MİKRODALGA TEORİSİ ÖRNEK FİNAL

MİKRODALGA TEORİSİ ÖRNEK FİNAL SORULARI

Dikkat: Buradaki soru örneklerinin az değişiği de vize soru örneklerinden paralel saplamalı (7.1 veya 7.2 benzeri) sorulabilir veya sorulmayabilir. Smith abağı gerekirse isteyene görevliler tarafından verilecektir, siz getirmeyiniz.

1.1) Karakteristik empedansı 𝑍₀ = 75 Ω olan bir iletim hattı, 𝑍_𝐿 = (60 + 𝑗90) Ω ’luk bir yükle sonlandırılmıştır.

Yükün hatta uyumlandırılması için kullanılması gereken çeyrek dalga boyu transformatörün karakteristik empedansı 𝑍₀^𝑇𝑟 ne olmalıdır ve yükten hangi uzaklığa yerleştirilmelidir? En yakın çözümü alınız. Şekil çizerek hangi kısmın hangi karakteristik empedanslı olduğunu ve uzunlukların hangi ortamın dalga boyu cinsinden verildiğini şekil üzerinde belirtiniz.

Yardımcı formüller: 𝑍₀^𝑇𝑟 = √𝑍₀𝑍_𝑖𝑛 Γ_𝐿 = ^{𝑍̅𝐿−1}

𝑍̅𝐿+1= 𝜌∠𝜃 𝑠 = ^1+𝜌

1−𝜌

Çözüm: 𝑍̅_𝐿 = (60 + 𝑗90) 75⁄ = 0,8 + 𝑗1,2

Smith abağında bu empedans çemberi çizilir. 𝑙 = 0 hizası 0,1586λ bulunur. Sanal kısım artı olduğu için yatayı kestiği ilk nokta sağ tarafta, yani yükten (0,25 – 0,1586)λ = l = 0,0914λ mesafede normalize giriş empedansı 𝑍̅_𝑖𝑛= 𝑠 = 3,57 bulunur. (Smith çalışmaları sunum dosyasındaki 14. slayt benzeri)

Smith abaksız çözümde Γ_𝐿 = ^{0,8+𝑗1,2−1}

0,8+𝑗1,2+1= 0,5624∠65,8° yani 𝜌 = 0,5624 ve 𝜃 = 65,8° . Sanal kısım artı olduğundan yatayı kesen ilk nokta sağdadır ve bu noktada 𝑍̅_𝑖𝑛 = 𝑠 =^1+𝜌

1−𝜌= ^1+0,5624

1−0,5624= 3,57 bulunur. Yatayı sağda kesme mesafesi ise: 𝑙 = ^𝜃

720°λ =^65,8°

720°λ = 0,0914λ (En yakın mesafe 0 ile 0,25λ arasındadır.)

Yatayı sağda kesen noktada 𝑍_𝑖𝑛 = 𝑠𝑍₀ olduğundan 𝑍₀^𝑇𝑟 = 𝑍₀√𝑠 = 75Ω√3,57 = 141,7 Ω seçilmelidir.

1.2) Karakteristik empedansı 𝑍₀ = 75 Ω olan bir iletim hattı, 𝑍_𝐿 = (45 − 𝑗30) Ω ’luk bir yükle sonlandırılmıştır.

Yükün hatta uyumlandırılması için kullanılması gereken çeyrek dalga boyu transformatörün karakteristik empedansı 𝑍₀^𝑇𝑟 ne olmalıdır ve yükten hangi uzaklığa yerleştirilmelidir? En yakın çözümü alınız. Şekil çizerek hangi kısmın hangi karakteristik empedanslı olduğunu ve uzunlukların hangi ortamın dalga boyu cinsinden verildiğini şekil üzerinde belirtiniz.

Yardımcı formüller: 𝑍₀^𝑇𝑟 = √𝑍0𝑍_𝑖𝑛 Γ_𝐿 = ^{𝑍̅𝐿−1}

𝑍̅𝐿+1= 𝜌∠𝜃 𝑠 = ^1+𝜌

1−𝜌

Çözüm: 𝑍̅_𝐿 = (45 − 𝑗30) 75⁄ = 0,6 − 𝑗0,4

Smith abağında bu empedans çemberi çizilir. 𝑙 = 0 hizası 0,4180λ bulunur. Sanal kısım eksi olduğu için yatayı kestiği ilk nokta sol tarafta, yani yükten (0,5 – 0,4180)λ = l = 0,0820λ mesafede normalize giriş empedansı 𝑍̅_𝑖𝑛 = 1 𝑠⁄ = 0,489 bulunur. (Smith çalışmaları sunum dosyasındaki 15. slayt benzeri)

Smith abaksız çözümde Γ_𝐿 = ^{0,6−𝑗0,4−1}

0,6−𝑗0,4+1= 0,343∠ − 121° yani 𝜌 = 0,343 ve 𝜃 = −121° . Sanal kısım eksi olduğundan yatayı kesen ilk nokta soldadır ve bu noktada 𝑍̅_𝑖𝑛= ¹

𝑠 = ^1−𝜌

1+𝜌=^1−0,343

1+0,343= 0,489 bulunur. Yatayı solda kesme mesafesi ise:

𝑙 = (0,25 + ^𝜃

720°)λ = (0,25 +^−121°

720°)λ = 0,0820λ (En yakın mesafe 0 ile 0,25λ arasındadır.)

Yatayı solda kesen noktada 𝑍_𝑖𝑛= 𝑍₀∙ (1 𝑠⁄ ) olduğundan

𝑍₀^𝑇𝑟 = 𝑍₀√0,489 = 75Ω ∙ √0,489 = 52,5 Ω seçilmelidir.

Dikkat: Doğrudan 1 𝑠⁄ ’i bulduğumuz için ayrıca 1/… işlemi yapmıyoruz.

2.1) Boş ve serbest uzayda (𝜂 = 𝜂₀ = 377Ω) bir çanak anten üzerine düşen düzlemsel elektromanyetik dalga hüzmesinin ilerleme yönüne dik düzlemdeki alanı 0,8m²’dir. Bu dalganın elektrik alan bileşeninin genlik değeri 3,2 mV m⁄ ise çanak anten üzerine düşen gücün ortalama değeri nedir?

Yardımcı formüller: 𝑃⃗ = 𝐸⃗ × 𝐻⃗⃗ (anlık veya genlik) ya da 𝑃⃗ _𝑜𝑟𝑡 =¹

2ℛℯ{𝐸⃗ × 𝐻⃗⃗ ^∗} (ortalama) +𝑧̂ yönünde ilerleyen düzlem dalga için: 𝜂 = ^𝐸𝑥

𝐻𝑦= ^𝐸𝑦

−𝐻𝑥

Çözüm: İlerleme yönü, elektrik alan ve manyetik alan vektörlerinin üçü de birbirine dik olduğu için genlik cinsinden 𝐻 = 𝐸 𝜂⁄ ve ortalama Poynting vektörü büyüklüğü (yüzeye göre ortalama akan güç yoğunluğu):

𝑃_𝑜𝑟𝑡 = 𝐸²

2𝜂 =(3,2 × 10⁻³)²

2 × 377 W m⁄ ² = 1,36 × 10⁻⁸W m⁄ ²

Çanak anten üzerine düşen ortalama güç ise 0,8m²× 1,36 × 10⁻⁸W m⁄ ² = 1,09 × 10⁻⁸W = 10,9 nW bulunur.

Dikkat: Buradaki “P” harfi gücü değil, özel isme atfedilmiş “Poynting vektörünü” sembolize etmektedir, birimi de güç biriminden farklıdır.

2.2) Serbest ve boş uzayda bir çanak anten üzerine düşen düzlemsel elektromanyetik dalga hüzmesinin ilerleme yönüne dik düzlemdeki alanı 2,6m²’dir. Bu dalganın manyetik alan bileşeninin genlik değeri 48 µA m⁄ ise çanak anten üzerine düşen gücün ortalama değeri nedir?

Yardımcı formüller: 𝑃⃗ = 𝐸⃗ × 𝐻⃗⃗ (anlık veya genlik) ya da 𝑃⃗ _𝑜𝑟𝑡 = ¹

2ℛℯ{𝐸⃗ × 𝐻⃗⃗ ^∗} (ortalama)

Serbest uzayda: 𝜂 = √𝜇 𝜀⁄ Boş uzayda: 𝜇 = 𝜇₀ = 4𝜋 × 10⁻⁷H m⁄ , 𝜀 = 𝜀₀ = 8,85 × 10⁻¹²F m⁄ +𝑧̂ yönünde ilerleyen düzlem dalga için: 𝜂 = ^𝐸𝑥

𝐻𝑦= ^𝐸𝑦

−𝐻𝑥 Çözüm: 𝜂 = √(4𝜋 × 10⁻⁷) (8,85 × 10⁄ ⁻¹²) Ω = 377 Ω

Düzlem dalgalarda ilerleme yönü, elektrik alan ve manyetik alan vektörlerinin üçü de birbirine dik olduğu için genlik cinsinden 𝐸 = 𝜂𝐻 ve ortalama Poynting vektörü büyüklüğü (yüzeye göre ortalama akan güç yoğunluğu):

𝑃_𝑜𝑟𝑡 = 1

2𝜂𝐻² = 1

2× 377 × (48 × 10⁻⁶)²W m⁄ ² = 4,34 × 10⁻⁷W m⁄ ²

Çanak anten üzerine düşen ortalama güç ise 2,6m²× 4,34 × 10⁻⁷W m⁄ ² = 1,13 × 10⁻⁶W = 1,13 µW bulunur.

2.3) Serbest ve boş uzayda ilerleyen bir düzlem dalganın manyetik alan vektörü:

𝐻⃗⃗ = [(25 μA m⁄ )𝑥̂ + (36 μA m⁄ )𝑦̂]𝑒^{−𝑗𝑘𝑧𝑧}𝑒^𝑗𝜔𝑡

ile verildiğine göre elektrik alan vektörü ile, anlık ve ortalama Poynting vektörlerini ayrı ayrı bulunuz.

Yardımcı formüller: 2.2 sorusunda verilenler.

Çözüm: 𝜂 = √(4𝜋 × 10⁻⁷) (8,85 × 10⁄ ⁻¹²) Ω = 377 Ω 𝐸_𝑥= 𝜂𝐻_𝑦 ve 𝐸_𝑦 = −𝜂𝐻_𝑥 olduğu için

𝐸⃗ = 377Ω[(36 μA m⁄ )𝑥̂ − (25 μA m⁄ )𝑦̂]𝑒^{−𝑗𝑘𝑧𝑧}𝑒^𝑗𝜔𝑡 𝐸⃗ = [(13,6 mV m⁄ )𝑥̂ − (9,4 mV m⁄ )𝑦̂]𝑒^{−𝑗𝑘𝑧𝑧}𝑒^𝑗𝜔𝑡 𝑥̂ × 𝑥̂ = 𝑦̂ × 𝑦̂ = 0 , 𝑥̂ × 𝑦̂ = 𝑧̂ , 𝑦̂ × 𝑥̂ = −𝑧̂ olduğundan anlık Poynting vektörü,

𝑃⃗ = [(13,6 mV m⁄ )(36 μA m⁄ ) + (9,4 mV m⁄ )(25 μA m⁄ )]𝑧̂ 𝑒^{−𝑗2𝑘𝑧𝑧}𝑒^{𝑗2𝜔𝑡} 𝑃⃗ = (725 nW m⁄ ²)𝑧̂ 𝑒^{−𝑗2𝑘𝑧𝑧}𝑒^{𝑗2𝜔𝑡}

Ortalama Poynting vektörü ise 𝑃⃗ _𝑜𝑟𝑡 =1

2[(13,6 mV m⁄ )(36 μA m⁄ )^∗+ (9,4 mV m⁄ )(25 μA m⁄ )^∗]𝑧̂ 𝑒^{−𝑗𝑘𝑧𝑧}𝑒^𝑗𝜔𝑡𝑒^{+𝑗𝑘𝑧𝑧}𝑒^{−𝑗𝜔𝑡} 𝑃⃗ _𝑜𝑟𝑡 = (362 nW m⁄ ²)𝑧̂

3.1) Şekildeki yatay çizginin altında 𝜀₁ = 𝜀₀ , 𝜇₁ = 𝜇₀ ; üstünde 𝜀₂ = ⁷

3𝜀₀ , 𝜇₂ = 3𝜇₀ olduğuna göre yansıma olmaması için 𝜃 ne olmalıdır?

Yardımcı formüller: √𝜇1𝜀₁sin 𝜃₁ = √𝜇2𝜀₂sin 𝜃₂ Elektrik alan sınıra teğet ise

𝐸₃₀= ^{√𝜀1⁄𝜇1cos 𝜃1−√𝜀2⁄𝜇2cos 𝜃2}

√𝜀₁⁄𝜇₁cos 𝜃₁+√𝜀₂⁄𝜇₂cos 𝜃₂𝐸₁₀ (𝐸₁₀ ve 𝐸₃₀ genlikler) Çözüm: √𝜇0𝜀₀sin 𝜃₁ = √(3𝜇₀)(7𝜀₀⁄ ) sin 𝜃3 ₂ → sin 𝜃₂ = ¹

√7sin 𝜃₁

Yansıma olmaması, 𝐸⃗ ₃ = 0 (ve dolayısıyla 𝐻⃗⃗ ₃ = 0) demektir. Yani 𝐸₃₀ = 0, bunun için de

√𝜀₁⁄𝜇₁cos 𝜃₁ = √𝜀₂⁄𝜇₂cos 𝜃₂ → √𝜀₀⁄𝜇₀cos 𝜃₁ = √(7𝜀₀⁄ ) (3𝜇3 ⁄ ₀)cos 𝜃₂ cos 𝜃₂ = √⁹

7cos 𝜃₁ Ayrıca sin²𝜃₂ = ¹

7sin²𝜃₁ → 1 − cos²𝜃₂ =¹

7(1 − cos²𝜃₁) . Birleştirirsek:

1 −9

7cos²𝜃₁ =1

7(1 − cos²𝜃₁) → 6 7= 8

7cos²𝜃₁ cos²𝜃₁ = 6

8 → cos 𝜃₁ =√3

2 → 𝜃₁ = 30°

3.2) Şekildeki yatay çizginin altında 𝜀₁ = 2𝜀₀ , 𝜇₁ = 1,2𝜇₀ ; üstünde 𝜀₂ = 3𝜀₀ , 𝜇₂ = 1,5𝜇₀ olduğuna göre yansıma olmaması için 𝜃 ne olmalıdır?

Yardımcı formüller: √𝜇1𝜀₁sin 𝜃₁ = √𝜇2𝜀₂sin 𝜃₂ Manyetik alan sınıra teğet ise:

𝐸₃₀= ^{√𝜇1𝜀2cos 𝜃1−√𝜇2𝜀1cos 𝜃2}

√𝜇1𝜀2cos 𝜃1+√𝜇2𝜀1cos 𝜃2𝐸₁₀ (𝐸₁₀ ve 𝐸₃₀ genlikler)

Çözüm: √(1,2𝜇₀)(2𝜀₀) sin 𝜃₁ = √(1,5𝜇₀)(3𝜀₀) sin 𝜃₂ → sin²𝜃₂ = ⁸

15sin²𝜃₁

Yansıma olmaması, 𝐸⃗ ₃ = 0 (ve dolayısıyla 𝐻⃗⃗ ₃ = 0) demektir. Yani 𝐸₃₀ = 0, bunun için de

√(1,2𝜇₀)(3𝜀₀) cos 𝜃₁ = √(1,5𝜇₀)(2𝜀₀) cos 𝜃₂ → cos²𝜃₂ = 6

5cos²𝜃₁

Ayrıca sin²𝜃₂ = 1 − cos²𝜃₂ = ⁸

15(1 − cos²𝜃₁) . Birleştirirsek:

1 −6

5cos²𝜃₁ = 8

15(1 − cos²𝜃₁) → 7 15= 10

15cos²𝜃₁ cos²𝜃₁ = 7

10 → cos 𝜃₁ = 0,837 → 𝜃₁ = 33,2°

3.3) √𝜇1𝜀₁sin 𝜃₁ = √𝜇2𝜀₂sin 𝜃₂ Snell yasasına göre sin 𝜃₂ > 1 oluyorsa ne olur?

Cevap: Tam yansıma denilen durum görülür, yani dalga tamamen ilk ortama geri yansıtılır, kırılma olmaz. Buna göre geliş açısı (𝜃₁) sınır bir değerin altında tutularak dalga bir ortama hapsedilebilir.

4.1) Serbest uzaydan gelen 500 MHz’lik bir dalga, 𝜀 = 5 × 10⁻¹¹F m⁄ , 𝜇 = 1,5 × 10⁻⁶H m⁄ ve öz iletkenliği 𝜎 = 2 S m⁄ olan bir dokuya nüfuz ediyor. Doku içinde dalganın

a) Elektrik ve manyetik alan genlikleri ne kadar mesafede yarıya düşer?

b) Yüzeysel güç yoğunluğu (Poynting vektörü büyüklüğü) ne kadar mesafede yarıya düşer?

Yardımcı formül: Serbest uzayda r yönünde ilerleyen bir dalga için 𝑒^{−𝑗𝑘𝑟} = 𝑒^−𝛼𝑟𝑒^{−𝑗𝛽𝑟} diye düşünülürse,

𝛼 = √𝜇𝜀𝜔²

2 (√1 + ( 𝜎 𝜀𝜔)

2

− 1)

Çözüm: Dalganın elektrik ve manyetik alan genlikleri için 𝑒^−𝛼𝑟 sönüm terimidir ve çarpan olarak etkir. Poynting vektörü büyüklüğü ise bunun karesi, yani 𝑒^−2𝛼𝑟 çarpanıyla sönümlenir.

𝛼 = √(1,5 × 10⁻⁶)(5 × 10⁻¹¹)(2𝜋 × 500 × 10⁶)²

2 (√1 + ( 2

(5 × 10⁻¹¹)(2𝜋 × 500 × 10⁶))

2

− 1) m⁻¹

𝛼 = 66 m⁻¹ bulunur.

a) 𝑒^−𝛼𝑟 = 0,5 ⇒ 𝛼𝑟 = − ln 0,5 → 𝑟 =^{ln 2}

𝛼 = ^{ln 2}

66 m = 1,05 cm mesafede genlikler yarıya düşer.

b) 𝑒^−2𝛼𝑟 = 0,5 ⇒ 2𝛼𝑟 = − ln 0,5 → 𝑟 =^{ln 2}

2𝛼 = ^{ln 2}

2×66 m = 5,25 mm mesafede yüzeysel güç yoğunluğu yarıya düşer.

4.2) Önceki sorudaki verilerle, doku içinde 1 mm ilerleyen dalganın

a) Alan genlikleri kaç katına düşer? b) Yüzeysel güç yoğunluğu kaç katına düşer?

Çözüm: 𝛼 aynı şekilde bulunduktan sonra:

a) 𝑒^−𝛼𝑟 = 𝑒^−66×0,001= 0,936 katı, b) 𝑒^−2𝛼𝑟 = 𝑒−2×66×0,001 = 0,876 katı bulunur.

5.1) Sırasıyla x ve y hizasında olan kenarları a ve b olan, dikdörtgen kesitli içi boş bir dalga kılavuzu içinde ilerleyen bir dalganın alan bileşenlerinden biri şöyledir:

𝑈(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) = 𝑈₀cos (3𝜋

𝑎 𝑥) sin (𝜋

𝑏𝑦) 𝑒^{−𝑗𝑘𝑧𝑧}𝑒^𝑗𝜔𝑡

𝑎 = 0,08m 𝑏 = 0,05m 𝑘_𝑧 = 7 rad m⁄ 𝜔 = 2𝜋 × 6,5 × 10⁹rad s⁄ 𝑈₀ sabit.

a) Dalganın faz hızını (𝑣_𝑝) ve grup hızını (𝑣_𝑔) bulunuz.

b) Dalga boyunu bulunuz.

c) Dalga kılavuzunun alt kesim frekansını Hz cinsinden bulunuz.

Yardımcı formüller: 𝑘_𝑥²+ 𝑘_𝑦²+ 𝑘_𝑧² = 𝜔²𝜇𝜀 . Boşluk için 𝜇𝜀 = 𝜇₀𝜀₀ = 1 𝑐⁄ , 𝑐 = 3 × 10^{2 8}m s⁄ , 𝑣_𝑝𝑣_𝑔 = ¹

𝜇𝜀

Çözüm: a) Dalganın fazının sabit olduğu bir noktanın gezdiği yer ve zamanda: −𝑘_𝑧𝑧 + 𝜔𝑡 = sabit Bunun 𝑡’ye göre türevini alalım: −𝑘_𝑧^𝑑𝑧

𝑑𝑡+ 𝜔 = 0 → ^𝑑𝑧

𝑑𝑡= ^𝜔

𝑘𝑧 =^{2𝜋×6,5×109}

7 m s⁄ = 5,83 × 10⁹m s⁄ = 𝑣_𝑝 𝑣_𝑝𝑣_𝑔 = 1

𝜇𝜀= 1

𝜇₀𝜀₀ = 𝑐² → 𝑣_𝑔 =𝑐²

𝑣_𝑝 =(3 × 10⁸)²

5,83 × 10⁹m s⁄ = 1,54 × 10⁷m s⁄ = 𝑣_𝑔

b) −𝑘_𝑧𝑧 + 𝜔𝑡 fazının aynı an için 2π radyan farklı olduğu noktada 𝑘_𝑧𝑧, 2π radyan kadar değişirken z, dalga boyu (λ) kadar değişir. Yani 𝜆 =^2𝜋

𝑘𝑧 =^2𝜋

7 m = 90cm = 𝜆

c) 𝑘_𝑥²+ 𝑘_𝑦²+ 𝑘_𝑧² = 𝜔²𝜇𝜀 ifadesinde 𝑘_𝑧² > 0 olmak zorundadır. Sınırda 𝑘_𝑧² = 0 alarak alt kesim frekansı 𝜔_𝑐 = √^𝑘𝑥

2+𝑘_𝑦²

𝜇𝜀 (rad/s) bulunur. Boşluk için ve Hz cinsinden ise 𝑓_𝑐 = ^𝑐

2𝜋√𝑘𝑥2+ 𝑘_𝑦² . Burada x bağımlılığından 𝑘_𝑥= ^3𝜋

𝑎 = ^3𝜋

0,08rad m⁄ = 117,8 rad m⁄ ve y bağımlılığından 𝑘_𝑦 =^𝜋

𝑏 = ^𝜋

0,05rad m⁄ = 62,8 rad m⁄ bulunur.

𝑓_𝑐 = 3 × 10⁸

2𝜋 √(117,8)²+ (62,8)² Hz = 6,38 GHz

5.2) x, y ve z hizasında olan kenarları sırasıyla a = 5cm, b = 6cm ve d = 18cm olan, dikdörtgen kesitli içi boş bir dalga kılavuzu rezonatörde 𝐸_𝑧 = 0 ve elektrik alanın diğer bileşenlerinin,

𝑥 = 0’dan 𝑥 = 𝑎’ya kadar maksimum ve minimum toplam sayısı 2, 𝑦 = 0’dan 𝑦 = 𝑏’ye kadar maksimum ve minimum toplam sayısı 1, 𝑧 = 0’dan 𝑧 = 𝑑’ye kadar maksimum ve minimum toplam sayısı 3

olduğuna göre bu rezonatörün modunu belirtiniz. Rezonans frekansını Hz cinsinden bulunuz.

Yardımcı formüler: 𝜔_𝑟𝑒𝑧= ¹

√𝜇𝜀√(^𝑚𝜋

𝑎 )²+ (^𝑛𝜋

𝑏)²+ (^𝑙𝜋

𝑑)² (rad/s) . Boşluk için 1 √𝜇𝜀⁄ = 𝑐 = 3 × 10⁸m s⁄ . Verilere göre 𝑚 = 2, 𝑛 = 1, 𝑙 = 3 olduğu anlaşılmaktadır. 𝐸_𝑧 = 0 olduğuna göre de bu bir TE modudur. Yani rezonatörün TE213 modunda dalga taşımaktadır. Boşluk için 1 √𝜇𝜀⁄ = 𝑐 ve Hz cinsinden 𝑓_𝑟𝑒𝑧= 𝜔_𝑟𝑒𝑧⁄(2𝜋) yerine yazılırsa rezonans frekansı 𝑓_𝑟𝑒𝑧= ^𝑐

2√(^𝑚_𝑎)²+ (^𝑛

𝑏)²+ (^𝑙

𝑑)² = ^3×108

2 √( ²

0,05)²+ ( ¹

0,06)²+ ( ³

0,18)² Hz 𝑓_𝑟𝑒𝑧= 6,96 GHz bulunur.