5. ORTOGONAL POL· INOMLARIN L· INEER
5.3 Özel Durumlar
(5:2) ba¼g¬nt¬s¬nda katsay¬lar¬n sabit al¬nmas¬durumunda
Qn(x) = Pn(x) + h1Pn 1(x) + h2Pn 2(x) + h3Pn 3(x) ; n 4 ; (5.27)
olur. Burada h1, h2, h3 2 R olup h3 6= 0 d¬r. Teorem 5.1.1 in ¬¸s¬¼g¬alt¬nda fQngn 0
monik polinom kümesinin ortogonal olmas¬için gerek ve yeter ko¸sullar n 4 için
~n= n+ h1 n 1 n 6= 0 ;
ve n 5için
h2 n n 2 = h1 n 1 n 3 ; (5.28)
h3 n n 3 = h2 n 2 n 3 ; (5.29)
h1 n n 1 = n n 3 (5.30)
¸seklindedir. Burada fQngn 0 monik ortogonal polinom kümesinin rekürans kat-say¬lar¬yine Teorem 5.1.1 dikkate al¬narak
~n = n+ h1 n 1 n ; n 4 ;
~n = n ; n 4
olarak bulunurlar. Ayn¬zamanda (5:27) e¸sitli¼giyle verilen fQngn 0 monik polinom kümesinin bu ortgonallik ko¸sullar¬n¬Alfaro vd. (2010) y¬l¬nda bulmu¸stur. ¸Simdi de baz¬özel durumlar incelenecektir.
(i) h1 = 0 durumu
Bu özel durum da kendi içinde ikiye ayr¬lacakt¬r.
(a) h2 = 0
Bu durumda (5:28) (5:30)e¸sitliklerinden n 5için
n = n 3 ;
n = n 3
oldu¼gu anla¸s¬lmaktad¬r. Dolay¬s¬yla, fPngn 0monik polinom kümesi 0; 1; 1ba¸slang¬ç ko¸sullar¬yla 3-periyodik bir ortogonal polinom kümesidir. Ayn¬ zamanda fQngn 0
de 3-periyodik bir ortogonal polinom kümesi olup rekürans katsay¬lar¬n 4 için
~n= n ; ~n= n
e¸sitliklerini sa¼glamaktad¬r.
(b) h2 6= 0
Bu durumda yine (5:28) (5:30) e¸sitliklerinden n 5 için
n = n 2 ; (5.31)
n = n 3 ; (5.32)
h3 n n 3 = h2 n 2 n 3 (5.33)
elde edilir. (5:31) e¸sitli¼gi (5:33) e¸sitli¼ginde ele al¬n¬rsa
h3 n 2 n 3 = h2 n 2 n 3 ; n 5 (5.34)
bulunur. (5:34) e¸sitli¼gi n nin de¼gerlerine göre yaz¬l¬p taraf tarafa toplan¬r ve daha sonra n yerine n + 2 yaz¬l¬rsa
h2 n 2 = h3 n 2+ C ; n 5 ; h2 n = h3 n+ C ; n 5
olur. Burada C = h2 2 h3 2 olacak ¸sekilde bir sabittir. (5:31) ve son e¸sitlikler birbirlerinden ç¬kar¬larak göz önüne al¬n¬rsa
n = n 2 ; n 5 sonucuna var¬l¬r. Bu son e¸sitlik ve (5:32) e¸sitli¼ginden
n = 2 ; n 2
oldu¼gu elde edilir. Di¼ger taraftan (5:34) e¸sitli¼ginde bu sonucu kullan¬rsak
n 2 = n 3 ; n 5 ;
n = 2 ; n 2
bulunur ki 2 = h1
3 (h2 2 C) dir. O halde, fPngn 0 monik ortogonal polinom kümesinin rekürans katsay¬lar¬sabit olup 0; 1; 1 parametreleri ba¼g¬ms¬zd¬r. Ayn¬
zamanda fQngn 0 monik ortogonal polinom kümesinin rekürans katsay¬lar¬ sabit olup
~n = n= 2 ; ~n= n= 2 ; n 4
¸seklindedir.
(ii) h1 6= 0 durumu
Benzer ¸sekilde bu özel durum da ikiye ayr¬lacakt¬r.
(a) h2 = 0
Bu durumda (5:28) (5:30)e¸sitliklerinden n 5için
n 1 = n 3 ; (5.35)
n = n 3 ; (5.36)
n n 1 = 1
h1 n n 3 (5.37)
olur. (5:35) (5:37) e¸sitlikleri kullan¬larak
n n 1 = 1
h1 n n 1 ; n 5 ;
n = 1
h1 n+ C ; n 5 bulunur. Burada C = 4 h1
1 4 olacak ¸sekilde bir sabittir. Benzer i¸slemler
sonu-cunda
n = 2 ; n 2 ;
n = 2 ; n 2
elde edilir ki burada 2 = h1
1 2+C dir. fPngn 0monik ortogonal polinom kümesinin rekürans katsay¬lar¬yine sabit olup 0; 1; 1 parametreleri ba¼g¬ms¬zd¬r. Benzer ¸ se-kilde fQngn 0 monik ortogonal polinom kümesinin rekürans katsay¬lar¬sabit olup
~n = n+ h1 n 1 n = 2 ; n 4 ;
~n = n= 2 ; n 4
¸seklindedir.
(b) h2 6= 0
Bu durumda önce (5:28) e¸sitli¼ginin sa¼g taraf¬na n 2 eklenir ve ç¬kar¬l¬r daha sonra (5:29) e¸sitli¼gi kullan¬l¬rsa n rekürans katsay¬s¬
n+ 1 h22
h1h3 n 1 1 h22
h1h3 n 3 n 4= 0 ; n 6
olarak elde edilir. Bu ba¼g¬nt¬n¬n sol taraf¬na n 2 eklenir ve ç¬kar¬l¬r ve (5:28) e¸sitli¼gi göz önüne al¬n¬rsa n rekürans katsay¬s¬
n+ 1 h22
h1h3 n 1 1 h22
h1h3 n 3 n 4 = 0 ; n 6 olarak bulunur. Bu iki rekürans katsay¬s¬n¬n ortak olarak sa¼glad¬¼g¬
yn+ 1 h22
h1h3 yn 1 1 h22
h1h3 yn 3 yn 4= 0 ; n 6 (5.38) fark denklemi elde edilir. Bu fark denklemine ait karakteristik denklem
2 1 2+ 1 h22
h1h3 + 1 = 0 (5.39)
¸seklindedir. (5:39) karakteristik denkleminin çözümü hh22
1h3 katsay¬s¬n¬n davran¬¸s¬na ba¼gl¬d¬r.
(b1) h22 = h1h3 oldu¼gu durumda = 1 (5:39) karakteristik denkleminin üç katl¬
bir s¬f¬r¬d¬r. Dolay¬s¬yla
n = f11+ f12+ f13n + f14n2 ( 1)n ; n 6 ;
n = g11+ g12+ g13n + g14n2 ( 1)n ; n 6
olur. Dikkat edilmelidir ki e¼ger rekürans katsay¬lar¬ n ve n s¬ras¬yla n = 9, 8, 7, 6 için (5:38) fark denklemine uygulan¬rsa bu katsay¬lar¬n n 2 için de geçerli oldu¼gu anla¸s¬lmaktad¬r. Ayr¬ca j = 1; 2; 3; 4 için f1j, g1j 2 C olup f1j ve g1j nin (5:28) (5:30)e¸sitliklerinden birbirlerine ba¼gl¬oldu¼gu görülür.
(b2) h22 = 3h1h3 ise bu durumda = 1 (5:39) karakteristik denkleminin üç katl¬bir s¬f¬r¬d¬r. Böylece
n = f21+ f22n + f23n2+ f24( 1)n ; n 6 ;
n = g21+ g22n + g23n2+ g24( 1)n ; n 6
sonucuna var¬l¬r. (b1)durumunda kullan¬lan metotla nve nrekürans katsay¬lar¬n¬n n 2 için de geçerli oldu¼gu benzer ¸sekilde bulunur. j = 1; 2; 3; 4 için f2j, g2j 2 C olup f2j ve g2j yine (5:28) (5:30)e¸sitlikleri dikkate al¬narak birbirleriyle ili¸skilidir.
(b3) hh22
1h3 2 Rn [ 1; 3] oldu¼gu durumda (5:39) karakteristik denklemi gere¼gince
n = f31+ f32( 1)n+ f33 n+ f34 n ; n 6 ;
n = g31+ g32( 1)n+ g33 n+ g34 n ; n 6
olarak bulunurlar. Burada , (5:39) karakteristik denkleminin 2 ( 1; 1) olacak
¸sekildeki tek bir çözümüdür. Benzer ¸sekilde yukar¬daki n ve nrekürans katsay¬lar¬
n 2 için de geçerlidir. Di¼ger taraftan j = 1; 2; 3; 4 için f3j, g3j 2 C olup (5:28) (5:30) e¸sitlikleri gere¼gince f3j ve g3j aras¬nda ba¼g¬nt¬lar vard¬r.
(b4) hh22
1h3 2 ( 1; 3) ise bu durumda (5:39) karakteristik denkleminden
n = f41+ f42( 1)n+ f43ein + f44e in ; n 6 ;
n = g41+ g42( 1)n+ g43ein + g44e in ; n 6
olarak elde edilirler. Burada = ei , (5:39) karakteristik denkleminin 2 (0; ) olacak ¸sekildeki tek bir çözümüdür. Bu durum için de yine ayn¬yöntem kullan¬larak
n ve n rekürans katsay¬lar¬n¬n n 2 için de geçerli oldu¼gu bulunabilmektedir.
Ayr¬ca j = 1; 2; 3; 4 için f4j, g4j 2 C olup (5:28) (5:30) e¸sitliklerinin ¬¸s¬¼g¬alt¬nda f4j ve g4j birbirleriyle ba¼glant¬l¬d¬r.
Uyar¬5.3.1. fPngn 0 monik polinom kümesi (b1) (b4)durumlar¬nda elde edilen n ve nrekürans katsay¬lar¬na göre ortogonal olup 0; 1; 1 parametreleri ba¼g¬ms¬zd¬r.
Uyar¬ 5.3.2. Her bir (b1) (b4) durumu için fQngn 0 monik ortogonal polinom kümesinin rekürans katsay¬lar¬
~n = n+ h1 n 1 n ; n 4 ;
~n = n ; n 4
olup burada n ve n (b1) (b4) durumlar¬nda elde edildi¼gi gibidir.
KAYNAKLAR
Alfaro, M., Marcellán, F., Peña, A. and Rezola, M. L. 2003. On linearly related orthogonal polynomials and their functionals. J. Math. Anal. Appl., Vol.
287; pp. 307–319.
Alfaro, M., Marcellán, F., Peña, A. and Rezola, M. L. 2010. When do linear combi-nations of orthogonal polynomials yield new sequences of orthogonal poly-nomials?. J. Comput. Appl. Math., Vol. 233; pp. 1446–1452.
Alfaro, M., Peña, A., Petronilho, J. and Rezola, M. L. 2013. Orthogonal polynomials generated by a linear structure relation: Inverse problem. J. Math. Anal.
Appl., Vol. 401(1); pp. 182-197.
Alfaro, M., Peña, A., Rezola, M. L. and Marcellán, F. 2011. Orthogonal polyno-mials associated with an inverse quadratic spectral transform. Comput.
Math. Appl., Vol. 61; pp. 888–900.
Alt¬n, A., Çekim, B. and Erku¸s-Duman, E. Families of generating functions for the Jacobi and related matrix polynomials. Ars Combin., (bask¬da).
Andrews, G. E., Askey, R. and Roy, R. 1999. Special functions. Encyclopedia of Mathematics and its Applications, 71. Cambridge University Press, Cam-bridge.
Ben Cheikh, Y. 2002. On obtaining dual sequences via quasi-monomiality. Georgian Math. J., Vol. 9; pp. 413-422.
Ben Cheikh, Y. 2003. Some results on quasi-monomiality. Appl. Math. Comput., Vol. 141; pp. 63-76.
Ben Cheikh, Y. and Douak, K. 2001. On the classical d-orthogonal polynomials de…ned by certain generating functions. II. Bull. Belg. Math. Soc., Vol.
8; pp. 591-605.
Ben Cheikh, Y. and Zaghouani, A. 2007. d-Orthogonality via generating functions.
J. Comput. Appl. Math., Vol. 199; pp. 2-22.
Branquinho, A. and Marcellán, F. 1996. Generating new classes of orthogonal polynomials. Int. J. Math. Math. Sci., Vol. 19; pp. 643–656.
Carlitz, L. 1968. A note on certain biorthogonal polynomials. Paci…c J. Math., Vol. 24; pp. 425-430.
Chihara, T. S. 1978. An introduction to orthogonal polynomials. Gordon and Breach, New York.
Çevik, A. 2009. Matris Ortogonal Polinomlar¬n¬n ve Matris Fonksiyonlar¬n¬n Baz¬
Özellikleri. Doktora Tezi. Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü.
Ankara.
Defez, E., Jódar, L. and Law, A. 2004. Jacobi matrix di¤erential equation, polyno-mial solutions and their properties. Comput. Math. Appl., Vol. 48; pp.
789-803.
Defez, E. and Jódar, L. 1998. Some applications of the Hermite matrix polynomials series expansions. J. Comput. Appl. Math., Vol. 99; pp. 105–117.
Douak, K. 1999. On 2-orthogonal polynomials of Laguerre type. Internat. J.
Math. Math. Sci., Vol. 70; pp. 279-295.
Douak, K. and Maroni, P. 1992. Les polynômes orthogonaux classiques de dimension deux. Analysis, Vol. 12; pp. 71–107.
Dunford, N. and Schwartz, J. 1957. Linear Operators. Vol. I, Interscience, New York.
Freeman, J. M. 1985. Transforms of operators on K [X] [t]. Congr. Numer., Vol. 48;
pp. 115-132.
Gautschi, W. 2004. Orthogonal polynomials: computation and approximation. Nu-merical Mathematics and Scienti…c Computation. Oxford Science Publi-cations. Oxford University Press, New York.
Içöz, G., Ta¸· sdelen, F. and Varma, S. 2012. On linear positive operators involving biorthogonal polynomial. Ars Combin., Vol. 105; pp. 319-331.
Jódar, L. Company, R. and Navarro, E. 1994. Laguerre matrix polynomials and system of second-order di¤erential equations. Appl. Numer. Math., Vol.
15; pp. 53–63.
Jódar, L. Company, R. and Ponsoda, E. 1996. Orthogonal matrix polynomials and systems of second order di¤erential equations. Di¤er. Equ. Dyn. Syst.,
Vol. 3; pp. 269-288.
Jódar, L. and Cortés, J. C. 1998. On the hypergeometric matrix function. J.
Comput. Appl. Math., Vol. 99; pp. 205-217.
Jódar, L. and Cortés, J. C. 1998. Some properties of Gamma and Beta matrix functions. Appl. Math. Lett., Vol. 11(1); pp. 89-93.
Jódar, L., Defez, E. and Ponsoda, E. 1996. Orthogonal matrix polynomials with respect to linear matrix moment functionals: Theory and applications. J.
Approx. Theory Appl., Vol. 12(1); pp. 96–115.
Koekoek, R., Lesky, P. A. and Swarttouw, R. F. 2010. Hypergeometric Orthogonal Polynomials and Their q-Analogues. Springer Monographs in Mathemat-ics. Springer-Verlag, Berlin.
Konhauser, J. D. E. 1965. Some properties of biothogonal polynomials. J. Math.
Anal. Appl., Vol. 11; pp. 242–260.
Konhauser, J. D. E. 1967. Biorthogonal polynomials suggested by the Laguerre polynomials. Paci…c J. Math., Vol. 21; pp. 303-314.
Madhekar, H. C. and Thakare, N. K. 1982. Biorthogonal polynomials suggested by the Jacobi polynomials. Paci…c J. Math., Vol. 100; pp. 417-424.
Marcellán, F. and Petronilho, J. 1995. Orthogonal polynomials and coherent pairs:
the classical case. Indag. Math. (NS), Vol. 6; pp. 287–307.
Maroni, P. 1989. L’orthogonalitè et les recurrences de polynômes d’ordre superieur à deux. Ann. Fac. Sci. Toulouse, Vol. 10; pp. 105-139.
Maroni, P. 1991. Une théorie algébrique des polynômes orthogonaux. Applica-tion aux polynômes orthogonaux semi-classiques. in: C. Brezinski, et al.
(Eds.), Orthogonal Polynomials and their Applications, in: IMACS Ann.
Comput. Appl. Math., Vol. 9; Baltzer, Basel, pp. 95–130.
Maroni, P. and Nicolau, I. 2003. On the inverse problem of the product of a form by a polynomial: the cubic case. Appl. Numer. Math., Vol. 45(4); pp.
419–451.
Petronilho, J. 2006. On the linear functionals associated to linearly related sequences of orthogonal polynomials. J. Math. Anal. Appl., Vol. 315; pp. 379–393.
Sastre, J., Defez, E. and Jodar, L. 2006. Laguerre matrix polynomial series ex-pansion: theory and computer applications. Math. Comput. Modelling, Vol. 44(11-12); pp. 1025-1043.
Spencer, L. and Fano, U. 1951. Penetration and di¤usion of X-rays. Calculation of
spatial distributions by polynomial expansion. J. Res. Natl. Bur. Std., Vol. 46; pp. 446-461.
Srivastava, H. M. and Ben Cheikh, Y. 2003. Orthogonality of some polynomial sets via quasi-monomiality. Appl. Math. Comput., Vol. 141; pp. 415-425.
Srivastava, H. M. and Singhal, J. P. 1971. A class of polynomials de…ned by generalized Rodrigues’ formula. Ann. Mat. Pura Appl., Vol. 90; pp.
75-85.
Srivastava, H. M., Ta¸sdelen, F. and ¸Sekero¼glu, B. 2008. Some families of genereting functions for the q-Konhauser polynomials. Taiwaneese J. Math., Vol.
12(3); pp. 841-850.
¸
Sekero¼glu, B. 2006. q-Biortogonal Polinomlar¬n Baz¬ Özellikleri. Doktora Tezi.
Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü. Ankara.
¸
Sekero¼glu, B., Srivastava, H. M. and Ta¸sdelen, F. 2007. Some properties of q-biortho-gonal polymomials. J. Math. Anal. Appl., Vol. 326(2); pp. 896-907.
Van Iseghem, J. 1987. Vector orthogonal relations. Vector QD-algorithm. J.
Comput. Appl. Math., Vol. 19; pp. 141-150.
ÖZGEÇM·I¸S
Ad¬Soyad¬ : Serhan VARMA Do¼gum Yeri : Mersin
Do¼gum Tarihi : 04.04.1984 Medeni Hali : Bekar Yabanc¬Dili : ·Ingilizce
E¼gitim Durumu (Kurum ve Y¬l)
Lise : ·Içel Anadolu Lisesi (2002)
Lisans : Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü (2006) Yüksek Lisans : Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü
Matematik Anabilim Dal¬ (Eylül 2006 - Temmuz 2008) Doktora : Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü
Matematik Anabilim Dal¬ (Eylül 2008 Ekim 2013) Çal¬¸st¬¼g¬Kurum/Kurumlar ve Y¬l
Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü Ara¸st¬rma Görevlisi (2007 )
Yay¬nlar¬(SCI ve di¼ger)
1) Varma, S., Çekim, B. and Ta¸sdelen Ye¸sildal, F. 2011. On Konhauser Matrix Polynomials. Ars Combin., Vol. 100; pp. 193-204.
2) Varma, S. and Ta¸sdelen, F. 2011. Biorthogonal matrix polynomials related to Jacobi matrix polynomials. Comput. Math. Appl., Vol. 62(10); pp. 3663-3668.
3) Varma, S. and Ta¸sdelen, F. 2012. On a di¤erent kind of d-orthogonal
polynomials that generalize the Laguerre polynomials. Math. Æterna, Vol. 2(6);
pp. 561-572.
4) Marcellán, F. and Varma, S. 2013. On an inverse problem for a linear combi-nation of orthogonal polynomials. (incelemede).