MATEMATİK 9. SINIF. Her bölümde:

(1)

Konu Anlatımlı Çözümlü ve Uygulamalı Matematik

MATEMATİK

9. SINIF

Her bölümde:

@ Konular kapsamlı olarak ele alınarak açıklan- mış ve 982 örnek çözüm ve 1815 alıştırma ve test sorusu olmak üzere toplam 2797 soru ele alınıp değerlendirilmiştir.

@ Çalışma yapraklarının çözümleri yapılmıştır.

@ 1996-2007 yılları arasındaki ÖSS-ÖYS soruları

konu aralarında çözülmüştür.

(2)

Yayın No

: 53

Eğitim ve Yönetim Dizisi

: 12

Birinci Basım

: Eylül 2007

www.alpkitap.com www.alpkitap.com www.alpkitap.com Bu kitabın basım, yayın ve satış hakları ALP YAYINEVİ’ne aittir. Belirtilen kurumun izni alın- madan kitabın bütünü ya da bölümleri çoğaltılamaz. Alıntı yapılamaz.

Editör

: Şükrü TÜRKMEN

Genel Yayın Yönetmeni

: Sadık TOKER

Dizgi

: Alp Yayınevi

Kapak

: Ali Karagöz

Baskı

: Aydan

(0312) 385 00 42

Yayınevi İletişim ve İsteme Adresi

Alp Yayınevi

: Kitapçılar Çarşısı Güngörler İş Merkezi İnkılâp Sokak.

2/52 06420 Kızılay-Ankara

Tel

: (0312) 432 39 30 431 90 79 (0505) 760 98 14

Faks

: (0312) 431 88 59

e-mail

: alp@alpkitap.com alp@alpyayin.com.tr

Bilgi

: www.alpkitap.com

ISBN

: 975-6674-59-8

(3)

Sevgili öğrenciler;

Öğrenci Seçme Sınavında, lise müfredatının tümünden soru çıkacağı artık bilinen bir gerçek. Yine aynı şekilde, ortaöğretim başarı puanının katkısı da oldukça fazla. Bu nedenle, elinizdeki bu kitapta, ders kitabındaki çalışma yaprakları ve değerlendirme soruları çözülmüş, konular 982 örnek çözümle açıklanmış ve 370 i çözümlü olmak üzere toplam 695 soru ile pekiştirilmiştir. Daha önceki yıllarda çıkmış ÖSS – ÖYS soruları örnek çözümlerde, alıştırmalarda ve testlerde ele alınıp çözülmüştür.

Bunların yanında, konu sonlarında verilen 33 ü çözümlü ve 23 ü cevaplı (deneme) 56 testte 1120 test sorusu dahil toplam 2797 soru ile üniversite sınavlarında hedeflediğiniz en üst düzeye çıkabilmeniz amaç edinilmiştir.

Editörlüğünü yaptığım bu kitap kolektif bir çalışmanın ve yılların kazandırdığı deneyim aktarmasının bir ürünüdür. Konular, Milli Eğitim Bakanlığı Talim ve Terbiye Kurulu’nun 14.7.2005 gün ve 200 sayılı kararı ile belirlenen müfredat programı doğrultusunda uzman kadro tarafından ele alınıp incelenmiş, anlatım ve sorularda öğrenci kazanımları hedeflenmiştir.

Başarı dileklerimle…..

Şükrü TÜRKMEN

MEB Başmüfettişi

(4)

1996-2007 YILLARI ARASINDA ÖSS ve ÖYS de ÇIKMIŞ SORU SAYILARI

KONULAR ¹⁹⁹⁶ ¹⁹⁹⁷ ¹⁹⁹⁸ ¹⁹⁹⁹ ²⁰⁰⁰ ²⁰⁰¹ ²⁰⁰² ²⁰⁰³ ²⁰⁰⁴ ²⁰⁰⁵ ²⁰⁰⁶ ²⁰⁰⁷

ÖSS ÖYS ÖSS ÖYS ÖSS ÖYS ÖSS ÖSS ÖSS ÖSS ÖSS ÖSS ÖSS MAT-1 MAT-2 MAT-1 MAT-2

Mantık - - - -

Kümeler - 1 1 1 1 - 2 1 1 1 1 1 - - - - -

Bağıntı - - - - 1 - - - 1 - - - -

Fonksiyon - - 1 - 1 - 1 - - - -

İşlem - - 1 1 1 - 2 1 1 1 1 1 1 - 1 - -

Fonsiyonda

İşlemler - 1 1 2 2 1 - 1 - - - 1 - -

Doğal Sayılar - - 1 - 1 1 2 1 - 2 2 2 3 - - - -

Taban

Aritmetiği 1 - 1 1 - - - - 1 - - - -

Bölünebilme

Asal Sayılar 4 - 3 - 2 - 4 1 1 - - - - 1 - 1 -

Tam Sayılar 1 1 2 - 2 - 2 1 2 2 - 1 - - - - -

Modüler

Aritmetik 1 - - - 1 1 1 1 3 2 - - 1 - - - -

Rasyonel

Sayılar - 1 2 1 - - 1 2 1 2 1 2 1 2 - 4 -

Reel Sayılar 1 - 1 1 1 - - 1 - 1 2 - 1 1 - - -

Mutlak Değer 1 1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 1 2 2 - - -

Üslü Sayılar 2 2 2 - 1 1 3 3 3 3 2 2 3 2 - 4 -

Köklü Sayılar 3 - 3 1 2 - 2 1 1 1 2 - 2 - - 1 -

Oran Orantı - 1 3 - 1 - 1 1 - 1 1 - 1 1 - - -

Yüzde

Problemleri 2 1 2 1 1 2 3 2 2 3 2 3 3 1 - - -

Faiz

Problemleri - - - - 1 - 2 - - - -

Karışım

Problemleri - - - - 1 - 1 1 1 - 1 - - - -

Yaş Problemleri 1 - - - - 1 1 1 1 1 1 1 1 - - - -

Sayı

Problemleri 3 1 2 2 2 1 1 4 4 4 3 5 2 3 - - -

Hareket

Problemleri 1 2 1 1 1 - 1 1 2 2 1 2 1 1 - - -

İşçi Havuz

Problemleri 1 - 1 1 - 1 - - - - 1 1 - - - - -

(5)

İÇİNDEKİLER

BİRİNCİ BÖLÜM MANTIK

Matematik ve Mantık 15

Terim 15

Önermeler 16

Doğruluk Değeri ve Doğruluk Tablosu 17

Doğruluk Değeri 17

Doğruluk Tablosu 17

Denk Önermeler 18

Bir Önermenin Olumsuzu 19

Bileşik Önermeler 19

“Veya” Bağlacı İle Elde Elden Bileşik Önermeler 19

“Veya” Bağlacı İle Elde Edilen Bileşik Önermelerin Özellikleri 20

Tek Kuvvet Özelliği 20

Değişme Özelliği 20

Birleşme Özelliği 20

“Ve” Bağlacı İle Elde Edilen Bileşik Önermeler 21

“Ve” Bağlacı İle Elde Edilen Bileşik Önermelerin Özellikleri 21

Tek Kuvvet Özelliği 21

“Veya” ve “Ve” İşlemlerinin Birbiri Üzerine Dağılma Özellikleri 22

De Morgan Kuralları 23

“İse” Bağlacı İle Elde Edilen Bileşik Önermeler 23

“İse” Bağlacı İle Elde Edilen Bileşik Önermelerin Özellikleri 24

Gerektirme 26

“Ancak ve Ancak” Bağlacı İle Elde Edilen Koşullu Önermeler 26

Çift Gerektirme 29

Totoloji ve Çelişki 29

Açık Önermeler 30

Matematikte Kullanılan Niceleyiciler 31

Varlıksal Niceleyici 31

Evrensel Niceleyici 31

Niceleyici İçeren Önermelerin Olumsuzları 32

Tanım, Teorem, ve İspat Yöntemleri 32

Doğrudan İspat Yöntemleri 34

Dolaylı İspat Yöntemleri 34

Olmayana Ergi Yöntemiyle İspat Yöntemi 34

Aksine Örnek Vermek Yöntemiyle İspat 35

Çelişki Yöntemiyle İspat 35

Deneme Yöntemiyle İspat 35

Çalışma Yaprakları Çözümleri 36 Alıştırmalar 1 (Çözümlü) 42

(6)

İKİNCİ BÖLÜM KÜMELER

Küme Kavramı 53

Kümelerin Gösterilişi 53

Ortak Özellik Yöntemi İle Gösterim 53

Liste Yöntemi İle Gösterim 53

Wenn Şeması İle Gösterim 53

Boş Küme 53

Denk Küme 54

Eşit Küme 54

Ayrık Küme 54

Sonlu – Sonsuz Küme 54

Alt Küme 54

Alt Kümenin Özellikleri 55

Öz Alt Küme 55

Kümelerde İşlemler 60

Kümelerin Birleşimi 60

Birleşim İşleminin Özellikleri 61

Kümelerin Kesişimi 61

Kesişim İşleminin Özellikleri 62

Kesişim ve Birleşimin Ortak Özellikleri 62

Kesişim İşleminin Birleşim İşlemi Üzerine Dağılma Özelliği 62 Birleşim İşleminin Kesişim İşlemi Üzerine Dağılma Özelliği 62

Birleşim Kümesinin Eleman Sayısı 62

Evrensel Küme 65

Bir Kümenin Tümleyeni 65

De Morgan Kuralları 66

İki Kümenin Farkı 66

Fark işleminin Özellikleri 67

Simetrik Fark 67

Küme Problemleri 68

Çalışma Yaprakları Çözümleri 71 Alıştırmalar 1 (Çözümlü) 79 Alıştırmalar 2 84 Test 1 (Çözümlü) 85 Test 2 (Çözümlü) 91 Test 3 (Cevaplı) 97 ÜÇÜNCÜ BÖLÜM

BAĞINTI FONKSİYON İŞLEM

Sıralı İkili 101

Sıralı ikililerin Eşitliği 101

Analitik Düzlem 102

Kartezyen Çarpım 102

Kartezyen Çarpımın Özellikleri 103

Bağıntı 104

Bağıntının Tersi 106

Bağıntının Özellikleri 107

Yansıma Özelliği 107

Simetri Özelliği 109

(7)

Ters Simetri Özelliği 111

Geçişme Özelliği 113

Çalışma Yaprakları Çözümleri 114 Alıştırmalar 1 (Çözümlü) 116 Alıştırmalar 2 119 Test 1(Çözümlü) 120 Test 2 (Cevaplı) 127

Fonksiyon 129

Fonksiyonların Gösterimi 129

Fonksiyon Grafikleri 135

Fonksiyon Çeşitleri 137

Bire Bir (1–1) Fonksiyon 137

Örten Fonksiyon 139

Bire Bir ve Örten Fonksiyon 141

İçine Fonksiyon 142

Birim (Özdeş) Fonksiyon 143

Sabit Fonksiyon 143

Sıfır Fonksiyonu 144

Doğrusal Fonksiyon 145

Eşit Fonksiyonlar 146

Tek ve Çift Fonksiyon 146

Çalışma Yaprakları Çözümleri 148 Alıştırmalar 1 (Çözümlü) 152 Alıştırmalar 2 156 Test 1 (Çözümlü) 158 Test 2 (Çözümlü) 163 Test 3 (Cevaplı) 168

İşlem 170

İşlemin Özellikleri 173

Kapalılık Özelliği 173

Dağılma Özelliği 175

Birim (Etkisiz) Eleman Özelliği 175

Ters (İnvers) Eleman Özelliği 177

Yutan Eleman Özelliği 179

Çalışma Yaprakları Çözümleri 180 Alıştırmalar 1 (Çözümlü) 184 Alıştırmalar 2 188

(8)

Fonksiyonlarda İşlemler 205

Fonksiyonların Bileşkesi 205

Bileşke İşleminin Özellikleri 207

Bir Fonksiyonun Tersi 207

Fonksiyonlarda Dört İşlem 213

Permütasyon Fonksiyonu 214

Çalışma Yaprakları Çözümleri 216 Alıştırmalar 1 (Çözümlü) 225 Alıştırmalar 2 229 Test 1 (Çözümlü) 231 Test 2 (Çözümlü) 238 Test 3 (Cevaplı) 245 DÖRDÜNCÜ BÖLÜM

SAYILAR

Temel Kavramlar 249

Rakam 249

Sayı 249

Sayı Doğrusu 249

Sayıların Sınıflandırılması 250

Sayma Sayılar 250

Doğal Sayılar 250

Doğal Sayılar Kümesinde Eşitliğin Özellikleri 251

Sayıların Çözümlenmesi 252

Bir Doğal Sayının Doğal Sayı Kuvveti Özellikleri 258

Doğal Sayı Kuvveti Özellikleri 259

Çalışma Yaprakları Çözümleri 261 Alıştırmalar 1 (Çözümlü) 262 Alıştırmalar 2 265 Test 1 (Çözümlü) 266 Test 2 (Cevaplı) 271

Taban Aritmetiği 273

Herhangi Bir Tabanda Verilen Sayıyı On Tabanına Göre Yazma 275

On Tabanında Verilen Sayıyı Başka Bir Tabanda Yazma 276

Farklı İki Taban Arasında Geçiş 277

Taban Aritmetiğinde Verilen Sayının Tek veya Çift Olma Durumu 279

Farklı Tabanlarda Dört İşlem 279

Toplama İşlemi 279

Çıkarma İşlemi 280

Çarpma İşlemi 281

Bölme İşlemi 282

Çalışma Yaprakları Çözümleri 284 Alıştırmalar (Çözümlü) 285 Test 1 (Çözümlü) 288 Test 2 (Cevaplı) 293

Sayılar Kümesinde Bölme 295

Asal Sayılar 298

Bir Tam Sayının Asal Çarpanlara Ayrılması 299

(9)

Faktöriyel 300

Pozitif Tam Bölenlerin Sayısı 303

Pozitif Tam Bölenlerin Toplamı 305

Pozitif Tam Bölenlerin Çarpımı 305

Bölünebilme Kuralları 306

2 İle Bölünebilme 306

En Küçük Ortak Kat (ekok) 311

En Büyük Ortak Bölen (ebob) 313

Kalbur Metodu 315

Çalışma Yaprakları Çözümleri 318 Alıştırmalar 1 (Çözümlü) 321 Alıştırmalar 2 324 Test 1 (Çözümlü) 325 Test 2(Cevaplı) 330

Tam Sayılar 332

Tam Sayılar Kümesinde Toplama İşlemi 333

Tam Sayılar Kümesinde Toplama İşleminin Özellikleri 333

Etkisiz Eleman Özelliği 333

Ters Eleman Özelliği 333

Tam Sayılar Kümesinde Çıkarma İşlemi 334

Tam Sayılar Kümesinde Çıkarma İşleminin Özellikleri 334

Tam Sayılar Kümesinde Çarpma İşlemi 334

Tam Sayılar Kümesinde Çarpma İşleminin Özellikleri 334

Sadeleşme Özelliği 335

Toplama ve Çarpma İşlemlerinde Sadeleşme Kuralları 335

Bir Tam Sayının Doğal Sayı Kuvveti 335

Bir Tam Sayının Doğal Sayı Kuvveti Özellikleri 335

Ardışık Tam Sayılar 336

Ardışık Tam Sayıların Özellikleri 336

(10)

Tam Sayılar Kümesinde Bölme İşleminin Özellikleri 338

Sadeleşme Özelliği 338

Çalışma Yaprakları Çözümleri 339 Alıştırmalar (Çözümlü) 339 Test (Çözümlü) 343

Modüler Aritmetik 347

Denklik Bağıntısı 347

Denklik Sınıfı 347

Kalan Sınıflarının Kümesi 348

Denkliğin Özellikleri 350

Fermat Teoremi 353

Çalışma Yaprakları Çözümleri 360 Alıştırmalar 1 (Çözümlü) 363 Alıştırmalar 2 (Çözümlü) 367 Test 1 (Çözümlü) 371 Test 2 (Cevaplı) 377

Rasyonel Sayılar 379

Rasyonel Sayılarda Genişletme ve Sadeleştirme 379

İki Rasyonel Sayının Eşliği 379

Rasyonel Sayılarda Dört işlem 380

Toplama İşlemi 380

Çıkarma İşlemi 380

Bölme İşlemi 381

Rasyonel Sayılarda Sıralama 382

Pozitif Sayılarda Sıralama 382

Negatif Sayılarda Sıralama 382

Rasyonel Sayıların Sayı Doğrusu Üzerinde Gösterilmesi 382

Rasyonel Sayıların Yoğunluğu 383

Rasyonel Sayıların Ondalık Açılımı 384

Reel (Gerçek Sayılar) 407

Eşitlikle İlgili Özellikler 407

Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler 408

Reel Sayılarda Eşitsizlik 410

Eşitsizlikler 410

Eşitsizliğin Özellikleri 410

Reel Sayılarda Aralık 417

Mutlak Değer 439

Mutlak Değerin Özellikleri 442

Mutlak Değerli Denklemler 448

(11)

Mutlak Değerli Basit Eşitsizlikler 450 Çalışma Yaprakları Çözümleri 453 Alıştırmalar 1 (Çözümlü) 455 Alıştırmalar 2 460 Test 1 (Çözümlü) 461 Test 2 (Çözümlü) 466 Test 3 (Cevaplı) 471

Üslü Sayılar 473

Üslü Sayıların Özellikleri 473

Üslü Denklemler 475

Köklü Sayılar 500

Kareköklü Sayılar 500

Kareköklü İşlemler 501

Toplama ve Çıkarma İşlemleri 501

Bölme İşlemi 504

Kareköklü Bir İfadenin Eşleniği 504

Kareköklü Bir İfadenin Paydasını Rasyonel Yapma 505

Kareköklü Denklemler 508

Reel Sayıların Rasyonel Kuvvetleri 510

Bir Reel Sayının n. Kuvvetten kökü 510

Rasyonel Kuvvet Özellikleri 511

Kök İçindeki bir İfadenin kök dışına Çıkarılması 511

Köklü İfadenin üslü ifade Biçiminde Yazılması 512

Kök Dışındaki Bir İfadenin Kök İçine alınması 512

Köklü Bir İfadenin Kuvveti ve Kökü 512

İç İçe Sonlu Sayıda Köklü İfadeler 513

İç İçe Sonsuz Sayıda Köklü İfadeler 513

Köklü İfadelerde İşlemler 515

Toplama ve Çıkarma İşlemleri 515

Kök Dereceleri Aynı Olan İfadelerde Çarpma 515

Kök Dereceleri farklı Olan İfadelerde Çarpma 515

Bölme İşlemi 516

Kök Dereceleri Aynı Olan İfadelerde Bölme 516

Kök Dereceleri farklı Olan İfadelerde Bölme 516

Köklü Sayılarda Sıralama 516

Köklü Sayıların Paydasını Rasyonel Yapma 518

Çalışma Yaprakları Çözümleri 520 Alıştırmalar 1 (Çözümlü) 526 Alıştırmalar 2 530 Test 1 (Çözümlü) 531 Test 2 (Çözümlü) 537

(12)

BEŞİNCİ BÖLÜM PROBLEMLER

Oran ve Orantı 549

Oran 549

Orantı 549

Orantının Özellikleri 549

Orantı Çeşitleri 552

Doğru Orantı 552

Ters Orantı 554

Bileşik Orantı 555

Aritmetik Ortalama 557

Geometrik Orta (Orta Orantılı) 558

Harmonik Orta 559

Alıştırmalar 1 (Çözümlü) 560 Alıştırmalar 2 564 Test 1 (Çözümlü) 565 Test 2 (Cevaplı) 570

Sayı ve Kesir Problemleri 572

Yüzde- Kâr - Zarar Problemleri 588

Karışım Problemleri 605

Faiz Problemleri 621

Alıştırmalar (Çözümlü) 623 Test 1 (Çözümlü) 628 Test 2 (Cevaplı) 633

Hareket Problemleri 635

Yaş Problemleri 659

İşçi ve Havuz Problemleri 676

Çalışma Yaprakları Çözümleri 696

Ölçme ve Değerlendirme Soruları Çözümleri 699

(13)

Alp Y ayıne vi

Mantık

1. ^Bölüm

BİRİNCİ BÖLÜM

MANTIK

(14)

Alt Öğrenme Alanları ve Süreleri

Önermeler ... 2 Ders Saati Doğruluk Değeri ve Doğruluk Tablosu

Denk Önermeler

Bir Önermenin Olumsuzu

Bileşik Önermeler ...10 Ders Saati “Veya” Bağlacı İle Elde Elden Bileşik Önermeler

“Ve” Bağlacı İle Elde Edilen Bileşik Önermeler “İse” Bağlacı İle Elde Edilen Bileşik Önermeler

“Ancak ve Ancak” Bağlacı İle Elde Edilen Koşullu Önermeler

Açık Önermeler ...2 Ders Saati Matematikte Kullanılan Niceleyiciler

Tanım, Teorem ve İspat Yöntemleri ... 2 Ders Saati Doğrudan İspat Yöntemleri

Dolaylı İspat Yöntemleri

Çalışma Yaprakları Çözümleri

Alıştırmalar 1 (Çözümlü)

Alıştırmalar 2

Test 1 (Çözümlü)

(15)

Alp Y ayıne vi Matematik ve Mantık

Matematik bize mantıklı yani doğru ve sistemli düşü- nebilme alışkanlığını kazandırmayı amaçlar. Mate- matiğin temeli mantığa dayanır.

Mantık kurallarını uygulamadan matematiği öğren- mek veya öğretmek imkansızdır. Çünkü mantık ma- tematiğin dilini kurar, ona anlam ve biçim kazandırır.

Terim

Bir bilim dalında, konuşma dilinden ayrı olarak, o bilim dalına ait özel anlamları olan kelimeler vardır. Bu kelimelerin her birine terim denir.

Aşağıdaki gruplar içerisinde verilen sözcükler karşı- laştırıldığında, her grupta bulunan sözcükler, yalnız bir bilim dalı ile doğrudan ilişkilidir.

I. Grup

Üçgen

• Dörtgen

• Rakam

• Açı

•

II. Grup

Enlem

• Boylam

• Nehir

• Dağ

•

III. Grup

İsim

• Zamir

• Cümle

• Sıfat

•

Birinci grupta olan üçgen, dörtgen, rakam, açı mate- matik terimleridir.

İkinci grupta olan enlem, boylam, nehir, dağ coğraf- ya terimleridir.

Üçüncü grupta olan isim, zamir, cümle, sıfat dil bilgi- si terimleridir.

Bu terimler, ilgili bilim dalı ile doğrudan ilişkilidir. Grup- taki sözcüklerin ortak yanı ise her sözcüğün bir bilim dalına ait özel bir anlamı ortaya koymasıdır. Ortaya konulan bu anlam ise o bilim dalı ile birlikte anılır.

Bazı ilk terimler, başka bir kavrama bağlı olmadıkla- rından tanımlanamazlar. Genellikle sezgi ile anlaşılan bir başka deyişle anlamları sezgiye bırakılan terimlere tanımsız terimler denir. Örneğin “düzlem”, “nok- ta”, “küme” birer tanımsız terimlerdir.

Matematiğin birçok terimi, kendisinden önce tanım- lanmış matematiksel terimler yardımıyla tanımlanır.

Tanımsız terimlerden faydalanılarak veya daha önce

tanımlanmış terimler yardımıyla belirlenen terimlere tanımlı terimler denir.

Matemetiksel bir terim olan çember “Bir noktadan eşit uzaklıktaki noktalar kümesidir” diye tanımlanır.

Bu tanımda geçen “nokta”, “eşit”, “uzaklık” ve “küme”

terimleri önceden tanımlanmış terimlerdir. Bir başka deyişle bunlar tanımsız terimlerdir.

NOT

Bir terimin tanımını yapmak için daha önceden tanımlanması gereken temel terimlerin olması şarttır.

Etkinlik _____________________________

Aşağıdaki tabloda verilen terimlerin anlamlarına dik- kat ediniz.

Günlük yaşamdaki

Sözlük Anlamı Matematikteki Anlamı Daire Binanın bölünmüş

olan kısımlarından her biri

Bir çemberin içinde kalan düzlem parçası Küp Geniş karınlı, dibi

dar toprak kap Her yüzü dördül olan dikdörtgen

Nokta Benek Hiç boyutu olmayan işaret

Doğru Gerçek, yalan olmayan

Bir ucundan öbür ucuna kadar yönü değişmeyen Silindir

Üzerinden geçtiği şeyi basıp sıkıştır- mak ve düzleştir- mek için kullanılan ağır yuvak

Her noktasından ek- sene dikey olarak alınan, kesitleri birbirine eşit daireler olan cisim

Yay

Ok atmaya yara- yan, bir ucundan öbür ucuna kiriş çekilmiş eğri ve esnek çubuk

Bir eğriden alınan parça

Örnek: 1

Doğru parçası, değişken, doğru, düzlem, açı, yanlış, açıor- tay, üçgen, asal sayı, dörtgen, çember, küp, küre, küme, nokta, eşit, ve asal sayı terimlerinden,

• Tanımlı terim olanları belirtiniz.

• Tanımsız terim olanları belirtiniz.

Çözüm:

• “Doğru parçası, açı, açıortay, üçgen, asal sayı, dört- gen, çember, küp, küre, doğru ve asal sayı” ta- nımlı terimlerdir. Çünkü kendileri bir başkasıyla an- lamlandırılır.

MANTIK

(16)

16 Alp Y ayıne vi

Konu Anlatımlı Çözümlü ve Uygulamalı Matematik

• Değişken, düzlem, yanlış, küme, nokta ve eşit tanım- sız terimlerdir. Çünkü hepsi sezgi ile kavranılır.

Önermeler

Cümlenin doğru ya da yanlış olarak nitelendirilebil- mesi için ancak yapısında kesin olarak bir hüküm bu- lunması gerekir.

Kesin olarak doğru ya da yanlış bir hüküm bildiren ifadelere önerme denir.

Verilen bir cümlenin önerme olması için, cümle kesin bir yargı bildirmeli ve bildirilen yargı herkesçe doğru ya da yanlış anlaşılmalıdır.

Doğru olan bir önerme, herkes için her zaman ve her yerde doğrudur. Yanlış olan bir önerme ise herkes için, her zaman ve her yerde yanlıştır.

Örnek: 2

Aşağıdaki ifadelerin önerme olup olmadığını be- lirtiniz

a) Kedi, dört ayaklı bir hayvandır.

b) Atatürk, Selanik’te doğmuştur.

c) 5 asal bir sayıdır.

d) Bir hafta yedi gündür.

e) Kare, bir beşgendir.

f) Filler uçabilir.

g) Bugün hava yağmurludur.

h) Ayşe bugün gelecek mi?

i) Yaşasın Cumhuriyet!

j) Çabuk gelmelisin.

k) Bu ifadenin olumsuzunu söyle.

l) Kitap okuyalım.

m) Ankara’ya gidelim.

n) Asashgd g bvdbdb geh.

Çözüm:

a, b, c, d ifadelerinin bildirdiği hüküm doğru, e ve f ifadelerinin bildirdiği hüküm ise yanlıştır. g ifadesinin doğruluğu ve yanlışlığı ise söylenen güne bağlıdır.

Bu durumda a,b,c,d,e,f ve g ifadeleri önermedir.

h ifadesi soru cümlesi olduğundan, i ifadesi ünlem cümlesi olduğundan önerme değildir.

j ve k ifadeleri emir bildirmektedir. Emir bildiren cüm- leler ise doğru ya da yanlış bir hüküm bildirmedikleri için önerme değildir.

l ve m ifadeleri dilek ve istek bildirmektedir. Dilek ve istek bildiren cümleler ise doğru ya da yanlış bir hü- küm bildirmedikleri için önerme değildir.

n ifadesi anlamsız cümle olduğundan önerme değil- dir.

Örnek: 3

Aşağıdaki ifadelerin önerme olup olmadığını be- lirtiniz

p:

2-3=1

q:

Sıfır doğal sayıdır.

r:

Bir haftada kaç gün vardır?

s:

Nerelisin?

t:

Şubat ayı 30 gündür.

u:

Ay!

v:

Çabuk buraya gel.

w:

Bana bir kalem ver.

x:

İyi insan çalışkan insan olandır.

y:

x tek bir doğal sayıdır.

Çözüm:

• “2 – 3 = 1” ifadesi hüküm bildirdiği için önermedir.

• “Sıfır doğal sayıdır” ifadesi hüküm bildirdiği için önermedir.

• “Bir haftada kaç gün vardır?” ifadesi ile “Nereli- sin?” ifadeleri soru cümlesi oldukları için hüküm bildirmezler ve bu yüzden de önerme değildir.

• “Şubat ayı 30 gündür” ifadesi hüküm bildirdiği için önermedir.

• “Ay!” ifadesi ünlem bildirdiği için, “Çabuk buraya gel” ifadesi emir cümlesi olduğu için, “ Bana bir kalem ver” ifadesi istek cümlesi olduğu için hü- küm bildirmezler ve bu yüzden de önerme değil- lerdir.

(17)

Alp Y ayıne vi

Mantık

1. ^Bölüm

• “İyi insan, çalışkan insan olandır.” ifadesi bazı- larına göre doğru ve bazılarına göre de yanlış olduğu için önerme değildir.

• “x tek bir doğal sayıdır” ifadesinde x doğal sayı olduğu için bazen tek ve bazen de çifttir. Yani x değiştikçe ifadenin doğruluğu ve yanlışlığı da de- ğişir. Bu nedenle de ifade bir önermedir.

Doğruluk Değeri ve Doğruluk Tablosu a) Doğruluk Değeri

Mantıkta önermeler ya yalnız doğru ya da yalnız yan- lış olabilir ama aynı anda hem doğru hem de yanlış olamaz. Verilen bir önermeye yüklenen bu “doğru” ve

“yanlış” yüklemlerine onun doğruluk değeri denir.

Bir başka deyişle, bir önermenin doğru veya yanlış diye nitelenmesine o önermenin doğruluk değeri ve doğruluk değerlerinin gösterildiği tabloya da doğru- luk tablosu denir.

Eğer önerme doğru hüküm bildiriyorsa doğruluk de- ğeri (1) veya (D), yanlış hüküm bildiriyorsa doğruluk değeri (0) veya (Y) ile gösterilir.

Aynı önerme nerede, ne zaman ve kim tarafından söylendiğine bağlı olarak bazen doğru bazen yanlış olabilir. “Yarın benim doğum günüm” önermesi, yarın doğum günü olan biri için doğru iken, başka biri tara- fından ifade edildiğinde yanlış olacaktır. Hatta bugün herhangi biri için doğru olan bir önerme başka bir gün için yanlış olabilir.

Etkinlik _____________________________

Aşağıdaki önermelerin doğruluk değerlerini karşıları- na yazınız.

Sembol Önerme Doğruluk

Değeri p Bir hafta yedi gündür.

q 6 çift bir sayıdır.

r 2 + 5 〉 9

s 5

≡

₈

t Her şubat ayı 28 gündür.

b) Doğruluk Tablosu

Bir p önermesinin iki farklı doğruluk değeri vardır.



p önermesi doğru olabilir P P

D 1



p önermesi yanlış olabilir P P

Y 0

Bir başka deyişle

P P P

Doğru D 1

Yanlış Y 0

Tablolarda da görüldüğü gibi, p önermesinin (1) veya (0) şeklinde iki doğruluk değeri vardır.

 p ve q gibi herhangi iki önermenin doğruluk değerleri:



p önermesi doğru iken q önermesi doğru,



p önermesi doğru iken q önermesi yanlış,



p önermesi yanlış iken q önermesi doğru,



p önermesi yanlış iken q önermesi yanlış olabilir..

Bu durum doğruluk tablosunda aşağıdaki şekilde gösterilir.

p q

1 1

1 0

0 1

0 0

Görüldüğü gibi, p ve q önermelerinin doğruluk değer- leri karşılıklı olarak dört değişik biçimde sıralanır.

 p, q ve r gibi herhangi üç önermenin doğru- luk değerleri:



p doğru iken q doğru ve r doğru,



p doğru iken q doğru ve r yanlış,



p doğru iken q yanlış ve r doğru,



p doğru iken q yanlış ve r yanlış,



p yanlış iken q doğru ve r doğru,



p yanlış iken, q doğru ve r yanlış,



p yanlış iken, q yanlış ve r doğru,



p yanlış iken, q yanlış ve r yanlış, olabilir.

(18)

18 Alp Y ayıne vi

Konu Anlatımlı Çözümlü ve Uygulamalı Matematik

Bu durum doğruluk tablosunda aşağıdaki şekilde gösterilir.

p q r

1 1 1

1 1 0

1 0 1

1 0 0

0 1 1

0 1 0

0 0 1

0 0 0

Görüldüğü gibi, p, q ve r önermelerinin doğruluk de- ğerleri karşılıklı olarak sekiz değişik biçimde sıralanır.

Buna göre;

1 önermenin doğruluk değeri 2¹

≡

2 2 önermenin doğruluk değeri 2²

≡

4 3 önermenin doğruluk değeri 2³

≡

8 4 önermenin doğruluk değeri 2⁴

≡

16 5 önermenin doğruluk değeri 2⁵

≡

32

↓

n kadar önermenin doğruluk değeri 2ⁿ kadar değişik du- rumda olabilir.

Örnek: 4

p, q, r ve s önermelerinin doğruluk değerleri karşılıklı olarak kaç değişik biçimde sıralanır?

Çözüm:

p, q, r ve s dört farklı önerme olduğu için n = 4 tür.

Bu nedenle de p, q, r ve s önermelerinin doğruluk değerleri,

2⁴ = 2 . 2 . 2 . 2 = 16 değişik biçimde sıralanır.

Örnek: 5

Birbirinden bağımsız 8 farklı önermenin kaç doğruluk değeri vardır?

Çözüm:

8 farklı önerme olduğu için n = 8 dir. Öyleyse, 2⁸ = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 256 tane doğruluk değeri vardır

Denk (eş değer) Önermeler

Mümkün olan bütün durumlarda doğruluk değerleri aynı olan önermelere denk (eş değer) önermeler denir. p ve q gibi iki önermenin denkliği p

≡

q şeklinde gösterilir ve (p denktir q) diye okunur.

p ve q gibi iki önermenin denk olmadığı p

≡

_{q şeklin-} de gösterilir ve (p denk değildir q) diye okunur.

NOT

Önermelerin denkliği araştırılırken, içeriği ve anlamı dikkate alınmaz, yalnız doğruluk değerleriyle ilgilenilir.

Örnek: 6

p : “Cumartesi okul tatildir.”

q : “Karenin dört köşesi vardır.”

r : “5 ≤ 4”

s : “ 19 ≥ 7” önermeleri veriliyor.

Bu önermeleri dikkate alarak aşağıdaki denkliklerin- doğru ya da yanlış olduğunu belirtiniz.

a) ≡p q b) ≡p s c) r ≡ q d) s ≡ r

Çözüm:

p ve q önermeleri doğru, r ve s önermeleri ise yanlış önermelerdir. Yani p ≡ q ≡ 1 ve r ≡ s ≡ 0 dır.

Buna göre a ve d denklikleri doğru, b ve c denklikleri ise yanlıştır.

Örnek: 7

p : “Bir yıl 12 aydır.”

q : “3² < 12”

r : “Bir hafta 9 gündür.”

önermeleri veriliyor.

Verilen önermeleri dikkate alarak aşağıdaki denkliklerin doğru ya da yanlış olduğunu belirtiniz.

a) p ≡ r b) q ≡ p c) r ≡ q d) q

≡

_r

Çözüm:

p ≡ 1, q ≡ 1, r ≡ 0 dır.

Buna göre b ve d denklikleri doğru, a ve c denklikleri ise yanlıştır.

(19)

Alp Y ayıne vi

Mantık

1. ^Bölüm

Bir Önermenin Olumsuzu (Değili)

Önermenin hükmünün olumsuzu alınarak elde edilen yeni önermeye bu önermenin olumsuzu (değili) denir. Her önermenin bir olumsuzu vardır.

p önermesinin olumsuzu p´, p , ~p sembollerinden birisi ile gösterilir ve “p nin olumsuzu” diye okunur.

Bir önermenin, olumsuzunun (değilinin) doğruluk değerini belirlemek için, bu önermenin doğruluk de- ğerini bilmek yeterlidir. Çünkü bir p önermesi doğru ise olumsuzu olan p´ önermesi yanlış ve p önermesi yanlış ise olumsuzu olan p´ önermesi doğrudur.

Bir önermenin olumsuzu, genellikle sonuna “değil“

kelimesi eklenerek bulunur.

Örnek: 8

p: “Ali çalışkandır.” önermesinin olumsuzu p´: “Ali çalışkan değildir.” şeklindedir.

q: “Üç tek bir sayıdır.” önermesinin olumsuzu q´: “Üç tek bir sayı değildir.” şeklindedir.

r: “Adı Reyhan olan tüm öğrenciler kızdır.” önerme- sinin olumsuzu

r´: “Adı Reyhan olan tüm öğrenciler kız değildir.” (Bu önermenin olumsuzunu “Adı Reyhan olan bazı öğrenciler kız değildir” şeklinde yorumlamak hatalıdır. Çünkü bu durumda her iki önerme de doğrudur.)

s: “Beş üçten büyüktür.” önermesinin olumsuzu s´: “Beş üçten büyük değildir.” şeklindedir.

NOT

Olumsuzu alma sonucunda önerme eğer doğru ise yanlış, yanlış ise doğru değerini alır.

Bir p önermesi verildiğinde p ile p´ karşılıklı olarak aşağıdaki değerleri alırlar.

• p önermesi doğru ise olumsuzu olan p´ önermesi yanlış

• p önermesi yanlış ise olumsuzu olan p´ önermesi doğrudur.

p p´

1 0

0 1

Örnek: 9

p: “Bazı insanlar fazla konuşmasını sevmezler.” öner- mesinin olumsuzunu yazınız.

Çözüm:

p: “Bazı insanlar fazla konuşmasını sevmezler.” öner- mesinin olumsuzu p′: “Her insan fazla konuşmasını sever.” şeklindedir

p: “Bazı insanlar fazla konuşmasını sevmezler.”

önermesinin olumsuzunu p′: “Bazı insanlar fazla ko- nuşmasını severler.” şeklinde düşünülürse yanlıştır.

Çünkü bu durumda p önermesi doğru iken p′ öner- mesi de doğrudur.

Bileşik Önermeler

İki veya daha fazla önermenin “veya”, “ve”, “ise”,

“ancak ve ancak” gibi bağlaçlarla birbirine bağlan- ması sonucunda elde edilen yeni önermeye bileşik önerme denir.

Örnek: 10

p : “Ay dünyanın etrafında döner.”

q : “Atlar uçamaz.”

önermeleri veriliyor. Yukarıdaki bağlaçları kullanarak bileşik önermeler elde ediniz.

Çözüm:

r: “Ay dünyanın etrafında döner veya atlar uçamaz.”

s: “Ay dünyanın etrafında döner ve atlar uçamaz.”

t: “Ay dünyanın etrafında döner ise atlar uçamaz.”

u: “Ay dünyanın etrafında döner ancak ve ancak atlar uçamaz.”

a) “veya” (v) bağlacı ile elde edilen bileşik önermeler

“Veya” bağlacı

v

sembolü ile gösterilir. “Veya” bağlacı ile bağlanmış p ve q önermeleri “p

v

q” olarak yazılır ve “p veya q” diye okunur.

(20)

20 Alp Y ayıne vi

Konu Anlatımlı Çözümlü ve Uygulamalı Matematik

NOT

1) p

v

q bileşik önermesi, bileşenlerinden en az birisi doğru ise doğru, diğer hallerde yanlıştır.

2) p

v

q bileşik önermesinin doğruluğu,(1

v

1

≡

1) dışında- ki bütün durumlarda p ve q bileşenlerin doğruluk değeri olan 1 ve 0 sayılarının toplamıdır.

p ile q önermeleri için p

v

q nun doğruluk tablosu aşağıdaki şekildedir:

p q p

v

q

1 1 1

1 0 1

0 1 1

0 0 0

Tablo incelendiğinde 1

v

1

≡

1, 1

v

0

≡

1, 0

v

1

≡

1, 0

v

0

≡

0 olduğu görülür.

Örnek: 11

p: “Handan ders çalıştı.”

q: “Handan sınıfını geçti.”

önermeleri “veya” bağlacı ile bağlanırsa

“Handan ders çalıştı veya Handan sınıfını geçti.” şek- linde yeni bir öneri elde edilir.

Bu önerme için



Handan ders çalışıp sınıfını da geçtiyse sonuç doğru,



Handan ders çalışıp sınıfını geçmediyse sonuç doğru,



Handan ders çalışmayıp sınıfını geçtiyse sonuç doğru,



Handan ders çalışmayıp sınıfını da geçmediyse sonuç yanlıştır

Örnek: 12

p doğru önermesi veriliyor. p

v

q bileşik önermesinin doğruluk değeri nedir? Belirtiniz.

Çözüm:

p daima doğru olduğundan q ne olursa olsun p

v

q bileşik önermesi doğru olur.

Örnek: 13

p yanlış bir önerme ve p

v

q da yanlış bir önerme ise, q nun doğruluk değeri nedir? Belirtiniz.

Çözüm:

p

v

q bileşik önermesi p ile q nun her ikisinin de yanlış olması durumunda q önermesi de yanlıştır.

Veya İle Yapılan Bileşik Önermelerin Özellikleri p, q ve r önermeleri için:

1) Tek kuvvet özelliği

• p

≡

1 ise, 1

v

1

≡

1 olduğundan p

v

p

≡

_{p dir.}

• p

≡

0 ise, 0

v

0

≡

0 olduğundan p

v

p

≡

_{p dir.}

p p

v

p

1 1

0 0

p

≡

p

v

p 2) Değişme Özelliği

p q p

v

q q

v

p

1 1 1 1

1 0 1 1

0 1 1 1

0 0 0 0

p

v

q

≡

_q

v

p

Tabloda da görüldüğü gibi p

v

q

≡

_q

v

p dir. Bu da bize

v

bağlacında değişme özelliği olduğunu gösterir 3) Birleşme Özelliği

p,q ve r önermelerinin karşılıklı her doğruluk değeri için (p

v

q)

v

r

≡

p

v

(q

v

r) olduğu aşağıdaki tabloda gösterilmiştir.

p q r p

v

q q

v

r (p

v

q)

v

r p

v

_(q

v

r)

1 1 1 1 1 1 1

1 1 0 1 1 1 1

1 0 1 1 1 1 1

1 0 0 1 0 1 1

0 1 1 1 1 1 1

0 1 0 1 1 1 1

0 0 1 0 1 1 1

0 0 0 0 0 0 0

(p

v

q)

v

r

≡

p

v

(q

v

r) Öyleyse,

v

bağlacında birleşme özelliği vardır.

(21)

Alp Y ayıne vi

Mantık

1. ^Bölüm

4) p

v

1

≡

_{1 dir.}

p 1 p

v

1

1 1 1

0 1 1

p

v

1

≡

1 5) p

v

0

≡

_{p dır.}

p 0 p

v

0

1 0 1

0 0 0

p

v

0

≡

p 6) p

v

p^ı

≡

_{1 dır.}

p p^ı 1 p

v

p^ı

1 0 1 1

0 1 1 1

^p

v

p’

≡

1

b) “Ve” (

v

) Bağlacı ile Elde Edilen Bileşik Önermeler

“Ve” bağlacı “

v

” sembolü ile gösterilir. “Ve” bağlacı ile bağlanmış p ve q önermeleri “p

v

q” olarak yazılır ve

“p ve q” diye okunur.

NOT

1) p

∧

q bileşik önermesi, bileşenlerinin her ikisi de doğru ise doğru diğer hallerde yanlıştır.

2) p

∧

q bileşik önermesinin doğruluğu, bileşenlerin doğruluk değeri olan 1 ve 0 ın aritmetik çarpımıdır.

p ile q önermeleri için p

∧

q nun doğruluk tablosu aşa- ğıdaki şekildedir. Tablo incelendiğinde

1

∧

₁

≡

1, 1

∧

₀

≡

0, 0

∧

₁

≡

0, 0

∧

₀

≡

0

olduğu görülecektir.

p q p

∧

_q

1 1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 0

Örnek: 14

p : “Hande ders çalıştı.”

q : “Hande sınıfını geçti.”

önermeleri “ve” bağlacı ile bağlanırsa

p

∧

q : “Hande ders çalıştı ve Hande sınıfını geçti”

şeklinde yeni bir önerme elde edilir. Bu önerme için



Hande ders çalışıp sınıfını da geçtiyse sonuç doğru,



Hande ders çalışıp sınıfını geçmediyse sonuç yanlış,



Hande ders çalışmayıp sınıfını geçtiyse sonuç yanlış,



Hande ders çalışmayıp sınıfını da geçmediyse sonuç yanlıştır.

Örnek: 15

p : “Paris Macaristan’dadır.”

q : “Ahmet erkek adıdır.”

önermeleri “ve” bağlacı ile bağlanırsa

p

∧

q : “Paris Macaristan’dadır ve Ahmet erkek adıdır”

şeklinde yeni bir öneri elde edilir. Birinci önerme yan- lış olduğu için p

∧

q bileşik önermesi yanlıştır.

“Ve” İle Yapılan Bileşik Önermelerin Özellikleri

1) Tek kuvvet özelliği

• p

≡

1 ise, 1

∧

₁

≡

1 olduğundan p

∧

_p

≡

p dir.

• p

≡

0 ise, 0

∧

0

≡

0 olduğundan p

∧

p

≡

p dir.

p p

∧

_p

1 1

0 0

p

≡

_p

∧

_p

2) Değişme Özelliği

p q p

∧

_q _q

∧

_p

1 1 1 1

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 0 0

p

∧

_q

≡

q

∧

_p

Tabloda da görüldüğü gibi p

∧

_q

≡

q

∧

p dir. Bu da bize

∧

bağlacında değişme özelliği olduğunu gösterir.

(22)

22 Alp Y ayıne vi

Konu Anlatımlı Çözümlü ve Uygulamalı Matematik

3) Birleşme Özelliği

p,q ve r önermelerinin karşılıklı her doğruluk değeri için (p

∧

q)

∧

r

≡

p

∧

(q

∧

r) olduğu aşağıdaki tabloda gösterilmiştir. Bu da bize

∧

bağlacında birleşme özel- liği olduğunu gösterir.

p q r p

∧

_{q q}

∧

_{r (p}

∧

_q)

∧

_{r p}

∧

_(q

∧

_r)

1 1 1 1 1 1 1

1 1 0 1 0 0 0

1 0 1 0 0 0 0

1 0 0 0 0 0 0

0 1 1 0 1 0 0

0 1 0 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0

(p

∧

q)

∧

r

≡

p

∧

(q

∧

r) 4)

∨

ve

∧

işlemlerinin birbiri üzerine dağılma özelliği

p, q ve r önermeleri için

a)

∨

_nın

∧

üzerine soldan dağılma özelliği p

∨

_(q

∧

_r)

≡

_(p

∨

_q)

∧

_(p

∨

_r) b)

∨

_nın

∧

üzerine sağdan dağılma özelliği (q

∧

_r)

∨

_p

≡

_(q

∨

_p)

∧

_(r

∨

_p) c)

∧

_nin

∨

üzerine soldan dağılma özelliği p

∧

_(q

∨

_r)

≡

_(p

∧

_q)

∨

_(p

∧

_r) d)

∧

_nin

∨

üzerine sağdan dağılma özelliği (q

∨

_r)

∧

_p

≡

_(q

∧

_p)

∨

_(r

∧

_p) Yukarıdaki 4 özelliğin tablo yöntemi ile gösterimi aşağıdaki gibidir:

a)

∨

_nın

∧

üzerine soldan dağılma özelliği p q r q

∧

r p

∨

q p

∨

_r p

∨

₍q

∧

r)(p

∨

q)

∧

(p

∨

r)

1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 0 0 1 1 1 1

1 0 1 0 1 1 1 1

1 0 0 0 1 1 1 1

0 1 1 1 1 1 1 1

0 1 0 0 1 0 0 0

0 0 1 0 0 1 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

p

∨

_(q

∧

_r)

≡

(p

∨

_q)

∧

_(p

∨

_r)

b)

∨

_nın

∧

üzerine sağdan dağılma özelliği p q r q

∧

r q

∨

pr

∨

_p(q

∧

r)

∨

p (q

∨

p)

∧

(r

∨

p)

1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 0 0 1 1 1 1

1 0 1 0 1 1 1 1

1 0 0 0 1 1 1 1

0 1 1 1 1 1 1 1

0 1 0 0 1 0 0 0

0 0 1 0 0 1 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

(q

∧

_r)

∨

p

≡

(q

∨

p)

∧

(r

∨

p)

c)

∧

_nin

∨

üzerine soldan dağılma özelliği p q r q

∨

r p

∧

q p

∧

r p

∧

(q

∨

r) (p

∧

q)

∨

(p

∧

_r)

1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 0 1 1 0 1 1

1 0 1 1 0 1 1 1

1 0 0 0 0 0 0 0

0 1 1 1 0 0 0 0

0 1 0 1 0 0 0 0

0 0 1 1 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

p

∧

(q

∨

r)

≡

_(p

∧

q)

∨

(p

∧

r)

d)

∧

_nin

∨

üzerine sağdan dağılma özelliği

p q r q

∨

r q

∧

p r

∧

p (q

∨

r)

∧

_{p (q}

∧

p)

∨

(r

∧

_p)

1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 0 1 1 0 1 1

1 0 1 1 0 1 1 1

1 0 0 0 0 0 0 0

0 1 1 1 0 0 0 0

0 1 0 1 0 0 0 0

0 0 1 1 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

(q

∨

r)

∧

p

≡

_(q

∧

p)

∨

(r

∧

p)

5) Yutan eleman özelliği p

∧

_(p

∨

_q)

≡

_p

p

∨

_(p

∧

_q)

≡

_p

(23)

Alp Y ayıne vi

Mantık

1. ^Bölüm

Örnek: 16

l l

(p q) q 1∧ ∧ ≡ ise (p q) q ?∧ ∨ ^l≡

Çözüm:

l l 

1 1

(p q) q 1∧∧ ≡ ise (p q) 1 q 1^l∧ ^l≡ ∧ ≡ p q 0^l∧ ≡

p 1 0^l∧ ≡ p 0^l≡

p 1≡ olmalıdır.

O halde;

l l

(p q) q (1 1) 1∧ ∨ ≡ ∧ ∨ 1 0

≡ ∨ 1

≡ olmalıdır.

Örnek: 17

(p

∨

q′)

∧

q

≡

p

∧

q olduğunu gösteriniz.

Çözüm:

(p

∨

_{q′ )}

∧

_q

≡

(p

∧

_q)

∨

_(q′

∧

_{q) (}

∧

nin

∨

üz. sağ. dağ. öz)

≡

(p

∧

q)

∨

0 (q′

∧

q

≡

0)

≡

(p

∧

q) ( p

∨

0

≡

p)

Örnek: 18

p: “Köye gittim.”

q: “Annemin elini öptüm.”

önermeleri veriliyor. p

∧

_q

≡

q

∧

_{p midir?}

Çözüm:

p

∧

q : “Köye gittim ve annemin elini öptüm.” şeklinde iken,

q

∧

p : “Annemin elini öptüm ve köye gittim.” şeklin- dedir.

Bu iki bileşik önerme, mantıkta ikinci özellikten dola- yı eş anlamlıdır ve değişme özelliği vardır. Konuşma dilinde ise eş anlamlı olmadıkları için değişme özel- likleri yoktur. Öyleyse “ve” nin anlamı mantık dili ile konuşma dilinde farklı şekildedir. “ve” bağlacı konuş- ma dilindeki bileşik önermelere başka anlamlar da verebilmektedir.

De Morgan Kuralları

(p

∨

q )′

≡

p′

∧

q′

dir. (De Morgan kuralları) (p

∧

q )′

≡

p′

∨

q′

Örnek: 19

(p

∧

_{q )′}

≡

p′

∨

q′ denkliğini doğruluk tablosu çizerek gösterelim:

p q p^ı q^ı p

∧

_q _(p

∧

_q)^ı _p^ı

∨

_q^ı

1 1 0 0 1 0 0

1 0 0 1 0 1 1

0 1 1 0 0 1 1

0 0 1 1 0 1 1

(p

∧

q)^ı

≡

_p^ı

∨

q^ı

Örnek: 20

(p

∨

q )′

≡

p′

∧

q′ denkliğini doğruluk tablosu çizerek gösterelim:

p q p^ı q^ı p

∨

_q _(p

∨

_q)^ı _p′

∧

_q′

1 1 0 0 1 0 0

1 0 0 1 1 0 0

0 1 1 0 1 0 0

0 0 1 1 0 1 1

(p

∨

_{q )′}

≡

p′

∧

_q′

Örnek: 21

(p∨q′)

∧

[(q′

∧

r)

∧

(q

∧

p′)]′ bileşik önermesinin sa- deleştirilmiş halini bulunuz

Çözüm:

(p∨q′)

∧

[(q′

∧

r)

∧

(q

∧

p′)]′

≡

?

≡

(p∨q′)

∧

[(q′

∧

r)′ ∨ (q

∧

p′)′]

≡

(p^∨q′)

∧

_[(q∨r′) ^∨ (q′^∨p)]

≡

(p∨q′)

∧

[(q∨q′) ∨ (r′∨p)]

≡

(p∨q′)

∧

[1∨ (r′∨p)]

≡

(p^∨q′)

∧

₁

≡

(p∨q′)

c) İse (⇒ ) Bağlacı İle Elde Edilen Bileşik Önerme- ler (Koşullu Önermeler)

Tanım: ⇒ bağlacı ile elde edilen p ⇒ q bileşik önerme

sine koşullu önerme denir.

(24)

24 Alp Y ayıne vi

Konu Anlatımlı Çözümlü ve Uygulamalı Matematik

p : “Öğrenci dersine çalışır ise sınıfı geçer.”

q : “Güneş doğar ise hava ısınır.”

r : “x çift sayı ise sıfırdan büyüktür.”

Yukarıda verilen önermelerin her biri, basit önerme- lerin ise bağlacı ile bağlanmasıyla elde edilmiş birer önermedir. İse bağlacı ⇒ sembolü ile gösterilir.

İse bağlacı ile bağlanmış p ve q önermeleri p ⇒ q olarak yazılır ve p ise q diye okunur.

NOT

p ⇒ q bileşik önermesi, yalnızca p nin doğru, q nun yanlış olduğu durumlarda yanlış diğer hallerde doğrudur.

p ⇒ bileşik önermesinin doğruluk tablosu aşağıdaki gibidir.

p q p ⇒ q

1 1 1

1 0 0

0 1 1

0 0 1

Tablo incelendiğinde

1 ⇒ 1

≡

1, 1 ⇒ 0

≡

0, 0 ⇒ 1

≡

1, 0 ⇒ 0

≡

1 olduğu görülecektir.

Yine aynı şekilde

0 ⇒ p

≡

1, 1 ⇒ p

≡

p, p′ ⇒ 1

≡

1, p ⇒ 0

≡

p′

Örnek: 22

“Güneş doğar ise havalar ısınır.” şeklindeki bir koşullu önerme; “güneş doğduğu zaman havalar ısınmaz” ise yanlış (1 ⇒ 0

≡

0) ve diğer bütün hallerde doğru de ğerini alır.

Koşullu Önermenin Özellikleri

• p ⇒ p

≡

1

• p ⇒ q

≡

p′ ^∨ q

• p ⇒ q

≡

q′ ⇒ p′

• q ⇒ p

≡

p′ ⇒ q′

• p ⇒ q

≡

q ⇒ p

• (p ⇒ q) ⇒ r

≡

p ⇒ (q ⇒ r)

• p ⇒ (q

∧

_r)

≡

(p ⇒ q)

∧

(p ⇒ r)

• p ⇒ (q

∧

_r)

≡

(p ⇒ q)

∧

_{(p ⇒ r)}

• p ⇒ (q ∨ r)

≡

p ∨ (q ⇒ r)

• (p ⇒ q)′

≡

p

∧

_q′

• p ⇒ 0

≡

p′

• p ⇒ p′

≡

p′

• 0 ⇒ p

≡

1

• 1 ⇒ p

≡

p

• p ⇒ 1

≡

1

• p′ ⇒ p′

≡

1

p ⇒ q önermesinde verilen p ve q önermelerinin yerleri değiştirilerek elde edilen önermeye p ⇒ q öner- mesinin karşıtı denir.

p ⇒ q önermesinde verilen p ve q önermelerinin olumsuzları alınarak elde edilen önermeye p ⇒ q önermesinin tersi denir.

p ⇒ q önermesinde verilen p ve q önermelerinin hem olumsuzları alınıp hem de yerleri değiştirildiğinde elde edilen önermeye p ⇒ q önermesinin karşıt tersi denir.

NOT

p ⇒ q koşullu önermesinin,

• p ⇒ q nun karşıtı q ⇒ p

• p ⇒ q nun tersi p′ ⇒ q′

• p ⇒ q nun karşıt tersi q′ ⇒ p′

Örnek: 23

a = 3 ⇒ a² = 9 koşullu önermesinin:

Karşıtı a² = 9 ⇒ a = 3 Tersi a

≠

_{3 ⇒ a}²

≠

₉ Karşıt tersi a²

≠

_{9 ⇒ a}

≠

_{3 tür.}

Örnek: 24

“Bugün salı ise yarın çarşambadır.” önermesinin Karşıtı “ Yarın çarşamba ise bugün salıdır.”

Tersi “ Bugün salı değil ise yarın çarşamba değildir.”

Karşıt tersi “Yarın çarşamba değil ise bugün salı değildir”.

(25)

Alp Y ayıne vi

Mantık

1. ^Bölüm

Örnek: 25

“Bugün pazar ise tatildir.” koşullu önermesinin karşıtı

“Bugün tatil ise pazardır.” şartlı önermesidir.

“Bugün pazar ise tatildir.” koşullu önermesi doğru iken bunun karşıtı olan “Bugün tatil ise pazardır.” şart- lı önermesi yanlıştır.

Bu durumda da belirtildiği gibi bir şartlı önerme doğru iken bunun karşıtı olan önerme doğru ya da yanlış olabilir.

NOT

Koşullu önerme ile karşıt tersi birbirine denktir.

p ⇒ q

≡

q^ı ⇒ p^ı

p q p^ı q^ı p ⇒ q q^ı ⇒ p^ı

1 1 0 0 1 1

1 0 0 1 0 0

0 1 1 0 1 1

0 0 1 1 1 1

^{p ⇒ q}

^≡

q^ı ⇒ p^ı

Örnek: 26

p ⇒ q doğruysa p^ı ⇒ q^ı önermesinin doğruluk de- ğeri nedir? Tablodan yararlanarak gösteriniz.

Çözüm:

p q p^ı q^ı p ⇒ q p^ı ⇒ q^ı

1 1 0 0 1 1

1 0 0 1 0 1

0 1 1 0 1 0

0 0 1 1 1 1

p ⇒ q

≡

_p^ı_⇒ q^ı

Tablodan da görüleceği gibi p ⇒ q doğru iken p' ⇒ q' önermesinin de mutlaka doğru olması gerekmemek- tedir.

Örnek: 27

Her p ve q önermeleri için (p ⇒ q)

≡

(p^ı

∨

q) denkliği- ni doğruluk tablosu yaparak gösteriniz.

Çözüm:

p q p^ı p ⇒ q p^ı

∨

_q

1 1 0 1 1

1 0 0 0 0

0 1 1 1 1

0 0 1 1 1

(p ⇒ q)

≡

(p^ı

∨

_q)

Örnek: 28

1 0

p⇒(q r) 0∨ ≡ ise (p q)^l∨ ⇒r (q p)∧ ^l∨ ≡?

Çözüm:

1 0

p⇒(q r) 0∨ ≡ ise p 1 ve q r 0≡ ∨ ≡ olmalıdır.

q r 0 ise q 0 ve r 0∨ ≡ ≡ ≡ olmalıdır.

O halde;

l l

p 0 ve q 1≡ ≡ olmak üzere,

l l

(p q)∨ ⇒r (q p)∧ ∨ ≡?

≡ (0 0) ∨ ⇒ [0 (1 1)] ∧ ∨ 123

1 0

0 (0 1)

≡ ⇒∧

0 0

≡ ⇒ 1

≡ bulunur.

Örnek: 29

Her p ve q önermeleri için (p^ı ⇒ q)'

≡

p^ı

∧

_q^ı_öneme- sinin denk olup olmadığını doğruluk tablosu üzerinde gösteriniz.

Çözüm:

p q p^ı q^ı p^ı ⇒ q (p^ı⇒ q)^ı p^ı

∧

_q^ı

1 1 0 0 1 0 0

1 0 0 1 1 0 0

0 1 1 0 1 0 0

0 0 1 1 0 1 1

(p

^ı

⇒ q)' ≡ p

^ı

∧ q

^ı

Örnek: 30

(p ∧ q) ⇒ p önermesinin doğruluk tablosunu ya-

pınız.

(26)

26 Alp Y ayıne vi

Konu Anlatımlı Çözümlü ve Uygulamalı Matematik

Çözüm:

p q (p

∧

_q) _(p

∧

_q)

⇒

_p

1 1 1 1

1 0 0 1

0 1 0 1

0 0 0 1

Örnek: 31

(p ⇒ q)'

≡

p

∧

q' denkliğini doğruluk tablosu yaparak gösteriniz.

Çözüm:

p q q^ı p ⇒ q (p

⇒

_q)

'

_p

∧

_q

'

1 1 0 1 0 0

1 0 1 0 1 1

0 1 0 1 0 0

0 0 1 1 0 0

(p ⇒ q)' ≡ p ∧ q'

Örnek: 32

(p ⇒ q)

∨

p önermesinin denkliği nedir? Tablodan yararlanarak gösteriniz.

Çözüm:

p q (p

⇒

_q) _(p

⇒

_q)

∨

_p

1 1 1 1

1 0 0 1

0 1 1 1

0 0 1 1

O halde, (p ⇒ q)

∨

_p

≡

_{1 dir.}

Gerektirme

Doğruluk değeri 1 olan p ⇒ q koşullu önermesine gerektirme denir.

p ⇒ q gerektirmesinde, p ye q için yeter koşul, q ya da p için gerek koşul denir.

(Her gerektirme bir koşullu önermedir fakat her koşullu önerme bir gerektirme değildir.)

Örnek: 33

p: “ x= 1 ise x²+ 3 = 4 tür.” koşullu önermesi doğru olduğundan bir gerektirmedir.

x = 1 olması x²+ 3 = 4 için yeterlidir.

x²+ 3 = 4 olması da x = 1 için gereklidir.

Örnek: 34

q: “x²= 25 ise x = 5 dir.” koşullu önermesinde x²=25 olması için x = 5 için yeterli, x= 5 olması x²= 25 için gerekli değildir. Çünkü, x = 5 olması da x²= 25 için gereklidir. Buna göre, verilen önerme gerektirme de- ğildir.

d) Ancak ve Ancak (

⇔

) Bağlacı İle Elde Edilen Bileşik Önermeler(İki Yönlü Koşullu Önermeler)

p : “ABC üçgeni dik üçgendir ancak ve ancak ABC üçge- ninin bir iç açısı 90⁰dir.”

q : “Burcu sınıfını geçti ancak ve ancak derslerine çok çalıştı.”

Yukarıda verilen önermelerin her biri, basit önermelerin ancak ve ancak bağlacı ile bağlanmasıyla elde edilmiş birer bi leşik önermedir. Ancak ve ancak bağlacı

⇔

sembolü ile gösterilir

Ancak ve ancak bağlacı ile bağlanmış p ve q öner- meleri p

⇔

q olarak yazılır ve p ancak ve ancak q diye okunur.

Tanım:

⇔

bağlacı ile elde edilen p

⇔

q bileşik önerme sine iki yönlü koşullu önerme denir

Örnek: 35

p : “Kahvaltı yaparım.”

q : “Öğle yemeği yemem.”

p

⇔

q : “Kahvaltı yaparım ancak ve ancak öğle ye- meği yemem.”

Örnek: 36

p : “Bugün çarşamba.”

q : “Yarın Kayseri’ye gideceğim.”

p

⇔

q : “Bugün Çarşamba ancak ve ancak yarın Kayseri’ye gideceğim.”

MATEMATİK 9. SINIF. Her bölümde:

Konu Anlatımlı Çözümlü ve Uygulamalı Matematik

MATEMATİK

9. SINIF

Her bölümde:

@ Konular kapsamlı olarak ele alınarak açıklan- mış ve 982 örnek çözüm ve 1815 alıştırma ve test sorusu olmak üzere toplam 2797 soru ele alınıp değerlendirilmiştir.

@ Çalışma yapraklarının çözümleri yapılmıştır.

@ 1996-2007 yılları arasındaki ÖSS-ÖYS soruları

konu aralarında çözülmüştür.

: 53

: 12

: Eylül 2007

: Şükrü TÜRKMEN

: Sadık TOKER

: Alp Yayınevi

: Ali Karagöz

: Aydan

(0312) 385 00 42

: Kitapçılar Çarşısı Güngörler İş Merkezi İnkılâp Sokak.

2/52 06420 Kızılay-Ankara

: (0312) 432 39 30 431 90 79 (0505) 760 98 14

: (0312) 431 88 59

: alp@alpkitap.com alp@alpyayin.com.tr

: www.alpkitap.com

: 975-6674-59-8

Sevgili öğrenciler;

Bunların yanında, konu sonlarında verilen 33 ü çözümlü ve 23 ü cevaplı (deneme) 56 testte 1120 test sorusu dahil toplam 2797 soru ile üniversite sınavlarında hedeflediğiniz en üst düzeye çıkabilmeniz amaç edinilmiştir.

Başarı dileklerimle…..

Şükrü TÜRKMEN

MEB Başmüfettişi

1996-2007 YILLARI ARASINDA ÖSS ve ÖYS de ÇIKMIŞ SORU SAYILARI

İÇİNDEKİLER

Alp Y ayıne vi

Mantık

1. Bölüm

BİRİNCİ BÖLÜM

MANTIK

Alt Öğrenme Alanları ve Süreleri

Önermeler ... 2 Ders Saati Doğruluk Değeri ve Doğruluk Tablosu

Denk Önermeler

Bir Önermenin Olumsuzu

Bileşik Önermeler ...10 Ders Saati “Veya” Bağlacı İle Elde Elden Bileşik Önermeler

“Ve” Bağlacı İle Elde Edilen Bileşik Önermeler “İse” Bağlacı İle Elde Edilen Bileşik Önermeler

“Ancak ve Ancak” Bağlacı İle Elde Edilen Koşullu Önermeler

Açık Önermeler ...2 Ders Saati Matematikte Kullanılan Niceleyiciler

Tanım, Teorem ve İspat Yöntemleri ... 2 Ders Saati Doğrudan İspat Yöntemleri

Dolaylı İspat Yöntemleri

Çalışma Yaprakları Çözümleri

Alıştırmalar 1 (Çözümlü)

Alıştırmalar 2

Test 1 (Çözümlü)

Alp Y ayıne vi Matematik ve Mantık

NOT

Etkinlik _____________________________

Örnek: 1

Çözüm:

MANTIK

16

Alp Y ayıne vi

Konu Anlatımlı Çözümlü ve Uygulamalı Matematik

Örnek: 2

Çözüm:

Örnek: 3

p:

q:

r:

s:

t:

u:

v:

w:

x:

y:

Çözüm:

Alp Y ayıne vi

Mantık

1. Bölüm

Etkinlik _____________________________

≡



1. ^Bölüm

1. ^Bölüm

1. ^Bölüm