Oran Orantı. = 2 olduğuna göre x=? = y veya 3x = 2y olduğunda

www.betulhoca.com 1

Oran Orantı

 Aynı birimdeki iki çokluğun birbirine bölünmesine oran denir.

x,y≠0 olmak üzere x in y ye oranı x:y veya ^𝑥

𝑦 olarak gösterilir. Oranın birimi yoktur. Kesirlerdeki gibi oranın da payı ve paydası sadeleştirilip genişletilebilir.

Örnek1: Su 140 , annesi 280 cm’dir.

Su’nun boyunun annesinin boyuna oranı kaçtır ?

Örnek2: Bir otobüste 24 erkek 28 kadın vardır. Durakta 6 kadın , 8 erkek otobüsten inmiş ve 4 evli çift binmiştir. Son durumda otobüsteki erkek sayısının kadın sayısına oranı nedir ?

 İki veya daha fazla oranın eşitliğine orantı denir

.

𝑦

= 𝑘

𝑡

= 𝑘

şeklinde gösterilir. Bu orantı x:z = y:t şeklinde de gösterilir.

Buradaki x ve t dışlar , z ve y içler olarak adlandırılır.

𝑥 𝑦

=

𝑡

=

𝑏

= 𝑘 => 𝑥: 𝑧: 𝑎 = 𝑦: 𝑡: 𝑏

 ^𝒙

𝟐

=

𝟑 veya 3x = 2y olduğunda x = 2k ve y = 3k dır.

Örnek3:

a b

=

3

ve

b−a

= 2

Örnek4: a:b:c = 5:3:2 ve a –b +c=16 => a=?

Örnek5: ^𝒙−𝟐

𝟑

=

𝟐 ve 3x – y = 21 => x=?

 Orantıda içler çarpımı dışlar çarpımına eşittir.

𝑥 𝑦

=

𝑡

= 𝑘

x y= z

t => x. t = z. y

www.betulhoca.com 2 Örnek6: ^𝒙+𝒚

𝒙−𝒚

=

𝟑 => ^𝒙_𝒚

=?

 Bir orantıda içler de dışlar da kendi aralarında yer değiştirebilir. Bu durumda orantının eşitliği değişmez.

x y

=

t

=>

𝑧

=

t

𝑣𝑒𝑦𝑎

𝑦

=

𝑥

 Paylar ve paydalar kendi aralarında toplanıp çıkarılırsa orantı sabiti değişmez.

x y

=

t

= 𝑘 =>

𝑦+𝑡

=

𝑦−𝑡

= 𝑘

Örnek7: ^{𝟐𝒙+𝒚}

𝒚−𝒛

=

𝒙−𝒛

=

𝟑𝒛

=>

𝒛

oranı nedir ?

 m,n≠0 olmak üzere

olur.

Örnek8: ^𝒙

𝒚

=

𝑡

=

𝑚

=

3 olmak üzere 2x – z + 3k = 14 ve t - 3m = 24 ise y = ?

 x,y ve z nin dördüncü orantılısı k ise ^𝑥

𝑦 = ^𝑧

𝑘 olur. Burada birinci orantılı x , ikinci orantılı y , üçüncü orantılı ise z dir.

Örnek9: 4,10 ve 12 sayısı ile dördüncü orantılı olan sayı nedir ?

𝒙 𝒚= 𝒛

𝒕= 𝒌 => 𝒎. 𝒙

𝒎. 𝒚= 𝒏. 𝒛 𝒏. 𝒕 = 𝒌 𝒎. 𝒙 + 𝒏. 𝒛

𝒎. 𝒚 + 𝒏. 𝒕 = 𝒌 𝒗𝒆 𝒎. 𝒙 − 𝒏. 𝒛 𝒎. 𝒚 − 𝒏. 𝒕= 𝒌

^𝒙_𝒚

=

𝒕

= k =>

𝒚

.

𝒕

= k

m. x²+ n. z²

m. y²+ n. t² = k² ve m. x²− n. z²

m. y²− n. t² = k² dir.

www.betulhoca.com 3 Orantı Çeşitleri

1)Doğru Orantı : x ve y çokluklarından x artarken y de aynı oranda artıyorsa veya x aynı oranda azalırken y de aynı oranda azalıyorsa x ile y ye doğru orantılıdır denir.

x ile y doğru orantılı ise ^𝒙_𝒚= 𝑘 veya x=y.k dir. (k∈R⁺)

x,z,m sayıları sırasıyla y,t,n sayılarıyla doğru orantılı ise

𝒙 𝒚

=

𝒕

=

𝒏

= 𝑘

Örnek10: x ile y sayıları doğru orantılıdır.

x=6 iken y=4 ise y=24 olduğunda x kaç olur?

Örnek11: 18, 20, 22 yaşlarındaki 3 kardeş 180 tane bilyeyi kendi aralarında yaşları ile doğru orantılı olacak şekilde paylaşırsa , 20 yaşındaki kardeş kaç bilye alır ?

2)Ters Orantı: x ve y çokluklarından x artarken y azalıyorsa veya x azalırken y de aynı oranda artıyorsa x ile y ye ters orantılıdır denir.

x ile y ters orantılı ise (k∈R⁺)

y =

x.y=k

x,z,m sayıları sırasıyla y,t,n sayılarıyla ters orantılı ise

x.y=z.t=m.n

Veya

𝒙 𝟏 𝒚

= 𝒛 𝟏 𝒕

= 𝒎 𝟏 𝒏

= 𝑘

Örnek12: 2a+1 sayısı ^𝑏

3sayısı ile ters orantılıdır. a=2 iken b=6 oluyorsa a=4 olduğunda b kaç olur?

Örnek13: 111 kg ceviz 4,5,6 yaşındaki 3 kardeşe yaşları ile ters orantılı olarak paylaştırılıyor. Her birine kaç kg ceviz düşer ?

www.betulhoca.com 4 Örnek14: ak = bm = cn = 4 ve

1 k

+

m

+

n

= 12

Örnek15: Birbirini çevreleyen iki çarkın birinde 39 diş varken diğerinde 24 diş vardır. Küçük çark 4 tur attığında büyük çark kaç tur atar ?

Örnek16:

Grafikte ters orantılı iki çokluk verilmiştir.

a=?

3)Bileşik Orantı: İki veya daha çok oran bulunduran orantılardır. x sayısı y sayısı ile doğru , z ile ters orantılı ise:

olarak gösterilir.

Örnek17: a-1 sayısı b+1 sayısı ile ters, 𝑐³ sayısı ile doğru orantılıdır. a=9 , b=3 iken c=2 oluyorsa a=5 , c=³√2 olduğunda b kaç olur ?

Örnek18: x ile y doğru orantılı , x ile z ters orantılıdır. x sayısı 2 kat artırılıp y sayısı üçte ikisi kadar azaltılırsa orantı sabitinin değişmemesi için z nasıl değiştirilmelidir ?

Örnek19: Eşit kapasiteli 4 usta 8 günde 48 çift ayakkabı yapıyorsa aynı nitelikteki 12 usta 90 çift ayakkabıyı kaç günde yapar ?

𝒙. 𝒛

𝒚 = 𝑘

www.betulhoca.com 5 Örnek20: 360 tane zeytin, yaşları 2,3,7

olan 3 çocuğa yaşları ile doğru orantılı olacak şekilde paylaştırılıyor. Ortanca çocuk kaç tane zeytin alır ?

Örnek21: x,y,z sayıları 2 ve 5 ile doğru i 4 ile ters orantılıdır. x + y - 3z = 100 ise y kaçtır ?

Örnek22: K, L , M maddelerinden oluşan bir karışımın toplam ağırlığı 30 kg’dır. Bu karışımda K,L,M maddelerinde 3 ve 4 ile doğru, 2 ile ters olacak şekilde

bulunmaktadır. Karışımda kaç kg L maddesi vardır.

Örnek23: 60 TL, ¹

3,¹

4 ve 2 ile ters orantılı olacak şekilde bölünecektir. En çok para ne kadar olur ?

Örnek24: 30 kişiye 20 gün yetecek kadar yiyeceğin bulunduğu bir gemide 12.

Günden sonra 6 tane denizci gemiden ayrılıyor. Kalan denizcilerin tükettiği ortalama yemek miktarı 1/3’üne

düştüğüne göre kalan yiyecek geride kalan denizcilere kaç gün yeter ?

Örnek25: Dişlilerin tur sayısının yarıçapları ile ters orantılı olduğu bilindiğine göre 3r , 5r yarıçaplarındaki iki dişliden küçük olan 30 tur attığında büyük olan kaç tur atar ?

www.betulhoca.com 6 Örnek26: 5 kişi bir işi 30 günde

bitirecektir. İki kişi işe başlayıp 20 gün çalıştıktan sonra 18 kişi daha yardıma geliyorsa kalan iş kaç günde biter ?

Örnek27: 2x tane çalışan günde y saat çalışarak 4 tane işi 3z günde bitiriyor. 3x tane çalışan günde 2y saat çalışarak 16 parça içi kaç z günde bitirir ?

Örnek28: 3 ustanın 5 günde bitirdiği bir işi 4 çırak 10 günde bitirmektedir. 6 usta işe başlayıp 1 gün çalışıyorlar ve işin geri kalanını 4 tane çırağa bırakıyorlarsa bu işin tamamlanması toplam kaç gün sürer ?

Örnek29: ^𝒙

𝟐

=

𝟑

=

𝟓

=>

𝟐𝒚−𝒙

=?

Örnek30: ^𝒌

𝒍

=

𝒎

=

𝒏

=

𝟑

=>

𝒌

=?

Örnek31: x,y ∈ R olmak üzere (x+3y) nin (x-y)’ye oranı 2,5 ‘ tir. Buna göre (x+y)’nin (3x-y)’ye oranı nedir ?

Örnek32: x ile 3 ; y ile 5 ; z ile 2 ters orantılıdır. x + z = 450 => y + z = ?

Örnek33: k ile 0,4 ; m ile 1,5 doğru orantılıdır. k + m = 57 => 5k - m =?