ANAHTARLANMI DO RUSAL S STEMLERE G R

ANAHTARLANMI“ DO‡RUSAL SSTEMLERE GR“

Ça§da³ TOPÇU Ocak 2009

Proje Dan³man: Yrd.Doç.Dr. brahim Beklan KÜÇÜKDEMRAL YILDIZ TEKNK ÜNVERSTES

ELEKTRK - ELEKTRONK FAKÜLTESi ELEKTRK MÜHENDSL‡ BÖLÜMÜ

PROJE I

Contents

1 Giri³ 3

2 Matematiksel Önbilgiler 4

2.1 Supremum ve nmum . . . 4

2.2 Norm . . . 4

2.3 Hurwitz ve Schur Matris . . . 4

2.4 Kararllk ve Lyapunov Teoremi . . . 5

3 Anahtarlanm³ Sistemler 7 3.1 Kararllk Problemleri . . . 9

3.1.1 Key Anahtarlama Problemi . . . 10

3.1.2 Uygun Anahtarlama ³aretleri Kümesini Bulma Problemi 10 3.1.3 Kararlla³trma Problemi . . . 10

3.2 Kararlla³trma Problemi . . . 10

3.2.1 Periyodik ve Senkron Anahtarlama ³areti . . . 14

3.3 Dayankllk . . . 15

1 Giri³

Anahtarlanm³ do§rusal sistemler birden fazla do§rusal altsistemden olu³mu³ ve bu altsistemlerden hangisinin aktif hale gelece§inin bir anahtarlama i³areti ile belirlendi§i sistemlerdir. Uzun yllar boyunca üzerinde durulmasna ra§- men 1990'l yllardan itibaren çal³malarn hzland§ bir alandr. Bunun sebebi ise anahtarlanm³ do§rusal sistemlerin do§rusal sistemlerle karma³k sistemler¹ arasnda geçi³ olarak kullanlmalardr. Çok karma³k sistemler sanki do§rusal sistemlerin birle³tirilmi³ haliymi³çesine tasarlanabilmektedir. Bu da kontrolcü tasarmnda do§rusal sistem analizlerinden çok daha güçlü yöntemler elde ede- bilmemizi sa§lamaktadr. Bu yöntemle oldukça zor olan lineer olmayan sistem analizini görece basit hale getirebiliriz. Bütün bunlarn d³nda geli³en bilgisayar sistemleri ve güç elektroni§i elemanlar sayesinde elektrik mühendisli§inin güç sistemleri ve güç elektroni§i, uçak ve hava trak kontrolü ve haberle³me a§lar

gibi bir çok uygulamasnda kullanlmaktadr. Anahtarlanm³ do§rusal sistemler, dayankl analiz ve kontrolü, adaptif kontrol, akll kontrol problemlerine farkl

yakla³mlar getirilmesini sa§lam³tr.

Bu belgede ilk olarak matematiksel kavramlar açklanmaya çal³lm³tr. Ardn- dan ksaca anahtarlanm³ do§rusal sistemler tantlm³, temel kararllk problem- leri ve dayankllk üzerinde durulmu³tur.

1uncertain systems olarak da geçmektedir

2 Matematiksel Önbilgiler

Bu bölümde belgede kullanca§mz temel tanmlar ve matematiksel altyap ver- ilmeyi çal³lacaktr. Sistemlerin tanmlanmas ve sistemlerin kararll§ konu- larna yeni olanlar için ve belgenin bilgi bütünlü§ünü korumas amaçlanm³tr.

2.1 Supremum ve nmum

Xksmi sral bir küme ve A ⊆ X olsun. A nn X deki alt snrlarnn kümesinin en büyük elemanna A nn en büyük alt snr veya inmumu denir ve infA ile gösterilir. E§er infA ∈ A ise infA ya A nn minimum eleman denir ve minA ile gösterilir. A nn X deki üst snrlarnn kümesinin en küçük elemanna A nn en küçük üst snr veya supremumu denir ve supA ile gösterilir. E§er supA ∈ Aise supA ya A nn maksimum eleman denir ve maxA ile gösterilir.

Supremum ve inmum kavramlarn ilerde anahtarlama i³aretinin seçilimi srasnda i³aretin devreye girdi§i an elde ederken kullanaca§z.

2.2 Norm

Normu kafamzda vektörlerin uzunlu§u olarak canlandrabiliriz. Matematiksel olarak tanmlarsak: F bir komplex cisim, V de F de tanmlanm³ bir vektör uzay olsun. Norm V de tanml bir fonksiyon olsun öyle ki k · k : V 7→ R ve a³a§daki özellikleri sa§lasn:

(i) kv k ≥ 0 bütün v ∈ V için ve kv k = 0 ancak ve ancak v = 0 oldu§unda (ii) kλ v k = kλkkv k bütün v ∈ V ve λ ∈ F için

(iii) kv + w k ≤ kv k bütün v, w ∈ V için

Biz bu belgede k · k ile öklit normunu kastedece§iz. x, n boyutlu X vektör uzaynn eleman olsun, x in öklit normu kxk =√

x₁+ x₂+ ... + x_n olur.

2.3 Hurwitz ve Schur Matris

Hurwiz matris bütün özde§erlerinin reel ksm negatif olan komleks matristir yani

Re[λi] < 0

olur. Yaknsak Hurwitz matris ise bütün özde§erlerinin boyu 1 den küçük olan matristir. Sürekli dinamik sistemlerin jakobiyeni Hurwitz ise sistem asimp- totik kararldr.

Schur matris ise yaknsak matris anlamna gelmektedir.

2.4 Kararllk ve Lyapunov Teoremi

En genel anlamda a³a§daki vektörel diferansiyel denklemi ele alalm

˙

x = f (x, t) x(0) = x₀ (1)

burada x(t) ∈ Rⁿ, ve t ≥ 0 dr. Sistemin ba³langç ko³ulunda sabit kald§

noktalara dinamik sistemin denge noktalar denir. Bizim inceledi§imiz zamanla de§i³meyen do§rusal sistemlerin e§er varsa bir denge noktas olaca§ndan bu denge noktasn orijin yani sfr noktasn seçebiliriz. Dinamik sistemleri bu denge noktasna yakn bir ba³langç durumunda ba³latrsak ve e§er sistem deng- eye oturmaya çal³rsa yani durumlar orijine yakla³maya çal³rsa sisteme kararl

deriz. E§er sistemin durumlar denge noktasndan uzakla³rsa kararszdr deriz.

Sistem (1) in x(t0) = x₀ ba³langç ko³ulu için çözümünü φ(t; t0, x₀)olsun.

Tanım 2.1Denge noktas için a³a§dakileri söyleyebiliriz:

• kararldr, her bir  > 0 ve t0≥ 0 için bir δ = δ(, t0)vardr öyle ki k x0k< δ(, t0) =⇒k φ(t; t0, x0) k<  ∀t ≥ t0

• düzenli kararldr, her bir  > 0 için bir δ = δ() vardr öyle ki k x0k< δ() t0≥ 0 =⇒k φ(t; t0, x0) k<  ∀t ≥ t0

• çekicidir, her bir t0≥ 0için bir δ = δ(t0)vardr öyle ki k x0k< δ(, t0) =⇒k φ(t; t0, x0) k→ 0, t → ∞

• düzenli çekicidir, bir δ > 0 vardr öyle ki

k x₀k< δ, t₀≥ 0 =⇒k φ(t₀+ t; t₀, x₀) k→ 0, t → ∞

• kararl ve çekici ise asimptotik kararldr

• düzenli kararl ve düzenli çekici ise asimptotik kararldr

• üstel kararldr, r, α, β > 0 gerçel sabitlerdir öyle ki

k φ(t0+ t; t0, x0) k≤ βe^−αtk x0k ∀t, t0≥ 0 k x0k< r.

Karall§ sistem durumlarnn hareketiyle kafamzda canlandrmaya devam ed- ersek, asimptotik kararllk durumlarn denge durumuna yani sfra gelmesidir.

Sradan kararllk veya Lyapunov kararll§ ise sfr noktasna ula³amasa bile durumlarn belirli bir alann içinde snrlanmasdr. Üstel kararllkta durumlar sfr noktasna üstel hzla yakla³rlar.

Teorem 2.1(1) sisteminin x^∗= 0 denge noktasn içeren bir O ⊂ Rⁿ açk kümesi olsun. V : O → R, V ∈ C^∞ ³eklinde bir fonksiyon

V (0) = 0 ve V (x) > 0, x ∈ O − {0} (2)

V (x) ≤ 0, x ∈ O˙ (3) ko³ullarn sa§lyorsa x^∗= 0denge noktasnda sistem kararldr.

E§er V (x) ≤ 0, x ∈ O − {0}˙ (4)

ko³ulunu da sa§lyorsa x^∗ = 0denge noktasnda sistem asimptotoik karar- ldr. 

Buradaki V (x) fonksiyonu Lyapunov fonksiyonu olarak bilinir. Bu teoremin düzenli ve üstel kararl sistemler için geni³letilmi³ halleri bulunmaktadr. Ancak burada vermiyoruz.

3 Anahtarlanm³ Sistemler

Anahtarlanm³ sistemler hibrit sistemlerin özel bir halidir. Hibrit sistemler sürekli ve ayrk dinamiklerin birle³imi olan sistemlerdir. Sürekli dinamikler- den kastmz diferansiyel denklemlerle modellenebilen sürekli zamanl dinamik sistemler olabilece§i gibi zamann parçalara ayrlp fark denklemleriyle yazla- bilen ayrk zamanl dinamik sistemler de olabilir. Ayrk dinamikler ise bir biri ile ba§msz durumlarn ardarda geli³ti§i olaylar dizisi olarak dü³ünülebilinir.

Bu yüzden hibrit sistem kavram çok geni³ bir kavramdr. Anahtarlanm³ sis- temlerde anahtarlama sürekli dinamiklerin bir anahtarlama kuralyla yani ayrk bir dinamikle kontrol edilmesi, seçilmesi anlamna gelir. Hibrit sistemlerden farkl olarak anahtarlanm³ sistemlerde önemli olan bütün anahtarlama i³aret- lerinin tarad§ kontrol edilebilir uzayn kararll§nn belirlenmesidir ve sürekli dinamiklerin kararll§ ön plandadr. “ekil 3.1 de genel bir anahtarlanm³ kon- trol sistemi ³emas verilmi³tir.

¸

Sekil 3.1 Anahtarlanmı¸s sistem ¸seması

Ornek 3.1.¨ A³a§da anahtarlama i³aretinin rastgele yapld§ ve seçici ile do§rusal zamanla de§i³meyen sistemlerden olu³mu³ bir anahtarlanm³ zamanla de§i³meyen do§rusal sistem örne§i verilmi³tir.

¸

Sekil 3.2 Keyf i anahtarlanmı¸s bir sistemin Simulink modeli Ornek 3.2.¨ Di§er bir basit örnek de iki do§rusal zamanla de§i³meyen sis- temle olu³turulan örnektir. Zamanla de§i³meyen do§rusal sistemleri diferansiyel denklem sistemleriyle tanmlayabiliriz.

˙

x(t) = Ax(t) + Bu(t) (5)

y(t) = Cx(t) + Du(t) (6)

Bizim örne§imizdeki sistemleri tanmlayalm.

A1=

 −2 −2

1 0



, B1=

 1 0



, C1=

0 1  , D1= 0

A2=

 −2 −1

1 0



, B2=

 2 0



, C2=

0 1  , D2= 0

Sistemin x0= [1 3]^T ba³langç durumu ve belirli bir t annda 1. sistemden 2. sisteme geçi³i kar³snda durum yörüngesi ¸Sekil 3.3 deki gibi olur. Bu- rada kesikli çizgiyle gösterilen t annda 2. sistemin devreye girmesiyle olu³an yörüngedir.

¸

Sekil 3.3 Iki sistemin anahtarlanmasıyla elde edilen durum y¨˙ or ¨ungesi Burada iki kararl do§rusal sistem anahtarlanm³tr ve sonuç yine karar- ldr. Kararsz iki sistemden kararlla³trc bir anahtarlama kuralyla kararl

bir anahtarlanm³ sistem elde edilebilece§i gibi kararl iki sistemden kararsz bir sistem olu³turulabir.

Herhangi bir anahtanm³ sistem ³u ³ekilde gösterilebilir:

δ(x) = f_σ (7)

burada fσ: Rⁿ → Rⁿ ve fp: p ∈ P olan bir fonksiyon ailesidir. P herhangi bir indeks kümesi ve σ : [0, ∞) → P i³aretleme sinyalidir. P kümesi sonlu boyutlu do§rusal vektör uzaynn yo§un alt kümesidir.

Anahtarlanm³ do§rusal otonom (giri³ i³aretinden ve gürültülerden arndrlm³) sistemi ³u ³ekilde tanmlayabiliriz:

δx(t) = Aσx(t) (8)

burada x(t) ∈ Rⁿdurum, σ ∈ M := {1, . . . , m} tasarlanan sabit i³aretleme sinyali, Ak ∈ R^n×n, k ∈ M gerçel sabit matrisler ve δ sürekli zamanda türev, ayrk zamanda ise ileri kaydrma oparatörüdür.

3.1 Kararllk Problemleri

Sistemlerin kararll§ onlarn kullanlabilirli§i açsndan oldukça önemlidir. Endüstrideki uygulamalarda ve haberle³me ³ebekelerindeki veri güvenli§inin sa§lanmas açsn- dan üzerinde oldukça durulan bir konudur. Burada Liberzon ve Mors'un 1999 ylndaki yaynladklar baz temel kararllk problemlemlerine de§inelim.

3.1.1 Key Anahtarlama Problemi

Sistem (7) nin herhangi bir anahtarlama sinyali için asimptotik karall§n garan- tileyecek ³artn ara³trlmas problemidir. Bilgisayar kontrollü sistemlerinin geli³mesi ve çok hzl anahtarlamann yaplabilmesiyle key anahtarlanan sis- temler için kararllk testlerine ihtiyaç duyulmu³tur. Bütün anahtarlama sinyal- lerini gözönünde bulunduraca§mz için bu problemin hemen görülebilir basit bir çözümü yoktur. Sistemimizdeki alt sistemlerin denge noktalar ortak ve orijin olsun, fp(0) = 0, p ∈ P. Key anahtarlanm³ sistemin kararl olabilmesi için anahtarlanan altsistemlerin herbirinin kararl olmas gerekti§i a³ikardr. E§er kararsz bir sistem varsa anahtarlama i³aretinin kararsz sistemi seçmesi ile sis- tem kararszla³abilir. Ancak bu da yeterli ko³ul de§ildir çünkü altsistemleri kararl olan iki sistem anahtarlama i³aretiyle kararsz hale gelebilmektedir.

3.1.2 Uygun Anahtarlama ³aretleri Kümesini Bulma Problemi Bu problemde key anahtarlamadan farkl olarak sistemi asipmtotik kararl hale getirebilecek anahtarlama kümelerinin bulunmas amaçlanmaktadr. Önceki problemde oldu§u gibi bu problemde de altsistemlerin kararl oldu§u kabul edilir.

3.1.3 Kararlla³trma Problemi

Bu problem ise yava³ anahtarlama yaplrken sistemi kararl hale getiren tek elemanl anahtarlama i³areti kümesinin bulunmasnn ara³trlmasdr. Biz bu problemi anahtarlanm³ do§rusal otonom sistem (8) için inceleyece§iz.

3.2 Kararlla³trma Problemi

Tanım 3.1.Sistem (8) i iyi oturmu³ ve düzenli (asimptotik, üstel) kararl

klan bir σ anahtarlama i³areti varsa sistem kararlla³trlabilir deriz.

Anahtarlama sinyalini ba³langç de§erlerine ba§l olarak σ(t) = ϕ(t; t0, x₀)

³eklinde gösterebiliriz. E§er anahtarlama i³areti ba³langç durumundan ba§m- szsa yani σ(t) = ϕ(t; t0, x₁) = ϕ(t; t₀, x₂) ∀t ≥ t₀ x₁, x₂ ∈ Rⁿ ise anahtar- lama i³aretimiz ba³langç durumuna göre turarldr.

Tanım 3.2.E§er sistem (8) i iyi oturmu³ ve düzenli kararl hale getirebilen bir tutatl i³aretleme sinyalimiz varsa sistemimiz tutarl kararlla³trlabilirdir.

Tanım 3.3. Sistem (8) bütün ba³langç ko³ullarnda (x0 ∈ Rⁿ) sistem çözümünü sfra yaknsayan bir ba³langç anahtarlama i³aretimiz, σx₀, varsa anahtarlanm³ yaknsaktr.

t→∞limφ(t; 0, x0, σx₀) = 0.

n

X

i=1

λi≤ 0

burada λi(A), 1 ≤ i ≤ n A matrisinin özde§erleridir. Dahas sistem tutarl

asimptotik kararl ise e³itsizlik do§rudur.

˙Ispat. σ tutarl anahtarlama i³areti anahtarlama sistemini kararlla³trsn.

Anahtarlama i³aretinin süreç dizisi

DS_σ= {(i₀, h₀), (i₁, h₁), . . .}

olsun. E§er dizi sonlu ise son aktienen sistem kararl olmaldr böylece teorem sa§lanr. E§er dizi sonlu de§ilse P^l_i=1h_i → ∞, l → ∞ olur. Tanm 3.2 e göre ε = 1 seçelim ve bir δ > 0 says vardr öyle ki

k x0k≤ δ =⇒k φ(t; 0, x0, σ) k≤ 1 ∀t ≥ t0. Yani,

k e^Aishs, . . . , e^Ai1h1, e^Ai0h0x0k≤ 1 ∀x0∈ Bδ s = 0, 1, . . . . Sonuçta dizinin bütün elemanlar

e^Ai0h0, e^Ai1h1e^Ai0h0, . . . , e^Aishs. . . , e^Ai1h1e^Ai0h0, . . . (9)

1

δ ile snrlanmak zorundadr. Varsayalm ki

% = min

k∈M

( _n X

i=1

λi(Ak) )

> 0.

Ardndan, a³a§daki durumu elde ederiz

det e^Akh= exp h

n

X

i=1

λi(Ak)

!

> e^%h k ∈ M h > 0.

Sonuç olarak,

det e^Aishs. . . e^Ai1h1e^Ai0h0 ≥ e^%Psj=0hj → ∞, s → ∞.

Bu da matrisin elemanlarnn snrlandrlm³ olmasyla çeli³mektedir. Teo- remin öbür parçasnn ispat da benzer ³ekilde yaplabilir.

Teorem 3.2. A³a§daki önermeler denktir:

(i) anahtarlanm³ sistem asipmtotik kararlla³trlabilirdir;

(ii) anahtarlanm³ sistem üstel kararlla³trlabilirdir;

(iii) anahtarlanm³ sistem anahtarlanm³ yaknsaktr.

˙Ispat. (ii) =⇒ (i) =⇒ (iii)oldu§u a³ikardr. (iii) =⇒ (ii) oldu§unu göster- memiz yeterlidir.

Anahtarlanm³ yaknsakl§ ele alalm. Her x durumu birim yuvar yüzeyinde (S1) yer almaktadr. Bir tx zaman ve anahtarlama yolu σx = [0, tx] 7→ M vardr, öyle ki sistemin çözümü 1/4 yarçapl yuvarn içinde yer alr

φ(t_x; 0, x, σ_x) ∈ B1

4. (10)

σxin zaman dizisi t1,. . . , tk a³a§daki gibi olsun t0= 0 < t1< . . . < tk < tk+1:= tx. x(t) = Φx(0)e³itli§indeki ta³ma matrisi

Φ(t, 0, σx) = e^ij(t−tj)e^{ij−1(tj−tj−1)}. . . e^i0(t1−t0)

t ∈ [t_j, t_j+1] j = 0, 1, . . . , k ta³ma matrisini (9) denklemine koyarsak

Φ(tx; 0, x, σx)x ∈ B1 4. Sonuç olarak, x in bir Nx kom³ulu§u olsun, öyle ki

Φ(t_x; 0, x, σ_x)y ∈ B1

2 ∀y ∈ N_x. xbirim yuvar yüzeyi boyunca de§i³sin, a³ikardr ki

∪x∈S₁N x ⊇ S1.

Birim yuvar yüzeyi Rⁿde yo§un kümedir (snrl ve kapal), Finite Covering Teoremine göre belirli bir say l, ve birim yuvar yüzeyi üzerindeki durumlarn kümesi x1, . . . , xn vardr, öyle ki

∪^l_i=1N x ⊇ S₁.

Böylece birim yuvar yüzeyi l ayr parçaya, R1, . . . , R_lolarak ayrabiriz, öyle ki

(a) ∪^li=1= S, Ri∩ Rj = ∅for i 6= j; ve

(b) her bir i için 1 ≤ i ≤ l, böylece a³a§daki durumu elde ederiz.

Φ(tx; 0, x, σx)y ∈ B1 ∀y ∈ Ri.

T = max^l_i=1tx, ve η = maxi∈M k Aik .A³ikardr ki k Φ(t, 0, σx) k≤ e^ηT ∀x ∈ S1 t ≤ tx.

Ardndan x06= 0d³nda bir durum için bir θx0 : [0, ∞) 7→ M anahtarlama yolu düzenleyelim. Durum dizisini özyinemeli olarak tanmlayalm

z₀= x₀ z_k+1= φ(t zk

kzkk; 0, z_k, σ zk

kzkk) k = 0, 1, . . . . Bu ³ekilde her σ ^zk

kzkk(t) belirli bir zaman aral§yla e³le³tirilebilinir. Yani her duruma kar³lk gelen i³aret belirli bir zaman aral§nda tanmlanmaktadr.

Buna göre x0 = 0için herhangi bir θx0 : [0, ∞) 7→ M anahtarlama yolu genel olarak a³a§daki gibi gösterilebilir.

θ_x0(t) = σ zk

kZkk(t −X_k−1

i=0t zi

kzik) t ∈ [X_k−1

i=0t zi kzik,X_k

i=0t zi kzik).

Sonunda her durum yörüngesinin anahtarlama yoluyla üstel yaknsak oldu§unu gösterebiliriz.

α = ln 2/T ve β = 2e^ηT

olsun. α ve β de§erlerine göre sistem üstel yaknsaksa a³a§daki e³itsizli§i elde ederiz.

k zk+1k≤ k zkk

2 k = 0, 1, . . . .

Di§er taraftan, bütün x ∈ S1ler için tx≤ T dir ve buradan a³a§daki e³itsi- zli§i elde ederiz.

k φ(t; 0, x0,θx0) k≤ e^ηT k φ(X_k−1

i=0t zi

kzik; 0, x0, θx0) k

∀t ∈ [X_k−1

i=0t zi kzik,X_k

i=0t zi

kzik) k = 0, 1, . . . . Yukardaki sonuçlardan a³a§daki e³itsizli§i elde ederiz

k φ(t; 0, x0, θx₀) k≤ β exp(−αt) k x0k ∀x0∈ Rⁿ t ≥ 0. (11) α ve β sabitleri x0 ve θx₀ dan ba§mszdr. E³itsizlik (10) anahtarlanm³ sistemin üstel kararlla³trlabilir oldu§unu gösterir. 

Bu teorem esasen do§rusal sistemlerdeki denklik teoreminin anahtarlanm³ sistemlere uygulamasdr. Oldukça önemli olan teoremin ispatnda kullanlan yöntemler ve teoremin sonuçlar ilerde kullanlacaktr.

3.2.1 Periyodik ve Senkron Anahtarlama ³areti

Pozitif bir T zaman olsun. Anahtarlama yolu θ[0,∞) a³a§daki ³art sa§lyorsa periyodiktir.

θ(t + T ) = θ(t) ∀t ≥ 0.

Anahtarlama zamanlar dizisi, {0, µ1, µ₂, . . .}do§al saylaryla a³a§daki gibi yazlabiliyorsa anahtarlama yolu σ senkrondur.

{0, µ₁ω, µ₂ω, . . .}

Teorem 3.3. E§er anahtarlama sistemi tutarl asimptotik kararlla³trla- bilirse bu sistemi asimptotik kararl klabilecek bir periyodik ve senkron anahtar- lama i³areti vardr.

˙Ispat.E§er altsistemlerden biri Ak asimptotik kararlysa sabit anahtarlama i³aretini σ = k seçebiliriz. Onun d³nda σ y bir süreç dizisi olarak dü³ünelim

DSσ= {(i0, h0), (i1, h1), . . .}

sistemi asimptotik kararl klsn. A³ikardr ki bu anahtarlama i³areti sonsuz anahtarlamay içermelidir. Teorem 3.1 e göre (9) dizisi sfr matrisine yaknsar.

N sonlu bir say olsun öyle ki

k e^AiNhN. . . e^Ai1h1, e^Ai0h0k≤ 1. (12) bir g : R^{N +1}7→ R+ fonksiyonu tanmlayalm

g(s0, s1, . . . sN) =k e^AiNsN. . . e^Ai1s1, e^Ai0s0 k . g fonksiyonunun sürekli oldu§u görülmektedir.

g(h0, h1, . . . hN) < 1

ise (h0, h₁, . . . h_n)^T un R^{N +1}deki kom³ulu§u Λ vardr öyle ki g(z) < 1 ∀z ∈ Λ.

Λ de bir z0 = (r₀, r₁, . . . , r_N)^T seçelim, burada her j = 0, 1, . . . , N için rj

rasyonel saydr. Böylece periyodik ve senkron anahtarlama yolu θ nn süreç dizisinin

DSθ= {(i0, r1), . . . , (iN, rN), (i0, r0), . . . , (iN, rN), . . .} (13) sistemi asimptotik kararl kld§ do§rulanr. 

(12) e³itsizli§i sistemlerin yaknsakl§n incelerken i³imize yaramaktadr.

(ii) sistem tutarl üstel kararlla³trlabilirdir;

(iii) sistem periyodik ve senkron asimptotik kararlla³trlabilirdir;

(iv) bir l do§al says, i1,. . . , ilindeks dizise ve pozitif reel say dizisi h1, . . . , hl

vardr, öyle ki e^Ailhl. . . e^Ai1h1 matrisi Schur dur;

(v) s ∈ (0, 1) gerçel says için, bir l = l(s) do§al says ve pozitif reel say

dizisi h1, . . . , h_l vardr öyle ki

k e^Ailhl. . . e^Ai1h1 k≤ s. (14)

˙Ispat. Teorem 3.3 ün ispatna göre (i) bize gösterir ki, bir N do§al says

vardr ve öyle ki

k e^AiNhN. . . e^Ai1h1, e^Ai0h0 k≤ γ < 1 l = kN olsun, buna göre

ij+µN = ij vehj+µN = hj j = 1, . . . , N µ = 1, . . . , k − 1.

Görülebilir ki

k e^Ailhl. . . e^Ai1h1e^Ai1h1k= (k e^AiNhN. . . e^Ai1h1e^Ai1h1k)^k= γ^k.

Herhangi bir s ∈ (0, 1) için k ≥ _{ln γ}^{ln s} oldu§undan (14) e³itsizli§i korunur.

Yani (i) =⇒ (v) olur. Ayn mantkla (iv) =⇒ (v) ispatlanabilir. Teorem 3.2 de (iv) =⇒ (iii)elde edilmi³ti. Di§erleri de a³ikardr. 

3.3 Dayankllk

Sistemlerde dayankllk sistemin d³ etkilere direnç gösterebilmesidir. Sistem (8) küçük gürültülerle ³u ³ekilde gösterilebilir:

˙

x(t) = (A_σ+ _σB_σ) (15)

burada Bk∈ R^n×n, k ∈ M sabit olarak verilmi³tir ve εk (k ∈ M )reel saylardr.

Teorem 3.4. Sistem (8) asimptotik kararlla³trlabilir olsun. κ1, . . . , κm

reel saylar olsun öyle ki gürültülü sistem (15) a³a§daki ³art sa§lyorsa karar- lla³trlabilirdir:

|εk| ≤ κk k ∈ M.

˙Ispat.Teorem 3.2 nin ispatnda birim yuvar yüzeyini sonlu sayda R1, . . . Rl

kümelerine bölebilmi³tik, öyle ki (a) ∪^li=1= S, Ri∩ Rj = ∅for i 6= j;

(b) her bir i için 1 ≤ i ≤ l, bir txzaman ve σxanahtarlama yolu elde etmi³tik, öyle ki

Φ(tx; 0, x, σx)y ∈ B¹

2 ∀y ∈ Ri

(c) bütün i = 1, . . . , l ler için txi≤ T olan bir T zamanmz vardr.

[0, t_xi)aral§nda σxi için bir anahtarlama süreç dizisi olsun:

{(j_i1, h_i1), . . . , (j_iki, h_iki)}

Ardndan a³a§daki e³itsizli§i elde ederiz k e^Ajikihiki. . . e^Aji1hi1y k≤ 1

2 ∀y ∈ R_i. Bir gi fonksiyonunu tanmlayalm,

gi(ε1,...,εm) = sup

y∈Ri

k e^{(Ajiki+εjikiBjiki)hiki}. . . e^{(Aji1+εji1Bji1)hi1}y k .

gi fonksiyonunun sürekli oldu§u açktr. Madem gi(0, . . . , 0) ≤ 1

2 κi1, . . . , κim pozitif saylardr ve öyle ki

g_i(ε_1,...,ε_m) ≤2

3 ∀|ε_i| ≤ κ_ij j ∈ M.

iyi dönü³türelim,

κk= min {κ11, . . . , κlm k ∈ M } . Gürültülü sistem (15) i a³a§daki e³itsizlikle inceleyelim,

|εk| ≤ κk k ∈ M.

Φ⁰ sistem (15) in ta³ma matrisi olsun açktr ki, Φ⁰(tx_i, 0, σx_i)y ∈ B²

3 ∀y ∈ Ri i = 1, . . . , l.

Bu Teorem 3.2 nin ispatyla beraber gürültülü sistemin asimptotik kararl

oldu§unu gösterir. 

Kaynaklar

Karabacak, Ö., 2006. Anahtarlanm³ do§rusal sistemlerin kararll§nn in- celenmesi, TÜ Fen Bilimleri Enstitüsü, stanbul.

Bayraktar, M., 1998. Fonksiyonel Analiz, Gazi Kitabevi, Ankara.

Liberzon, D. and Morse, S., 1999. Basic problems in stability analysis of switched systems, IEEE Control Systems Magezine.

Sun, Z., and Ge S.S., 2005. Switched Linear Systems: Control and Design, Springer-Verlag London, USA.

Khalil, H.K., 2000. Nonlinear Systems 3. ed., Prentice Hall, New Jersey.