ÜÇGENİN KENARLARI VE AÇILARI ARASINDAKİ İLİŞKİBir üçgende büyük .................. karşısında .................... kenar, küçük ........................ karşısında ........................ kenar vardır.ABC üçgenindem(ëA)<m(ëB)<m(ëC) ise ........... < ....

(1)

ÜÇGENDE AÇI - KENAR BAĞINTILARI

Üçgende Açı - Kenar Bağıntıları

Simedy

an A

kademi

ÜÇGENİN KENARLARI VE AÇILARI ARASINDAKİ İLİŞKİ

Bir üçgende büyük ... karşısında ... kenar, küçük ... karşısında ... kenar vardır.

ABC üçgeninde m(ëA)<m(ëB)<m(ëC) ise

(2)

Simedy

an A

kademi

Örnek 1

ABC üçgeninde verilen açılara göre, kenar uzunluklarını büyükten küçüğe sıralayınız.

(3)

Simedy

an A

kademi

Örnek 2

Şekilde verilenlere göre, kenar uzunluklarını büyükten küçüğe sıralayınız.

(4)

Simedy

an A

kademi NOT:

Aynı soruda sıralama yerine en büyük kenarı sorulduğunda şu yöntemi kullanabiliriz:

AÿBCninde en büyük açı 70° olduğundan bu açıyı oluşturan kenarları işaretliyoruz. Aynısını A_{ÿDC için de uyguladığımızda en büyük}

kenarın ... olduğu bulunur.

Dipnot 1: Soruda en küçük kenar sorulsaydı bu

sefer en küçük açıyı oluşturan kenarları işaretlemek zorundaydık. Dipnot 2: Bir soruda en uzun veya en kısa kenar

(5)

Simedy

an A

kademi

Örnek 3

(6)

Simedy

an A

kademi

ÜÇGEN EŞİTSİZLİĞİ

(Üçgenin Çizilebilme Koşulu)

Bir üçgende herhangi bir kenarın uzunluğu diğer iki kenarın uzunlukları toplamından ..., iki kenarın uzunlukları farkının mutlak değerinden ...

... < a < ... ... < b < ... ... < c < ...

(7)

Simedy

an A

kademi

Örnek 4

(8)

Simedy

an A

kademi

Örnek 5

Şekilde verilen çeşitkenar ABC üçgenine göre x in tam sayı değerleri kaç tanedir?

(9)

Simedy

an A

kademi

Örnek 6

ABC üçgeninde a’nın alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?

(10)

Simedy

an A

kademi

Örnek 7

(11)

Simedy

an A

kademi

Örnek 8

Şekilde ABC ve BCD birer üçgen olduğuna göre, m nin değer aralığını bulunuz.

(12)

Simedy

an A

kademi

Örnek 9

Şekilde ABC ve BDC birer üçgen olduğuna göre, x kaç farklı tam sayı değeri alır?

(13)

Simedy

an A

kademi

Örnek 10

ABC bir üçgen |AC| = 7 br

|DC| = 3 br

olduğuna göre, AÿBD nin çevre uzunluğunun en küçük tam sayı değeri kaçtır?

(14)

Simedy

an A

kademi

Örnek 11

olduğuna göre, |AB| = x in alabileceği tam sayı değerleri kaç tanedir?

ABC bir üçgen m(AéBD)=m(BéCA) |AD| = 4 cm

(15)

Simedy

an A

kademi

Örnek 12

ABCD konveks bir dörtgen |AD| = 6 cm

|DC| = 7 cm |BC| = 8 cm

(16)

Simedy

an A

kademi

Örnek 13

4 cm, 5 cm, 8 cm ve 13 cm uzunluğundaki dört farklı kalemden üçü seçilerek üçgen oluşturulmaya

çalışılıyor.

(17)

Simedy

an A

kademi

Örnek 14

Şekilde ADC ve ACB birer üçgen olduğuna göre, a’nın en küçük tam sayı değeri kaçtır?

(18)

Simedy an A kademi NOT: |AD| = |DB| ve [DE] // [BC] ise ... = ... ve ... = ...

(19)

Simedy

an A

kademi

Örnek 15

ABC bir üçgen |BD| = |DC|

|AB| = 12 br |AC| = 16 br

(20)

Simedy

an A

kademi

Örnek 16

ABC bir üçgen [DE] ⊥ [BC]

|AD| = 3 br |DC| = 7 br

(21)

Simedy

an A

kademi NOT:

Bir dik üçgende ... kenar daima hipotenüstür.

Diğer açıların ölçüleri verilmediği

sürece uzunluk sıralamaları hakkında yorum yapılamaz.

Geniş açılı bir üçgende ise ... kenar daima geniş açıya bakan

kenardır.

Diğer açıların ölçüleri verilmediği

sürece uzunluk sıralamaları hakkında yorum yapılamaz.

(22)

Simedy an A kademi NOT: 1. a < 90° ´ ... < ... 2. a = 90° ´ ... = ... 3. a > 90° ´ ... > ... (... Teoremi)

Dipnot: Yukarıdaki kurallar kullanılırken “üçgen eşitsizliği” ve

“üçgenin kenarları ve açıları arasındaki ilişki” kuralları da unutulmamalıdır.

(23)

Simedy an A kademi Örnek 17 ABC üçgeninde, m(ëA)< 90o

olduğuna göre, |AC| = x in değer aralığını bulunuz.

(24)

Simedy

an A

kademi

Örnek 18

ABC bir üçgen

[BD] ve [DC] açıortaylar |BD| = 5 cm

|DC| = 4 cm

(25)

Simedy

an A

kademi

Örnek 19

ABC bir üçgen

[BD] ve [CD] dış açıortaylar |BD| = 4 cm

|CD| = 3 cm

olduğuna göre, BCD üçgeninde |BC| =x in tam sayı değerleri kaç tanedir?

(26)

Simedy

an A

kademi

Örnek 20

ABC bir üçgen m(BéAC)= 117o |AB| = 5 br

|AC| = 6 br

(27)

Simedy

an A

kademi NOT:

İkizkenar bir üçgenin ... açıları birbirine eşit olduğundan bu iki açının her ikisi de ... açı olmak

zorundadır. Çünkü, bir üçgende iki tane... bulunamaz.

Üçgenin ... açısı hakkında dar ya da geniş açı yorumu yapılamaz.

(28)

Simedy

an A

kademi

ABC bir üçgen

|AB| =|AD| = 12 br |DC| = 5 br

olduğuna göre, |AC| = x in tam sayı değerleri kaç tanedir? Örnek 21

(29)

Simedy an A kademi ABC üçgeninde m(BéAC)= α |AB| = |AC| = 10 br 60° < α < 90°

olduğuna göre, |BC| = x in tam sayı değerleri kaç tanedir? Örnek 22

(30)

Simedy

an A

kademi KURAL

P noktası ABC üçgeninin iç bölgesinde bir nokta ve

u = Çevre(AÿBC)

2 olmak üzere,

(31)

Simedy

an A

kademi

Örnek 23

P noktası ABC

üçgeninin iç bölgesinde bir noktadır.

|AP| = 8 cm |BP| = 6 cm |CP| = 13 cm

olduğuna göre, ABC üçgeninin çevresinin alabileceği en büyük tam sayı değeri kaçtır?

(32)

Simedy

an A

kademi

HaNiVar Kuralı

Bir ABC üçgenine |BC| = a kenarına ait;

|AD| = h_a (Yükseklik) |AE| = n_a (Açıortay) |AF| = V_a (Kenarortay)

olmak üzere;

... ≤ ... ≤ ...eşitsizliği vardır.

h_a = n_a = V_a eşitliğinin sağlanabilmesi için üçgen ya ikizkenar ya da eşkenar üçgen olmalıdır. Eğer bu iki üçgenden biri değilse

h_a < n_a < V_a sağlanır.

(33)

Simedy

an A

kademi

ABC bir üçgen, [AD] ⊥ [BC], |EC| = |BD| + |DE|

|AD| = 4 cm, |AE| = 7 cm Örnek 24

olduğuna göre, BC kenarına ait açıortayın uzunluğunun tam sayı değerleri kaç tanedir?

(34)

Simedy an A kademi KIRIK ÇİZGİ KURALI ABC üçgeninde, ... < ... < ...

• Bu kuralın sağlanabilmesi için ABC üçgeninin iç bölgesinde köşeleri olan çokgenin konveks olması gereklidir.

• Çokgenin kenar sayısı önemsizdir. NOT:

(35)

Simedy an A kademi ABCDE konveks bir çokgen, |AE| = 4 cm |ED| = |DC| = 5 cm, |CB| = 8 cm

olduğuna göre, |AB| = x değerinin en büyük tam sayı değeri kaçtır?

(36)

ÜÇGENDE AÇI - KENAR BAĞINTILARI Çalışma Soruları - 3 Simedy an A kademi 1. m(ëA)= 66o m(ëB)= 55o

olduğuna göre, ABC üçgenindeki kenar uzunluklarını büyükten

(37)

ÜÇGENDE AÇI - KENAR BAĞINTILARI Çalışma Soruları - 3 Simedy an A kademi 2.

Şekilde verilenlere göre, en uzun kenar hangisidir?

m(AéBC)= 63o

m(BAC)= 61o

m(ëC)= 63o

(38)

[AB] ⊥ [BC], m(BéCA)= 40º, m(CéAD)= 70º,

m(AéDC)=57º, m(DéCE)=58º m(DéEC)=58

(39)

ABC bir üçgen |AC| = 9 cm

|BC| = 3 cm

olduğuna göre, |AB| = x in değer aralığını bulunuz.

(40)

ÜÇGENDE AÇI - KENAR BAĞINTILARI Çalışma Soruları - 3 Simedy an A kademi 5. |AB| = (3k – 2) cm |AC| = 8 cm |BC| = 4 cm

ABC üçgeninde k nın alabileceği

farklı tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?

(41)

ABC ve ACD birer üçgen |AB| = 3 cm

|BC| = 7 cm |AD| = 4 cm |CD| = 2 cm

(42)

ABC ve ADC birer üçgen |AB| = 10 cm

|BC| = 8 cm |AD| = 6 cm |DC| = 5 cm

(43)

ABC bir üçgen [AD] kenarortay |AB| = 10 cm

|AC| = 8 cm

(44)

ABC bir üçgen [DE] ⊥ [BC]

|BE| = |EC| |AD| = 2 cm |DC| = 8 cm

(45)

ÜÇGENDE AÇI - KENAR BAĞINTILARI Çalışma Soruları - 3 Simedy an A kademi 10. ABC üçgeninde |AB| = 5 cm |AC| = 12 cm |BC| = x m(ëA)< 90o

(46)

ÜÇGENDE AÇI - KENAR BAĞINTILARI Çalışma Soruları - 3 Simedy an A kademi 11.

ABC bir üçgen |AB| = |AD|

|AC| = 8 cm |DC| = 3 cm

olduğuna göre, |AB| nin alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır?

(47)

ÜÇGENDE AÇI - KENAR BAĞINTILARI Çalışma Soruları - 3 Simedy an A kademi 12. |AP| = 7 cm |BP| = 9 cm |CP| = 8 cm

olduğuna göre, ABC üçgeninin çevresinin alabileceği en büyük tam sayı değeri kaçtır?

(48)

ABC bir üçgen |AB| = 9 cm

|AD| = 4 cm

olduğuna göre, BDC üçgeninin çevresinin en küçük tam sayı değeri kaçtır?

(49)

ABC bir üçgen m(BéAD)=m(AéCB) |AD| = 4 cm

|DC| = 5 cm

olduğuna göre, |AC| = x in alabileceği farklı tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?

(50)

ÜÇGENDE AÇI - KENAR BAĞINTILARI Çalışma Soruları - 3 Simedy an A kademi 15. ABC üçgeninde [BD] ve [DC] iç açıortaylar |BD| = 4 cm |DC| = 6 cm |BC| = x cm

olduğuna göre, x in alabileceği farklı tam sayı değerleri kaç tanedir?

(51)

ÜÇGENDE AÇI - KENAR BAĞINTILARI Çalışma Soruları - 3 Simedy an A kademi 16. ABC üçgeninde; [BD] ve [CD] dış açıortaylardır. |BD| = 5 cm |CD| = 4 cm

olduğuna göre, |BD| nin alabileceği kaç tane farklı tam sayı değeri vardır?

(52)

Bir ABC üçgeninin kenarları, |AB| = (x + 3) cm

|AC| = (x – 4) cm |BC| = (3x – 11) cm

olduğuna göre, x tam sayısının alabileceği kaç farklı değer vardır?

(53)

ABC ve BEC birer üçgen [BE] iç açıortay

[CE] dış açıortay |EC| = 8 cm

|EB| = 15 cm

olduğuna göre, |BC| nin alabileceği farklı tam sayı değerleri kaç tanedir?

(54)

ABC üçgeninde m(BéAC)= 90o ,

|AB| = 2ñ2cm |AC| = 2ñ3 cm

(55)

ÜÇGENDE AÇI - KENAR BAĞINTILARI Çalışma Soruları - 3 Simedy an A kademi 20. ABC üçgeninde, |AB| = |AC| = 8 cm m(BAC)= a 60° < a < 90°

olduğuna göre, |BC| nin alabileceği farklı tam sayı değerleri toplamı kaçtır?

(56)

ABC bir üçgen D Î [BC]

|AB| = 6 cm |AC| = 5 cm

olduğuna göre, |AD| nin alabileceği farklı tam sayı değerleri kaç tanedir?

(57)

ÜÇGENDE AÇI - KENAR BAĞINTILARI Test-1 Simedy an A kademi 1.

ABC bir üçgen |AB| = |BC|

m(AéBD)= 30o

m(DéBC)= 70o

olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?

A) |BC| = |DC| B) |BD| > |AD| C) |DC| > |AD| D) |BC| < |AD| E) |AD| + |DC| > |BC|

(58)

ÜÇGENDE AÇI - KENAR BAĞINTILARI Test-1 Simedy an A kademi 2. ABC üçgen, |AB|= (2k-3) cm, |AC|=10 cm, |BC|= 5 cm,

olduğuna göre, x in alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?

(59)

ÜÇGENDE AÇI - KENAR BAĞINTILARI Test-1 Simedy an A kademi 3. . A B C 9 4 x 7 D

ABC dik üçgen,|BC|= 9 cm, |AD|= 7 cm, |DB|= 4 cm olduğuna göre, |AB|= x in alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır?

(60)

ABC kenar uzunlukları tam sayı olan bir üçgen,

m(ëA)<m(ëB)<m(ëC), |AC|= x+10,

|BC|= 3x

olduğuna göre, Ç(AÿBC) nin alabileceği en büyük değer kaçtır?

A) 36 B) 39 C) 42 D) 45 E) 51 A

C

B 3x

(61)

ÜÇGENDE AÇI - KENAR BAĞINTILARI Test-1 Simedy an A kademi 5. A B C D ABCD dörtgen, |BD|= 11 cm

olduğuna göre, ABCD dörtgeninin çevresinin tam sayı olarak

alabileceği en küçük değer kaçtır?

11

(62)

ABC dik üçgen, B,D,C doğrusal, |AC|= 15 cm,

|AD|= 9 cm

olduğuna göre, |DC|= x in alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır?

15 9

(63)

ABC ve ACB birer üçgen

Kenar uzunlukları verilen üçgenlere göre; x’in alabileceği kaç farklı tam

(64)

ABC ve ADC birer üçgen [AB] ^ [BC],|

|AD|= 7 cm, |DC|= 5 cm

olduğuna göre, |AC|= x in alabileceği en büyük tam sayı değeri kaçtır?

(65)

ABC bir üçgen m(BéAC)= 24º, c>b

olduğuna göre, m(BéCA)= a açısının

alabileceği en büyük tam sayı değeri kaçtır?

(66)

ÜÇGENDE AÇI - KENAR BAĞINTILARI Test-1 Simedy an A kademi 10.

ABC ve DBC birer üçgen |AB|= 6 cm, |AC|= 7 cm |BC|= 8 cm olduğuna göre,

Çevre(BÿDC) nin en büyük tam sayı değeri kaçtır?

(67)

ABC bir üçgen |AD| = |DC|

|AE| = 9 cm |EB|= 3 cm |BC| = 10 cm

olduğuna göre, x’in alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır?

(68)

D noktası ABC üçgeninin

iç bölgesinde herhangi bir nokta, |AC| = 7 cm |AB| = 11 cm |DB| = 4 cm |DC| = a cm |BC| = b cm A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

(69)

Şekilde kenar uzunlukları verilen ABC üçgeninde x’in alabileceği tam sayı

değerleri toplamı kaçtır?

(70)

ÜÇGENDE AÇI - KENAR BAĞINTILARI Test-2 Simedy an A kademi 2. ABC üçgeninde; |AC| = |AD| = 9 cm |BD| = 5 cm

|AB| = x in alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır?

(71)

ABC ve BDC birer üçgen, [BA] ^ [AC],

|BD|= 6 cm, |DC|= 8 cm, olduğuna göre, |BC|= x in

alabileceği en küçük tam sayı değeri kaçtır?

(72)

ÜÇGENDE AÇI - KENAR BAĞINTILARI Test-2 Simedy an A kademi 4. ABC üçgen , [DE] ^ [BC], |BE|=|EC|, |AB|= 8 cm, |AC|= 14 cm,

|DC|= x in alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır?

(73)

ABC dik üçgen,

m(BéAC)=m(AéHB)=90o

m(BéAH)=32o, |BH| = a cm, |AH| = b cm, |HC| = c cm

olduğuna göre, |a – b| – |b – c| + |a – c| ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

(74)

ABC üçgen, |AC|= 4 cm, |BC|= 6 cm, m(ëC)<60º

olduğuna göre, |AB|= x in alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır? A) 12 B) 20 C) 32 D) 36 E) 40 A B C x ₄ 6

(75)

ÜÇGENDE AÇI - KENAR BAĞINTILARI Test-2 Simedy an A kademi 7. ABCD dörtgeninde, m(BéAD)>90º, m(BéCD)< 90º, |AB|= 8 br, |AD|= 6 br, |DC|= 5 br, |BC|= 12 br

olduğuna göre, x in alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır?

(76)

ABD çeşitkenar üçgen, m(BéAD)=m(AéCB),

|AD|= 7 cm, |BD|= 5 cm

olduğuna göre, |AB|= x in kaç farklı tam sayı değeri vardır?

(77)

ABCD dörtgeninde, |BD| bir tam sayıdır.

Verilen uzunluklara göre, |CD|= x in alabilceği en büyük ve en küçük tam sayı değerilerinin toplamı kaçtır?

(78)

ÜÇGENDE AÇI - KENAR BAĞINTILARI Test-2 Simedy an A kademi 10. ABC üçgen,|AD|= |DC|, |AB|= 6 cm, |BC|= 10 cm m(AéBC)< 90º

olduğuna göre, |BD|= x in alabileceği tam sayı değerleri topla-mı kaçtır?

(79)

ABC üçgen,[BA] ^ [AD], |BD|=|DC|, |AD|= 8 cm

olduğuna göre, |AC|= x in alabileceği en küçük tam sayı değeri kaçtır?

(80)

ÜÇGENDE AÇI - KENAR BAĞINTILARI Test-2 Simedy an A kademi 12. . A E D C = = a B

[AB] ^ [BC] ,[AD] ^ [DE], |AB|=|CD|=|AE|

olduğuna göre, m(AéCD)= a nın en büyük tam sayı değeri

.

=

(81)

Yeni Nesil Sorular

Simedy

an A

kademi

ABC, kenar uzunlukları tam sayı olan çeşitkenar bir üçgendir. |AB|.|AC| ve |AB|.|BC| çarpımlarının sonucu birer asal sayı olduğuna göre, bu kurallara uyan kaç farklı ABC üçgeni çizilebilir?

1.

A) 4 B) 3 C) 2 D) 1 E) 0

(82)

Simedy an A kademi 2. |BD| = 7 km |DC| = 6 km

Şekildeki ABC üçgeni şeklindeki koşu parkurunun B noktasında bulunan üç koşucu [BA] ve [AC], [BD] ve [DC] ile [BC] yollarını kullanarak C noktasına ulaşıyor. Zeynep’in gideceği yolun tam sayı değeri en az A km; Koray’ın gideceği yolun tam sayı değeri en çok B km’dir.

Bu üç koşucu farklı yolları kullandıklarına göre, A + B toplamı kaçtır?

(83)

Simedy

an A

kademi

3.

Selim, Kemal ve Gizem bir parkta oynamaktadır. Selim; Kemal’den 3,2 metre, Gizem’den ise 2,8 metre uzaklıktadır

Buna göre, Kemal ile Gizem arasındaki uzaklığın alabileceği tam sayı değerleri kaç tanedir?

(84)

Simedy an A kademi Aydın Ke_mal Mustafa Sami

Buna göre, Kemal ile Sami’nin evlerinin arasındaki uzaklığın alabileceği en büyük ve en küçük tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?

Aydın, Kemal Mustafa ve Sami adlı dört arkadaş bir tatil köyünde şekil-deki gibi konumlandırılmış bungalow evlerine yerleşiyorlar.

Aydın ile Kemal’in evlerinin arası 9 km,

Aydın ile Sami’nin evlerinin arası 5 km,

Mustafa’nın evininin; Kemal’in evine uzaklığı 6 km, Sami’nin evine olan uzaklığı ise 11 km dir.

4.

(85)

Simedy an A kademi 5. m(AéOB)= a m(AéOC)=b m(BéOC)= q

α, β, θ geniş açılardır. |AO| = |BO| = |CO| = 4 km

O noktasında patlayan bir bombadan çıkan üç şarapnel parçası, dörder kilometrelik eşit yollar alarak A, B ve C noktalarına düşüyor.

Şekildeki ABC üçgeninin çevresinin tam sayı değerleri kaç tanedir?

(86)

Simedy an A kademi A B _C 6. Şekildeki diz üstü

bilgisayar en fazla yatay olacak kadar açılabiliyor.

A B _C

Açık ekli

Açık şekli yukarıdaki gibi olan bu bilgisayar için;

|AB| = 20 cm ve |BC| = 25 cm

olduğuna göre, A ve C noktaları arasındaki uzaklığın tam sayı değerleri kaç tanedir?

(87)

Simedy an A kademi Enes Furkan x metre Bünyamin

Üç arkadaş olan Bünyamin, Enes ve Furkan için aşağıdaki bilgiler veriliyor.

I.Enes ile Furkan arasındaki mesafe x metre-dir.

II.Enes ve Furkan hareket etmektedir. III. Bünyamin’in Enes’e olan uzaklığı ile Furkan’a olan uzaklığının toplamı daima 14 metredir.

Verilenlere göre, x’in alabileceği en büyük üç farklı tam sayı değerinin toplamı kaçtır?

7.

(88)

Simedy an A kademi 7 metr e Rıza 4 metre 5 metre ule Samet Buse 8.

Düzlemsel bir yerde bulunan Şule ile Samet arasında 4 metre, Samet ile Buse arasında 5 metre, Rıza ile Şule arasında 7 metre uzaklık

bulunmaktadır.

Hareketsiz duran üç arkadaş doğ-rusal, hareket edebilen Rıza ise Şule’ye olan uzaklığını koruyarak dolaşabilmektedir.

Verilenlere göre Rıza’nın; Samet’e ve Buse’ye olan

uzaklıklarının farkının alabileceği en büyük tam sayı değeri kaçtır? A) 15 B) 14 C) 13 D) 12 E) 11