ÜSLÜ SAYILAR

ÜSLÜ SAYILAR

Dersin Adı: Matematik Tarih: 16.11.2009

Okulun Adı: Kocatepe Mimar Kemal Anadolu Lisesi Sınıf: 9

Öğrenme Alanı: Cebir Bölüm: Sayılar

Alt Öğrenme Alanı: Üslü Sayılar Ders Süresi: 4 Ders Saati

Kazanımlar:

1. Bir gerçek sayının pozitif tam sayı ve negatif tam sayı kuvvetini açıklar ve üslü sayılara ait özellikleri gösterir

2. Üslü sayıların eşitliğini ifade eder ve üslü sayılarla ilgili uygulamalar yapar.

Ünite Kavramları ve Sembolleri : aⁿ

Öğretme – Öğrenme – Yöntem ve Teknikleri: Buluş Yoluyla Öğrenme, Fikir Taraması, Beyin fırtınası, Soru Cevap

Beceriler: Matematiksel düşünme, akıl yürütme, ilişkilendirme, problem çözme, iletişim kurma.

Kullanılan Eğitim Teknolojileri – Araç, Gereçler ve Kaynakça: Sınıf Tahtası, Slayt, Projektör, Modeller, Bilgisayar, MEB ders kitabı.

Öğretme – Öğrenme Etkinlikleri

 Dikkat çekme

 Güdüleme

 Gözde geçirme

 Derse geçiş

 Bireyde ve grupta öğrenme etkinlikleri

 Özet

‘Satranç Öyküsü’ isimli hikâyenin slaytı izletilir.

Öğrenciler her grupta 2 öğrenci olacak şekilde gruplara ayrılır. Önceden hazırlanılan Etkinlik (1) gruplara dağıtılır ve etkinlikle ilgili kısa bir açıklama yaptıktan sonra etkinlikle uğraşmaları istenir.

Etkinlik sonrası bir genelleme yapıp yapılamadığı konusunda gruplardan görüşleri alınır.

Sınıf içerisinde etkinlik ile bir fikir birliğine varıldığında tanım öğrencilerle paylaşılır.

Tanım: a bir gerçek sayı ve n bir pozitif tam sayı olmak üzere, n tane a nın çarpımı olan aⁿ ye “üslü sayılar” denir. aⁿ ifadesinde a “taban”, n ise “üs (kuvvet)” diye isimlendirilir.

“ a+a+a+…+a⏟

n ” ifadesinin paylaşılan tanıma uygun bir ifade olup olmadığı gruplara sorulur. Alınan cevaplar doğrultusunda matematiksel tanım öğrencilerle paylaşılır.

Tanım: a bir gerçek sayı ve n pozitif bir tam sayı olmak üzere;

“ a ∙ a ∙ a∙ … ∙ a⏟

n

=aⁿ ” ifadesine “üslü sayılar” denir. Burada n=0 ise _a⁰₌₁

a=1 ise 1ⁿ=1 dir.

Slayt(1) izletilir. Ve gruplara bu slayt hakkında ne gibi yorumlar yapabilecekleri sorulur.

Tanım: a bir gerçek sayı olmak üzere n bir pozitif tam sayı ise ; aⁿ=aⁿ ve a⁻ⁿ=1

aⁿ ya da 1 a⁻ⁿ=aⁿ dir.

Etkinlik (1) in 5. kısmı tamamlandıktan sonra gruplardan cevaplar alınarak o etkinlik sonucunda ilgili özellikler öğrencilerle paylaşılır.

Özellik 1: Üslü bir sayının kuvvetini almak için, taban alınıp üs ile kuvvetin çarpımı üs olarak alınmalıdır. Yani,

(a^m)ⁿ=(aⁿ)^m=a^{m ∙ n}

Özellik 2: a ve b birer gerçek sayı ve a ≠ 0 , b ≠0 olmak üzere, a^−m= 1

a^m ve

(

)

(

)

dir.

Özellik 3: Pozitif sayıların bütün kuvvetleri yine pozitiftir. Negatif sayıların ise;

 tek kuvvetleri negatiftir.

 çift kuvvetleri poztiftir.

Özellik 4:Tabanları ve üsleri aynı olan üslü sayılarda toplama veya çıkarma işlemi yapılırken, katsayılar toplanır veya çıkarılır. Elde elilen sonuç üslü sayının önüne katsayı olarak yazılır.

x aⁿ+y aⁿ−z aⁿ=(x + y −z )aⁿ dir.

Özellik 5: Tabanları aynı olan iki üslü sayının çarpımı, ortak taban alınıp üslerin toplamı alınarak bulunur. Yani,

a^m∙ aⁿ=a^{m +n} ve a^m∙ a⁻ⁿ=a^m−n dir.

Özellik 6: Tabanları farklı üsleri aynı olan iki üslü sayının çarpımı, tabanlarının çarpımı yapılıp üs olarak ortak üs alınmalıdır. Yani,

aⁿ∙ bⁿ=(a ∙bⁿ)

Özellik 7: Tabanları aynı olan iki üslü sayının bölümü, ortak taban alınıp payın üssünden paydanın üssü çıkarılarak bulunur. Yani,

a^m

aⁿ=a^m−n , (a ≠ 0) ve a^m

a⁻ⁿ=a^m−(−n)=a^m+n, (a ≠ 0)

Özellik 8: Tabanları farklı üsleri aynı olan iki üslü sayının bölümü, önce tabanları bölünüp sonra da üs olarak ortak üs alınarak yapılmalıdır. Yani,

aⁿ

bⁿ=

(

)

Dersin başında okunan öyküye tekrar bakılır ve işlemlerin yazılıp yazılamayacağı kontrol edilir.

1. kazanımı tamamlayıp 2. kazanıma geçilir. İkişerli şekilde oluşturulan gruplar yeniden düzenlenerek dörderli gruplar oluşturulur. Hazırlanan etkinlik (2) gruplara dağıtılır.

Üslü sayılarda eşitlik durumları öğrencilerle paylaşılır.

a. a bir gerçek sayı ve a ≠−1 , a ≠ 0 , a ≠1 olmak üzere;

_a^m_=aⁿise m=n dir b. a ve b birer gerçek sayı olmak üzere;

aⁿ=bⁿ eşitliğinde ;

 n tek sayı ise , a=b dir.

 n çift sayı ise , a=± b dir.



Not : sıfırıncı kuvvetin dışında hiçbir tam sayı kuvveti birbirine eşit olamayan üslü sayıların eşitlik durumda üsler sıfıra eşitlenir.

c. aⁿ=0 ise ,

 a=0 olmalıdır.

 n>0 olmalıdır.

d. aⁿ=1 ise,

 a=1 olmalıdır. Burada n için bir koşul yoktur. Yani bütün gerçek sayı değerlerini alabilir.

 n=0ise a≠ 0 olmalıdır.

 a=−1 ise n çift tam sayı olmalıdır.

Not : a^x < a^y olsun.

 0<a<1ise x > y dir.

 a >1 ise x<y dir.