Bazı matris eşitsizliklerin çözümleri

7&

6$.$5<$h1ø9(56ø7(6ø

)(1%ø/ø0/(5ø(167ø7h6h









%$=,0$75ø6(ùø76ø=/ø./(5ø1ø1

dg=h0/(5ø

^

 

 



<h.6(./ø6$167(=ø

=DKUD$%'8//$<(9$

 

 



(QVWLW$QDELOLP'DOÕ  0$7(0$7ø.

%LOLP'DOÕ  8<*8/$0$/,0$7(0$7ø.

7H]'DQÕúPDQÕ  <UG'Ro'U0XUDW6$5'89$1

 

 

1LVDQ





%(<$1





7H]LoLQGHNLWPYHULOHULQDNDGHPLNNXUDOODUoHUoHYHVLQGHWDUDIÕPGDQHOGHHGLOGL÷LQL

J|UVHO YH \D]ÕOÕ WP ELOJL YH VRQXoODUÕQ DNDGHPLN YH HWLN NXUDOODUD X\JXQ úHNLOGH

VXQXOGX÷XQX NXOODQÕODQ YHULOHUGH KHUKDQJL ELU WDKULIDW \DSÕOPDGÕ÷ÕQÕ EDúNDODUÕQÕQ

HVHUOHULQGHQ \DUDUODQÕOPDVÕ GXUXPXQGD ELOLPVHO QRUPODUD X\JXQ RODUDN DWÕIWD

EXOXQXOGX÷XQX WH]GH \HU DODQ YHULOHULQ EX QLYHUVLWH YH\D EDúND ELU QLYHUVLWHGH

KHUKDQJLELUWH]oDOÕúPDVÕQGDNXOODQÕOPDGÕ÷ÕQÕEH\DQHGHULP





=DKUD$%'8//$<(9$













7(ù(..h5







7H] oDOÕúPDVÕQÕQ VHoLPLQGH \UWOPHVLQGH YH VRQXoODQGÕUÕOPDVÕQGD GHVWHN YH

\DUGÕPODUÕQÕHVLUJHPH\HQGH÷HUOLKRFDPVD\ÕQ<UG'Ro'U0XUDW6$5'89$1¶D

WHúHNNUHGHULP$\UÕFD\NVHNOLVDQVDEDúODGÕ÷ÕPDQGDQEX\DQD]RU]DPDQODUÕPGD

GHVWHNOHULQLYHELOJLELULNLPOHULQLHVLUJHPH\HQE|OPKRFDODUÕPD|QFHOLNOH3URI'U

+DOLP g='(0ø5 'Ro 'U ùHYNHW *h5 YH $Uú *|U 7X÷ED 3(7ø.¶H WHúHNNU

HWPH÷LERUoELOLULP



+HU NRQXGD KHU ]DPDQ VDEÕUOD \DUGÕPFÕ RODQ DLOHPH GHVWHNOHULQGHQ GROD\Õ VRQVX]

WHúHNNUHGHULP





ødø1'(.ø/(5





7(ù(..h5 L ødø1'(.ø/(5« LL 6ø0*(/(59(.,6$/70$/$5/ø67(6ø LY g=(7 Y 6800$5< YL



%g/h0

*ø5øù 

 Ax bd 0DWULV(úLWVL]OL÷L««««« 

AX tB0DWULV(úLWVL]OL÷L«««« 

 AXB Ct 0DWULV(úLWVL]OL÷L«««« 

(úOHQLN*UDG\HQW0HWRGXQgQHPL 

1HGHQ2SWLPL]DV\RQ" 

 *HQHO %LU /LQHHU 3URJUDPODPD 0RGHOLQLQ 0DWHPDWLNVHO

øIDGHVL««««««««««««««««««««««« 



%g/h0

g1%ø/*ø/(5 

9HNW|U8]D\ODUÕYHøodDUSÕP8]D\ODUÕ««««««««««« 

%D]Õ7RSRORMLN.DYUDPODU««««« 

0DWULVOHUOHøOJLOLgQELOJLOHU««««««««««« 

.RQYHNV3UREOHPOHUøoLQ.DUXVK.XQFK7XFNKHU7HRUHPL««« 



%g/h0

/ø1((5 (ùø76ø=/ø./(5ø1 787$56,=/,ö,1,1 'h=(/7ø/0(6ø 9(

dg=h0h««««««««««««««««««««««««« 

*LULú 

b 9HNW|UQGHl_1RUPX.XOODQÕOUDN0LQLPDO']HOWPHOHU«« 

1HJDWLI2OPDPD.ÕVÕWODPDOÕ/LQHHU(úLWVL]OLNOHU«««««« 



%g/h0

(1 .hdh. .$5(/(5 ø/( $ t %X 0$75ø6 (ùø76ø=/øöø1ø1

6ø0(75ø.dg=h0/(5ø««« 

*LULú 

(Q.oN']HOWPH3UREOHPLQLQg]HOOLNOHUL« 

%LUøWHUDWLI0HWRG 



%g/h0

.,6,7/$0$/, AXB Ct 787$5/, 9(<$ 787$56,= 0$75ø6

(ùø76ø=/øöø1ø1dg=h0hødø1ø7(5$7ø)0(72'/$5«««««« 

*LULú 

3UREOHPLQLQ.DUDNWHUL]DV\RQX«««««« 

¶QLQd|]PøoLQøWHUDWLI0HWRG«««« 



%g/h0

6218d/$59(g1(5ø/(5««««««««««««««««« 



.$<1$./$5«««««««««««««««««««««««« 

g=*(d0øù««««««««««««««««««««««««« 





6ø0*(/(59(.,6$/70$/$5/ø67(6ø



 (OHPDQÕGÕU

_ ^$OWNPH

 +HU

\ n  nu ER\XWOXUHHOHOHPDQOÕYHNW|UOHULQNPHVL

m nu

\   m nu ER\XWOXUHHOHOHPDQOÕPDWULVOHULQNPHVL

S\n n^u   n nu ER\XWOXUHHOHOHPDQOÕVLPHWULNPDWULVOHUNPHVL

A‚ APDWULVLQLQ0RRUH3HQURVHWHUVL

A^ APDWULVLQLQWHUVL

I  8\JXQER\XWOXELULPPDWULV

  (OHPDQODUÕVÕIÕURODQX\JXQER\XWOXYHNW|UYH\DPDWULV

 

iz A  A\ PDWULVLQLQL]L^{n nu}

 

N A  APDWULVLQLQVÕIÕUX]D\Õ

AT APDWULVLQLQWUDQVSR]HVL

A  APDWULVLQLQHúOHQLNWUDQVSR]HVL

Ö Ö

x r 2SWLPDOo|]POHU

  

l l l_f 1RUP1RUP6RQVX]QRUP

A   A PDWULVLQLQ)UREHQLXVQRUPX

 

^

vec  9HFRSHUDW|U

 øooDUSÕP

Cp C¶QLQSRODUNRQLVL

A_ ij HOHPDQÕ^{PD[ }

^ `

^aij RODQPDWULV

..7 .DUXVK.XQK7XFNHU

&* (úOHQLN*UDG\HQW

/3 /LQHHU3URJUDPODPD



g=(7





$QDKWDU NHOLPHOHU /LQHHU GHQNOHPOHU /LQHHU HúLWVL]OLNOHU /LQHHU NÕVÕWODPDODU

(úOHQLNJUDG\HQWPHWRGX*HQHOOHúWLULOPLú1HZWRQPHWRGX%DUULHUPHWRGXøWHUDWLI

PHWRG.U\ORYDOWX]D\Õ

%X oDOÕúPDQÕQ LON E|OPQGH NRQX LOH LOJLOL OLWHUDWU ELOJLVLQL LoHUHQ ELU JLULú

YHULOPHNWHGLUdDOÕúPDEXE|OPLOHELUOLNWHWRSODPEHúDQDE|OPGHQROXúPDNWDGÕU

%|OP¶GHVRQUDNLE|OPOHULoLQWHPHOWHúNLOHGHFHNRODQED]ÕWDQÕPYHWHRUHPOHU

YHULOPHNWHGLU

%|OP¶WHVD÷\DQYHNW|UGH÷LúLNOLNOHULLOHl_QRUPXNXOODQÕODUDNPLQLPDOG]HOWPH

SUREOHPLHOHDOÕQGÕ

%|OP ¶WH HQ NoN NDUHOHU \DNODúÕPÕ LOH AX Bt PDWULV HúLWVL]OL÷LQLQ VLPHWULN

o|]POHULQLKHVDSOD\DQELULWHUDWLIPHWRGVXQXOGX



%|OP ¶WH OLQHHU NÕVÕWOÕ ^AXBt^C PDWULV HúLWVL]OL÷LQLQ o|]P LoLQ LWHUDWLI ELU

DOJRULWPDVXQXOGX



 62/87,21672620(0$75,;,1(48$/,7,(6

 

6800$5<





.H\ZRUGV /LQHDU HTXDWLRQV /LQHDU LQHTXDOLWLHV /LQHDU FRQVWUDLQWV &RQMXJDWH

JUDGLHQW PHWKRG *HQHUDOL]HG 1HZWRQ PHWKRG %DUULHU PHWKRG ,WHUDWLYH PHWKRG

.U\ORYVXEVSDFH



$Q LQWURGXFWLRQ LQFOXGLQJ VRPH OLWHUDWXUH LQIRUPDWLRQ UHODWHG WR WKH WKHPD RI WKH

VWXG\KDVEHHQJLYHQLQWKHILUVWFKDSWHU7KLVZRUNLVFRQVLVWRIILYHFKDSWHUVZLWK

WKLVFKDSWHU



,QWKH&KDSWHUVRPHGHILQLWLRQVDQGVRPHWKHRUHPVWKDWZLOOEHIXQGDPHQWDOLQWKH

VHTXHOFKDSWHUVDUHJLYHQ



,QWKH&KDSWHU0LQLPDO&RUUHFWLRQ3UREOHPLVFRQVLGHUHGE\PLQLPDOFKDQJLQJLQ

WKHULJKWKDQGYHFWRUXVLQJWKHQRUPl_



,Q WKH &KDSWHU  LW LV SUHVHQWHG DQ LWHUDWLYH PHWKRG WR FRPSXWH WKH V\PPHWULF

VROXWLRQVRIWKHPDWUL[LQHTXDOLW\ AX B_t LQWKHOHDVWVTXDUHVVHQVH

,Q WKH &KDSWHU  DQ LWHUDWLYH DOJRULWKP LV SURSRVHG WR VROYH ^AXBt^C PDWUL[

LQHTXDOLWLHVZLWKOLQHDUFRQVWUDLQWV





%g/h0*ø5øù





%X oDOÕúPDGD PDWULV GHQNOHP YH HúLWVL]OLNOHUL LOH DODNDOÕ OLWHUDWUGH PHYFXW RODQ

oDOÕúPDODUGD PHYFXW ED]Õ SUREOHPOHU HOH DOÕQPÕúWÕU g]HOOLNOH >@ oDOÕúPDODUÕQGD

\DSÕODQODUÕ JHUHNOL |Q ELOJLOHUOH WDNYL\H HGHUHN RNX\XFXQXQ GDKD L\L DQODPDVÕ

KHGHIOHQPLúWLU gQFHOLNOH >@ oDOÕúPDVÕQGD \DSÕODQ YH %|OP ¶WH DQODWÕODQODU LOH

DODNDOÕRODUDNDúD÷ÕGDNLOHUV|\OHQHELOLU



 Ax bd 0DWULV(úLWVL]OL÷L



A_\m n^u ELOLQHQ PDWULVb\ ELOLQHQ YHNW|U YH^m x\ ELOLQPH\HQOHU YHNW|Uⁿ ROPDN]HUH



Axdb         



PDWULV HúLWVL]OL÷L WXWDUVÕ] ROVXQ <DQL  HúLWVL]OL÷LQL PPNQ NÕODFDN úHNLOGH

x\ ROPDVÕQ%XUDGD A PDWULVLYHn ^bYHNW|UQGHPLQLPXPGH÷LúLNOLNOHU\DSDUDN

xYHNW|UQQEXOXQPDVÕSUREOHPLLOHLOJLOLOLWHUDWUGHELUoRNoDOÕúPDPHYFXWWXU%X

Lú LoLQ GH úLPGL\H NDGDU ELUNDo DOJRULWPD JHOLúWLULOPLúWLU >@ $\UÕFD ¶LQ

o|]PLoLQELUIRUPODV\RQl_QRUPXQXNXOODQDUDN^Ax_{d }^{b r}NRúXOXDOWÕQGD





PLQ ^m i i

¦

r ^



SUREOHPLQLHOHDODUDNHOGHHGLOHELOHFH÷LJLELl_fQRUPXQXNXOODQDUDN



PLQ r _f



SUREOHPLQL HOH DODUDN HOGH HGLOHELOLU %X SUREOHPOHU LVH ELUHU /LQHHU 3URJUDPODPD

/3SUREOHPLQHNROD\OÕNODG|QúWUOHELOLU/3SUREOHPOHUL6LPSOHNVYH\DLoQRNWD

PHWRGODUÕQGDQ ELUL LOH HWNLQ ELoLPGH o|]OHELOLU >@ >@ oDOÕúPDVÕQGD LVH A  PDWULVLQGH GH÷LúLNOLN \DSPDNVÕ]ÕQ \DOQÕ]FD^b YHNW|UQGH PLQLPXP GH÷LúLNOLNOHU

\DSDUDNYHl_QRUPXNXOODQDUDN^xYHNW|UQQEXOXQPDVÕSUREOHPLHOHDOÕQGÕ>@¶GH

EXSUREOHPLQ\HQLELUIRUPXODV\RQXRUWD\DNR\XOGXYHRULMLQDOVLVWHPLQo|]PLOH

EXDOWHUQDWLIVLVWHPLQo|]PDUDVÕQGDNLLOLúNLYHULOGL$\UÕFDEXSUREOHPLo|]PHN

LoLQ \HQL ELU DOJRULWPD GL]D\Q HGLOGL <XNDUÕGD EDKVHGLOHQ YH >@¶GH \DSÕODQ WP

oDOÕúPDODU %|OP ¶WH JHQLúOHWLOPLú ELU úHNLOGH DQODWÕOPD\D oDOÕúÕOPÕúWÕU $\UÕFD

>@¶GH YHULOHQ \HQL DOJRULWPDQÕQ NXOODQÕOGÕ÷Õ LNL |UQHN %|OP ¶Q VRQXQD

HNOHQPLúWLU



 AX tB0DWULV(úLWVL]OL÷L



 ^{m n}

A B\ ^u ELOLQHQPDWULVOHUYHX\^{n nu} ELOLQPH\HQOHUPDWULVLROPDN]HUH



AX B         



PDWULVGHQNOHPLHOHDOÕQVÕQGHQNOHPLQLQED]ÕNÕVÕWODUDOWÕQGDo|]PQEXOPD

SUREOHPOHUL OLWHUDWUGH JHQLú úHNLOGH oDOÕúÕOPÕúWÕU gUQH÷LQ VLPHWULN o|]POHU LoLQ

>@ VLPHWULN SR]LWLI WDQÕPOÕ o|]POHU LoLQ >@ PHUNH]L KHUPLW\HQ o|]POHU LoLQ

>@ ELVLPHWULN o|]POHU LoLQ >@ VNHZVLPHWULN RUWRJDQDO o|]POHU LoLQ >@

+HUPLW\HQ +HUPLW\HQ R VLPHWULN YH +HUPLW\HQ R VNHZVLPHWULN o|]POHU LoLQ

>@

 

^{R S} VLPHWULN YH

 

^{R S} VNHZVLPHWULN o|]POHU LoLQ >@

 

^{P Q }

JHQHOOHúWLULOPLúUHIOHNVLIYHDQWLUHIOHNVLIo|]POHULoLQ>@YHJHQHOo|]POHULoLQ

>@ oDOÕúPDODUÕQD EDNÕODELOLU $\UÕFD PRGHOOHPHGH YH SDUDPHWUH NHVWLULPL JLEL

ELUoRNX\JXODPDGDNDUúÕODúÕODQ



AX t B         



PDWULVHúLWVL]OL÷L^Ax_t^bYH\D^Ax_d^bHúLWVL]OLNVLVWHPLGH.HWDEFKLYH6DODKL>@¶GH

6DODKL YH .HWDEFKL >@¶GD LQFHOHQPLúWLU OLQHHU HúLWVL]OLN VLVWHPLQLQ ELU GR÷DO

JHQHOOHúWLUPHVLGLU



6RQXo RODUDN  PDWULV HúLWVL]OL÷LQLQ o|]PQ EXOPDN ELU oRN X\JXODPD

DoÕVÕQGDQ |QHPOLGLU %X J|UHYL 3HQJ YH 3HQJ  \ÕOÕQGD \DSPÕú ROGX÷X ELU

oDOÕúPDVÕQGDVWOHQPLúYHPDWULVHúLWVL]OL÷LQLQVLPHWULNo|]POHULQLKHVDSODPDN

LoLQ GH NXOODQÕODELOLU %XQODU EX oDOÕúPDQÕQ G|UGQF E|OPQGH JHQLúOHWLOHUHN

KDWÕUODWÕOPDNWDGÕU$\UÕFD|QHULOHQ\DNODúÕPÕQNXOODQÕúOÕOÕ÷ÕQÕDoÕNODPDNLoLQVD\ÕVDO

|UQHNOHU\LQH%|OP¶QVRQXQDHNOHQPLúWLU



 AXBtC0DWULV(úLWVL]OL÷L



A\m n^u B\^{n qu} C\ ELOLQHQ PDWULVOHU YH^{m qu} X\^{n nu} ELOLQPH\HQOHU PDWULVL

ROPDN]HUH



AXB C         



PDWULV HúLWOL÷L HOH DOÕQVÕQ ¶Q o|]P LoLQ oHúLWOL OLQHHU NÕVÕWODU DOWÕQGD ED]Õ

LWHUDWLIDOJRULWPDODUVXQXOGX|UQH÷LQ>@$\UÕFDLoLQ\LQHOLQHHUNÕVÕWODU

DOWÕQGDHQ\DNÕQPDWULVSUREOHPLQLQDoÕNo|]P>@¶WHYHULOPLúWLUùLPGL



AXBtC         



PDWULVHúLWVL]OL÷LHOHDOÕQVÕQ%XPDWULVHúLWVL]OL÷LQLo|]PHNLoLQ>@oDOÕúPDVÕQGDELU

LWHUDV\RQ DOJRULWPDVÕ YHULOPLúWLU %X >@¶GH YHULOHQ DOJRULWPDQÕQ ELU

JHQHOOHúWLULOPHVL RODUDN \HQLGHQ G]HQOHQPLú ELU DOJRULWPDGÕU %X LWHUDV\RQ

VUHFLQGH/645PHWRGXKHUHQNoNNDUHOHUDOWSUREOHPLQLQELU\DNODúÕNo|]PQ

GDKD D] KHVDSODPD HIRUX LOH EHOLUOHPHN LoLQ X\JXODQPÕúWÕU %X DOJRULWPDQÕQ

\DNÕQVDNOÕ÷Õ J|VWHULOPLúWLU >@ oDOÕúPDVÕQGD EDKVL JHoHQ EX \DSÕODQODU %|OP ¶WH

KDWÕUODWÕOPDNWDGÕU



(úOHQLN*UDG\HQW0HWRGXQgQHPL



Ax bGR÷UXVDO GHQNOHP VLVWHPLⁿoRN E\N LVH YH A oRN VH\UHN PDWULV LVH

JHQHOOLNOH HOHPDQODUÕQÕQ ELU oR÷X VÕIÕU RODQ PDWULVH VH\UHN PDWULV GHQLU LWHUDV\RQ

\|QWHPOHULLOHo|]OUdQNGLUHNWPHWRGODUoRNID]ODEHOOHNG|UWLúOHPYHKHVDS

VUHVL JHUHNWLULUOHU %LULNHQ \XYDUODPD KDWDODUÕ o|]P WHKOLNH\H VRNDU øWHUDV\RQ

\|QWHPOHULQGH A ¶QÕQHOHPDQODUÕGH÷LúPH]EXQHGHQOH A ¶QÕQVDGHFHVÕIÕUGDQIDUNOÕ

HOHPDQODUÕGHSRODQÕUVÕIÕULOHG|UWLúOHP\DSÕOPD]+HPEHOOHNKHPKHVDSVUHVLKHP

GH \XYDUODPD KDWDODUÕ |QHPOL PLNWDUGD D]DOÕU 8\JXODPDGD NDUúÕODúÕODQ A PDWULVL

JHQHOGHoRNVH\UHNWLUVÕIÕUGDQIDUNOÕHOHPDQRUDQÕ\DNODúÕNFLYDUÕQGDGÕU



nELOLQPH\HQOL^{Ax b}GR÷UXVDOGHQNOHPVLVWHPLQLQo|]PLoLQKDQJLPHWRGGDKD

X\JXQGXU"%XVRUXFHYDEÕROGXNoD]RUELUVRUXGXUdQNoRNVD\ÕGDHWNHQYDUGÕU

'HQNOHP VLVWHPLQLQ E\NO÷ A ¶QÕQ \DSÕVÕ o|]P VUHVL o|]PGHQ EHNOHQHQ

KDVVDVL\HW NXOODQÕODFDN ELOJLVD\DUÕQ |]HOOLNOHUL SDNHW SURJUDP YDU PÕ YH\D

SURJUDPODQDFDN PÕ" 'HQNOHP VLVWHPOHUL oRN E\N ER\XWOX ROGX÷XQGD GLUHNW

PHWRGODUÕ NXOODQPDN o|]PH XODúÕPÕ JoOHúWLULU g]HOOLNOH NDWVD\ÕODU PDWULVL GH

VH\UHNLVHLWHUDV\RQPHWRGODUÕNXOODQPDNGDKDPDQWÕNOÕGÕU



dRNVD\ÕGDLWHUDV\RQPHWRGXYDUGÕU%XQODUGDQELULGH(úOHQLN*UDGL\HQW0HWRGXGXU

%XPHWRGNDWVD\ÕODUPDWULVLQLQVLPHWULNYHSR]LWLIWDQÕPOÕROGX÷XGHQNOHPVLVWHPOHUL

LoLQHQX\JXQLWHUDV\RQ\|QWHPLGLU(úOHQLN*UDGL\HQW&*LWHUDV\RQPHWRGX

\ÕOÕQGD05+HVWHQHVYH(6WLHIHOWDUDIÕQGDQRUWD\DDWÕOPÕúWÕU>@^{Ax b}GHQNOHP

VLVWHPLQGH A VLPHWULN GH÷LOVH A Ax^T A b^T G|QúP \DSÕODUDN &* PHWRGX

T T

A Ax A b VLVWHPLQH X\JXODQDELOLU dQN A Ax^T A b^T VLVWHPLQGH A A^T  NDWVD\ÕODUPDWULVLVLPHWULNYHSR]LWLIWDQÕPOÕGÕU%XLWHUDV\RQPHWRGX\]\ÕOÕQHQ

L\LDOJRULWPDODUÕQGDQELULVHoLOPLúWLU



1HGHQ2SWLPL]DV\RQ"



%HOLUOL VÕQÕUODPDODUÕ VD÷OD\DFDN úHNLOGH ELOLQPH\HQ SDUDPHWUH GH÷HUOHULQLQ

EXOXQPDVÕQÕLoHUHQKHUKDQJLELUSUREOHPRSWLPL]DV\RQSUREOHPLRODUDNWDQÕPODQÕU

0DWHPDWLNVHO RODUDN LIDGH HWPHN JHUHNLUVH RSWLPL]DV\RQ NÕVDFD ELU IRQNVL\RQXQ

PLQLPL]H YH\D PDNVLPL]H HGLOPHVL RODUDN WDQÕPODQDELOLU >@ 'L÷HU ELU GH\LúOH

RSWLPL]DV\RQHQL\LDPDoNULWHULQLQHQL\LGH÷HULQLYHUHQNÕVÕWODUGDNLGH÷LúNHQOHULQ

GH÷HULQLEXOPDNWÕU>@



'H÷LúHQ WHNQRORMLOHULQ VÕQÕUOÕ ND\QDNODUÕQ DUWDQ UHNDEHWLQ NDUPDúÕN KDOH JHOHQ

VLVWHPOHULQ GR÷XUGX÷X SUREOHPOHULQ NODVLN \|QWHPOHUOH PDWHPDWLNVHO YH\D

PDWHPDWLNVHO ROPD\DQ DQDOLWLN YH\D VD\ÕVDO o|]PQQ JoOHúPHVL RSWLPL]DV\RQ

NDYUDPÕQÕ JoOHQGLUHQ HQ |QHPOL VHEHSWLU %X \|Q\OH RSWLPL]DV\RQXQ

NXOODQÕOPDGÕ÷Õ ELU ELOLP GDOÕ KHPHQ KHPHQ \RN JLELGLU >@ g]HOOLNOH NLP\DVDO

LúOHPOHULQ VUHNOLOLN DU] HWPHVL SODQODPDFÕODUÕQ WDVDUÕPFÕODUÕQ PKHQGLVOHULQ

MHRORJODUÕQ HNRQRPLVWOHULQ LNWLVDWoÕODUÕQ LúOHWPHFLOHULQ YE NHQGL DODQODUÕQGDNL

SUREOHPOHUL o|]PHN LoLQ \DSWÕNODUÕ oDOÕúPDODU \HQL RSWLPL]DV\RQ WHNQLNOHULQL KÕ]OD

RUWD\DoÕNDUPÕúWÕU>@



2SWLPL]DV\RQGD PRGHOOHPH YH o|]POHPH LNL |QHPOL ELOHúHQ RODUDN

QLWHOHQGLULOPHNWHGLU 0RGHOOHPH JHUoHN \DúDPGD NDUúÕODúÕODQ SUREOHPLQ

PDWHPDWLNVHO RODUDN LIDGH HGLOPHVL o|]POHPH LVH EX PRGHOL VD÷OD\DQ HQ L\L

o|]PQ HOGH HGLOPHVLQL NDSVDPDNWDGÕU 2SWLPL]DV\RQ WHNQLNOHULQLQ JHOLúLPLQGH

DUDúWÕUPDFÕODU|QFHOLNOLRODUDNPRGHOOHPH\OHLOJLOHQPLúOHUGLU%XDODQGDNLLONoDOÕúPD

/HRQWLHI WDUDIÕQGDQ $PHULND %LUOHúLN 'HYOHWOHUL¶QLQ GÕú WLFDUHWLQL YH HNRQRPLN

\DSÕVÕQÕ PRGHOOHPHN DPDFÕ\OD \DSWÕ÷Õ \D\ÕQGÕU >@ .ODVLN RSWLPL]DV\RQ WHRULVL

&DXFK\ /DJUDQJH YH 1HZWRQ WDUDIÕQGDQ JHOLúWLULOPLúWLU .ÕVÕWOÕ SUREOHPOHU LoLQ

RSWLPL]DV\RQPHWRGXQXDGÕ\ODDQÕODQ/DJUDQJHJHOLúWLUPLúWLU.ÕVÕWVÕ]RSWLPL]DV\RQ

SUREOHPOHULQLo|]PHNLoLQHQGLNLQLú6WHHSHVW'HVFHQWPHWRGXQXQLONX\JXODPDVÕ

GD &DXFK\ WDUDIÕQGDQ \DSÕOPÕúWÕU 2SWLPL]DV\RQ SUREOHPOHULQLQ o|]PQH \|QHOLN

RODUDN LON |QHPOL oDOÕúPDODUODU 'DQW]LJ WDUDIÕQGDQ ¶GD \DSÕOPÕúWÕU 6LPSOHNV

\|QWHPLQL JHOLúWLUHQ GH NHQGLVLGLU >@ ¶OÕ \ÕOODUGD NÕVÕWVÕ] RSWLPL]DV\RQ

NRQXVXQGDNL VD\ÕVDO PHWRGODU VDGHFH øQJLOWHUH¶GH JHOLúWLULOPLúWLU 2SWLPL]DV\RQ

NRQXVXQGDNL EX oDOÕúPDODU \]\ÕOÕQ RUWDODUÕQD NDGDU oRN \DYDú LOHUOHPLúWLU

¶OHUGHQ VRQUD ELOJLVD\DUODUÕQ LFDGÕ RSWLPL]DV\RQGD oRN E\N oDOÕúPDODUÕ

EHUDEHULQGHJHWLUHUHNELUoRN\HQLWHRULYHPHWRGXQRUWD\DoÕNPDVÕQÕVD÷ODPÕúWÕU>@



*HQHO%LU/LQHHU3URJUDPODPD0RGHOLQLQ0DWHPDWLNVHOøIDGHVL



%LU VLVWHPLQ ELUGHQ ID]OD PPNQ o|]POHUL RODELOLU %XQODUGDQ ED]ÕODUÕ

GL÷HUOHULQGHQGDKDL\LRODELOLU%XQHGHQOHEXDOWHUQDWLIWDVDUÕPODUÕNDUúÕODúWÕUDFDNELU

NULWHUROPDOÕGÕU%XWUNULWHUOHUHDPDoIRQNVL\RQXGHQLUYHLVWHNOHUHED÷OÕRODUDN\D

PLQLPL]H HGLOLU YH\D PDNVLPXP GH÷HUL DUDQÕU 'ROD\ÕVÕ\OD RSWLPL]H HGLOHFHN

E\NON PDNVLPXP YH\D PLQLPXP DPDo IRQNVL\RQ RODUDN DGODQGÕUÕOÕU >@

gUQH÷LQ



     

^ `

PD[ 

J  

K  

\ 

d





\ⁿ

z f x y x y

x y x

m

        



%X RSWLPL]DV\RQ SUREOHPLQGH VLVWHPLQ DPDo IRQNVL\RQX ^{z f x y}

 

^ LOH LIDGH

HGLOPLú YH NDUDU GH÷LúNHQOHUL x YH \ ¶QLQ EX |OoW HQoRNOD\DFDN GH÷HUOHULQLQ

EXOXQPDVÕ KHGHIOHQPHNWHGLU 6LVWHPLQ |]HOOLNOHUL LVH ^{J }

 

^{x y} HúLWOL÷L YH ^{K }

 

^{x y }

HúLWVL]OLNOHUL EHOLUOHPHNWHGLU $\UÕFD NDUDU GH÷LúNHQOHUL LNLWUO LIDGH HGLOPLúWLUn ER\XWOXX]D\GDKHUKDQJLELUUHHOGH÷HULDODELOHQVUHNOLGH÷LúNHQOHU

 

^x YHKHUKDQJL

ELU WDPVD\Õ GH÷HUL DODELOHQ WDPVD\ÕOÕ GH÷LúNHQOHU

 

^y  (÷HU  RSWLPL]DV\RQ

SUREOHPOHPLQGH ^{f x}

 

^{g x}

 

^{YHh x}

 

IRQNVL\RQODUÕOLQHHU LVH RSUREOHP ELU OLQHHU

SURJUDPODPDSUREOHPLRODUDNDGODQGÕUÕOÕU



/LQHHU3URJUDPODPD/3ELURSWLPL]DV\RQWHNQL÷LGLU/3L\LWDQÕPODQPÕúGR÷UXVDO

HúLWOLNOHULQ YH\D HúLWVL]OLNOHULQ NÕVÕWOD\ÕFÕ NRúXOODUÕ DOWÕQGD OLQHHU ELU DPDo

IRQNVL\RQXQX HQ L\L RSWLPXP NÕODQ GH÷LúNHQ GH÷HUOHULQLQ EHOLUOHQPHVLQGH

NXOODQÕODQPDWHPDWLNVHOSURJUDPODPDWHNQL÷LGLU>@



/3 SUREOHPOHUL *UDILN YH 6LPSOHNV \|QWHPOHUGHQ ELUL LOH o|]POHQHELOLU .DUDU

GH÷LúNHQOHULQLQ LNL \DGD o ROGX÷X GXUXPODUGD /3 SUREOHPL JUDILNVHO \|QWHP LOH

o|]OHELOLU >@ .DUDU GH÷LúNHQL VD\ÕVÕ oWHQ ID]OD LVH EX \|QWHP

NXOODQÕODPDPDNWDGÕU %X QHGHQOH X\JXODPDGD SHN ID]OD \HU YHULOPHPHNWHGLU

6LPSOHNV\|QWHPLVHoWHQID]ODVD\ÕGDNÕVÕWROPDVÕGXUXPXQGDNXOODQÕODELOPHNWHGLU

%X \|QWHPOH ELUOLNWH /3 SUREOHPOHUL KHPHQ KHPHQ KHU VHNW|UGH NXOODQÕOPD\D

EDúODQPÕúWÕU





%g/h0g1%ø/*ø/(5





%XE|OPGHVRQUDNLE|OPOHUGHNXOODQÕODFDNRODQED]ÕWHPHONDYUDPODUQRWDV\RQODU

YHLVSDWVÕ]RODUDNED]ÕWHRUHPOHU \ FLVPL]HULQGHYHULOPHNWHGLU



9HNW|U8]D\ODUÕ9HøodDUSÕP8]D\ODUÕ



7DQÕP  (÷HU \ ¶GHNL KHU^cYH^d VNDOHUOHULQLQ YH^V ¶GHNL KHU^u ^vYH^w HOHPDQODUÕQÕQ VHoLPL LoLQ DúD÷ÕGDNL |]HOOLNOHU VD÷ODQÕ\RUVD^V NPHVL VNDOHU LOH

oDUSÕP YH WRSODPD LúOHPOHUL\OH ELUOLNWH UHHO VD\ÕODU ]HULQGH YHNW|U X]D\ÕGÕU GHQLU

%XUDGDV ¶QLQHOHPDQODUÕQDGDYHNW|UOHUGHQLU>@



D ^u_{ }^{v V} 

E ^cu_^V 

F u  v v u

G u    v w u v w

H +HU^{u V} LoLQu  u RODFDN úHNLOGH^V ¶GH LOH J|VWHULOHQ ELU HOHPDQ

YDUGÕU

I +HUuVLoLQu  RODFDNúHNLOGH  u ^V ¶GHuLOHJ|VWHULOHQELUHOHPDQ

YDUGÕU

J  cd u c du 

K cd u  cu du L c u   v cu cv M  u uu 



7DQÕP S \ ERúWDQ IDUNOÕ ELU NPH ROVXQ (÷HU^m v v  YHS ^c\LoLQ



L v_  ¶GLUv_ S LL ^cv_^S¶GLU



7DQÕP A\^{m nu} ROVXQ A PDWULVLQLQ VÕIÕU X]D\Õ

^

^{y Ay y\m}

`

^úHNOLQGH

WDQÕPODQÕUYHEXNPH^{N A}

 

LOHJ|VWHULOLU>@



7DQÕP ^V UHHO VD\ÕODU FLVPL ]HULQGH ELU YHNW|U X]D\Õ ROVXQ $\UÕFD _˜  VHPERO\OH x y V YHNW|UOHULQH ELU x y UHHO VD\ÕVÕQÕ NDUúÕOÕN JHWLUHQ IRQNVL\RQ

WDQÕPODQVÕQ%XIRQNVL\RQx y z   YHNW|UYHV  \D VNDOHULLoLQ



L x x tGÕU$\UÕFD x x œ  x 

LL x y y x 

LLL x y  z x y  x z 

LY Dx y D x y ^



NRúXOODUÕQÕ VD÷ODUVDV ]HULQGH ELU Lo oDUSÕP DGÕQÕ DOÕU %X GXUXPGD ]HULQGH Lo

oDUSÕPWDQÕPODQDQ^V X]D\ÕQDGDELULooDUSÕPX]D\ÕDGÕYHULOLU>@



%D]Õ7RSRORMLN.DYUDPODU



7DQÕP

 

^sn GL]LVLYHULOPLúROVXQ(÷HU n N  LoLQsn sn_ROX\RUVDGL]L\H

PRQRWRQDUWDQsn !sn_ROX\RUVDGL]L\HPRQRWRQD]DODQGL]LGHQLU>@



7DQÕP  A \ YH p\ ROVXQ !G ^VD\ÕVÕ LoLQ x p  G NRúXOXQX

JHUoHNOH\HQ HQ D] ELU^x_^AQRNWDVÕ YDUVD p QRNWDVÕQD A NPHVLQLQ ELU \Õ÷ÕOPD

QRNWDVÕGHQLU>@



7DQÕP+HUⁿGR÷DOVD\ÕVÕLoLQsn d RODFDNúHNLOGHELU M UHHOVD\ÕVÕYDUVDM

 

^sn GL]LVLQHVWWHQVÕQÕUOÕ M VD\ÕVÕQDGDEXGL]LQLQELUVWVÕQÕUÕDGÕYHULOLU+HUⁿ GR÷DO VD\ÕVÕ LoLQsn t RODFDN úHNLOGH ELUm ^mUHHO VD\ÕVÕ YDUVD

 

^sn GL]LVLQH DOWWDQ

VÕQÕUOÕ^mVD\ÕVÕQDGDEXGL]LQLQELUDOWVÕQÕUÕDGÕYHULOLU>@



7DQÕP 

 

^sn ELU UHHO VD\Õ GL]LVL YH^s_\ROVXQ ! YHH   ! LoLQn n

sn s HRODFDN úHNLOGHH ¶D ED÷OÕ ELUnVD\ÕVÕ EXOXQDELOL\RUVD

 

^{sn GL]LVLs¶\H}

\DNÕQVDNWÕUGHQLUYH

 OLP n

n

s s

of YH\D

 

^{sn os}



úHNOLQGHJ|VWHULOLU>@



7DQÕP C \ ROVXQⁿ  !O ^YH_{ }^{x C}LoLQO^x^CLVH^CNPHVLQH NRQL

GHQLU>@



7DQÕP ^V YHNW|U X]D\ÕQÕQ ELU^C DOW NPHVL LoLQu v  YHNW|U oLIWLQLQC DUDVÕQGDNLGR÷UXSDUoDVÕCNPHVLQLQLoLQGHNDOÕ\RUVD\DQL



 

^

^{Du  D v d d D }

`

^C



LVHC¶\HNRQYHNVELUNPHGHQLU>@



1RW  %LU^C NPHVL 7DQÕP  YH 7DQÕP ¶GDNL NRúXOODUÕ VD÷OÕ\RUVD

NRQYHNVNRQLGL\HDGODQGÕUÕOÕU



7DQÕPC \ ERúROPD\DQELUNRQYHNVNRQLROVXQ^{n C}¶QLQSRODUNRQLVL



^

^{ }

`

p n

C s \ s x d  x C 



ELoLPLQGHWDQÕPODQÕU>@



0DWULVOHUOHøOJLOLgQELOJLOHU



7DQÕPA\^{n mu} PDWULVLROVXQ%XGXUXPGD



L A AA^{‚ ‚} A^‚ LL AA A^‚ A LL

   

^{AA‚ AA‚ T}

LY

   

^{A A‚ A A‚ T}



úDUWODUÕQÕVD÷OD\DQA^‚\^{m nu} PDWULVLQH A PDWULVLQLQ0RRUH3HQURVHWHUVLGHQLU>@



7HRUHP+HUKDQJLELU A PDWULVLQLQ0RRUH3HQURVHWHUVLA^‚ROPDN]HUH





 

^{A‚ ‚ A}



   

^{AT ‚ A‚ T}



 

^{A AT ‚ A‚}

 

^{AT ‚}

   

^{AAT ‚ AT ‚ A‚}



 

^{AA‚ ‚ AA‚}

 

^{A A‚ ‚ A A‚ }

 (÷HUA m n_u LVHA^‚ n m_u 

 7HNLOROPD\DQ_ܣPDWULVLLoLQA^‚ A^



GÕU>@



7DQÕP%LUA\^{n nu} PDWULVLQLQN|úHJHQHOHPDQODUÕQÕQWRSODPÕQDRPDWULVLQL]L

GHQLUYH^{iz A}

 

LOHJ|VWHULOLU<DQL

 

 n

ii i

iz A

¦

a ROXU%LUPDWULVLQL]LQLQED]ÕWHPHO

|]HOOLNOHULDúD÷ÕGDNLJLELVÕUDODQDELOLU>@



D_ ^{iz A B}



^

    

^{iz A iz B }

E  \O LoLQ^iz

 

^{OA Oiz A}

 

^

F ^{iz A}

 

^{T iz A}

 

^

G_ ^{iz AB}

   

^{iz BA }



7DQÕPA\^{m nu} PDWULVLQLQ)UREHQLXVQRUPX



 





T ij

i j

A

¦

a iz A A ^



RODUDNWDQÕPODQÕU>@



7DQÕPx\ ¶QLQQRUPXQRUPXYH\DgNOLG1RUPX p QRUPXⁿ pt  YHVRQVX]QRUPXVÕUDVÕ\OD



 

n i i

x

¦

x ^





 

 

n i i

x § x · ¨©

¦

¸¹ ^







n p p

p i i

x § x · ¨©

¦

¸¹ ^







OLPp p OLPp ⁿ i p ^p PD[i i i

x _f x x x

of of

§ ·

¨ ¸

©

¦

¹ ^



RODUDNWDQÕPODQÕU>@



7DQÕP  (÷HU A PDWULVLQLQ KHU ELU HOHPDQÕ QHJDWLI GH÷LOVH A ¶\D QHJDWLI

ROPD\DQPDWULVGHQLUYHEXGXUXPAtLOHEHOLUWLOLU%HQ]HUúHNLOGH A ¶QÕQKHUELU

HOHPDQÕSR]LWLILVH A PDWULVLQHSR]LWLIPDWULVGHQLUYHEXGXUXPA!LOHJ|VWHULOLU

6ÕUDVÕ\OD A Bt YH A B! LIDGHOHUL ^{A B} t^ YH A B ! DQODPÕQGD NXOODQÕOÕU

>@



7DQÕP  A VLPHWULN ELU PDWULV ROVXQ zx YHNW|U LoLQx Ax^T ! ROX\RUVD APDWULVLQHSR]LWLIWDQÕPOÕPDWULVGHQLU>@



7DQÕP  %LU A PDWULVL LoLQAA^T A A^T ROX\RUVD A PDWULVLQH RUWRJDQDOGLUI GHQLU2UWRJDQDO A PDWULVLNDUHWHUVLQLUYHA^ A^TRODQPDWULVWLU>@



7DQÕP  A PDWULVL ELU NDUH PDWULV ROPDN ]HUH A PDWULVLQLQ HOHPDQODUÕ

DUDVÕQGD KHU i jz LoLQaij HúLWOL÷L \D]ÕODELOL\RUVD A PDWULVLQH VLPHWULN PDWULVaji

GHQLU %HQ]HU úHNLOGHaij  HúLWOL÷L \D]ÕODELOL\RUVD A PDWULVLQH VNHZVLPHWULNaji

PDWULVGHQLU>@



7DQÕP%LUNDUHPDWULVKHPVLPHWULNKHPRUWRJDQDOLVHRQDVLPHWULNRUWRJDQDO

PDWULV EHQ]HU úHNLOGH KHP VNHZVLPHWULN KHP RUWRJDQDO LVH VNHZVLPHWULN RUWRJDQDO

PDWULVGHQLU>@



7DQÕP  %LU A\^{n nu} PDWULVLQLQ HOHPDQODUÕ RODQ a_{i j} ¶OHU  i j nd d LoLQ

 

i j j i

a a YHai j_ an j_{   }n i _NRúXOODUÕQÕ VD÷OÕ\RUVD A ¶\D ELU ELVLPHWULN PDWULV GHQLU

>@



7DQÕP  R\^{m mu} YH S\ DúLNDU ROPD\DQ LQYROXWLI PDWULVOHU \DQL^{n nu}

z r

R R I YHS S^ z rI ROVXQ (÷HU ^{RAS A}YH\D^RAS ^ALVH A\^{m nu}  PDWULVLVÕUDVÕ\OD

 

^{R S} VLPHWULNYH\D

 

^{R S} VNHZVLPHWULNRODUDNDGODQGÕUÕOÕU>@



7DQÕP  M ¬ ¼ PDWULVL p qªmjkº u ER\XWOX NRPSOHNV PDWULV ROVXQ (÷HU

  

p j q k

mjk m _{   } LVHEXGXUXPGD M PDWULVLQHPHUNH]LKHUPLW\HQPDWULVGHQLU>@



7DQÕP  (÷HUA^^{n nu} PDWULVL HúOHQLN WUDQVSR]HVLQH HúLWVH A A LVH A  PDWULVLQH+HUPLW\HQPDWULVGHQLU>@



7DQÕP  R^^{n nu} DúLNDU ROPD\DQ QLWHU LQYROXWLI PDWULV \DQL



R R R^ z ROVXQ (÷HUIn ^{X X}  RXR X ROX\RUVDX^^{n nu} PDWULVLQH ELU

+HUPLW\HQ R VLPHWULN PDWULV GHQLU >@ %HQ]HU úHNLOGH X X YH RXR  X NRúXOODUÕVD÷ODQÕUVD X +HUPLW\HQ R VNHZVLPHWULNPDWULVGHQLU>@



7DQÕP  P Q\^{n nu} PDWULVOHUL DúLNDU ROPD\DQ JHQHOOHúWLULOPLú UHIOHNVLI

PDWULV \DQL P^T P P^zI  Q^T Q Q^zI ROVXQ %X GXUXPGD VÕUDVÕ\OD

A PAQYH\D A PAQ ROX\RUVDA\^{n nu} PDWULVLQH ELU

 

^{P Q} JHQHOOHúWLULOPLú

UHIOHNVLIPDWULVYH\D

 

^{P Q} JHQHOOHúWLULOPLúDQWLUHIOHNVLIPDWULVGHQLU>@



7DQÕP  ^{f x}

 

IRQNVL\RQXQ LNLQFL PHUWHEHGHQ NÕVPL WUHYOHULQL LoHUHQ

DúD÷ÕGDNLPDWULV+HVVLDQPDWULVLRODUDNDGODQGÕUÕOÕU



  

   

  

   

  

 

n

n

n n n n

f f f

x x x x x

f f f

H x x x x x

f f f

x x x x x x

ª w w w º

« w w w w w »

« »

« w w w »

« »

w w« w w w »

« »

« »

« w w w »

«w w w w w w »

¬ ¼

!

!

# # # #

!





+HVVLDQPDWULVLVLPHWULNELUPDWULVWLU>@



1RWDV\RQ  %X oDOÕúPD ER\XQFD KHUKDQJL ELU PDWULVLQ VD÷ DOW N|úHVLQH ³´

VLPJHVL NRQXOGX÷XQGD DQODúÕODFDN RODQ \HQL PDWULV RUMLQDO PDWULVLQ HOHPDQODUÕQÕQ

SR]LWLI RODQODUÕQ D\QÕ KDOL LOH EÕUDNÕOGÕ÷Õ QHJDWLI RODQODUÕQ LVHLOH GH÷LúWLULOGL÷L

PDWULVWLU<DQL^A

 

^aij PDWULVLLoLQ^{A  LVH}

 

^{aij aij PD[}

 

^{aij ¶GLU}



7DQÕP ^U YH ^V NPHOHUL \ ]HULQGH LNL YHNW|U X]D\Õ YH T LVH ^U X]D\ÕQGDNLKHUELUYHNW|U^V X]D\ÕQÕQELUYHNW|UQHWDúÕ\DQELUG|QúPROVXQ%X

GXUXPGDEWQ x y U YHNW|UOHULLoLQ





^

    

^

T x y T x T y 



HúLWOL÷L VD÷ODQÕ\RUVD T G|QúP WRSODPVDOGÕU YH _{ }^{x U} YHNW|U YH  \D  VNDOHULLoLQ



   

T Dx DT x 



ROPDVÕ KDOLQGH GHT G|QúP KRPRMHQGLU GHQLUT U oV G|QúP WRSODPVDO

YHKRPRMHQLVHELUOLQHHUG|QúPRODUDNDGODQGÕUÕOÕU>@



7DQÕP  A\^{n nu} V\ YH^{n su m} VDELW ELU WDPVD\Õ ROVXQ .U\ORY PDWULV

DOWX]D\ÕV AV  _! A^mV PDWULVOHULQGHQ ROXúDQ^Km

 

^{A V span V AV}

^

^{  ! AmV}

`

^

ELoLPLQGHNL DOWX]D\GÕU ^ZKm

 

^{A V} LIDGHVLQLQ ^

 m

i i i

Z

¦

^D A V ^{Di\ DQODPÕQD}

JHOGL÷LQHGLNNDWHGLOLU>@



.RQYHNV3UREOHPOHUøoLQ.DUXVK.XQFK7XFNKHU7HRUHPL



7HRUHP  ^{g xi}

 

^{d   i  m} NRúXOX DOWÕQGD ^{PLQ f x}

 

NRQYHNV ELU

SUREOHPROVXQ Öy\^mROPDN]HUH



D ’f x

 

Ö 

¦

i^my g x֒ i

 

Ö ^T

E_ ^{g x}

 

^{Ö d}

F yÖ t 

G ^{y g xÖT}

 

^{Ö }



RODFDNúHNLOGHÖxRSWLPDOo|]PGU>@



%X WHRUHPGHNL NRúXOODU NÕVDOÕN ROPDVÕ DoÕVÕQGDQ oDOÕúPD ER\XQFD ..7 NRúXOODUÕ

RODUDNLIDGHHGLOHFHNWLU







%g/h0/ø1((5 (ùø76ø=/ø./(5ø1 787$56,=/,ö,1,1

'h=(/7ø/0(6ø9(dg=h0h





*LULú



%XE|OPGHWXWDUVÕ]RODQ



Axdb         



OLQHHU HúLWVL]OLNOHU NPHVL HOH DOÕQGÕ %XUDGDA\^{m nu} YHb\ ¶GLU  WXWDUVÕ]^m ROGX÷X LoLQ RQX PPNQ NÕODFDN úHNLOGH x\ \RNWXU  VLVWHPLQGHNLⁿ WXWDUVÕ]OÕN X\JXODPDGD oHúLWOL VHEHSOHUGHQ ND\QDNODQDELOLU %X VHEHSOHU NÕVÕWODUÕQ

WDQÕPODQGÕ÷Õ IDUNOÕ JUXSODU DUDVÕQGDNL HWNLOHúLP HNVLNOL÷L \DQOÕú YH\D HNVLN

WDKPLQOHUYHULOHUGHNLKDWDDúÕUÕL\LPVHUDPDoODUYERODELOLU>@VLVWHPLQGHQ

ELUWXWDUOÕVLVWHPROXúWXUPDNLoLQoRNEDVLWELU\DNODúÕP\DOQÕ]FDND\QDNODUYHNW|U

GHGHQLOHQVD÷\DQYHNW|UQGHl_QRUPXQXNXOODQDUDNGH÷LúLNOLNOHU\DSPDNWÕU<DQL

Axd b rNRúXOXDOWÕQGD





PLQ ^m _i

i

§ r ·

¨ ¸

©

¦

¹^{        } 



SUREOHPLQLHOHDOPDNWÕU%XSUREOHPELU/3SUREOHPLQHNROD\OÕNODG|QúWUOHELOLU

>@$\UÕFDDPDoIRQNVL\RQXQGDVRQVX]QRUPXQGDHOHDOÕQDELOHFH÷LQLYXUJXODPDN

JHUHNLU%XGXUXPGDSUREOHPAxd b rNRúXOXDOWÕQGD



PLQ r _f         



EXOPDSUREOHPLQHG|QúUKDODELU/3SUREOHPLQHGHQNWLU6RQUDNLNÕVÕPGDl_ QRUPX NXOODQÕODUDN PLQLPDO G]HOWPH WDUWÕúÕODFDNWÕU 3UREOHPLQ ELU GHQN

IRUPODV\RQXYHULOHFHNYH\HQLIRUPODV\RQXo|]PHNLoLQHWNLQELUDOJRULWPDGL]D\Q

HGLOHFHNWLU



b9HNW|UQGHl1RUPX.XOODQÕODUDN0LQLPDO']HOWPHOHU



6D÷ \DQ YHNW|UQ GH÷LúWLUPHN VXUHWL LOHl_QRUP NXOODQDUDN PLQLPDO G]HOWPH

Axd b rNRúXOXDOWÕQGD







PLQ



x r r          



LOH ROXU $úD÷ÕGDNL WHRUHPGH RSWLPDO ^x YH r GH÷HUOHULQLQ QDVÕO KHVDSODQDFD÷Õ

J|VWHULOPHNWHGLU



7HRUHP  Öx YH Ör ¶Q RSWLPDO o|]POHUL ROVXQ %X GXUXPGD

 

Ö Ö

r Ax b _¶GÕU%XUDGDÖx



 

^

PLQ



x Ax b _         



SUREOHPLQLQELURSWLPDOo|]PGU



øVSDWLIDGHVL^Ax_{d }^{b r}NRúXOXDOWÕQGD



 

PLQ PLQ



x § r r ·

¨ ¸

© ¹        



ELoLPLQGH \D]ÕODELOLU ùLPGL YHULOPLúx\ LoLQ Lo PLQLPL]DV\RQ SUREOHPL \DQLⁿ Axd b rNRúXOXDOWÕQGD

 

PLQ^r  r          



SUREOHPLHOHDOÕQVÕQSUREOHPLQLQELUNRQYHNVPLQLPL]DV\RQSUREOHPLROGX÷X

DoÕNWÕUEX\]GHQ..7NRúXOODUÕRSWLPDOOLNLoLQJHUHNOLYH\HWHUOLNRúXODUGÕUYHRQODU



 









T

r

Ax b r Ax b r O

O O

 d 

  t





LOH YHULOLU %XUDGDO YHNW|U /DJUDQJH oDUSDQODUÕQÕ J|VWHULU %LULQFL GHQNOHPGHQ

r O HOGH HGLOLU ùLPGL H÷HU HQ D] ELU i LoLQ Oi z LVH oQF GHQNOHPGHQ



^{Ax b}



^{i ri Oi}ROXU%XQXQODELUOLNWHOi ROGX÷XQGDELULQFLGHQNOHPGHQ ri  HOGH HGLOLU 7P EXQODUÕQ KHSVL^r



^{Ax b}



 LIDGHVLQL VD÷ODU %X QHGHQOH  SUREOHPL



 

^

PLQ



x Ax b _ 



RODUDN\D]ÕODELOLU%XLVHLVSDWÕELWLULU      „



SUREOHPLQLQA u^T  utNRúXOODUÕDOWÕQGD



 

PD[ 

b uT u

§  ·

¨ ¸

© ¹        



RSWLPL]DV\RQ SUREOHPLQLQ GXDOL ROGX÷XQX YXUJXODPDN JHUHNLU $úD÷ÕGDNL VRQXoWD

¶LQELURSWLPDOo|]PNXOODQÕODUDN¶LQELURSWLPDOo|]PYHULOPLúWLU



6RQXo  Öx   SUREOHPLQLQ ELU RSWLPDO o|]P ROVXQ %X GXUXPGD

 

Ö Ö

u Ax b _LIDGHVL¶LQELURSWLPDOo|]PGU



øVSDW Öx ¶LQ ELU RSWLPDO o|]P ROVXQ^uÖ



^{Ax bÖ}



LoLQ A u^TÖ  YH^ut^ ROGX÷X DoÕNWÕU %XUDGD A u^TÖ  LIDGHVL ¶LQ RSWLPDOOLN NRúXOXGXU $\UÕFD



^Ö



^

AT Ax b _ ROGX÷XQGDQ





^{Ax bÖ}



 ^



^{Ax bÖ}

 

^{T Ax bÖ}

 

 ^{Ax bÖ}

 

^{T Ax bÖ}



 ^bT



^{Ax bÖ}







EXOXQXU%XLVHYH¶LQDPDoGH÷HUOHULQLQHúLW\DQL





^{Ax bÖ}



 ^ ^bT



^{Ax bÖ}





 YH\D



     

^

 Ö Ö  Ö

 

Ax b _ bT Ax b _ Ax b _ 



ROGX÷XQXJ|VWHULU         _„



6RQUDNL NÕVÕPGD ¶LQ ELU RSWLPDO o|]PQ NXOODQDUDN A u^T  b u^T  U



ut NRúXOODUÕDOWÕQGD



 

PLQ u          



LoLQ ELU RSWLPDO o|]P ROXúWXUXODELOHFH÷L J|VWHULOPHNWHGLU %XUDGD U ELU NHVLQ

SR]LWLINH\ILSDUDPHWUHGLU



8\DUÕ ¶XQNÕVÕWODUÕQÕQKHUELULQLQu Ax b RODUDNDOÕQGÕ÷ÕQGD¶LQ

DOWHUQDWLIVLVWHPLROGX÷XQDGLNNDWHWPHNJHUHNLU



6RQXoÖxSUREOHPLQLQELURSWLPDOo|]PROVXQ%XGXUXPGDA u^T  b uT  U utNRúXOODUÕQÕVD÷OD\DQ^u¶\XEXOPDSUREOHPLQLQELUQRUPDOo|]P



 

 

^

Ö Ö

Ö u Ax b

Ax b

U _



 

 



<DQLÖu¶XQELUo|]PGU



øVSDW¶XQ/DJUDQJHGXDOL



 

^



PD[ 

 A b

O P ©^§¨ O P _ PU¹¸^·      



GXU%XUDGD^u



^{AO P}^b



¶GÕU2SWLPDOo|]PQ\HULQH\D]ÕOPDVÕGXUXPXQGD YH¶XQDPDoGH÷HUOHULHúLWROPDOÕGÕU'ROD\ÕVÕ\OD



 

^

 

 Ö Ö  Ö Ö Ö

 AO Pb _  AO Pb _PU



\DQL





^{AO PÖ}^bÖ



 ^{ UPÖ}



HúLWOL÷LVD÷ODPDOÕGÕU%XUDGDQP ! ROGX÷XQGD

 Ö Ö

Ö 

§ § · ·

¨ ¨ ¸¨ ¸ ¸

¨ © ¹ ¸

©A O b¹

P P U^



VRQXFXoÕNDUÕODELOLU$\UÕFD Ö x OÖ

RODUDNWDQÕPODQÕUVDP



 

Ö Ax b

P U

  



HOGHHGLOLUÖx¶LQRSWLPDOo|]PYHD\UÕFD

 

Ö Ax bÖ P U

  ROVXQ%X Ö Ö ÖxO P ^ ROGX÷XQXJ|VWHULU'H÷LúNHQOHULQEXVHoLPLLoLQLNLDPDoGH÷HUHúLWWLU%|\OHFHLNL

SUREOHPLQGHRSWLPDOo|]POHULHOGHHGLOPLúROXU     _„



¶Lo|]PHNLoLQ(úOHQLN*UDG\HQW&*DOJRULWPDVÕYHVRQUDNLNÕVÕPGDWDUWÕúÕODQ

JHQHOOHúWLULOPLú 1HZWRQ DOJRULWPDVÕ NXOODQÕOPDNWDGÕU ¶LQ DPDo IRQNVL\RQXQXQ

ELUNRQYHNVIRQNVL\RQ ROGX÷XDoÕNWÕU)DNDWRVDGHFHELULQFLWUHYHVDKLSWLULNLQFL

WUHYH VDKLS GH÷LOGLU >@ %XQXQOD ELUOLNWH JHQHOOHúWLULOPLú +HVVLDQ EX IRQNVL\RQ

LoLQ



   



’f x A^T Ax b 

 YH



 

’f x A DA^T 



ELoLPLQGH WDQÕPODQÕU %XUDGD D ELU n nu N|úHJHQ PDWULV ROXS



^{Ax b}



^{i !}

ROGX÷XQGD ^{D i i}

 

^{  }



^{Ax b}



^{i } ROGX÷XQGD ^{D i i}

 

^{  YH}



^{Ax b}



^{i }

ROGX÷XQGD^{D i i}

 

^{ }

> @

^{ ¶GLU}



6RQXoRODUDNJHQHOOHúWLULOPLú+HVVLDQ¶ÕQELUNPHROGX÷XDoÕNWÕU$QFDNEDVLWOLNLoLQ

EX E|OPGH



^{Ax b}



^{i } ROGX÷X GXUXPGD ^{D i i}

 

^{ } RODUDN DOÕQGÕ ùLPGL

JHQHOOHúWLULOPLú1HZWRQDOJRULWPDVÕDúD÷ÕGDROGX÷XJLEL|]HWOHQHELOLU





$OJRULWPD*HQHOOHúWLULOPLú1HZWRQ$OJRULWPDVÕ



‡ *LUGLOHU %LUH ! GR÷UXOXN SDUDPHWUHVL +HVVLDQ PDWULVLQLQ WHUVLQLUOL÷LQL

JDUDQWLHGHFHNELUG]HOWPHSDUDPHWUHVLG ^YHELU 

x \ EDúODQJÕoQRNWDVÕn



, i 

,, ’f x i _f tH ROGX÷XVUHFHDúD÷ÕGDNLOHUL\DS

,,D xi_  ’xi  ^f x i GI^’f x i 

,,E i i 



8\DUÕ$OJRULWPD¶LQ\DSÕVÕQGD:ROIYH\D$UPLMRJLEL³DUDPDWHNQLNOHUL´

NXOODQÕODELOHFH÷LQL YXUJXODPDN JHUHNLU 'DKDVÕ $UPLMR DUDPD WHNQL÷L LOH

JHQHOOHúWLULOPLú 1HZWRQ DOJRULWPDVÕQÕQ VRQOX JHQHO \DNÕQVDNOÕ÷Õ >@¶GD

LVSDWODQPDNWDGÕU



1HJDWLI2OPDPD.ÕVÕWODPDOÕ/LQHHU(úLWVL]OLNOHU



%X NÕVÕPGD  OLQHHU HúLWVL]OLNOHU NPHVL ]HULQH QHJDWLI ROPDPD NÕVÕWODPDVÕ LOH

ELUOLNWH\DQLxtNÕVÕWÕDOWÕQGD



Axdb         



HúLWVL]OL÷LQLQo|]PQEXOPDSUREOHPLHOHDOÕQGÕ¶LQ\DOQÕ]FD¶LQELU|]HO

GXUXPX ROGX÷X GROD\ÕVÕ\OD HOH DOPD\D GH÷HU ROPDGÕ÷Õ GúQOHELOLU )DNDW RQXQ

|]HO \DSÕVÕQGDQ GROD\Õ \LQH GH EX WLS WXWDUVÕ] OLQHHU HúLWVL]OLNOHU NPHVLQLQ

G]HOWLOPHVLQL\DSPDNND\GDGH÷HUGLU%XUDGD\DOQÕ]FD^Ax_d^bHúLWVL]OL÷LQHVD÷\DQ

G]HOWPHVL \DSÕODQ GXUXP HOH DOÕQPDNWD xt ]HULQGH KHUKDQJL ELU G]HOWPH

\DSÕOPDPDNWDGÕU<DQL^Ax_{d }^{b r}YHxtNRúXOODUÕDOWÕQGD



 

PLQ  r          



SUREOHPL HOH DOÕQPDNWDGÕU $úD÷ÕGDNL WHRUHPGH ^x YH r GH÷HUOHULQLQ RSWLPXP

o|]PYHUHFHNúHNLOGHQDVÕOKHVDSODQDELOHFH÷LJ|VWHULOPHNWHGLU



7HRUHP  Öx YH Ör ¶QLQ RSWLPDO o|]POHUL ROVXQ 2 ]DPDQ

 

Ö Ö

r Ax b _¶GÕU%XUDGDÖx







PLQ  



x Ax b _

t          



SUREOHPLQLQELURSWLPDOo|]PGU



øVSDW7HRUHP¶LQLVSDWÕQDEHQ]HUGLU      _„



YHDUDVÕQGDNLIDUNÕQ\DOQÕ]FDQHJDWLIROPDPDNÕVÕWODPDVÕROGX÷XYHEX

IDUN GROD\ÕVÕ\OD SUREOHPLQ ELU NÕVÕWOÕ RSWLPL]DV\RQ SUREOHPLQH G|QúW÷ DoÕNWÕU

%XUDGD ¶ o|]PHN LoLQ DPDo IRQNVL\RQODUÕQD xt GH÷HULQL YHUHUHN

ORJDULWPLNEDUL\HU>@\DNODúÕPÕNXOODQÕOPDNWDGÕU%|\OHFH



 

^

 



PLQ  ORJ



n x i

i

Ax b _ P x

§   ·

¨ ¸

©

¦

¹^{    } 



HOGH HGLOLU %XUDGD P EDUL\HU SDUDPHWUHVLGLU 6RQUD ^x NHVLQ SR]LWLI YHNW|U YH

 

P GH÷HUL LOH EDúODQDUDN JHQHOOHúWLULOPLú 1HZWRQ PHWRGX X\JXODQPDNWDGÕU

/RJRULWPLN WHULP^xGH÷HULQLQ ELOHúHQOHULQLQ QHJDWLI EXOXQPDVÕQD L]LQ YHUPH\HFHN

YHP ¶QQ GH÷HUL JHQHOOHúWLULOPLú 1HZWRQ DOJRULWPDVÕQÕQ LWHUDV\RQODUÕ VUHVLQFH

VÕIÕUD \DNODúDFDNWÕU |UQH÷LQ Pk_ Pk JLEL ¶ o|]PHN LoLQ ELU GL÷HU

\DNODúÕPSHQDOWÕIRQNVL\RQPHWRGXGXUù|\OHNL



 

^

 

^

 

PLQ^x §©¨  Ax b _ M x _ ·¸¹     



%XUDGD M oRNE\N|UQH÷LQ JLELELUVD\ÕGÕU%X^

 

^x  ^LIDGHVLQLQE\N

ROPDVÕQDL]LQYHUPH]^xYHNW|UQQRSWLPDOo|]PQGHVÕIÕUD\XYDUODQDELOHFHNoRN

NoNQHJDWLIGH÷HUOHULQYDURODELOHFH÷LQLYXUJXODPDNJHUHNLU



%XE|OPNRQXLOHDODNDOÕLNL|UQHNYHULOHFHNNDSDWÕODFDNWÕU



gUQHN



       

       

       

       

       

       

       

 A

  



 



 

  

       

§ ·

¨ ¸

¨ ¸

¨ ¸

¨ ¸

¨ ¸

¨ ¸

¨ ¸

¨ ¸

¨ ¸

¨ ¸

¨  ¸

© ¹



















b

§ ·

¨ ¸

¨ ¸

¨ ¸

¨ ¸

¨ ¸

¨ ¸

¨ ¸

¨ ¸

¨ ¸

¨ ¸

¨ ¸

© ¹





ROVXQ %X GXUXPGD  SUREOHPLQLQ o|]P JHQHOOHúWLULOPLú 1HZWRQ DOJRULWPDVÕ

NXOODQÕODUDN



















x

§ ·

¨  ¸

¨ ¸

¨ ¸

¨ ¸

¨ ¸

¨ ¸

¨ ¸

¨ ¸

¨ ¸

¨ ¸

¨ ¸

© ¹





ELoLPLQGHHOGHHGLOLU



gUQHN



     

     

     

     

     

     

A

§  ·

¨  ¸

¨ ¸

¨ ¸

¨ ¸

¨ ¸

¨  ¸

¨ ¸

¨  ¸

© ¹

















b

§ ·

¨ ¸

¨ ¸

¨ ¸

¨¨ ¸¸

¨ ¸

¨ ¸

¨ ¸

© ¹





ROVXQ %X GXUXPGD  SUREOHPLQLQ o|]P JHQHOOHúWLULOPLú 1HZWRQ DOJRULWPDVÕ

NXOODQÕODUDN













 x

§ ·

¨ ¸

¨ ¸

¨ ¸

¨ ¸

¨ ¸

¨ ¸

¨ ¸

¨ ¸

© ¹





ELoLPLQGHHOGHHGLOLU





%g/h0(1 .hdh. .$5(/(5 ø/(

$; % t

0$75ø6

(ùø76ø=/øöø1ø16ø0(75ø.dg=h0/(5ø





*LULú



%X E|OPGH X \ ELOLQPH\HQOHU PDWULVL YH S ^{n nu} A B\^{m nu} ELOLQHQ PDWULVOHU

ROPDN]HUH



AX t B         



PDWULV HúLWVL]OL÷L HOH DOÕQPÕúWÕU *HUoHN \DúDPGDQ DOÕQDQ YHULOHU LoLQ  PDWULV

HúLWVL]OL÷LQL VD÷OD\DFDN úHNLOGH X \S ^{n nu} JHQHOOLNOH \RNWXU \DQL

^

^{XS\n nu AX tB}

`

NPHVL ERú NPHGLU 'ROD\ÕVÕ\OD  PDWULV HúLWVL]OL÷LQL

VD÷OD\DFDN úHNLOGH VLPHWULN X PDWULVL ROPD\DELOLU %X GXUXPGD \HQLGHQ

G]HQOHQPLú



AX  t  Y B        



PDWULV HúLWVL]OL÷LQL o|]OHELOLU NÕODFDN ELU QHJDWLI ROPD\DQ Y G]HOWPH PDWULVL

EXOPDNLVWHQLU$VOÕQGDEX|]HOOL÷HVDKLSVRQVX]VD\ÕGDQHJDWLIROPD\DQY G]HOWPH

PDWULVL YDUGÕU %X GXUXPGD HQ NoN QHJDWLI ROPD\DQY G]HOWPH PDWULVL DUDQÕU

'DKD DoÕNFDVÕ EX E|OPGHNL DPDo AX Y B t PDWULV HúLWVL]OL÷LQLQ HQ NoN

G]HOWPH SUREOHPLQL DUDúWÕUPDN \DQL AX Y B t ^Y t^  X \ NRúXOODUÕS ^{n nu} DOWÕQGD





^



^_ ^

P X Y Y