Adjoint Formlar ve Lagrange Özde¸ sli¼ gi:

Adjoint Formlar ve Lagrange Özde¸ sli¼ gi:

L = a

(x)D

+ a

(x)D + a

(x); D = d dx

olmak üzere

L [y] = a

(x)y

+ a

(x)y

+ a

(x)y = 0

denklemi ikinci basamaktan, lineer, de¼ gi¸ sken katsay¬l¬denklemdir.

Bu denklemde a

= a

oluyorsa denkleme self-adjointtir denir. E¼ ger bu e¸ sitlik sa¼ glanm¬yorsa denklem

h(x) = 1 a

exp

8 <

: Z

a

(t) a

(t) dt

9 =

;

integral çarpan¬yla çarp¬larak self-adjoint hale getirilebilir.

Burada

p(x) = exp 8 <

: Z

a

(t) a

(t) dt

9 =

;

q(x) = a

(x) a

(x) exp

8 <

:

Z

a

(t) a

(t) dt

9 =

;

¸ seklindedir.

Lagrange Özde¸ sli¼ gi

L = a

(x)D

+ a

(x)D + a

(x); D = d dx

olmak üzere

L [y] = a

(x)y

+ a

(x)y

+ a

(x)y = 0

za

y

= (za

y

)

(za

)

y

= (za

)

y ((za

)

y)

+ (za

y

)

za

y

= (za

y)

(za

)

y

za

y = (za

)y

1

yaz¬labilirler. Buradan

zL [y] = (za

)

y ((za

)

y)

+ (za

y

)

(za

)

y + (za

y)

+ (za

)y

= [(za

)

(za

)

+ (za

)] y + d

dx [za

y

(za

)

y + za

y]

elde ederiz.

L [z] = (za

)

(za

)

+ (za

)

= a

z

+ (2a

a

)z

+ (a

a

+ a

)z

tan¬m¬n¬yaparsak

zL [y] yL [z] d

dx [a

(y

z yz

) + (a

a

)yz]

¸ seklini al¬r. Bu ifade L operatörü için Lagrange özde¸ sli¼ gi olarak bilinir. L operatörüne L nin adjoint operatörü denir. Ayr¬ca L = L dir. E¼ ger L = L ise L ye self-adjoint operatör denir.

Örnek 1. Legendre denklemi olarak bilinen

(1 x

)y

2xy

+ n(n + 1)y = 0

diferensiyel denklemi self-adjoint formdad¬r. Çünkü

d

dx (1 x

) dy

dx + n(n + 1)y = 0

olarak yaz¬labilmektedir.

Örnek 2. Laguerre denklemi olarak bilinen

xy

+ (1 x) y

+ ny = 0

diferensiyel denkleminin self-adjoint formu

d

dx xe

dy

dx + e

ny = 0

2

d¬r.

Örnek 3.

L = a

(x)D

+ a

(x)D + a

(x); D = d dx

diferensiyel operatörünün adjointi

L = a

(x)D

+ (2a

(x) a

(x))D + (a

(x) a

(x) + a

(x))

olarak tan¬mlan¬yor. Bu durumda L = L oldu¼ gunu gösteriniz.

Çözüm:

L = a

(x)D

+ (2a

(x) a

(x))D + (a

(x) a

(x) + a

(x))

operatörünün adjointini bulal¬m. L = b

D

+ b

D + b

¸ seklinde yazal¬m.

L = b

D

+ (2b

b

)D + (b

b

+ b

)

L = a

D

+ (2a

2a

+ a

)D + (a

2a

+ a

+ a

a

+ a

) L = a

D

+ a

D + a

= L

oldu¼ gu gösterilmi¸ s olur.

3