• Sonuç bulunamadı

MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ METALÜRJİ VE MALZEME MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Share "MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ METALÜRJİ VE MALZEME MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ"

Copied!
12
0
0

Yükleniyor.... (view fulltext now)

Tam metin

(1)

110

T.C.

ONDOKUZ MAYIS ÜNİVERSİTESİ

MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ

METALÜRJİ VE MALZEME MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ

MBM.311 MÜHENDİSLİKTE İSTATİSTİK YÖNTEMLER DERSİ

PROF. DR. YÜKSEL ÖNER

8. Hafta

yoner@omu.edu.tr www.omu.edu.

(2)

110 BÖLÜM 4

TEK ÖRNEKLEM HAKKINDA KARAR VERME 4.1 İstatistiksel Çıkarım

Araştırmacının araştırma konusu kapsamındaki kitle hakkında sonuçlara ulaşmak veya karar vermek için kullandığı yöntemler topluluğuna İstatistiksel Çıkarım adı verilir. İstatistiksel çıkarım için kullanılan yöntemler çıkarım yaparken ilgili kitleden rastgele seçilen örnekleme ait bilgiyi kullanmaktadır. İstatistiksel çıkarım iki ana prensibi parametre tahmini ve hipotez testi olarak bilinen iki süreçten oluşmaktadır.

4.2 Parametre Tahmini

Kitle parametreleri ile ilgili olarak iki tür tahmin söz konusudur:

i) Nokta Tahmini

ii) Aralık Tahmini (Güven Aralığı)

TANIM:4.1 𝑋 rastgele değişkeninin olasılık kütle/olasılık yoğunluk fonksiyonu 𝑓(𝑥 ; 𝜃) olsun. Burada 𝜃 bu dağılıma ait bir kitle parametresidir. Bu dağılımdan rastgele olarak seçilen 𝑛 birimlik bir örneklem 𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛 olmak üzere, 𝜃 parametresinin bu örnek birimlerinin bir fonksiyonu olan tek bir sayısal değer olarak ifade edilmesine bu 𝜃 parametresinin bir nokta tahmin edicisi denir ve Θ̂ = 𝑇(𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛) şeklinde gösterilir.

Literatürde bir nokta tahmin ediciye istatistik adı da verilmektedir. Bir parametrenin nokta tahmin edicisinin alabileceği değere o parametrenin nokta tahmini (tahmini) denir ve Θ̂ = 𝜃̂ = 𝑇(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛) ile gösterilir.

Parametrelerin nokta tahmin edicileri örneklemden örnekleme değişen değerler alan rastgele değişkenlerdir. Bu sebeple nokta tahmin edicilerinin olasılık dağılımları (örnekleme dağılımları) oluşturulabilir. Ayrıca; iyi bir nokta tahmin edicinin yansızlık, tutarlılık, etkinlik, minimum varyanslı olma ve yeterlilik gibi özellikleri sağlaması gerekmektedir.

TANIM:4.2 Bir parametreye ait nokta tahmin edicinin beklenen değeri o parametreye eşitse bu tahmin ediciye yansız tahmin edici denir. Yani 𝐸( Θ̂) = 𝜃 ise Θ̂ nokta tahmin edicisi 𝜃 parametresi için yansızdır denir.

TANIM:4.3 Bir 𝜃 parametresini belli bir güvenle kapsayan bir aralığa bu parametre için bir aralık tahmini ya da güven aralığı denir ve 𝑃(𝐿1 ≤ 𝜃 ≤ 𝐿2) = 1 − 𝛼 şeklinde gösterilir. Burada 𝐿1: güven aralığının alt sınırı, 𝐿2: güven aralığının üst sınırı ve (1 − 𝛼 ) güven seviyesi anlamında kullanılan olasılık değeri olup, genel olarak %90, %95 veya %99 gibi büyük olasılıklar seçilir.

Kitle parametrelerine göre güven aralıkları, hipotez testi konusu içerisinde verilecektir.

4.3 İstatistiksel Hipotez ve İstatistiksel HipotezTesti

Özellikle veri analizleri konusunda parametreler hakkında öne sürülen bazı ifadelerle ilgili karar verme noktasında araştırıcıların başvurduğu önemli kaynaklardan birisi hipotez testidir.

(3)

111

Tanım 4.4 Bir 𝑋 rastgele değişkeninin dağılımı veya bu dağılımın kapsadığı parametrelerle ilgili doğru ya da yanlış olan iddialara istatistiksel hipotez denir. Hipotez hakkında karar verme sürecine de hipotez testi adı verilir.

Bu tanımda sözkonusu olan iddia/iddialar genellikle matematiksel ifadesi bilinen 𝑓(𝑥 ; 𝜃) olasılık fonksiyonu/olasılık yoğunluk fonksiyonunda yer alan parametre (𝜃) ile ilgilidir.

Tanım 4.5 Bir hipotez gözönüne alınan dağılımın bilinmeyen parametresi için kesin değerler öne sürüyorsa, yani dağılımı kesin olarak belirliyorsa bu hipoteze basit hipotez, aksi takdirde bileşik hipotez denir.

𝑋~𝑁(𝜃 , 9) dağılımı verilsin. Dağılımın 𝜃 parametresinin 10’a eşit veya 10’dan küçük olması hipotezi;

𝐻1: 𝜃 ≤ 10 olup, bir bileşik hipotezdir. Çünkü hipotez dağılımı tam olarak belirlemiyor.

Dağılımın 𝜃 parametresinin 10’a eşit olma hipotezi;

𝐻0: 𝜃 = 10 olup, bir basit hipotezdir. Çünkü hipotez dağılımı tam olarak belirliyor.

İstatistiksel hipotez testlerinde iki tür hipotez ile ilgilenilir. Bunlar sıfır hipotezi adı verilen 𝐻0 hipotezi ile araştırma/alternatif hipotez adı verilen 𝐻1 hipotezidir. Sıfır hipotezi daima önemsizliği ifade etmek anlamında eşitlik durumu (=) ile tanımlanırken. Araştırma hipotezi önemliliği ya da farklılığı ifade etmek anlamında (< , > 𝑣𝑒𝑦𝑎 ≠) durumlarından uygun olanını kapsar. Bu durumu 𝜃 kitle parametresi ve 𝜃0 ∈ 𝐼𝑅 bilinen bir reel sayı olmak üzere;

a) 𝐻0: 𝜃 = 𝜃0 b)𝐻0: 𝜃 = 𝜃0 c) 𝐻0: 𝜃 = 𝜃0 𝐻1: 𝜃 > 𝜃0 𝐻1: 𝜃 < 𝜃0 𝐻1: 𝜃 ≠ 𝜃0

şeklinde ifade edebiliriz. Burada (a) ve (b) durumları tek yönlü hipotezler, (c) durumu ise çift yönlü hipotez olarak bilinir.

ÖRNEK:4.1 Bir araştırmacı uçaklarda uçuş ekibinin kaçış sistemini tahrik amacıyla kullanılan katı yakıtın yanma hızı ile ilgilenmektedir. Bir rastgele değişken olarak “𝑋: Katı yakıtın yanma hızı (cm/s)” alınsın. Araştırmacı ortalama (dağılımın parametresi) yanma hızının 50 cm/s ‘ye eşit olup olmadığına karar vermek istiyor. Buna göre hipotezleri oluşturunuz.

Çözüm; 𝜇 : Ortalama yanma hızı (cm/s) ve 𝜇0= 50 bilinen reel sayı olmak üzere hipotezler:

𝐻0: 𝜇 = 50

𝐻1: 𝜇 ≠ 50 (4.1) şeklinde kurulur. Çift yönlü bir hipotez grubudur.

Bu örneğe göre 𝐻0 hipotezi hakkında karar vermek için izlenecek olan prosedüre hipotez testi denir. Bu prosedür:

i) İlgili kitleden bir rastgele örneklem (𝑛 𝑏𝑖𝑟𝑖𝑚𝑙𝑖𝑘) almayı

(4)

112

ii) Alınan örneklemden bir test istatistiği belirlemeyi ( Bu istatistik daima 𝐻0 hipotezinde yer alan parametrenin nokta tahmin edicisi olan istatistik olacaktır. Bu örnek için söz onuşu istatistik örnek ortalaması (𝑋) istatistiğidir)

iii) Belirlenen test istatistiğinin veya bu istatistiğin bir fonksiyonunun olasılık (örnekleme) dağılımını kullanarak karar verme kuralını belirleyecek olan kritik bölgeyi belirlemeyi

iv) Kritik bölge yardımı ile bir karar kuralı oluşturmayı

v) Oluşturulan karar kuralına göre 𝐻0 hipotezi hakkında ret/ret edilememe kararı vermeyi ve bu karara göre yorumlama yapmayı

kapsamaktadır.

Şimdi Örnek:4.1’deki hipotezleri test etmek için ilgili kitleden 𝑛 = 10 birimlik bir örneklem (𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋10) çekildiğini ve 𝜇 parametresinin bir tahmin edicisi olarak örnekleme ait ortalama yanma hızı olan 𝑥 = 1

1010𝑖=1𝑥𝑖 örnek ortalama istatistiğinin hesaplandığını kabul edelim. Eğer 𝑥 değeri, 𝐻0: 𝜇 = 50 değerine yakınsa, o zaman bu istatistik 𝐻0 hipotezini destekleyen bir delil olacaktır. Eğer 𝑥 değeri, 𝐻0: 𝜇 = 50 değerinden önemli derecede farklılık gösteriyorsa, o zaman bu istatistik 𝐻1 hipotezini destekleyen bir delil olacaktır. Bu sebeple örnek ortalama istatistiği bu problemde test istatistiği olacaktır. Kabul edelim ki 𝑘1 = 48,5 ve 𝑘2 = 51,5 keyfi olarak alınan iki reel sayı olmak üzere karar kuralımız: eğer 𝑘1 ≤ 𝑥 ≤ 𝑘2 ise 𝐻0 hipotezi ret edilemesin ve 𝑥 < 𝑘1 veya 𝑥 > 𝑘2 ise 𝐻0 hipotezi ret edilsin. Bu durumda ret bölgesi kritik bölgeyi oluşturur ve çift yönlü hipotezler için 𝐶 = (𝑥 < 𝑘1) ∪ (𝑥 > 𝑘2) şeklinde iki ayrık bölgenin birleşimi olarak yazılır. Bu durum, Şekil 4.1’de sayı doğrusu üzerinde de gösterilmektedir. Burada 𝑘1 ve 𝑘2 noktaları da kritik noktalar olarak bilinir.

Şekil:4.1 𝑯𝟎: 𝝁 = 𝟓𝟎 Hipotezinin Testi İçin Karar Kuralı

Bu test prosedürü iki yanlış sonuçtan birisine yol açabilir. Şöyle ki: (1) gerçek ortalama yanma hızı 𝜇 = 50 iken, test işlemi sonucunda hesaplanan örnek ortalaması 𝑥, ret bölgesine düşebilirdi ve biz bu durumda gerçekte doğru olan bir 𝐻0 hipotezini ret ederek hatalı bir karar vermiş olurduk. Bu hatalı karara Tip I Hata denir. Tip I hata yapma olasılığı (𝛼) ile gösterilir ve testin anlamlılık seviyesi olarak adlandırılır. Araştırmacı tarafından (%5; %1; %10 v.s) şeklinde küçük bir olasılık olarak belirlenebilir.

𝛼 = 𝑃(𝑇𝑖𝑝 𝐼 𝐻𝑎𝑡𝑎) = 𝑃(𝐻0𝑅𝑒𝑡/𝐻0𝐷𝑜ğ𝑟𝑢 ) (4.2) (2) Gerçek ortalama yanma hızı 𝜇 ≠ 50 iken, test işlemi sonucunda hesaplanan örnek ortalamasının ( 𝑥 ), ret bölgesine düşmemesi. Bu durumda gerçekte yanlış olan bir 𝐻0

(5)

113

hipotezini ret etmeyerek yine hatalı bir karar vermiş oluruz. Bu hatalı karara Tip II Hata denir.

Tip II hata yapma olasılığı (𝛽) ile gösterilir

𝛽 = 𝑃(𝑇𝑖𝑝 𝐼𝐼 𝐻𝑎𝑡𝑎) = 𝑃(𝐻0𝐾𝑎𝑏𝑢𝑙/𝐻0𝑌𝑎𝑛𝑙𝚤ş ) (4.3) Sonuç olarak herhangi bir istatistiksel hipotezin test edilmesinde hata tipleri ile ilgili durumlar Tablo 4.1’de verilmektedir.

Tablo:4.1 Hata Tipleri TEST

SONUCU

GERÇEK DURUM

𝑯𝟎 𝑫𝒐ğ𝒓𝒖 𝑯𝟎 𝒀𝒂𝒏𝒍𝚤ş 𝑯𝟎 𝑲𝒂𝒃𝒖𝒍

Doğru Karar (1 − 𝛼)

(Güven seviyesi) TİP II HATA (𝛽) 𝑯𝟎 𝑹𝒆𝒕

TİP I HATA (𝛼) Anlamlılık Seviyesi

Testin Gücü (1 − 𝛽)

Tip I Hatası ile Tip II Hatası arasında ters orantı söz konusudur. Yani Tip I Hatası artarken Tip II Hatası azalacak, tersine Tip I Hatası azalırken Tip II hatası artacaktır.

4.3.1 Hipotez Testi için Genel Prosedür

Hipotez testi uygulamalarında izlenecek olan yol şu şekildedir:

1. İlgilenilen parametre: Problem içeriğine göre problemin ilgilendiği parametre tanımlanır 2. Sıfır Hipotezi: 𝑯𝟎: Sıfır hipotezi ifade edilir.

3. Alternatif Hipotez: 𝑯𝟏: Uygun bir alternatif hipotez belirlenir.

4. Test istatistiği: Uygun bir test istatistiği tanımlanır.

5. Hesaplamalar: Gerekli örneklem değerleri hesaplanır ve bu değerler test istatistiğinde yerine konularak test istatistiğinin alabileceği değer hesaplanır.

6. Karar kuralı: Ho hipotezi hakkında karar vermede kullanılacak olan karar kuralı belirlenir.

7. Karar ve Yorum: Ho hipotezinin ret edilip edilemeyeceğine karar verilir ve verilen karara göre yorumlama (raporlama) yapılır.

4.4 Tek Kitle Ortalaması Hakkında Hipotez Testi ve Güven Aralığı

Bu bölümde tek kitle ortalaması olan 𝜇 parametresi hakkında hipotez testi ve güven aralığı verilecektir. Bir 𝑋 rastgele değişkeni bakımından kitlenin dağılımının normal dağılıma uyumlu olduğu varsayılır. Literatürde normallik varsayımı altında uygulanan tüm istatistiksel hipotez testleri genel olarak parametrik test teknikleri olarak bilinirler. Normallik varsayımının sağlanmadığı durumlarda uygulanacak olan istatistiksel hipotez testlerine ise parametrik olmayan test teknikleri adı verilmektedir. Bu ders kapsamında bizim inceleyeceğimiz test teknikleri parametrik teknikler olacaktır. Eğer normallik varsayımı sağlanmıyor ve örnek hacmi yeterince büyükse, bu durumda merkezi limit teoreminin şartları gereğince istatistiklerin dağılımı normale yaklaşacağından, büyük örneklemlerde de parametrik teknikler kullanılabilir.

(6)

114

𝑋~𝑁(𝜇 , 𝜎2) dağılımına sahip bir kitleyi temsil etsin. Kitle ortalaması olan 𝜇 parametresi hakkında hipotez testi ve güven aralığı analizi, 𝜎2 kitle varyansının bilinip bilinmemesine göre farklılık göstermektedir.

4.4.1 Kitle Varyansı Biliniyorken Kitle Ortalaması Hakkında Hipotez Testi (𝒁 − 𝑻𝒆𝒔𝒕𝒊) ve Güven Aralığı

𝑁(𝜇 , 𝜎2) dağılımına sahip bir kitleyi ele alalım ve 𝝈𝟐 biliniyor olsun. Kitle ortalaması olan 𝜇 parametresi hakkında hipotez testi uygulaması ve güven aralığı oluşturma süreci şu şekilde olacaktır.

i) Hipotezler oluşturulur.

𝜇 bilinmeyen kitle ortalamasını gösteren bir parametre ve 𝜇0 ∈ 𝐼𝑅 bilinen bir reel sayı olmak üzere:

a) 𝐻0: 𝜇 = 𝜇0 b) 𝐻0: 𝜇 = 𝜇0 c) 𝐻0: 𝜇 = 𝜇0 𝐻1: 𝜇 < 𝜇0 𝐻1: 𝜇 > 𝜇0 𝐻1: 𝜇 ≠ 𝜇0 (4.4) şeklindedir. Burada (a) ve (b) tek yönlü test ve (c) çift yönlü test olarak bilinir.

ii) Kitleden rastgele 𝑛 birimlik bir örnek (𝑋1, 𝑋2, … . 𝑋𝑛) çekilerek, bu örnekten bilinmeyen 𝜇 parametresinin yansız bir nokta tahmin edicisi olan örnek ortalama istatistiği ve bu istatistiğin örnekleme dağılımı elde edilir. Örnek ortalama istatistiği 𝑋 = 1

𝑛𝑛𝑖=1𝑋𝑖 olup, bu istatistiğin örnekleme dağılımı 𝑋~𝑁(𝜇 , 𝜎𝑋2) şeklinde bir normal dağılım olup. Burada 𝜎𝑋2 = 𝜎2

𝑛 örnek ortalama istatistiğinin varyansıdır.

iii) Test istatistiği belirlenir. 𝐻0 hipotezini test etmede kullanılacak olan test istatistiği kitle varyansının biliniyor olması nedeniyle, örnek ortalama istatistiğinin standartlaştırılması ile elde edilecek olan 𝑍- istatistiğidir. Bu sebeple bu testin adına 𝑍-testi denilmektedir. O halde test istatistiği;

𝑍 = 𝑋−𝜇

𝜎𝑋 ~𝑁(0 , 1) (4.5) şeklinde tanımlı olan ve standart normal dağılıma sahip 𝑍- istatistiğidir. Burada 𝜎𝑋 , örnek ortalama istatistiğinin standart hatasıdır ve 𝜎𝑋 = 𝜎

√𝑛 şeklinde tanımlıdır. 𝐻0 hipotezi doğru iken test istatistiğinin alabileceği değer;

𝑍

=

𝑋−𝜇0

𝜎𝑋 reel sayısı olacaktır.

iv) Karar kuralı belirlenir ve değerlendirme yapılır. Karar kuralı araştırmacı tarafından belirlenecek olan 𝛼 önem seviyesinde 𝐻0 ve 𝐻1 hipotezlerinden beklentiler dikkate alınarak belirlenir.

a) 𝐻1: 𝜇 < 𝜇0 Φ(−𝑍𝛼) = 𝑃(𝑍 ≤ −𝑍𝛼) = 𝛼 olacak şekilde −𝑍𝛼 kritik değeri belirlenir (Şekil:4.2(a)). Eğer 𝑍 < −𝑍𝛼 ise 𝐻0 hipotezi ret edilir. Eğer 𝑍 ≥ −𝑍𝛼 ise 𝐻0 hipotezi ret edilemez.

(7)

115

b) 𝐻1: 𝜇 > 𝜇0 Φ(𝑍𝛼) = 𝑃(𝑍 ≤ 𝑍𝛼) = 1 − 𝛼 olacak şekilde 𝑍𝛼 kritik değeri belirlenir (Şekil:4.2(b)). Eğer 𝑍 > 𝑍𝛼 ise 𝐻0 hipotezi ret edilir. Eğer 𝑍 ≤ 𝑍𝛼 ise 𝐻0 hipotezi ret edilemez.

c) 𝐻1: 𝜇 ≠ 𝜇0 Φ(−𝑍𝛼/2) = 𝑃(𝑍 ≤ −𝑍𝛼/2) = 𝛼/2 ve Φ(𝑍𝛼/2) = 𝑃(𝑍 ≤ 𝑍𝛼/2) = 1 − 𝛼/2 olacak şekilde −𝑍𝛼/2 ve 𝑍𝛼/2 kritik değerleri belirlenir (Şekil:4.2(c)).

Eğer 𝑍 < −𝑍𝛼/2 veya 𝑍 > 𝑍𝛼/2 ise 𝐻0 hipotezi ret edilir. Eğer −𝑍𝛼/2≤ 𝑍 ≤ 𝑍𝛼/2 ise 𝐻0 hipotezi ret edilemez.

Şekil:4.2 (a) 𝑯𝟏: 𝝁 < 𝝁𝟎 Şekil:4.2 (b) 𝑯𝟏: 𝝁 > 𝝁𝟎 Şekil:4.2(c) 𝑯𝟏: 𝝁 ≠ 𝝁𝟎

v) Güven aralığı belirlenir. Kitle varyansı 𝜎2 biliniyorken kitle ortalaması olan 𝜇 parametresi için %(1 − 𝛼) güven katsayılı güven aralığı:

𝑃 (𝑋 − 𝑍𝛼

2 × 𝜎𝑋≤ 𝜇 ≤ 𝑋 + 𝑍𝛼

2× 𝜎𝑋) = 1 − 𝛼 (4.6) eşitliği ile verilir.

ÖRNEK:4.2 Roket yakıt sistemlerinin katı yakıt ile çalıştığı bilinmektedir. Bu yakıtın yanma hızı önemli bir ürün karakteristiğidir. Spesifikasyonlar ortalama yanma hızının 50 cm/s olmasını gerektirmektedir. Roket yakıt sistemleri için yanma hızına ait dağılım 𝑁(𝜇 𝑐𝑚/𝑠 , 𝜎 = 2𝑐𝑚/𝑠) olduğu kabul edilmektedir. Bir araştırmacı katı yakıtın ortalama yanma hızı üzerine yaptığı bir araştırmada 25 tane rastgele örnek seçerek her bir örnek numunede katı yakıtın yanma hızını ölçmüş ve örneklem için ortalama yanma hızını 𝑋 = 51,3 cm/s olarak hesaplamıştır. Bu bulgulara göre;

a) %5 önem seviyesinde roket yakıt sistemlerinde kullanılan katı yakıtın ortalama yanma hızının olması gereken duruma göre farklılık gösterip göstermediğine karar veriniz?

b) Roket yakıt sistemlerinde kullanılan katı yakıtın ortalama yanma hızına ait %95 güven katsayılı güven aralığını bulunuz ve yorumlayınız?

Çözüm: “𝑋: Roket yakıt sistemlerinde kullanılan katı yakıtın ortalama yanma hızı” olmak üzere, 𝑋~𝑁(𝜇 𝑐𝑚/𝑠 , 𝜎 = 2𝑐𝑚/𝑠) olduğu bilinmektedir.

a) i) Hipotezler kurulur

𝐻0: 𝜇 = 50 , (𝜇0 = 50 𝑐𝑚/𝑠 𝑜𝑙𝑎𝑟𝑎𝑘 𝑏𝑖𝑙𝑖𝑛𝑖𝑦𝑜𝑟) 𝐻1: 𝜇 ≠ 50

(8)

116

ii) Örnek ortalama istatistiği hesaplanır. 𝑛 = 25 birimlik bir örneklem çekilmiş ve bu örneklemdeki bilgi kullanılarak örnek ortalaması 𝑋 = 1

𝑛𝑛𝑖=1𝑋𝑖 = 51,3 𝑐𝑚/𝑠 olarak hesaplanmıştır.

iii) Test istatistiği belirlenerek 𝐻0 hipotezi doğru iken alabileceği değer hesaplanır. Kitle varyansı 𝜎2 = 4 olarak bilindiğinden test istatistiği, Eşitlik (4.5) gereğince;

𝑍 = 𝑋−𝜇

𝜎𝑋 ~𝑁(0 , 1) dir. Test istatistiğinin 𝐻0 hipotezi doğru iken alabileceği değer;

𝜎𝑋= 𝜎

√𝑛=2

5 olmak üzere 𝑍 =𝑋−𝜇0

𝜎𝑋 =51,3−50

2/5 = 3,25 olarak bulunur.

iv) Karar ve yorum: 𝛼 = 0,05 önem seviyesinde 𝐻1 hipotezine göre kritik değerler belirlenir.

𝐻1 hipotezi çift yönlü olduğundan kritik değerleri; −𝑍𝛼

2

= −𝑍0,025 = −1,96 (sol kritik değer:

𝑃(𝑍 ≤ −𝑍0,025) = 0,025) ve 𝑍𝛼

2 = 𝑍0,025 = 1,96 (sağ kritik değer; 𝑃(𝑍 ≤ 𝑍0,025) = 0,9750) olarak bulunur. Sonuç olarak: 𝑍 = 3,25 ve −𝑍𝛼

2

= −1,96 ve 𝑍𝛼

2

= 1,96 olup; 3,25 > 1,96 yani 𝑍 > 𝑍𝛼

2

olduğundan 𝐻0 hipotezi ret edilir. Buna göre roket yakıt sistemlerinde kullanılan katı yakıtın ortalama yanma hızı 50cm/s’den farklıdır. Hatta 𝑛 = 25 birimlik bu örnekleme göre ortalama yanma hızının 50 cm/s’den fazla olduğuna dair yeterli delil vardır.

b) Roket yakıt sistemlerinde kullanılan katı yakıtın ortalama yanma hızı 𝜇 parametresi için güven aralığı, kitle varyansı 𝜎2 = 4 olarak bilindiğinden Eşitlik (4.6) gereğince;

𝑃 (𝑋 − 𝑍𝛼

2

× 𝜎𝑋≤ 𝜇 ≤ 𝑋 + 𝑍𝛼

2

× 𝜎𝑋) = 1 − 𝛼 dir. Burada;

𝑋 =1

𝑛𝑛𝑖=1𝑋𝑖 = 51,3 𝑐𝑚/𝑠; 𝑍𝛼

2 = 𝑍0,025 = 1,96 ve 𝜎𝑋 = 𝜎

√𝑛= 2

√25= 2

5 değerleri yerlerine yazılırsa;

𝑃 (51,3 − (1,96) ×2

5≤ 𝜇 ≤ 51,3 + (1,96) ×2

5) = 0,95

𝑃(50,52 ≤ 𝜇 ≤ 52,08) = 0,95 bulunur. Bulunan güven aralığı 𝜇0 = 50 değerini kapsamadığından ve güven aralığı alt sınırı bu değerden daha büyük olduğundan %95 güvenle ortalama yanma hızının 50 cm/s’den fazla olduğu söylenebilir.

Örnek Hacminin Belirlenmesi (𝝈𝟐− 𝒃𝒊𝒍𝒊𝒏𝒊𝒚𝒐𝒓𝒌𝒆𝒏): İstatistiksel analizlerde uygulanacak olan analiz için gerekli olan örnek hacminin bilinmesi önem arz etmektedir. Örnek hacminin belirlenmesinde farklı yöntemler kullanılmaktadır. Eğer örnek ortalaması (𝑋), kitle ortalamasının(𝜇) bir tahmini olarak kullanılırsa, örnek ortalaması ile kitle ortalaması arasındaki mutlak farkın |𝑋 − 𝜇|, %(1 − 𝛼) güvenle belirli bir 𝐸 > 0 sayısını aşmaması koşulu altında (Bu durum Şekil 4.3’de gösterilmektedir), örnek hacmi;

𝑛 = (

𝑍𝛼 2

×𝜎 𝐸 )

2

(4.7)

(9)

117 eşitliği ile hesaplanır.

Şekil:4.3 𝑿 ile 𝝁 Tahminindeki Hata

Örnek:4.3 Roket yakıt sistemlerinde kullanılan katı yakıtın yanma hızına ait dağılımın 𝑁(𝜇 𝑐𝑚/𝑠 , 𝜎 = 2𝑐𝑚/𝑠) olduğu kabul edilmektedir. Katı yakıtın ortalama yanma hızını tahminlerken ortaya çıkan hatanın %95 güvenle 1,5 cm/s’den az olması için gerekli örnek hacmini bulunuz?

Çözüm: Kitle varyansı 𝜎2 = 4 bilindiğinden örnek ortalaması ile kitle ortalaması arasındaki mutlak farkın 𝐸 = |𝑋 − 𝜇| = 1,5cm/s’den daha küçük olması için gerekli örnek hacmi;

𝑛 = (

𝑍𝛼 2

×𝜎 𝐸 )

2

dir. 1 − 𝛼 = 0,95 olup, 𝑍𝛼/2= 𝑍0,025= 1,96 olduğundan; 𝑛 = ((1,96)×2

1,5 )2 = 6,83 ≅ 7 bulunur.

ÖRNEK:4.4 Sağlık araştırmacıları titanyum ve plastikten oluşan yeni bir yapay kalp geliştirdiler. Kalp bir kişiye takıldığında ömür boyunca çalışacak, fakat pillerini her 4 saatte bir şarj etmek gerekecektir. 50 pilden oluşan bir rastgele örneklem seçilerek ömür deneyi uygulanıyor ve pil ömrü ölçülüyor. Pillerin ortalama ömür süresi 4,05 saat bulunuyor. Söz konusu pillerin ömrüne ait dağılımın 𝑁(𝜇 , 𝜎2 = 0,04) olduğu bilinmektedir. Buna göre;

a) Ortalama pil ömrünün 4 saati aştığına dair iddiayı destekleyecek yeterli delil olduğu %5 önem seviyesinde söylenebilir mi?

b) Söz konusu pillerin ortalama ömrü için %90 güven seviyeli güven aralığını oluşturunuz?

c) 𝑛 birimlik bir örneklemde örnek ortalaması ile kitle ortalaması arasındaki mutlak hatanın

%95 güvenle 0,025 olması için örnek hacmi ne olmalıdır.

Çözüm: “𝑋: Ortalama pil ömrü” olmak üzere, 𝑋~𝑁(𝜇 , 𝜎2 = 0,04) olduğu biliniyor.

a) i) Hipotezler kurulur

𝐻0: 𝜇 = 4 , (𝜇0 = 4 𝑠𝑎𝑎𝑡 𝑜𝑙𝑎𝑟𝑎𝑘 𝑏𝑖𝑙𝑖𝑛𝑖𝑦𝑜𝑟) 𝐻1: 𝜇 > 4

ii) 𝑛 = 50 birimlik örnekten örnek ortalaması 𝑋 = 4,05 saat hesaplanmıştır.

iii) Test istatistiği, 𝜎2 = 0,04 bilindiğinden 𝑍 =𝑋−𝜇

𝜎𝑋 ~𝑁(0 , 1) dir. 𝐻0 doğru iken test istatistiğinin alabileceği değer; 𝜎𝑋= 𝜎

√𝑛= 0,2

√50 olmak üzere 𝑍 = 4,05−4

0,2/√50= 1,77 bulunur.

(10)

118

iv) Karar: 𝛼 = 0,05 önem seviyesinde 𝐻1 hipotezine göre karar kuralı 𝑍 > 𝑍𝛼 ise 𝐻0 ret edilir.

Kritik değer 𝑍𝛼 = 𝑍0,05 = 1,65 olup, 1,77 > 1,65 yani 𝑍 > 𝑍𝛼 olduğundan 𝐻0 ret edilir.

Buna göre söz konusu pillerin ortalama ömrü %95 güvenle 4 saati aşmaktadır.

b) Söz konusu pillerin ortalama ömrü için %90 güven seviyeli güven aralığı, 𝜎2 bilindiğinden;

𝑃 (𝑋 − 𝑍𝛼

2 × 𝜎𝑋≤ 𝜇 ≤ 𝑋 + 𝑍𝛼

2× 𝜎𝑋) = 1 − 𝛼 ; 1 − 𝛼 = 0,90 olduğuna göre 𝑍𝛼/2= 𝑍0,05= 1,65; 𝑋 = 4,05 ve 𝜎𝑋 = 0,2

√50 olduğundan 𝑃 (4,05 − (1,65) × 0,2

√50≤ 𝜇 ≤ 4,05 + (1,65) × 0,2

√50) = 0,90

𝑃(4,0033 ≤ 𝜇 ≤ 4,0967) = 0,90 olarak bulunur. Bulunan güven aralığı 𝜇0 = 4 değerini kapsamadığından ve alt sınır 𝜇0 = 4 değerinden büyük olduğundan pillerin ortalama ömrünün 4 saati aştığı %90 güvenle söylenebilir.

c) Örnek hacmi 𝜎2 bilindiğinden; 𝑛 = (

𝑍𝛼 2

×𝜎 𝐸 )

2

ile hesaplanır. Burada 𝜎2 = 0,04 ve 𝜎 =

√0,04 = 0,2; 1 − 𝛼 = 0,95 iken 𝑍𝛼/2= 𝑍0,025 = 1,96 ve 𝐸 = |𝑋 − 𝜇| = 0,025 olduğundan;

örnek hacmi yaklaşık olarak 𝑛 = ((1,96)×(0,2)

0,025 )2 = 245,8624 ≅ 246’dır.

ÖRNEK:4.5 Bir fırında kullanılan termokapl ömrü (saat), 𝑁(𝜇 , 𝜎2 = 20) dağılımına sahiptir.

Ortalama ömür ile ilgili yapılan bir araştırmada rastgele çekilen 15 tane termokapl için ömürleri ölçülmüş ve aşağıdaki sonuçlar gözlenmiştir.

𝑋𝑖: 553 552 567 579 550 541 537 553 552 546 538 553 581 539 529 Buna göre;

a) Termokapl’in ortalama ömrün 565 saatin altında olduğuna dair yeterli delil olup olmadığına

%5 önem seviyesinde karar veriniz?

b) Termokapl’in ortalama ömrüne ait %90 güven katsayılı güven aralığını bulunuz.

c) 𝑛 birimlik bir örneklemde örnek ortalaması ile kitle ortalaması arasındaki mutlak hatanın

%95 güvenle 5 saat olması için örnek hacmi ne olmalıdır.

Çözüm: “𝑋: Bir fırında kullanılan termokapl ömrü (saat)” olmak üzere, 𝑋~𝑁(𝜇 , 𝜎2 = 400) olduğu biliniyor.

a) i) Hipotezler kurulur

𝐻0: 𝜇 = 565 , (𝜇0 = 565 𝑠𝑎𝑎𝑡 𝑜𝑙𝑎𝑟𝑎𝑘 𝑏𝑖𝑙𝑖𝑛𝑖𝑦𝑜𝑟) 𝐻1: 𝜇 < 565

ii) 𝑛 = 15 birimlik örnekten örnek ortalaması 𝑋 = 1

𝑛∑ 𝑋𝑖 = 1

15(8270) =

𝑛𝑖=1 551,33 saat olarak

hesaplanır.

(11)

119 iii) Test istatistiği, 𝜎2 = 400 bilindiğinden 𝑍 =𝑋−𝜇

𝜎𝑋 ~𝑁(0 , 1) dir. 𝐻0 doğru iken test istatistiğinin alabileceği değer; 𝜎𝑋 = 𝜎

√𝑛= 20

√15= 5,16 olmak üzere 𝑍 =551,33−565

5,16 = −2,65 bulunur.

iv) Karar: 𝛼 = 0,05 önem seviyesinde 𝐻1 hipotezine göre karar kuralı 𝑍 < −𝑍𝛼 ise 𝐻0 ret edilir. Kritik değer −𝑍𝛼= −𝑍0,05 = −1,65 olup, −2,65 < −1,65 yani 𝑍 < −𝑍𝛼 olduğundan 𝐻0 ret edilir. Buna göre söz konusu termokapl’in ortalama ömrü %95 güvenle 565 saatin altında olduğuna dair yeterli delil mevcuttur.

b) Söz konusu termokapl’in ortalama ömrü için %90 güven seviyeli güven aralığı, 𝜎2 bilindiğinden;

𝑃 (𝑋 − 𝑍𝛼

2 × 𝜎𝑋≤ 𝜇 ≤ 𝑋 + 𝑍𝛼

2× 𝜎𝑋) = 1 − 𝛼 ; 1 − 𝛼 = 0,90 olduğuna göre 𝑍𝛼/2= 𝑍0,05= 1,65; 𝑋 = 551,33 ve 𝜎𝑋 = 5,16 olduğundan

𝑃(551,33 − (1,65) × (5,16) ≤ 𝜇 ≤ 551,33 + (1,65) × (5,16)) = 0,90

𝑃(542,82 ≤ 𝜇 ≤ 559,844) = 0,90 olarak bulunur. Bulunan güven aralığı 𝜇0 = 565 değerini kapsamadığından ve üst sınır 𝜇0 = 565 değerinden küçük olduğundan pillerin ortalama ömrünün 565 saatin altında olduğu %90 güvenle söylenebilir.

c) Örnek hacmi 𝜎2 bilindiğinden; 𝑛 = (

𝑍𝛼 2

×𝜎 𝐸 )

2

ile hesaplanır. Burada 𝜎2 = 400 ve 𝜎 =

√400 = 20; 1 − 𝛼 = 0,95 iken 𝑍𝛼/2 = 𝑍0,025 = 1,96 ve 𝐸 = |𝑋 − 𝜇| = 5 olduğundan; örnek hacmi yaklaşık olarak 𝑛 = ((1,96)×(20)

5 )2 = 61,47 ≅ 62 olarak bulunur.

Büyük Örneklem Durumu: Eğer kitle varyansı bilinmiyor, fakat örnek hacmi 𝑛 ≥ 40 ise bu takdirde büyük örneklem durumu söz konusu olacaktır. Büyük örneklem durumunda kitle ortalaması 𝜇 parametresi için yapılacak olan hipotez testinde 𝜎2 yerine yansız bir tahmin edicisi olan 𝑆2 = 1

𝑛−1𝑛𝑖=1(𝑋𝑖− 𝑋 )2 örnek varyansı ve örnek ortalamasının varyansı [𝜎𝑋2 =𝜎2

𝑛] yerine, örnek ortalaması varyansının tahmin edicisi [𝜎̂𝑋2 = 𝑆2

𝑛] kullanılarak 𝑍 − 𝑡𝑒𝑠𝑡𝑖 uygulanır. Bu durumda test istatistiği;

𝑍 = 𝑋−𝜇

𝑆𝑋 ~𝑁(0 , 1) (4.8) şeklinde tanımlanır. Burada 𝑆𝑋 = 𝑆

√𝑛 örnek ortalamasının standart hata tahminidir. Kitle varyansı bilinmiyor ve örnek hacmi küçük olduğunda bundan sonraki bölümde verilecektir.

SORULAR

1. Kumaş üretiminde kullanılan bir fiber ipliğin ortalama kopma dayanımının en az 690 kPa olması istenmektedir. Geçmişe ait tecrübelerden kapma dayanımı standart sapması 14 kPa olan

(12)

120

bir normal dağılıma sahip olduğu bilinmektedir. Dokuz numunelik bir rastgele örnek test edilerek ortalama kopma dayanımı (yani örnek ortalaması) 694 kPa bulunmuştur. Buna göre:

a) Kumaş üretiminde kullanılan fiber ipliğin ortalama kopma dayanımı hakkında olması istenen durum ile ilgili hipotezleri oluşturunuz ve 𝐻0 hipotezi hakkındaki kararınızı belirtiniz?

b) Kumaş üretiminde kullanılan fiber ipliğin ortalama kopma dayanımına ait %90 güven katsayılı güven aralığını bulunuz?

c) Gerçek ortalama kopma dayanımını 696 (yani 𝜇 = 696) olarak %95 olasılıkla tespit edebilmek için örnek hacmi ne olmalıdır.

2. Kimyasal bir prosesin (üretimin) verimi incelenmektedir. Prosesin günlük verim dağılımının 𝑁(𝜇 , 𝜎2 = 9) olduğu bilinmektedir. Günlük verime ait dağılımın ortalamasının %90’dan farklı olduğu iddia edilmektedir. Bu durumu araştırmak amacı ile fabrika üretiminde son 5 günde elde edilen sonuçlar aşağıdadır.

𝑋: Verim (%): 91,6 88,75 90,8 89,95 91,3

a) İddia edilen durumun doğruluğunu %5 önem seviyesinde test ediniz ve elde ettiğiniz bulguyu değerlendiriniz.

b) Prosesin günlük verim dağılımının ortalamasına ait %95 güven katsayılı güven aralığını bulunuz.

c) Gerçek ortalama verim 0,85 ise bu değeri %95 güvenle belirleyebilmek için gerekli örnek hacmi ne olmalıdır.

3. Otomotiv güvenlik sistemlerinde hava yastığı şişiricisi üretimi yapan bir şirket, yastık yüzeyinin şişirici kenarına en az 2 cm uzaklıkta olmasını istemektedir. Üretimden rastgele seçilen 20 şişirici ölçümünden 2,02 cm’lik ortalama uzaklık elde edilmiştir. Şirketin ürettiği hava yastığı şişiricisi için yastık yüzeyinin şişirici kenarına olan uzaklığın dağılımı standart sapması 0,05 olan bir normal dağılım ile uyumlu olduğu bilinmektedir. Buna göre:

a) Şirket üretiminin şirketin gereksinimlerine uygun olup olmadığına %1 önem seviyesinde karar veriniz.

b) Gerçek ortalama (𝜇) için %99 güven katsayılı güven aralığını bulunuz?

c) 2,03 gerçek ortalama değerini en az %90 olasılıkla belirleyebilmek için örnek hacmi ne olmalıdır.

Referanslar

Benzer Belgeler

Bu iddiayı araştırmak amacı ile üretilen metal çubuklardan rastgele olarak 12 tanesi alınmış ve bunların çapları ölçülerek (mm) aşağıdaki sonuçlar

 UFRS 1 Uluslararası Finansal Raporlama Standartlarının İlk Kez Uygulanması, 1 Ocak 2011 tarihinde ve sonrasında başlayan hesap dönemleri için geçerlidir..

bölümümüzde ikinci anadal eğitimi almakta olan öğrencilerin kendi anadalında yapacağı stajın her iki dalda da sayılmasını talep etmeleri halinde staj yeri bulurken staj

(a) Öğrenci, staj yapacağı yerle görüşüp/dilekçe verip öğrenci işleri/bölümün duyurduğu staja başlama tarihlerini de dikkate alarak ilgili firmadan üzerinde staj

girişimcilik ve yenilikçilik konularının farkında olmak ve çağın sorunları hakkında bilgi sahibi olmak Matematik, fen bilimleri ve kendi dalları ile ilgili

S-3) Aşağıdakilerden hangisi sunum yapan kişinin dikkat etmesi gereken özelliklerden biri değildir?. A) Vücut dilini etkili ve doğru kullanmak B) Sunum yapacağı salonu önceden

Araştırma üniversitesi geleneği ile Bölümümüzde çelikler, demir-dışı metaller, döküm, metal şekillendirme, ısıl işlem, yüzey işlemleri, kaynaklı imalat,

Bu dersimizde, dış ticaret hakkında genel bilgiler, dış ticarette kullanılan tanımlar, ihracat, ihracatçı, ithalat, ithalatçı, fiili ihracat, fiili ithalat, muhabir