I. Mer kezinin koor dinatlar › M (a , b) ve yar ›çap uzunlu¤u r olan çem-ber in düzlem de ay›r d›¤› bölgeler
ÖRNEK 24
(x + 1)2 + (y - 3 )2 ≤ 4 eflitsizli¤inin çözüm kümesini analitik düzlemde gösterelim.
ÇÖZÜM 24
II. Denklemi: x2 + y2 +Dx + Ey + F = 0 olan bir çembe rde, P ( x1 , y1) noktas› ver ilsin.
ÖRNEK 25: x2 + y2 + 4x - 6y - 8 = 0 çemberinde P (2 , 1) noktas› veriliyor. Bu noktan › n çemberin hangi bölgesinde oldu¤unu bulal›m.
ÇÖZÜM 2 5:
a . x - a2 + y - b2 < r2 ise, bu eflitli¤i sa¤layan noktalar kümesi çemberin iç bölgesini, b. x - a2 + y - b2 > r2 ise, bu eflitli¤i sa¤layan noktalar kümesi çemberin d›fl bölgesini,
c. x - a2 + y - b2 = r2 ise, bu eflitli¤i sa¤layan noktalar kümesi de çember üzerindeki noktalar› belirtir.
x + 12 + y - 32 ≤ 4 eflitsizli¤i merkezinin koordinatlar› M -1 , 3 ve yar›çap uzunlu¤u r = 2 birim olan çember ile iç bölgesini belirtir. (fiekil 3. 20)
O x
y
M(-1,3)
a . x12 + y12 + Dx1 + Ey1 + F = 0 ise, P x1 , y1 noktas› çemberin üzerindedir. b. x12 + y12 + Dx1 + Ey1 + F < 0 ise, P x1 , y1 noktas› çemberin iç bölgesindedir. c. x12 + y12 + Dx1 + Ey1 + F > 0 ise, P x1 , y1 noktas› çemberin d›fl bölgesindedir.
x2 + y2 + 4x - 6y - 8 = 0 çemberinde, P 2 , 1 noktas› 22+ 12 + 4 2 - 6 1 - 8 = 4 +1 + 8 - 6 - 8 = - 1
-1 < 0 oldu¤undan
P 2, 1 noktas› çemberin iç bölgesindedir.
O x y -2 M(4,-2) 4 fiekil 3.21 ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER ÖRNEK 1
x2+ (a - 1 ) y2 - 4ax + 4y - (a + 3) = 0 denklemin bir çember belirtmesi için a kaçt›r? Bu çemberin merkezinin koordinatlar›n› ve yar›çap uzunlu¤unu bulal›m. Çemberi analitik düzlemde çizelim.
ÇÖZÜM 1
Verilen denklemin bir çember belirtmesi için x2 ve y2 nin katsay›lar› eflit o l m a l › d › r. 1 = a - 1 ise a = 2 dir.
Çember denklemi, x2 + y2 - 8x + 4y - 5 = 0 olur. Merkezin koordinatlar›: a = - D 2 = - -82 = 4 ; b = - E2 = - 42 = - 2 olup M 4, - 2 dir. r = 1 2 -8 2+ 42 - 4 -5 = 1 2 64 + 16 + 20 = 12 100 r = 12 10 = 5 birimdir. Çemberin yar›çap uzunlu¤u: r = 1
2 D
2 + E2 - 4F ;
Çember analitik düzlemde, (fiekil 3.21) de çizilmifltir.
ÖRNEK 2
a. Merkezi bafllang›ç noktas›nda olan ve A(3, 4) noktas›ndan geçen çemberin denklemini,
b. Merkezi (-1 , 1) noktas›nda olan ve A(3, 4) noktas›ndan geçen çemberin denklemini yazal›m.
72
Ç ÖZÜM 2
a : Çemberin merkezi O(0 , 0) ve bir nokta A(3 , 4) oldu¤undan yar›çap uzunlu¤u; AOH dik üçgeninde pisagor teoremine göre, (fiekil 3. 22)
b. Çemberin merkezi M(-1 , 1) ve çemberin üzerindeki bir nokta A(3 , 4) oldu¤undan yar›çap uzunlu¤u;
ÖRNEK 3
Merkezinin koordinatlar›, x + y + 5 = 0 ve x - 3y - 3 = 0 do¤rular›n›n kesim nok-tas›nda olan ve 3x + 4y + 2 = 0 do¤rus una te¤et olan çemberin denklemi bulal›m.
Çemberin merkezi M ( - 3 , -2) olur. ÇÖZÜM 3
x + y + 5 = 0 x + y + 5 = 0
+x ± 3y ± 3 = 0 x - 2 + 5 = 0
4y + 8 = 0 x + 3 = 0
y = - 2 dir. x = - 3 tür.
r2 = |OA|2 = |OH|2 + |AH|2 r2= 9 + 16 = 25 ise, r = 5 birimdir. O halde çemberin denklemi x2 + y2 = 25 olur. O x y 4 A(3,4) 3 H 4 r = - 3 3 + -2 4 + 2 9 + 16 = - 9 - 8 + 2 25 = -15 5 = 3 birimdir. O halde, çemberin denklemi, x + 32 + y + 22 = 9 olur.
r = MA = 3 + 12 + 4 - 12 = 16 + 9 r = 25 = 5 birimdir. O halde, çemberin denklemi x + 12 + y - 12 = 25 olur.
fiekil 3.22
M noktas›n›n 3x + 4y + 2 =0 do¤rusuna uzakl›¤› çemberin yar›çap›na eflit o l d u ¤ u n d a n ,
Ö RNE K 4
Merkezi y = 2x - 3 do¤rusu üzerinde bulunan ve koordinat eksenlerine te¤et olan çemberlerin denklemlerini yazal›m.
O halde; iki tane çember denklemi vard›r. ÇÖZÜM 4
Çemberin merkezi y = 2x - 3 do¤rusu üzerinde ve çember koordinat eksenlerine te¤et oldu¤undan, çemberin merkezi y = x veya y = - x do¤rular› üzerinde de olacakt›r. (fiekil 3. 23) y = 2x - 3 y = x x = 2x - 3 x = 3 ve y = 3 tür. v e y a y = 2x - 3 y = -x ÖRNEK 5
Çemberin merkezi y = x + 3 do¤rusu üzerinde bulunan, A(3 , 1) ve B(2 , 2) noktalar›ndan geçen çemberin denklemini yazal›m.
ÇÖZÜM 5
Çemberin merkezi; [AB] k i r i fl i ni n o r t a dikmesi ile, y = -x + 3 do¤rusunun kesim noktas›d›r. (fiekil 3.24)
[AB] kirflinin orta noktas›, H (x0, y0) olsun
O x y M2 M1 Denklem sisteminin çözümünden,
}
}
-x = 2x - 3 3x = 3 x = 1 ve y = -1 dir. M2(1 , - 1) olur. M1(3 , 3) olur.I. çember ; x - 32 + y - 32 = 9 olur. II. çember x - 12 + y + 12 = 1 olur.
O x y M B ( 2 , 2 ) A ( 3 , 1 ) H x0 = 2 + 3 2 = 52 dir. y0 = 2 + 12 = 32 dir. O halde, H 5 2 , 32 olur.
Denklem sisteminin çözümünden,
fiekil 3.23
74
- x + 3 = x - 1 y = x - 1 den
) olur.
O halde, istenilen çemberin denklemi:
Çemberin yar›çap›n›n uzunlu¤u, çember merkezinin çember üzerinde bulunan herhangi bir noktaya uzakl›¤›na eflit olaca¤›ndan
ÖRNEK 6: Denklemi, 2x - 3y + 2 = 0 ve -6x + 9y + 4 = 0 olan do¤rulara te¤et olan çemberin yar›çap uzunlu¤unu bulal›m.
ÇÖZÜM 6: Verilen 2x - 3y + 2 = 0 do¤rusunun e¤imi
oldu¤undan bu do¤rular paraleldir.
Paralel do¤rular aras›ndaki uzakl›k çemberin çap›n›n uzunlu¤una eflit olaca¤›ndan,
Ö R N E K 7: D e n k l e m i , 4x + 3y + 3 = 0 olan
ÇÖZÜM 7: Verilen çemberin merkezi, M(1 , 1) ve yar›çap uzunlu¤u r = 4 birimdir. Çemberin merkezinin do¤ruya olan uzakl›¤›;
2x = 4 y = 2 - 1
x = 2 dir. y = 1 dir. O halde, çembarin merkezi M (2 , 1
AB kiriflinin e¤imi mAB = 2 - 1
2 - 3 = 1-1 = - 1 dir.
AB kirifline dik olan do¤runun e¤imi de m = 1 olur. Bu do¤ru H noktas›ndan
r = MB = 2 - 22+ 2 - 12 = 0 + 1 = 1 birimdir. x - 22 + y - 12 = 1 olur. m1 = 2 3 dir. - 6x + 9y + 8 = 0 2r = c1 - c2 a2+ b2 = -6 - 4 36 + 81 = 10117 = 10 1339 birimdir. Çemberin yar›çap›; r =5 13 39 birim olur. O x y B M(1,1) A H 4x+3y+3=0
x - 12 + y - 12 = 16 olan çemberin içinde kalan kiriflinin uzunlu¤unu bulal›m.
MH = 4 1 + 3 1 + 3 16 + 9 = 105 = 2 birimdir. - 6x + 9y + 4 = 0 do¤rusunun e¤imi m2 = 6 9 = 23 dir. m1 = m2 fiekil 3.25 geçti¤inden denklemi; y - 3 2 = 1 x - 52 , y = x - 52 + 32 den y = x - 1 olur.
Bu eflitlikler taraf tarafa toplan›rsa x2 + y2 = 16 (cos2t + sin2t ) elde edilir. cos2t + sin2 t = 1 oldu¤undan x2 + y2 = 16 olur. Bu denklem merkezi orijinde ve yar›çap uzunlu¤u 4 birim olan bir çember belirtir.
Ö R N E K 9: Denklemi (x - 3 )2+ (y - 1 )2= 26 olan çember ile bu çember üzerinde P(c , 2) noktas› veriliyor.
a. P(c , 2) noktas›n›n koordinatlar›n› bulal›m. (c < 0 olacak) b. Çemberin P noktas›ndaki te¤etinin denklemini yazal›m. c. Çemberin P noktas›ndaki normalinin denklemini yazal›m.
ÇÖ ZÜM 9: a. Çember üzerinde verilen P(c , 2) noktas›n›n koordinatlar›, çember denklemini sa¤layaca¤›ndan,
ÖRNEK 8: Analitik düzlemde; x = 4 cost, y = 4 sint eflitli¤ini sa¤layan P(x , y ) noktalar›n›n kümesini belirtelim.
ÇÖZÜM 8: x = 4 cos t ise, x2 = 16 cos2t
y = 4 sin t ise, y2 = 16 sin2t elde edilir.
MH < r oldu¤undan 4x + 3y + 3 = 0 do¤rusu çemberi A ve B gibi iki noktada keser. (fiekil 3.25) de MHB dik üçgeninde pisagor teoremine göre; HB2 = MB2 - MH2 dir.
HB2 = 16 - 4 = 12 ise, HB = 2 3 birimdir. Bir çemberde merkezden kirifle inilen dikme kirifli ortalayaca¤›ndan AB = 2HB = 2 2 3 = 4 3 birim olur.
c - 32 + 2 - 12 = 26
c - 32 = 26 - 1 den, c - 32 = 25 ise, c - 3 = + 5 tir.
c1 - 3 = - 5 ise, c1 = -5 + 3 = - 2 veya c2 - 3 = 5 ise, c2 = 5 + 3 = 8 dir. c < 0 oldu¤undan c=-2 ve P (-2 , 2) olur.
b. Çemberin P -2 , 2 noktas›ndaki te¤etinin denklemi: x - x1 x1 - a + y - y1 y1 - b = 0
x + 2 -2 - 3 + y - 2 2 - 1 = 0 x + 2 -5 + y - 2 1 = 0
denklemi sadelefltirirsek, 5x - y + 12 = 0 olur. c. Çemberin P -2 , 2 noktas›ndaki normalin denklemi: x - x1 y1 - b - y - y1 x1 - a = 0 x + 2 2 - 1 - y - 2 -2 - 3 = 0 x + 2 1 - y - 2 -5 = 0 x + 2 1 + 5y - 10 = 0 x + 5y - 8 = 0 x - x1 y1 - b - y - y1 x1 - a = 0 x + 2 2 - 1 - y - 2 -2 - 3 = 0 x + 2 1 - y - 2 -5 = 0 x + 2 + 5y - 10 = 0 x + 5y - 8 = 0 olur.
76
ÖRNEK 10
Denklemleri x2 + y2 + 6x + 8y +16 = 0 ve x2 + y2 - 2x + 2y +2 = r2 olan çemberler veriliyor. Bu çemberler birbirine d›fltan te¤et oldu¤una göre r kaç olmal›d›r?
ÇÖZÜM 10
x2 + y2+ 6x + 8y +16 = 0 çember denkleminde;
O halde, merkezin koordinatlar›; M1 -3 , -4 olur. Çemberin yar›çap uzunlu¤u :
r1 = 1 2 D 2+ E2 -4F ; r1 = 1 2 36 + 64 - 64 = 12 36 = 62 = 3 birimdir. a = - D 2 ise, a1 = - 62 = - 3 tür. b= - E2 ise, b1 = - 82 = - 4 tür. x2 + y2 - 2x + 2y + 2 = r2 çember denkleminde, a = - D
2 ise, a2 = - -22 = 1 dir. b= - E2 ise, b = - 22 = - 1 dir. O halde merkezinin koordinatlar› M2 1 , - 1 olur.
‹kinci çemberin yar›çap uzunlu¤u r2 birim ise, bu çemberler birbirine d›fltan te¤et oldu¤undan,
r1 + r2 = M1 M2 olmas› gerekir. Buna göre, 3 + r2 = -3 - 12+ -4 + 12
Ö Z E TDüzlemde sabit bir noktaya eflit uzakl›kta bulunan noktalar›n kümesine çember denir.
Analitik düzlemde bir çemberin bilinmesi için merkezinin koordinatlar› ve yar›çap uzunlu¤unun bilinmesi gerekir.
Merkezi M(a , b) ve yar›çap uzunlu¤u r olan çemberin denklemi (x - a)2+ (y - b)2= r2 dir.
x2+ y2 + Dx + Ey + F = 0 denklemine çemberin genel denklemi denir. Verilen bu denklemden çemberin merkezinin koordinatlar›n› ve yar›çap uzunlu¤unu bulabiliriz.
B i r Do¤r u ile Bir Çember in Bir bir ine Gör e Dur u mlar ›
Analitik düzlemde denklemi y = mx + n olan do¤ru ile denklemi x2 + y2 = r2 olan çember verilsin.
a. r2(m2+ 1) - n2 < 0 ise, do¤ru çemberi kesmez.
b. r2 (m2+ 1) - n2 > 0 ise, do¤ru çemberi iki noktada keser. c. r2(m2+ 1) - n2 = 0 ise, do¤ru çembere te¤ettir.
Te¤et ve Normal Denklemleri
Bir do¤ru ile bir çemberin bir ortak noktas› varsa bu do¤ruya çemberin te¤eti denir.
Çember denklemi (x - a)2 + (y- b)2 = r2 ve bu çember üzerindeki P(x1, y1) noktas›nda çizilen te¤etin denklemi;
(x - x1) (x1- a) + (y - y1) (y1- b) = 0 d›r.
Bir te¤ete de¤me noktas›nda dik olan do¤ruya çemberin bu noktadaki nor mali d e n i r.
(x - a)2 + (y- b)2 = r2 olan çembere üzerindeki P(x1 , y1) noktas›nda çizilen normalin denklemi;
(x - x1) (y1- b) - (y - y1) (x1- a) = 0 a = D
2 ; b = - E2 oldu¤undan merkezinin koordinatlar› M - D2 , - E2 dir. Yar›çap›n›n uzunlu¤u, r = 1
2 D
78
Bir Noktan›n Bir Çembere Göre Kuvveti
Bir çember düzleminde K(x1, y1) noktas› verilsin. K noktas›ndan geçen herhangi bir kirifl çemberi A ve B gibi iki noktada kesiyorsa |KA| . |KB| de¤erine K noktas›n›n çembere göre kuvveti denir.
K(x1, y1) noktas›n›n denklemi (x - a)2+ (y- b)2= r2 olan çembere göre kuvveti p = (x1- a )2 + (y1- b)2 - r2 dir.
‹ki çemberin kuvvet ekseni: ‹ki çembere göre, eflit kuvvetteki noktalar›n mey-dana getirdi¤i do¤ruya iki çemberin kuvvet ekseni denir. Kuvvet ekseni bir do¤rudur.
Üç çemberin kuvvet merkezi: Üç çembere göre eflit kuvvette olan noktaya, bu çemberlerin kuvvet merkezi denir. Üç çemberin kuvvet merkezi çemberlerin ikifler ikifler kuvvet eksenlerinin kesim noktas›d›r.
Çemberin parametrik denklemi: Bir çemberin noktalar›na ait koordinatlar› bir parametrenin fonksiyonu olarak ifade eden denkleme, o çemberin para metrik denklemi denir.
x2 + y2= r2 olan merkezcil çemberin parametrik denklemi x = r cos t, y = r sin t 0 ≤ t ≤ 2π fleklinde yaz›l›r.
Merkezil çember = {(r cost, r sint ) : r∈ R+, t∈R } olur.
Çemberlerin Düzlemde Ay›rd›¤› Bölgeler: Çember bulundu¤u düzlemi üç bölgeye ay›r›r.
a. (x - a)2+ (y- b)2< r2 ise, çemberin iç bölgesini, b. (x - a)2 + (y- b)2 > r2 ise, çemberin d›fl bölgesini,
ALIfiTIRMALAR
1. Denklemleri, x = - 2 ve x = 6 do¤rular›na te¤et olan çemberin merkezi M(2a , a) d›r. Bu çemberin denklemini yaz›n›z.
2. x2+ y2+ (k - 2) xy - 2kx + 3ky - 3 = 0 denklemi bir çember belirtti¤ine göre, bu çemberin merkezinin koordinatlar›n› ve yar›çap uzunlu¤unu bulunuz.
3. Denklemi, x2+ y2 + 4x - 6y - 12 = 0 olan çemberi ile orijin aras›ndaki en büyük ve en küçük uzakl›¤› bulunuz.
4. Denklemi, x2 + y2 - 6x + 4y -12 = 0 olan çember üzerindeki P(6, 2) noktas›ndan çizilen te¤et ve normalin denklemlerini yaz›n›z.
5. Denklemi, x2+ y2 = 9 olan çembere, d›fl›ndaki P(-4 , 1) noktas›ndan çizilen te¤etlerinin denklemlerini yaz›n›z.
6. A(1 , 2) ve B(0 , 1) noktalar›ndan geçen ve merkezi y = 2x + 5 do¤rusu üzerinde bulunan çemberin denklemini yaz›n›z.
7. P(-2 , 1) noktas›n›n x2+ y2 - 5x + 6y + 8 =0 çember denklemlerine göre kuvvetini bulunuz.
8. Denklemleri, x2+ y2 - 2x + 3y + 5 = 0 ve x2+ y2 + 3x + y + 1 = 0 olan çemberlerin kuvvet eksenlerinin denklemini bulunuz.
9. x2+ y2 - 3x - y = 0 ve x2+ y2 - 4x - 3 = 0 çember denklemleri veriliyor. P(1 , 2) noktas›n›n kuvvet eksenine olan uzakl›¤› kaç birimdir?
10. x2+ y2= 4 çemberi ile x - y + 2 = 0 do¤rusu veriliyor. Do¤ru ile çemberin kesim noktalar›ndan meydana gelen kiriflin uzunlu¤u kaç birimdir?
11. x = 5 cos t ve y = 5 sin t eflitli¤ini sa¤layan P(x , y) noktalar›n›n kümesini belirtiniz.
12. Denklemleri, x2 + y2 - 4x + 9 y + 8 = 0 olan çember ile P(4 , k) noktas› veriliyor. P noktas›n›n çemberin iç bölgesinde olmas› için k hangi reel de¤erleri almal›d›r?
13. A(0 , 0) , B (-6 , 0) ve C(0 , 8) noktalar›ndan geçen çemberin denklemini yaz›n›z.
80
14. A(0 , 0) ve B(4 , 2) noktas›ndan geçen ve merkezi y = -x +1 do¤rusu üzerinde olan çemberin denklemini yaz›n›z.
15. A(1 , 4) ve B(5 , 0) noktalar› veriliyor AB do¤ru parças›n› çap kabul eden çemberin denklemini yaz›n›z.
16. Denklemleri, x2+ y2 + 2x + 5y - 8 = 0 ve x2+ y2 - 4x + y = 0 olan çemberlerin kuvvet eksenini bulunuz.
17. Denklemleri, x2 + y2 = 20 , x2 + y2- 2x - 2 y + 1 = 0 ve x2 + y2- 10y = 0 olan çemberlerin kuvvet merkezini bulunuz.
18. Denklemleri, x2+ y2= 5, x2 + y2- 2x -1 = 0 ve x2 + y2+ 4x -10 y + 25 = 0 olan çemberlerin kuvvet merkezini bulunuz.
19. Yar›çap› 6 birim olan merkezil çemberin parametrik denklemini yaz›n›z. 20. Merkezinin koordinatlar› M(-3 , 2) ve yar›çap uzunlu¤u 5 birim olan çemberin parametrik denklemini yaz›n›z.
21. D e n k l e m i, x2 + y2 - 8x + 4 y - 5 = 0 olan çemberin parametrik denklemini yaz›n›z.
22. A(1 , 2) ve B(-3 , -1) noktalar›na uzakl›klar›n›n kareleri toplam› 25 olan noktalar›n geometrik yerini bulunuz.
23. Denklemi, x2+ y2 + 2x + 6 y + 1 = 0 olan çember ile dik kesiflen ve merkezinin koordinatlar› M(-4 , 3) olan çemberin yar›çap uzunlu¤u kaç birimdir?
24. Denklemi, x2 + y2 - 4x + 2 y + 4 = 0 olan çember ile merkezinin koordinatlar› M(-4 , 7) ve yar›çap uzunlu¤u m birim olan çember veriliyor.
a. Çemberler aras›ndaki en k›sa uzakl›k 3 birim olmas› için m kaç olmal›d›r? b. Bu çemberler birbirine d›fltan te¤et ise m kaçt›r?
25. D e n k l e m i , x2 + y2- 4x + 8y + 5 = 0 olan çemberin x eksenini kesti¤i noktalar A ve B ise, |AB| kaç birimdir?
DE⁄ERLEND‹RME TEST‹ III
1. Denklemi x2+ y2 + 6x - 8y + 4 = 0 olan çemberin merkezinin koordinatlar› afla¤›dakilerden hangisidir?
A) (-6 , 8) B) (-3 , 4)
C) (8 , -6) D) (4 , -3)
2. Merkezi M(-3 , 2) olan ve y eksenine te¤et olan çemberin denklemi afla¤›dakiler-den hangisidir?
A) x2+ y2+ 6x - 4y + 4 = 0 B) x2+ y2- 6x + 4y + 9 = 0 C) x2+ y2- 2x + 6y + 9 = 0 D) x2+ y2+ 3x - 2y + 4 = 0
3. Koordinat eksenlerine A(4 , 0) ve B(0 , 4) noktalar›nda te¤et olan çemberin denklemi afla¤›dakilerden hangisidir?
A) x2+ y2= 16 B) x2+ y2+ 4x + 4y = 0 C) x2+ y2- 8x - 8y + 16 = 0 D) x2+ y2+ 8x + 8y + 32 = 0
4. Merkezi (2 , 4) olan ve 3x + 4y + 8 = 0 do¤ru denklemine te¤et olan çemberin denklemi, afla¤›dakilerden hangisidir?
A) x2+ y2+ 2x + 4y + 8 = 0 B) x2+ y2+ 4x + 8y- 6 = 0 C) x2+ y2+ 8x + 2y - 12 = 0 D) x2+ y2- 4x - 8y - 16 = 0
5. Merkezi (3,2) olan ve P (1,4) noktas›ndan geçen çemberin denklemi, afla¤›dakilerden hangisidir?
A) x2+ y2- 6x - 4y + 5 = 0 B) x2+ y2- 6x + 4y + 8 = 0 C) x2+ y2- 3x - 2y + 6 = 0 D) x2+ y2+ 6x + 4y + 12 = 0
6. Merkezi y = 2x do¤rusu üzerinde bulunan ve x = - 1 ve x = 5 do¤rular›na te¤et olan çemberin denklemi, afla¤›dakilerden hangisidir?
A) (x- 4)2+ (y- 2)2= 6 B) (x+ 1)2+ (y- 5)2= 36 C) (x- 2)2+ (y- 4)2= 9 D) (x + 4)2+ (y+ 2)2= 18
82
7. 3x2+ 3y2 + (m - 6) xy - mx - 2my + m - 3 = 0 denklemi bir çember belirtti¤ine göre, bu çemberin yar›çap uzunlu¤u kaç birimdir?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4
8. Denklemi (x- 2) + (y + 1) = 5 olan çember; denklemi x= 3 olan do¤ruyu A ve B noktalar›nda kesti¤ine göre, |AB| uzunlu¤u kaç birimdir?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4
9. Denklemi x2+ y2= 13 olan çembere, üzerindeki P(3 , 2) noktas›ndan çizilen te¤etin denklemi afla¤›dakilerden hangisidir?
A) 2x + 3y - 13 = 0 B) 3x + 2y - 13 = 0
C) 2x - 3y = 0 D) 3x - 2y = 0
1 0 . Denklemi x2 + y2= 5 olan çembere, üzerindeki P(1 , 2) noktas›ndan çizilen normalin denklemi afla¤›dakilerden hangisidir?
A) x + 2y - 5 = 0 B) y = 2x
C) 2x + y - 5 = 0 D)
11. Denklemi x2+ y2= 9 olan çember, denklemi y = 2x + n olan do¤rusuna te¤et ise, n nin pozitif de¤eri afla¤›dakilerden hangisidir?
12. Denklemi x2+ y2 = 20 olan çemberin d›fl›ndaki P(2 , 6) noktas›ndan çembere çizilen te¤etlerden birinin denklemi afla¤›dakilerden hangisidir?
A) 2x + y - 10 = 0 B) 2x + 3y - 20 = 0
C) x - y + 15 = 0 D) x + 3y +5 = 0
13. Denklemi (x + 2)2 + (y - 3)2= 29 olan çember veriliyor. Bu çember üzerindeki P(3 , 1) noktas›ndan çizilen te¤etin denklemi, afla¤›dakilerden hangisidir?
A) 2x - 3y - 29 = 0 B) 5x - 2y - 13 = 0 C) 3x + y + 20 = 0 D) 2x + 5y +12 = 0 A) B) C) D) y = x 2 2 5 3 5 2 3 3 2
14. Denklemleri x2+ y2= 9 ve (x - 1)2 + (y + 2)2= 16 olan çemberlerinin kuvvet ekseni afla¤›dakilerden hangisidir?
A) x - 2y + 1 = 0 B) x + 3y - 5 = 0
C) 2x - 3y +1 = 0 D) x + y + 2 = 0
15. Denklemleri x2+ y2= 2x - 6y + 1 = 0 ve x2+ y2+ 4x - 2y - 11 = 0 çemberler veriliyor. Bu çemberler için afla¤›daki durumlardan hangisi do¤rudur?
A) D›fltan te¤ettirler. B) ‹çten te¤ettirler.
C) Birbirlerinin d›fl›ndad›rlar. D) Birbirini iki noktada keserler. 16. Denklemi x2+ y2- 4x + 4y + m - 5 = 0 olan çember, y = x +1 do¤rusuna te¤et ise, m kaçt›r?
A) B) 1 C) D) 2
17. Denklemi x2+ y2+ 8x - 4y + 5 = 0 olan çemberin y eksenini kesti¤i noktalar aras›ndaki kiriflin uzunlu¤u kaç birimdir?
A) 1 B) 4 C) 5 D) 6
18. Denklemi x2+ y2=25 olan çemberin, 6 birim uzunlu¤undaki kirifllerinin orta noktalar›n›n kümesi, afla¤›daki denklemlerin hangisi ile ifade edilebilir?
A) x2+ y2= 9 B) x2+ y2= 12
C) x2+ y2= 16 D) x2+ y2= 36
19. Çemberin d›fl›ndaki A(1 , 4) noktas›ndan, denklemi x2+ y2+ 2x + 6y - 7= 0 olan çembere çizilen te¤et parças›n›n uzunlu¤u kaç birimdir?
A) 2 B) 4 C) 6 D) 8
20. Denklemi 3x + 4y - 11 = 0 olan do¤runun, denklemi (x + 1)2+ (y - 1)2= 16 olan çemberi kesen kiriflin uzunlu¤u kaç birimdir?
A) 2 B) 2√3 C) 4 D) 4√3
3 2 1
84
21. Ç =
{
(x , y)|
x = 3 + 4 cos t , y = -1 + 4 sin t, t ∈R}
kümesi afla¤›daki çember denklemlerden hangisini gösterir?A) (x + 3)2 + (y - 1)2= 4 B) (x - 1)2 + (y + 3)2= 12 C) (x - 3)2 + (y + 1)2= 16 D) (x - 4)2 + (y - 4)2= 20
22. Denklemi x2+ y2 = 9 ve x2+ y2- 4x + 2y - 5 = 0 olan çemberlere göre kuvvet-leri ayn› olan nokta P(a , 4) ise, a kaçt›r?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4
23. P(5 , 6) noktas›n›n denklemi x2+ y2=r2 olan çembere göre kuvveti 12 ise bu çemberin yar›çap›n›n uzunlu¤u kaç birimdir?
A) 4 B) 5 C) 6 D) 7
24. P(2a , a) noktas›n›n denklemi x2+ y2- 2x + 4y - 5 = 0 olan çemberin, iç bölgesinde olmas› için a hangi aral›kta bulunmal›d›r?
A) - 1 < a < 1 B) 1 < a < 2 C) a < -1 D) a > 1
25. Merkezi y = 2x - 3 do¤rusu üzerinde bulunan ve eksenlere te¤et olan çemberin denklemi afla¤›dakilerden hangisidir?
A) x2+ y2- 6x - 6y + 9 = 0 B) x2+ y2= 9