• Sonuç bulunamadı

Kinetik enerji ve potansiyel enerji toplam¬n¬n her noktada sabit oldu¼ gu sis- temler korunumlu sistem ad¬n¬al¬r.

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Kinetik enerji ve potansiyel enerji toplam¬n¬n her noktada sabit oldu¼ gu sis- temler korunumlu sistem ad¬n¬al¬r."

Copied!
3
0
0

Yükleniyor.... (view fulltext now)

Tam metin

(1)

Lineer Olmayan Korunumlu Sistemler

Bilindi¼ gi üzere herhangi bir dinamik sistemin i¸ sleyi¸ sinde ço¼ gunlukla bir çe¸ sit sürtünmeden dolay¬ enerji kayb¬ olur. Bununla beraber, belli durumlarda bu kay¬p o kadar yava¸ st¬r ki k¬sa zaman aral¬klar¬nda ihmal edilebilir. Böyle durumlarda enerjinin korunum yasas¬n¬n varl¬¼ g¬, yani kinetik enerji ve potan- siyel enerji toplam¬n¬n sabit oldu¼ gu varsay¬l¬r.

Kinetik enerji ve potansiyel enerji toplam¬n¬n her noktada sabit oldu¼ gu sis- temler korunumlu sistem ad¬n¬al¬r.

Bu bölümde

m d 2 x

dt 2 + f (x) = 0 (1)

denklemi ile tan¬ml¬ lineer olmayan korunumlu bir sistem ele al¬nacakt¬r.

Burada sönüm kuvveti s¬f¬rd¬r ve sonuç olarak enerji kayb¬yoktur.

(1) denklemi 8

> >

> <

> >

> : dx

dt = y dy

dt = f (x) m

(2)

otonom sistemine e¸ sde¼ gerdir.

(2) sisteminden

dy

dx = f (x)

my (3)

diferensiyel denklemi elde edilir. (3) denklemi (2) nin yörüngelerinin diferen- siyel denklemidir.

x(t 0 ) = x 0 ; y(t 0 ) = y 0 olmak üzere (3) denklemi çözülürse,

1

2 my 2 + Z x

0

f (s)ds = 1

2 my 2 0 +

x

0

Z

0

f (s)ds (4)

elde edilir. Burada

1

2 my 2 = 1 2 m( dx

dt ) 2

1

(2)

ve

V (x) = Z x

0

f (s)ds

s¬ras¬yla, dinamik sistemin kinetik ve potansiyel enerjileridir. Bu yüzden (4) e¸ sitli¼ gi

E = 1

2 my 2 0 + V (x 0 ) sistemin sabit toplam enerjisi olmak üzere

1

2 my 2 + V (x) = E (5)

¸ seklinde enerjinin korunumu yasas¬n¬ifade eder.

(5) e¸ sitli¼ gi, (3) denkleminin çözülmesi ile elde edildi¼ ginden, (2) nin yörün- gelerinin denklemidir.

(2) sisteminin kritik noktalar¬ f (x) = 0 denkleminin kökleri x c ler olmak üzere (x c ; 0) noktalar¬d¬r.

Teorem 1. (x c ; 0) (2) sisteminin kritik noktas¬olsun. Bu durumda a¸ sa¼ g¬daki özellikler sa¼ glan¬r:

(i) V (x), x = x c de bir yerel minimuma sahip ise, bu durumda (x c ; 0) merkez nokta olup kararl¬d¬r.

(ii) V (x), x = x c de bir yerel maksimuma sahip ise, bu durumda (x c ; 0) bir semer noktas¬olup karars¬zd¬r.

(iii) V (x), x = x c de bir yatay büküm noktas¬na sahip ise, bu durumda (x c ; 0) bir dejenere nokta olup karars¬zd¬r.

Örnek 1.

d 2 x

dt 2 + (4x 4x 3 ) = 0 (6)

diferensiyel denklemi ile tan¬ml¬olan sistemin yörüngellerini ve kritik nokta- lar¬n¬bulunuz, kritik nokta türünü belirleyiniz.

Çözüm. (6) denklemine e¸ sde¼ ger sistem 8 >

> >

<

> >

> :

dx dt = y dy

dt = 4x 3 4x

(7)

2

(3)

dir. (7) sisteminin yörüngeleri 1

2 y 2 x 4 + 2x 2 = E olup,

V (x) = Z x

0

f (s)ds = x 4 + 2x 2 (8)

potansiyel enerji fonksiyonudur. (7) sisteminin kritik noktalar¬ aç¬k olarak (0; 0); (1; 0) ve ( 1; 0) d¬r. (8) den görülebilir ki, V (x) potansiyel enerji fonksiyonu x = 0 da bir yerel minimuma, x = 1 ve x = 1 de yerel maksi- muma sahiptir.

Buna göre Teorem 1 den (0; 0) kritik noktas¬bir merkez nokta olup kararl¬d¬r, ( 1; 0) ve (1; 0) noktalar¬da semer noktalar¬olup karars¬zd¬r.

3

Referanslar

Benzer Belgeler

Bu da D nin a¸cık k¨ ume olması, dolayısıyla, C nin kapalı k¨ ume olması

Sürtünme kuvvetinin etkisiyle sürtünen yüzeyler ara- sında enerji alışverişi olur. Enerji alışverişi nedeniyle gerçekleşen enerji dönüşümünde açığa çıkan enerji ısı,

When the block is released from rest, the spring snaps back to its original length and the stored elastic potential energy is transformed into ki- netic energy of the block

Bir parçacık üzerine etkiyen kuvvet değişken ise sabit ivme denklemlerini burada

Başka bir örnek olarak iki elektronlu sistemin enerjisi herbir elektronun kinetik enerjilerinin toplamı şeklindedir...

[r]

A) Topun hareketi sırasında potansiyel ve kinetik enerji dönüşümleri gerçekleşir. B) Top yükselirken sürati azalacağından kinetik enerjisi azalır. Ancak yüksekliği

Fakat inferior vena kava ile sol renal ven arasmda belirgin basmg fark1 tespit etmi;;ler ve bu farkm sol renal venin kompresyonuna bagh olabilecegini ileri sOrerek