GEOMETRİ AÇI VE AÇI ÇEŞİTLERİ 9 GEO 001

1 AÇI

Düzlemde başlangıç noktaları aynı olan iki ışının birleşimine açı denir.

 Işınların her birine açının kenarları, başlangıç noktasına ise ışının köşesi denir.

 B noktası açının köşesi, [BA ve [BC ise açının ke- narıdır.

 Şekildeki açı  ABC, B veya CBA şeklinde ifade edilebilir.

Yönlü Açı

Herhangi bir açının bir kenarından diğer kenarına saat yönünün ters yönünde gidildiğinde, açı pozitif yönlü, saat yönü ile aynı yönde gidildiğinde açı negatif yön- lüdür denir.

AÇI ÇEŞİTLERİ

1. Dar Açı

Ölçüsü 0^o ile 90^o arasında bulunan açıya denir.

2. Dik Açı

Ölçüsü 90^o olan açıya denir.

3. Geniş Açı

Ölçüsü 90^o ile 180^o arasında bulunan açıya denir.

4. Doğru Açı

Ölçüsü 180^o olan açıya denir.

5. Tam Açı

Ölçüsü 360^o olan açıya denir.

6. Tümler Açılar

Ölçüleri toplamı 90^o olan iki açıya tümler açılar denir.

7. Bütünler Açılar

Ölçüleri toplamı 180^o olan iki açıya bütünler açılar denir.

NOT:

 Açı Tümleyeni Bütünleyeni x 90^ox 180^ox

 Bir açının bütünleyeni ile tümleyeni arasındaki fark 90 dir.

B C

A

B C

A

B C

A

Pozitif yön Negatif yön

2 SORU 1:

Tümler iki açıdan birinin ölçüsü, diğerinin 2 katından 15^o fazladır. Buna göre, küçük açı kaç derecedir?

A) 5^o B)15^o C) 25^o D) 35^o E) 45^o

SORU 2:

Bir açının ölçüsünün tümlerinin ölçüsünün 10°

eksiğine oranı 3

5 ise, bu açı kaç derecedir?

A) 20 B) 30 C) 40 D) 50 E) 60

SORU 3:

Bütünler iki açının birbirine oranı2 7 dir.

Buna göre bu iki açının farkı kaçtır?

A) 80 B) 90 C) 100 D) 110 E) 120

SORU 4:

Tümlerinin bütünlerine oranı 1

4 olan açı kaç dere- cedir?

A) 20 B) 40 C) 60 D) 70 E) 80

SORU 5:

Bir açının tümleriyle bütünlerinin toplamı 220° ise bu açı kaç derecedir?

A) 20 B) 25 C) 30 D) 35 E) 40

SORU 6:

Bir açının tümlerine oranı 2

7 ise bu açının bütün- leri kaç derecedir?

A) 120 B) 130 C) 150 D) 160 E) 140

SORU 7:

Tümler iki açıdan birinin ölçüsü diğerlerinin ölçü- sünün 4 katından 30° eksik ise bu açı kaç derece- dir?

A) 46 B) 56 C) 66 D) 80 E) 84

SORU 8:

Bir açının tümleri x – 20°, bütünleri 2x – 10° oldu- ğuna göre, bu açı kaç derecedir?

A) 45 B) 25 C) 40 D) 35 E) 30

1.C 2.B 3.C 4.C 5.B 6.D 7.C 8.E

3 8. Ters Açılar:

İki doğru kesiştiğinde oluşan açılardır ve ölçüleri birbi- rine eşittir.

9. Yöndeş Açılar:

Paralel iki doğru bir kesenle kesildiğinde aynı yöne bakan açılardır ve ölçüleri birbirine eşittir.

10. İç Ters Açılar:

Paralel iki doğru bir kesenle kesildiğinde oluşan iç ters açıların ölçüleri birbirine eşittir.

11. Dış Ters Açılar:

Paralel iki doğru bir kesenle kesildiğinde oluşan dış ters açıların ölçüleri birbirine eşittir.

12. Karşı Durumlu Açılar:

Paralel iki doğru bir kesenle kesildiğinde oluşan karşı durumlar açıların ölçüleri toplamı 180° dir.

13. Kolları Paralel Açılar:

k // m // r ve l // n // p ise açılar eşittir.

14. Kolları Birbirine Dik Açılar:



 





 



d1

d2

d3





d1

d2

d3





d1

d2

d3

p

r l

k m

n

 











 +  =180°





d1

d2

d3

 +  = 180°

d1 // d2

d1 // d2

d1 // d2

d1 // d2

4 15. Paralel İki Doğru Arasındaki Açılar:

1 2

d // d ise xyza b

Sağa bakan açılar toplamı, sola bakan açılar toplamı- na eşittir.

SORU 9:

1 2

d // d ise, x kaç derecedir?

A) 30 B) 40 C) 50 D) 60 E) 70

SORU 10:













olduğuna göre, ^{m ABC}





A) 80 B) 75 C) 65 D) 60 E) 70

Pratik Yol:

Doğruda açı sorularında vermiş olduğumuz kurallar yoksa paralel doğruları uzatırız. Hala bu kurallardan biri çıkmıyorsa uç noktalardan paralel doğrulara başka paralel olacak biçimde doğrular çizeriz.

Örneğin;

SORU 11:





Yukarıdaki verilere göre, m(BCD) x kaç derece- dir?

A) 40° B) 50° C) 60° D) 70° E) 80°

9.B 10.E 11.C

x a

b y

z

d1

d2

x

20°

35°

25° d1

d2

A D

B

C E

x

20°

130°

A B

C

D E

x

110°

130°

5 SORU 12:

1/ / 2

d d ise, x kaç derecedir?

A) 105 B) 115 C) 130 D) 145 E) 150

SORU 13:

1/ / 2

d d ise x kaç derecedir?

A) 100 B) 110 C) 120 D) 130 E) 140

SORU 14:

1/ / 2

d d ise, x kaç derecedir?

A) 160 B) 150 C) 140 D) 130 E) 100

SORU 15:

1/ / 2

d d ise, x kaç derecedir?

A) 105 B) 115 C) 125 D) 135 E) 140

16. Paralel İki Doğru Arasındaki Aynı Yöne Bakan Açılar:

d / / d ise _{1 2}

x  y  z  360

SORU 16:

1/ / 2

d d ise, x kaç derecedir?

A) 60 B) 80 C) 100 D) 110 E) 120

12.E 13.A 14.E 15.D 16.B

100°

20°

x A

B

C

d1

d2

d1

d2

A

B

C x

120°

40°

A

B

C d1

d2

25°

x

160°

d1

d2

x

y

z A

B

C d2

d1

A

B

C

45°

x 105°

d1

d2

x

x30o

2x 10 o

A

B

C

6 SORU 17:

1/ / 2

d d ise, x kaç derecedir?

A) 150 B) 140 C) 130 D) 120 E) 110

SORU 18:



 





m ABC 130 , ^{m EDC}













A) 130 B) 140 C) 150 D) 160 E) 170

17. Açıortay:

Bir açıyı iki eş açıya bölen ışına açıortay denir.

SORU 19:

1 2

d / / d





A) 60 B) 70 C) 80 D) 90 E) 100

SORU 20:

1 2 3

d / / d / / d





A) 40 B) 50 C) 60 D) 70 E) 80

17.D 18.E 19.C 20.A

d1

d2

A

B

C

D E

F x

130°

70°

Açıortay A

B D

C

d1

d2

A

B C

x 130°

d1

d2

d3

x

110°

A

B C E

E A

B 130°

110°

x

F C

D

7 SORU 21:

















m BLK 70

olduğuna göre, ^{m BAC}





A) 40 B) 45 C) 50 D) 55 E) 60

SORU 22:







 



m CBD m DEF





m BCE 95 , ^{m FEC}





olduğuna göre, ^{m EDB}





A) 40 B) 45 C) 50 D) 55 E) 35

18. Ardışık iki Açıortayın Arasındaki Açı

   

1 2

d // d AC  BC

SORU 23:

1 2 3

d // d // d ise, x kaç derecedir?

A) 95 B) 105 C) 115 D) 125 E) 135

SORU 24:

1 2 3

d // d // d ise, m(A) kaç derecedir? 

A) 100 B) 110 C) 120 D) 130 E) 140

21.D 22.B 23.C 24.E

d1

d2

x x

y y A

B

C

B A

x 155°

d1

d2

d3

160°

A

B

d1

d2

d3

A

K L M N

B D C

70°

x

B

E F

D A

C x 95°

8 SORU 25:





m BAD 48 , ^{m DAC}





olduğuna göre, ^{m BAC}









m DAC açısının açıortayı arasındaki açı kaç de- recedir?

A) 24 B) 32 C) 36 D) 28 E) 41

SORU 26:









m ABC 130 , ^{m CDE}









olduğuna göre, ^{m BCD}





A) 10 B) 15 C) 20 D) 25 E) 30

SORU 27:



  







m ABC 62 , ^{m BCD}





olduğuna göre, ^{m DEG}





A) 95 B) 100 C) 110 D) 115 E) 120

SORU 28:

Işığı masaya dik şekilde lambanın ayağı masa ile 65

lik açı yapmaktadır.

Lambanın iki kolu birbiri ile 85 lik açı oluşturdu- ğuna göre,  kaç derecedir?

A) 105 B) 110 C) 115 D) 120 E) 125

25.A 26.C 27.C 28.B

48° 24°

B D

C

A

A B D

E F

C x

130° 140°

110°

D F

E G

C x

22°

62°

A B

85



9 SORU 29:

Yukarıdaki şekilde yere A noktasında tutturulan AB ve AC çubukları hareket ettirilebilmektedir.





m BAD 20^, ^{m CAE}





AB ve AC çubukları ok yönünde sırasıyla 50 ve 80 lik açılar ile döndürüldükten sonra bu çubuklar arasındaki açı kaç derecedir?

A) 15 B) 20 C) 25 D) 30 E) 35

SORU 30:

Şekildeki AB düz aynası ile BC düz aynası birbirine dik olarak sabitlenmiştir.

^{m EFG}





olduğuna göre, ^{m AED}





A) 18 B) 24 C) 36 D) 48 E) 54

29.D 30.C

B

C

A

D E

20 60

A

E

B F D

G

72

x

C

22 ÜÇGENDE AÇI ÖZELLİKLERİ

1.

 Bir üçgenin iç açılarının ölçüleri toplamı 180^o dir.

a b c180^o

 Bir üçgenin dış açılar toplamı 360^o dir.

ı ı ı o

a b c 360

SORU 1:

 ^o

m(A)3x5 ,m(B) 2x 10 ^o,m(C) 3x35^o Yukarıda verilenlere göre, ABC üçgeninin en bü- yük iç açısının ölçüsü kaç derecedir?

A) 30 B) 40 C) 60 D) 80 E) 85

SORU 2:

Bir ABC üçgeninin A açısı, B açısından 30^o fazla ve C açısından da 30^o eksik olduğuna göre, B açı- sının ölçüsü kaç derecedir?

A) 30 B) 40 C) 50 D) 60 E) 70

SORU 3:

 ^o

m(DAB)130

 ^o

m(EBC)125

Yukarıdaki verilere göre, m(ACB) x kaç derece- dir?

A) 45 B) 50 C) 60 D) 70 E) 75

1.D 2.A 3.E

B

C A

b^ı

c^ı a^ı

a

b c

A

B C

2x+10^o 3x-35^o 3x+5^o

E

B C

x A

125^o 130^o

D

23 SORU 4:

D,B,C,E doğrusal,m(ABD) 140^o,m(ACE) 135^o Yukarıdaki verilere göre, m(BAC) x kaç derece- dir?

A) 65 B) 75 C) 85 D) 95 E) 100

SORU 5:

ABC bir üçgen

 ^o

m(DBC)120 ,m(BAC) 75^o

Yukarıdaki verilere göre, m(BCE) x kaç derece- dir?

A) 110 B) 115 C) 120 D) 125 E) 135

SORU 6:

ABC bir üçgen

 

m(AFD)m(ACB),m(ADF) 80^o

Yukarıdaki verilenlere göre, m(ABC) xkaç dere- cedir?

A) 60 B) 70 C) 80 D) 90 E) 100

SORU 7:

ABC üçgeninde









m ABE 30 , ^{m BEA}









Verilenlere göre m ACB kaç derecedir?





A) 20 B) 25 C) 30 D) 35 E) 40

4.D 5.E 6.C 7.C

D E

A

120^o x

75^o

B C

D B C E

A x

140^o 135^o

B C

D A

80°

x F

A

B D C

E

30°

70°

110°

24 SORU 8:

ABC üçgeninde



 



m ABD m DAC , ^{m BDA}





Verilenlere göre m BAC kaç derecedir?





A) 40 B) 50 C) 60 D) 70 E) 80

2. Bir üçgende bir dış açının ölçüsü kendisine komşu olmayan iki iç açının ölçüsünün toplamına eşittir.

Örneğin;

ABC üçgeninde,

 

 

 

m A m B m C 180 dir.

 

o o o

63 m B 72 180 , ^{m B}

 



 



m DBA m ABC 180 (Bütünler açılar)





m DBA 45180 , ^{m DBA}





Kısacası, kendine komşu olmayan iki açının toplamı bir dış açıyı verir kuralından

 

 





m A m C m DBA

o o o

63 72 135 kolayca bulunabilir.

SORU 9:

m(DAC) 8x,m(ABC) 55^o,m(ACB) 3x

Yukarıdaki verilere göre, m(BAC) kaç derecedir? 

A) 70 B) 72 C) 88 D) 92 E) 102

8.C 9.D

B C D

A a

b a+b

D B C

A 63^o

x 72^o

B C

A

55^o 3x

8x D A

B C

120° D

25 SORU 10:

ABC bir üçgen, AB  AD  CD

 ^o

m(BAC)105 , m(ACB) x

Yukarıdaki verilere göre, m(ACB) x kaç derece- dir?

A) 20 B) 25 C) 30 D) 35 E) 45

SORU 11:

ABC üçgen

AB  AD DE  EF  FC



 



m BAD m ACB

olduğuna göre, m ADC kaç derecedir?





A) 85 B) 90 C) 95 D) 100 E) 105

SORU 12:

   ^o

m(BAC)m(BDC), m(ACD)55

Yukarıdaki verilenlere göre, m(ABD) xkaç dere- cedir?

A) 35 B) 45 C) 55 D) 65 E) 75

3.

Yukarıdaki içbükey dörtgende, a b c

    dir.

İspat:

KM // LN

 

xya M kuralı



a

x y b c

     (M kuralı)

a b c

   

10.B 11.D 12.C

B D C

A

x

B

D A

C

b c

a

 A

B C

55°

D

x

A

B D F C

E

A

K a L

b 

x y

B C

M N

c C

26 4.

x + y = a + b + c + d

İspat:

d1 // d2

p r c (M kuralı)

p a d b r  xy (zikzak kuralı) c

ca b dxy

SORU 13:

ABC bir üçgen,[AD] açıortay

 ^o

m(ABD)30 ,m(ADB) 110^o,m(ACB) 60^o

Buna göre, m(DBC)   kaç derecedir? 

A) 10 B) 20 C) 30 D) 35 E) 45

SORU 14:

ABCDEF konkav altıgen, ^{m ABC}









m BAF 10 , ^{m AFE}













m BCD 20 ise ^{m EDC}





A) 50 B) 55 C) 60 D) 65 E) 70

SORU 15:

[BE] ve [ED] açıortay

 ^o

m(BAD)60 ,m(BED) 85^o

Yukarıdaki verilere göre, m(BCD) x kaç derece- dir?

A) 90 B) 95 C) 100 D) 105 E) 110

13.A 14.C 15.E

B D

x 85°

60°

C E A y

A

B

C D

c a

b x

E d F

A P

x D F

B r y E

b a

c C

d1

d2

d

A

B

C D

E F

10°

65°

60°

x 20°

35°

B C

D 30^o

60^o



110^o A

27 NOT:

Üçgenin iç açıortayları bir noktada kesişirler. Herhangi ikisi verilirse üçüncünün de açıortay olduğunu bilmeli- yiz.

SORU 16:

ABC bir üçgen



  





m DBC 40

olduğuna göre, ^{m ABD}





A) 15 B) 20 C) 25 D) 30 E) 40

SORU 17:

[BE] ve [ED] açıortay

 ^o

m(BAD)80 ,m(BCD) 150^o

Yukarıdaki verilere göre, m(BED) x kaç derece- dir?

A) 95 B) 105 C) 115 D) 125 E) 135

SORU 18:

ABC bir üçgen,







 



m BCD m DCA 20

olduğuna göre, ^{m ADB}





A) 90 B) 100 C) 110 D) 120 E) 130

5. Yıldızlı çokgen

x + y + z + t + u = 180

(n tane köşesi olan yıldızlı çokgenin köşe açıları top- lamı= (n - 4).180 dir.)

İspat:





m EKA yz u (içbükey dörtgen kuralı)

xyz u  t 180o

(KBD üçgeninde iç açılar toplamı 180° dir)

16.E 17.C 18.C

A

C

D E

B y

t z

x

u A

B C

40°

D

x

A

B C

D

B C

A

20°

x

20°

D

A

C

D E

B y

t z

x

u y+z+u

y+z+u K

B D

150°

x 80°

C E A

28 SORU 19:

Şekilde yıldızlı beşgen veriliyor.

  

m(D)30 , m(C)^ 35 , m(E)^ 40 ise^

 

m(BAC) m(DBA) yx kaç derecedir?

A) 50 B) 65 C) 70 D) 75 E) 80

6. İç açıortaylar arasındaki açı









m BDC 90

  2

A x 90

  2

İspat:

 

 

 

 

m A 2.m D  180

 

 

2.m D 180 m A , ^{m D}

 

^{ }

İç teğet çemberin merkezi: bir üçgende üç iç açıor- tay daima bir noktada kesişir. Bu noktaya üçgenin iç teğet çemberinin merkezi denir.

İç teğet çemberin merkezi ayrıca üçgende merkezler kodunda işlenecektir.

SORU 20:

ABC bir üçgen



  





m BAD 80 ,ise ^{m BDC}





A) 80 B) 100 C) 110 D) 120 E) 130

19.D 20.E

B C

A

D A

D E

B

C 40

30

y

x

35

B C

A

D x 80°

B C

A

D

a

a b

b

x

29 SORU 21:

ABC bir üçgen,



  





m ADC 120 ise ^{m ABC}





A) 50 B) 60 C) 65 D) 70 E) 75

7. Dış açıortaylar arasındaki açı









m BDC 90

  2

A x 90

  2

İspat:

 

o o

2a2b 180 m A 360

(ABC üçgeninin dış açılar toplamı 360°)

 

 

 

 

m A 2m D 180

   

 

 

2m D 180 m A

 

^{ }

m D 90

  2

SORU 22:

ABC bir üçgen,



  





m BAC 70 ,ise ^{m BDC}





A) 65 B) 60 C) 55 D) 50 E) 45

21.B 22.C

B C

A

120°

x

D

A

B C

D

A

B C

D 70°

x A

B C

D a

a b

b

30 SORU 23:

ABC bir üçgen,



  





m ACB 2x20,^{m ADB}





olduğuna göre, x aşağıdakilerden hangisidir?

A) 30 B) 40 C) 45 D) 50 E) 55

SORU 24:

ABC üçgenin dış açıortayları



 







m EAF 5x5, ^{m BDC}





olduğuna göre, ^{m BDC}









A) 110 B) 115 C) 120 D) 125 E) 130

8. Bir iç açıortay ile bir dış açıortay arasındaki açı









m BDC

 2

A x 2

İspat:





m DCN ax (bir dış açı kendine komşu olmayan iki iç açının toplamına eşit)

 

m A  2a axax

 

m A 2x, ^{m D}

 

^{ }

23.B 24.E A

B C

D

2x+20 x

A

F C

D E

B

A

B C

D

N a

a a+x

a+x x A

B C

D x

31 SORU 25:

ABC bir üçgen,



  





m BAC 44

olduğuna göre, ^{m BDC}





A) 11 B) 22 C) 33 D) 44 E) 50

NOT:

D noktası ABC üçgeninin dış açıortaylarının kesim noktasıdır. D noktasına gelen



    

açıortay doğrularından herhangi ikisi soruda verilirse üçüncünün de açıortay olduğunu bilmeliyiz.

Dış teğet çemberin merkezi: Bir üçgende iki dış açıortay ve diğer iç açıortay bir noktada kesişir. Bu noktaya dış teğet çemberinin merkezi denir. Yukarıda D noktası ABC üçgeninin dış teğet çemberinin merke- zidir.

SORU 26:

ABC bir üçgen













olduğuna göre, ^{m AFC}





A) 20 B) 25 C) 30 D) 35 E) 40

SORU 27:

ABC bir üçgen,









m ACB 42 ,^{m ACD}





olduğuna göre, ^{m BDA}





A) 84 B) 62 C) 42 D) 32 E) 21

25.B 26.A 27.E

A

B C

44° D

x

A

B C

F 40°

70°

x

B C

D A

x

42° 69°

A

B C

D

32 SORU 28:

ABCD dörtgeninde





m ABC 44 , ^{m ACB}













m BCD 67 , ^{m ADC}





olduğuna göre, x kaç derecedir?

A) 12 B) 22 C) 32 D) 42 E) 52

SORU 29:

B, C, H doğrusal



 







m BAC 3x, ^{m BDC}





olduğuna göre, x kaç derecedir?

A) 10 B) 20 C) 30 D) 40 E) 50

SORU 30:

ABC üçgen





m BDC 70



 







m BAD x

olduğuna göre, x kaç derecedir?

A) 10 B) 20 C) 30 D) 40 E) 50

28.B 29.D 30.B

A

B C

x 67

68

44 46

D

A

D

C H B

K 3x

2x20

B

A

C F

D E

x

45 1. İKİZKENAR ÜÇGEN

İkizkenar üçgenin iki kenarı ve taban açıları eşittir.

AB  AC

 

m(B) m(C)

 İkizkenar üçgenlerde tabana, eşit kenarların arasın- dan indirilen dik doğru tabanı ve indiği köşedeki açıyı iki eşit parçaya ayırır.

 Bu dik doğru aynı zamanda açıortay, kenarortay ve yüksekliktir.

 İkizkenarlık, açıortay, kenarortay ve yükseklik bilgile- rinden herhangi ikisi veya bu şekilleri hatırlatan bir du- rum oluşmuş ise soru yukarıdaki şekil haline getirilir.

Örneğin; Soru aşağıdaki gibi ise,

şekline getirilebilir.

Örneğin; Soru aşağıdaki gibi ise,

şeklinde tamamlanabilir.

B C

A

A

B D C

E

A

B C

D

A

B C

D

E

B C

A

A

B D C

E

46

 Bazı üçgenlerde üçgenin ikizkenarlığı verilmese de aşağıdaki durumlar oluştuğunda biz üçgene ikizkenar diyebiliriz.

SORU 1:

ABC ikizkenar üçgen

AB  AC, BC  DC ,m(ABC) 75  ^o

Yukarıdaki verilere göre m(ACD)  kaç derece-x dir?

A) 30 B) 35 C) 40 D) 45 E) 50

SORU 2:

ABC ikizkenar üçgen

AC CB, AB  AD,m(DAC) 36  o

Yukarıdaki verilere göre, m(ACB)  kaç derece-x dir?

A) 24 B) 32 C) 36 D) 40 E) 48

SORU 3:

ABC bir üçgen

 ^o

m(BAD) 35 ,m(ACD) 25  ^o

Yukarıdaki verilenlere göre, m(BDC)  kaç dere-x cedir?

A) 100 B) 120 C) 125 D) 130 E) 140

1.D 2.C 3.B

B C

A

D

x 75^o

B D

A

x C

36^o

A

B C

25°

D 35°

x

B C B C B C

A A A

D D D

47 SORU 4: (ÖĞRENCİ SORUSU)

ABC ve ACD ikizkenar üçgen AB  AC  AD

 

olduğuna göre, m BAD kaç derecedir?

 

SORU 5: (ÖĞRENCİ SORUSU)

ABC üçgen

AB  BD  DC, AC  BC

olduğuna göre, m BDC kaç derecedir?

 

SORU 6: (ÖĞRENCİ SORUSU)

AB  BC , AD  AC

 

m ADC 75 , ^{m ACB}

 

 

m DAB  kaç derecedir? x

A) 25 B) 30 C) 35 D) 40 E) 45

SORU 7:

ABC bir üçgen

AD DC, DE DB,m(ADE) 30^  ^o

Yukarıdaki verilenlere göre, m(BAC) kaç derece- dir?

A) 45 B) 55 C) 65 D) 75 E) 85

4.D 5.C 6.C 7.D

A

B C

E

D 30^o A

B

C

D

E 40°

A

B C

D

A

B E C

D x

65°

75°

48 SORU 8:

ABC bir üçgen

AB  AC  BD,m(DAC) 24  ^o

Yukarıdaki verilenlere göre, m(ABC)  kaç dere-x cedir?

A) 36 B) 40 C) 44 D) 52 E) 60

SORU 9:

ABC bir üçgen

   

 

 ^o

m(ACB) 45

Yukarıdaki verilenlere göre, m(BAD)  kaç dere-x cedir?

A) 60 B) 70 C) 75 D) 80 E) 85

SORU 10:

ABC bir üçgen

   

m(FAB) m(EAC), m(BAD) m(DAE)  ,

 ^o

m(ACB) 20

Yukarıdaki verilenlere göre, m(ABC)  kaç dere-x cedir?

A) 20° B) 30° C) 40° D) 50° E) 60°

SORU 11:

ABC üçgen, AB EC , BD  DC

 

m ABC 54 olduğuna göre, ^{m ACB}

 

A) 22 B) 32 C) 42 D) 52 E) 62

8.C 9.B 10.B 11.C

B

A

x

24°

D C

A

B 45° C

25°

D x

B D C

F

E

x 20°

A

A

E

B D C

54° x

49 SORU 12: (ÖĞRENCİ SORUSU)

ABC üçgen,

   

AC  BC

olduğuna göre, m(ACB)  kaç derecedir? x

A) 26° B) 36° C) 46° D) 56° E) 66°

SORU 13:

ABC üçgen, AF  FD, AE  DC,^{m ABE}

 

 

SORU 14: (ÖĞRENCİ SORUSU)

   

   

   

 

m ABE 30 , m EDB ^  x

 

 

olduğuna göre x kaç derecedir?

A) 50 B) 55 C) 60 D) 70 E) 75

2. EŞKENAR ÜÇGEN

Eşkenar üçgenin üç kenarı birbirine eşittir. İç açıları 60° ar derecedir.

12.B 13.A 14.C

B C

A 60°

60° 60°

A

B D E C

x

E A

B D C

x

30°

F

A

B D C

x

F E

30°

50 SORU 15:

ABC bir üçgen,AEC eşkenar üçgen AD  AE, DB  DE

Yukarıdaki verilenlere göre, m(ABE)  kaç dere-x cedir?

A) 20 B) 40 C) 60 D) 70 E) 80

SORU 16:

ABC üçgen

AE  AB , BD  DC

   

 

m ACB   , ^{m BAC}

 

A) 10 B) 20 C) 30 D) 40 E) 50

SORU 17:

ABC bir üçgen

 ^o

m(B) 30 ,m(C) 60  ^o, AD  AC  EC

Yukarıdaki verilere göre, m(BED)  kaç derece-x dir?

A) 30 B) 45 C) 60 D) 75 E) 80

SORU 18: (ÖĞRENCİ SORUSU)

AD  AB  BC

 

m BAD 60 , ^{m CBA}

 

Verilenlere göre ^{m ADC}

 

A) 140 B) 130 C) 125 D) 120 E) 115

15.B 16.D 17.B 18.A

B E C

D

A

x B C

A

D

E 30° x 60°

D

C

A B



60° 80°

A

B

 C E

20

D

51 SORU 19: (ÖĞRENCİ SORUSU)

ABCD dörtgen E,A,B doğrusal

 

m EAD 120 , ^{m ADC}

 

olduğuna göre, m EBC kaç derecedir?

 

SORU 20:

DA  DC  CB

 ^o

m(A) 65 ,m(D) 110^  ^o

Yukarıdaki verilenlere göre, m(B)  kaç derece-x dir?

A) 35 B) 40 C) 45 D) 50 E) 55

MUHTEŞEM ÜÇLÜ

Hipotenüse ait kenarortay, ayırdığı parçalardan birine eşittir.

SORU 21:

   

 

m CAE 20 , ^{m AED}

 

olduğuna göre,^{m EDC}

 

A) 30 B) 45 C) 55 D) 70 E) 80

19.B 20.E 21.C

A

B D C

A

B D C

E F

 65°

20°

A B

C D

65° x 110°

A

E B

C D

120°

52 SORU 22:

   

 

m ADE 75 olduğuna göre, ^{m DEC}

 

A) 25 B) 35 C) 45 D) 55 E) 65

SORU 23: (ÖĞRENCİ SORUSU)

ABC bir dik üçgen

   

 

AD  DC EB

olduğuna göre, ^{m BAC}

 

A) 60 B) 50 C) 40 D) 30 E) 20

Pratik Yol:

   

   

Yukarıdaki iki şekilde 90^o nin içinden veya 90^o nin yanından çizilen doğru hipotenüs uzunluğunun yarısı- na eşit ise hipotenüse ait kenarortay doğrusu çizilerek muhteşem üçlü oluşturulur.

SORU 24:

   

ABC üçgen, AD 4 cm, BC 8 cm

 

m ACB 40 olduğuna göre, ^{m ADC}

 

A) 20 B) 40 C) 60 D) 80 E) 100

22.A 23.B 24.D

A

E B C

D F

x

75°

A

B C

4 D

2

 40°

A

B C

D 2x x

 

A

D C

k

 

B 2k

A

B E C

D

110°



53 SORU 25:

ABC üçgen, 2 AB  DC, ^{m BAD}

 

   

olduğuna göre, ^{m ACB}

 

A) 21 B) 23 C) 25 D) 27 E) 29

SORU 26:

ABC dik üçgen

 

m ABC 90 , AD DC  BE

 

olduğuna göre, ^{m ADE}

 

A) 40 B) 45 C) 50 D) 55 E) 60

SORU 27:

Uzunlukları eşit olan AB , AC , DL , LE çubukları ikişerli uç uca eklenerek aşağıdaki görüntü elde ediliyor.

 

m CAB 80^, ^{m ELD}

 

Buna göre, BKD açısının ölçüsü kaç derecedir?

A) 40 B) 30 C) 35 D) 25 E) 45

SORU 28:

ABC dik üçgen

   

AD  DB, AC  DE

 

m CAB 72 , ^{m EDB}

 

Yukarıdaki verilere göre, x kaç derecedir?

A) 6 B) 8 C) 10 D) 12 E) 14

25.A 26.B 27.A 28.D

A

B D 2k C

 k ^27°

A

D

C B E

F

A D B

E C

72 x

54 SORU 29:

Aşağıda Mithat'ın okulunun, spor salonunun, evinin ve marketin krokisi verilmiştir.

 Mithat'ın aynı yürüme hızıyla evden okula gidiş süresi ile evden markete gidiş süresi aynıdır.

 Mithat'ın aynı yürüme hızıyla okuldan spor salonu- na gidiş süresi ile spor salonundan evine gidiş sü- resi aynıdır.

Yukarıdaki verilere göre, okul, ev ve marketi bir- leştiren doğrusal yollar arasındaki açı kaç derece- dir?

A) 40 B) 45 C) 50 D) 55 E) 60

SORU 30:

Şekildeki ABC üçgen kağıdın AC kenarı AB kenarı üzerine gelecek şekilde AD boyunca katlanıyor.

Katlama sonucunda oluşan şekilde CDB ve CAD açılarının ölçüleri sırasıyla 20 ve 30 olmuştur.

Buna göre, B açısının ölçüsü kaç derecedir?

A) 40 B) 50 C) 60 D) 70 E) 80

29.A 30.B

B D C

A A

C

B D

20

30

67 PİSAGOR BAĞINTISI:

Bir dik üçgende dik kenarların kareleri toplamı hipote- nüsün karesine eşittir.

   

2 2 2

x y z

İSPAT 1:

ABC CDE olmak üzere,

 

Alan ABC

 2

 

Alan CDE

 2

 

Alan ACE

 2

  

  

Alan ABDE

2

 



       

Alan ABDE Alan ABC Alan CDE Alan ACE olur. Yukarıdaki eşitlikleri yerine yazdığımızda;

2 2

(y z) y.z y.z x

2 2 2 2

   

2 2 2

y 2yz z x 2yz

2 2

   

2 2 2

y 2yz z x 2yz

2 2 2

y z x sonucunu elde etmiş oluruz.

İSPAT 2:

ABCD ve EFGH kare olmak üzere;

       

Alan FDE Alan ECH Alan HBG Alan GAF

    2

 

Alan EFGH x

   

Alan ABCD  y z

     

Alan ABCD 4.Alan FDE Alan EFGH





  2 

2 2 2

y 2.y.z z 2.y.z x

2 2 2

y z x sonucunu elde etmiş oluruz.

y A

B C D

E

x x z

y z

α

α

β

β A

B C

z

y x

A G B

H E C

D

F β

α β α

β α

β

α x

x x

x

y z

y z

y z

y

z

68 SORU 1:

ABBC , BC 6 cm , AB 4 cm , AC x cm Buna göre, x kaçtır?

A) 4 3 B) 7 C) 2 13 D) 3 6 E) 8

SORU 2:

ADDC , ABBC , AD x cm , DC 4 3 cm

BC 2 6 cm , AB 5 cm olduğuna göre, x kaçtır?

A) 4 B) 3 C) 2 D) 2 E) 1

SORU 3: (ÖĞRENCİ SORUSU)

ABBC , ADDB ,

AD DB 3 cm , CB 6 cm, AC x cm Buna göre, x kaçtır?

A) 4 3 B) 7 C) 5 2 D) 3 6 E) 8

SORU 4:

BAAC , AB 6 3 cm , AC 12 cm , BCx cm

olduğuna göre, x kaçtır?

A) 8 2 B) 8 3 C) 6 6 D) 6 7 E) 12 2

1.C 2.E 3.D 4.D

B A

C

x 4

6

B

C D

A

X 4 3

5 2 6

B A

C

x

3 6

3

D

A

B x C

6 3 12

69 SORU 5:

ABC bir üçgen,

AH BC , AB 5 cm , AC 7 cm , BC 8 cm

Buna göre, BH  kaç cm dir? x

A) 2 B) 2,2 C) 2,4 D) 2,5 E) 2,6

SORU 6: (ÖĞRENCİ SORUSU)

   

AB 5 2 , BD  , DC1  14

olduğuna göre AC  kaçtır? x

A) 14 B) 2 14 C) 2 7 D) 3 7 E) 4 7

SORU 7:

AH BH , AB 20 cm , AC 13 cm , BC 11cm

olduğuna göre, CH  kaç cm dir? x

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

SORU 8: (ÖĞRENCİ SORUSU)

   

AD  , DC4  , BC5  , BDx  , ABy  a

2 2 2

x a y olduğuna göre a ?

A) 11 B) 29 C) 65 D) 5 3 E) 97

5.D 6.D 7.D 8.C

H

B x C

5 7

A A

H

B C

20

11 x

13

A

B x C

D 4

5 a

y A

B 1 14

5 2 x

D C

70 SORU 9: (ÖĞRENCİ SORUSU)

ABCD dörtgeninde

   

   

Verilenlere göre AB  kaç cm dir? x

A) 13 B) 14 C) 16 D) 17 E) 20

MUHTEŞEM ÜÇLÜ:

Dik üçgende hipotenüse ait kenarortay uzunluğu, hipotenüs uzunluğunun yarısı kadardır.

İspat:

2a 2b 180  o (İç açılar toplamı 180°) a b 90  o, ^{m A}

 

SORU 10:

ABBC , AD  DC , BD 2 5 cm ,

AB 4 cmolduğuna göre, BC  kaç cm dir? x

A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9

SORU 11:

BAAC , AH HD , BD DC , AB 8 cm , AC12 cm , HD4 cm

Buna göre, AH  kaç cm dir? x

A) 4 B) 4 2 C) 5 D) 4 3 E) 6

9.C 10.D 11.E

C B

D A

4

x 2 5

A

B D C

A

B D C

12

4 8 x

H

A x B

5 4 C

D

13

A

B D C

a b

a b

71 SORU 12: (ÖĞRENCİ SORUSU)

ABC dik üçgen

   

   

EA 1 cm, AC 3 cm, ED 4 cm BD  DC

Verilenlere göre, AB kaç cm dir?

A) 2 15 B) 59 C) 2 14 D) 53 E) 47

NOT:





KENARLARINA GÖRE ÖZEL DİK ÜÇGENLER:

 k = 1 için 3 – 4 – 5

k = 2 için 6 – 8 – 10 k = 3 için 9 – 12 – 15 k = 4 için 12 – 16 – 20 k = 5 için 15 – 20 – 25



k = 1 için 5 – 12 – 13 k = 2 için 10 – 24 – 26 k = 3 için 15 – 36 – 39



k = 1 için 8 – 15 – 17 k = 2 için 16 – 30 – 34



k = 1 için 7 – 24 – 25 k = 2 için 14 – 48 – 50



k = 1 için 9 – 40 – 41 k = 2 için 18 – 80 – 82

12.B E

1 A

B D C

3

x x 5

2x

A

B C

3k 5k

4k

A

B C

5k 13k

12k

A

B C

8k 17k

15k

A

B C

7k 25k

24k

A

B C

9k 41k

40k

x x 10

3x

72 SORU 13:

ABAD , BDBC , AB 3 cm , AD 4 cm , BC 12 cm

Buna göre, CD  kaç cm dir? x

A) 10 B )12 C) 13 D) 15 E) 17

SORU 14:

ABBC , CDBD

AC 17 cm , AB 8 cm , CD9 cm

olduğuna göre, BD  kaç cm dir? x

A) 8 B) 9 C) 10 D) 12 E) 13

SORU 15:

ABAC , BDDC

AC15 cm , AB 20 cm , DB7 cm

Buna göre, DC kaç cm dir?

A) 17 B) 18 C) 19 D) 20 E) 24

SORU 16:

AHBH

AC10 cm , BC 9 cm , CH6 cm

Buna göre, AB  kaç cm dir? x

A) 15 B) 17 C) 20 D) 24 E) 25

13.C 14.D 15.E 16.B

A

D

C B

3 4

12 x

B C D

A

15 7

H A

B 9 C 6

x

10

D B C

8 17

x 9

A

73 SORU 17:

ACBC , AD DB , DC 10 cm , AC 12 cm

Buna göre, BC  kaç cm dir? x

A) 13 B) 14 C) 16 D) 18 E) 20

SORU 18:

Hipotenüs uzunluğu (3x + 1) cm olan dik üçgenin dik kenar uzunlukları (x + 1) cm ve (2x + 4) cm veriliyor.

Buna göre, bu dik üçgenin dik kenar uzunlukların- dan biri aşağıdakilerden hangisidir?

A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 12

SORU 19:

BAAC, AC  DC , AB 9 cm, BD 3 cm Buna göre, ABC üçgeninin çevresi kaç cm dir?

A) 24 B) 27 C) 30 D) 36 E) 45

SORU 20: (ÖĞRENCİ SORUSU)

AEAB , EBBC , ECCD , AB 9 cm AE 12 cm , BC20 cm , CD 60 cm

olduğuna göre, ED  kaç cm dir? x

A) 65 B) 68 C) 70 D) 72 E) 75

17.C 18.E 19.D 20.A

B A

E C

D 60 x

12 20

9 A

B C

D 12

10

x

A

B 3 C

9

D

74 SORU 21:

ABAC, BD DC , ^AB 





 

AC  x 3 cm, AD x cm Buna göre, x kaçtır?

A) 5 B) 8 C) 10 D) 12 E) 13

SORU 22: (ÖĞRENCİ SORUSU)

AB  AC , BHAC , BH4 cm , AH3 cm

Buna göre, BC  kaç cm dir? x

A) 2 B) 3 C) 2 5 D) 2 6 E) 5

SORU 23:

ABBC , BCCD, AB CD 9 cm , BC 12 cm

Buna göre, A ile D noktaları arasındaki en kısa uzaklık kaç cm dir?

A) 12 B) 13 C) 15 D) 17 E) 20

SORU 24:

ABBC ,DCBC , AB 10 cm , DC6 cm BC 12 cm

[BC] üzerinde değişken bir K noktası alınıyor.

Buna göre, AK KD toplamının en küçük değeri kaç cm dir?

A) 15 B) 17 C) 20 D) 24 E) 25

21.A 22.C 23.C 24.C

C B

A

H 3

x 4

D

A 10 B

12 6 C

A

B C

x + 3 x + 1

D x

A

B 12 C

D

75 SORU 25: (ÖĞRENCİ SORUSU)

Şekilde

   

   

AB 3 cm, CD 5 cm, BC 6 cm

Verilenlere göre, AD kaç cm dir?

A) 8 B) 9 C) 10 D) 13 E) 15

SORU 26: (ÖĞRENCİ SORUSU)

BC 15, AB  , DC3  5

   

   

 

P BC olduğuna göre AP PD toplamının en küçük değeri kaçtır?

A) 10 B) 15 C) 17 D) 20 E) 25

SORU 27:

   

   

   

AE  , EB2  7 , BC  3

olduğuna göre, AD  kaçtır? x

A) 3 B) 5 C) 2 3 D) 2 5 E) 2 7

NOT:

2 2 2 2

a c  b d

25.C 26.C 27.C

A

B 3

C

5

D

A 2 E 7 B

3 C F

D

x A

3

B C

5

D

d

a b

c d

d

a b

c d

d

a b

c d

76 SORU 28:

ACBD

AB 6 cm, BC 4 cm, CD 5 cm

olduğuna göre, AD  kaç cm dir? x

A) 6 B) 3 5 C) 7 D) 5 2 E) 8

SORU 29:

ADBC

BE 7 cm, EC 11 cm, AC 15 cm olduğuna göre, AB  kaç cm dir? x

A) 149 B) 150 C) 151 D) 152 E) 153

SORU 30:

Yerden yüksekliği 50 cm olan AB çubuğu I nolu ko- numdan II nolu konuma getirildiğinde B noktası yatay- da 60 cm yol alıyor.

AB 100 cm

Buna göre, B^ı noktasının yerden yüksekliği kaç cm dir?

A) 55 B) 60 C) 65 D) 70 E) 80

SORU 31:

Yerden 2 m yükseklikteki vinç kancasına bağlı esnek olmayan halatın diğer ucu 9 m ilerdeki bir kutunun alt kenarına bağlıdır. (Şekil -1)

Şekil-2'deki vincin kancası kaç m yukarıda olursa, kutunun uzaklığı 7 m olur?

A) 7 B) 6 C) 30 D) 2 7 E) 5

28.B 29.E 30.D 31.B

A

B D

C

4 5

6 x

A

B

B^ı

K L

I

II

B D C

A

x

7

E

11 15

77 SORU 32:

Şekilde ABC üçgeninden başlayarak, hipotenüslere 1 er br lik dik kenar çizilmesiyle oluşturulan dik üçgenler verilmiştir.

Buna göre, şekildeki 44. dik üçgenin hipotenüsü kaç br dir?

A) 12 B)15 C) 21 D) 30 E) 32

SORU 33:

Uzunluğu 5 metre olan bariyer kapalı durumda iken yerden 1 m yüksektedir.

Bariyer açıldığında uç noktası yerden 4 m yüksek- te olduğuna göre, bariyerin uç noktasının başlan- gıçtaki konumuna uzaklığı kaç m dir?

A) 2 3 B) 3 C) 10 D) 2 3 E) 2 5

SORU 34:

Yere dik konumlu AB çubuğu I. konumda iken ok yönünde devrilerek II. konumda sabit duran KLMN ka- lasının N köşesine çarpıp duruyor.

Buna göre, BN uzunluğu kaç birimdir?

A) 20 B) 24 C) 17 D) 25 E) 30

SORU 35:

Aşağıda bir forkliftin yük taşıma esnasındaki üç farklı görüntüsü verilmiştir.

Forklift ikinci görüntüdeki gibi yükü 20 birim yukarı kaldırıldığında, forkliftin ön kısmındaki A noktası ile kolinin köşe noktalarından biri olan B noktası arasın- daki uzaklık 25 birim oluyor.

Üçüncü görüntüdeki gibi yükünü 85 birim daha yukarı kaldırıldığında A ile B noktaları arasındaki uzaklık kaç birim olur?

A) 30 B) 30 2 C) 30 3 D) 60 2 E) 75 2

32.A 33.C 34.E 35.E

1 m

Kapalı Açık

B C

D E

1 1

1 10

A

B A

B A

B

A

1 2 3

90 ÖKLİD BAĞINTILARI



h2p.k

İspat:

BHA^ AHC^ (A.A.A Benzerliği)

HA BH h p

HC  AH k  h h2p.k

SORU 1:

BAAC , AH BC , BH 5 cm , HC 20 cm Buna göre, AH  kaç cm dir? x

A) 6 B) 8 C) 9 D) 10 E) 12

SORU 2: (ÖĞRENCİ SORUSU)

BAAC, AH BC, BH 4cm, HC 16 cm

Buna göre, AH kaç cm dir? x

A) 4 B) 6 C) 8 D) 12 E) 16

1.D 2.C C

H B

A

h

p k

C H

B

A

x

5 20

C H

B

A

x

4 16

C H

B

A

h

p k

 

 

91 SORU 3: (ÖĞRENCİ SORUSU)

BAAC , AH BC , AH 6 cm , HC12 cm Buna göre, BH kaç cm dir? x

A) 2 B) 3 C) 4 D) 6 E) 9

SORU 4:

BAAC , AH BC , AH 6 cm , BH3 cm

Buna göre, AC  kaç cm dir? x

A) 5 6 B) 4 6 C) 6 5 D) 10 2 E) 15

SORU 5:

BAAC , AH BC , AH 12, BH  9 cm

Buna göre, HC kaç cm dir? x

A) 8 B) 12 C) 5 D) 16 E) 18



 

 

2 2

c p. p k b k. p k

 

 

2 2

c p

b  k

3.B 4.C 5.D

C H

B

A

6

x 12 B H C

A

12

9 x

C H

B

A

6

3

x

C H

B

A

c

p k

b

92 İspat:

ABH CBA^  ^ ACH BCA^  ^

AB BH

CB  BA AC CH

BC  CA









 

c2p p k ^b2^{k p k}





SORU 6:

BAAC , AHBC , AB 6 cm , BH2 cm

Buna göre, HC  kaç cm dir? x

A) 8 B) 10 C) 12 D) 14 E) 16

SORU 7: (ÖĞRENCİ SORUSU)

BAAC , AHBC , AB 6 cm , BH4 cm

Buna göre, BC kaç cm dir?

A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9

SORU 8:

BAAC , AH BC , AC 8 cm , BH 12 cm

Buna göre, HC kaç cm dir? x

A) 2 B) 3 C) 4 D) 6 E) 8

6.E 7.E 8.C

C H

B

A

6

2 x

C H

B

A

6

4

C H

B

A

x 8

12 C

H B

A

h

p k

 

 

c b

93 SORU 9:

BAAC, AH BC, AC 10 cm, BH 15 cm  

Buna göre, HC  kaç cm dir? x

A) 2 B) 4 C) 5 D) 8 E) 10

SORU 10: (ÖĞRENCİ SORUSU)

ABBC , BHAC , AB 12 cm , AH 8 cm

Buna göre, AC kaç cm dir?

A) 17 B) 18 C) 19 D) 20 E) 21

SORU 11:

BAAC , AH BC , AB 6 cm , HC 16 cm

Buna göre, BH  kaç cm dir? x

A) 2 B) 2 2 C) 3 D) 2 3 E) 4

SORU 12:

ABE ve BCD birer dik üçgen

   

   

AD 2cm, BE 8 cm, AB 10 cm

verilere göre EC  kaç cm 'dir? x

A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 10

9.C 10.B 11.A 12.A

A

H C

B 15 x

10

B C

H

A

12 8

C H

B

A

6

x 16

A

B 8 E x C

D 2 10

94 SORU 13:

ABC ve DBF birer dik üçgen,

   

   

   

AD  DE, BE 4 cm, FC 6 cm verilenlere göre EF  kaç cm'dir? x

A) 1 B) 3

2 C) 2 D) 5

2 E) 3

SORU 14:

ABC üçgeninde

   

   

   

ED 1cm, CE 3 cm

verilere göre EB  kaç cm'dir? x

A) 12 B) 16 C) 18 D) 24 E) 27

SORU 15:

ABC üçgeninde,

   

   

BD  DA

BE 3 cm, EC27 cm

verilenlere göre DE  kaç cm'dir? x

A) 4 B) 5 C) 6 D) 8 E) 9

13.C 14.E 15.C

A B

C D

E 3 1

x

A

B 3 E 27 C

D

x A

B 4 E x F 6 C

D