www.betulhoca.com 1
Oran Orantı
Aynı birimdeki iki çokluğun birbirine bölünmesine oran denir.
x,y≠0 olmak üzere x in y ye oranı x:y veya 𝑥
𝑦 olarak gösterilir. Oranın birimi yoktur. Kesirlerdeki gibi oranın da payı ve paydası sadeleştirilip genişletilebilir.
Örnek1: Su 140 , annesi 280 cm’dir.
Su’nun boyunun annesinin boyuna oranı kaçtır ?
Örnek2: Bir otobüste 24 erkek 28 kadın vardır. Durakta 6 kadın , 8 erkek otobüsten inmiş ve 4 evli çift binmiştir. Son durumda otobüsteki erkek sayısının kadın sayısına oranı nedir ?
İki veya daha fazla oranın eşitliğine orantı denir
.
𝑥𝑦
= 𝑘
ve𝑧𝑡
= 𝑘
ise bu orantı
şeklinde gösterilir. Bu orantı x:z = y:t şeklinde de gösterilir.
Buradaki x ve t dışlar , z ve y içler olarak adlandırılır.
𝑥 𝑦
=
𝑧𝑡
=
𝑎𝑏
= 𝑘 => 𝑥: 𝑧: 𝑎 = 𝑦: 𝑡: 𝑏
olur. Orantı sabiti k dır. 𝒙
𝟐
=
𝒚𝟑 veya 3x = 2y olduğunda x = 2k ve y = 3k dır.
Örnek3:
a b
=
13
ve
x.a+bb−a
= 2
olduğuna göre x=?Örnek4: a:b:c = 5:3:2 ve a –b +c=16 => a=?
Örnek5: 𝒙−𝟐
𝟑
=
𝒃+𝟏𝟐 ve 3x – y = 21 => x=?
Orantıda içler çarpımı dışlar çarpımına eşittir.
𝑥 𝑦
=
𝑧𝑡
= 𝑘
x y= z
t => x. t = z. y
www.betulhoca.com 2 Örnek6: 𝒙+𝒚
𝒙−𝒚
=
𝟐𝟑 => 𝒙𝒚
=?
Bir orantıda içler de dışlar da kendi aralarında yer değiştirebilir. Bu durumda orantının eşitliği değişmez.
x y
=
zt
=>
x𝑧
=
yt
𝑣𝑒𝑦𝑎
𝑡𝑦
=
𝑧𝑥
Paylar ve paydalar kendi aralarında toplanıp çıkarılırsa orantı sabiti değişmez.
x y
=
zt
= 𝑘 =>
𝑥+𝑧𝑦+𝑡
=
𝑥−𝑧𝑦−𝑡
= 𝑘
Örnek7: 𝟐𝒙+𝒚
𝒚−𝒛
=
𝟐𝒚+𝒛𝒙−𝒛
=
𝒙+𝟐𝒛𝟑𝒛
=>
𝒙𝒛
oranı nedir ?
m,n≠0 olmak üzere
olur.
Örnek8: 𝒙
𝒚
=
𝑧𝑡
=
𝑘𝑚
=
13 olmak üzere 2x – z + 3k = 14 ve t - 3m = 24 ise y = ?
x,y ve z nin dördüncü orantılısı k ise 𝑥
𝑦 = 𝑧
𝑘 olur. Burada birinci orantılı x , ikinci orantılı y , üçüncü orantılı ise z dir.
Örnek9: 4,10 ve 12 sayısı ile dördüncü orantılı olan sayı nedir ?
𝒙 𝒚= 𝒛
𝒕= 𝒌 => 𝒎. 𝒙
𝒎. 𝒚= 𝒏. 𝒛 𝒏. 𝒕 = 𝒌 𝒎. 𝒙 + 𝒏. 𝒛
𝒎. 𝒚 + 𝒏. 𝒕 = 𝒌 𝒗𝒆 𝒎. 𝒙 − 𝒏. 𝒛 𝒎. 𝒚 − 𝒏. 𝒕= 𝒌
𝒙𝒚
=
𝒛𝒕
= k =>
𝒙𝒚
.
𝒛𝒕
= k
2m. x2+ n. z2
m. y2+ n. t2 = k2 ve m. x2− n. z2
m. y2− n. t2 = k2 dir.
www.betulhoca.com 3 Orantı Çeşitleri
1)Doğru Orantı : x ve y çokluklarından x artarken y de aynı oranda artıyorsa veya x aynı oranda azalırken y de aynı oranda azalıyorsa x ile y ye doğru orantılıdır denir.
x ile y doğru orantılı ise 𝒙𝒚= 𝑘 veya x=y.k dir. (k∈R+)
x,z,m sayıları sırasıyla y,t,n sayılarıyla doğru orantılı ise
𝒙 𝒚
=
𝒛𝒕
=
𝒎𝒏
= 𝑘
şeklinde yazılır.Örnek10: x ile y sayıları doğru orantılıdır.
x=6 iken y=4 ise y=24 olduğunda x kaç olur?
Örnek11: 18, 20, 22 yaşlarındaki 3 kardeş 180 tane bilyeyi kendi aralarında yaşları ile doğru orantılı olacak şekilde paylaşırsa , 20 yaşındaki kardeş kaç bilye alır ?
2)Ters Orantı: x ve y çokluklarından x artarken y azalıyorsa veya x azalırken y de aynı oranda artıyorsa x ile y ye ters orantılıdır denir.
x ile y ters orantılı ise (k∈R+)
y =
𝒌𝒙 veyax.y=k
olur.x,z,m sayıları sırasıyla y,t,n sayılarıyla ters orantılı ise
x.y=z.t=m.n
dir.Veya
𝒙 𝟏 𝒚
= 𝒛 𝟏 𝒕
= 𝒎 𝟏 𝒏
= 𝑘
şeklinde yazılır.Örnek12: 2a+1 sayısı 𝑏
3sayısı ile ters orantılıdır. a=2 iken b=6 oluyorsa a=4 olduğunda b kaç olur?
Örnek13: 111 kg ceviz 4,5,6 yaşındaki 3 kardeşe yaşları ile ters orantılı olarak paylaştırılıyor. Her birine kaç kg ceviz düşer ?
www.betulhoca.com 4 Örnek14: ak = bm = cn = 4 ve
1 k
+
1m
+
1n
= 12
olduğuna göre a + b + c = ?Örnek15: Birbirini çevreleyen iki çarkın birinde 39 diş varken diğerinde 24 diş vardır. Küçük çark 4 tur attığında büyük çark kaç tur atar ?
Örnek16:
Grafikte ters orantılı iki çokluk verilmiştir.
a=?
3)Bileşik Orantı: İki veya daha çok oran bulunduran orantılardır. x sayısı y sayısı ile doğru , z ile ters orantılı ise:
olarak gösterilir.
Örnek17: a-1 sayısı b+1 sayısı ile ters, 𝑐3 sayısı ile doğru orantılıdır. a=9 , b=3 iken c=2 oluyorsa a=5 , c=3√2 olduğunda b kaç olur ?
Örnek18: x ile y doğru orantılı , x ile z ters orantılıdır. x sayısı 2 kat artırılıp y sayısı üçte ikisi kadar azaltılırsa orantı sabitinin değişmemesi için z nasıl değiştirilmelidir ?
Örnek19: Eşit kapasiteli 4 usta 8 günde 48 çift ayakkabı yapıyorsa aynı nitelikteki 12 usta 90 çift ayakkabıyı kaç günde yapar ?
𝒙. 𝒛
𝒚 = 𝑘
www.betulhoca.com 5 Örnek20: 360 tane zeytin, yaşları 2,3,7
olan 3 çocuğa yaşları ile doğru orantılı olacak şekilde paylaştırılıyor. Ortanca çocuk kaç tane zeytin alır ?
Örnek21: x,y,z sayıları 2 ve 5 ile doğru i 4 ile ters orantılıdır. x + y - 3z = 100 ise y kaçtır ?
Örnek22: K, L , M maddelerinden oluşan bir karışımın toplam ağırlığı 30 kg’dır. Bu karışımda K,L,M maddelerinde 3 ve 4 ile doğru, 2 ile ters olacak şekilde
bulunmaktadır. Karışımda kaç kg L maddesi vardır.
Örnek23: 60 TL, 1
3,1
4 ve 2 ile ters orantılı olacak şekilde bölünecektir. En çok para ne kadar olur ?
Örnek24: 30 kişiye 20 gün yetecek kadar yiyeceğin bulunduğu bir gemide 12.
Günden sonra 6 tane denizci gemiden ayrılıyor. Kalan denizcilerin tükettiği ortalama yemek miktarı 1/3’üne
düştüğüne göre kalan yiyecek geride kalan denizcilere kaç gün yeter ?
Örnek25: Dişlilerin tur sayısının yarıçapları ile ters orantılı olduğu bilindiğine göre 3r , 5r yarıçaplarındaki iki dişliden küçük olan 30 tur attığında büyük olan kaç tur atar ?
www.betulhoca.com 6 Örnek26: 5 kişi bir işi 30 günde
bitirecektir. İki kişi işe başlayıp 20 gün çalıştıktan sonra 18 kişi daha yardıma geliyorsa kalan iş kaç günde biter ?
Örnek27: 2x tane çalışan günde y saat çalışarak 4 tane işi 3z günde bitiriyor. 3x tane çalışan günde 2y saat çalışarak 16 parça içi kaç z günde bitirir ?
Örnek28: 3 ustanın 5 günde bitirdiği bir işi 4 çırak 10 günde bitirmektedir. 6 usta işe başlayıp 1 gün çalışıyorlar ve işin geri kalanını 4 tane çırağa bırakıyorlarsa bu işin tamamlanması toplam kaç gün sürer ?
Örnek29: 𝒙
𝟐
=
𝒚𝟑
=
𝒛𝟓
=>
𝟑𝒙+𝒛𝟐𝒚−𝒙
=?
Örnek30: 𝒌
𝒍
=
𝒍𝒎
=
𝒎𝒏
=
𝟏𝟑
=>
𝒏𝒌
=?
Örnek31: x,y ∈ R olmak üzere (x+3y) nin (x-y)’ye oranı 2,5 ‘ tir. Buna göre (x+y)’nin (3x-y)’ye oranı nedir ?
Örnek32: x ile 3 ; y ile 5 ; z ile 2 ters orantılıdır. x + z = 450 => y + z = ?
Örnek33: k ile 0,4 ; m ile 1,5 doğru orantılıdır. k + m = 57 => 5k - m =?