MESLEK YÜKSEKOKULLARI MAT101 MATEMATİK DERS NOTLARI. Hafta 04 Üslü İfadeler. Öğr. Gör. Emel Akyürek

MESLEK YÜKSEKOKULLARI

MAT101 MATEMATİK DERS NOTLARI

Öğr. Gör. Emel Akyürek

2020

Hafta 04

Üslü İfadeler

i

Öğrenme Çıktıları

➢ Üslü sayı tanımını ve özelliklerini bilir.

➢ Üslü sayılarda çarpma ve bölme işlemlerini yapabilir.

➢ Üslü sayılarda toplama ve çıkarma işlemlerini yapabilir.

➢ Üslü denklemleri çözebilir.

Üslü Sayılar

ii

İçindekiler Tablosu

Üslü İfade Tanımı ve Özellikleri ...1

Üslü Sayılarda Çarpma Ve Bölme İşlemi ... 12

Üslü Sayılarda Çarpma İşlemi ... 12

Üslü Sayılarda Bölme İşlemi... 14

Üslü Sayılarda Toplama Ve Çıkarma İşlemi ... 16

Üslü Denklemler ... 18

Örnek Sorular ... 22

Üslü Sayılar

1

Üslü Sayılar

Üslü İfade Tanımı ve Özellikleri

Tanım: n bir pozitif tam sayı olmak üzere;

a.a.a. ….. .a.a = aⁿ biçiminde gösterilir.

n tane Burada aⁿ

n sayısı üs veya kuvvet, a ise taban diye adlandırılır.

Örneğin;

2³ ‘ün eşiti 2³=2.2. 2=8 3 tane 3⁴ = 3.3.3.3 = 81 olur.

O halde tabanın üzerindeki sayı yani üs kaç ise taban o kadar yan yana yazılarak çarpılır.

Örnek 1:

a.a.a. ……… .a çarpımı aşağıdakilerden hangisine eşit olur?

x tane

a) X.aᵡ b) a.Xᵃ c) aᵡ d) Xᵃ e) a.X

Üs (kuvvet) Taban

Üslü Sayılar

2 Çözüm 1:

Soruda X tane a sayısı yan yana çarpılmış yani üs tane taban yan yana çarpılmış.

Bunun için a.a.a. ……… .a ifadesi aᵡ ile gösterilir.

X tane Cevap c seçeneği olur.

Örnek 2:

Aşağıdakilerden hangisi 32 sayısına eşit değildir?

a) 2⁵ b) 4.2³ c) 32¹ d) 1³² e) 2. 4²

Çözüm 2:

a seçeneği: 2⁵= 2.2.2.2.2 = 32 b seçeneği: 4.2³= 4.2.2.2 = 32 c seçeneği: 32¹ = 32

d seçeneği: 1³² = 1.1.1. …….. .1 = 1 32 tane

e seçeneği: 2. 4² = 2.4.4 =32

d seçeneğinde 1³² sayısının 32 eşit olmadığını görüyoruz.

Cevap d seçeneği olur.

Örnek 3:

4² + 2⁴ toplamı aşağıdakilerden hangisine eşit olur?

a) 12 b) 32 c) 16 d) 20 e) 8

Üslü Sayılar

3 Çözüm 3:

4²= 4.4 = 16 2⁴ = 2.2.2.2 = 16 16 +16 = 32 bulunur.

Cevap b seçeneği olur.

Özellik: Her sayının 1. kuvveti kendisidir.

𝑎¹ = 𝑎, 𝑏¹ = 𝑏, 𝑥¹ = 𝑥, 5¹ = 5, 0¹ = 0 2003¹ = 2003, − 4¹ = −4, 9999¹ = 9999

Örnek 4:

7¹ + 6¹+ 0¹ - 1¹ işleminin sonucunu bulunuz.

Çözüm 4:

Yukarıdaki özellikte belirttiğimiz gibi her sayının 1. (birinci) kuvveti kendisine eşittir.

7¹ = 7

6¹ = 6 7 + 6 + 0 – 1 = 12 olur.

0¹ = 0 1¹ = 1

Örnek 5:

(⁵₃)¹− (¹₂)¹işleminin sonucunu bulunuz.

Üslü Sayılar

4 Çözüm 5:

5 3

−

2

=

−

6

=

6 bulunur.

(2) (3)

Özellik: Sıfır hariç her sayının sıfırıncı kuvveti “ 1 “ dir.

𝑎 ∈ 𝑅 − {0} iken a⁰ = 1 dir.

0⁰ = Belirsizdir.

Örneğin:

7⁰= 1, a⁰ = 1, 2022⁰ = 1, (-1000) ⁰ = 1 66⁰ = 1, y⁰ = 1, 1000⁰ = 1, (-1) ⁰ = 1

Örnek 6:

775⁰ + 1⁰ - 1000⁰ işleminin sonucunu bulunuz.

Çözüm 6:

Yukarıdaki özellikte belirtildiği gibi her sayının sıfırıncı kuvveti 1 olduğu için ;

775⁰ = 1

1⁰ = 1 1+1-1 = 1 olur.

1000⁰ = 1

Örnek 7:

87^𝑛−9 = 1 eşitliğinde n değerini bulunuz.

Üslü Sayılar

5 Çözüm 7:

Her sayının sıfırıncı kuvveti 1 olduğu için 87⁰ = 1 olur yani ( n-9 ) = 0 dır.

n-9 = 0 ise buradan n= 9 olarak bulunur.

Özellik: 1 sayısının bütün kuvvetleri “ 1 “dir.

1ⁿ = 1

Örneğin; 1⁰= 1, 1¹⁰⁰ = 1, 1⁻² = 1

Örnek 8:

1¹³ + 1⁻⁴ + 1⁹ toplamının sonucunu bulunuz.

Çözüm 8:

1 sayısının bütün kuvvetleri 1 olduğundan, 1¹³ = 1

1⁻⁴= 1 1 + 1 + 1 = 3 bulunur.

1⁹ = 1

Özellik: Sıfır sayısının sıfır dışındaki tüm kuvvetleri “ 0 “ dır.

𝑛 ∈ 𝑅 − {0} ise 0ⁿ = 0 ve 0⁰= Belirsizdir.

Örneğin;

0³= 0, 0²⁵= 0 ………… gibi.

Üslü Sayılar

6 Örnek 9:

(3X – 12)³⁰ = 0 ise X kaçtır?

Çözüm 9:

Yukarıdaki özellikte belirtildiği gibi üslü bir ifadenin sonucunun 0 olması için sayı tabanının sıfır olması gerekir.

(3X – 12)³⁰ = 0 3X – 12 = 0 yani 3X = 12 ^3𝑥

3

=

Özellik: a sayısı sıfır dışında bir reel sayı olsun. Bir a reel sayısının negatif üssü mevcut ise bu üssü pozitif hale dönüştürmek için ifademizin (a reel sayısının ) çarpmaya göre tersi alınır.

𝑎

=

(

)

= (

)

(

)

= (

)

Örnek 10:

X= 2⎻¹ Y= 5⎻¹ ve Z= 3⎻¹ sayılarını küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Çözüm 10:

X= 2⎻¹ = (¹

2)¹ = ¹

2

Y= 5⎻¹ = (¹

5)¹ = ¹

5

Z= 3⎻¹ = (¹₃)¹ = ¹₃

Payları eşit olan sayılar sıralanırken (pozitif sayılar için) paydası büyük olan sayı küçüktür. Bu durumda sorumuzun cevabı, Y ˂ Z ˂ X olur.

Üslü Sayılar

7 Örnek 12:

(⁹

3)⁻¹ + (²

5)⁻¹ işleminin sonucunu bulunuz.

Çözüm 12:

(

)

Dolayısıyla;

3 9+5

2= 6 + 45

18 = 51

18 =17 6

(2) (9)

olur.

Özellik: a bir reel sayı olsun.

((𝑎^𝑥)^𝑦)^𝑧 = 𝑎^{𝑥⋅𝑦⋅𝑧}

olur. Bir reel sayıda üssün üssü alınınca üst üste kaç tane kuvvet varsa hepsi birbiri ile çarpılır.

Örneğin;

(3³)⁵ = 3^3⋅5 = 3¹⁵

((7²)⁵)⁴ = 7^2⋅5⋅4 = 7⁴⁰ olur.

Üslü Sayılar

8 Örnek 13:

(5²)⁵ işleminin sonucunu bulunuz.

Çözüm 13:

Üssün üssü alınırken taban yazılıp, ne kadar üs varsa birbirleriyle çarpılıp sonucu tabanın üzerine üs olarak yazıldığına göre;

(5²)⁵ = 5²˙⁵ = 5¹⁰ olur.

Örnek 14:

((3³)⁵)⁴ = 3ᵃ ise a kaçtır?

Çözüm 14:

((3³)⁵)⁴ = 3³˙⁵˙⁴ = 3⁶⁰ = 3ᵃ a = 3⁶⁰ bulunur.

Tabanlar eşit ise üsler de eşittir.

Örnek 15:

(8²)² = 2ⁿ ise n sayısı kaçtır?

Çözüm 15:

8 = 2³ dir. Dolayısıyla

(8²)² = ((2³)²)² = 2³˙²˙² = 2¹² = 2ⁿ n= 12 olur.

Üslü Sayılar

9

Özellik: a pozitif ve a > 1 olmak üzere; a sayısının kuvvet arttıkça değeri büyür.

Örneğin; a > b > c ise, Xᵃ > Xᵇ > Xᶜ olur.

5³ > 5² > 5¹ ve 100⁵ > 100⁴ > 100³ vb.

Örnek 16:

X = 8⁴, Y = 16² ve Z= 32² olduğuna göre X ,Y, Z sayılarını büyükten küçüğe doğru sıralayınız.

Çözüm 16:

X = 8⁴ = (2³)⁴= 2¹² Y= 16² = (2⁴)² = 2⁸ Z = 32² = (2⁵)²= 2¹⁰ 8 = 2³

16= 2⁴ 32 = 2⁵

Yukarıda bahsedilen özelliğe göre bu durum da cevabımız X > Z > Y olur.

Üslü Sayılar

10

Özellik: a sayısı 0 dan büyük ve 1 den küçük bir reel sayı olsun. (0 ˂ a ˂ 1) a sayısının kuvveti arttıkça sayının değeri azalır.

Örneğin;

(1 5)

0

= 1 (1

5)

1

=1 5 (1

5)

2

= 1 25

Bu örnekte üs arttıkça sayının değerinin azaldığını görüyoruz.

Örnek 17:

(0,2)ᵃ > (0,2)ᵇ > (0,2)ᶜ ise a,b,c‘ nin sıralamasını yapınız.

Çözüm 17:

Yukarıda bahsettiğimiz özelliğe göre ( 0 ˂ a ˂ 1) aralığındaki sayıların üssü arttıkça sayının değeri azalır, bu durumda en küçük sayısın üssü en büyüktür.

(0,2)ᵃ > (0,2)ᵇ > (0,2)ᶜ c > b > a olur.

Örnek 18:

X > Y > Z oluğuna göre 𝑎 = (1

5)

𝑥

𝑏 = (1 5)

𝑦

𝑐 = (1 5)

𝑧

Olduğuna göre a, b, c’ yi sıralayınız.

Üslü Sayılar

11 Çözüm 18:

X > Y > Z olarak verildiğine göre X=2, Y =1 ve Z= 0 olarak alalım. Bu durumda;

𝑎 = (1 5)

2

𝑏 = (1 5)

1

𝑐 = (1 5)

0

Olur, yani 1

25 < 1 5< 1 c > b > a olur.

Özellik: Pozitif bir sayının tüm kuvvetleri yine pozitif bir sayıdır. Negatif sayıların tek kuvvetleri sayının işaretini değiştirmez, ancak çift kuvvetleri sayının sonucunu pozitif yapar. Kuvvetin işareti önemli değil, kuvvetin tek yada çift sayı olması önemlidir.

Örneğin;

(-3)² = +3² = 9 (-3)³= -3³ = -27 (-3)⁴= +3⁴= 81 (-3)⎻²= +3⎻² = ¹₉ Örnek 19:

(-2) ⎻² + (-2) ³ işleminin sonucunu bulunuz.

Çözüm 19:

(-2) ⎻² = 2⎻² = ¹ 4

(-2) ³ = -2³ = - 8 olduğuna göre (-2) ⎻² + (-2) ³

1

4− 8 =1 − 32

4 = −31 4

Üslü Sayılar

12 Örnek 20:

-4²+ (-4)² + 4⁰ + 4⎺ ¹ işleminin sonucunu bulunuz.

Çözüm 20:

-4²= - 16 (-4)² =16 4⁰ = 1 4⎺ ¹ = ¹₄

-16 + 16 + 1 +

¼

1 +

=

=

Üslü Sayılarda Çarpma ve Bölme İşlemi

Üslü Sayılarda Çarpma

Özellik: a sıfırdan farklı bir reel sayı olmak üzere, çarpım durumundaki iki sayının tabanları eşit ise kuvvetleri toplanır ve ortak tabana üs olarak yazılır.

Xᵃ. Xᵇ = Xᵃ⁺ᵇ

Örneğin;

3⁸. 3³= 3⁸⁺³= 3¹¹

Üslü Sayılar

13 Örnek 21:

5⁴. 5³. 5⁶ çarpımının sonucu kaçtır?

Çözüm 21:

Yukarıda belirtildiği gibi çarpım durumundaki sayıların tabanı eşit ise üsler toplanır.

5⁴. 5³. 5⁶ = 5⁴⁺³⁺⁶ = 5¹³

Örnek 22:

3⁴. 3⁶. 3⁸. 3³= 3ᵇ ise b değeri kaçtır?

Çözüm 22:

Sayıların tabanı aynı olduğundan üsler toplanır.

3⁴. 3⁶. 3⁸. 3³ = 3⁴⁺⁶⁺⁸⁺³= 3²¹ = 3ᵇ tabanlar eşit ise üslerde eşit olduğundan b=21 olur.

Örnek 23:

Xᵃ. Xᵇ = X⁸ ise (a+b) kaçtır?

Çözüm 23:

Xᵃ. Xᵇ =Xᵃ⁺ᵇ = X⁸ tabanlar eşit ise üslerde eşit olduğundan a+b =8 olur.

Üslü Sayılar

14 Üslü Sayılarda Bölme

Özellik: a sıfırdan farklı bir reel sayı olmak üzere, 𝑎^𝑥

𝑎^𝑦 = 𝑎^𝑥−𝑦

Yani bölüm durumunda tabanları aynı olan ifadelerde payda ki sayının üssünden paydada ki sayının üssü çıkarılır.

Örneğin;

2⁴

2² = 2^{⁴⎻ ²} = 2² =2.2.2.2

2.2 = 2. 2 = 4 olur.

Örnek 24:

3²⁰⁰¹

3²⁰⁰⁰

Çözüm 24:

Bölüm durumunda tabanları aynı olan ifadelerde payda ki sayının üssünden paydada ki sayının üssü çıkarıldığından

3²⁰⁰¹

3²⁰⁰⁰

=

Örnek 25:

(2³)⁴⋅(2)⁷

(2²)⁸

Üslü Sayılar

15 Çözüm 25:

(2³)⁴

=

=

Dolayısıyla;

2¹²⋅ 2⁷

2¹⁶ = 2¹⁹

2¹⁶ = 2¹⁹⁻¹⁶ = 2³ = 8 bulunur.

Örnek 26:

𝑎^𝑥 ⋅ 𝑎^𝑦 ⋅ 𝑎^𝑧 𝑎^𝑧 ⋅ 𝑎 = 𝑎⁸

olduğuna göre (x+y) toplamı kaçtır?

Çözüm 26:

𝑎^{𝑥+𝑦+𝑧−𝑧−1} = 𝑎⁸ 𝑥 + 𝑦 − 1 = 8 𝑥 + 𝑦 = 1 + 8

𝑥 + 𝑦 = 9

tabanlar eşit ise üsler de eşit olur.

olur.

Örnek 27:

(−81 16 )

3

: (−27 8 )

4

İşleminin sonucu kaçtır?

Üslü Sayılar

16 Çözüm 27:

81 = 3⁴ (⁻⁸¹₁₆ )³ = (−³₂⁴₄)³ = − (³₂)¹² 16 = 2⁴

27 = 3³ (⁻²⁷₈ )⁴ = (−³₂³₃)⁴ = (³₂)¹² 8 = 2³

⁻⁽

3 2)¹²

(³₂)¹² = −1 olur.

Üslü Sayılarda Toplama ve Çıkarma İşlemi

Özellik: Tabanları ve üsleri aynı olan ifadeler kendi aralarında toplanabilir veya çıkarılabilir.

𝑎^𝑥 + 𝑎^𝑥 + 𝑎^𝑥+ 𝑎^𝑥 = 4 ⋅ 𝑎^𝑥 𝑥^𝑎 + 𝑥^𝑎 + 𝑥^𝑎 + ⋯ + 𝑥^𝑎 = 𝑛 ⋅ 𝑥^𝑎

n tane

Örneğin;

4𝑥²+ 2𝑥²− 3𝑥² = (4 + 2 − 3)𝑥² = 3𝑥² Yani

𝑥³− 𝑥⁵+ 𝑥² − 𝑥⁷²

İfadesinde üsler aynı olmadığı için tek bir ifade şeklinde yazamayız, toplama ve çıkarma işlemlerini yapamayız.

Üslü Sayılar

17 Örnek 28:

2𝑥²+ 3𝑥²− 𝑥² işleminin sonucu nedir?

Çözüm 28:

Tabanlar (X) ve üsler (2) eşit olduğu için toplama ve çıkarma yapabiliriz.

𝑥² ‘nin katsayıları ile işlem yapalım.

2𝑥²+ 3𝑥²− 𝑥² = (2 + 3 − 1)𝑥² = 4𝑥²

Örnek 29:

4⁴+ 4⁴+ ⋯ + 4⁴ 16 tane

Yukarıdaki işlemin sonucunu bulunuz.

Çözüm 29:

4⁴+ 4⁴+ ⋯ + 4⁴ = 16.4⁴ = 4²⋅ 4⁴ = 4²⁺⁴ = 4⁶ 16 tane

Örnek 30:

3.4¹⁰+ 2.2²⁰ + 5.16⁵

İşleminin sonucunu bulunuz.

Çözüm 30:

3.4¹⁰ = 3. (2²)¹⁰ = 3.2²⁰ 3.16⁵ = 5. (2⁴)⁵ = 5. 2²⁰ 2.2²⁰ = 2.2²⁰

3.4¹⁰+ 2.2²⁰ + 5.16⁵ = 3.2²⁰ + 2.2²⁰ + 5.2²⁰ = (3 + 2 + 5) = 10. 2²⁰

Üslü Sayılar

18 Örnek 31:

3^𝑥+1 + 3^𝑥+3 3^𝑥⎻¹

İşleminin sonucu kaçtır?

Çözüm 31:

3^𝑥+1 = 3. 3^𝑥 = 3. 3^𝑥 3^𝑥+3 = 3³. 3^𝑥 = 27. 3^𝑥 3^𝑥⎻¹= 3⎻¹. 3^𝑥 =¹₃⋅ 3^𝑥 3^𝑥+1 + 3^𝑥+3

3^𝑥⎻¹ =3.3^𝑥+ 27.3^𝑥 13 ⋅ 3^𝑥

= (3 + 27) ⋅ 3^𝑥 13 ⋅ 3^𝑥

= (30 13

) = 90

Üslü Denklemler

Özellik: Üslü denklemlerde tabanlar eşitse kuvvetler eşitlenir.

𝑎^𝑥 = 𝑎^𝑦 ise x=y olur.

Üslü denklemlerde kuvvetler eşit ve tek tamsayılarsa tabanlar eşittir, fakat kuvvetler eşit ve çift tamsayı ise tabanlar birbirine mutlak değerce eşittir.

𝑥^2𝑛−1 = 𝑦^2𝑛−1 ise x=y dir.

𝑥^2𝑛 = 𝑦^2𝑛 𝑖𝑠𝑒 |𝑥| = |𝑦| 𝑑𝑖𝑟.

Üslü Sayılar

19 Örnek 32:

2^𝑥+2 ⋅ 4^𝑥+3⋅ 8^𝑥+1 = 16^𝑥+5 𝑖𝑠𝑒 𝑥 𝑛𝑒𝑑𝑖𝑟?

Çözüm 32:

2^𝑥+2 = 2^𝑥+2

4^𝑥+3 = (2²)^𝑥+3 = 2²ˣ⁺⁶ 8^𝑥+1 = (2³)^𝑥+1 = 2^3𝑥+3 16^𝑥+5 = (2⁴)^𝑥+5 = 2^4𝑥⁺²⁰ 2^𝑥+2. 2²ˣ⁺⁶. 2^3𝑥+3= 2^4𝑥⁺²⁰ Tabanlar eşitse üsler eşittir.

𝑥 + 2 + 2𝑥 + 6 + 3𝑥 + 3 = 4𝑥 + 20 6𝑥 + 11 = 4𝑥 + 20

2𝑥 = 9 𝑥 = 4,5 Örnek 33:

2^𝑥+4 = 256 ise x’i bulunuz.

Çözüm 33:

2^𝑥+4 = 256 256=2⁸ 2^𝑥+4 = 2⁸ 𝑥 + 4 = 8

𝑥 = 4

Üslü Sayılar

20 Örnek 34:

(𝑥 + 4)⁵ = (2𝑥 − 3)⁵ ise x kaçtır?

Çözüm 34:

Üslü denklemlerde kuvvetler eşit ve tek tamsayılarsa tabanlar eşittir.

(𝑥 + 4)⁵ = (2𝑥 − 3)⁵ (𝑥 + 4) = (2𝑥 − 3) 2𝑥 − 𝑥 = 4 + 3 𝑥 = 7 olur.

Örnek 35:

(𝑥 + 3)⁴ = (2𝑥 − 7)⁴

İse 𝑥 alabileceği değerlerin çarpımını bulunuz.

Çözüm 35:

(𝑥 + 3)⁴ = (2𝑥 − 7)⁴

Kuvvetler eşit fakat çift sayı olduğundan tabanlar mutlak değerce eşittir.

|𝑥 + 3| = |2𝑥 − 7|

𝑥 + 3 = 2𝑥 − 7 veya 𝑥 + 3 = −2𝑥 + 7

𝑥 = 10 3𝑥 = 4

𝑥 = 4 3 𝑥 ‘in alabileceği değerlerin çarpımı 10 ⋅4

3= 40 3 olur.

Üslü Sayılar

21 Uyarı:

x^y= 1 denkleminin sağlanması için yani üslü bir denklemin sonucunun 1 olması için 3 ayrı durum söz konusudur.

1. Durum: x=1 olmalı. Taban 1 ise 1 sayısının bütün kuvvetleri 1 olduğundan üssün ne olduğu önemli değil, sadece tabanı 1’e eşitliyoruz.

2. Durum: x= -1 ve y= çift ise taban (-1) iken (-1) sayısının çift kuvvetleri 1 olacağından denklem sağlanır.

3. Durum: y=0 iken x ≠0 olmalı. Sıfır hariç her sayının 0. kuvveti 1’dir.

Örnek 36:

(𝑥 − 2)^2𝑥 = 1 denklemini sağlayan 𝑥 değerlerinin toplamı kaçtır?

Çözüm 36:

Bu denklemi yukarıdaki uyarıya göre adım adım çözelim.

1. Durum: Taban 1 olmalı 𝑥 − 2 = 1 ise 𝑥 = 3 olur.

2. Durum: Taban -1 iken üs çift olmalı.

𝑥 − 2 = −1 ise 𝑥 = 1, 𝑥 yerine bir yazarsak 2.1=2 üs çift olur.

3. Durum: Üs sıfır iken taban sıfırdan farklı olmalı. Taban ≠ 0 2 𝑥 = 0 ise 𝑥 = 0 olur taban 0-2= -2 ≠ 0 olur.

𝑥’in alabileceği değerler 3,1 ve 0 olur 3+1+0 = 4 olur.

Üslü Sayılar

22

Örnek Sorular

Örnek:

(0,005.10³⁵) + (0, 8.10³³)

10³² 𝑖ş𝑙𝑒𝑚𝑖𝑛𝑖𝑛 𝑠𝑜𝑛𝑢𝑐𝑢 𝑘𝑎ç𝑡𝚤𝑟?

(2003 ÖSS)

Çözüm:

0,005.10³⁵ = 5. 10³² 0, 8.10³³ = 8. 10³² 5.10³²+ 8.10³²

10³² =13.10³²

10³² = 13

Örnek:

3.2^𝑥+2 + 4.2^𝑥 = 8 𝑜𝑙𝑑𝑢ğ𝑢𝑛𝑎 𝑔ö𝑟𝑒 𝑥 𝑘𝑎ç𝑡𝚤𝑟?

(1999 ÖSS)

Çözüm:

3.2^𝑥+2 + 4.2^𝑥 = 8 3.2^𝑥. 2²+ 4.2^𝑥 = 8 2^𝑥 . (3.4 + 4) = 8 2^𝑥. 16 = 8

2^𝑥 = 1 2 2^𝑥 = 2⎺¹ 𝑥 = -1 olur.

Üslü Sayılar

23 Örnek:

n ve a sıfırdan farklı birer gerçel sayı ve 12^𝑛⋅ 𝑛 = (2𝑎 ⋅ 𝑛^𝑛1)^𝑛

olduğuna göre, a kaçtır?

(1992 ÖSS)

Çözüm:

12^𝑛⋅ 𝑛 = (2𝑎 ⋅ 𝑛^𝑛1)^𝑛 12^𝑛⋅ 𝑛 = (2𝑎)^𝑛⋅ (𝑛^1𝑛)^𝑛 12^𝑛⋅ 𝑛 = (2𝑎)^𝑛. 𝑛^1𝑛⋅𝑛 12^𝑛⋅ 𝑛 = (2𝑎)^𝑛. 𝑛 12 = 2𝑎

𝑎 = 6

Örnek:

2¹²+ 2¹³

2¹⁴− 2¹⁵ 𝑖ş𝑙𝑒𝑚𝑖𝑛𝑖𝑛 𝑠𝑜𝑛𝑢𝑐𝑢 𝑘𝑎ç𝑡𝚤𝑟?

(2005 ÖSS)

Çözüm:

2¹²+ 2¹³

2¹⁴− 2¹⁵ = 2¹²(1 + 2)

2¹² ⋅ (2²− 2³)= 3

4 − 8 = −3 4

Üslü Sayılar

24 Örnek:

3^𝑛+1+3^𝑛

2.3^𝑛−2 +^2𝑛₂⁻²_𝑛−2^𝑛−1 𝑖ş𝑙𝑒𝑚𝑖𝑛𝑖𝑛 𝑠𝑜𝑛𝑢𝑐𝑢 𝑘𝑎ç𝑡𝚤𝑟?

(1997 ÖSS)

Çözüm:

3^𝑛+1+ 3^𝑛

2.3^𝑛−2 +2^𝑛− 2^𝑛−1

2^𝑛−2 = 3^𝑛−2⋅ (3³+ 3²)

3^𝑛−2. 2 +2^𝑛−2(2²− 2¹) 2^𝑛−2 3^𝑛+1+ 3^𝑛

2.3^𝑛−2 +2^𝑛− 2^𝑛−1

2^𝑛−2 = 27 + 9

2 + 4 − 2 = 36

2 + 2 = 20

Üslü Sayılar

25