5. İŞ VE ENERJİ 5.1 İş 5.2 Güç 5.3 Kinetik Enerji 5.4 Potansiyel Enerji 5.5 Enerji Korunum Yasası

(1)

1

5. İŞ VE ENERJİ 5.1 İş

5.2 Güç

5.3 Kinetik Enerji 5.4 Potansiyel Enerji

5.5 Enerji Korunum Yasası

Daha iyi sonuç almak için, Adobe Reader programını Tam Ekran modunda çalıştırınız.

Sayfa çevirmek/Aşağısını görmek için, farenin sol/sağ tuşlarını veya PageUp/PageDown tuşlarını kullanınız.

Üniversiteler İçin FİZİK I 5. İŞ VE ENERJİ : 1 / 18

(2)

5.1 İŞ

Sabit Kuvvetin Yaptığı İş

Bir F kuvvetinin d kadar yerdeğiştirme sırasında cisim üzerinde yaptığı iş

W = Fd cos θ ^H

Birimi: newton × metre= Joule (J) ^H

Kuvvet var ama cisim yerdeğiştirmiyorsa (d = 0), yapılan iş sıfırdır.^H Kuvvet yerdeğiştirmeye dik ise ( cos 90^◦= 0), yaptığı iş sıfırdır.^H Kuvvet gidilen yönle geniş açı yapıyorsa, yani kuvvetin izdüşümü ters yönde ise, yapılan iş negatif olur.H

İşin Skaler Çarpım olarak ifadesi: W = Fd cos θ = ~F · ~d

(3)

5.1 İŞ

W = Fd cos θ ^H

(4)

5.1 İŞ

W = Fd cos θ ^H

Kuvvet var ama cisim yerdeğiştirmiyorsa (d = 0), yapılan iş sıfırdır.^H

Kuvvet yerdeğiştirmeye dik ise ( cos 90^◦= 0), yaptığı iş sıfırdır.^H Kuvvet gidilen yönle geniş açı yapıyorsa, yani kuvvetin izdüşümü ters yönde ise, yapılan iş negatif olur.H

(5)

5.1 İŞ

W = Fd cos θ ^H

Kuvvet var ama cisim yerdeğiştirmiyorsa (d = 0), yapılan iş sıfırdır.^H Kuvvet yerdeğiştirmeye dik ise ( cos 90^◦= 0), yaptığı iş sıfırdır.^H

Kuvvet gidilen yönle geniş açı yapıyorsa, yani kuvvetin izdüşümü ters yönde ise, yapılan iş negatif olur.H

(6)

5.1 İŞ

W = Fd cos θ ^H

(7)

5.1 İŞ

W = Fd cos θ ^H

(8)

Değişken Kuvvetin Yaptığı İşH

x -ekseni boyunca a dan b ye giden bir cisme, yol boyunca değişen bir F (x) kuvveti etkiyor olsun.H

[a, b] yolu, N sayıda küçük ∆x aralıklarına bölünür.^H

Bu aralıkların birinde yapılan küçük iş (şekildeki dikdörtgenin alanı):

∆Wi ≈F (x_i)∆x (i= 1, 2, 3, . . . N)

(9)

∆Wi ≈F (x_i)∆x (i= 1, 2, 3, . . . N)

(10)

∆Wi ≈F (x_i)∆x (i= 1, 2, 3, . . . N)

(11)

∆Wi ≈F (x_i)∆x (i= 1, 2, 3, . . . N)

(12)

Toplam iş, bu küçük ∆W lerin toplamı olur:

W ≈

N

X

i=1

∆Wi ≈

N

X

i=1

F (xi)∆x ^H

∆x → 0 limitine gidildiğinde, bu toplam F(x) fonksiyonunun [a, b] aralığındaki belirli integrali olur:

W = Z b

a

F (x) dx (Değişken kuvvetin yaptığı iş)

(13)

Toplam iş, bu küçük ∆W lerin toplamı olur:

W ≈

N

X

i=1

∆Wi ≈

N

X

i=1

F (xi)∆x ^H

∆x → 0 limitine gidildiğinde, bu toplam F(x) fonksiyonunun [a, b]

aralığındaki belirli integrali olur:

W = Z b

a

F (x) dx (Değişken kuvvetin yaptığı iş)

(14)

Kısa İntegral Bilgisi: H

Belirsiz integral: Φ(x) = Z

F (x) dx veya dΦ

dx = F(x)^H Bazı fonksiyonların belirsiz integralleri (c bir sabit). fonksiyon (F ) Φ(x) fonksiyon (F ) Φ(x)

1 x+ c cosx sinx+ c

x ¹₂x²+ c sinx −cosx+ c

x² ¹₃x³+ c e^x e^x+ c

√x= x^1/2 ²₃x^3/2+ c x¹ lnx+ c

xⁿ xⁿ⁺¹

n+ 1 + c lnx x ln x − x+ c ^H

Belirli integral hesabı: Z b a

F (x) dx = Φ(x)

x=b

x=a= Φ(b) − Φ(a)

(15)

F (x) dx veya dΦ

dx = F(x)^H

Bazı fonksiyonların belirsiz integralleri (c bir sabit). fonksiyon (F ) Φ(x) fonksiyon (F ) Φ(x)

1 x+ c cosx sinx+ c

x² ¹₃x³+ c e^x e^x+ c

√x= x^1/2 ²₃x^3/2+ c x¹ lnx+ c

xⁿ xⁿ⁺¹

F (x) dx = Φ(x)

x=b

x=a= Φ(b) − Φ(a)

(16)

F (x) dx veya dΦ

dx = F(x)^H Bazı fonksiyonların belirsiz integralleri (c bir sabit).

fonksiyon (F ) Φ(x) fonksiyon (F ) Φ(x)

1 x+ c cosx sinx+ c

x² ¹₃x³+ c e^x e^x+ c

√x= x^1/2 ²₃x^3/2+ c x¹ lnx+ c

xⁿ xⁿ⁺¹

F (x) dx = Φ(x)

x=b

x=a= Φ(b) − Φ(a)

(17)

F (x) dx veya dΦ

dx = F(x)^H Bazı fonksiyonların belirsiz integralleri (c bir sabit).

fonksiyon (F ) Φ(x) fonksiyon (F ) Φ(x)

1 x+ c cosx sinx+ c

x² ¹₃x³+ c e^x e^x+ c

√x= x^1/2 ²₃x^3/2+ c x¹ lnx+ c

xⁿ xⁿ⁺¹

Belirli integral hesabı:

Z b a

F (x) dx = Φ(x)

x=b

x=a= Φ(b) − Φ(a)

(18)

Yay Kuvvetinin Yaptığı İşH

Normal uzunluğuL₀ olan bir yayı L boyuna kadar uzatalım (veya, sıkıştıralım).H

H

Yay daima bir F kuvvetiyle karşı koyar. Yayın uzama miktarı: x = L − L0

(Uzama için x > 0 , sıkışma için x < 0 .)H

Hooke yasası: Bir yayda oluşan kuvvet, uza- mayla orantılı ve karşı koyacak yönde oluşur.

F = −kx

(Eksi işareti kuvvetin uzamaya ters yönde ol- duğunu belirtir.)

k : Yay sabiti

(19)

H

F = −kx

k : Yay sabiti

(20)

H

F = −kx

k : Yay sabiti

(21)

H

Yay daima bir F kuvvetiyle karşı koyar.

Yayın uzama miktarı: x = L − L0

F = −kx

k : Yay sabiti

(22)

H

Yay daima bir F kuvvetiyle karşı koyar.

Yayın uzama miktarı: x = L − L0

F = −kx

k : Yay sabiti

(23)

Yay kuvvetinin x= 0 dan x = d ye kadar yaptığı iş:

W_yay = Z d

0

F (x) dx= Z d

0

(−kx) dx = −k Z d

0

x dx = −k

1 2x²

d 0

Wyay = −¹₂kd²H

Yay kuvveti uzamaya ters yönde olduğu için, yaptığı iş negatif olur. Bizim yayı uzatabilmek için buna karşı pozitif bir iş yapmamız gerekir.

(24)

Yay kuvvetinin x= 0 dan x = d ye kadar yaptığı iş:

W_yay = Z d

0

F (x) dx= Z d

0

(−kx) dx = −k Z d

0

x dx = −k

1 2x²

d 0

Wyay = −¹₂kd²H

Yay kuvveti uzamaya ters yönde olduğu için, yaptığı iş negatif olur.

Bizim yayı uzatabilmek için buna karşı pozitif bir iş yapmamız gerekir.

(25)

5.2 GÜÇ

Birim zamanda yapılan iş.H

∆t zaman aralığında ∆W kadar iş yapılıyorsa, ortalama güç, P_ort = ∆W

∆t (ortalama güç) H

Ve herhangi bir t anındaki ani güç, P = lim

∆t→0

∆W

∆t = dW

dt (ani güç) Ani güç işin türevidir. H

Birimi : SI sisteminde joule/saniye= watt (kısaca W). Sanayide kullanılan birimler:

kilowatt (kW)= 1000 W

Beygir gücü (HP) : 1 HP=746 watt=0.746 kW

(26)

5.2 GÜÇ

∆t→0

∆W

∆t = dW

(27)

5.2 GÜÇ

∆t→0

∆W

∆t = dW

(28)

5.2 GÜÇ

∆t→0

∆W

∆t = dW

Birimi : SI sisteminde joule/saniye= watt (kısaca W).

Sanayide kullanılan birimler:

(29)

5.3 KİNETİK ENERJİ

Tanım: m hızıyla giden m kütleli cismin kinetik enerjisi:

K = ¹₂mv² H

Daima pozitif. Duran cismin kinetik enerjisi sıfır. Birimi:

kg × (m/s)²= kg × m

s² ×m= newton × m = joule −→ İş birimi!

(30)

5.3 KİNETİK ENERJİ

Tanım: m hızıyla giden m kütleli cismin kinetik enerjisi:

K = ¹₂mv² H

Daima pozitif. Duran cismin kinetik enerjisi sıfır.

Birimi:

kg × (m/s)²= kg × m

s² ×m= newton × m = joule −→ İş birimi!

(31)

İş-Enerji Teoremi: Kinetik enerji ile iş arasında ilişki.

m kütleli cisim başlangıçta x₀ konumlu yerde v0 hızına sahipken, sabit Fnet kuvvetinin etkisiyle x konumuna vardığında hızı v olsun. H

Sabit kuvvetin yaptığı net işi yazalım: Wnet= Fnetd= Fnet(x − x0) H

Kuvveti ikinci yasadan (F_net= ma) ve hızları zamansız hız formülünden [v²−v₀²= 2a(x − x0)] olarak alırız:

W_net= ma (x − x0)= ¹₂m a(x − x₀)

| {z } (v²−v₀²)/2

W_net= ¹₂mv²−¹₂mv₀²= K − K0 (İş-Enerji teoremi)

(32)

Sabit kuvvetin yaptığı net işi yazalım:

Wnet= Fnetd= Fnet(x − x0) H

Kuvveti ikinci yasadan (F_net= ma) ve hızları zamansız hız formülünden [v²−v₀²= 2a(x − x0)] olarak alırız:

W_net= ma (x − x0)= ¹₂m a(x − x₀)

| {z } (v²−v₀²)/2

W_net= ¹₂mv²−¹₂mv₀²= K − K0 (İş-Enerji teoremi)

(33)

Sabit kuvvetin yaptığı net işi yazalım:

Wnet= Fnetd= Fnet(x − x0) H

Kuvveti ikinci yasadan (F_net= ma) ve hızları zamansız hız formülünden [v²−v²₀= 2a(x − x0)] olarak alırız:

W_net= ma (x − x0)= ¹₂m a(x − x₀)

| {z } (v²−v₀²)/2

W_net= ¹₂mv²− ¹₂mv₀²= K − K0 (İş-Enerji teoremi)

(34)

İş-Enerji teoremi: Bir cisme etkiyen net kuvvetin yaptığı iş, cismin kinetik enerjisindeki değişime eşittir.H

Bu sonuç 3-boyutlu hareket ve değişken kuvvet için de geçerlidir: W_net=

Z ₂

1

~F_net·d~r= ¹₂mv₂²− ¹₂mv₁²= K2−K₁ d~r : bileşenleri (dx, dy, dz) olan küçük yerdeğiştirme vektörü.H

İş-Enerji Teoremi 2. Newton yasasının değişik bir ifadesidir. Skaler bir ifade olduğu için çok kullanışlı. Bazı problemler bu teoremle çok kestirme yoldan çözülebilirler.

(35)

Bu sonuç 3-boyutlu hareket ve değişken kuvvet için de geçerlidir:

W_net= Z ₂

1

~F_net·d~r= ¹₂mv₂²− ¹₂mv²₁= K2−K₁ d~r : bileşenleri (dx, dy, dz) olan küçük yerdeğiştirme vektörü.H

İş-Enerji Teoremi 2. Newton yasasının değişik bir ifadesidir. Skaler bir ifade olduğu için çok kullanışlı. Bazı problemler bu teoremle çok kestirme yoldan çözülebilirler.

(36)

Bu sonuç 3-boyutlu hareket ve değişken kuvvet için de geçerlidir:

W_net= Z ₂

1

~F_net·d~r= ¹₂mv₂²− ¹₂mv²₁= K2−K₁ d~r : bileşenleri (dx, dy, dz) olan küçük yerdeğiştirme vektörü.H

İş-Enerji Teoremi 2. Newton yasasının değişik bir ifadesidir.

Skaler bir ifade olduğu için çok kullanışlı. Bazı problemler bu teoremle çok kestirme yoldan çözülebilirler.

(37)

5.4 POTANSİYEL ENERJİ

Korunumlu kuvvet kavramıH

Havaya atılan bir cismin kinetik enerjisi azalır ve üst noktada sıfır olur. Fakat, daha sonra düşerken kinetik enerjisini geri kazanır.H

Burada etkiyen yerçekimi kuvveti korunumludur.H

Sürtünmeli bir masada yavaşlayıp duran cismin kinetik enerjisi geri gelmez (ısıya dönüşür).H

Burada etkiyen sürtünme kuvveti korunumsuzdur.H

Potansiyel enerji, yapılan işi depolayabilen ve geri verebilen enerji türüdür.

Sadece korunumlu kuvvetler (yerçekimi, yay kuvveti . . . ) için potansiyel enerji tanımlanabilir.

(38)

5.4 POTANSİYEL ENERJİ

Havaya atılan bir cismin kinetik enerjisi azalır ve üst noktada sıfır olur.

Fakat, daha sonra düşerken kinetik enerjisini geri kazanır.H

(39)

5.4 POTANSİYEL ENERJİ

(40)

5.4 POTANSİYEL ENERJİ

(41)

5.4 POTANSİYEL ENERJİ

(42)

5.4 POTANSİYEL ENERJİ

(43)

Potansiyel Enerjinin Genel TanımıH

Korunumlu kuvvete karşı yapılan iş gidilen yoldan bağımsız olup, potansiyel enerjideki artışa eşittir.

− Z 2

1

~Fkor·d~r= U2−U1 (potansiyel enerji tanımı)

H

Korunumlu kuvvet ~F_kor ise, buna karşı iş yapan kuvvet −~F_kor dir. Potansiyel enerjideki artışın negatif iş olarak tanımlanması akla uygundur. Çünkü, negatif iş kinetik enerjiyi azaltır, dolayısıyla potansiyel enerjiyi artırır.

Şimdi bu tanımla, önemli potansiyel enerji türlerini çıkartacağız.

(44)

− Z 2

1

H

Korunumlu kuvvet ~F_kor ise, buna karşı iş yapan kuvvet −~F_kor dir. Potansiyel enerjideki artışın negatif iş olarak tanımlanması akla uygundur. Çünkü, negatif iş kinetik enerjiyi azaltır, dolayısıyla potansiyel enerjiyi artırır.

(45)

− Z 2

1

H

Korunumlu kuvvet ~F_kor ise, buna karşı iş yapan kuvvet −~F_kor dir.

Potansiyel enerjideki artışın negatif iş olarak tanımlanması akla uygundur. Çünkü, negatif iş kinetik enerjiyi azaltır, dolayısıyla potansiyel enerjiyi artırır.

(46)

Yerçekimi Potansiyel Enerjisi

m kütleli bir cisim Dünya üzerinde (x1, y₁) konumlu bir noktadan (x2, y2) konumlu bir noktaya eğrisel bir yol üzerinden gidiyor. H

Yerçekimi kuvvetine karşı ( −m~g ) yapılan iş skaler çarpım olarak yazılır:

−W = Z B

A

(−m~g) · d~r= Z B

A

(−mg) dr cos(180^◦−θ) H

Şekilde: dr cos(180^◦−θ) = −dr cos θ = −dy

−W = Z B

A

mg dy= mg(y2−y1)= U2−U1 ^H

U (y)= mgy + C (yerçekimi potansiyel enerjisi) (C sabitinin seçimi keyfidir. y= 0 da C = 0 seçilirse U = mgy olur.)

(47)

−W = Z _B

A

(−m~g) · d~r= Z _B

A

(−mg) dr cos(180^◦−θ) H

−W = Z B

A

(48)

−W = Z _B

A

(−m~g) · d~r= Z _B

A

(−mg) dr cos(180^◦−θ) H

−W = Z B

A

(49)

−W = Z _B

A

(−m~g) · d~r= Z _B

A

(−mg) dr cos(180^◦−θ) H

−W = Z B

A

(50)

Esneklik Potansiyel EnerjisiH

Birx₁değerindenx₂son değerine kadar olan uzama sırasında F = −kx yay kuvvetine karşı yapılan iş,

−W = Z _x₂

x1

(−F ) dx= Z _x₂

x1

(+kx) dx = k Z _x₂

x1

x dx= ¹₂kx₂²− ¹₂kx₁²

| {z } U2−U1

H

U (x) = ¹₂kx²+ C Potansiyelin sıfır olduğu yer keyfi olarak seçilebilir.

Yayın normal uzunluğunda (x= 0) da U = 0 seçilirse C = 0 olur: U (x)= ¹₂kx² (esneklik potansiyel enerjisi)

(51)

−W = Z _x₂

x1

(−F ) dx= Z _x₂

x1

(+kx) dx = k Z _x₂

x1

x dx= ¹₂kx₂²− ¹₂kx₁²

| {z } U2−U1

H

Yayın normal uzunluğunda (x= 0) da U = 0 seçilirse C = 0 olur: U (x)= ¹₂kx² (esneklik potansiyel enerjisi)

(52)

−W = Z _x₂

x1

(−F ) dx= Z _x₂

x1

(+kx) dx = k Z _x₂

x1

x dx= ¹₂kx₂²− ¹₂kx₁²

| {z } U2−U1

H

Yayın normal uzunluğunda (x= 0) da U = 0 seçilirse C = 0 olur:

U (x)= ¹₂kx² (esneklik potansiyel enerjisi)

(53)

Kütleçekim Potansiyel EnerjisiH

Dünya (MD) ve merkezden r uzaklıkta bir m kütlesi için kütleçekim yasası:

F = GmMD

r² ^H

Kütle çekim kuvvetine karşı yapılan iş:

−W = −Z r2

r1

F dr cos 180^◦= GmMD

Z r2

r1

dr

r² = −GmMD

1 r2

− 1 r1

| {z }

U2−U1

U (r)= −GmM_D

r + C ^H

r → ∞ için U = 0 seçilirse C = 0 olur: U (r)= −GmM_D

r (kütleçekim potansiyel enerjisi)

(54)

F = GmMD

r² ^H

−W = −Z r2

r1

F dr cos 180^◦= GmMD

Z r2

r1

dr

r² = −GmMD

1 r2

− 1 r1

| {z }

U2−U1

U (r)= −GmM_D

r + C ^H

(55)

F = GmMD

r² ^H

−W = −Z r2

r1

F dr cos 180^◦ = GmMD

Z r2

r1

dr

r² = −GmMD

1 r2

− 1 r1

| {z }

U2−U1

U (r)= −GmM_D

r + C ^H

(56)

F = GmMD

r² ^H

−W = −Z r2

r1

F dr cos 180^◦ = GmMD

Z r2

r1

dr

r² = −GmMD

1 r2

− 1 r1

| {z }

U2−U1

U (r)= −GmM_D

r + C ^H

r → ∞ için U = 0 seçilirse C = 0 olur:

U (r)= −GmM_D

(57)

5.5 ENERJİ KORUNUMU YASASI

İş-Enerji teoremini hatırlayalım:

Z 2 1

~Fnet·d~r= ¹₂mv₂²− ¹₂mv²₁= K2−K1 ^H

Kuvvetleri korunumlu ve korunumsuz olarak ayıralım: ~Fnet= ~Fkor+ ~Fkorsz

Z 2 1

(~F_kor+ ~Fkorsz) ·d~r= K2−K1 ^H

Korunumlu kuvvetlere karşı yapılan işi potansiyel enerji olarak yazalım: Z ₂

1

~F_kor·d~r

| {z }

−(U2−U1) +

Z ₂

1

~F_korsz·d~r

| {z } Wkorsz

= K2−K₁

(58)

5.5 ENERJİ KORUNUMU YASASI

Z 2 1

~Fnet·d~r= ¹₂mv₂²− ¹₂mv²₁= K2−K1 ^H

Kuvvetleri korunumlu ve korunumsuz olarak ayıralım: ~F_net= ~Fkor+ ~Fkorsz

Z 2 1

Korunumlu kuvvetlere karşı yapılan işi potansiyel enerji olarak yazalım: Z ₂

1

~F_kor·d~r

| {z }

−(U2−U1) +

Z ₂

1

~F_korsz·d~r

| {z } Wkorsz

= K2−K₁

(59)

5.5 ENERJİ KORUNUMU YASASI

Z 2 1

~Fnet·d~r= ¹₂mv₂²− ¹₂mv²₁= K2−K1 ^H

Kuvvetleri korunumlu ve korunumsuz olarak ayıralım: ~F_net= ~Fkor+ ~Fkorsz

Z 2 1

Korunumlu kuvvetlere karşı yapılan işi potansiyel enerji olarak yazalım:

Z ₂

1

~F_kor·d~r

| {z }

−(U2−U1) +

Z ₂

1

~F_korsz·d~r

| {z } Wkorsz

= K2−K₁

(60)

(K₁+ U1)+ Wkorsz = K2+ U2 (Enerji Korunum Yasası) Bir cismin başlangıçtaki (kinetik+potansiyel) enerjileri toplamı, bir kısmı korunumsuz kuvvetlerin (sürtünmenin) yapacağı işe harcandıktan sonra, geriye kalanı sondaki (kinetik+potansiyel) enerjileri toplamına eşittir.H

Özel Hal: Korunumsuz kuvvetlerin yaptığı iş Wkorsz = 0 ise,

Wkorsz= 0 =⇒ K1+ U1= K2+ U2 (Sürtünmesiz Enerji Korunumu)

H

Toplam Mekanik Enerji: E= K + U

∗ ∗ ∗ 5. Bölümün Sonu ∗ ∗ ∗

(61)

H

∗ ∗ ∗ 5. Bölümün Sonu ∗ ∗ ∗

(62)

H