ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ ORTOGONAL POLİNOMLARIN BAZI GENİŞLETMELERİ. Serhan VARMA MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA 2013

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

DOKTORA TEZİ

ORTOGONAL POLİNOMLARIN BAZI GENİŞLETMELERİ

Serhan VARMA

MATEMATİK ANABİLİM DALI

ANKARA 2013

Her hakkı saklıdır

ÖZET Doktora Tezi

ORTOGONAL POL·INOMLARIN BAZI GEN·I¸SLETMELER·I Serhan Varma

Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dal¬

Dan¬¸sman: Doç. Dr. Fatma TA¸SDELEN YE¸S·ILDAL

Bu tez be¸s bölümden olu¸smaktad¬r. Orjinal bölümler tezin üçüncü, dördüncü ve be¸sinci bölümlerinde yer almaktad¬r.

Ilk bölüm giri¸· s k¬sm¬na ayr¬lm¬¸st¬r.

Ikinci bölümde, ortogonal polinomlar hakk¬nda baz¬temel bilgiler verilip di¼· ger k¬s¬m- larda bu kavram¬n literatürde olan baz¬geni¸sletmeleri tan¬t¬lm¬¸st¬r.

Üçüncü bölümde, biortogonal matris polinomlar¬n¬n ilk örnekleri olan Konhauser matris polinomlar¬ve daha sonra Jacobi matris polinomlar¬taraf¬ndan belirtilen bior- togonal matris polinomlar¬tan¬mlanm¬¸s olup bu polinomlar¬n biortogonallik ko¸sulu, baz¬ matris rekürans ba¼g¬nt¬lar¬ ve do¼gurucu fonksiyonlar¬, baz¬ matris diferensiyel denklemleri gibi temel özellikleri elde edilmi¸stir.

Dördüncü bölümde, d-ortogonal polinomlar hakk¬nda bilgiler verildikten sonra be- lirli bir do¼gurucu fonksiyona sahip ve Laguerre polinomlar¬n¬n geni¸sletmesi olan bir polinom kümesinin d-ortogonallik özellikleri incelenmi¸stir.

Be¸sinci bölümde, ortogonal polinomlar¬n lineer kombinasyonlar¬ndan olu¸san yeni bir polinom kümesinin ortogonallik özellikleri elde edilmi¸s olup Jacobi matrislerine dayanan bir matris yakla¸s¬m¬ve baz¬özel durumlar verilmi¸stir.

Ekim 2013, 84 sayfa

Anahtar Kelimeler: Ortogonal polinomlar, ortogonal matris polinomlar¬, biorto- gonal polinomlar, d-ortogonal polinomlar, Laguerre polinomlar¬, Jacobi polinomlar¬, moment fonksiyoneli.

ABSTRACT Ph.D. Thesis

SOME EXTENSIONS OF ORTHOGONAL POLYNOMIALS Serhan Varma

Ankara University

Graduate School of Natural And Applied Sciences Department of Mathematics

Supervisor: Assoc. Prof. Dr. Fatma TA¸SDELEN YE¸S·ILDAL

This thesis consists of …ve chapters and the last three chapters include the original results.

The …rst chapter is devoted to the introduction part.

In the second chapter, some basic information about the notion of orthogonal polyno- mials are given and at the other parts some extensions of this notion in the literature are introduced.

In the third chapter, the …rst examples of biorthogonal matrix polynomials called Konhauser matrix polynomials and biorthogonal matrix polynomials suggested by Jacobi matrix polynomials are de…ned and some basic properties of these polynomi- als such as biorthogonality condition, matrix recurrence relations, matrix generating functions and matrix di¤erential equations are obtained.

In the fourth chapter, after giving some information about d-orthogonal polynomi- als, d-orthogonality properties of a polynomial set which has a certain generating function and is an extension of Laguerre polynomials are examined.

In the …fth chapter, orthogonality properties of a polynomial set which is linear combinations of orthogonal polynomials are obtained and a matrix approach with respect to Jacobi matrices and some special cases are given.

October 2013, 84 pages

Key Words: Orthogonal polynomials, orthogonal matrix polynomials, biorthogonal polynomials, d-orthogonal polynomials, Laguerre polynomials, Jacobi polynomials, moment functional.

TE¸SEKKÜR

Bu çal¬¸sman¬n olu¸smas¬nda beni yönlendiren, ara¸st¬rmalar¬m¬n her a¸samas¬nda bilgi, öneri ve yard¬mlar¬n¬esirgemeyerek çal¬¸sman¬n ilerlemesine katk¬da bulunan dan¬¸s- man hocam Say¬n Doç. Dr. Fatma TA¸SDELEN YE¸S·ILDAL (Ankara Üniversitesi Matematik Anabilim Dal¬)’a, tez izleme komitesi üyesi olarak, tez izleme toplan- t¬lar¬boyunca olumlu katk¬larda bulunan Say¬n Prof. Dr. Abdullah ALTIN (Ankara Üniversitesi Matematik Anabilim Dal¬)’a ve Say¬n Prof. Dr. Ogün DO ¼GRU (Gazi Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü)’ya, ara¸st¬rma yapmak için yan¬nda bulundu¼gum süre zarf¬nda çal¬¸smama yapt¬¼g¬ katk¬lar¬ndan dolay¬ Say¬n Prof. Dr.

Francisco Marcellán (Universidad Carlos III de Madrid)’a ve hayat¬m boyunca yan¬m- da oldu¼gu gibi çal¬¸smalar¬m süresince de fedakarl¬klar göstererek beni destekleyen aileme en içten duygular¬mla te¸sekkür ederim.

Bu tez "TÜB·ITAK-2211 Yurt ·Içi Doktora Burs Program¬" taraf¬ndan desteklen- mi¸stir.

Serhan VARMA Ankara, Ekim 2013

IÇ·· INDEK·ILER

ÖZET... i

ABSTRACT... ii

TE¸SEKKÜR... iii

S·IMGELER D·IZ·IN·I... vi

1. G·IR·I¸S... 1

2. TEMEL KAVRAMLAR... 3

2.1 Ortogonal Polinomlar... 3

2.1.1 Laguerre polinomlar¬... 11

2.1.2 Jacobi polinomlar¬... 12

2.2 Biortogonal Polinomlar... 13

2.2.1 Konhauser polinomlar¬... 14

2.2.2 Jacobi polinomlar¬taraf¬ndan belirtilen biortogonal polinomlar... 15

2.3 Ortogonal Matris Polinomlar¬... 17

2.3.1 Laguerre matris polinomlar¬... 21

2.3.2 Jacobi matris polinomlar¬... 22

3. B·IORTOGONAL MATR·IS POL·INOMLARI... 24

3.1 Konhauser Matris Polinomlar¬... 24

3.1.1 Biortogonallik ko¸sulunun sa¼glanmas¬... 27

3.1.2 Zn^{(A; )}(x; k) Konhauser matris polinomlar¬n¬n baz¬özellikleri... 29

3.2 Jacobi Matris Polinomlar¬Taraf¬ndan Belirtilen Biortogonal Matris Polinomlar¬... 34

3.2.1 Biortogonallik ko¸sulu... 35

3.2.2 Jn^(A;B)(x; k) matris polinomlar¬n¬n baz¬özellikleri... 39

4. d-ORTOGONAL POL·INOMLAR... 45

4.1 Do¼gurucu Fonksiyonlar Yard¬m¬yla Tan¬mlanan d-Ortogonal Polinomlar... 47

4.1.1 Laguerre polinomlar¬n¬n farkl¬bir geni¸sletmesi... 56

5. ORTOGONAL POL·INOMLARIN L·INEER KOMB·INASYONLARI... 64

5.1 Ters Problem... 64

5.2 Bir Matris Yakla¸s¬m¬... 71

5.3 Özel Durumlar... 73

KAYNAKLAR... 80

ÖZGEÇM·I¸S... 84

S·IMGELER D·IZ·IN·I

P Kompleks katsay¬l¬polinomlar¬n lineer uzay¬

P⁰ P lineer uzay¬n¬n cebirsel dual uzay¬

L^{( )}n (x) Laguerre polinomlar¬

Pn^{( ; )}(x) Jacobi polinomlar¬

(z) Gamma fonksiyonu

(A) Gamma matris fonksiyonu B(A; B) Beta matris fonksiyonu L^{(A; )}n (t) Laguerre matris polinomlar¬

Pn^(A;B)(x) Jacobi matris polinomlar¬

I (x) Birinci tür Modi…ye Bessel fonksiyonu G_n(x; r; p; k) Srivastava-Singhal polinomlar¬

1. G·IR·I¸S

Ortogonal polinomlar kavram¬, matematikte geni¸s alanlara sahip olmakla birlikte kuantum mekani¼gi ve elektrostatik gibi …zi¼gin dallar¬nda birçok kullan¬m alan¬na sahiptir. Do¼gal olarak bu kavram¬n geni¸sletilmesine olan ilgi son y¬llarda giderek artmaktad¬r. Bu tezde, biortogonal polinomlar, ortogonal matris polinomlar¬ve d- ortogonal polinomlar kavramlar¬yard¬m¬yla ortogonal polinomlar¬n geni¸sletilmesine çal¬¸s¬lm¬¸st¬r. Ayr¬ca, ortogonal polinomlar¬n lineer kombinasyonlar¬ndan olu¸san yeni polinom kümelerinin ortogonallik özellikleri incelenmi¸stir.

Biortogonal polinomlar, özel bir durumda ortogonal polinomlara indirgenmekte olup Joseph D. E. Konhauser (1965) taraf¬ndan tan¬mlanm¬¸st¬r. Bu polinomlar¬n belli ba¸sl¬lar¬özel bir durumda Laguerre polinomlar¬na indirgenen Konhauser polinomlar¬

ve özel bir durumda Jacobi polinomlar¬na indirgenen Jacobi polinomlar¬taraf¬ndan belirtilen biortogonal polinomlard¬r. Di¼ger taraftan Jodar, Company ve Navarro’nun (1994) Laguerre polinomlar¬n¬n geni¸sletmeleri olan Laguerre matris polinomlar¬n¬

tan¬mlamas¬yla ba¸slayan çal¬¸smalar klasik ortogonal polinomlar¬n benzer ¸sekilde ge- ni¸sletilmesiyle günümüze kadar ula¸sm¬¸st¬r (Jodar vd. 1996a, b, Defez ve Jodar 1998, Defez vd. 2004). Bu çal¬¸smada, matris polinomlar¬ kavram¬n¬n ¬¸s¬¼g¬ alt¬nda Kon- hauser matris polinomlar¬ ve Jacobi matris polinomlar¬ taraf¬ndan belirtilen bior- togonal matris polinomlar¬literatürde ilk defa tan¬mlanm¬¸st¬r. Bu matris polinom- lar¬n¬n biortogonallik ko¸sulunu sa¼glad¬klar¬ gösterilip baz¬ matris rekürans ba¼g¬n- t¬lar¬n¬sa¼glamak, do¼gurucu fonksiyona sahip olmak ve matris diferensiyel denklemin çözümü olmak gibi özellikleri incelenmi¸stir.

Katl¬ ortogonal polinomlar¬n bir alt s¬n¬f¬ olan d-ortogonal polinomlar, ortogonal polinomlar¬n bir do¼gal geni¸sletmesidir. Bu polinomlar ilk defa J. Van Iseghem (1987) taraf¬ndan tan¬mlanm¬¸st¬r. Daha sonra Pascal Maroni’nin (1989) bir poli- nom kümesinin d-ortogonallik ko¸sulunu sa¼glamas¬ için gerek ve yeter ko¸sul olarak (d + 1)-inci basamaktan bir rekürans ba¼g¬nt¬s¬n¬ sa¼glamas¬ gerekti¼gini göstermesi bu alanda birçok çal¬¸sma yap¬lmas¬na olanak vermi¸stir. Bu çal¬¸smada, öncelikle, d-ortogonal polinomlar hakk¬nda baz¬ temel bilgiler verilip do¼gurucu fonksiyonlar taraf¬ndan elde edilen polinom kümeleriyle d-ortogonallik kavram¬aras¬ndaki ili¸ski-

den bahsedilmi¸stir. Daha sonra belirli bir do¼gurucu fonksiyona sahip özel durumda Laguerre polinomlar¬na indirgenen bir polinom kümesinin d-ortogonallik ko¸sulunu sa¼glad¬¼g¬ gösterilip d-boyutlu fonksiyonel vektör bulunmu¸stur. Ayr¬ca bu polinom kümesinin, literatürde bilinen di¼ger polinom kümeleriyle ili¸skisi incelenip baz¬rekürans ba¼g¬nt¬lar¬n¬ve (d + 1)-inci basamaktan bir diferensiyel denklemi sa¼glad¬¼g¬elde edil- mi¸stir.

Ortogonal polinomlar kavram¬n¬n bir ba¸ska geni¸sletme yöntemi bu polinomlar¬n li- neer kombinasyonlar¬n¬n hangi ¸sartlar alt¬nda bu özelliklerini korudu¼gunu elde et- mektir. Bu konu ayr¬ca kar¸s¬l¬k gelen lineer fonksiyonellerin aralar¬nda fonksiyonel bir ili¸skinin bulunmas¬yla da yak¬ndan ilgilidir. Son y¬llarda yo¼gun çal¬¸smalar Marcel- lán, Alfaro ve arkada¸slar¬taraf¬ndan yap¬lmaktad¬r. Bu çal¬¸smada, ilk önce ortogonal polinomlar¬n belirli lineer kombinasyonlar¬n¬n ortogonallik özelli¼gini nas¬l korudu¼gu gösterilmi¸stir. Daha sonra, bu polinomlar¬n aç¬k bir ¸seklinin elde edili¸si, Jacobi mat- rislerine dayanan bir matris yakla¸s¬m¬ve baz¬özel durumlar verilmi¸stir.

2. TEMEL KAVRAMLAR

Bu bölümde, tez boyunca kullan¬lacak baz¬ temel tan¬m, teorem ve ba¼g¬nt¬lar ve- rilecektir.

2.1 Ortogonal Polinomlar

P, kompleks katsay¬l¬ polinomlar¬n bir lineer uzay¬ ve P⁰ ise onun cebirsel duali olsun. hu; fi ile u 2 P⁰ lineer fonksiyonelinin f 2 P polinomu üzerindeki etkisi gösterilmektedir.

Tan¬m 2.1.1. (Moment Fonksiyoneli) f ngn 0 kompleks say¬lardan olu¸san bir dizi ve u; P lineer uzay¬üzerinde tan¬ml¬kompleks de¼gerli bir fonksiyon olmak üzere

hu; xⁿi = n ; n = 0; 1; :::;

hu; ^{1 1}(x) + _{2 2}(x)i = ¹hu; ¹(x)i + ²hu; ²(x)i

e¸sitlikleri tüm i kompleks say¬lar¬ve i(x)polinomlar¬(i = 1; 2) için sa¼glan¬yorsa u ya f ngn 0moment dizisine kar¸s¬l¬k gelen moment fonksiyoneli denir (Chihara 1978).

Tan¬m 2.1.2. (Ortogonal Polinom) Negatif olmayan tüm m ve n tamsay¬lar¬

için

(i) hu; P^mP_ni = 0; m 6= n;

(ii) hu; Pn²i 6= 0; m = n;

ko¸sullar¬n¬sa¼glayan fPⁿgn 0 polinom kümesine u moment fonksiyoneline göre orto- gonal polinom kümesi denir (Chihara 1978).

Teorem 2.1.1. u bir moment fonksiyoneli ve fPⁿgn 0 bir polinom kümesi olsun.

A¸sa¼g¬daki önermeler denktir:

(a) fPⁿgn 0polinom kümesi u moment fonksiyoneline göre ortogonal polinom küme- sidir.

(b) deg( (x)) = m olmak üzere

hu; (x) Pⁿ(x)i = 0 ; m < n;

hu; (x) Pⁿ(x)i 6= 0 ; m = n;

ba¼g¬nt¬lar¬sa¼glanmaktad¬r.

(c) hu; x^mP_ni = K^{n mn} olup burada Kn 6= 0, m = 0; 1; :::; n ve ^mn Kronecker deltad¬r (Chihara 1978).

Teorem 2.1.2. u bir moment fonksiyoneli ve f ngn 0 kar¸s¬l¬k gelen moment dizisi olsun. u moment fonksiyoneline göre fPⁿgn 0 ortogonal polinom kümesinin var ol- mas¬için gerek ve yeter ko¸sul her bir n = 0; 1; :::; için

jHⁿj = det i+j n i;j=0 =

0 1 : : : _n

1 2 : : : _n+1

: : : : : :

: : : : : :

: : : : : :

n n+1 : : : _2n

6= 0 (2.1)

olmas¬d¬r (Chihara 1978).

Ispat:· P_n(x), x e göre n-inci dereceden bir polinom oldu¼gundan

P_n(x) = Xn k=0

c_nkx^k

¸seklinde yaz¬labilir. fPⁿgn 0polinom kümesi u moment fonksiyoneline göre ortogonal oldu¼gundan Teorem 2:1:1 in ¬¸s¬¼g¬alt¬nda m = 0; 1; :::; n ve m n olmak üzere

hu; x^mP_ni = Xn

k=0

c_{nk k+m}= K_{n mn} ; K_n6= 0 ;

elde edilir. Yukar¬daki e¸sitlikten 2

66 66 66 66 66 66 4

0 1 : : : _n

1 2 : : : _n+1

: : : : : :

: : : : : :

: : : : : :

n n+1 : : : _2n 3 77 77 77 77 77 77 5

2 66 66 66 66 66 66 4

c_n0 c_n1 : : : c_nn

3 77 77 77 77 77 77 5

= 2 66 66 66 66 66 66 4

0 : : : 0 K_n

3 77 77 77 77 77 77 5

(2.2)

sistemi bulunur. fPⁿgn 0 polinom kümesi u moment fonksiyoneline göre ortogonal oldu¼gundan bu durumda her bir n için Kn 6= 0 d¬r. Dolay¬s¬yla (2:2) ile verilen n bilinmeyenli sistemin çözümünün var olmas¬için katsay¬lar determinant¬n¬n s¬f¬rdan farkl¬olmas¬gerekmektedir. Bu bize n = 0; 1; :::; için jHⁿj 6= 0 oldu¼gunu gösterir.

Tersine, e¼ger jHⁿj 6= 0 ise Kⁿ 6= 0 olup (2:2) sistemi tek çözüme sahiptir. Dolay¬s¬yla, Teorem 2:1:1 den fPⁿgn 0 polinom kümesi u moment fonksiyoneline göre bir orto- gonal polinom kümesidir.

Uyar¬2.1.1. Bile¸senleri u moment fonksiyoneline ili¸skin f ngn 0moment dizisinden olu¸san Hn matrisine H = _{i+j i;j 0} Hankel matrisinin temel alt matrisi denmekte- dir. Herhangi bir H = (hi;j)_{i;j 1} Hankel matrisi karesel bir matris olup

h_i;j = h_{i 1;j+1}

kural¬ile verilmektedir.

Tan¬m 2.1.3. (Regüler Moment Fonksiyoneli) (2:1) ile verilen Hn matrisi her bir n 0için singüler olmayan bir matris ise, bu durumda u moment fonksiyoneline regülerdir denir (Chihara 1978).

Tan¬m 2.1.4. (Pozitif Tan¬ml¬ Moment Fonksiyoneli) Özde¸s olarak s¬f¬r ol- mayan her bir (x) polinomu ve x reel say¬s¬için hu; (x)i de¼geri negatif olmayan ise, bu durumda u moment fonksiyoneline pozitif tan¬ml¬d¬r denir (Chihara 1978).

Teorem 2.1.3. u moment fonksiyoneli pozitif tan¬ml¬d¬r ancak ve ancak her bir

n 0için moment dizisinin bütün elemanlar¬reel olup jHⁿj > 0 d¬r (Chihara 1978).

Ortogonal polinomlar¬n en önemli özelliklerinden biri de sa¼glad¬klar¬üç terimli rekürans ba¼g¬nt¬lar¬d¬r. A¸sa¼g¬daki teoremle bu polinomlar¬n sa¼glad¬¼g¬ üç terimli rekürans ba¼g¬nt¬s¬n¬n biçimi verilecektir.

Teorem 2.1.4. u, regüler bir moment fonksiyoneli ve fPⁿgn 0 kar¸s¬l¬k gelen or- togonal polinom kümesi olsun. Bu durumda öyle f ngn 0 ve f ngn 1 dizileri vard¬r ki

P_n+1(x) = (x _n) P_n(x) _nP_{n 1}(x) ; n 0 ; (2.3) P ₁(x) = 0 ; P₀(x) = 1 ;

üç terimli rekürans ba¼g¬nt¬s¬sa¼glan¬r. Burada her bir n 1için _n6= 0 olup fPⁿgn 0

monik bir polinom kümesidir. Ba¸skatsay¬s¬ 1 olan polinomlara monik polinomlar denilmektedir (Chihara 1978).

Ispat:· p; q 2 P olmak üzere

' : P P ! C

: (p; q) ! ' (p; q) = hu; pqi

bilineer fonksiyonelini göz önüne alal¬m. x e göre çarp¬m operatörü ' bilineer fonksi- yoneline göre simetriktir yani

' (xp; q) = ' (p; xq) =hu; xpqi

özelli¼gi sa¼glan¬r.

xP_n(x)polinomu x e göre (n + 1)-inci dereceden olup

xP_n(x) = P_n+1(x) + Xn k=0

a_k;nP_k(x) (2.4)

¸seklinde yaz¬labilir. Her iki taraf¬0 j n olmak üzere Pj(x)ile çarp¬p u regüler

moment fonksiyonelini uygularsak 0 k n olmak üzere

a_k;n = ' (xP_n; P_k) ' (P_k; P_k) elde edilir.

xe göre çarp¬m operatörü ' bilineer fonksiyoneline göre simetrik olup ortogonalli¼gin tan¬m¬kullan¬l¬rsa

a_k;n = 8>

>>

<

>>

>:

0 ; 0 k n 2 ;

n= _'(P^'(Pn;Pn)

n 1;Pn 1) 6= 0 ; k = n 1 ; n 1 ;

n= ^'(P_'(P^n;xPn)

n;Pn) ; k = n ; n 0 ;

bulunur. Bu sonuçlar (2:4) e¸sitli¼ginde dikkate al¬n¬rsa (2:3) üç terimli rekürans ba¼g¬n- t¬s¬elde edilmi¸s olur.

Uyar¬ 2.1.2. Yukar¬daki teoremin tersi de geçerlidir. Yani, fPⁿgn 0 monik poli- nom kümesi (2:3) ile verilen üç terimli rekürans ba¼g¬nt¬s¬n¬sa¼glarsa öyle bir u regüler moment fonksiyoneli vard¬r ki fPⁿgn 0kar¸s¬l¬k gelen monik ortogonal polinom küme- sidir. Literatürde bu teoreme Favard Teoremi denmektedir (Chihara 1978, Koekoek vd. 2010).

(2:3) ile verilen üç terimli rekürans ba¼g¬nt¬s¬P = (P0; P₁; :::)^T ve

J_P = 2 66 66 66 66 66 66 66 64

0 1

1 1 1

2 2 1

: : : : : :

: : : 3 77 77 77 77 77 77 77 75

olmak üzere

xP = J_PP (2.5)

¸seklinde ifade edilebilir. Burada JP, üç diyagonal yar¬ sonsuz Jacobi matrisidir.

Jacobi matrisi yard¬m¬yla yap¬lan bir analiz ileriki bölümlerde kar¸s¬m¬za ç¬kacakt¬r.

(2:3) rekürans ba¼g¬nt¬s¬n¬sa¼glayan fPⁿgn 0 monik ortogonal polinom kümesi

xy_n(x) = y_n+1(x) + _ny_n(x) + _ny_{n 1}(x) (2.6)

ikinci basamaktan fark denkleminin y 1(x) = 0, y0(x) = 1 ba¸slang¬ç ko¸sullar¬n¬

sa¼glayan çözümü olarak da ele al¬nabilir. (2:6) denkleminin y 1(x) = 1, y0(x) = 0 ba¸slang¬ç ko¸sullar¬n¬sa¼glayan çözümü ₀ = 1 olmak üzere

y₁(x) = 1 = P₀⁽¹⁾(x) y₂(x) = x ₁ = P₁⁽¹⁾(x)

y₃(x) = (x ₂) (x ₁) ₂ = P₂⁽¹⁾(x) :::

olarak bulunur. n 0 olmak üzere Pn⁽¹⁾(x) polinomlar¬na birinci çe¸sit ili¸sik poli- nomlar denilmektedir. Birinci çe¸sit ili¸sik polinomlar JP Jacobi matrisinin birinci sat¬r ve sütununun silinmesiyle de elde edilebilmektedir. Di¼ger taraftan fPⁿgn 0

polinomlar¬n¬n sa¼glad¬¼g¬(2:3) rekürans ba¼g¬nt¬s¬x ve y de¼gi¸skenlerine göre yaz¬l¬rsa

xP_n(x) = P_n+1(x) + _nP_n(x) + _nP_{n 1}(x) yP_n(y) = P_n+1(y) + _nP_n(y) + _nP_{n 1}(y)

olur. Bu iki denklemi ç¬kar¬p, x y ile bölüp u regüler moment fonksiyonelini uygu- larsak

u;xP_n(x) yP_n(y)

x y = u;P_n+1(x) P_n+1(y)

x y + _n u;P_n(x) P_n(y)

x y

+ _n u;P_{n 1}(x) P_{n 1}(y)

x y (2.7)

e¸sitli¼gi elde edilir. Burada u fonksiyoneli y de¼gi¸skenine etki etmektedir. O halde

P_n⁽¹⁾(x) = 1

0

u;P_n+1(x) P_n+1(y)

x y (2.8)

olmak üzere ortogonalli¼gin tan¬m¬(2:7) e¸sitli¼ginde kullan¬l¬rsa

xP_n⁽¹⁾(x) = P_n+1⁽¹⁾ (x) + _n+1P_n⁽¹⁾(x) + _n+1P_{n 1}⁽¹⁾ (x) ; n 0 ; (2.9) n

Pn⁽¹⁾

o

n 0 birinci çe¸sit ili¸sik polinomlar¬n sa¼glad¬¼g¬ rekürans ba¼g¬nt¬s¬ bulunmu¸s olur. Dikkat edilmelidir kin

Pn⁽¹⁾

o

n 0 polinomlar¬n¬n sa¼glad¬¼g¬(2:9) rekürans ba¼g¬n- t¬s¬ndaki _n+1 ve _n+1 rekürans katsay¬lar¬ fPⁿgn 0 polinomlar¬n¬n sa¼glad¬¼g¬ (2:3) rekürans ba¼g¬nt¬s¬ndaki rekürans katsay¬lar¬n¬n ötelemesidir.

(2:6) ile verilen fark denkleminin y0(x) = 1, y1(x) = x ₀ ba¸slang¬ç ko¸sulu yard¬m¬yla elde edilen Pn(x; )çözümüne yard¬mc¬rekürans polinomlar¬denilmekte olup

P_n+1(x; ) = (x _n) P_n(x; ) _nP_{n 1}(x; ) ; n 1 ; P₁(x; ) = P₁(x) ; P₀(x) = 1 ;

rekürans ba¼g¬nt¬s¬ yard¬m¬yla tan¬mlan¬rlar. fPⁿgn 0, n Pn⁽¹⁾

o

n 0 ve fPⁿ(:; )gn 0

polinomlar¬aras¬nda n 1olmak üzere

P_n(x; ) = P_n(x) P_{n 1}⁽¹⁾ (x)

ba¼g¬nt¬s¬geçerlidir.

¸

Simdi de a¸sa¼g¬daki teoremle herhangi bir moment fonksiyonelinin ne zaman bir in- tegral gösterime sahip olabilece¼ginden bahsedilecektir.

Teorem 2.1.5. Verilen bir p 2 P ve u pozitif tan¬ml¬moment fonksiyoneli için Riesz temsil teoremi gere¼gince

hu; p (x)i = Z

E

p (x) d

integral gösterimi geçerlidir. Burada , dayana¼g¬reel say¬lar¬n sonsuz elemanl¬E alt kümesinde olan pozitif bir Borel ölçüsüdür.

Ortogonal polinomlar teorisinde, u regüler moment fonksiyonelinin temel kanonik spektral dönü¸sümleri

(a) Christo¤el Dönü¸sümü

v₁ = (x a) u ;

(b) Uvarov Dönü¸sümü

v₂ = u + M _a ;

(c) Geronimus Dönü¸sümü

v₃ = (x a) ¹u + M _a ;

¸seklindedir. Burada M 2 R ve u 2 P⁰ lineer fonksiyonelinin soldan f 2 P polino- muyla çarp¬m¬

hfu; pi = hu; fpi ; p2 P ; ile tan¬ml¬olup u nun birinci dereceden bir polinomla bölümü

(x a) ¹u; p = u;p (x) p (a)

x a ; p2 P ;

kural¬ ile tan¬mlanmaktad¬r. Di¼ger taraftan a kütle noktas¬nda a Dirac fonksi- yonelinin etkisi

h ^a; pi = p (a) ; p2 P ;

e¸sitli¼gi ile verilmektedir. Literatürde, v1, v2 ve v3 lineer fonksiyonellerinin regüler ol- mas¬n¬sa¼glayan gerek ve yeter ko¸sullar¬n bulunmas¬ayr¬nt¬l¬incelenmi¸s olup kar¸s¬l¬k gelen ortogonal polinomlar aras¬ndaki cebirsel ili¸skiler aç¬kça elde edilmi¸stir.

Jacobi, Hermite ve Laguerre polinomlar¬ literatürde çok iyi bilinen belli ba¸sl¬ or- togonal polinom kümeleridir. ¸Simdi, bu tezde kullan¬lacak olan Laguerre ve Jacobi

polinomlar¬hakk¬nda genel bilgiler verilecektir.

2.1.1 Laguerre polinomlar¬

Laguerre polinomlar¬, [0; 1) aral¬¼g¬nda > 1 ve m; n 2 N⁰ = f0; 1; 2; :::g olmak üzere ! (x) = x e ^x a¼g¬rl¬k fonksiyonuna göre

Z1

0

L^{( )}_m (x) L^{( )}_n (x) x e ^xdx = ( + n + 1)

n! ^mn (2.10)

ortogonallik ba¼g¬nt¬s¬n¬sa¼glamaktad¬r. Burada

(z) = Z1

0

t^{z 1}e ^tdt [Re (z) > 0]

e¸sitli¼giyle verilen Gamma fonksiyonudur. Di¼ger taraftan, Laguerre polinomlar¬

L^{( )}_n (x) = x e^x n!

dⁿ

dxⁿ e ^xx ⁺ⁿ Rodrigues formülüyle tan¬mlanmakta olup aç¬k ifadeleri

L^{( )}_n (x) = ( + 1)_n n!

Xn k=0

( n)_kx^k

( + 1)_kk! (2.11)

¸seklindedir. Burada ( )_j

( )₀ = 1; ( )_j = ( ) ( + 1) ::: ( + j 1) ; j = 1; 2; :::,

ile tan¬mlanan Pochhammer sembolüdür. u = L^{( )}n (x) polinomlar¬, ikinci basamak- tan

xu⁰⁰+ ( + 1 x) u⁰ + nu = 0 (2.12) diferensiyel denklemini sa¼glamakla birlikte jtj < 1 durumunda

(1 t) ¹exp xt

1 t =

X1 n=0

L^{( )}_n (x) tⁿ (2.13)

ile verilen do¼gurucu fonksiyon gösterimine sahiptir. Ayr¬ca, Laguerre polinomlar¬

L^{( )}_n+1(x) = 2 + 1 x

n + 1 L^{( )}_n (x) 1 + 1

n + 1 L^{( )}_{n 1}(x) (2.14) üç terimli türev içermeyen rekürans ba¼g¬nt¬s¬n¬ve

(n + 1) L^{( )}_n+1(x) = xDL^{( )}_n (x) + [ + 1 x + n] L^{( )}_n (x) (2.15) DL^{( )}_n (x) = L^{( )}_n (x) L^{( +1)}_n (x) (2.16) (n + 1) L^{( )}_n+1(x) = ( + 1 + n) L^{( )}_n (x) xL^{( +1)}_n (x) (2.17)

rekürans ba¼g¬nt¬lar¬n¬ sa¼glamaktad¬r. Burada D = _dx^d ile tan¬mlanan türev ope- ratörüdür (Andrews vd. 1999).

Laguerre polinomlar¬, matematiksel …zi¼gin birçok probleminde kar¸s¬m¬za ç¬kmakta olup daha birçok kullan¬m alan¬na sahiptir. Bu polinomlar, kuantum mekani¼ginde Coulomb potansiyelinin çözümleri olup = 0 durumunda (2:12) ile verilen Laguerre polinomlar¬n¬n sa¼glad¬¼g¬diferensiyel denklem, hidrojen atomu için Shrödinger’in verdi¼gi modelin diferensiyel denkleme indirgenmi¸s özel halidir.

2.1.2 Jacobi polinomlar¬

Jacobi polinomlar¬,

P_n^{( ; )}(x) = ( 1)ⁿ

2ⁿn! (1 x) (1 + x) dⁿ dxⁿ

h

(1 x) ⁺ⁿ(1 + x) ⁺ⁿ i

Rodrigues formülü yard¬m¬yla tan¬mlanmakta olup ; > 1 ve m; n 2 N⁰ olmak üzere [ 1; 1] aral¬¼g¬nda ! (x) = (1 x) (1 + x) a¼g¬rl¬k fonksiyonuna göre

Z1

1

P_m^{( ; )}(x) P_n^{( ; )}(x) (1 x) (1 + x) dx = 2 ^{+ +1} 2n + + + 1

( + n + 1) ( + n + 1) ( + + n + 1) n! ^mn

(2.18)

ortogonallik ba¼g¬nt¬s¬n¬sa¼glamaktad¬r.

Jacobi polinomlar¬n¬n, literatürde, dikkat çekici birçok özel hali bulunmaktad¬r. Bun- lar¬n en önemlileri, = = 0 özel durumuna kar¸s¬l¬k gelen Legendre polinomlar¬,

= = ¹₂ özel durumunda Birinci Tür Tchebyche¤ polinomlar¬, = = ¹₂ özel durumunda ·Ikinci Tür Tchebyche¤ polinomlar¬ ve son olarak ise = =

1

2 ( 6= 0) özel durumunda Gegenbauer polinomlar¬d¬r (Chihara 1978).

Jacobi polinomlar¬n¬n bir özel hali olan Legendre polinomlar¬, kuantum mekani¼gi ve elektrostatikte kullan¬m alanlar¬na sahiptir.

2.2 Biortogonal Polinomlar

Bu bölümde, literatürde, ortogonal polinomlar kavram¬n¬n bir geni¸sletmesi olan bior- togonal polinomlar kavram¬tan¬t¬lacak ve ilerleyen bölümlerde kullan¬lacak baz¬bil- giler verilecektir.

Tan¬m 2.2.1. (Biortogonal Polinom) r (x) ve s (x) s¬ras¬yla x e göre h ve k ¬nc¬

dereceden ve Rm(x)ve Sn(x)de s¬ras¬yla r (x) ve s (x) e göre m ve n inci dereceden reel de¼gerli polinomlar olsunlar. m; n 2 N⁰ olmak üzere

J_m;n = Zb

a

(x) R_m(x) S_n(x) dx = 8<

:

0 ;

6= 0 ;

m6= n m = n

(2.19)

ko¸sulu sa¼glan¬yor ise, bu durumda fR^m(x)g ve fSⁿ(x)g polinom kümelerine (a; b) aral¬¼g¬ üzerinde, (x) uygun a¼g¬rl¬k fonksiyonuna göre biortogonaldir denir. Bu- rada r (x) ve s (x) polinomlar¬na temel polinomlar denir (Konhauser 1965, ¸Sekero¼glu 2006).

Teorem 2.2.1. (x), (a; b) aral¬¼g¬üzerinde uygun bir a¼g¬rl¬k fonksiyonu olmak üzere Zb

a

(x) [r (x)]^jS_n(x) dx = 8<

:

0 ; j = 0; 1; 2; :::; n 1 6= 0 ; j = n

ve Zb

a

(x) [s (x)]^jR_m(x) dx = 8<

:

0 ; j = 0; 1; 2; :::; m 1 6= 0 ; j = m

ifadelerinin sa¼glanmas¬için gerek ve yeter ko¸sul

Jm;n = Zb

a

(x) Rm(x) Sn(x) dx = 8<

:

0 ;

6= 0 ;

m6= n m = n

; m; n2 N⁰

ifadesinin gerçeklenmesidir. Burada r (x) ve s (x) temel polinomlard¬r (Konhauser 1965, ¸Sekero¼glu 2006).

Biortogonal polinomlar¬n ba¸sl¬ca örnekleri, Laguerre polinomlar¬ taraf¬ndan belir- tilen Konhauser polinomlar¬ve Jacobi polinomlar¬taraf¬ndan belirtilen biortogonal polinomlard¬r.

Spencer ve Fano (1951) Konhauser polinomlar¬n¬n bir özel halini cisimlere nüfuz eden Gamma ¬¸s¬nlar¬n¬n hesaplanmas¬nda kullanm¬¸slard¬r. Ayr¬ca, bu polinomlar¬n q-analoglar¬yap¬lm¬¸s olup yakla¸s¬mlar teorisinde de faydalan¬lm¬¸st¬r (¸Sekero¼glu vd.

2007, Srivastava vd. 2008, ·Içöz vd. 2012).

2.2.1 Konhauser polinomlar¬

Z_n^{( )}(x; k)ve Yn^{( )}(x; k)Konhauser polinomlar¬, Konhauser (1967) taraf¬ndan tan¬m- lanm¬¸st¬r. Bu polinomlar (0; 1) aral¬¼g¬nda ! (x) = x e ^x a¼g¬rl¬k fonksiyonuna göre

Z1

0

x e ^xZ_n^{( )}(x; k)Y_m^{( )}(x; k)dx = (kn + + 1)

n! ^nm (2.20)

ifadesi ile verilen biortogonallik ko¸sulunu sa¼glamaktad¬r. Burada k 2 Z⁺, > 1ve m; n2 N⁰ d¬r.

Zn^{( )}(x; k) ve Yn^{( )}(x; k) Konhauser polinomlar¬n¬n aç¬k ifadeleri

Z_n^{( )}(x; k) = ( + kn + 1) n!

Xn r=0

( 1)^r n r

x^kr

( + kr + 1) (2.21)

ve

Y_n^{( )}(x; k) = 1 n!

Xn r=0

x^r r!

Xr s=0

( 1)^s r s

+ s + 1

k _n (2.22)

olup Yn^{( )}(x; k) polinomlar¬jtj < 1 için

(1 t) ^{( +1)=k}exp xh

1 (1 t) ^1=ki

= X1 n=0

Y_n^{( )}(x; k)tⁿ (2.23)

biçiminde do¼gurucu fonksiyon gösterimine sahiptir. Di¼ger taraftan, Teorem 2.2.1 gere¼gince

Z1

0

x e ^xZ_n^{( )}(x; k) xⁱdx = 8<

:

0 ; i = 0; 1; :::; n 1 6= 0 ; i = n

(2.24)

Z1

0

x e ^xY_n^{( )}(x; k) x^kidx = 8<

:

0 ; i = 0; 1; :::; n 1 6= 0 ; i = n

(2.25)

ifadeleri gerçeklenmektedir. Zn^{( )}(x; k) polinomlar¬D = _dx^d olmak üzere

knZ_n^{( )}(x; k) k (kn k + + 1)_kZ_{n 1}^{( )} (x; k) = xDZ_n^{( )}(x; k) (2.26) knZ_n^{( )}(x; k) k (kn k + + 1)_kZ_{n 1}^{( )} (x; k) = kx^kZ_{n 1}^{( +k)}(x; k) (2.27) DZ_n^{( )}(x; k) = kx^{k 1}Z_{n 1}^{( +k)}(x; k)(2.28)

rekürans ba¼g¬nt¬lar¬n¬ve (k + 1)-inci basamaktan

D^k x ⁺¹DZ_n^{( )}(x; k) = x ⁺¹DZ_n^{( )}(x; k) knx Z_n^{( )}(x; k) (2.29)

diferensiyel denklemini sa¼glamaktad¬r (Konhauser 1967, Carlitz 1968).

Uyar¬2.2.1. k = 1 özel durumunda Zn^{( )}(x; k) ve Yn^{( )}(x; k) Konhauser polinom- lar¬, L^{( )}n (x) Laguerre polinomlar¬na indirgenmektedir. Dolay¬s¬yla (2:20) (2:29) e¸sitlikleriyle verilen tüm ifadeler L^{( )}n (x)Laguerre polinomlar¬n¬n sa¼glad¬¼g¬e¸sitliklere dönü¸smektedir.

2.2.2 Jacobi polinomlar¬taraf¬ndan belirtilen biortogonal polinomlar J_n( ; ; k; x) ve Kn( ; ; k; x) Jacobi polinomlar¬ taraf¬ndan belirtilen biortogonal

polinomlar, Madhekar ve Thakare (1982) taraf¬ndan k 2 Z⁺ olmak üzere

J_n( ; ; k; x) = (1 + )_kn n!

Xn j=0

( 1)^j n j

(1 + + + n)_kj (1 + )_kj

1 x

2

kj

(2.30)

ve

K_n( ; ; k; x) = Xn r=0

Xr s=0

( 1)^r+s r s

(1 + )_n n!r!(1 + )_{n r}

s + + 1

k _n

x 1

2

r

x + 1 2

n r

(2.31)

olarak tan¬mlanm¬¸slard¬r. Bu polinomlar ( 1; 1) aral¬¼g¬nda ! (x) = (1 x) (1 + x) a¼g¬rl¬k fonksiyonuna göre m; n 2 N⁰ olmak üzere

Z1

1

(1 x) (1 + x) J_n( ; ; k; x)K_m( ; ; k; x)dx

= 2 ^{+ +1}

(1 + + + n + kn)

( + kn + 1) ( + n + 1)

( + + n + 1) n! ^nm (2.32) biortogonallik ko¸sulunu sa¼glamaktad¬r.

J_n( ; ; k; x) polinomlar¬, X1

n=0

( + + 1)_n

( + 1)_kn J_n( ; ; k; x)tⁿ

= (1 t) ¹

k+1F_k 2

4 (k + 1; + + 1) (k; + 1)

; (k + 1) (1 x) 2k

k (k + 1) t (1 t)^k+1

!3 5(2.33)

X1 n=0

Jn( ; n; k; x)

( + 1)_kn tⁿ = e^t _kF_k 2

4 (k; + + 1) (k; + 1)

; t 1 x 2

k3

5 (2.34)

e¸sitlikleri ile verilen do¼gurucu fonksiyon gösterimlerine sahiptir. Burada (m; ), m parametreli

m; + 1

m ; :::; + m 1

m ; m 1

dizisini göstermekte olup

pF_q 2

4 a₁; :::; a_p b₁; :::; b_q

; x 3 5 =X¹

n=0

(a₁)_n::: (a_p)_n (b₁)_n::: (b_q)_n

xⁿ n!

ifadesiyle verilen pF_q genelle¸stirilmi¸s hipergeometrik fonksiyonudur. Ayr¬ca bu poli- nomlar D = _dx^d olmak üzere

DJ_n( ; ; k; x) = k2 ^k(1 x)^{k 1}( + + n + 1)_kJ_{n 1}( + k; + 1; k; x) (2.35) (x 1) DJ_n( ; ; k; x) = knJ_n( ; ; k; x) k (kn k + + 1)_k

J_{n 1}( ; + 1; k; x) (2.36)

(x 1) DJ_n( ; ; k; x) = (kn + ) J_n( 1; + 1; k; x) J_n( ; ; k; x)

(2.37)

rekürans ba¼g¬nt¬lar¬n¬sa¼glarlar (Madhekar ve Thakare 1982).

Uyar¬2.2.2. k = 1 özel durumunda Jn( ; ; k; x) ve Kn( ; ; k; x) Jacobi polinom- lar¬taraf¬ndan belirtilen biortogonal polinomlar, Pn^{( ; )}(x)Jacobi polinomlar¬na in- dirgenmektedir. Dolay¬s¬yla (2:30) (2:37) e¸sitlikleriyle verilen tüm ifadeler Pn^{( ; )}(x) Jacobi polinomlar¬n¬n sa¼glad¬¼g¬e¸sitliklere dönü¸smektedir.

2.3 Ortogonal Matris Polinomlar¬

Bu bölümde baz¬ temel tan¬m ve kavramlar verildikten sonra Laguerre ve Jacobi matris polinomlar¬ tan¬t¬lacakt¬r. A 2 C^{r r} olmak üzere herhangi bir matris ve

(A) ise bu matrisin tüm özde¼gerlerinin kümesini göstersin.

Tan¬m 2.3.1. (Matris Polinomu)xbir reel de¼gi¸sken ve 0 j n için Aj 2 C^{r r} olmak üzere herhangi bir matris polinomu

P_n(x) = A_nxⁿ+ A_{n 1}x^{n 1}+ ::: + A₁x + A₀ (2.38)

olarak tan¬mlan¬r.

Lemma 2.3.1. f ve g fonksiyonlar¬kompleks düzlemin bir aç¬k kümesinde tan¬ml¬

analitik fonksiyonlar olsunlar. (A) olacak ¸sekilde bir A 2 C^{r r} matrisi için

f (A) g (A) = g (A) f (A) (2.39)

e¸sitli¼gi sa¼glan¬r. (B) olacak ¸sekilde bir B 2 C^{r r} matrisi için AB = BA ise, bu durumda

f (A) g (B) = g (B) f (A) (2.40)

dir (Dunford ve Schwartz 1957).

Tan¬m 2.3.2. (Pozitif Kararl¬Matris) A2 C^{r r} olacak ¸sekilde bir matris olmak üzere e¼ger 8 2 (A) özde¼geri için Re ( ) > 0 ko¸sulu sa¼glan¬yorsa A matrisine pozitif kararl¬matris denir.

Tan¬m 2.3.3. (Matrisler için Pochhammer Sembolü) A 2 C^{r r} matrisi için Pochhammer sembolü

(A)_k = A (A + I) ::: (A + (k 1) I) ; k 1 (2.41)

ile tan¬mlanmaktad¬r. Burada I 2 C^{r r} birim matristir. k = 0 durumunda

(A)₀ = I

olarak kabul edilmektedir.

Tan¬m 2.3.4. (Gamma Matris Fonksiyonu) A2 C^{r r} pozitif kararl¬bir matris ise, bu durumda Gamma matris fonksiyonu

(A) = Z1

0

t^{A I}e ^tdt ; t^{A I} = exp [(A I) ln t] (2.42)

¸seklinde tan¬mlanmaktad¬r. A 2 C^{r r} olmak üzere n 0 için A + nI matrisleri tersinir ise, bu durumda (2:41) ile verilen matrisler için Pochhammer sembolü ile

Gamma matris fonksiyonu aras¬nda (2:39) göz önünde tutularak

(A)_n = (A + nI) ¹(A) ; n 1 (2.43)

e¸sitli¼gi geçerlidir (Jodar ve Cortes 1998b).

Lemma 2.3.2. Key… bir A 2 C^{r r} matrisi için (2:43) e¸sitli¼ginin ¬¸s¬¼g¬alt¬nda D = _dx^d olmak üzere

D^k x^A+mI = (A + I)_m (A + I)_{m k} ¹x^{A+(m k)I}

= (A + (m + 1) I) ¹(A + (m k + 1) I) x^{A+(m k)I} ; m 0 (2.44)

dir.

Tan¬m 2.3.5. (Beta Matris Fonksiyonu) A; B 2 C^{r r} pozitif kararl¬matrisler olmak üzere Beta matris fonksiyonu

B(A; B) = Z1

0

x^{A I}(1 x)^{B I}dx (2.45)

¸seklinde tan¬mlanmaktad¬r (Jodar ve Cortes 1998b).

Lemma 2.3.3. A; B ve A + B matrisleri pozitif kararl¬matrisler olmak üzere e¼ger A; B 2 C^{r r} matrisleri de¼gi¸smeli ise, bu durumda

B(A; B) = (A) (B) ¹(A + B) (2.46)

e¸sitli¼gi geçerlidir (Jodar ve Cortes 1998a).

Lemma 2.3.4. A; B 2 C^{r r} matrisleri

Re (z) > 1; Re (!) > 1; 8z 2 (A) ; 8! 2 (B)

ko¸sullar¬n¬sa¼glas¬n. Bu durumda Beta matris fonksiyonunun (2:45) ile verilen tan¬m¬

gere¼gince

Z1

1

(1 + x)^B(1 x)^Adx = 2^B+IB(B + I; A + I)2^A (2.47)

dir (Jodar ve Cortes 1998a).

Tan¬m 2.3.6. Matrisler içinpF_q hipergeometrik fonksiyonlar¬, 1 i pve 1 j q için Ai; B_j 2 C^{r r} ve s 0tamsay¬lar¬için Bj+ sI matrisleri tersinir olmak üzere

pF_q 2 66 64

A₁ ; :::; A_p

; x B₁ ; :::; B_q

3 77 75=

X1 n=0

(A₁)_n::: (A_p)_n[(B_q)_n] ¹::: [(B₁)_n] ¹ xⁿ

n! (2.48)

ile tan¬mlan¬rlar.

Tan¬m 2.3.7. f ⁿgn 0 C^{r r} de tan¬ml¬bir matris dizisi, P^r(x)katsay¬lar¬C^{r r} den al¬nan bütün matris polinomlar¬n¬n kümesi ve

L : P^r(x) ! C^{r r}

olmak üzere

hL; xⁿIi = ⁿ ; hL; Pⁿ(x)i = Xn k=0

A_{k k} ; n = 0; 1; :::;

ile tan¬mlans¬n. Burada Pn(x) = Pn k=0

A_kx^k ve k = 0; 1; :::; n için Ak 2 C^{r r} dir. Bu durumda L ye f ⁿgn 0 matris moment dizisiyle tan¬mlanan matris moment fonksi- yoneli denir. n ise n-yinci basamaktan matris momentidir (Jodar vd. 1994, Çevik 2009).

Tan¬m 2.3.8. n 0için Pn(x) bir matris polinomu olmak üzere

(i) Pn(x) singüler olmayan ba¸skatsay¬l¬n-yinci dereceden bir matris polinomudur, (ii) 8n; s 2 N⁰ ve n 6= s için hL; Pⁿ(x) P_s(x)i = 0 d¬r,

(iii) n 0 için hL; Pn²(x)i matrisinin tersi vard¬r,

ko¸sullar¬sa¼glan¬yorsa fPⁿ(x)gn 0 dizisine, L matris moment fonksiyoneline göre or-

togonal matris polinom dizisi denir (Jodar vd. 1994, Çevik 2009).

¸

Simdi de ortogonal matris polinomlar¬na ilk örne¼gi te¸skil eden Laguerre matris poli- nomlar¬ve daha sonra Jacobi matris polinomlar¬tan¬t¬lacakt¬r.

2.3.1 Laguerre matris polinomlar¬

Laguerre matris polinomlar¬, A 2 C^{r r}, k pozitif tamsay¬s¬için k =2 (A) ve reel k¬sm¬pozitif olan kompleks bir say¬olmak üzere

G (t; !; A) = (1 !) ^(A+I)exp t!

1 !

= X1 n=0

L^{(A; )}_n (t) !ⁿ ; j!j < 1; (2.49)

do¼gurucu fonksiyonu yard¬m¬yla tan¬mlan¬rlar. (2:49) den G (t; !; A) fonksiyonu

! = 0 noktas¬ kom¸sulu¼gunda seriye aç¬l¬r ve !ⁿ nin kar¸s¬l¬kl¬ katsay¬lar¬ e¸sitlenirse Laguerre matris polinomlar¬n¬n aç¬k ifadesi

L^{(A; )}_n (t) = Xn k=0

( 1)^k

k! (n k)!(A + I)_n[(A + I)_k] ¹( t)^k (2.50) olarak bulunur. Laguerre matris polinomlar¬, 8z 2 (A) için Re (z) > 1 olmak üzere (0; 1) aral¬¼g¬nda W (t; A) = e ^tt^A matris a¼g¬rl¬k fonksiyonuna göre

Z1

0

e ^tt^AL^{(A; )}_n (t) L^{(A; )}_s (t) dt = 8<

:

0 ;

A I

n! (A + (n + 1) I) ;

s6= n s = n

(2.51)

ortogonallik ko¸sulunu ve ikinci basamaktan

td²

dt²L^{(A; )}_n (t) + (A + I tI) d

dtL^{(A; )}_n (t) + nL^{(A; )}_n (t) = 0 (2.52) matris diferensiyel denklemini sa¼glarlar (Jodar vd. 1994).

Ayr¬ca, L^{(A; )}n (t) polinomlar¬n¬n

nL^{(A; )}_n (t) (A + nI) L^{(A; )}_{n 1} (t) = td

dtL^{(A; )}_n (t) (2.53) nL^{(A; )}_n (t) (A + nI) L^{(A; )}_{n 1} (t) = tL^{(A+I; )}_{n 1} (t) (2.54)

d

dtL^{(A; )}_n (t) = L^{(A+I; )}_{n 1} (t) (2.55) matris rekürans ba¼g¬nt¬lar¬n¬sa¼glad¬¼g¬Sastre vd. (2006) taraf¬ndan gösterilmi¸stir.

2.3.2 Jacobi matris polinomlar¬

Jacobi matris polinomlar¬n¬n aç¬k ifadesi,

Re (z) > 1; Re (!) > 1; 8z 2 (A) ; 8! 2 (B) (2.56)

spektral ko¸sullar¬sa¼glanmak üzere

P_n^(A;B)(x) = Xn k=0

n k

( 1)^n+k

2^kn! (A + B + (n + k + 1) I)

1(A + B + (n + 1) I) (B + (n + 1) I) ¹(B + (k + 1) I) (1 + x)^k (2.57)

¸seklindedir. Burada A; B 2 C^{r r} dir. (2:57) tan¬m¬ndan yola ç¬k¬larak Jacobi matris polinomlar¬n¬n hipergeometrik fonksiyonlar cinsinden ifadesi

P_n^(A;B)(x) = ( 1)ⁿ n! ²F1

2 66 64

nI; A + B + (n + 1) I

;^1+x₂ B + I

3 77 75

1(B + I) (B + (n + 1) I) (2.58)

olarak bulunabilir. A ve B matrisleri de¼gi¸smeli matrisler olmak üzere Jacobi matris polinomlar¬ 1 x 1 aral¬¼g¬nda W (x; A; B) = (1 x)^A(1 + x)^B a¼g¬rl¬k fonksi-

yonuna göre Z1

1

(1 x)^A(1 + x)^BP_n^(A;B)(x) P_m^(A;B)(x) dx = 8<

:

0 ;

6= 0 ;

n 6= m n = m

(2.59)

ba¼g¬nt¬s¬ile verilen ortogonallik ko¸sulunu sa¼glarlar (Defez vd. 2004).

3. B·IORTOGONAL MATR·IS POL·INOMLARI

Bu bölümde, özel durumda Laguerre matris polinomlar¬na indirgenen Konhauser matris polinomlar¬ve Jacobi matris polinomlar¬na indirgenen Jacobi matris polinom- lar¬taraf¬ndan belirtilen biortogonal matris polinomlar¬tan¬mlanacak ve özellikleri incelenecektir.

3.1 Konhauser Matris Polinomlar¬

Bu k¬s¬mda, Yn^{(A; )}(x; k) ve Zn^{(A; )}(x; k) Konhauser matris polinomlar¬ do¼gurucu fonksiyonlar yard¬m¬yla tan¬mlanacakt¬r. A 2 C^{r r} olmak üzere A matrisi

(i) 8 2 (A) için Re ( ) > 1,

(ii) ; Re ( ) > 0olacak ¸sekilde kompleks bir say¬,

(3.1)

ko¸sullar¬n¬sa¼glas¬nlar. Bu durumda Yn^{(A; )}(x; k) matris polinomlar¬

F (x; !; A) = (1 !) ^k1(A+I)exph xn

(1 !) ^1k 1oi

= X1 n=0

Y_n^{(A; )}(x; k)!ⁿ; j!j < 1 (3.2)

¸seklinde matris do¼gurucu fonksiyona sahiptir. (3:2) e¸sitli¼ginin solundaki iki de¼gi¸skenli F (x; !; A) fonksiyonu ! = 0 noktas¬ kom¸sulu¼gunda seriye aç¬l¬r, binom aç¬l¬m¬ ve Ix = x^I e¸sitli¼gi göz önünde tutulursa

F (x; !; A) = (1 !) ^1k(A+I) X1

r=0

h

x 1 (1 !) ^k1 ir

r!

= X1

r=0

(1 !) ^k1(A+I)( x)^r r!

Xr s=0

( 1)^s r

s (1 !) ^ks

= X1

r=0

Xr s=0

( x)^r

r! ( 1)^s r

s (1 !) ^k1(A+(s+1)I)

= X1

r=0

( x)^r r!

Xr s=0

( 1)^s r s

( ₁ X

n=0 1

k(A + (s + 1)I) _n

n! !ⁿ

)

= X1 n=0

( _n X

r=0

( x)^r r!

Xr s=0

( 1)^s r s

1

k(A + (s + 1)I)

n

)!ⁿ

n! (3.3)

elde edilir. (3:2) ve (3:3) e¸sitliklerinden !ⁿnin kar¸s¬l¬kl¬katsay¬lar¬e¸sitlenirse Yn^{(A; )}(x; k) Konhauser matris polinomlar¬n¬n aç¬k ifadesi

Y_n^{(A; )}(x; k) = 1 n!

Xn r=0

( x)^r r!

Xr s=0

( 1)^s r s

1

k(A + (s + 1)I)

n

(3.4)

olarak bulunur. Di¼ger taraftan Zn^{(A; )}(x; k) Konhauser matris polinomlar¬ A; B 2 C^{r r} olmak üzere

(i) 8 2 (A) için Re ( ) > 1,

(ii) ; Re ( ) > 0olacak ¸sekilde kompleks bir say¬, (iii) AB = BA,

(3.5)

ko¸sullar¬alt¬nda

F (x; t; A; B) = (1 t) ^B ₁F_k 2 66 66 4

B

; t( x)^k (1 t)k^k

1

k(A + I) ; :::; ¹_k(A + kI)

3 77 77 5

= X1 n=0

(B)_nZ_n^{(A; )}(x; k) [(A + I)_kn] ¹tⁿ; jtj < 1 ve t( x)^k (1 t)k^k < 1;

(3.6)

¸seklinde matris do¼gurucu fonksiyona sahiptir. (3:6) ile verilen do¼gurucu fonksiyon ifadesinde (2:48) e¸sitli¼gi kullan¬l¬rsa

F (x; t; A) =

(1 t) ^B X1

r=0

(B)_r r!

1

k(A + kI)

1

r

::: 1

k(A + I)

1

r

t( x)^k (1 t)k^k

r

(3.7)

elde edilir. Matrisler için Pochhammer sembolünün sa¼glad¬¼g¬

k ^kr 1

k(A + kI)

1

r

::: 1

k(A + I)

1

r

= (A + I) ¹(A + (kr + 1)I)

e¸sitli¼gi (3:7) de yerine yaz¬l¬r, f (t) = (1 t) ^{B rI} matris fonksiyonu t = 0 kom¸su- lu¼gunda Taylor serisine aç¬l¬r, (2:39), (2:40) ve Ix = x^I e¸sitlikleri göz önüne al¬n¬rsa

F (x; t; A; B) = (1 t) ^B X1

r=0

(B)_r

r! (A + I) ¹(A + (kr + 1)I) t( x)^k (1 t)

r

= X1

r=0

(B)_r

r! (A + I) ¹(A + (kr + 1)I) ( 1)^rt^r( x)^kr(1 t) ^{B rI}

= X1

r=0

(B)_r

r! (A + I) ¹(A + (kr + 1)I)( 1)^rt^r( x)^kr X1

n=0

(B + rI)_n n! tⁿ

)

(3.8)

bulunur.

(B)_r(B + rI)_{n r} = (B)_n olmak üzere (2:40) e¸sitli¼gi dikkate al¬narak (3:8) ifadesi

X1 n=0

(B)_nZ_n^{(A; )}(x; k) [(A + I)_kn] ¹tⁿ

= X1 n=0

((B)_n (A + I) n!

Xn r=0

( 1)^r n r

1(A + (kr + 1)I)( x)^kr )

tⁿ

¸seklini al¬r. (2:39) ve (2:43) ifadelerinin ¬¸s¬¼g¬ alt¬nda son e¸sitlikte tⁿ nin katsay¬lar¬

e¸sitlenirse Zn^{(A; )}(x; k) matris polinomlar¬n¬n aç¬k ifadesi

Z_n^{(A; )}(x; k) = (A + (kn + 1)I) n!

Xn r=0

( 1)^r n r

1(A + (kr + 1)I)( x)^kr (3.9)

olarak elde edilir.

Uyar¬3.1.1. k = 1özel durumunda (3:4) ve (3:9) e¸sitlikleri ile elde edilen Yn^{(A; )}(x; k) ve Zn^{(A; )}(x; k) Konhauser matris polinomlar¬(2:50) ile verilen Laguerre matris poli-

nomlar¬na, (3:2) ve (3:6) matris do¼gurucu fonksiyonlar¬Laguerre matris polinomlar¬

için matris do¼gurucu fonksiyonlara indirgenirler.

3.1.1 Biortogonallik ko¸sulunun sa¼glanmas¬

Bu k¬s¬mda, matris do¼gurucu fonksiyonlar yard¬m¬yla elde edilen Konhauser matris polinomlar¬n¬n biortogonallik ba¼g¬nt¬s¬n¬sa¼glad¬¼g¬gösterilecektir.

Teorem 3.1.1. Yn^{(A; )}(x; k) ve Zn^{(A; )}(x; k) Konhauser matris polinomlar¬, (0; 1) aral¬¼g¬nda W (x; A) = x^Ae ^x matris a¼g¬rl¬k fonksiyonuna göre

J_m;n = Z1

0

x^Ae ^xZ_n^{(A; )}(x; k)Y_m^{(A; )}(x; k)dx = 8<

:

0 ; n6= m

A I

n! (A + (kn + 1) I) ; n = m (3.10) biortogonallik ba¼g¬nt¬s¬n¬sa¼glarlar.

Ispat:· (3:4) ve (3:9) e¸sitlikleri ile elde edilen Konhauser matris polinomlar¬n¬n aç¬k ifadesi (2:39) ve Ix = x^I e¸sitli¼gi göz önünde tutularak (3:10) da yerine yaz¬l¬rsa

J_m;n = Z1

0

x^Ae ^x (A + (kn + 1)I) n!

Xn j=0

( 1)^j n j

1(A + (kj + 1)I)( x)^kj

1 m!

Xm r=0

( x)^r r!

Xr s=0

( 1)^s r s

1

k(A + (s + 1)I)

m

) dx

= (A + (kn + 1)I) n!

Xn j=0

( 1)^j n j

1(A + (kj + 1)I) 1

m!

Xm r=0

1 r!

Xr s=0

( 1)^s r s

1

k(A + (s + 1)I)

m

(kj+r)I

Z1

0

x^A+(kj+r)Ie ^xdx

bulunur. Son e¸sitlikte Gamma matris fonksiyonunun (2:42) ile verilen tan¬m¬ kul- lan¬l¬r ve (2:39) e¸sitli¼gi dikkate al¬n¬rsa

J_m;n = ^{A I} (A + (kn + 1)I) n! m!

Xn j=0

( 1)^j n j

1(A + (kj + 1)I)

Xm r=0

(A + (kj + r + 1)I) r!

Xr s=0

( 1)^s r s

1

k(A + (s + 1)I)

m

(3.11)

yaz¬labilir. Di¼ger taraftan f , m-inci dereceden bir polinom olmak üzere Carlitz (1968) in metodu uygulan¬rsa

f (t) = Xm r=0

( t)_r r!

Xr s=0

( 1)^s r

s f (s) (3.12)

olur. (3:12) e¸sitli¼ginde özel olarak f (t) = ¹_k(A + (t + 1) I) _m matris polinomu al¬n¬rsa t = (kj + 1) I A için

( jI)_m = Xm r=0

(A + (kj + 1)I)_r r!

Xr s=0

( 1)^s r s

1

k(A + (s + 1)I)

m

(3.13)

elde edilir. (3:13) e¸sitli¼ginde (2:43) kullan¬l¬rsa

( jI)_m = Xm r=0

(A + (kj + r + 1)I) ¹(A + (kj + 1)I) r!

Xr s=0

( 1)^s r s

1

k(A + (s + 1)I)

m

sonucuna var¬l¬r. Son elde edilen e¸sitlik (3:11) de yerine yaz¬ld¬ktan sonra gerekli i¸slemler yap¬l¬rsa

J_m;n = ^{A I} (A + (kn + 1)I) n!

Xn j=0

( 1)^j n j

( jI)_m m!

= ( 1)^{m A I} (A + (kn + 1)I) n!

Xn j=0

( 1)^j n j

j m

= ^{A I} (A + (kn + 1)I) n!

n

m (1 1)^{n m}

= ^{A I} (A + (kn + 1)I)

n! ^nm

bulunur. Bu sonuç Zn^{(A; )}(x; k) ve Yn^{(A; )}(x; k) Konhauser matris polinomlar¬n¬n

(0;1) aral¬¼g¬nda W (x) = x^Ae ^x matris a¼g¬rl¬k fonksiyonuna göre biortogonal oldu¼gunu gösterir ki ispat tamamlan¬r.

Uyar¬3.1.2. Belirtmeliyiz ki Teorem 3.1.1 de k = 1 al¬n¬rsa (2:51) e¸sitli¼gi ile verilen Laguerre matris polinomlar¬n¬n sa¼glad¬¼g¬ortogonallik ba¼g¬nt¬s¬elde edilir.

3.1.2 Zn^{(A; )}(x; k) Konhauser matris polinomlar¬n¬n baz¬özellikleri

Bu k¬s¬mda, Zn^{(A; )}(x; k)Konhauser matris polinomlar¬n¬n sa¼glad¬¼g¬ortogonallik ba¼g¬n- t¬s¬ gösterilip baz¬ matris rekürans ba¼g¬nt¬lar¬ ve (k + 1)-inci basamaktan matris diferensiyel denklem elde edilecektir.

Teorem 3.1.2. Zn^{(A; )}(x; k) Konhauser matris polinomlar¬, Yn^{(A; )}(x; k) Konhauser matris polinomlar¬n¬n s (x) = x temel polinomlar¬na göre

Z1

0

x^Ae ^xZ_n^{(A; )}(x; k)( x)ⁱdx = 8<

:

0 ; i = 0; 1; 2; :::; n 1

6= 0 ; i = n

(3.14)

ba¼g¬nt¬s¬n¬sa¼glarlar.

Ispat:· (2:39) ve Ix = x^I e¸sitli¼gi dikkate al¬narak (3:9) ile elde edilen Zn^{(A; )}(x; k) Konhauser matris polinomlar¬n¬n aç¬k ifadesi (3:14) e¸sitli¼ginin solunda yerine yaz¬l¬r ve (2:42) kullan¬l¬rsa

Z1

0

x^Ae ^xZ_n^{(A; )}(x; k)( x)ⁱdx = (A + (kn + 1)I) n!

Xn j=0

( 1)^j n j

1(A + (kj + 1)I) ^(kj+i)I Z1

0

x^A+(kj+i)Ie ^xdx

= ^{A I} (A + (kn + 1)I) n!

Xn j=0

( 1)^j n j

1(A + (kj + 1)I) (A + (kj + i + 1)I) (3.15)