Ters Problem

u, regüler bir moment fonksiyoneli ve fPⁿgn 0kar¸s¬l¬k gelen monik ortogonal polinom kümesi olsun. fPⁿgn 0 polinom kümesiyle monik fQⁿgn 0 polinom kümesi aras¬nda

Q_n(x) +

m 1X

i=1

a_i;nQ_{n i}(x) = P_n(x) + Xk 1

i=1

b_i;nP_{n i}(x) ; n 0 ; (5.1)

¸seklinde cebirsel bir ili¸ski oldu¼gunda fQⁿgn 0 polinom kümesinin ortogonal olmas¬n¬

sa¼glayan gerek ve yeter ko¸sullar¬n ve kar¸s¬l¬k gelen regüler moment fonksiyonel-lerin aras¬nda ili¸skinin bulunmas¬ problemine ters problem denilmektedir. Burada m; k 2 Z⁺, (ai;n)_{n 0} ve (bi;n)_{n 0} kompleks dizilerdir. m = 1, k = 2 ve m = 2, k = 1 durumlar¬ Marcellán ve Petronilho (1995) taraf¬ndan çal¬¸s¬lm¬¸st¬r. m = 2, k = 2 durumunda detayl¬ bir çal¬¸sma bulunmaktad¬r (Alfaro vd. 2003). Daha sonra, sabit katsay¬l¬ m = 1, k = N durumu Alfaro vd. (2010) taraf¬ndan in-celenmi¸stir. Bu yay¬nda, fQⁿgn 0 polinom kümesinin ortogonal olmas¬n¬ sa¼glayan gerek ve yeter ko¸sullar elde edilmi¸s olup fPⁿgn 0 ve fQⁿgn 0 e kar¸s¬l¬k gelen Jacobi matrisleri kullan¬larak bir matris metot türetilmi¸stir. Di¼ger taraftan, yine Alfaro vd. (2011) m = 1, k = 3 durumuyla ilgilenmi¸stir. fQⁿgn 0 polinom kümesinin ortogonalli¼ginin karakterize edilmesi, fPⁿgn 0 ve fQⁿgn 0 monik ortogonal polinom kümelerine kar¸s¬l¬k gelen regüler moment fonksiyonelleri aras¬ndaki ili¸ski ve Jacobi matrisi ve Christo¤el formülünün (Gautschi 2004) önemli rol oynad¬¼g¬ bir matris yorum elde edilmi¸stir. ·Ilk defa bu tip problem Branquinho ve Marcellán (1996) taraf¬ndan ele al¬nm¬¸st¬r. Bu y¬l benzer bir çal¬¸sma Alfaro vd. (2013) taraf¬ndan m = 2, k = 3 durumu için yap¬lm¬¸st¬r. Son olarak (5:1) ile verilen genel ba¼g¬nt¬

monik fQⁿgn 0 polinom kümesinin ortogonal olmas¬ek ko¸suluyla Petronilho (2006) taraf¬ndan incelenmi¸stir.

Bu k¬s¬mda, (5:1) ile verilen genel ba¼g¬nt¬n¬n m = 1, k = 4 özel durumu yani n 0 için

Qn(x) = Pn(x) + snPn 1(x) + tnPn 2(x) + rnPn 3(x) ; (5.2) ba¼g¬nt¬s¬ ele al¬nacakt¬r. Burada sn, tn ve rn s₀ = t₀ = t₁ = r₀ = r₁ = r₂ = 0 ba¸slang¬ç ko¸sullar¬yla birlikte kompleks diziler olup n 3 için rn 6= 0 d¬r. fQⁿgn 0

monik polinom kümesinin ortogonallik ko¸sulu, kar¸s¬l¬k gelen regüler moment fonksi-yonelleri aras¬ndaki ili¸ski, fQⁿgn 0 in aç¬k bir ifadesi, bir matris metot ve baz¬örnek-ler elde edilecektir.

A¸sa¼g¬daki teoremle (5:2) ile verilen fQⁿgn 0 monik polinom kümesinin ortogonalli¼gi karakterize edilecektir.

Teorem 5.1.1. fQⁿgn 0 monik polinom kümesinin ortogonal olmas¬için gerek ve yeter ko¸sullar

~_n= _n+ t_n t_n+1+ s_{n n 1 n} s_n+ s_n+1 6= 0; n 1; (5.3)

s_{n 1}~_n= s_{n n 1}+ r_n r_n+1+ t_{n n 2 n} s_n+ s_n+1 ; n 2; (5.4)

t_{n 1}~_n = t_{n n 2}+ r_{n n 3 n} s_n+ s_n+1 ; n 3; (5.5)

r_{n 1}~_n = r_{n n 3} ; n 4 (5.6)

olup fQⁿgn 0 in sa¼glad¬¼g¬ üç terimli rekürans ba¼g¬nt¬s¬n¬n katsay¬lar¬n

~n

o

n 0 ve f~ngn 1

~n = _n+ s_n s_n+1 ; n 0; (5.7)

~_n = _n+ t_n t_n+1+ s_{n n 1 n} s_n+ s_n+1 ; n 1 (5.8)

¸seklindedir.

Ispat:· (5:2) ba¼g¬nt¬s¬n¬n her iki taraf¬x ile çarp¬l¬rsa

xQ_n(x) = xP_n(x) + s_nxP_{n 1}(x) + t_nxP_{n 2}(x) + r_nxP_{n 3}(x) ; n 0 (5.9)

olur. (5:9) e¸sitli¼ginde xPn(x), xPn 1(x), xPn 2(x) ve xPn 3(x) terimleri için (2:3) ile verilen üç terimli rekürans ba¼g¬nt¬s¬kullan¬l¬r daha sonra Pn+1(x)terimi için (5:2) ba¼g¬nt¬s¬göz önüne al¬n¬rsa n 0 için

xQ_n(x) = Q_n+1(x) + ( _n+ s_n s_n+1) P_n(x) + _n+ t_n t_n+1+ s_{n n 1} P_{n 1}(x) + s_{n n 1}+ r_n r_n+1+ t_{n n 2} P_{n 2}(x) + t_{n n 2}+ r_{n n 3} P_{n 3}(x) + r_{n n 3}P_{n 4}(x)

elde edilir. Burada uyumluluk aç¬s¬ndan n 1 için P n(x) = 0 d¬r. Son e¸sitlikte P_n(x)için tekrar (5:2) ba¼g¬nt¬s¬kullan¬l¬rsa n 0için

xQ_n(x) = Q_n+1(x) + ~_nQ_n(x)

+ _n+ t_n t_n+1+ s_{n n 1 n} s_n+ s_n+1 P_{n 1}(x) + s_{n n 1} + r_n r_n+1+ t_{n n 2 n} s_n+ s_n+1 P_{n 2}(x) + t_{n n 2} + r_{n n 3 n} s_n+ s_n+1 P_{n 3}(x)

+r_{n n 3}P_{n 4}(x)

bulunur ki ~_n, (5:7) e¸sitli¼giyle verilen ¸sekildedir. Son olarak (5:2) ba¼g¬nt¬s¬Pn 1(x) terimi için dikkate al¬n¬rsa n 0 için

xQ_n(x) = Q_n+1(x) + ~_nQ_n(x) + ~_nQ_{n 1}(x)

+ s_{n n 1}+ r_n r_n+1+ t_{n n 2 n} s_n+ s_n+1 s_{n 1}~_n P_{n 2}(x) + t_{n n 2}+ r_{n n 3 n} s_n+ s_n+1 t_{n 1}~_n P_{n 3}(x)

+ r_{n n 3} r_{n 1}~_n P_{n 4}(x) (5.10)

sonucuna var¬l¬r. Burada ~_n, (5:8) e¸sitli¼giyle verilmektedir. (5:10) e¸sitli¼ginden fQⁿgn 0 monik polinom kümesinin ortogonal olmas¬ için yani üç terimli rekürans ba¼g¬nt¬s¬n¬sa¼glamas¬için ancak ve ancak (5:3) (5:6)ko¸sullar¬n¬n sa¼ glanmas¬gerek-mektedir ki bu da ispat¬tamamlar.

Teorem 5.1.2. fPⁿgn 0, u regüler moment fonksiyoneline kar¸s¬l¬k gelen monik or-togonal polinom kümesi ve fQⁿgn 0 (5:2)ba¼g¬nt¬s¬ile verilen monik polinom kümesi olsun. E¼ger fQⁿgn 0, v regüler moment fonksiyoneline kar¸s¬l¬k gelen monik ortogonal polinom kümesi ise, bu durumda bu fonksiyoneller aras¬nda

q (x) v = ku

ili¸skisi vard¬r. Burada q (x) = x³+ ax²+ bx + c, k 2 Cn f0g ve hu; 1i = hv; 1i = 1 dir.

Ispat:· fPⁿgn 0 monik ortogonal polinom kümesine kar¸s¬l¬k gelen u regüler moment fonksiyonelini n 4 için (5:2) ba¼g¬nt¬s¬na uygularsak

hu; Qⁿi = 0

bulunur. Daha sonra, Maroni’nin (1991) yapt¬¼g¬ çal¬¸smay¬ ve (5:2) ba¼g¬nt¬s¬n¬ göz önüne alarak u fonksiyonelini fQⁿgn 0monik ortogonal polinom kümesinin ^Qjv

h^v;Q2ji _{j 0} dual dizisinin terimleri cinsinden geni¸sletirsek

u = X3

j=0

hu; Q^ji v; Q²_j Q_jv

= 1 + s₁

hv; Q²1iQ₁+ t₂

hv; Q²2iQ₂+ r₃

hv; Q²3iQ₃ v (5.11) elde edilir. Burada hu; Q⁰i = 1, hu; Q¹i = s¹, hu; Q²i = t²ve hu; Q³i = r³¸seklindedir.

Di¼ger taraftan, fQⁿgn 0, v regüler moment fonksiyoneline kar¸s¬l¬k gelen monik or-togonal polinom kümesi oldu¼gundan rekürans katsay¬lar¬n

~n

o

n 0 ve f~ngn 1, (5:7) ve (5:8) e¸sitlikleri ile verilmektedir. Hatta

~_n = hv; Q²ni

v; Q²_{n 1} 6= 0 ; n 1 ; (5.12)

dir. Yukar¬daki e¸sitlik fQⁿgn 0 monik ortogonal polinom kümesinin sa¼glad¬¼g¬ üç terimli rekürans ba¼g¬nt¬s¬n¬n her iki taraf¬n¬n Qn 1(x) terimi ile çarp¬l¬p v regüler moment fonksiyonelinin uygulanmas¬yla bulunur. (5:12) e¸sitli¼giyle (5:2) ba¼g¬nt¬s¬n¬

(5:11) e¸sitli¼ginde göz önünde bulundurursak istenen k = ^~1~_r^2~3

3 olmak üzere elde edilmi¸s olur. Not edilmelidir ki ~₁, ~₂, ~₃ katsay¬lar¬(5:8) e¸sitli¼gi yard¬m¬yla hesap-lanabilmektedir.

¸Simdi de fQⁿgn 0 monik ortogonal polinom kümesinin aç¬k bir ifadesi elde edilecek-tir.

Teorem 5.1.3. fPⁿgn 0, u regüler moment fonksiyoneline kar¸s¬l¬k gelen monik ortogonal polinom kümesi, fQⁿgn 0 (5:2) ba¼g¬nt¬s¬ile verilen monik polinom kümesi ve q (x) s¬f¬rlar¬ 1, 2, 3 olan üçüncü dereceden bir polinom olsun. E¼ger fQⁿgn 0, v regüler moment fonksiyoneline kar¸s¬l¬k gelen monik ortogonal polinom kümesi ise, bu durumda n 3için

Q_n(x) = 1

n

P_n(x) P_{n 1}(x) P_{n 2}(x) P_{n 3}(x) R_n( ₁; c₁) R_{n 1}( ₁; c₁) R_{n 2}( ₁; c₁) R_{n 3}( ₁; c₁) R_n( ₂; c₂) R_{n 1}( ₂; c₂) R_{n 2}( ₂; c₂) R_{n 3}( ₂; c₂) R_n( ₃; c₃) R_{n 1}( ₃; c₃) R_{n 2}( ₃; c₃) R_{n 3}( ₃; c₃)

¸seklindedir. Burada

n=

R_{n 1}( ₁; c₁) R_{n 2}( ₁; c₁) R_{n 3}( ₁; c₁) R_{n 1}( ₂; c₂) R_{n 2}( ₂; c₂) R_{n 3}( ₂; c₂) R_{n 1}( ₃; c₃) R_{n 2}( ₃; c₃) R_{n 3}( ₃; c₃)

6= 0 ;

R_n(x; ) = P_n(x) + P_{n 1}⁽¹⁾ (x), 2 C, k 2 Cn f0g, hu; 1i = hv; 1i = 1 ve

c₁ = 1

khv; (x ²) (x ₃)i ; c₂ = 1

khv; (x ¹) (x ₃)i ; c₃ = 1

khv; (x ¹) (x ₂)i dir.

Ispat:· fQⁿgn 0, v regüler moment fonksiyoneline kar¸s¬l¬k gelen monik ortogonal

polinom kümesi oldu¼gundan Teorem 5.1.2 ye göre

q (x) v = ku (5.13)

e¸sitli¼gi sa¼glan¬r. Di¼ger taraftan (5:2) ba¼g¬nt¬s¬nda x = 1 al¬rsak

Q_n( ₁) = P_n( ₁) + s_nP_{n 1}( ₁) + t_nP_{n 2}( ₁) + r_nP_{n 3}( ₁) ; n 3

elde edilir. Son e¸sitli¼gi (5:2) ba¼g¬nt¬s¬ndan ç¬kar¬r, her iki taraf¬x 1 ile böler ve daha sonra u fonksiyonelini uygularsak

u;Q_n(x) Q_n( ₁)

x ₁ = P_{n 1}⁽¹⁾ ( ₁) + s_nP_{n 2}⁽¹⁾ ( ₁) + t_nP_{n 3}⁽¹⁾ ( ₁)

+r_nP_{n 4}⁽¹⁾ ( ₁) (5.14)

bulunur. Burada birinci çe¸sit ili¸sik polinomlar¬n (2:8) ile verilen tan¬m¬kullan¬lm¬¸st¬r.

(5:14) e¸sitli¼ginin sol taraf¬nda n 3 için (5:13) e¸sitli¼gi

hfu; pi = hu; fpi , f; p2 P

özelli¼gi dikkate al¬narak kullan¬l¬rsa

u;Q_n(x) Q_n( ₁)

x ₁ = 1

khv; (x ²) (x ₃) [Q_n(x) Q_n( ₁)]i

= c₁Q_n( ₁)

olur. Burada ortogonalli¼gin tan¬m¬kullan¬lm¬¸s olup

c₁ = 1

khv; (x ²) (x ₃)i dir. Dolay¬s¬yla n 3 için

c₁Q_n( ₁) = P_{n 1}⁽¹⁾ ( ₁) + s_nP_{n 2}⁽¹⁾ ( ₁) + t_nP_{n 3}⁽¹⁾ ( ₁) + r_nP_{n 4}⁽¹⁾ ( ₁)

sonucuna var¬l¬r. Son e¸sitlikte (5:2) ba¼g¬nt¬s¬ve Rn(x; ) polinomlar¬n¬n tan¬m¬göz

önüne al¬n¬rsa n 3 için

R_n( ₁; c₁) = s_nR_{n 1}( ₁; c₁) + t_nR_{n 2}( ₁; c₁) + r_nR_{n 3}( ₁; c₁) (5.15)

elde edilir. Benzer i¸slemler sonucunda n 3 için

R_n( ₂; c₂) = s_nR_{n 1}( ₂; c₂) + t_nR_{n 2}( ₂; c₂) + r_nR_{n 3}( ₂; c₂) (5.16)

R_n( ₃; c₃) = s_nR_{n 1}( ₃; c₃) + t_nR_{n 2}( ₃; c₃) + r_nR_{n 3}( ₃; c₃) (5.17) e¸sitlikleri bulunur. Burada

c₂ = 1

k hv; (x ¹) (x ₃)i ; c₃ = 1

k hv; (x ¹) (x ₂)i

dir. fQⁿgn 0 monik ortogonal polinom kümesinin aç¬k ifadesi (5:15) (5:17) e¸ sit-liklerinden sn, tn ve rn bilinmeyenlerinin bulunmas¬ve (5:2) ba¼g¬nt¬s¬n¬n yard¬m¬yla elde edilir ki bu da istenilendir.

Uyar¬5.1.1. q (x)polinomunun 1 basit bir s¬f¬r¬ve 2 iki katl¬bir s¬f¬r¬olsun. Bu durumda Teorem 5.1.3 göz önüne al¬narak (5:17) e¸sitli¼gi (5:16) e¸sitli¼ginden ç¬kar¬l¬r her iki taraf 2 3 ile bölünürse ₀ s1 = 1 ve ⁰⁺₂^{1 s2} 6= ² al¬narak 3 ! ² limit durumunda

R⁰_n( ₂; c₃) = s_nR⁰_{n 1}( ₂; c₃) + t_nR⁰_{n 2}( ₂; c₃) + r_nR⁰_{n 3}( ₂; c₃) (5.18)

elde edilir. Burada k = hv; q (x)i 2 Cn f0g olup yukar¬daki ko¸sullar

lim

3! 2

hv; x ¹i

hv; (x ¹) (x 2) (x 3)i

limit de¼gerinin s¬f¬r olmas¬gerekti¼ginden kaynaklanmaktad¬r. Benzer ¸sekilde fQⁿgn 0

monik ortogonal polinom kümesinin aç¬k ifadesi (5:15), (5:16) ve (5:18) e¸sitliklerinden

sn, tn ve rn bilinmeyenlerinin bulunmas¬ve (5:2) ba¼g¬nt¬s¬n¬n yard¬m¬yla n 3 için

Q_n(x) = 1

n

P_n(x) P_{n 1}(x) P_{n 2}(x) P_{n 3}(x) R_n( ₁; c₁) R_{n 1}( ₁; c₁) R_{n 2}( ₁; c₁) R_{n 3}( ₁; c₁) R_n( ₂; c₂) R_{n 1}( ₂; c₂) R_{n 2}( ₂; c₂) R_{n 3}( ₂; c₂) R⁰_n( ₂; c₃) R⁰_{n 1}( ₂; c₃) R_{n 2}⁰ ( ₂; c₃) R⁰_{n 3}( ₂; c₃)

olarak bulunur. Dikkat edilmelidir ki bu durumda ₀ s₁ = ₁, ⁰⁺₂^{1 s2} 6= ²,

n=

R_{n 1}( ₁; c₁) R_{n 2}( ₁; c₁) R_{n 3}( ₁; c₁) R_{n 1}( ₂; c₂) R_{n 2}( ₂; c₂) R_{n 3}( ₂; c₂) R⁰_{n 1}( ₂; c₃) R⁰_{n 2}( ₂; c₃) R⁰_{n 3}( ₂; c₃)

6= 0 ,

ve

c₁ = 1

k v; (x ₂)² ; c₂ = c₃ = 1

khv; (x ¹) (x ₂)i

¸seklindedir. Üçüncü dereceden q (x) polinomunun üç katl¬ bir s¬f¬ra sahip olmas¬

durumu ise Maroni ve Nicolau (2003) taraf¬ndan yap¬lm¬¸st¬r.