle- mi üzerindeki dik iz düşümü [A′B′] olmak üzere,

|AB| = 6 cm ve |A′B′| = 3v3 cm dir.

Buna göre, d doğrusunun P düzlemi ile yaptığı açının ölçüsü kaç derecedir?

A) 30 B) 45 C) 60 D) 75 E) 90

3. Bir P düzleminin aynı tarafında bulunan A ve B noktaları, bu düzlemden sıra ile 4 cm ve 3 cm uzaklıktadır. A ve B den düzleme çizilen dikme ayaklarının birbirine uzaklığı 24 cm dir.

M ∈ P olmak üzere, |MA| + |MB| toplamı en az kaç cm dir?

A) 23 B) 24 C) 25 D) 26 E) 27

4.

O z

y

x 3

c11 A→ –4

→A = (– 4, c11, 3) vektörü ile z ekseni arasındaki açının ölçüsü kaç derecedir?

A) 15 B) 30 C) 45 D) 60 E) 75

5. Analitik uzayda A(–1, 0, 2) noktasından 3 birim uzaklıkta bulunan noktaların geometrik yer denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

A) (x + 1)² + y² + (z – 2)² = v3 B) (x – 1)² + y² + (z + 2)² = 3 C) (x + 1)² + y² + (z – 2)² = 3 D) (x – 1)² + y² + (z + 2)² = 9 E) (x + 1)² + y² + (z – 2)² = 9

6. ^→A ile ^→B vektörleri arasındaki açının ölçüsü 60°

olup ||^→A|| = 4 br ve ||^→B|| = 3 br ise BA, ^→A değeri kaçtır?

A) 10 B) 12 C) 14 D) 16 E) 18

(34)

ESEN ÜÇRENK

1.B 2.A 3.C 4.D 5.E 6.A 7.E 8.C 9.B 10.E 11.E 12.B 13.C 7. _A^→₌_(–2,_1,₄₎

C=(a,2,1)

→

B=(–1,4,2)

→ O

Analitik uzayda ^→A = (–2, 1, 4) ile ^→C = (a, 2, 1) ve

→C ile ^→B = (–1, 4, 2) vektörleri arasındaki açılar eşit olduğuna göre, a kaçtır?

A) 0 B) –1 C) –2 D) –3 E) – 4

8. Uzayda A, B, C ve D farklı noktalar olmak üzere, ,

AB BC + BD BC, = 0 ise aşağıdaki- lerden hangisi doğrudur?

A) AD//BC B) AD = ^→0 C) AD=BC D) AB =CD E) AB =CD

9. Köşelerinin koordinatları

A(– 4, –2, 0), B(3, –2, 1) ve C(–1, –2, 4) olan ABC üçgeninde m(BAC%

) kaç derecedir?

A) 30 B) 45 C) 60 D) 90 E) 120

10. Uzayda, ^→u = (a, b, c) , ^→v = (3, 3, 3) a + b + c = 6 ve ^→u ⊥ (4^→v + ^→w) ise ^→u, ^→w kaçtır?

A) –24 B) –36 C) – 48 D) – 60 E) –72

11. Doğrultuları ve yönleri aynı olan ^→a = (– 4, 2, 6) ve ^→b vektörlerinin iç çarpımı 28 ise ||^→b || kaç birimdir?

A) c10 B) c11 C) 2v3 D) c13 E) c14

12. Oluşturdukları açıların ölçüleri 60 ar derece olan

→a, ^→b ve ^→c vektörleri için ||^→a || = 1 br, ||^→b || = 2 br ve ||^→c || = 3 br ise ||^→a + ^→b + ^→c || kaç br dir?

A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8

13. Analitik uzayda ^→a ⊥ ^→b , ||^→c || = 2||^→a || ve

→a + ^→b = ^→c olduğuna göre, ^→a ile ^→c vektörleri ara- sındaki açının ölçüsü kaç derecedir?

A) 30 B) 45 C) 60 D) 135 E) 150

(35)

Uzayda Doğru ve Düzlem

(36)

Uzayda bir doğrunun vektörel ve parametrik denklemlerini bulur ve uygulamalar yapar.

2. Kazanım:

Uzayda bir düzlemin parametrik ve kapalı denklemlerini bulur ve uygulamalar yapar.

3. Kazanım:

Uzayda bir noktanın bir doğruya olan uzaklığını bulur.

4. Kazanım:

Uzayda iki düzlemin birbirine göre durumlarını açıklar ve uygulamalar yapar.

5. Kazanım:

Uzayda bir noktanın bir düzleme olan uzaklığı ile ilgili uygulamalar yapar.

6. Kazanım:

Uzayda iki düzlem arasındaki uzaklığı hesaplar ve uygulamalar yapar.

7. Kazanım:

Uzayda iki düzlem arasındaki açıyı bulur ve uygulamalar yapar.

8. Kazanım:

Uzayda bir doğru ve bir düzlemin birbirlerine göre konumunu belirler ve uygulamalar yapar.

9. Kazanım:

Uzayda iki doğrunun birbirine göre konumunu belirler ve uygulamalar yapar.

(37)

ESEN ÜÇRENK 1. A(–2, 1, 3) noktasından geçen ve doğrultman

vektörü →u = (4, 3, 2) olan doğrunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

A) x y z

2 4

1 3

3 2 –

– – –

= =

B) x y z

2 4

1 3

3 2 –+ = + = +

C) x y z

4

3 2

3 1

2 + = + = +

D) x y z 3

4 2

3 1

2 – = +

= +

E) x y z

4 2

3 1

2 3

– –

+ = =

2. Uzayda A(1, 2, 3) ve B(4, 4, 4) noktalarından geçen doğrunun kartezyen denklemi aşağıdaki- lerden hangisidir?

A) x y z

3

1 2

2 1

– –

= =

B) x 4 y z

3

1 2

4 4

+ = +

= +

C) x y z 4

1 4

2 4

3 –

– –

= =

D) x y z

2 3 3

1 2

= +2

= + +

E) x y z 3

3 1

2 2

1

– –

– = =

3. x y

3 2

2 1 –

+ = = z + 4 doğrusunun doğrultman vektörü aşağıdakilerden hangisidir?

A) (3, 2, 0) B) (3, 2, 1) C) (2, –1, 4) D) (–2, 1, – 4) E) (3, 2, 4)

4. Başlangıç noktasından geçen ve

→N = (–3, 4, –1) vektörüne dik olan düzlemin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

A) –3x + 4y + z = 0 B) 3x + 4y – z = 0 C) 3x – 4y + z = 0 D) x y

3+4 – z = 0 E) x y

3–4 + z = 0

5. Parametrik denklemi,

x = 2k – 1, y = 3k + 4, z = k + 1

olan doğrunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

A) x y

2 z 1

3

4 1

– –

+ = =

B) x y

2 z 1

3

4 1

–

+ = = +

C) x y

2 z 1

3

4 1

– = + = +

D) 3

x y

2 z

1 4

– – 1

– –

+ = =

E) x y

z

2 1

4 – –3

–

= =

6. D

E

Analitik uzayda verilen D : x + 2y – z = 1 E : ax + y – 2z = 3

düzlemleri birbirine dik olduğuna göre, a kaçtır?

A) – 4 B) –3 C) –2 D) –1 E) 0