Ortogonal Polinomlar

P, kompleks katsay¬l¬ polinomlar¬n bir lineer uzay¬ ve P⁰ ise onun cebirsel duali olsun. hu; fi ile u 2 P⁰ lineer fonksiyonelinin f 2 P polinomu üzerindeki etkisi gösterilmektedir.

Tan¬m 2.1.1. (Moment Fonksiyoneli) f ngn 0 kompleks say¬lardan olu¸san bir dizi ve u; P lineer uzay¬üzerinde tan¬ml¬kompleks de¼gerli bir fonksiyon olmak üzere

hu; xⁿi = n ; n = 0; 1; :::;

hu; ^{1 1}(x) + _{2 2}(x)i = ¹hu; ¹(x)i + ²hu; ²(x)i

e¸sitlikleri tüm i kompleks say¬lar¬ve i(x)polinomlar¬(i = 1; 2) için sa¼glan¬yorsa u ya f ngn 0moment dizisine kar¸s¬l¬k gelen moment fonksiyoneli denir (Chihara 1978).

Tan¬m 2.1.2. (Ortogonal Polinom) Negatif olmayan tüm m ve n tamsay¬lar¬

için

(i) hu; P^mP_ni = 0; m 6= n;

(ii) hu; Pn²i 6= 0; m = n;

ko¸sullar¬n¬sa¼glayan fPⁿgn 0 polinom kümesine u moment fonksiyoneline göre orto-gonal polinom kümesi denir (Chihara 1978).

Teorem 2.1.1. u bir moment fonksiyoneli ve fPⁿgn 0 bir polinom kümesi olsun.

A¸sa¼g¬daki önermeler denktir:

(a) fPⁿgn 0polinom kümesi u moment fonksiyoneline göre ortogonal polinom küme-sidir.

(b) deg( (x)) = m olmak üzere

hu; (x) Pⁿ(x)i = 0 ; m < n;

hu; (x) Pⁿ(x)i 6= 0 ; m = n;

ba¼g¬nt¬lar¬sa¼glanmaktad¬r.

(c) hu; x^mP_ni = K^{n mn} olup burada Kn 6= 0, m = 0; 1; :::; n ve ^mn Kronecker deltad¬r (Chihara 1978).

Teorem 2.1.2. u bir moment fonksiyoneli ve f ngn 0 kar¸s¬l¬k gelen moment dizisi olsun. u moment fonksiyoneline göre fPⁿgn 0 ortogonal polinom kümesinin var ol-mas¬için gerek ve yeter ko¸sul her bir n = 0; 1; :::; için

jHⁿj = det i+j n i;j=0 =

0 1 : : : _n

1 2 : : : _n+1

: : : : : :

: : : : : :

: : : : : :

n n+1 : : : _2n

6= 0 (2.1)

olmas¬d¬r (Chihara 1978).

Ispat:· P_n(x), x e göre n-inci dereceden bir polinom oldu¼gundan

P_n(x) = Xn k=0

c_nkx^k

¸seklinde yaz¬labilir. fPⁿgn 0polinom kümesi u moment fonksiyoneline göre ortogonal oldu¼gundan Teorem 2:1:1 in ¬¸s¬¼g¬alt¬nda m = 0; 1; :::; n ve m n olmak üzere

hu; x^mP_ni = Xn

k=0

c_{nk k+m}= K_{n mn} ; K_n6= 0 ;

elde edilir. Yukar¬daki e¸sitlikten

sistemi bulunur. fPⁿgn 0 polinom kümesi u moment fonksiyoneline göre ortogonal oldu¼gundan bu durumda her bir n için Kn 6= 0 d¬r. Dolay¬s¬yla (2:2) ile verilen n bilinmeyenli sistemin çözümünün var olmas¬için katsay¬lar determinant¬n¬n s¬f¬rdan farkl¬olmas¬gerekmektedir. Bu bize n = 0; 1; :::; için jHⁿj 6= 0 oldu¼gunu gösterir.

Tersine, e¼ger jHⁿj 6= 0 ise Kⁿ 6= 0 olup (2:2) sistemi tek çözüme sahiptir. Dolay¬s¬yla, Teorem 2:1:1 den fPⁿgn 0 polinom kümesi u moment fonksiyoneline göre bir orto-gonal polinom kümesidir.

Uyar¬2.1.1. Bile¸senleri u moment fonksiyoneline ili¸skin f ngn 0moment dizisinden olu¸san Hn matrisine H = _{i+j i;j 0} Hankel matrisinin temel alt matrisi denmekte-dir. Herhangi bir H = (hi;j)_{i;j 1} Hankel matrisi karesel bir matris olup

h_i;j = h_{i 1;j+1}

kural¬ile verilmektedir.

Tan¬m 2.1.3. (Regüler Moment Fonksiyoneli) (2:1) ile verilen Hn matrisi her bir n 0için singüler olmayan bir matris ise, bu durumda u moment fonksiyoneline regülerdir denir (Chihara 1978).

Tan¬m 2.1.4. (Pozitif Tan¬ml¬ Moment Fonksiyoneli) Özde¸s olarak s¬f¬r ol-mayan her bir (x) polinomu ve x reel say¬s¬için hu; (x)i de¼geri negatif olmayan ise, bu durumda u moment fonksiyoneline pozitif tan¬ml¬d¬r denir (Chihara 1978).

Teorem 2.1.3. u moment fonksiyoneli pozitif tan¬ml¬d¬r ancak ve ancak her bir

n 0için moment dizisinin bütün elemanlar¬reel olup jHⁿj > 0 d¬r (Chihara 1978).

Ortogonal polinomlar¬n en önemli özelliklerinden biri de sa¼glad¬klar¬üç terimli rekürans ba¼g¬nt¬lar¬d¬r. A¸sa¼g¬daki teoremle bu polinomlar¬n sa¼glad¬¼g¬ üç terimli rekürans ba¼g¬nt¬s¬n¬n biçimi verilecektir.

Teorem 2.1.4. u, regüler bir moment fonksiyoneli ve fPⁿgn 0 kar¸s¬l¬k gelen or-togonal polinom kümesi olsun. Bu durumda öyle f ngn 0 ve f ngn 1 dizileri vard¬r ki

P_n+1(x) = (x _n) P_n(x) _nP_{n 1}(x) ; n 0 ; (2.3) P ₁(x) = 0 ; P₀(x) = 1 ;

üç terimli rekürans ba¼g¬nt¬s¬sa¼glan¬r. Burada her bir n 1için _n6= 0 olup fPⁿgn 0

monik bir polinom kümesidir. Ba¸skatsay¬s¬ 1 olan polinomlara monik polinomlar denilmektedir (Chihara 1978).

Ispat:· p; q 2 P olmak üzere

' : P P ! C

: (p; q) ! ' (p; q) = hu; pqi

bilineer fonksiyonelini göz önüne alal¬m. x e göre çarp¬m operatörü ' bilineer fonksi-yoneline göre simetriktir yani

' (xp; q) = ' (p; xq) =hu; xpqi

özelli¼gi sa¼glan¬r.

xP_n(x)polinomu x e göre (n + 1)-inci dereceden olup

xP_n(x) = P_n+1(x) + Xn k=0

a_k;nP_k(x) (2.4)

¸seklinde yaz¬labilir. Her iki taraf¬0 j n olmak üzere Pj(x)ile çarp¬p u regüler

moment fonksiyonelini uygularsak 0 k n olmak üzere

a_k;n = ' (xP_n; P_k) ' (P_k; P_k) elde edilir.

xe göre çarp¬m operatörü ' bilineer fonksiyoneline göre simetrik olup ortogonalli¼gin tan¬m¬kullan¬l¬rsa

bulunur. Bu sonuçlar (2:4) e¸sitli¼ginde dikkate al¬n¬rsa (2:3) üç terimli rekürans ba¼ g¬n-t¬s¬elde edilmi¸s olur.

Uyar¬ 2.1.2. Yukar¬daki teoremin tersi de geçerlidir. Yani, fPⁿgn 0 monik poli-nom kümesi (2:3) ile verilen üç terimli rekürans ba¼g¬nt¬s¬n¬sa¼glarsa öyle bir u regüler moment fonksiyoneli vard¬r ki fPⁿgn 0kar¸s¬l¬k gelen monik ortogonal polinom küme-sidir. Literatürde bu teoreme Favard Teoremi denmektedir (Chihara 1978, Koekoek vd. 2010).

¸seklinde ifade edilebilir. Burada JP, üç diyagonal yar¬ sonsuz Jacobi matrisidir.

Jacobi matrisi yard¬m¬yla yap¬lan bir analiz ileriki bölümlerde kar¸s¬m¬za ç¬kacakt¬r.

(2:3) rekürans ba¼g¬nt¬s¬n¬sa¼glayan fPⁿgn 0 monik ortogonal polinom kümesi

xy_n(x) = y_n+1(x) + _ny_n(x) + _ny_{n 1}(x) (2.6)

ikinci basamaktan fark denkleminin y 1(x) = 0, y0(x) = 1 ba¸slang¬ç ko¸sullar¬n¬

sa¼glayan çözümü olarak da ele al¬nabilir. (2:6) denkleminin y 1(x) = 1, y0(x) = 0 ba¸slang¬ç ko¸sullar¬n¬sa¼glayan çözümü ₀ = 1 olmak üzere

y₁(x) = 1 = P₀⁽¹⁾(x) y₂(x) = x ₁ = P₁⁽¹⁾(x)

y₃(x) = (x ₂) (x ₁) ₂ = P₂⁽¹⁾(x) :::

olarak bulunur. n 0 olmak üzere Pn⁽¹⁾(x) polinomlar¬na birinci çe¸sit ili¸sik poli-nomlar denilmektedir. Birinci çe¸sit ili¸sik polinomlar JP Jacobi matrisinin birinci sat¬r ve sütununun silinmesiyle de elde edilebilmektedir. Di¼ger taraftan fPⁿgn 0

polinomlar¬n¬n sa¼glad¬¼g¬(2:3) rekürans ba¼g¬nt¬s¬x ve y de¼gi¸skenlerine göre yaz¬l¬rsa

xP_n(x) = P_n+1(x) + _nP_n(x) + _nP_{n 1}(x) yP_n(y) = P_n+1(y) + _nP_n(y) + _nP_{n 1}(y)

olur. Bu iki denklemi ç¬kar¬p, x y ile bölüp u regüler moment fonksiyonelini uygu-larsak

u;xP_n(x) yP_n(y)

x y = u;P_n+1(x) P_n+1(y)

x y + _n u;P_n(x) P_n(y)

x y

+ _n u;P_{n 1}(x) P_{n 1}(y)

x y (2.7)

e¸sitli¼gi elde edilir. Burada u fonksiyoneli y de¼gi¸skenine etki etmektedir. O halde

P_n⁽¹⁾(x) = 1

0

u;P_n+1(x) P_n+1(y)

x y (2.8)

olmak üzere ortogonalli¼gin tan¬m¬(2:7) e¸sitli¼ginde kullan¬l¬rsa

xP_n⁽¹⁾(x) = P_n+1⁽¹⁾ (x) + _n+1P_n⁽¹⁾(x) + _n+1P_{n 1}⁽¹⁾ (x) ; n 0 ; (2.9) n

Pn⁽¹⁾

o

n 0 birinci çe¸sit ili¸sik polinomlar¬n sa¼glad¬¼g¬ rekürans ba¼g¬nt¬s¬ bulunmu¸s olur. Dikkat edilmelidir kin

Pn⁽¹⁾

o

n 0 polinomlar¬n¬n sa¼glad¬¼g¬(2:9) rekürans ba¼ g¬n-t¬s¬ndaki _n+1 ve _n+1 rekürans katsay¬lar¬ fPⁿgn 0 polinomlar¬n¬n sa¼glad¬¼g¬ (2:3) rekürans ba¼g¬nt¬s¬ndaki rekürans katsay¬lar¬n¬n ötelemesidir.

(2:6) ile verilen fark denkleminin y0(x) = 1, y1(x) = x ₀ ba¸slang¬ç ko¸sulu yard¬m¬yla elde edilen Pn(x; )çözümüne yard¬mc¬rekürans polinomlar¬denilmekte olup

P_n+1(x; ) = (x _n) P_n(x; ) _nP_{n 1}(x; ) ; n 1 ; P₁(x; ) = P₁(x) ; P₀(x) = 1 ;

rekürans ba¼g¬nt¬s¬ yard¬m¬yla tan¬mlan¬rlar. fPⁿgn 0, n Pn⁽¹⁾

o

n 0 ve fPⁿ(:; )gn 0

polinomlar¬aras¬nda n 1olmak üzere

P_n(x; ) = P_n(x) P_{n 1}⁽¹⁾ (x)

ba¼g¬nt¬s¬geçerlidir.

¸

Simdi de a¸sa¼g¬daki teoremle herhangi bir moment fonksiyonelinin ne zaman bir in-tegral gösterime sahip olabilece¼ginden bahsedilecektir.

Teorem 2.1.5. Verilen bir p 2 P ve u pozitif tan¬ml¬moment fonksiyoneli için Riesz temsil teoremi gere¼gince

hu; p (x)i = Z

E

p (x) d

integral gösterimi geçerlidir. Burada , dayana¼g¬reel say¬lar¬n sonsuz elemanl¬E alt kümesinde olan pozitif bir Borel ölçüsüdür.

Ortogonal polinomlar teorisinde, u regüler moment fonksiyonelinin temel kanonik spektral dönü¸sümleri

(a) Christo¤el Dönü¸sümü

v₁ = (x a) u ;

(b) Uvarov Dönü¸sümü

v₂ = u + M _a ;

(c) Geronimus Dönü¸sümü

v₃ = (x a) ¹u + M _a ;

¸seklindedir. Burada M 2 R ve u 2 P⁰ lineer fonksiyonelinin soldan f 2 P polino-muyla çarp¬m¬

hfu; pi = hu; fpi ; p2 P ; ile tan¬ml¬olup u nun birinci dereceden bir polinomla bölümü

(x a) ¹u; p = u;p (x) p (a)

x a ; p2 P ;

kural¬ ile tan¬mlanmaktad¬r. Di¼ger taraftan a kütle noktas¬nda a Dirac fonksi-yonelinin etkisi

h ^a; pi = p (a) ; p2 P ;

e¸sitli¼gi ile verilmektedir. Literatürde, v1, v2 ve v3 lineer fonksiyonellerinin regüler ol-mas¬n¬sa¼glayan gerek ve yeter ko¸sullar¬n bulunmas¬ayr¬nt¬l¬incelenmi¸s olup kar¸s¬l¬k gelen ortogonal polinomlar aras¬ndaki cebirsel ili¸skiler aç¬kça elde edilmi¸stir.

Jacobi, Hermite ve Laguerre polinomlar¬ literatürde çok iyi bilinen belli ba¸sl¬ or-togonal polinom kümeleridir. ¸Simdi, bu tezde kullan¬lacak olan Laguerre ve Jacobi

polinomlar¬hakk¬nda genel bilgiler verilecektir.

2.1.1 Laguerre polinomlar¬

Laguerre polinomlar¬, [0; 1) aral¬¼g¬nda > 1 ve m; n 2 N⁰ = f0; 1; 2; :::g olmak üzere ! (x) = x e ^x a¼g¬rl¬k fonksiyonuna göre

Z1

0

L^{( )}_m (x) L^{( )}_n (x) x e ^xdx = ( + n + 1)

n! ^mn (2.10)

ortogonallik ba¼g¬nt¬s¬n¬sa¼glamaktad¬r. Burada

(z) = Z1

0

t^{z 1}e ^tdt [Re (z) > 0]

e¸sitli¼giyle verilen Gamma fonksiyonudur. Di¼ger taraftan, Laguerre polinomlar¬

L^{( )}_n (x) = x e^x n!

dⁿ

dxⁿ e ^xx ⁺ⁿ Rodrigues formülüyle tan¬mlanmakta olup aç¬k ifadeleri

L^{( )}_n (x) = ( + 1)_n n!

Xn k=0

( n)_kx^k

( + 1)_kk! (2.11)

¸seklindedir. Burada ( )_j

( )₀ = 1; ( )_j = ( ) ( + 1) ::: ( + j 1) ; j = 1; 2; :::,

ile tan¬mlanan Pochhammer sembolüdür. u = L^{( )}n (x) polinomlar¬, ikinci basamak-tan

xu⁰⁰+ ( + 1 x) u⁰ + nu = 0 (2.12) diferensiyel denklemini sa¼glamakla birlikte jtj < 1 durumunda

(1 t) ¹exp xt

1 t =

X1 n=0

L^{( )}_n (x) tⁿ (2.13)

ile verilen do¼gurucu fonksiyon gösterimine sahiptir. Ayr¬ca, Laguerre polinomlar¬

L^{( )}_n+1(x) = 2 + 1 x

n + 1 L^{( )}_n (x) 1 + 1

n + 1 L^{( )}_{n 1}(x) (2.14) üç terimli türev içermeyen rekürans ba¼g¬nt¬s¬n¬ve

(n + 1) L^{( )}_n+1(x) = xDL^{( )}_n (x) + [ + 1 x + n] L^{( )}_n (x) (2.15) DL^{( )}_n (x) = L^{( )}_n (x) L^{( +1)}_n (x) (2.16) (n + 1) L^{( )}_n+1(x) = ( + 1 + n) L^{( )}_n (x) xL^{( +1)}_n (x) (2.17)

rekürans ba¼g¬nt¬lar¬n¬ sa¼glamaktad¬r. Burada D = _dx^d ile tan¬mlanan türev ope-ratörüdür (Andrews vd. 1999).

Laguerre polinomlar¬, matematiksel …zi¼gin birçok probleminde kar¸s¬m¬za ç¬kmakta olup daha birçok kullan¬m alan¬na sahiptir. Bu polinomlar, kuantum mekani¼ginde Coulomb potansiyelinin çözümleri olup = 0 durumunda (2:12) ile verilen Laguerre polinomlar¬n¬n sa¼glad¬¼g¬diferensiyel denklem, hidrojen atomu için Shrödinger’in verdi¼gi modelin diferensiyel denkleme indirgenmi¸s özel halidir.

2.1.2 Jacobi polinomlar¬

Jacobi polinomlar¬,

P_n^{( ; )}(x) = ( 1)ⁿ

2ⁿn! (1 x) (1 + x) dⁿ dxⁿ

h

(1 x) ⁺ⁿ(1 + x) ⁺ⁿ i

Rodrigues formülü yard¬m¬yla tan¬mlanmakta olup ; > 1 ve m; n 2 N⁰ olmak üzere [ 1; 1] aral¬¼g¬nda ! (x) = (1 x) (1 + x) a¼g¬rl¬k fonksiyonuna göre

Z1

1

P_m^{( ; )}(x) P_n^{( ; )}(x) (1 x) (1 + x) dx = 2 ^{+ +1} 2n + + + 1

( + n + 1) ( + n + 1) ( + + n + 1) n! ^mn

(2.18)

ortogonallik ba¼g¬nt¬s¬n¬sa¼glamaktad¬r.

Jacobi polinomlar¬n¬n, literatürde, dikkat çekici birçok özel hali bulunmaktad¬r. Bun-lar¬n en önemlileri, = = 0 özel durumuna kar¸s¬l¬k gelen Legendre polinomlar¬,

= = ¹₂ özel durumunda Birinci Tür Tchebyche¤ polinomlar¬, = = ¹₂ özel durumunda ·Ikinci Tür Tchebyche¤ polinomlar¬ ve son olarak ise = =

1

2 ( 6= 0) özel durumunda Gegenbauer polinomlar¬d¬r (Chihara 1978).

Jacobi polinomlar¬n¬n bir özel hali olan Legendre polinomlar¬, kuantum mekani¼gi ve elektrostatikte kullan¬m alanlar¬na sahiptir.

Belgede ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ ORTOGONAL POLİNOMLARIN BAZI GENİŞLETMELERİ. Serhan VARMA MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA 2013 (sayfa 10-20)